Найти максимум линейной функции f при заданной системе ограничений excel

ЛАБОРАТОРНАЯ
РАБОТА № 4

ТАБЛИЧНЫЙ
ПРОЦЕССОР MS
EXCEL.

ПОИСК ОПТИМАЛЬНЫХ
РЕШЕНИЙ

Цель работы:
изучить
возможности утилиты «Поиск
решения» ТП MS
Excel
на примере решения оптимизационных
задач: оптимизации производственной
программы, оптимизации плана перевозок.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ЧАСТЬ

Среди оптимизационных
задач экономики и управления производством
наиболее известны задачи линейного
программирования, в которых максимизируемая
(минимизируемая) функция F(X)
является линейной, а ограничения G
задаются
линейными неравенствами.

Общая форма записи
модели задачи линейного
программирования имеет вид:

целевая функция
(ЦФ):

,

при ограничениях:

Прикладной
программный продукт ТП
Excel
фирмы Microsoft
содержит в своем составе достаточно
мощное средство для решения задач
оптимизации с учетом ограничений.

Это
так называемая утилита “Поиск
решения”
(см. рис. 4.1). Прокомментируем некоторые
аспекты работы с этой утилитой.

Рис.4.1–
Окно утилиты Поиск решения

Искомые
переменные — ячейки рабочего листа Excel
— называются регулируемыми ячейками.

Целевая
функция F(x₁,
x₂,
… , x_n),
называемая иногда просто целью, должна
задаваться в виде формулы в ячейке
рабочего листа. Эта формула может
содержать функции, определенные
пользователем, и должна зависеть
(ссылаться) от регулируемых ячеек. В
момент постановки задачи определяется,
что делать с целевой функцией. Возможен
выбор одного из вариантов:

• найти
  максимум целевой функции F(x₁,
  x₂,
  … , x_n);

• найти
  минимум целевой функции F(x₁,
  x₂,
  … , x_n);

• добиться
  того, чтобы целевая функция F(x₁,
  x₂,
  … , x_n)
  имела фиксированное значение: F(x₁,
  x₂,
  … , x_n)
  = a
   (см. рис. 4.2).

Рис.4.2
– Определение целевой функции в окне
утилиты «Поиск
решения»

Функции
G(x₁,
x₂,
… , x_n)
называются ограничениями. Их можно
задать как в виде равенств, так и
неравенств.

На
регулируемые ячейки (искомые параметры
– x₁,
x₂,
… , x_n)
можно наложить дополнительные ограничения:
неотрицательности и/или целочисленности,
тогда решение ищется в области
положительных и/или целых чисел (см.
рис.4.3).

Рис.
4.1 – Определение ограничений

Под
эту постановку попадает самый широкий
круг задач оптимизации, в том числе
решение различных уравнений и систем
уравнений, задачи линейного (см. выше)
и нелинейного программирования.

Управление
диалоговым окном поиска решения
осуществляется следующим образом (см.
рис. 4.1).

Установить
целевую ячейку

Служит
для указания целевой
ячейки,
значение которой необходимо максимизировать,
минимизировать
или установить
равным
заданному числу. Эта ячейка должна
содержать формулу для вычисления целевой
функции.

Равной

Служит
для выбора варианта оптимизации значения
целевой ячейки (максимизация,
минимизация или подбор заданного числа).
Чтобы установить число, необходимо
ввести его в поле.

Изменяя
ячейки

Служит
для указания ячеек, значения
которых изменяются
в процессе поиска
решения
до тех пор, пока не будут выполнены
наложенные ограничения и условие
оптимизации значения ячейки, указанной
в поле Установить
целевую ячейку.
В этих ячейках должны содержаться
переменные оптимизационной модели.

Ограничения

Служит
для отображения списка граничных
условий
поставленной задачи.

Выполнить

Служит
для запуска
поиска решения поставленной задачи.

Закрыть

Служит
для выхода
из окна диалога
без запуска поиска решения поставленной
задачи. При этом сохраняются установки,
сделанные в окнах диалога.

Параметры

Служит
для отображения диалогового окна
Параметры
поиска решения,
в котором можно загрузить или сохранить
оптимизируемую модель и указать
предусмотренные варианты поиска решения.

Восстановить

Служит
для очистки полей окна диалога и
восстановления значений параметров
поиска решения, используемых по умолчанию.

Диалоговое
окно «Параметры поиска решения»

Можно
изменять условия и варианты поиска
решения для линейных и нелинейных задач,
а также загружать и сохранять оптимизируемые
модели. Значения и состояния элементов
управления, используемые по умолчанию,
подходят для решения большинства задач
(см. рис.4.2).

