Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше
Возвращает обратное значение стандартного нормального распределения. Это распределение имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице.
Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.
Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция НОРМ.СТ.ОБР.
Синтаксис
НОРМСТОБР(вероятность)
аргумент функции НОРМСТОБР описаны ниже.
-
Вероятность Обязательный. Вероятность, соответствующая нормальному распределению.
Замечания
-
Если вероятность не является числом, то нормСИНВ возвращает #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.
-
Если вероятность <= 0 или вероятность >= 1, то нормСИНХОV возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Для заданного значения вероятности функция НОРМСТОБР находит значение z, при котором НОРМСТРАСП(z) = вероятность. Таким образом, точность функции НОРМСТОБР зависит от точности функции НОРМСТРАСП. В функции НОРМСТОБР применяется метод итеративного поиска. Если поиск не завершился после 100 итераций, функция возвращает значение ошибки #Н/Д.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
|
Формула |
Описание |
Результат |
|
=НОРМСТОБР(0,9088) |
Обратное значение стандартного нормального интегрального распределения с вероятностью 0,9088 |
1,3334 |
К началу страницы
Нужна дополнительная помощь?
Функция НОРМСТОБР устаревшая с 2010-й версии Excel, оставлена для обратной совместимости с 2007 и более ранними версиями, рекомендуется воспользоваться функцией НОРМ.СТ.ОБР.
Описание функции НОРМСТОБР
Возвращает обратное значение стандартного нормального распределения. Это распределение имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице.
Синтаксис
=НОРМСТОБР(вероятность)Аргументы
вероятность
Обязательный. Вероятность, соответствующая нормальному распределению.
Замечания
- Если значение аргумента «вероятность» не является числом, функция НОРМСТОБР возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
- Если значение аргумента «вероятность» <= 0 либо «вероятность» >= 1, функция НОРМСТОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
- Для заданного значения вероятности функция НОРМСТОБР находит значение z, при котором НОРМСТРАСП(z) = вероятность. Таким образом, точность функции НОРМСТОБР зависит от точности функции НОРМСТРАСП. В функции НОРМСТОБР применяется метод итеративного поиска. Если поиск не завершился после 100 итераций, функция возвращает значение ошибки #Н/Д.
Пример
НОРМСТОБР вычисляет и возвращает обратное значение стандартного нормального кумулятивного распределения, которое имеет среднее арифметическое, равное 0, и стандартное отклонение, равное 1, с заданной вероятностью.
Внимание: НОРМСТОБР заменен на НОРМ.С.ОБР.. Хотя НОРМСТОБР по-прежнему доступен в текущих версиях Excel, с этого момента следует рассмотреть возможность использования новой функции, поскольку НОРМСТОБР может быть недоступен в будущих версиях Excel.
Синтаксис
=NORMSINV(probability)
аргументы
- вероятность (обязательно): Вероятность, соответствующая нормальному распределению. Это значение, при котором вы хотите оценить обратную функцию.
Возвращаемое значение
Функция НОРМСТОБР возвращает числовое значение.
Примечания к функциям
- Наблюдения и советы этой статьи мы подготовили на основании опыта команды #СТОИМОСТЬ! ошибка возникает, если вероятность не является числовым.
- Наблюдения и советы этой статьи мы подготовили на основании опыта команды #NUM! ошибка возникает, если вероятность ≤ 0 or вероятность ≥ 1.
Пример
Чтобы получить обратное значение стандартного нормального кумулятивного распределения с вероятностями, как показано на снимке экрана ниже, скопируйте или введите приведенную ниже формулу в верхнюю ячейку C3 и нажмите Enter чтобы получить первый результат:
=НОРМОТБР(B3)
√ Примечание: После ввода формулы перетащите маркер заполнения вниз, чтобы применить формулу к ячейкам ниже.
