Определить среднюю ошибку аппроксимации в excel

Содержание

  1. Тогда средняя ошибка аппроксимации равна
  2. Задача №3. Расчёт параметров регрессии и корреляции с помощью Excel
  3. Задание:
  4. Решение:

Тогда средняя ошибка аппроксимации равна

Таблица 3.1 – Исходные данные

Область Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, у.д.е., у Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, у.д.е., х
Орловская
Рязанская
Смоленская
Тверская
Тульская
Ярославская

Эмпирические коэффициенты регрессии b0, b1 будем определять с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» табличного процессораMS Excel.

Алгоритм определения коэффициентов состоит в следующем.

1. Вводимисходные данные в табличный процессор MS Excel.

2. Вызываемнадстройку Анализ данных(рисунок 2).

3.Выбираем инструмент анализа Регрессия(рисунок 3).

4. Заполняем соответствующие позиции окна Регрессия (рисунок 4).

5. Нажимаем кнопку ОК окна Регрессия и получаем протокол решения задачи (рисунок 5)

Рисунок 2 – Активизация надстройки Анализ данных

Рисунок 3 – Выбор инструмента Регрессия


Рисунок 4 – Окно Регрессия

Рисунок 5 – Протокол решения задачи

Из рисунка 5 видно, что эмпирические коэффициенты регрессии соответственно равны

b1 = 0, 0088.

Тогда уравнение парной линейной регрессии, связывающая величину ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимумахимеет вид

.(3.2)

Далее, в соответствии с заданием необходимо оценить тесноту статистической связи между величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у. Эту оценку можно сделать с помощью коэффициента корреляции . Величина этого коэффициента на рисунке 5 обозначена как множественный R и соответственно равна 0,038. Поскольку теоретически величина данного коэффициента находится в пределахот –1 до +1, то можно сделать вывод о не существенности статистической связимежду величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у.

Параметр «R – квадрат», представленныйна рисунке 5 представляет собой квадрат коэффициента корреляции и называется коэффициентом детерминации. Величина данного коэффициента характеризует долю дисперсии зависимой переменной у, объясненную регрессией (объясняющей переменной х). Соответственно величина 1- характеризует долю дисперсии переменной у, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных. Из рисунка 5 видно, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет 1- 0,00145 = 0,998 или 99,8%.

На следующем этапе, в соответствии с заданием необходимо определить степень связи объясняющей переменной х с зависимой переменной у, используя коэффициент эластичности. Коэффициент эластичности для модели парной линейной регрессии определяется в виде:

. (3.3)

Следовательно, при изменении прожиточного минимума на 1% величина ежемесячной пенсии изменяется на 0,000758%.

Далее определяем среднюю ошибку аппроксимации по зависимости

. (3.4)

Для этого исходную таблицу 1 дополняем двумя колонками, в которых определяем значения, рассчитанные с использованием зависимости (3.2) и значения разности .

Таблица 3.2. Расчет средней ошибки аппроксимации.

Область Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, у.д.е., у Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, у.д.е., х
Орловская 0,032
Рязанская 0,045
Смоленская 0,021
Тверская 0,012
Тульская 0,028
Ярославская 0,017
S=0,155

Тогда средняя ошибка аппроксимации равна

.

Из практики известно, что значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать (12…15)%

На последнем этапе выполним оценкустатистической надежности моделирования спомощью F – критерия Фишера. Для этого выполним проверку нулевой гипотезы Н0 о статистической не значимости полученного уравнения регрессиипо условию:

если при заданном уровне значимости a = 0,05 теоретическое (расчетное) значение F-критерия больше его критического значения Fкрит (табличного), то нулевая гипотеза отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается значимым.

Из рисунка 5 следует, что Fрасч = 0,0058. Критическое значение F-критерия определяем с помощью использования статистической функции FРАСПОБР (рисунок 6). Входными параметрами функции является уровень значимости (вероятность) и число степеней свободы 1 и 2. Для модели парной регрессии число степеней свободы соответственно равно 1 (одна объясняющая переменная) и n-2 = 6-2=4.

Рисунок 6 – Окно статистической функции FРАСПОБР

Из рисунка 6 видно, что критическое значение F-критерия равно 7,71.

Источник

Задача №3. Расчёт параметров регрессии и корреляции с помощью Excel

По территориям региона приводятся данные за 200Х г.

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х Среднедневная заработная плата, руб., у
1 78 133
2 82 148
3 87 134
4 79 154
5 89 162
6 106 195
7 67 139
8 88 158
9 73 152
10 87 162
11 76 159
12 115 173

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии

.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

Решим данную задачу с помощью Excel.

1. Сопоставив имеющиеся данные х и у, например, ранжировав их в порядке возрастания фактора х, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение среднедушевого прожиточного минимума увеличивает среднедневную заработную плату. Исходя из этого, можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и её можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа.

Чтобы построить поле корреляции можно воспользоваться ППП Excel. Введите исходные данные в последовательности: сначала х, затем у.

Выделите область ячеек, содержащую данные.

Затем выберете: Вставка / Точечная диаграмма / Точечная с маркерами как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 Построение поля корреляции

Анализ поля корреляции показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

2. Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии
воспользуемся встроенной статистической функцией ЛИНЕЙН.

1) Откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
2) Выделите область пустых ячеек 5×2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики.
3) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.
4) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ЛИНЕЙН. Щёлкните по кнопке ОК как показано на Рисунке 2;

Рисунок 2 Диалоговое окно «Мастер функций»

5) Заполните аргументы функции:

Известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения х – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щёлкните по кнопке ОК;

Рисунок 3 Диалоговое окно аргументов функции ЛИНЕЙН

6) В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу , а затем на комбинацию клавиш + + .

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента b Значение коэффициента a
Стандартная ошибка b Стандартная ошибка a
Коэффициент детерминации R 2 Стандартная ошибка y
F-статистика Число степеней свободы df
Регрессионная сумма квадратов

Остаточная сумма квадратов

Рисунок 4 Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Получили уровнение регрессии:

Делаем вывод: С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

3. Коэффициент детерминации означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума, а 48% — действием других факторов, не включённых в модель.

По вычисленному коэффициенту детерминации можно рассчитать коэффициент корреляции: .

Связь оценивается как тесная.

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результат.

Для уравнения прямой средний (общий) коэффициент эластичности определим по формуле:

Средние значения найдём, выделив область ячеек со значениями х, и выберем Формулы / Автосумма / Среднее, и то же самое произведём со значениями у.

Рисунок 5 Расчёт средних значений функции и аргумент

Таким образом, при изменении среднедушевого прожиточного минимума на 1% от своего среднего значения среднедневная заработная плата изменится в среднем на 0,51%.

С помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить:
— результаты регрессионной статистики,
— результаты дисперсионного анализа,
— результаты доверительных интервалов,
— остатки и графики подбора линии регрессии,
— остатки и нормальную вероятность.

Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к Пакету анализа. В главном меню последовательно выберите: Файл/Параметры/Надстройки.

2) В раскрывающемся списке Управление выберите пункт Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти.

3) В окне Надстройки установите флажок Пакет анализа, а затем нажмите кнопку ОК.

• Если Пакет анализа отсутствует в списке поля Доступные надстройки, нажмите кнопку Обзор, чтобы выполнить поиск.

• Если выводится сообщение о том, что пакет анализа не установлен на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить его.

4) В главном меню последовательно выберите: Данные / Анализ данных / Инструменты анализа / Регрессия, а затем нажмите кнопку ОК.

5) Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал X – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

6) Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Затем нажмите кнопку ОК.

Рисунок 6 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных задачи представлены на рисунке 7.

Рисунок 7 Результат применения инструмента регрессия

5. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Воспользуемся результатами регрессионного анализа представленного на Рисунке 8.

Рисунок 8 Результат применения инструмента регрессия «Вывод остатка»

Составим новую таблицу как показано на рисунке 9. В графе С рассчитаем относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Рисунок 9 Расчёт средней ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 – 10%.

6. Из таблицы с регрессионной статистикой (Рисунок 4) выпишем фактическое значение F-критерия Фишера:

Поскольку при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

8. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н0 о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

.

для числа степеней свободы

На рисунке 7 имеются фактические значения t-статистики:

t-критерий для коэффициента корреляции можно рассчитать двумя способами:

I способ:

где – случайная ошибка коэффициента корреляции.

Данные для расчёта возьмём из таблицы на Рисунке 7.

II способ:

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

Поэтому гипотеза Н0 отклоняется, то есть параметры регрессии и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Доверительный интервал для параметра a определяется как

Для параметра a 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как

Для коэффициента регрессии b 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Ошибку прогноза рассчитаем по формуле:

где

Дисперсию посчитаем также с помощью ППП Excel. Для этого:

1) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.

2) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ДИСП.Г. Щёлкните по кнопке ОК.

3) Заполните диапазон, содержащий числовые данные факторного признака. Нажмите ОК.

Рисунок 10 Расчёт дисперсии

Получили значение дисперсии

Для подсчёта остаточной дисперсии на одну степень свободы воспользуемся результатами дисперсионного анализа как показано на Рисунке 7.

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при с вероятностью 0,95 определяются выражением:

Интервал достаточно широк, прежде всего, за счёт малого объёма наблюдений. В целом выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надёжным.

Условие задачи взято из: Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.: ил.

Источник

Источник

По территориям региона приводятся данные за 200Х г.

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х Среднедневная заработная плата, руб., у
1 78 133
2 82 148
3 87 134
4 79 154
5 89 162
6 106 195
7 67 139
8 88 158
9 73 152
10 87 162
11 76 159
12 115 173

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии

Линейная функция.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости Уровень значимости 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

Решим данную задачу с помощью Excel.

1. Сопоставив имеющиеся данные х и у, например, ранжировав их в порядке возрастания фактора х, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение среднедушевого прожиточного минимума увеличивает среднедневную заработную плату. Исходя из этого, можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и её можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа.

Чтобы построить поле корреляции можно воспользоваться ППП Excel. Введите исходные данные в последовательности: сначала х, затем у.

Выделите область ячеек, содержащую данные.

Затем выберете: Вставка / Точечная диаграмма / Точечная с маркерами как показано на рисунке 1.

Поле корреляции

Рисунок 1 Построение поля корреляции

Анализ поля корреляции показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

2. Для расчёта параметров уравнения линейной регрессииЛинейная функция
воспользуемся встроенной статистической функцией ЛИНЕЙН.

Для этого:

1) Откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
2) Выделите область пустых ячеек 5×2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики.
3) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.
4) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ЛИНЕЙН. Щёлкните по кнопке ОК как показано на Рисунке 2;

Диалоговое окно «Мастер функций»

Рисунок 2 Диалоговое окно «Мастер функций»

5) Заполните аргументы функции:

Известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения х – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щёлкните по кнопке ОК;

Диалоговое окно аргументов функции ЛИНЕЙН

Рисунок 3 Диалоговое окно аргументов функции ЛИНЕЙН

6) В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем на комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента b Значение коэффициента a
Стандартная ошибка b Стандартная ошибка a
Коэффициент детерминации R2 Стандартная ошибка y
F-статистика Число степеней свободы df
Регрессионная сумма квадратов

Факторная сумма квадратов

 Остаточная сумма квадратов

Остаточная сумма квадратов

Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Рисунок 4 Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Получили уровнение регрессии:

Уравнение линейной регрессии

Делаем вывод: С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

3. Коэффициент детерминации Коэффициент детерминации означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума, а 48% — действием других факторов, не включённых в модель.

По вычисленному коэффициенту детерминации Коэффициент детерминации можно рассчитать коэффициент корреляции: Коэффициент корреляции.

Связь оценивается как тесная.

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результат.

Для уравнения прямой Уравнение линейной регрессии средний (общий) коэффициент эластичности определим по формуле:

Средний показатель эластичности

Средние значения найдём, выделив область ячеек со значениями х, и выберем Формулы / Автосумма / Среднее, и то же самое произведём со значениями у.

Расчёт средних значений функции и аргумента

Рисунок 5 Расчёт средних значений функции и аргумент

Расчёт среднего показателя эластичности

Таким образом, при изменении среднедушевого прожиточного минимума на 1% от своего среднего значения среднедневная заработная плата изменится в среднем на 0,51%.

С помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить:
— результаты регрессионной статистики,
— результаты дисперсионного анализа,
— результаты доверительных интервалов,
— остатки и графики подбора линии регрессии,
— остатки и нормальную вероятность.

Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к Пакету анализа. В главном меню последовательно выберите: Файл/Параметры/Надстройки.

2) В раскрывающемся списке Управление выберите пункт Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти.

3) В окне Надстройки установите флажок Пакет анализа, а затем нажмите кнопку ОК.

• Если Пакет анализа отсутствует в списке поля Доступные надстройки, нажмите кнопку Обзор, чтобы выполнить поиск.

• Если выводится сообщение о том, что пакет анализа не установлен на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить его.

4) В главном меню последовательно выберите: Данные / Анализ данных / Инструменты анализа / Регрессия, а затем нажмите кнопку ОК.

5) Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал X – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

6) Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Затем нажмите кнопку ОК.

Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Рисунок 6 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных задачи представлены на рисунке 7.

Результат применения инструмента регрессия

Рисунок 7 Результат применения инструмента регрессия

5. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Воспользуемся результатами регрессионного анализа представленного на Рисунке 8.

Результат применения инструмента регрессия «Вывод остатка»

Рисунок 8 Результат применения инструмента регрессия «Вывод остатка»

Составим новую таблицу как показано на рисунке 9. В графе С рассчитаем относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Относительная ошибка аппроксимации

Расчёт средней ошибки аппроксимации

Рисунок 9 Расчёт средней ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

Формула и расчёт средней ошибки аппроксимации

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как  Средняя ошибка аппроксимации не превышает 8 – 10%.

6. Из таблицы с регрессионной статистикой (Рисунок 4) выпишем фактическое значение F-критерия Фишера: Фактическое значение F-критерия

Табличное значение F-критерия

Поскольку Фактическое значение F-критерия больше табличногопри 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

8. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н0 о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

параметры уравнения и коэффициент корреляции равны нулю.

Табличное значение t-критериядля числа степеней свободы Число степеней свободы

На рисунке 7 имеются фактические значения t-статистики:

Расчётные значения t-критерия для параметров регрессии

t-критерий для коэффициента корреляции можно рассчитать двумя способами:

I способ: Расчётное значение t-критерия для коэффициента корреляции 

где Случайная ошибка коэффициента корреляции– случайная ошибка коэффициента корреляции.

Данные для расчёта возьмём из таблицы на Рисунке 7.

Расчёт t-критерия для коэффициента корреляции

II способ: Расчёт t-статистики для коэффициента корреляции

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

Сравнение расчётных и табличных значений t-критерия

Сравнение фактического и табличного t-критерия для показателя корреляции

Поэтому гипотеза Н0 отклоняется, то есть параметры регрессии и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Доверительный интервал для параметра a определяется как

Формула расчёта доверительного интервала для параметра а

Для параметра a 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Доверительный интервал для параметра а

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как

Формула расчёта доверительного интервала коэффициента регрессии

Для коэффициента регрессии b 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Доверительный интервал для коэффициента регрессии

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью Значение вероятности параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Расчёт прогнозного значения фактора

Тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Расчёт прогнозного значения результата

Ошибку прогноза рассчитаем по формуле:

Формула средней ошибки прогнозируемого индивидуального значения у

где Сумма квадратов отклонений фактического значения от среднего

Дисперсию посчитаем также с помощью ППП Excel. Для этого:

1) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.

2) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ДИСП.Г. Щёлкните по кнопке ОК.

3) Заполните диапазон, содержащий числовые данные факторного признака. Нажмите ОК.

Расчёт дисперсии

Рисунок 10 Расчёт дисперсии

Получили значение дисперсии Дисперсия фактора

Для подсчёта остаточной дисперсии на одну степень свободы воспользуемся результатами дисперсионного анализа как показано на Рисунке 7.

Формула и расчёт остаточной дисперсии на одну степень свободы

Расчёт средней ошибки прогнозируемого индивидуального значения у

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при Прогнозное значение фактора с вероятностью 0,95 определяются выражением:

Формула доверительного интервала прогноза индивидуальных значений у

Расчёт доверительных интервалов прогноза индивидуальных значений у

Доверительный интервал прогноза

Интервал достаточно широк, прежде всего, за счёт малого объёма наблюдений. В целом выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надёжным.

Условие задачи взято из: Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.: ил.

Источник

Вариант
5

1
задание

  1. Постройте
    поле корреляции и сформулируйте гипотезу
    о форме связи.

  1. Введу
    значения Y
    и X
    в таблицу, отсортирую их по возрастанию
    по X:

    Y

    X

    68,77

    70,5

    64,19

    70,64

    65,78

    70,93

    63,35

    71,61

    67,67

    73,37

    60,95

    75,93

    61,21

    76,31

    65,96

    76,37

    67,47

    76,72

    61,13

    77,18

    65,55

    77,43

    62,47

    77,79

    64,53

    78,38

    66,67

    78,5

    64,81

    78,75

    69,68

    79,3

    61,5

    79,38

    61,57

    79,69

  2. Построю
    поле корреляции по данным из таблицы:

  1. Сказать
    о форме связи достаточно тяжело, потому
    что точки располагаются неравномерно.
    Возможно, здесь линейная форма связи.