Рис.4.2
– Диалоговое
окно «Параметры поиска решения»

Максимальное
время

Служит
для ограничения времени, отпускаемого
на поиск решения задачи. В поле можно
ввести время (в секундах), не превышающее
32767; значение 100, используемое по умолчанию,
подходит для решения большинства простых
задач.

Предельное
число итераций

Служит
для управления временем решения задачи
путем ограничения числа промежуточных
вычислений. В поле можно ввести значение,
не превышающее 32767; значение 100, используемое
по умолчанию, подходит для решения
большинства простых задач.

Относительная
погрешность

Служит
для задания точности, с которой
определяется соответствие ячейки
целевому значению или приближение к
указанным границам. Поле должно содержать
десятичную дробь от 0 (нуля) до 1. Чем
больше десятичных знаков в задаваемом
числе, тем выше точность — например,
число 0,0001 представлено с более высокой
точностью, чем 0,01.

Допустимое
отклонение

Служит
для задания допуска на отклонение от
оптимального решения, если множество
значений влияющей ячейки ограничено
множеством целых чисел. При указании
большего допуска поиск решения
заканчивается быстрее.

Сходимость

Когда
относительное изменение значения в
целевой ячейке за последние пять итераций
становится меньше числа, указанного в
поле Сходимость, поиск прекращается.
Сходимость применяется только к
нелинейным задачам, условием служит
дробь из интервала от 0 (нуля) до 1. Лучшую
сходимость характеризует большее
количество десятичных знаков —
например, 0,0001 соответствует меньшему
относительному изменению по сравнению
с 0,01. Лучшая сходимость требует больше
времени на поиск оптимального решения.

Линейная
модель

Служит
для ускорения поиска решения линейной
задачи оптимизации.

Показывать
результаты итераций

Служит
для приостановки поиска решения для
просмотра результатов отдельных
итераций.

Автоматическое
масштабирование

Служит
для включения автоматической нормализации
входных и выходных значений, качественно
различающихся по величине — например,
максимизация прибыли в процентах по
отношению к вложениям, исчисляемым в
миллионах рублей.

Неотрицательные
значения

Позволяет
установить нулевую нижнюю границу для
тех влияющих ячеек, для которых она не
была указана в поле Ограничение
диалогового окна Добавить
ограничение

Оценка

Служит
для указания метода экстраполяции —
линейная или квадратичная, используемого
для получения исходных оценок значений
переменных в каждом одномерном поиске.

Линейная
–
служит для использования линейной
экстраполяции вдоль касательного
вектора.

Квадратичная
– служит для использования квадратичной
экстраполяции, которая дает лучшие
результаты при решении нелинейных
задач.  

Разности

Служит
для указания метода численного
дифференцирования — прямые
или
центральные
производные, который используется для
вычисления частных производных целевых
и ограничивающих функций.

Прямые
– используется
в большинстве задач, где скорость
изменения ограничений относительно
невысока.  

Центральные
– используется
для функций, имеющих разрывную производную.
Данный способ требует больше вычислений,
однако его применение может быть
оправданным, если выдается сообщение
о том, что получить более точное решение
не удается.  

Метод
поиска

Служит
для выбора алгоритма оптимизации —
метод Ньютона или сопряженных градиентов —
для указания направления поиска.

Утилита
«

Поиск
решения»
позволяет представлять результаты в
виде трех отчетов: Результаты,
Устойчивость
и Пределы.

Для
генерации одного или нескольких отчетов
выделяются их названия в окне диалога
Результаты
поиска решения.

Отчет
по устойчивости
содержит информацию о том, насколько
целевая ячейка чувствительна к изменениям
ограничений и переменных. Этот отчет
имеет два раздела: один для изменяемых
ячеек, а второй для ограничений. Раздел
для изменяемых ячеек содержит значение
нормированного градиента, которое
показывает, как целая ячейка реагирует
на увеличение значения в соответствующей
изменяемой ячейке на одну единицу.
Подобным образом множитель Лагранжа в
разделе для ограничений показывает,
как целевая ячейка реагирует на увеличение
соответствующего значения ограничения
на одну единицу.

Отчет
по результатам
содержит три таблицы: в первой приведены
сведения о целевой функции до начала
вычисления, во второй — значения искомых
переменных, полученные в результате
решения задачи, в третьей — результаты
оптимального решения для ограничений.
Этот отчет также содержит информацию
о таких параметрах каждого ограничения,
как статус и разница. Статус может
принимать три состояния: связанное,
несвязанное или невыполненное. Значение
разницы — это разность между значением,
выводимым в ячейке ограничения при
получении решения, и числом, заданным
в правой части формулы ограничения.

Отчет
по пределам
содержит информацию о том, в каких
пределах значения изменяемых ячеек
могут быть увеличены или уменьшены без
нарушения ограничений задачи. Для каждой
изменяемой ячейки этот отчет содержит
оптимальное значение, а также наименьшие
значения, которые ячейка может принимать
без нарушения ограничений.