Обратите внимание, что для нормального кумулятивного распределения (вероятность), который рассчитывается с НОРМ.СТ.РАСП(z, ИСТИНА), функция НОРМСТОБР вернет z значение на основе вероятность результат. Смотрите скриншот:
Связанные функции
Excel НОРМ.С.ОБР Функция
НОРМ.С.ОБР вычисляет и возвращает значение, обратное стандартному нормальному кумулятивному распределению, которое имеет среднее арифметическое, равное 0, и стандартное отклонение, равное 1, с заданной вероятностью.
Excel НОРМ.ОБР Функция
НОРМ.ОБР вычисляет и возвращает обратное значение нормального кумулятивного распределения для заданного среднего арифметического и стандартного отклонения.
Excel НОРМ.РАСП Функция
НОРМ.РАСП вычисляет и возвращает кумулятивную функцию распределения или функцию плотности вероятности значения для данного среднего арифметического и стандартного отклонения.
Excel НОРМ.СТ.РАСП Функция
Функция НОРМ.СТ.РАСП вычисляет и возвращает стандартную нормальную кумулятивную функцию распределения или функцию плотности вероятности значения для среднего арифметического, равного 0, и стандартного отклонения, равного 1.
Лучшие инструменты для работы в офисе
Kutools for Excel — Помогает вам выделиться из толпы
Хотите быстро и качественно выполнять свою повседневную работу? Kutools for Excel предлагает 300 мощных расширенных функций (объединение книг, суммирование по цвету, разделение содержимого ячеек, преобразование даты и т. д.) и экономит для вас 80 % времени.
- Разработан для 1500 рабочих сценариев, помогает решить 80% проблем с Excel.
- Уменьшите количество нажатий на клавиатуру и мышь каждый день, избавьтесь от усталости глаз и рук.
- Станьте экспертом по Excel за 3 минуты. Больше не нужно запоминать какие-либо болезненные формулы и коды VBA.
- 30-дневная неограниченная бесплатная пробная версия. 60-дневная гарантия возврата денег. Бесплатное обновление и поддержка 2 года.
Вкладка Office — включение чтения и редактирования с вкладками в Microsoft Office (включая Excel)
- Одна секунда для переключения между десятками открытых документов!
- Уменьшите количество щелчков мышью на сотни каждый день, попрощайтесь с рукой мыши.
- Повышает вашу продуктивность на 50% при просмотре и редактировании нескольких документов.
- Добавляет эффективные вкладки в Office (включая Excel), точно так же, как Chrome, Firefox и новый Internet Explorer.
Комментарии (0)
Оценок пока нет. Оцените первым!
Здесь
мы опишем возможности Excel
при вычислении статистических функций
и дадим пояснения к способу их вызова.
-
Нормальное
распределение.
См. стр.
16-17 пособия [4].
Практически любой справочник по
математической статистике содержит
таблицы функции
и её квантилей. Так как стандартное
нормальное распределение симметрично,
то эти таблицы составляют для значений
и
.
Приведем фрагмент таблицы из сборника
[1].
Таблица 1.1. Функция
нормального распределения Ф(x)
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
8 |
9 |
|
… |
||||||||
|
2,05 |
0,97 9818 |
9867 |
9915 |
9964 |
0012 |
… |
0205 |
0253 |
|
06 |
0,98 0301 |
0349 |
0396 |
0444 |
0491 |
… |
0680 |
0727 |
|
07 |
0774 |
0821 |
0867 |
0914 |
0960 |
… |
1145 |
1191 |
|
… |
Слева
в таблице представлено входное значение
с точностью до второго знака после
запятой. Третий знак указан в самой
верхней строке таблицы. С целью
представления на одном листе по
возможности большей информации, таблица
разбита на блоки (выделенные чертой), в
которых числа имеют несколько одинаковых
первых цифр. Эти совпадающие части
приведены только для одного значения
(в столбце под верхней первой ячейкой
с цифрой 0). Так, например,
Ф(2,052)
= 0,97 9915, Ф(2,058)
= 0,98 0205, Ф(2,074)
= 0,98 0960.