  1. Рассчитайте
    параметры уравнения линейной регрессии.

  1. Чтобы
    рассчитать параметры уравнения линейной
    регрессии, необходимо написать само
    уравнение: y=ax+b,
    а также нужно записать формулу для
    коэффициентов а и b.

  1. Введу
    в таблицу новые показатели: x*y,
    x^2,
    сумму, среднее значение и рассчитаю
    их, а затем по формулам рассчитаю
    коэффициенты а и b.

  1. Оцените
    тесноту связи с помощью показателей
    корреляции и детерминации.

  1. С
    помощью формулы линейного коэффициента
    парной корреляции определю тесноту
    связи

R=-0,221

  1. Коэффициент
    детерминации – это коэффициент
    корреляции в квадрате.

Он
равен = 0,049

Вывод:
связь слабая.

  1. Оцените
    с помощью средней ошибки аппроксимации
    качество уравнений.

Средняя
ошибка аппроксимации – среднее отклонение
расчетных значений от фактических:

Для
данных расчётов мне необходимо значение
,
которое в Excel
назову y(t).
По формуле рассчитала показатель А.

Средняя
ошибка аппроксимации равна 3,5%. Величина
ошибки аппроксимации говорит о высоком
качестве модели.

  1. Оцените
    с помощью F -критерия Фишера и t -критерия
    Стьюдента статистическую значимость
    результатов регрессионного моделирования.

  1. Рассчитаю
    F-критерий
    Фишера по формулам
    Критическое
    значение рассчитала по специальной
    статистической формуле в Excel
    F.ОБР.ПХ.
    (вероятность 0,05; степени свободы1 =1;
    степени свободы2 = 16). F(критич)
    = 4,49

Фактическое
значение рассчитала по формуле:

,
где n-
количество исследуемых точек.

F
(фактич) = 0,78

Так
как F
(критич) больше F
(фактич), то можно сделать вывод, что
уравнение связи является статистически
незначимым.

  1. Рассчитаю
    критический t-критерий
    Стьюдента по статистической формуле
    в Excel
    СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х (вероятность = 0,05; степени
    свободы (18-2) =16). t (критич) = 2,12.

Фактическое
значение считаю для каждого параметра:

Параметр
а:


,

Параметр
b:


Параметр
r:


t(a)
= -0,01

t(b)
= 1,16

t(r
) = -0,91

Так
как все фактические критерии параметров
меньше критического t-критерия,
значит все параметры статистически не
значимые.

  1. По
    значениям характеристик, рассчитанным
    в пп. 3-5, выберите лучшее уравнение
    регрессии и дайте его обоснование.

Наше
уравнение линейной регрессии обладает
такими свойствами:

  • Связь
    слабая (по коэффициенту парной корреляции)

  • Высокое
    качество модели (по средней ошибке
    аппроксимации)

  • Уравнение
    связи и все его параметры являются
    статистически незначимыми (на основании
    F-критерия
    Фишера и t-критерия
    Стьюдента)

  1. Рассчитайте
    прогнозное значение результата, если
    значение фактора увеличится на 10% от
    его среднего уровня. Определите
    доверительный интервал прогноза для
    уровня значимости α= 0,05

Прогнозное
значение

определяется путём подстановки в
уравнение регрессии

соответствующего (прогнозного) значения
.
Вычисляется средняя стандартная ошибка
прогноза

:

где

и
строится доверительный интервал
прогноза:

  1. Найду
    прогнозное значение результативного
    фактора

    при значении признака-фактора,
    составляющем 110% от среднего уровня

  1. Найду
    доверительный интервал прогноза. Ошибка
    прогноза

Доверительный
интервал рассчитывается:
)

Здесь:
(двухстороннее значение t-критерия
Стьюдента): t
(0,05; 18-2) = 2,12

Доверительный
интервал: (63,16- 9,81*2,12; 63,16+ 9,81*2,12) = (42,38;
83,95)

Истинное
значение прогноза (63,16) попадает в этот
интервал.

2
задание

Разработайте
план погашения кредита, полученного на
следующих условиях: Сумма кредита – Р
тысяч рублей, срок кредита – n лет,
процентная ставка по кредиту – i% годовых,
количество платежей в год –m раз. Данные
для каждого варианта приводятся в
таблице ниже:

Сумма
кредита, Р. тыс. руб.

Срок
кредита n лет

Процентная
ставка по кредиту, i, %

Количество
платежей в год, m

675

5

28

1

  1. Составлю
    таблицу «План погашения кредита»

№ п/п

Сумма
ежегодного платежа, тыс. руб.

Годовая
выплата основного долга, тыс. руб.

Процентные
платежи, тыс. руб.

Осталось
выплатить

  1. Для
    начала рассчитаю сумму ежегодного
    платежа (тыс. руб.). Для этого выберу
    финансовую функцию ПЛТ в Excel:
    ПЛТ(28%; В3; А3; 0; 0)

Ежегодный
платёж на протяжении 5-ти лет будет
равным. Поэтому можно рассчитать общую
сумму выплат (долг + проценты) и переплату:

  • Общая
    сумма выплат = сумма ежегодного платежа
    * срок кредита = 266, 59 тыс. р. * 5 лет = 1332,94
    тыс. р.

  • Переплата
    составит = общая сумма выплат – сумма
    кредита = 1332,59 тыс. р. – 675 тыс. р. = 657, 94
    тыс. р.

  1. Рассчитаю
    годовую выплату основного долга:

Для
этого использую функцию ОСПЛТ в Excel:
ОСПЛТ (28%; период; $B$3;
$A$3;
0) – период соответственно каждой строке
(1-5)

Годовая
выплата по кредиту для каждого года
составила:

  1. Далее
    рассчитаю сколько процентных платежей
    уплачивается за каждый период. Для
    этого из суммы ежегодного платежа вычту
    годовую выплату основного долга
    (результаты этих вычислений на фото
    таблицы Excel
    выше).

  2. Чтобы
    посчитать последний столбец «осталось
    выплатить» проделаю следующую операцию:

  • для
    первого периода: =$A$3+СУММ($C$6:C6), где $A$3
    – первоначальная сумма кредита, $C$6:C6
    – годовая выплата основного долга в
    рассматриваемый период;

  • для
    второго периода: =$E$6+СУММ($C$7:C7), где $E$6
    – осталось выплатить в предыдущем
    периоде;

  • для
    остальных периодов первое слагаемое
    будет равно «осталось выплатить» в
    предыдущем периоде, а второе слагаемое
    – годовая выплата основного долга в
    рассматриваемом периоде.

В
конце последнего периода «осталось
выплатить» становится равным 0, так как
мы полностью погасили долг.
План
погашения кредита разработан.

3
задание

  1. определить
    оптимальный план выпуска, максимизирующий
    прибыль;

  2. насколько
    изменится оптимальное решение, если
    продукция будет измеряться в шт.
    (целочисленное).

  3. насколько
    изменится оптимальное решение, если
    задана нижняя граница плана выпуска
    по каждому изделию (договорные
    обязательства)

  4. Провести
    анализ чувствительности оптимального
    решения.

Нормы
расхода сырья

Запасы
сырья

Изделие
1

Изделие
2

Изделие
3

Изделие
4

Сырьё
А

5

1

8

7

745

Сырьё
В

1

5

5

6

610

Сырьё
С

7

5

7

4

768

Цена
за единицу продукции

7

6

9

14

  1. Составлю
    таблицу в Excel:
    создала сроку «коэф. цф», где написала
    коэффициенты переменных из первого
    уравнения и столбец «знач. цф». Через
    функцию СУММПРОИЗВ посчитала «знач.
    цф». Затем, нажав ячейку «знач. цф»,
    нажму «поиск решения» и введу ограничения,
    а также выберу метод поиска решений.
    Таким образом определила оптимальный
    план выпуска, максимизирующий прибыль.

  1. Для
    ответа на второй вопрос задачи оставлю
    эту же таблицу. В графе поиска решений
    добавлю ограничение на значения
    переменных – они должны быть целыми.
    Значение переменных изменится
    незначительно (округлится до целых
    чисел), а в столбце на пересечении стоки
    «огранич» и столбца «знач. цф» произойдут
    изменения с 745 до 741 (на 4 ед.) и с 768 до 764
    (на 4 ед.)

