Оценка вероятности в excel

Очень часто при работе в Excel необходимо использовать вычисления вероятности появления некоторого события. Для этого используется статистическая функция ВЕРОЯТНОСТЬ.

Примеры использования функции вероятность для расчетов в Excel

Стоит отметить, что используются часто в Excel и другие статистические функции, к примеру:

• ДИСП;
• ГИПЕРГЕОМ.РАСП;
• СРЗНАЧ и другие.

Функция выполняет вычисление вероятности того, что значения с интервала находятся в заданных пределах. В случае, если верхний предел не будет задан, то будет возвращена вероятность того, что значения аргумента x_интервал будет равно значению аргумента под названием нижний_предел.



Вычисление процента вероятности события в Excel

Пример 1. Дана таблица диапазона числовых значений, а также вероятностей, которые им соответствуют:

Необходимо при использовании данной статистической функции вычислить вероятность события, что значение с указанного интервала входит в интервал [1;4].

Для этого введем функцию со следующими аргументами:

тут:

• х_интервал – это начальные данные (0, …, 4);
• интервал вероятностей является множеством вероятностей для начальных данных (0,15; 0,1; 0,15; 0,2; 0,4);
• нижний предел равен значению 1;
• верхний предел равен 4.

В результате выполненных вычислений получим:

Пример 2. В условии предыдущего примера нужно вычислить вероятность события «значение х равно 4».

Введем в ячейку С3 введем функцию с такими аргументами:

тут:

• х_интервал – начальные параметры (0, …, 4);
• интервал вероятностей – совокупность вероятностей для параметров (0,1; 0,15; 0,2; 0,15; 0,4);
• нижний предел – 4;

В данном примере верхний предел не указан, поскольку необходимо конкретное значение вероятности, а именно для значения 4.

Получим:

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ при нескольких условиях интервалов

Пример 3. В условии примера 1 нужно вычислить вероятность того, что значения интервала [0; 4] будут находится находятся внутри интервалов [0;1] и [3;4].

Введем формулу:

Описание формул аналогичные предыдущим примерам.

В результате выполненных вычислений получим:

Скачать примеры функции ВЕРОЯТНОСТЬ в Excel

Таким образом составив формулу можно с помощью данной функции вычислить процент вероятности при нескольких условиях.

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование proB
 Функция Microsoft Excel.

Описание

Возвращает вероятность того, что значение из интервала находится внутри заданных пределов. Если верхний_предел не задан, то возвращается вероятность того, что значения в аргументе x_интервал равняются значению аргумента нижний_предел.

Синтаксис

ВЕРОЯТНОСТЬ(x_интервал;интервал_вероятностей;[нижний_предел];[верхний_предел])

Аргументы функции ВЕРОЯТНОСТЬ описаны ниже.

• x_интервал    Обязательный. Диапазон числовых значений x, с которыми связаны вероятности.

• Интервал_вероятностей    Обязательный. Множество вероятностей, соответствующих значениям в аргументе «x_интервал».

• Нижний_предел    Необязательный. Нижняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

• Верхний_предел    Необязательный. Верхняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

Замечания

• Если значение в prob_range ≤ 0 или любое значение в prob_range > 1, функция PROB возвращает #NUM! (значение ошибки).

• Если сумма значений в prob_range не равна 1, функция PROB возвращает #NUM! (значение ошибки).

• Если верхний_предел опущен, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает вероятность равенства значению аргумента нижний_предел.

• Если x_интервал и интервал_вероятностей содержат различное количество точек данных, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает значение ошибки #Н/Д.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу Enter. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные
Значение x	Вероятность
0	0,2
1	0,3
2	0,1
3	0,4
Формула	Описание	Результат
=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;2)	Вероятность того, что x является числом 2.	0,1
=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;1;3)	Вероятность того, что x находится в интервале от 1 до 3.	0,8

---

Вероятность описывает вероятность того, что некоторое событие произойдет.

Мы можем рассчитать вероятности в Excel, используя функцию PROB , которая использует следующий синтаксис:

ПРОБ(x_диапазон, вероятностный_диапазон, нижний_предел, [верхний_предел])

куда:

• x_range: диапазон числовых значений x.
• prob_range: диапазон вероятностей, связанных с каждым значением x.
• нижний_предел: нижний предел значения, для которого вы хотите получить вероятность.
• upper_limit: Верхний предел значения, для которого вы хотите получить вероятность. По желанию.

В этом руководстве представлено несколько примеров использования этой функции на практике.