Для нахождения квантилей можно
использовать таблицу исходной функции
распределения, отыскивая значение
вероятности внутри таблицы и находя
соответствующее входное значение.
Например, при
верхняя p-квантиль
(то есть решение уравнения
)
будет находиться где-то между 2,053 и
2,054, так как
.
Простая линейная аппроксимация дает
.
В этом же сборнике [1] имеется таблица
значений обратной функции нормального
распределения, иными словами – таблица
p-квантилей (не верхних).
Таблица 1.3.
Функция, обратная функции нормального
распределения
|
p |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
8 |
9 |
|
… |
||||||||
|
977 |
1,9 |
9723 |
9908 |
0093 |
0279 |
… |
1030 |
1219 |
|
978 |
2,0 1409 |
1600 |
1792 |
1984 |
2177 |
… |
2957 |
3154 |
|
979 |
3352 |
3551 |
3750 |
3950 |
4151 |
… |
4964 |
5169 |
|
0,980 |
5375 |
5582 |
5790 |
6000 |
6208 |
… |
7056 |
7270 |
|
… |
Таким образом,
,
что весьма близко к полученному выше
приближенному значению.
Пакет Excel
располагает четырьмя функциями,
связанными с нормальным распределением.
Для вызова этих функций необходимо
-
вызвать
«Мастера Функций»-
нажать
кнопку
панели инструментов или
-
перейти
в подраздел “Функция”
раздела “Вставка”
главного меню Excel;
-
-
-
в
категории “Статистические”
найти соответствующую функцию; -
заполнить таблицу
аргументов функции.
Альтернативный
способ вызова состоит в непосредственном
обращении к соответствующей функции
из ячейки листа Excel.
Общий вид такого обращения можно
представить следующим образом:
=ИМЯФУНКЦИИ(аргумент1;аргумент2;
…)
Аргументами функции могут быть либо
числа, либо ссылки на ячейки, их хранящие.
Рассмотрим каждую из этих функций по
отдельности.
-
НОРМСТРАСП
– функция стандартного нормального
распределения
.
Аргумент – значение(любое число).
-
НОРМСТОБР
– обратная функция стандартного
нормального распределения
.
Аргумент –(число от 0 до 1).
-
НОРМРАСП –
функция распределения
или функция плотности
нормального
закона. Имеет 4 аргумента:
|
x |
не |
||
|
Среднее |
среднее |
||
|
Стандартное_откл |
корень |
||
|
Интегральная |
0
1 |
||
-
НОРМОБР –
функция, обратная функции нормального
распределения
.
Имеет 3 аргумента, аналогичные первым
трем аргументам предыдущей функции.
Приведем несколько примеров применения
этих функций.
|
Функция |
Значение в |
Характеристика распределения |
|
=НОРМСТРАСП(2,058) |
0,98020500 |
Ф(2,058) |
|
=НОРМСТОБР(0,05) |
-1,64485348 |
t0,95 |
|
=НОРМРАСП(-1; |
0,15865526 |
Ф((2,058-0)/1) |
|
=НОРМРАСП(-1; |
0,24197073 |
φ((2,058-0)/1) |
|
=НОРМОБР(0,95; |
1,64485348 |
0+1* – |
Задание.
Объясните совпадение значений (с
точностью до знака) во второй и пятой
строках этой таблицы.
-
Хи-квадрат
распределение.
См. стр.
18-19 пособия [4].
Сборник таблиц [1] содержит значения так
называемого интеграла
вероятностей хи-квадрат
– в нашей терминологии это просто
функция надежности
.
Таблица имеет два входа – по числу
степеней свободы (верхняя строка) и по
аргументу функции (левый столбец).
Таблица 2.1а.