ПРАКТИЧЕСКАЯ
ЧАСТЬ

Задание
1.
Решить линейную оптимизационную задачу.

Фирма
производит три вида продукции (A,
B,
C),
для выпуска каждого требуется определенное
время обработки на четырех устройствах.

Максимально
допустимое время работы на устройствах
I,
II,
III,
IV
составляет соответственно 84,
42, 21
и 42
часа.

Требуется
рассчитать план производства,
обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение

Разместим
таблицу с исходными данными в ячейrах
A1:G9
Рабочего листа Excel
и выполним необходимые предварительные
расчеты (см. рис.4.3).

Рис.
4.3 – Исходные данные оптимизационной
задачи

Отыскать решение
задачи, приняв следующие условия:

Окончательный
вид формулировки задачи представлен
на рис. 4.4:

Рис.4.4
– Формулировка задачи в терминах
рабочего листа Excel

Итоговый
результат представлен на рис.4.5:

Рис.4.5
– Результат оптимизации

Анализ
решения показывает, что все без исключения
требования задачи оптимизации выполнены.
При этом видно, что для получения
максимальной прибыли нецелесообразно
выпускать изделие C.

Результаты
расчетов представлены в отчете по
результатам (рис.4.6):

Рис.4.6 – Отчет
по результатам

Утилита «Поиск
решения»
может использоваться и для решения
более сложных задач оптимизации.

Задание 2.
Оптимизация плана перевозок (транспортная
задача).

Фирма имеет 4
фабрики и 5 центров распределения ее
товаров. Фабрики располагаются в г.г.
Слуцке, Борисове, Молодечно и Бобруйске
с производственными возможностями
соответственно 200,
150,
225
и 175
единиц продукции ежедневно.

Распределительные
центры располагаются в Витебске, Минске,
Орше, Могилеве и Гомеле с потребностями
в 100,
200,
50,
250
и 150
единиц продукции ежедневно соответственно.

Хранение на фабрике
единицы продукции, не поставленной в
центр распределения, обходится в 0,75
у.е. в день,
а штраф за просрочку поставки заказанной
потребителем в центре распределения
единицы продукции, но там не находящейся,
равен 2,5
у.е. в день.

Стоимость перевозки
единицы продукции с фабрик в пункты
распределения приведена в таблице 4.1

Таблица 4.1. План
перевозок

Необходимо так
спланировать перевозки, чтобы
минимизировать
суммарные транспортные расходы.

Важно отметить,
что т.к. данная модель сбалансирована,
т.е. суммарный объем произведенной
продукции равен суммарному объему
потребностей в ней, то в этой модели не
надо учитывать издержки, связанные как
со складированием, так и с недопоставками
продукции. В противном случае в модель
надо ввести:

• в случае
  перепроизводства – фиктивный пункт
  распределения; стоимость перевозок
  единицы продукции в этот фиктивный
  пункт полагается равной стоимости
  складирования, а объемы перевозок в
  этот пункт равны объемам складирования
  излишка продукции на фабриках;

• в случае
  дефицита
  – фиктивную фабрику; стоимость перевозок
  единицы продукции из фиктивной фабрики
  полагается равной стоимости штрафов
  за недопоставку продукции, а объемы
  перевозок из этой фабрики равны объемам
  недопоставок продукции в пункты
  распределения.

Для решения данной
задачи построим математическую модель.
Неизвестными здесь являются объемы
перевозок.
Пусть xij
– объем
перевозок с i-й
фабрики в j-й
центр распределения. Функцией цели
являются суммарные транспортные расходы,
т.е.

,

где cij
– стоимость перевозки единицы продукции
с i-й
фабрики в j-й
центр распределения. Кроме того,
неизвестные должны удовлетворять
следующим ограничениям:

• неотрицательность
  объема перевозок;

• т.к. модель
  сбалансирована, то вся продукция должна
  быть вывезена с фабрик и потребность
  всех центров распределения должна быть
  полностью удовлетворена.

Таким образом, мы
имеем следующую модель:

• минимизировать:

,

• при
  ограничениях:

,
j[1,
5],

,
i[1,
4],

,
i[1,
4], j[1,
5],

где a_i
– объем производства на i-й
фабрике, b_j
– спрос в j-м
центре распределения.

Постановка задачи
в терминах рабочего листа Excel
для использования утилиты «Поиск
решения».

1. Разместить исходные
   данные, как показано на рис.4.7, 4.8.

2. Отвеcти
   ячейки В8:F11
   под значения неизвестных (объемов
   перевозок).

3. Ввести в ячейки
   Н8:Н11
   объемы
   производства
   на фабриках.

