Не могу решить уравнение в excel

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

Принимаем значение x за равное 0. Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12686 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

1. Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
2. Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
3. Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
4. Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
5. Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: <=B12:E12/D12>.
5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (<=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11>). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (<=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10>). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Квадратное уравнение в Excel

В этой статье вы узнаете как решить квадратное уравнение в Excel на конкретном примере. Подробно разберем решение несложно задачи с картинками.

Ход решения

Запустим программу Microsoft Office Excel. Я пользуюсь 2007 версией. Для начала объединим ячейки A1:A5 и запишем в них формулу квадратного уравнения в виде ax2+bx+c=0.Далее нам нужно возвести x в квадрат, для этого нужно сделать цифру 2 надстрочным интервалом. Выделим двойку и нажмем правой кнопкой мыши.

Получим формулу вида ax 2 +bx+c=0

В ячейке A2 введем текстовое значение a= , в ячейке A3 b= и в ячейке A4 с= соответственно. Эти значения будут вводиться с клавиатуры в следующих ячейках (B2,B3,B4).

Введем текст для значений, которые будут считаться. В ячейке C2 d=, C3 x₁= C4 x₂=. Подстрочный интервал для xсделаем аналогично надстрочному интервалу в x 2

Перейдем к вводу формул для решения

Дискриминант квадратного трехчлена равен b 2 -4ac

В ячейку D2 введем соответствующую формулу для возведения числа во вторую степень:

Квадратное уравнение имеет два корня, в случае если дискриминант больше нуля. В ячейку C3 введем формулу для x₁

Для расчета x2 введем похожую формулу, но со знаком плюс

Соответственно при введенных значениях a,b,c сначала считается дискриминант, если его значения меньше нуля выводится сообщение «Корней нет», иначе получаем значения x₁ и x₂.

Защита листа в Excel

Нам нужно защитить лист, на котором мы производили расчеты. Без защиты нужно оставить ячейки, в которые можно вводить значения a,b,c, то есть ячейки B2 B3 B4. Для этого выделим данный диапазон и зайдем в формат ячеек, перейдем во вкладку Рецензирования, Защитить лист и уберем флажок с позиции Защищаемая ячейка. Нажмем кнопку OK, подтвердив внесенные изменения.

Этот диапазон ячеек будет не защищен при защите листа. Выполним защиту листа, для этого перейдем на вкладку Рецензирование пункт Защита листа. Пароль наберем 1234. Нажмем OK.

Теперь мы сможем изменять значения ячеек B2,B3,B4. При попытке изменения других ячеек мы получим сообщение следующего содержания: «Ячейка или диаграмма защищена от изменений. А так же совет по снятию защиты.

Так же вас может заинтересовать материал как закрепить область в Экселе.

Решение системы уравнений в Excel

Возможно вы слышали о нобелевском лауреате, психологе и исследователе по имени Дэниель Канеман. Канеман занимался наукой, которую называют термином «поведенческая экономика», т.е. изучал реакции, поведение и суждения людей в типовых жизненных (и экономических) ситуациях и условиях неопределенности.

В его книге, которая называется «Думай медленно — решай быстро» (очень рекомендую, кстати) в качестве одного из примеров когнитивных искажений — несознательной автоматической реакции — приводится следующая задача:

Бейсбольная бита и мяч стоят вместе 1 доллар 10 центов.
Бита дороже мяча на 1 доллар.
Сколько стоит мяч?

Подозреваю, что вашей первой рефлекторной мыслью, скорее всего, будет «10 центов!» 🙂 Но весьма скоро, я уверен, вы сообразите, что на самом деле всё не так примитивно и для получения ответа нужно решить простую систему уравнений (здесь b — это бита, а m — это мяч):

Конечно можно «тряхнуть стариной» и решить всё вручную на бумажке через подстановку переменных — как-то так:

Но, во-первых, на практике уравнения могут быть сложнее и переменных может оказаться сильно больше двух и, во-вторых, у нас с вами есть Microsoft Excel — универсальный мега-инструмент, величайшее изобретение человечества. Так что давайте-ка лучше разберём как решить нашу задачу с его помощью.

Способ 1. Матричные функции МУМНОЖ и МОБР

Само собой, изобретать велосипед тут не надо — прогрессивное человечество в лице математиков давным-давно придумало кучу способов для решения подобных задач. В частности, если уравнения в нашей системе линейные (т.е. не используют степени, логарифмы, тригонометрические функции типа sin, cos и т.д.), то можно использовать метод Крамера.

Сначала записываем числовые коэффициенты, стоящие перед нашими переменными в виде матрицы (в нашем случае — размером 2х2, в общем случае — может быть и больше).