Интеграл вероятностей
|
x |
m=16 |
… |
m=20 |
||
|
P |
-Δ |
P |
-Δ |
||
|
… |
… |
… |
|||
|
15,0 |
0,52464 |
3627 |
… |
0,77641 |
2929 |
|
5 |
48837 |
3541 |
… |
74712 |
3050 |
|
… |
… |
… |
Здесь,
кроме значения функции распределения
(столбец P),
приведены также первые разности этой
функции (столбец -Δ),
точнее, только 5 значащих цифр после
запятой без первых нулей. Таким образом,
(после запятой поставлен один ноль,
чтобы получилось пять цифр). Если
и
– два рядом стоящие значения аргумента,
то для нахождения значения функции в
промежуточной точке
можно применить аппроксимацию
.
В приведенном нами фрагменте
.
Поэтому
.
Значения верхних p-квантилей
распределения хи-квадрат содержатся
в следующей таблице на стр.166 сборника
[1].
Таблица 2.2а.
Процентные точки распределения
|
Q m |
… |
97,5% |
95% |
… |
5% |
2,5% |
… |
|
… |
… |
||||||
|
19 |
… |
8,907 |
10,117 |
… |
30,144 |
32,852 |
… |
|
20 |
… |
9,591 |
10,851 |
… |
31,410 |
34,170 |
… |
|
… |
… |
Вход в
таблицу осуществляется по числу степеней
свободы (m в левом
столбце) и по вероятности, выраженной
в процентах (Q в верхней
строке). Таким образом,
.
Пакет Excel предоставляет
возможность вычисления как значений
функции надежности
,
так и значений p-квантилей
хи-квадрат распределения. Эти функции
называются ХИ2РАСП
и ХИ2ОБР. Рассмотрим
несколько примеров применения этих
функций.
|
Функция |
Значение в |
Характеристика |
|
=ХИ2РАСП(15,2; |
0,510041 |
|
|
=ХИ2РАСП(15; |
0,776408 |
|
|
=ХИ2ОБР(0,05; |
30,14351 |
|
|
=ХИ2ОБР(0,025; |
34,16958 |
|
-
Распределение
Стьюдента.
См. стр.
19-20 пособия [4].
Таблицы распределения Стьюдента также
имеются в любом справочнике по
математической статистике. Приведем
здесь фрагмент соответствующей
таблицы из сборника [1].
Таблица 3.1а.
Функция распределения Стьюдента
|
k t |
11 |
12 |
… |
19 |
20 |
|
… |
… |
||||
|
2,0 |
0,9646 |
0,9657 |
… |
0,9700 |
0,9704 |
|
1 |
9702 |
9712 |
… |
9753 |
9757 |
|
… |
… |
Эта
таблица имеет два входа – число степеней
свободы
(верхняя строка) и аргумент функции
(левый столбец). Из этой таблицы находим,
что
.
При степенях свободы больше 20 можно
воспользоваться нормальным приближением:
.
Следующая таблица указанного сборника
[1] содержит значения верхних
-квантилей
.
Эта таблица также имеет два входа –
число степеней свободы (левый столбец)
и вероятность в процентах
(верхняя строка). Для наглядности целые
части вместе с запятой приведены только
для верхних чисел в блоке из пяти чисел.
Таблица 3.2.
Процентные точки распределения
Стьюдента
|
Q k |
… |
10% |
5% |
2,5% |
… |
0,05% |
|
… |
… |
|||||
|
19 |
… |
1,3277 |
1,7291 |
2,0930 |
… |
3,8834 |
|
20 |
… |
3253 |
7247 |
0860 |
… |
8495 |
|
… |
… |
Таким
образом,
.
В пакете Excel
имеются встроенные функции
СТЬЮДРАСП,
вычисляющая функцию надежности, и
СТЬЮДРАСПОБР, вычисляющая
верхние квантили.
Функция
СТЬЮДРАСП имеет
три аргумента. Кроме двух естественных
(аргумента
и числа степеней свободы
),
при обращении к этой функции требуется
указать количество хвостов распределения,
которые нужно учитывать (1 или 2). Под
“хвостом” распределения понимается
любой интервал с одним конечным и одним
бесконечным концом. Например, при
вычислении функции надежности ищется
вероятность попадания в область
.