4. Ввести в ячейки
   B13:F13
   потребность
   в продукции
   в пунктах распределения.

5. В ячейку В16
   ввести функцию
   цели =
   СУММПРОИЗВ(В3:F6;B8:F11).

6. В ячейки G8:G11
   ввести формулы, вычисляющие объемы
   производства
   на фабриках, в ячейки B12:F12
   – объемы
   доставляемой продукции
   в пункты распределения.

Рис.4.7 – Исходные
данные

Рис. 4.8– Исходные
данные в режиме формул

В окне утилиты
«Поиск
решения»
задать целевую ячейку, изменяемые ячейки
и ограничения (см. рис.4.9).

Рис. 4.9– Параметры
окна «Поиск
решения»

Оптимальный план,
обеспечивающий минимальные затраты на
перевозку продукции от производителей
к потребителям, найденный с помощью
утилиты «Поиск
решения»,
представлен на рис. 4.10.

Рис.4.10 – Результаты
Поиска
решения

Как описано выше,
утилитой «Поиск
решения»
может быть сформирован отчет по
результатам.

Задания для
самостоятельной работы

Задание 1. Решить
задачу линейного
программирования,
используя надстройку «Поиск
решения»
ТП
MS
Excel.

Для
производства двух видов изделий А
и В
используется три типа технологического
оборудования. На производство единицы
изделия А
оборудование первого типа используется
а₁
часов, оборудование второго типа – а₂
часов, оборудование третьего типа – а₃
часов. На производство единицы изделия
В оборудование первого типа используется
в₁
часов, оборудование второго типа – в₂
часов, оборудование третьего типа – в₃
часов.

На
изготовление всех изделий администрация
предприятия может предоставить
оборудование первого типа не более чем
на t₁
часов, оборудование второго типа не
более чем на t₂
часов, оборудование третьего типа не
более чем на t₃
часов.

Прибыль
от реализации единицы готового изделия
А
составляет α
руб., а изделия В
– β
руб.

Составить
план производства изделий А
и В,
обеспечивающий максимальную прибыль
от их реализации.

Варианты
заданий приведены в таблице 4.2.

Таблица
4.2.
Варианты заданий

Найденные решения (значения изменяемых ячеек) можно сохранить в качестве сценария. Для этого нужно:

1. В диалоговом окне Результаты поиска решения выбрать Сохранить сценарий.
2. В поле Название сценария ввести имя сценария. Просмотреть сценарии можно с помощью команды Данные > Работа с данными > Анализ что-если > Диспетчер сценариев > Сценарии.

С помощью программы Поиск решения можно создать три типа отчетов по результатам, полученным при успешном завершении процедуры решения.

Каждый отчет создается на отдельном листе текущей рабочей книги.

Для создания отчета надо в диалоговом окне Результаты поиска решения выбрать нужный тип отчета в поле Тип отчета. Можно выбрать сразу несколько типов (при выделении нескольких строк используется клавиша ).

• Результаты – отчет содержит целевую ячейку, список изменяемых ячеек, их исходные и конечные значения, ограничения и сведения о них.
• Устойчивость – отчет содержит сведения о степени зависимости модели от изменений величин, входящих в формулы, применяемые в задаче (формулы модели и формулы ограничений).
• Пределы – выводится целевая ячейка и ее значение, а также список изменяемых ячеек, их значений, нижних и верхних пределов и целевых результатов.

Рассмотрим применение процессора Excel для решения ЗЛП на примерах.

Задача 1. Планирование производства

Модель линейного программирования дает возможность определить наиболее выгодную производственную программу выпуска нескольких видов продукции при заданных ограничениях на ресурсы.

МП выпускает товары х₁,х₂,х₃,х₄, получая от реализации каждого прибыль в 60,70,120,130 руб. соответственно. Затраты на производство приведены в таблице.

1. Максимум прибыли в зависимости от оптимального распределения затрат.
2. Минимум ресурсов, необходимых для получения максимальной прибыли.

Решение задачи средствами Excel состоит из 4 этапов:

1. Создание математической модели задачи ЛП.
2. Создание формы для ввода условий задачи, ввод в неё исходных данных и зависимостей из математической модели.
3. Ввод данных из формы в окно Excel Поиск решения из меню Данные.
4. Задание параметров поиска и решение задачи.

Создание математической модели задачи

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

— целевая функция прибыли.

— граничные условия модели, так как количество производимых товаров не может быть отрицательной величиной.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее первого рабочего листа на Задача о производстве.