  1. Задам
    произвольную нижнюю границу: 1 и добавлю
    это условие в ограничения на поиск
    решений. При этом значения переменных
    изменятся следующим образом:

Х1
уменьшится на 3 ед., Х2 уменьшится на 3
ед., Х3 увеличится на 1 ед., Х4 увеличится
на 2 ед.

  1. Отчёты:

Согласно
отчёту о результатах все ресурсы являются
дефицитными (состояние – привязка).

Согласно
отчёту об устойчивости:
Х1: допустимое
увеличение =6,741, допустимое уменьшение
= 0,172
Х2: допустимое увеличение =6,894,
допустимое уменьшение = 0,217

Х3:
допустимое увеличение =5,306, допустимое
уменьшение = 1Е+30
Х4: допустимое увеличение
=0,208, допустимое уменьшение = 7,271.

F10:
допустимое увеличение =348, 774, допустимое
уменьшение = 242,896

F11:
допустимое увеличение =620,75, допустимое
уменьшение = 306,26

F9:
допустимое увеличение =185,368, допустимое
уменьшение = 496,6

Соседние файлы в предмете Компьютерный практикум

  • #

    20.03.201819.8 Кб2691 курс КП 11.xlsx

  • #

    20.03.201836.24 Кб1601 курс КП 6.xlsx

  • #

    20.03.201821.95 Кб1111 курс КП 8.xlsx

  • #

    20.03.201822.76 Кб1361 курс КП 9.xlsx

  • #
Источник
Регрессионная сумма квадратов

Рисунок 4 Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Получили уровнение регрессии:

Делаем вывод: С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

Означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х — среднедушевого прожиточного минимума, а 48% — действием других факторов, не включённых в модель.

По вычисленному коэффициенту детерминации можно рассчитать коэффициент корреляции: .

Связь оценивается как тесная.

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результат.

Для уравнения прямой средний (общий) коэффициент эластичности определим по формуле:

Средние значения найдём, выделив область ячеек со значениями х, и выберем Формулы / Автосумма / Среднее , и то же самое произведём со значениями у.

Рисунок 5 Расчёт средних значений функции и аргумент

Таким образом, при изменении среднедушевого прожиточного минимума на 1% от своего среднего значения среднедневная заработная плата изменится в среднем на 0,51%.

С помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить:
— результаты регрессионной статистики,
— результаты дисперсионного анализа,
— результаты доверительных интервалов,
— остатки и графики подбора линии регрессии,
— остатки и нормальную вероятность.

Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к Пакету анализа . В главном меню последовательно выберите: Файл/Параметры/Надстройки .

2) В раскрывающемся списке Управление выберите пункт Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти.

3) В окне Надстройки установите флажок Пакет анализа , а затем нажмите кнопку ОК .

Если Пакет анализа отсутствует в списке поля Доступные надстройки , нажмите кнопку Обзор , чтобы выполнить поиск.

Если выводится сообщение о том, что пакет анализа не установлен на компьютере, нажмите кнопку Да , чтобы установить его.

4) В главном меню последовательно выберите: Данные / Анализ данных / Инструменты анализа / Регрессия , а затем нажмите кнопку ОК .

5) Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Входной интервал Y — диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал X — диапазон, содержащий данные факторного признака;

Метки — флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа — ноль — флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал — достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

6) Новый рабочий лист — можно задать произвольное имя нового листа.

Затем нажмите кнопку ОК .

Рисунок 6 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных задачи представлены на рисунке 7.

Рисунок 7 Результат применения инструмента регрессия

5. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Воспользуемся результатами регрессионного анализа представленного на Рисунке 8.

Рисунок 8 Результат применения инструмента регрессия «Вывод остатка»

Составим новую таблицу как показано на рисунке 9. В графе С рассчитаем относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Рисунок 9 Расчёт средней ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 — 10%.

6. Из таблицы с регрессионной статистикой (Рисунок 4) выпишем фактическое значение F-критерия Фишера:

Поскольку при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

8. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н 0 о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

.

для числа степеней свободы

На рисунке 7 имеются фактические значения t-статистики:

t-критерий для коэффициента корреляции можно рассчитать двумя способами:

где — случайная ошибка коэффициента корреляции.

Данные для расчёта возьмём из таблицы на Рисунке 7.

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

Поэтому гипотеза Н 0 отклоняется, то есть параметры регрессии и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Доверительный интервал для параметра a определяется как

Для параметра a 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как

Для коэффициента регрессии b 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Ошибку прогноза рассчитаем по формуле:

где

Дисперсию посчитаем также с помощью ППП Excel. Для этого:

1) Активизируйте Мастер функций : в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию .

3) Заполните диапазон, содержащий числовые данные факторного признака. Нажмите ОК .

Рисунок 10 Расчёт дисперсии

Получили значение дисперсии

Для подсчёта остаточной дисперсии на одну степень свободы воспользуемся результатами дисперсионного анализа как показано на Рисунке 7.

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при с вероятностью 0,95 определяются выражением:

Интервал достаточно широк, прежде всего, за счёт малого объёма наблюдений. В целом выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надёжным.

Условие задачи взято из: Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 192 с.: ил.

Для общей оценки качества построенной эконометрической определяются такие характеристики как коэффициент детерминации, индекс корреляции, средняя относительная ошибка аппроксимации, а также проверяется значимость уравнения регрессии с помощью F -критерия Фишера. Перечисленные характеристики являются достаточно универсальными и могут применяться как для линейных, так и для нелинейных моделей, а также моделей с двумя и более факторными переменными. Определяющее значение при вычислении всех перечисленных характеристик качества играет ряд остатков ε i , который вычисляется путем вычитания из фактических (полученных по наблюдениям) значений исследуемого признака y i значений, рассчитанных по уравнению модели y рi .

показывает, какая доля изменения исследуемого признака учтена в модели. Другими словами коэффициент детерминации показывает, какая часть изменения исследуемой переменной может быть вычислена, исходя из изменений включённых в модель факторных переменных с помощью выбранного типа функции, связывающей факторные переменные и исследуемый признак в уравнении модели.

Коэффициент детерминации R 2 может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе коэффициент детерминации R 2 к единице, тем лучше качество модели.

Индекс корреляции можно легко вычислить, зная коэффициент детерминации:

Индекс корреляции R характеризует тесноту выбранного при построении модели типа связи между учтёнными в модели факторами и исследуемой переменной. В случае линейной парной регрессии его значение по абсолютной величине совпадает с коэффициентом парной корреляции r (x, y) , который мы рассмотрели ранее, и характеризует тесноту линейной связи между x и y . Значения индекса корреляции, очевидно, также лежат в интервале от 0 до 1. Чем ближе величина R к единице, тем теснее выбранный вид функции связывает между собой факторные переменные и исследуемый признак, тем лучше качество модели.

(2.11)

выражается в процентах и характеризует точность модели. Приемлимая точность модели при решении практических задач может определяться, исходя из соображений экономической целесообразности с учётом конкретной ситуации. Широко применяется критерий, в соответствии с которым точность считается удовлетворительной, если средняя относительная погрешность меньше 15%. Если E отн.ср. меньше 5%, то говорят, что модель имеет высокую точность. Не рекомендуется применять для анализа и прогноза модели с неудовлетворительной точностью, то есть, когда E отн.ср. больше 15%.

F-критерий Фишера используется для оценки значимости уравнения регрессии. Расчётное значение F-критерия определяется из соотношения:

. (2.12)

Критическое значение F -критерия определяется по таблицам при заданном уровне значимости α и степенях свободы (можно использовать функцию FРАСПОБР в Excel). Здесь, по-прежнему, m – число факторов, учтённых в модели, n – количество наблюдений. Если расчётное значение больше критического, то уравнение модели признаётся значимым. Чем больше расчётное значение F -критерия, тем лучше качество модели.

Определим характеристики качества построенной нами линейной модели для Примера 1 . Воспользуемся данными Таблицы 2. Коэффициент детерминации :

Следовательно, в рамках линейной модели изменение объёма продаж на 90,1% объясняется изменением температуры воздуха.

.

Значение индекса корреляции в случае парной линейной модели как мы видим, действительно по модулю равно коэффициенту корреляции между соответствующими переменными (объём продаж и температура). Поскольку полученное значение достаточно близко к единице, то можно сделать вывод о наличии тесной линейной связи между исследуемой переменной (объём продаж) и факторной переменноё (температура).

Критическое значение F кр при α = 0,1; ν 1 =1; ν 2 =7-1-1=5 равно 4,06. Расчётное значение F -критерия больше табличного, следовательно, уравнение модели является значимым.

Средняя относительная ошибка аппроксимации

Построенная линейная модель парной регрессии имеет неудовлетворительную точность (>15%), и её не рекомендуется использовать для анализа и прогнозирования.