Поэтому
— это функция СТЬЮДРАСП
с одним “хвостом”. Очень часто в
статистической практике требуется
найти вероятность попадания в область
при
,
то есть в область с двумя “хвостами”.
Легко видеть, что функция, вычисляющая
вероятности таких симметричных
интервалов, представляет собой не что
иное, как функцию надежности распределения
модуля
.
Обращение к функции СТЬЮДРАСПОБР
вполне тривиально и полностью аналогично
обращению к функции ХИ2ОБР
(см. выше).
-
Показательное
(экспоненциальное) распределение.
См. стр.
21 пособия [4].
Как функция плотности, так и функция
распределения показательного закона
могут быть вычислены посредством
калькулятора. В Excel
обе эти функции можно вычислить,
воспользовавшись функцией EXP(…).
-
Биномиальное
распределение.
См. стр.
22 пособия [4].
В пакете Excel
имеется возможность вычисления функции
,
которая
при
есть не что иное, как функция распределения
(обратите внимание на различие в первом
аргументе этих функций). Четвертый
параметр функции БИНОМРАСП,
если он не равен нулю, указывает на
необходимость вычисления именно функции
распределения, то есть суммы всех
биномиальных вероятностей до
включительно (в отличие от функции
,
которая вычисляет вероятности до
).
При
функция БИНОМРАСП
вычисляет индивидуальную вероятность
.
Приведем несколько примеров.
|
Функция Excel |
n |
p |
Вероятность |
Результат |
|
БИНОМРАСП(3;10;0,5;1) |
10 |
0,5 |
|
0,171865 |
|
БИНОМРАСП(3;10;0,5;0) |
10 |
0,5 |
|
0,117188 |
|
1-БИНОМРАСП(29;100;0,5;1) |
100 |
0,5 |
|
0,999984 |
|
1-БИНОМРАСП(30;100;0,5;0) |
100 |
0,5 |
|
0,999977 |
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
10.02.20152.79 Mб19k_5New.pdf
Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции
MS EXCEL
НОРМ.РАСП()
построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения и стандартного отклонения
.
Нормальное распределение
(также называется распределением Гаусса) является самым важным как в теории, так в приложениях системы контроля качества. Важность значения
Нормального распределения
(англ.
Normal
distribution
)
во многих областях науки вытекает из
Центральной предельной теоремы
теории вероятностей.
Определение
: Случайная величина
x
распределена по
нормальному закону
, если она имеет
плотность распределения
:
СОВЕТ
: Подробнее о
Функции распределения
и
Плотности вероятности
см. статью
Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL
.
Нормальное распределение
зависит от двух параметров: μ
(мю)
— является
математическим ожиданием (средним значением случайной величины)
, и σ (
сигма)
— является
стандартным отклонением
(среднеквадратичным отклонением). Параметр μ определяет положение центра
плотности вероятности
нормального распределения
, а σ — разброс относительно центра (среднего).
Примечание
: О влиянии параметров μ и σ на форму распределения изложено в статье про
Гауссову кривую
, а в
файле примера на листе Влияние параметров
можно с помощью
элементов управления Счетчик
понаблюдать за изменением формы кривой.
Нормальное распределение в MS EXCEL
В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для
Нормального распределения
имеется функция
НОРМ.РАСП()
, английское название — NORM.DIST(), которая позволяет вычислить
плотность вероятности
(см. формулу выше) и
интегральную функцию распределения
(вероятность, что случайная величина X, распределенная по
нормальному закону
, примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:
Вышеуказанное распределение имеет обозначение
N
(μ; σ).
Так же часто используют обозначение через
дисперсию
N
(μ; σ
2
).
Примечание
: До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция
НОРМРАСП()
, которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности.