Создание формы

• Составление формы в виде:

A	B	C	D	E	F	G	H
1	Переменная	х7	х2	x3	х4	Формула	Знак	Св.член
2	Значение
3	Коэф. ЦФ	60	70	120	130	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В3:Е3)	Max
4	Трудовые	1	1	1	1	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В4:Е4)		16
5	Сырьевые	6	5	4	1	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В5:Е5)		110
6	Финансы	4	6	10	13	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В6:Е6)		100

• Запись в ячейки В3:Е3 коэффициентов целевой функции F (1), в В4:Е6 коэффициентов из системы ограничений (2) и в ячейки Н4:Н6 – свободных членов из системы (2).
• Ввод формул с помощью f_x – Мастера функций.

Для ввода формулы в целевую ячейку (целевой функции): щелкнуть левой клавишей мыши по ячейке F3 , затем по значку Мастера функций f_x на панели инструментов, в появившемся окне «Мастер функций, Шаг 1» выбрать категорию «Математические», далее выбрать функцию СУММПРОИЗВ, нажать клавишу ОК, в окне «Мастер функций Шаг 2» в поле Массив 1 ввести с клавиатуры В2:Е2 (ячейки, в которых будут варьироваться х₁..х₄), в поле Массив 2 ввести В3:Е3 (коэффициенты целевой функции ЦФ).

Примечание. Можно вводить В2:Е2 не с клавиатуры, а поставить курсор в окно Массив 1, а затем протащить курсор при нажатой левой клавише мыши по ячейкам В2:Е2, имена ячеек сами запишутся в окно. Аналогично поступить с полем Массив 2.

Нажать клавишу ОК, в ячейку F3 запишется формула 60х₁+70х₂+120х₃+ 130х₄ в виде СУММПРОИЗВ(В2:Е2;В3:Е3).

Чтобы не вводить формулы в другие ячейки, необходимо изменить тип адресации для ячеек В2:Е2 с относительной на абсолютную $B$2:$E$2 , установив курсор перед нужным адресом B2 и нажав функциональную клавишу F4 , затем повторить эти действия для адреса E2 . Формула примет следующий вид:

После внесенных изменений необходимо скопировать формулу в ячейки F4:F6 c помощью маркера заполнения. Для этого необходимо выделить ячейку F3 , содержащую нужную формулу, установить указатель мыши на черный квадратик в правом нижнем углу ячейки (он примет форму черного крестика) и протащить с помощью левой кнопки мыши на весь требуемый диапазон.

В результате копирования мы увидим следующие формулы:

• в ячейке F4 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В4:Е4),
• в ячейке F5 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В5:Е5),
• в ячейке F6 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В6:Е6).

Заполнение окна Поиск решения

Выбрать в пункте меню Данные команду Поиск решения, поставить курсор в поле целевой функции, выделить ячейку F3 в форме (или ввести F3 с клавиатуры), поставить переключатель в положение «Максимальному значению» (см. рис. 12.1 рис. 12.1). В поле «Изменяя ячейки» ввести $В$2:$Е$2(с клавиатуры или протащив мышью).

Нажать клавишу «Добавить», в окне «Добавление ограничения» в поле «Ссылка на ячейку» ввести F4 , выбрать через «стрелка вниз» знак ««, в поле справа ввести Н4 (рис. 12. рис. 12.2).

Аналогично через «Добавить» ввести , для системы ограничений (2), а также , , и .

Также необходимо добавить ограничения для получения целочисленных величин по количеству товаров: B2=цел, C2=цел, D2=цел и Е2=цел.

После ввода последнего граничного условия вместо «Добавить» нажать клавишу ОК, появится окно «Поиск решения».

Для изменения или удаления ограничений и граничных условий используются клавиши Изменить, Удалить.

Параметры поиска

В окне «Поиск решения» нажать клавишу «Параметры», выбрать по умолчанию Максимальное время – 100 с, число итераций – 100 (для большинства задач это количество просчётов подходит с большим запасом), установить флажок в строке «Линейная модель», нажать ОК, в появившемся окне Поиск Решения нажать Выполнить (рис. 12. рис. 12.3).

Результаты поиска решения с таблицей результатов:

A	B	C	D	E	F	G	H
1	Переменная	X1	X2	X3	X4	Формула	Знак	Св.член
2	Значение	10	0	6	0
3	Коэф. ЦФ	60	70	120	130	1320	Max
4	Трудовые	1	1	1	1	16		16
5	Сырьевые	6	5	4	1	84		110
6	Финансы	4	6	10	13	100		100

Таким образом оптимальный план Х(Х₁,Х₂,Х₃,Х₄)=(10,0,6,0) при минимальном использовании ресурсов

• Трудовые – 16 (У₁)
• Сырьевые – 84 (У₂)
• Финансы – 100 (У₃)

даёт максимум прибыли F в 1320 руб.