В итоге, несмотря на то, что большинство статистических характеристик удовлетворяют предъявляемым к ним критериям, линейная модель парной регрессии непригодна для прогнозирования объёма продаж в зависимости от температуры воздуха. Нелинейный характер зависимости между указанными переменными по данным наблюдений достаточно хорошо виден на Рис.1. Проведённый анализ это подтвердил.

Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.

Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.

Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

  • Линейной;
  • Экспоненциальной;
  • Логарифмической;
  • Полиномиальной;
  • Степенной.

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Способ 1: линейное сглаживание

Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.

Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418 , что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

где e – это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

В конкретно нашем случае она выглядит так:

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844 ), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418 ). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.

Контрольная работа: Парная регрессия

Смысл регрессионного анализа – построение функциональных зависимостей между двумя группами переменных величин Х1 , Х2 , … Хр и Y. При этом речь идет о влиянии переменных Х (это будут аргументы функций) на значения переменной Y (значение функции). Переменные Х мы будем называть факторами, а Y – откликом.

Наиболее простой случай – установление зависимости одного отклика y от одного фактора х. Такой случай называется парной (простой) регрессией.

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у иx :

,

где у – зависимая переменная (результативный признак);

х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия:.

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• полиномы разных степеней

•равносторонняя гипербола

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная ;

• показательная

• экспоненциальная

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна, т.е.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно а и b :

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии

и индекс корреляции — для нелинейной регрессии ():

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Допустимый предел значений – не более 8 – 10%.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения:

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

где – общая сумма квадратов отклонений;

– сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

–остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R 2 :

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F -тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F -критерия Фишера. F факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

п – число единиц совокупности;

т – число параметров при переменных х.

Fтабл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл Fфакт , то гипотеза Н0 не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t -критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики – tтабл и tфакт – принимаем или отвергаем гипотезу Hо .

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством

Если tтабл tфакт , то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования a , b или .

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ∆ для каждого показателя:

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза :

где

и строится доверительный интервал прогноза:

где

По 22 регионам страны изучается зависимость розничной продажи телевизоров, y от среднедушевых денежных доходов в месяц, x (табл. 1):

Название: Парная регрессия
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 13:41:57 15 апреля 2011 Похожие работы
Просмотров: 3780 Комментариев: 22 Оценило: 4 человек Средний балл: 4.5 Оценка: неизвестно Скачать
№ региона X Y
1,000 2,800 28,000
2,000 2,400 21,300
3,000 2,100 21,000
4,000 2,600 23,300
5,000 1,700 15,800
6,000 2,500 21,900
7,000 2,400 20,000
8,000 2,600 22,000
9,000 2,800 23,900
10,000 2,600 26,000
11,000 2,600 24,600
12,000 2,500 21,000
13,000 2,900 27,000
14,000 2,600 21,000
15,000 2,200 24,000
16,000 2,600 34,000
17,000 3,300 31,900
19,000 3,900 33,000
20,000 4,600 35,400
21,000 3,700 34,000
22,000 3,400 31,000

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Качество уравнений оцените с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. С помощью F-критерия Фишера определите статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. Выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата по линейному уравнению регрессии, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

1. Поле корреляции для:

· Линейной регрессии y=a+b*x:

Гипотеза о форме связи: чем больше размер среднедушевого денежного дохода в месяц (факторный признак), тем больше при прочих равных условиях розничная продажа телевизоров (результативный признак). В данной модели параметр b называется коэффициентом регрессии и показывает, насколько в среднем отклоняется величина результативного признака у при отклонении величины факторного признаках на одну единицу.

· Степенной регрессии :

Гипотеза о форме связи : степенная функция имеет вид Y=ax b .

Параметр b степенного уравнения называется показателем эластичности и указывает, на сколько процентов изменится у при возрастании х на 1%. При х = 1 a = Y.

· Экспоненциальная регрессия :

· Равносторонняя гипербола :

Гипотеза о форме связи: В ряде случаев обратная связь между факторным и результативным признаками может быть выражена уравнением гиперболы: Y=a+b/x.

· Обратная гипербола :

· Полулогарифмическая регрессия :

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий.

· Рассчитаем параметры уравнений линейной парной регрессии. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

По исходным данным рассчитываем ∑y, ∑x, ∑yx, ∑x 2 , ∑y 2 (табл. 2):

№ региона X Y XY X^2 Y^2 Y^cp Y-Y^cp Ai
1 2,800 28,000 78,400 7,840 784,000 25,719 2,281 0,081
2 2,400 21,300 51,120 5,760 453,690 22,870 -1,570 0,074
3 2,100 21,000 44,100 4,410 441,000 20,734 0,266 0,013
4 2,600 23,300 60,580 6,760 542,890 24,295 -0,995 0,043
5 1,700 15,800 26,860 2,890 249,640 17,885 -2,085 0,132
6 2,500 21,900 54,750 6,250 479,610 23,582 -1,682 0,077
7 2,400 20,000 48,000 5,760 400,000 22,870 -2,870 0,144
8 2,600 22,000 57,200 6,760 484,000 24,295 -2,295 0,104
9 2,800 23,900 66,920 7,840 571,210 25,719 -1,819 0,076
10 2,600 26,000 67,600 6,760 676,000 24,295 1,705 0,066
11 2,600 24,600 63,960 6,760 605,160 24,295 0,305 0,012
12 2,500 21,000 52,500 6,250 441,000 23,582 -2,582 0,123
13 2,900 27,000 78,300 8,410 729,000 26,431 0,569 0,021
14 2,600 21,000 54,600 6,760 441,000 24,295 -3,295 0,157
15 2,200 24,000 52,800 4,840 576,000 21,446 2,554 0,106
16 2,600 34,000 88,400 6,760 1156,000 24,295 9,705 0,285
17 3,300 31,900 105,270 10,890 1017,610 29,280 2,620 0,082
19 3,900 33,000 128,700 15,210 1089,000 33,553 -0,553 0,017
20 4,600 35,400 162,840 21,160 1253,160 38,539 -3,139 0,089
21 3,700 34,000 125,800 13,690 1156,000 32,129 1,871 0,055
22 3,400 31,000 105,400 11,560 961,000 29,992 1,008 0,033
Итого 58,800 540,100 1574,100 173,320 14506,970 540,100 0,000
сред значение 2,800 25,719 74,957 8,253 690,808 0,085
станд. откл 0,643 5,417

Система нормальных уравнений составит:

Ур-ие регрессии: = 5,777+7,122∙x. Данное уравнение показывает, что с увеличением среднедушевого денежного дохода в месяц на 1 тыс. руб. доля розничных продаж телевизоров повышается в среднем на 7,12%.

· Рассчитаем параметры уравнений степенной парной регрессии. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные табл. 3:

№ рег X Y XY X^2 Y^2 Yp^cp y^cp
1 1,030 3,332 3,431 1,060 11,104 3,245 25,67072
2 0,875 3,059 2,678 0,766 9,356 3,116 22,56102
3 0,742 3,045 2,259 0,550 9,269 3,004 20,17348
4 0,956 3,148 3,008 0,913 9,913 3,183 24,12559
5 0,531 2,760 1,465 0,282 7,618 2,827 16,90081
6 0,916 3,086 2,828 0,840 9,526 3,150 23,34585
7 0,875 2,996 2,623 0,766 8,974 3,116 22,56102
8 0,956 3,091 2,954 0,913 9,555 3,183 24,12559
9 1,030 3,174 3,268 1,060 10,074 3,245 25,67072
10 0,956 3,258 3,113 0,913 10,615 3,183 24,12559
11 0,956 3,203 3,060 0,913 10,258 3,183 24,12559
12 0,916 3,045 2,790 0,840 9,269 3,150 23,34585
13 1,065 3,296 3,509 1,134 10,863 3,275 26,4365
14 0,956 3,045 2,909 0,913 9,269 3,183 24,12559
15 0,788 3,178 2,506 0,622 10,100 3,043 20,97512
16 0,956 3,526 3,369 0,913 12,435 3,183 24,12559
17 1,194 3,463 4,134 1,425 11,990 3,383 29,4585
19 1,361 3,497 4,759 1,852 12,226 3,523 33,88317
20 1,526 3,567 5,443 2,329 12,721 3,661 38,90802
21 1,308 3,526 4,614 1,712 12,435 3,479 32,42145
22 1,224 3,434 4,202 1,498 11,792 3,408 30,20445
итого 21,115 67,727 68,921 22,214 219,361 67,727 537,270
сред зн 1,005 3,225 3,282 1,058 10,446 3,225
стан откл 0,216 0,211

Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата y .