НОРМРАСП()
оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.
Стандартное нормальное распределение
Стандартным нормальным распределением
называется
нормальное распределение
с
математическим ожиданием
μ=0 и
дисперсией
σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение
N
(0;1).
Примечание
: В литературе для случайной величины, распределенной по
стандартному
нормальному закону,
закреплено специальное обозначение z.
Любое
нормальное распределение
можно преобразовать в стандартное через замену переменной
z
=(
x
-μ)/σ
. Этот процесс преобразования называется
стандартизацией
.
Примечание
: В MS EXCEL имеется функция
НОРМАЛИЗАЦИЯ()
, которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то
нормализацией
. Формулы
=(x-μ)/σ
и
=НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ)
вернут одинаковый результат.
В MS EXCEL 2010 для
стандартного нормального распределения
имеется специальная функция
НОРМ.СТ.РАСП()
и ее устаревший вариант
НОРМСТРАСП()
, выполняющий аналогичные вычисления.
Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации
нормального распределения
N
(1,5; 2).
Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по
нормальному закону
N(1,5; 2)
, меньше или равна 2,5. Формула выглядит так:
=НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА)
=0,691462. Сделав замену переменной
z
=(2,5-1,5)/2=0,5
, запишем формулу для вычисления
Стандартного нормального распределения:
=НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА)
=0,691462.
Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см.
файл примера лист Пример
).
Обратите внимание, что
стандартизация
относится только к
интегральной функции распределения
(аргумент
интегральная
равен ИСТИНА), а не к
плотности вероятности
.
Примечание
: В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по
стандартному
нормальному закону,
закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле
=НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА)
. Вычисления производятся по формуле
В силу четности функции
плотности стандартного нормального
распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция
стандартного нормального распределения
обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).
Обратные функции
Функция
НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА)
вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется
квантилем
стандартного
нормального распределения
.
В MS EXCEL для вычисления
квантилей
используют функцию
НОРМ.СТ.ОБР()
и
НОРМ.ОБР()
.
Графики функций
В
файле примера
приведены
графики плотности распределения
вероятности и
интегральной функции распределения
.
Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей
нормальное распределение
, находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% — в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для
стандартного нормального распределения
можно записав формулу:
=
НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-НОРМ.СТ.РАСП(-1;ИСТИНА)
которая вернет значение 68,2689% — именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от
среднего
(см.
лист График в файле примера
).
В силу четности функции
плотности стандартного нормального
распределения:
f
(
x
)=
f
(-х)
, функция
стандартного нормального распределения
обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:
=
2*НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-1
Для произвольной
функции нормального распределения
N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:
=2* НОРМ.РАСП(μ+1*σ;μ;σ;ИСТИНА)-1
Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для
построения доверительных интервалов
.
Примечание
: Для построения
функции распределения
и
плотности вероятности
можно использовать диаграмму типа
График
или
Точечная
(со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении
диаграмм
читайте статью
Основные типы диаграмм
.
Примечание
: Для удобства написания формул в
файле примера
созданы
Имена
для параметров распределения: μ и σ.
Генерация случайных чисел
С помощью надстройки
Пакет анализа
можно сгенерировать случайные числа, распределенные по
нормальному закону
.
СОВЕТ
: О надстройке
Пакет анализа
можно прочитать в статье
Надстройка Пакет анализа MS EXCEL
.
Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне
Генерация
случайных чисел
установим следующие значения для каждой пары параметров:
Примечание
: Если установить опцию
Случайное рассеивание
(
Random Seed
), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции
Случайное рассеивание
может запутать. Лучше было бы ее перевести как
Номер набора со случайными числами
.
В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ
.
Оценку для μ можно сделать с использованием функции
СРЗНАЧ()
, а для σ – с использованием функции
СТАНДОТКЛОН.В()
, см.
файл примера лист Генерация
.