_Вывод: Максимальная прибыль F в 1320 руб. получается при выпуске только товаров Х₁ и Х₃ в количестве 10 и 6 штук соответственно, товары Х₃ и Х₄ выпускать не нужно (это приведёт к снижению прибыли). Трудовые (У₁) и финансовые (У₃) ресурсы используются полностью, по сырьевым ресурсам (У₂) есть запас в 110-84=26 ед.

Кроме того, это означает, что изменение трудовых ( y₁ ) и финансовых ( y₃ ) ресурсов приведёт к изменению прибыли F , а изменение сырьевых ресурсов ( y₂ ) – нет.

Разности между плановыми ресурсами и использованными являются двойственными переменными y₁, y₂ и y₃ сопряжённой задачи линейного программирования. В данном случае y₁=y₃=0 , а y₂=26 ед. Таким образом, ресурс y₂ можно уменьшить на 26 ед., тогда план по сырью тоже будет оптимальным.

Задача 2. Задача об оптимальной диете

Имеется n видов продуктов питания, в которых содержится m типов питательных веществ (белки, жиры, углеводы). В одной весовой единице продукта i-го типа содержится а_i единиц питательного вещества j-го вида . Известна минимальная суточная потребность b _j (j in <1,2. т>) человека в каждом из видов питательных веществ. Задана калорийность с_i одной весовой единицы i-го продукта ( i принадлежит <1, 2, . n>).

Требуется определить оптимальный состав рациона продуктов, такой, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Ведем в рассмотрение следующие переменные: х – весовое количество продукта питания i-го типа в суточном рационе.

Тогда в общем случае математическая постановка задачи об оптимальной диете может быть сформулирована следующим образом:

где множество допустимых альтернатив формируется следующей системой ограничений типа неравенств:

Для решения задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной задачи.

Для определенности предположим, что в качестве исходных типов продуктов рассматриваются: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры, виноград ( n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы ( m = 3).

Калорийность одной весовой единицы каждого из продуктов следующая:с₁ = 2060,с₂= 2430,с₃= 3600,с₄= 890,с₅= 140,с₆= 230, с₇ = 650. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме нижеприведенной таблицы.

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 100, в жирах b ₂= 70, в углеводах b3 = 400.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее второго рабочего листа на Задача о диете.

Таблица 1. Содержание питательных веществ в продуктах питания

Создание математической модели задачи

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

– целевая функция (суммарная калорийность продуктов).

– граничные условия

Создание формы

Для решения поставленной задачи выполним следующие подготовительные действия:

1. Внесем необходимые надписи в ячейки A1:I1, A2:A7, B4, I4, J4 .
2. В ячейки ВЗ:НЗ введем значения коэффициентов целевой функции: с₁ = 2060, с₂ = 2430, с₃ = 3600, с₄ = 890, с₅ = 140, с₆ = 230, с₇ = 650.
3. В ячейку I2 введем формулу: =СУММПРОИЗВ( b ₂:Н2;B3:H3), которая представляет целевую функцию (4).
4. В ячейки В5:Н7 введем значения коэффициентов ограничений, взятых из таблицы.

1. В ячейки J5 :J7 введем значения правых частей ограничений, соответствующих минимальной суточной потребности в питательных веществах: в белках b ₁=100 , жирах b ₂= 70 и углеводах b3 = 400.
2. В ячейку I5 введем формулу: =СУММПРОИЗВ($B$2:$H$2;В5:Н5), которая представляет левую часть первого ограничения (5).
3. Скопируем формулу, введенную в ячейку I5 , в ячейки I6 и I7 .
4. Внешний вид рабочего листа MS Office Excel с исходными данными для решения задачи об оптимальном рационе питания имеет следующий вид (pиc. 12.4).

Для отображения формул в ячейках рабочего листа необходимо выполнить команду меню: Формулы и на панели инструментов в группе Зависимости формул выбрать Показать формулы.

Заполнение окна Поиск решения

Для дальнейшего решения задачи следует вызвать мастер поиска решения, для чего необходимо выполнить операцию: Данные > Поиск решения.

После появления диалогового окна Поиск решения следует выполнить следующие действия:

1. В поле с именем Установить целевую ячейку: ввести абсолютный адрес ячейки $I$2 .
2. Для группы Равной: выбрать вариант поиска решения – минимальному значению.
3. В поле с именем Изменяя ячейки: ввести абсолютный адрес ячеек $B$2:$H$2 .
4. Добавить 3 ограничения, представляющие минимальные суточные потребности в питательных веществах. С этой целью выполнить следующие действия:
   • для задания первого ограничения в исходном диалоговом окне Поиск решения нажать кнопку с надписью Добавить (рис. 12.5 рис. 12.5, а);
   • в появившемся дополнительном окне выбрать ячейку $I$5 , которая должна отобразиться в поле с именем Ссылка на ячейку;
   • в качестве знака ограничения из выпадающего списка выбрать нестрогое неравенство » «;
   • в качестве значения правой части ограничения выбрать ячейку $J$5 ;
   • для добавления первого ограничения в дополнительном окне нажать кнопку с надписью Добавить;
   • аналогичным образом задать оставшиеся два ограничения (рис. 12.5 рис. 12.5, б).