Пример 1: Вероятность игры в кости

На следующем изображении показана вероятность выпадения кубика с определенным значением при данном броске:

Поскольку кости с одинаковой вероятностью выпадут на каждом значении, вероятность одинакова для каждого значения.

На следующем рисунке показано, как найти вероятность того, что кубик выпадет на число от 3 до 6:

Вероятность оказывается равной 0,5 .

Обратите внимание, что аргумент верхнего предела является необязательным. Таким образом, мы могли бы использовать следующий синтаксис, чтобы найти вероятность того, что кости приземлятся только на 4:

Вероятность оказывается равной 0,166667 .

Пример 2: Вероятность продаж

На следующем изображении показана вероятность того, что компания продаст определенное количество товаров в предстоящем квартале:

На следующем рисунке показано, как найти вероятность того, что компания совершит 3 или 4 продажи:

Вероятность оказывается равной 0,7 .

Дополнительные ресурсы

Как рассчитать относительную частоту в Excel
Как рассчитать кумулятивную частоту в Excel
Как создать частотное распределение в Excel

Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта

www.excel2.ru

. Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL

.

Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.

Генеральная совокупность и случайная величина

Пусть у нас имеется

генеральная совокупность

(population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х.

Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.

Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения

генеральная совокупность

представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.

В нашем примере, ГС — это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.

Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является

случайной величиной

. По определению, любая

случайная величина

имеет

функцию распределения

, которая обычно обозначается F(x).

Функция распределения

Функцией распределения

вероятностей

случайной величины

Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X

F(x) = P(X

Поясним на примере нашего станка. Хотя предполагается, что наш станок производит только один тип деталей, но, очевидно, что вес изготовленных деталей будет слегка отличаться друг от друга. Это возможно из-за того, что при изготовлении мог быть использован разный материал, а условия обработки также могли слегка различаться и пр. Пусть самая тяжелая деталь, произведенная станком, весит 200 г, а самая легкая — 190 г. Вероятность того, что случайно выбранная деталь Х будет весить меньше 200 г равна 1. Вероятность того, что будет весить меньше 190 г равна 0. Промежуточные значения определяются формой Функции распределения. Например, если процесс настроен на изготовление деталей весом 195 г, то разумно предположить, что вероятность выбрать деталь легче 195 г равна 0,5.

Типичный график

Функции распределения

для непрерывной случайной величины приведен на картинке ниже (фиолетовая кривая, см.

файл примера

):

В справке MS EXCEL

Функцию распределения

называют

Интегральной

функцией распределения

(

Cumulative

Distribution

Function

,

CDF

).

Приведем некоторые свойства

Функции распределения:

• 
  Функция распределения
  
  F(x) изменяется в интервале [0;1], т.к. ее значения равны вероятностям соответствующих событий (по определению вероятность может быть в пределах от 0 до 1);
• 
  Функция распределения
  
  – неубывающая функция;
• Вероятность того, что случайная величина приняла значение из некоторого диапазона [x1;x2): P(x
  
  ₁
  <=X
  2

  )=F(x
  
  ₂
  
  )-F(x
  
  ₁
  
  ).

Существует 2 типа распределений:

непрерывные распределения

и

дискретные распределения

.

Дискретные распределения

Если случайная величина может принимать только определенные значения и количество таких значений конечно, то соответствующее распределение называется

дискретным

. Например, при бросании монеты, имеется только 2 элементарных исхода, и, соответственно, случайная величина может принимать только 2 значения. Например, 0 (выпала решка) и 1 (не выпала решка) (см.

схему Бернулли

). Если монета симметричная, то вероятность каждого исхода равна 1/2. При бросании кубика случайная величина принимает значения от 1 до 6. Вероятность каждого исхода равна 1/6. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна 1.

Примечание

: В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности дискретных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.

Непрерывные распределения и плотность вероятности

В случае

непрерывного распределения

случайная величина может принимать любые значения из интервала, в котором она определена. Т.к. количество таких значений бесконечно велико, то мы не можем, как в случае дискретной величины, сопоставить каждому значению случайной величины ненулевую вероятность (т.е. вероятность попадания в любую точку (заданную до опыта) для

непрерывной случайной величины

равна нулю). Т.к. в противном случае сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины будет равна бесконечности, а не 1. Выходом из этой ситуации является введение так называемой

функции плотности распределения p(x)

. Чтобы найти вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а; b), необходимо найти приращение

функции распределения

на этом интервале:

Как видно из формулы выше

плотность распределения

р(х) представляет собой производную

функции распределения

F(x), т.е. р(х) = F’(x).