Затем находим для неё так называемую обратную матрицу , т.е. матрицу, при умножении которой на исходную матрицу коэффициентов получается единица. В Excel это легко сделать с помощью стандартной математической функции МОБР (MINVERSE) :

Здесь важно отметить, что если у вас свежая версия Excel 2021 или Excel 365, то достаточно ввести эту функцию обычным образом в первую ячейку (G7) — сразу получится динамический массив с обратной матрицей 2х2. Если же у вас более старая версия Excel, то эту функцию нужно обязательно вводить как формулу массива, а именно:

1. Выделить диапазон для результатов — G7:H8
2. Ввести функцию =МОБР(B7:C8) в строку формул
3. Нажать на клавиатуре сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter

Замечательное свойство обратной матрицы состоит в том, что если умножить её на значения правых частей наших уравнений (свободные члены), то мы получим значения переменных, при которых левые и правые части уравнений будут равны, т.е. решения нашей задачи. Выполнить такое матричное умножение можно с помощью ещё одной стандартной экселевской функции МУМНОЖ (MMULT) :

Если у вас старая версия Excel, то не забудьте также ввести её в режиме формулы массива, т.е. сначала выделить диапазон K7:K8, а после ввода функции нажать сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter .

Само собой, уравнений и переменных может быть больше, да и посчитать всё можно сразу в одной формуле, вложив используемые функции одна в другую:

Не так уж и сложно, правда? Однако надо понимать, что этот метод подходит только для решения систем линейных уравнений. Если у вас в уравнениях используются функции посложнее четырех базовых математических действий, то зачастую проще будет пойти другим путем — через подбор.

Способ 2. Подбор надстройкой «Поиск решения» (Solver)

Принципиально другой способ решения подобных задач — это итерационные методы, т.е. последовательный подбор значений переменных, чтобы после подстановки их в наши уравнения мы получили верные равенства. Само собой, подбор имеется ввиду не тупой и долгий (брутфорс), а умный и быстрый, благо математики, опять же, давным-давно придумали кучу различных методов для решения таких задач буквально за несколько итераций.

В Microsoft Excel некоторые из этих методов реализованы в стандартной надстройке Поиск решения (Solver) . Её можно подключить через Файл — Параметры — Надстройки — Перейти (File — Options — Add-ins — Go to) или на вкладке Разработчик — Надстройки (Developer — Add-ins) .

Давайте рассмотрим её использование на следующей задаче. Предположим, что нам с вами нужно решить вот такую систему из двух нелинейных уравнений:

Подготавливаем основу для оптимизации в Excel:

• В жёлтых ячейках C9:C10 лежат текущие значения наших переменных, которые и будут подбираться в процессе оптимизации. В качестве стартовых можно взять любые значения, например, нули или единицы — роли не играет. Для удобства, кстати, этим ячейкам можно дать имена, назвав их именами переменных x и y, — для этого выделите диапазон C9:C10 и выберите команду Формулы — Создать из выделенного — Слева (Formulas — Create from selection — Left column) .
• В зелёных ячейках E9:E10 введены наши уравнения с использованием либо прямых ссылок на жёлтые ячейки переменных, либо созданных имён (так нагляднее). В результате мы видим, чему равны наши уравнения при текущих значениях переменных.
• В синих ячейках F9:F10 введены значения правых частей наших уравнений, к которым мы должны стремиться.

Теперь запускаем нашу надстройку на вкладке Данные — Поиск решения (Data — Solver) и вводим в появившемся диалоговом окне следующие параметры:

• Оптимизировать целевую функцию (Set target cell) — любая из двух наших зелёных ячеек с уравнениями, например E9.
• Изменяя ячейки переменных (By changing cells) — жёлтые ячейки с текущими значениями переменных, которыми мы «играем».
• Добавляем ограничение с помощью кнопки Добавить (Add) и задаём равенство левой и правой части наших уравнений, т.е. зелёного и голубого диапазонов.
• В качестве метода решения выбираем Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ, т.к. уравнения у нас нелинейные. Для линейных можно смело выбирать симплекс-метод.

После нажатия на кнопку Найти решение (Solve) через пару мгновений (или не пару — это зависит от сложности задачи) мы должны увидеть окно с результатами. Если решение найдено, то в жёлтых ячейках отобразятся подобранные значения наших переменных:

Обратите внимание, что поскольку мы здесь используем итерационные, а не аналитические методы, то зеленые ячейки не совсем равны голубым, т.е. найденное решение не абсолютно точно. На практике, конечно же, такой точности вполне достаточно для большинства задач, и если необходимо, её можно настроить, вернувшись в окно Поиск решения и нажав кнопку Параметры (Options) .

Источник

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

1. Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.
2. Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.
Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

Принимаем значение x за равное 0. Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

1. Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».
2. Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.
3. Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

1. Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.
2. Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.
Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Источник