· Рассчитаем параметры уравнений экспоненциальной парной регрессии. Построению экспоненциальной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные табл. 4:

№ региона X Y XY X^2 Y^2 Yp y^cp
1 2,800 3,332 9,330 7,840 11,104 3,225 25,156
2 2,400 3,059 7,341 5,760 9,356 3,116 22,552
3 2,100 3,045 6,393 4,410 9,269 3,034 20,777
4 2,600 3,148 8,186 6,760 9,913 3,170 23,818
5 1,700 2,760 4,692 2,890 7,618 2,925 18,625
6 2,500 3,086 7,716 6,250 9,526 3,143 23,176
7 2,400 2,996 7,190 5,760 8,974 3,116 22,552
8 2,600 3,091 8,037 6,760 9,555 3,170 23,818
9 2,800 3,174 8,887 7,840 10,074 3,225 25,156
10 2,600 3,258 8,471 6,760 10,615 3,170 23,818
11 2,600 3,203 8,327 6,760 10,258 3,170 23,818
12 2,500 3,045 7,611 6,250 9,269 3,143 23,176
13 2,900 3,296 9,558 8,410 10,863 3,252 25,853
14 2,600 3,045 7,916 6,760 9,269 3,170 23,818
15 2,200 3,178 6,992 4,840 10,100 3,061 21,352
16 2,600 3,526 9,169 6,760 12,435 3,170 23,818
17 3,300 3,463 11,427 10,890 11,990 3,362 28,839
19 3,900 3,497 13,636 15,210 12,226 3,526 33,978
20 4,600 3,567 16,407 21,160 12,721 3,717 41,140
21 3,700 3,526 13,048 13,690 12,435 3,471 32,170
22 3,400 3,434 11,676 11,560 11,792 3,389 29,638
Итого 58,800 67,727 192,008 173,320 219,361 67,727 537,053
сред зн 2,800 3,225 9,143 8,253 10,446
стан откл 0,643 0,211

Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:

Для расчета теоретических значений y подставим в уравнение значения x .

· Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии. Построению полулогарифмической модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем замены:

где

Для расчетов используем данные табл. 5:

№ региона X Y XY X^2 Y^2 y^cp
1 1,030 28,000 28,829 1,060 784,000 26,238
2 0,875 21,300 18,647 0,766 453,690 22,928
3 0,742 21,000 15,581 0,550 441,000 20,062
4 0,956 23,300 22,263 0,913 542,890 24,647
5 0,531 15,800 8,384 0,282 249,640 15,525
6 0,916 21,900 20,067 0,840 479,610 23,805
7 0,875 20,000 17,509 0,766 400,000 22,928
8 0,956 22,000 21,021 0,913 484,000 24,647
9 1,030 23,900 24,608 1,060 571,210 26,238
10 0,956 26,000 24,843 0,913 676,000 24,647
11 0,956 24,600 23,506 0,913 605,160 24,647
12 0,916 21,000 19,242 0,840 441,000 23,805
13 1,065 27,000 28,747 1,134 729,000 26,991
14 0,956 21,000 20,066 0,913 441,000 24,647
15 0,788 24,000 18,923 0,622 576,000 21,060
16 0,956 34,000 32,487 0,913 1156,000 24,647
17 1,194 31,900 38,086 1,425 1017,610 29,765
19 1,361 33,000 44,912 1,852 1089,000 33,351
20 1,526 35,400 54,022 2,329 1253,160 36,895
21 1,308 34,000 44,483 1,712 1156,000 32,221
22 1,224 31,000 37,937 1,498 961,000 30,406
Итого 21,115 540,100 564,166 22,214 14506,970 540,100
сред зн 1,005 25,719 26,865 1,058 690,808
стан откл 0,216 5,417

Рассчитаем a и b:

Получим линейное уравнение: .

· Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии. Для оценки параметров приведем обратную модель к линейному виду, заменив , тогда

Для расчетов используем данные табл. 6:

№ региона X Y XY X^2 Y^2 Y^cp
1 2,800 0,036 0,100 7,840 0,001 24,605
2 2,400 0,047 0,113 5,760 0,002 22,230
3 2,100 0,048 0,100 4,410 0,002 20,729
4 2,600 0,043 0,112 6,760 0,002 23,357
5 1,700 0,063 0,108 2,890 0,004 19,017
6 2,500 0,046 0,114 6,250 0,002 22,780
7 2,400 0,050 0,120 5,760 0,003 22,230
8 2,600 0,045 0,118 6,760 0,002 23,357
9 2,800 0,042 0,117 7,840 0,002 24,605
10 2,600 0,038 0,100 6,760 0,001 23,357
11 2,600 0,041 0,106 6,760 0,002 23,357
12 2,500 0,048 0,119 6,250 0,002 22,780
13 2,900 0,037 0,107 8,410 0,001 25,280
14 2,600 0,048 0,124 6,760 0,002 23,357
15 2,200 0,042 0,092 4,840 0,002 21,206
16 2,600 0,029 0,076 6,760 0,001 23,357
17 3,300 0,031 0,103 10,890 0,001 28,398
19 3,900 0,030 0,118 15,210 0,001 34,844
20 4,600 0,028 0,130 21,160 0,001 47,393
21 3,700 0,029 0,109 13,690 0,001 32,393
22 3,400 0,032 0,110 11,560 0,001 29,301
Итого 58,800 0,853 2,296 173,320 0,036 537,933
сред знач 2,800 0,041 0,109 8,253 0,002
стан отклон 0,643 0,009

Рассчитаем a и b:

Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:

Для расчета теоретических значений y подставим в уравнение значения x .

· Рассчитаем параметры уравнений равносторонней гиперболы парной регрессии. Для оценки параметров приведем модель равносторонней гиперболы к линейному виду, заменив , тогда

Для расчетов используем данные табл. 7:

№ региона X=1/z Y XY X^2 Y^2 Y^cp
1 0,357 28,000 10,000 0,128 784,000 26,715
2 0,417 21,300 8,875 0,174 453,690 23,259
3 0,476 21,000 10,000 0,227 441,000 19,804
4 0,385 23,300 8,962 0,148 542,890 25,120
5 0,588 15,800 9,294 0,346 249,640 13,298
6 0,400 21,900 8,760 0,160 479,610 24,227
7 0,417 20,000 8,333 0,174 400,000 23,259
8 0,385 22,000 8,462 0,148 484,000 25,120
9 0,357 23,900 8,536 0,128 571,210 26,715
10 0,385 26,000 10,000 0,148 676,000 25,120
11 0,385 24,600 9,462 0,148 605,160 25,120
12 0,400 21,000 8,400 0,160 441,000 24,227
13 0,345 27,000 9,310 0,119 729,000 27,430
14 0,385 21,000 8,077 0,148 441,000 25,120
15 0,455 24,000 10,909 0,207 576,000 21,060
16 0,385 34,000 13,077 0,148 1156,000 25,120
17 0,303 31,900 9,667 0,092 1017,610 29,857
19 0,256 33,000 8,462 0,066 1089,000 32,564
20 0,217 35,400 7,696 0,047 1253,160 34,829
21 0,270 34,000 9,189 0,073 1156,000 31,759
22 0,294 31,000 9,118 0,087 961,000 30,374
Итого 7,860 540,100 194,587 3,073 14506,970 540,100
сред знач 0,374 25,719 9,266 0,146 1318,815
стан отклон 0,079 25,639

Рассчитаем a и b:

Получим линейное уравнение: . Получим уравнение регрессии: .

3. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации :

· Линейная модель. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции. Был получен следующий коэффициент корреляции rxy =b=7,122*, что говорит о прямой сильной связи фактора и результата. Коэффициент детерминации r²xy =(0,845)²=0,715. Это означает, что 71,5% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Степенная модель. Тесноту нелинейной связи оценит индекс корреляции. Был получен следующий индекс корреляции =, что говорит о очень сильной тесной связи, но немного больше чем в линейной модели. Коэффициент детерминации r²xy =0,7175. Это означает, что 71,75% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Экспоненциальная модель. Был получен следующий индекс корреляции ρxy =0,8124, что говорит о том, что связь прямая и очень сильная, но немного слабее, чем в линейной и степенной моделях. Коэффициент детерминации r²xy =0,66. Это означает, что 66% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Полулогарифмическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ρxy =0,8578, что говорит о том, что связь прямая и очень сильная, но немного больше чем в предыдущих моделях. Коэффициент детерминации r²xy =0,7358. Это означает, что 73,58% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Гиперболическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ρxy =0,8448 и коэффициент корреляции rxy =-0,1784 что говорит о том, что связь обратная очень сильная. Коэффициент детерминации r²xy =0,7358. Это означает, что 73,5% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Обратная модель. Был получен следующий индекс корреляции ρxy =0,8114 и коэффициент корреляции rxy =-0,8120, что говорит о том, что связь обратная очень сильная. Коэффициент детерминации r²xy =0,6584. Это означает, что 65,84% вариации результативного признака (розничнаяпродажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

Вывод: по полулогарифмическому уравнению получена наибольшая оценка тесноты связи: ρxy =0,8578 (по сравнению с линейной, степенной, экспоненциальной, гиперболической, обратной регрессиями).