Примечание
: Для генерирования массива чисел, распределенных по
нормальному закону
, можно использовать формулу
=НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ)
. Функция
СЛЧИС()
генерирует
непрерывное равномерное распределение
от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см.
файл примера лист Генерация
).
Задачи
Задача1
. Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их.
Решение1
: =
1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)
Задача2
. Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ?
Решение2
: =
НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25)
На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.
Решение приведено в
файле примера лист Задачи
.
Задача3
. Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий?
Решение3
: =
НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25)
=20,6899 или =
НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2
(произведена «дестандартизация», см. выше)
Задача 4
. Нахождение параметров
нормального распределения
по значениям 2-х
квантилей
(или
процентилей
). Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я
процентиля
(например, 0,5-
процентиль
, т.е. медиана и 0,95-я
процентиль
). Т.к. известна
медиана
, то мы знаем
среднее
, т.е. μ. Чтобы найти
стандартное отклонение
нужно использовать
Поиск решения
. Решение приведено в
файле примера лист Задачи
.
Примечание
: До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции
НОРМОБР()
и
НОРМСТОБР()
, которые эквивалентны
НОРМ.ОБР()
и
НОРМ.СТ.ОБР()
.
НОРМОБР()
и
НОРМСТОБР()
оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.
Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин
Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин
x
(
i
)
с параметрами μ
(
i
)
и σ
(
i
)
также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ
(1)+ μ(2)
и
КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2).
Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.
С помощью надстройки
Пакет анализа
сгенерируем 2 массива по 100 чисел с различными μ и σ.
Теперь сформируем массив, каждый элемент которого является суммой 2-х значений, взятых из каждого массива.
С помощью функций
СРЗНАЧ()
и
СТАНДОТКЛОН.В()
вычислим
среднее
и
дисперсию
получившейся
выборки
и сравним их с расчетными.
Кроме того, построим
График проверки распределения на нормальность
(
Normal
Probability
Plot
), чтобы убедиться, что наш массив соответствует выборке из
нормального распределения
.
Прямая линия, аппроксимирующая полученный график, имеет уравнение y=ax+b. Наклон кривой (параметр а) может служить оценкой
стандартного отклонения
, а пересечение с осью y (параметр b) –
среднего
значения.
Для сравнения сгенерируем массив напрямую из распределения
N
(μ(1)+ μ(2); КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2)
).
Как видно на рисунке ниже, обе аппроксимирующие кривые достаточно близки.
В качестве примера можно провести следующую задачу.
Задача
. Завод изготавливает болты и гайки, которые упаковываются в ящики парами. Пусть известно, что вес каждого из изделий является нормальной случайной величиной. Для болтов средний вес составляет 50г, стандартное отклонение 1,5г, а для гаек 20г и 1,2г. В ящик фасуется 100 пар болтов и гаек. Вычислить какой процент ящиков будет тяжелее 7,2 кг.
Решение
. Сначала переформулируем вопрос задачи: Вычислить какой процент пар болт-гайка будет тяжелее 7,2кг/100=72г. Учитывая, что вес пары представляет собой случайную величину = Вес(болта) + Вес(гайки) со средним весом (50+20)г, и
стандартным отклонением
=КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2))
, запишем решение =
1-НОРМ.РАСП(72; 50+20; КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2));ИСТИНА)
Ответ
: 15% (см.
файл примера лист Линейн.комбинация
)
Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением
Если параметры
Биномиального распределения
B(n;p) находятся в пределах 0,1<=p<=0,9 и n*p>10, то
Биномиальное распределение
можно аппроксимировать
Нормальным распределением
.
При значениях
λ
>15
,
Распределение Пуассона
хорошо аппроксимируется
Нормальным распределением
с параметрами: μ
=λ
, σ
2
=
λ
.
Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье
Взаимосвязь некоторых распределений друг с другом в MS EXCEL
. Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.
СОВЕТ
: О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье
Распределения случайной величины в MS EXCEL
.