Параметры

В окне «Поиск решения» нажать клавишу «Параметры», выбрать «Поиск решения Линейных задач симплекс-методом», нажать ОК, затем нажать Найти Решение (рис. 12.6 рис. 12.6, б).

После задания ограничений и целевой функции можно приступить к поиску численного решения, для чего следует нажать кнопку Выполнить. После выполнения расчетов программой MS Excel будет получено количественное решение, которое имеет вид, представленный на рис. 12. рис. 12.7.

Результатом решения задачи об оптимальной диете являются найденные оптимальные значения переменных: х₁ = 0, х₂ = 0,211, 3 = 0,109, х₄= 1,887, х₅ = 0, х₆ = 0, х₇ = 0, которым соответствует значение целевой функции: f_опт= 2587,140. При выполнении расчетов для ячеек В2:I2 был выбран числовой формат с 3 знаками после запятой.

Анализ найденного решения показывает, что для удовлетворения суточной потребности в питательных веществах (белки, жиры, углеводы) следует использовать 211 г мяса баранины, 109 г сыра и 1887 г бананов, совсем отказавшись от хлеба, огурцов, помидоров и винограда. При этом общая калорийность найденной оптимальной диеты будет приближенно равна 2590 ккал, что вполне соответствует малоактивному образу жизни без серьезных физических нагрузок. Напомним, что согласно медицинским данным, энергетические затраты работников интеллектуального труда (юристы, бухгалтера, врачи, педагоги) лежат в пределах 3000 ккал.

ЗАДАНИЕ

1. Составить математическую модель задачи линейного программирования.
2. Решить задачу линейного программирования в Excel с помощью Поиска решения.
3. Сохранить в виде модели установочные параметры.

Предприятие легкой промышленности выпускает две модели машин, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 80 изделий, второй линии – 85 изделий. На машину первой модели расходуются 12 однотипных элементов электронных схем, на машину второй модели – 6 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одной машины первой и второй моделей равна $30 и $40 соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трех приборах. Время использования этих приборов для производства данных изделий ограничено 10 ч. в сутки. Найти оптимальный объем производства изделий каждого вида.

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукции, используя местные радио- и телевизионную сеть. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены $1000 в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в $5, а минута телерекламы – в $100. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определить оптимальное распределение ежемесячно отпускаемых средств между радио- и телерекламой.

Фирма производит два вида продукции – А и B . Объем сбыта продукции вида A составляет не менее 70% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 120 кг. Расход сырья на единицу продукции A составляет 3 кг, а на единицу продукции В – 5 кг. Цены продукции А и В равны $20 и $60 соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

Фирма выпускает женские шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 60 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 50 до 100 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна $6, а фасона 2 – $7. Определить какое количество шляп каждого фасона следует изготавливать, чтобы максимизировать прибыль.

Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков:

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет $10 и $15 для станка 1 и 2 соответственно. Допустимое время для использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1,2,3 и 4 равны $65, $70, $55 и $45 соответственно. Составить план производства, максимизирующий чистую прибыль.

Завод выпускает изделия трех моделей ( I, II III ) Для их изготовления используется два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют – 5000 и 6000 единиц. Расходы ресурсов на одно изделие каждой модели:

Трудоемкость изготовления модели I вдвое больше, чем изделия модели II , и втрое больше, чем изделие модели III . Численность рабочих завода позволяет выпускать 1500 изделий I . Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, 200 и 150 изделий моделей I,II и III соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей I,II и III должно быть равно 3:2:5. Удельная прибыль от реализации изделий моделей I,II и III составляет $30, $20 и $50 соответственно. Определить выпуск изделий, максимизирующий прибыль.

Требуется распределить имеющиеся денежные средства по четырем альтернативным вариантам. Игра имеет три исхода. Ниже приведены размеры выигрыша (или проигрыша) на каждый доллар, вложенный в соответствующий альтернативный вариант, для любого из трех исходов. У игрока имеется $500, причем, использовать в игре их можно только один раз. Точный исход игры заранее неизвестен, и, учитывая эту неопределенность, игрок решил распределить деньги так, чтобы максимизировать максимальную отдачу от этой суммы.

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 80000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Хотя недельный рацион цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт.

Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов или ингредиентов. Ограничим наше рассмотрение только тремя ингредиентами: известняком, зерном и соевыми бобами. Ниже приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента.

Смесь должна содержать:

• не менее 0.8%, но не более 1.2% кальция;
• не менее 22% белка;
• не более 5% клетчатки.