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Рассчитаем коэффициент эластичности для линейной модели:

· Для уравнения прямой:y = 5,777+7,122∙x

· Для уравнениястепенноймодели :

· Для уравненияэкспоненциальноймодели :

Для уравненияполулогарифмическоймодели :

· Для уравнения обратной гиперболической модели :

· Для уравнения равносторонней гиперболической модели :

Сравнивая значения , характеризуем оценку силы связи фактора с результатом:

·

·

·

·

·

·

Известно, что коэффициент эластичности показывает связь между фактором и результатом, т.е. на сколько% изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения. В данном примере получилось, что самая большая сила связи между фактором и результатом в полулогарифмической модели, слабая сила связи в обратной гиперболической модели.

5. Оценка качества уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на:

· Линейная регрессия. =*100%= 8,5%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%.

· Степенная регрессия. =*100%= 8,2%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%.

· Экспоненциальная регрессия. =*100%= 9%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%.

· Полулогарифмическая регрессия. =*100%= 7,9 что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%.

· Гиперболическая регрессия. =*100%= 9,3 что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%.

· Обратная регрессия. =*100%= 9,9 3 что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%.

6. Рассчитаем F-критерий:

· Линейная регрессия. = *19= 47,579

источники:

http://welom.ru/srednyaya-oshibka-approksimacii-v-excel-ocenka-kachestva-uravneniya/

http://www.bestreferat.ru/referat-268496.html

Источник

Средняя ошибка аппроксимации

Фактические
значения результативного признака
отличаются от теоретических, рассчитанных
по уравнению регрессии. Чем меньше эти
отличия, тем ближе теоретические значения
к эмпирическим данным, тем лучше качество
модели. Величина отклонений фактических
и расчетных значений результативного
признака каждому наблюдению представляет
собой ошибку аппроксимации. В отдельных
случаях ошибка аппроксимации может
оказаться равной нулю. Отклонения (y
–

)
несравнимы между собой, исключая
величину, равную нулю. Так, если для
одного наблюдения y
–

= 5, а для другого – 10, то это не означает,
что во втором случае модель дает вдвое
худший результат. Для сравнения
используются величины отклонений,
выраженные в процентах к фактическим
значениям. Например, если для первого
наблюдения y
= 20, а для второго y
= 50, ошибка аппроксимации составит 25 %
для первого наблюдения и 20 % – для
второго.

Поскольку
(y
–

)
может быть величиной как положительной,
так и отрицательной, ошибки аппроксимации
для каждого наблюдения принято определять
в процентах по модулю.

Отклонения
(y
–

)
можно рассматривать как абсолютную
ошибку аппроксимации, а

– как
относительную ошибку аппроксимации.
Для того, чтобы иметь общее суждение о
качестве модели из относительных
отклонений по каждому наблюдению,
находят среднюю ошибку аппроксимации
как среднюю арифметическую простую


. (2.38)

По
нашим данным представим расчет средней
ошибки аппроксимации для уравнения Y
= 6,136 
Х0,474
в следующей таблице.

Таблица.
Расчет средней ошибки аппроксимации

y

yx

y
–

6

6,135947

-0,135946847

0,022658

9

8,524199

0,475801308

0,052867

10

10,33165

-0,331653106

0,033165

12

11,84201

0,157986835

0,013166

13

13,164

-0,163999272

0,012615

Итого

0,134471

A
= (0,1345 / 5) 
100 = 2,69 %, что говорит о хорошем качестве
уравнения регрессии, ибо ошибка
аппроксимации в пределах 5-7 % свидетельствует
о хорошем подборе модели к исходным
данным.

Возможно
и другое определение средней ошибки
аппроксимации:


(2.39)

Для
нашего примера эта величина составит:


.

Для
расчета средней ошибки аппроксимации
в стандартных программах чаще используется
формула (2.39).

Аналогично
определяется средняя ошибка аппроксимации
и для уравнения параболы.

№11

Факторы,
включаемые во множественную регрессию,
должны отвечать следующим требованиям:

1)
быть количественно измеримы. Если
необходимо включить в модель качественный
фактор, не имеющий количественного
измерения, то нужно придать ему
количественную определенность (например,
в модели урожайности качество почвы
задается в виде баллов; в модели стоимости
объектов недвижимости учитывается
место нахождения недвижимости: районы
могут быть проранжированы);

2)
не должны быть коррелированны между
собой и тем более находиться в точной
функциональной связи.

Включение
в модель факторов с высокой интеркорреляцией,
когда ryx1
< rx1x2,
для зависимости y
= a
+ b1

x1
+ b2

x2
+ ,
может привести к нежелательным
последствиям – система нормальных
уравнений может оказаться плохо
обусловленной и повлечь за собой
неустойчивость и ненадежность оценок
коэффициентов регрессии.

Если
между факторами существует высокая
корреляция, то нельзя определить их
изолированное влияние на результативный
показатель, и параметры уравнения
регрессии оказываются неинтерпретируемыми.
Так, в уравнении y
= a
+ b1

x1
+ b2

x2
+ ,
предполагается, что факторы x1
и x2
независимы друг от друга, т.е. rx1x2
= 0. Тогда можно говорить, что параметр
b1
измеряет силу влияния фактора x1
на результат y
при неизменном значении фактора x2.
Если же rx1x2
= 1, то с изменением фактора x1
фактор x2
не может оставаться неизменным. Отсюда
b1
и b2
нельзя интерпретировать как показатели
раздельного влияния x1
и x2
на y.

Пример
3.2. При
изучении зависимости y
= f(x,
z,
v)
матрица парных коэффициентов корреляции
оказалась следующей:

y

x

z

v

y

1

x

0,8

1

z

0,7

0,8

1

v

0,6

0,5

0,2

1

Очевидно,
что факторы x
и z
дублируют друг друга. В анализ целесообразно
включить фактор z,
а не x,
так как корреляция z,
с результатом y
слабее, чем корреляция фактора x
с y
(ryz
< ryx),
но зато слабее межфакторная корреляция
rzv
< rxv.
Поэтому в данном случае в уравнение
множественной регрессии включаются
факторы z,
и v.

По
величине парных коэффициентов корреляции
обнаруживается лишь явная коллинеарность
факторов. Наибольшие трудности в
использовании аппарата множественной
регрессии возникают при наличии
мультиколлинеарности
факторов, когда более чем два фактора
связаны между собой линейной зависимостью,
т.е. имеет место совокупное воздействие
факторов друг на друга. Наличие
мультиколлинеарности факторов может
означать, что некоторые факторы всегда
будут действовать в унисон. В результате
вариация в исходных данных перестает
быть полностью независимой и нельзя
оценить воздействие каждого фактора в
отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность
факторов, тем менее надежна оценка
распределения суммы объясненной вариации
по отдельным факторам с помощью метода
наименьших квадратов.

Если
рассматривается регрессия y
= a
+ b

x
+ c

z
+ d

v
+ ,
то для расчета параметров с применением
МНК предполагается равенство

S2y
= S2факт
+ S2,

где
S2y
– общая сумма квадратов отклонений

;
S2факт
– факторная (объясненная) сумма квадратов
отклонений

;
S2
– остаточная сумма квадратов отклонений

.

В
свою очередь, при независимости факторов
друг от друга выполнимо равенство

S2факт
= S2x
+ S2z
+ S2v,

где
S2x,
S2z,
S2v
– суммы квадратов отклонений, обусловленные
влиянием соответствующих факторов.

Если
же факторы интеркоррелированы, то данное
равенство нарушается.

Включение
в модель мультиколлинеарных факторов
нежелательно по следующим причинам:

– затрудняется
интерпретация параметров множественной
регрессии как характеристик действия
факторов в «чистом» виде, ибо факторы
коррелированны; параметры линейной
регрессии теряют экономический смысл;

– оценки
параметров ненадежны, обнаруживают
большие стандартные ошибки и меняются
с изменением объема наблюдений (не
только по величина, но и по знаку), что
делает модель непригодной для анализа
и прогнозирования.

Для
оценки факторов может использоваться
определитель матрицы
парных коэффициентов корреляции между
факторами.