Типичный график

функции плотности распределения

для непрерывной случайно величины приведен на картинке ниже (зеленая кривая):

Примечание

: В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности непрерывных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.

В литературе

Функция плотности распределения

непрерывной случайной величины может называться:

Плотность вероятности, Плотность распределения, англ. Probability Density Function (PDF)

.

Чтобы все усложнить, термин

Распределение

(в литературе на английском языке —

Probability

Distribution

Function

или просто

Distribution

)

в зависимости от контекста может относиться как

Интегральной

функции распределения,

так и кее

Плотности распределения.

Из определения

функции плотности распределения

следует, что p(х)>=0. Следовательно, плотность вероятности для непрерывной величины может быть, в отличие от

Функции распределения,

больше 1. Например, для

непрерывной равномерной величины

, распределенной на интервале [0; 0,5]

плотность вероятности

равна 1/(0,5-0)=2. А для

экспоненциального распределения

с параметром

лямбда

=5, значение

плотности вероятности

в точке х=0,05 равно 3,894. Но, при этом можно убедиться, что вероятность на любом интервале будет, как обычно, от 0 до 1.

Напомним, что

плотность распределения

является производной от

функции распределения

, т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что

плотность распределения

>1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере

экспоненциального распределения

).

Примечание

: Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей

плотность распределения

, равна 1.

Примечание

: Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL

интегральной функцией распределения

. Этот термин присутствует в параметрах функций, например в

НОРМ.РАСП

(x; среднее; стандартное_откл;

интегральная

). Если функция MS EXCEL должна вернуть

Функцию распределения,

то параметр

интегральная

, д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить

плотность вероятности

, то параметр

интегральная

, д.б. ЛОЖЬ.

Примечание

: Для

дискретного распределения

вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL

плотность вероятности

может называть даже «функция вероятностной меры» (см. функцию

БИНОМ.РАСП()

).

Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL

Понятно, что чтобы вычислить

плотность вероятности

для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение.

Найдем

плотность вероятности

для

стандартного нормального распределения

N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу

=НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ)

=0,054 или

=НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ)

.

Напомним, что

вероятность

того, что

непрерывная случайная величина

примет конкретное значение x равна 0. Для

непрерывной случайной величины

Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b).

Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL

1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по

стандартному нормальному распределению

(см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству

Функции распределения

вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.

В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу

=НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)

=1-0,5. Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).

2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по

стандартному нормальному распределению

, приняла отрицательное значение. Согласно определения

Функции распределения,

вероятность равна F(0)=0,5.

В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу

=НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)

=0,5.

3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по

стандартному нормальному распределению

, примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу

=НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) — НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)

.

Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по

стандартному нормальному закону

N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

приведены распределения, для которых в MS EXCEL имеются соответствующие функции, позволяющие вычислить вероятности.

Обратная функция распределения (Inverse Distribution Function)

Вспомним задачу из предыдущего раздела:

Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, приняла отрицательное значение.

Вероятность этого события равна 0,5.

Теперь решим обратную задачу: определим х, для которого вероятность, того что случайная величина Х примет значение
медиану

или 50-ю

процентиль

).

Для этого необходимо на графике

функции распределения

найти точку, для которой F(х)=0,5, а затем найти абсциссу этой точки. Абсцисса точки =0, т.е. вероятность, того что случайная величина Х примет значение <0, равна 0,5.

В MS EXCEL используйте формулу

=НОРМ.СТ.ОБР(0,5)

=0.

Однозначно вычислить значение

случайной величины

позволяет свойство монотонности

функции распределения.

Обратите внимание, что для вычисления обратной функции мы использовали именно

функцию распределения

, а не

плотность распределения

. Поэтому, в аргументах функции

НОРМ.СТ.ОБР()

отсутствует параметр

интегральная

, который подразумевается. Подробнее про функцию

НОРМ.СТ.ОБР()

см. статью про

нормальное распределение

.

Обратная функция распределения

вычисляет

квантили распределения

, которые используются, например, при

построении доверительных интервалов

. Т.е. в нашем случае число 0 является 0,5-квантилем

нормального распределения

. В

файле примера

можно вычислить и другой

квантиль

этого распределения. Например, 0,8-квантиль равен 0,84.

В англоязычной литературе

обратная функция распределения

часто называется как Percent Point Function (PPF).

Примечание

: При вычислении

квантилей

в MS EXCEL используются функции:

НОРМ.СТ.ОБР()

,

ЛОГНОРМ.ОБР()

,

ХИ2.ОБР(),

ГАММА.ОБР()

и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.