Если
бы факторы не коррелировали между собой,
то матрицы парных коэффициентов
корреляции между ними была бы единичной,
поскольку все недиагональные элементы
rxixj
(xi

xj)
были бы равны нулю. Так, для уравнения,
включающего три объясняющих переменных,

y
= a
+ b1

x1
+ b2

x2
+ b3

x3
+ ,

матрица
коэффициентов корреляции между факторами
имела бы определитель, равный единице


,

поскольку
rx1x1
= rx2x2
= rx3x3
= 1 и rx1x2
= rx1x3
= rx2x3
= 0.

Если
же между факторами существует полная
линейная зависимость и все коэффициенты
корреляции равны единице, то определитель
такой матрицы равен нулю


.

Чем
ближе к нулю определитель матрицы
межфакторной корреляции, тем сильнее
мультиколлинеарность факторов и
ненадежнее результаты множественной
регрессии. И, наоборот, чем ближе к
единице определитель матрицы межфакторной
корреляции, тем меньше мультиколлинеарность
факторов.

Оценка
значимости мультиколлинеарности
факторов может быть проведена методом
испытания гипотезы о независимости
переменных H0:
DetR
= 1. Доказано, что величина

имеет приближенное распределение 2
с df
= m

(m
– 1)/2 степенями
свободы. Если фактическое значение 2
превосходит табличное (критическое):
2факт
> 2табл(df,)
то гипотеза H0
отклоняется. Это означает, что DetR

1, недиагональные ненулевые коэффициенты
корреляции указывают на коллинеарность
факторов. Мультиколлинеарность считается
доказанной.

Через
коэффициенты множественной детерминации
можно найти переменные, ответственные
за мультиколлинеарность факторов. Для
этого в качестве зависимой переменной
рассматривается каждый из факторов.
Чем ближе значение коэффициента
множественной детерминации к единице,
тем сильна проявляется мультиколлинеарность
факторов. Сравнивая между собой
коэффициенты множественной детерминации
факторов
R2x1x2x3…xp;
R2x2x1x3…xp
и т.п., можно выделить переменные,
ответственные за мультиколлинеарность,
следовательно, можно решать проблему
отбора факторов, оставляя в уравнении
факторы с минимальной величиной
коэффициента множественной детерминации.

Имеется
ряд подходов преодоления сильной
межфакторной корреляции. Самый простой
из них состоит в исключении из модели
одного или нескольких факторов. Другой
путь связан с преобразованием факторов,
при котором уменьшается корреляция
между ними. Например, при построении
модели на основе рядов динамики переходят
от первоначальных данных к первым
разностям уровней y
= yt
– yt–1,
чтобы исключить влияние тенденции, или
используются такие методы, которые
сводят к нулю межфакторную корреляцию,
т.е. переходят от исходных переменных
к их линейным комбинациям, не коррелированным
друг с другом (метод главных компонент).

Одним
из путей учета внутренней корреляции
факторов является переход к совмещенным
уравнениям регрессии, т.е. к уравнениям,
которые отражают не только влияние
факторов, но и их взаимодействие. Так,
если y
= f(x1,
x2,
x3).
то можно построить следующее совмещенное
уравнение:

y
= a
+ b1

x1
+ b2

x2
+ b3

x3
+ b12

x1

x2
+ b13

x1

x3
+ b23

x2

x3
+ .

Рассматриваемое
уравнение включает эффект взаимодействия
первого порядка. Можно включать в модель
и взаимодействие более высоких порядков,
если будет доказана его статистическая
значимость, например включение
взаимодействия второго порядка b123

x1
x2

x3
и т.д. Как правила, взаимодействие
третьего и более высоких порядков
оказывается статистически незначимым;
совмещенные уравнения регрессии
ограничиваются взаимодействием первого
и второго порядков. Но и оно может
оказаться несущественным. Тогда
нецелесообразно включать в модель
взаимодействие всех факторов и всех
порядков. Так, если анализ совмещенного
уравнения показал значимость только
взаимодействия факторов x1и
x3,
то уравнение будет иметь вид:

y
= a
+ b1

x1
+ b2

x2
+ b3

x3
+ b13

x1

x3
+ .

Взаимодействие
факторов x1и
x3
означает, что на разных уровнях фактора
x3
влияние фактора x1на
y
будет неодинаково, т.е. оно зависит от
значений фактора x3.
На рис. 3.1 взаимодействие факторов
представляется непараллельными линиями
связи x1с
результатом y.
И, наоборот, параллельные линии влияния
фактора x1на
y
при разных уровнях фактора x3
означают отсутствие взаимодействия
факторов x1и
x3.


Рис.
3.1. Графическая иллюстрация взаимодействия
факторов

Совмещенные
уравнения регрессии строятся, например,
при исследовании эффекта влияния на
урожайность разных видов удобрений
(комбинаций азота и фосфора).

Решению
проблемы устранения мультиколлинеарности
факторов может помочь и переход к
уравнениям приведенной формы. С этой
целью в уравнение регрессии подставляют
рассматриваемый фактор, выраженный из
другого уравнения.

Пусть,
например, рассматривается двухфакторная
регрессия вида yx
= a
+ b1

x1
+ b2

x2,
для которой факторы x1и
x2
обнаруживают высокую корреляцию. Если
исключить один из факторов, то мы придем
к уравнению парной регрессии. Вместе с
тем можно оставить факторы в модели, но
исследовать данное двухфакторное
уравнение регрессии совместно с другим
уравнением, в котором фактор (например,
x2)
рассматривается как зависимая переменная.
Предположим, что x2
= A
+ B
y
+ C

x3.
Подставив это уравнение в искомое вместо
x2,
получим:

yx
= a
+ b1

x1
+ b2

(A
+ B

y
+ C

x3)

или

yx

(1 – b2

B)
= (a
+ b2

A)
+ b1

x1
+ C

b2

x3.

Если
(1 – b2

B)

0, то, разделив обе части равенства на
(1 – b2

B),
получим уравнение вида


,

которое
принято называть приведенной формой
уравнения для определения результативного
признака y.
Это уравнение может быть представлено
в виде

yx
= a’
+ b’1

x1
+ b’3

x3.

К
нему для оценки параметров может быть
применен метод наименьших квадратов.

Отбор
факторов, включаемых в регрессию,
является одним из важнейших этапов
практического использования методов
регрессии. Подходы к отбору факторов
на основе показателей корреляции могут
быть разные. Они приводят построение
уравнения множественной регрессии
соответственно к разным методикам. В
зависимости от того, какая методика
построения уравнения регрессии принята,
меняется алгоритм её решения на
компьютере.

Наиболее
широкое применение получили следующие
методы построения уравнения множественной
регрессии:

– метод
исключения;

– метод
включения;

– шаговый
регрессионный анализ.

Каждый
из этих методов по-своему решает проблему
отбора факторов, давая в целом близкие
результаты – отсев факторов из полного
его набора (метод исключения), дополнительное
введение фактора (метод включения),
исключение ранее введенного фактора
(шаговый регрессионный анализ).

На
первый взгляд может показаться, что
матрица парных коэффициентов корреляции
играет главную роль в отборе факторов.
Вместе с тем вследствие взаимодействия
факторов парные коэффициенты корреляции
не могут в полной мере решать вопрос о
целесообразности включения в модель
того или иного фактора. Эту роль выполняют
показатели частной корреляции, оценивающие
в чистом виде тесноту связи фактора с
результатом. Матрица частных коэффициентов
корреляции наиболее широко используется
в процедуре отсева факторов. Отсев
факторов можно проводить и по t-критерию
Стьюдента для коэффициентов регрессии:
из уравнения исключаются факторы с
величиной t-критерия
меньше табличного. Так, например,
уравнение регрессии составило:

y
= 25 + 5x1
+ 3x2
+ 4x3
+ .

(4,0) (1,3) (6,0)

В
скобках приведены фактические значения
t-критерия
для соответствующих коэффициентов
регрессии, как правило, при t
< 2 коэффициент регрессии незначим и,
следовательно, рассматриваемый фактор
не должен присутствовать в регрессионной
модели. В данном случае – это фактор
x2.

При
отборе факторов рекомендуется пользоваться
следующим правилом: число включаемых
факторов обычно в 6-7 раз меньше объема
совокупности, по которой строится
регрессия. Если это соотношение нарушено,
то число степеней свободы остаточной
вариации очень мало. Это приводит к
тому, что параметры уравнения регрессии
оказываются статистически незначимыми,
а F-критерий
меньше табличного значения.

Источник

Like this post? Please share to your friends:
  • Определить средний балл мальчиков excel
  • Определить сезонность товара в excel
  • Определить свой уровень в excel
  • Определить распределение по выборке excel
  • Определить процентную ставку по вкладу в excel