Необходимо определить количество каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

Имеется n видов продуктов питания, в которых содержится m типов питательных веществ (белки, жиры, углеводы). В одной весовой единице продукта i-го типа содержится а_i единиц питательного вещества j-го вида . Известна минимальная суточная потребность b _j человека в каждом из видов питательных веществ. Задана калорийность сi одной весовой единицы i-го продукта ( i принадлежит <1, 2, . n >). Требуется определить оптимальный состав рациона продуктов, такой, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Для решения задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной задачи. Для определенности предположим, что в качестве исходных типов продуктов рассматриваются: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры, виноград ( n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы ( m = 3). Калорийность одной весовой единицы каждого из продуктов следующая:с₁ = 2060,с₂= 2430,с₃= 3600,с₄= 890,с₅= 140,с₆= 230, с₇ = 650. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме следующей таблицы (см. табл.).

Таблица 1. Содержание питательных веществ в продуктах питания

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 105, в жирах b ₂ = 75, в углеводах b ₃ = 405.

Определить суточную потребности в питательных веществах (белки, жиры, углеводы) и общую калорийность оптимальной диеты.

Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй линии – 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуются 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равна $30 и $20 соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограничено 10 ч. в сутки. Найти оптимальный объем производства изделий каждого вида.

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукции, используя местные радио- и телевизионную сеть. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены $1000 в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в $5, а минута телерекламы – в $100. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определить оптимальное распределение ежемесячно отпускаемых средств между радио- и телерекламой.

Фирма производит два вида продукции – A и B . Объем сбыта продукции вида A составляет не менее 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 100 кг. Расход сырья на единицу продукции A составляет 2 кг, а на единицу продукции В – 4 кг. Цены продукции А и В равны $20 и $40 соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

Фирма выпускает ковбойские шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 60 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 50 до 100 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна $8, а фасона 2 – $5. Определить какое количество шляп каждого фасона следует изготавливать, чтобы максимизировать прибыль.

Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков:

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет $10 и $15 для станка 1 и 2 соответственно. Допустимое время для использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1,2,3 и 4 равны $65, $70, $55 и $45 соответственно. Составить план производства максимизирующий чистую прибыль.

Завод выпускает изделия трех моделей ( I, II III ). Для их изготовления используется два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют – 4000 и 6000 единиц. Расходы ресурсов на одно изделие каждой модели:

Трудоемкость изготовления модели I вдвое больше, чем изделия модели II , и втрое больше, чем изделие модели III . Численность рабочих завода позволяет выпускать 1500 изделий I . Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, 200 и 150 изделий моделей I,II и III соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей I,II и III должно быть равно 3:2:5. Удельная прибыль от реализации изделий моделей I,II и III составляет $30, $20 и $50 соответственно. Определить выпуск изделий, максимизирующий прибыль.

Некоторое производственное предприятие выпускает три вида клея. Для производства клея используется 4 типа химических веществ: крахмал, желатин, квасцы и мел. Расход этих веществ в кг для получения 1 кг каждого вида клея и их запас на складе предприятия представлены в таблице.

Таблица 1. Расход химических веществ на изготовления клея, их запас на складе

Стоимость каждого вида клея для оптовых покупателей следующая:с₁ = 380 руб/кг,с₂ =430 руб/кг,с₃ = 460 руб/кг. Требуется определить оптимальный объем выпуска клея каждого вида, обеспечивающий максимум общей стоимости готовой продукции.

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Хотя недельный рацион цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт.

Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов или ингредиентов. Ограничим наше рассмотрение только тремя ингредиентами: известняком, зерном и соевыми бобами. Ниже приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента.

Смесь должна содержать:

• не менее 0.8%, но не более 1.2% кальция;
• не менее 22% белка;
• не более 5% клетчатки.

Необходимо определить количество каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

Имеется конечное число видов продуктов питания: ананас, арбуз, грейпфрут, язык говяжий, сардельки говяжьи, хлеб «Бородинский», картофель ( n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы ( m = 3). Калорийность 1 кг каждого из продуктов следующая:с₁ = 470,с₂= 380,с₃ = 350,с₄ = 1460,с₅ = 2150,с₆ = 2070, с₇ = 800. Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 100, в жирах b ₂ = 70, в углеводах b3 = 400. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме нижеприведенной таблицы (табл.).

Требуется определить такой рацион питания, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Поиск решения задач в Excel с примерами

Пользователи Excel давно и успешно применяют программу для решения различных типов задач в разных областях.

Excel – это самая популярная программа в каждом офисе во всем мире. Ее возможности позволяют быстро находить эффективные решения в самых разных сферах деятельности. Программа способна решать различного рода задачи: финансовые, экономические, математические, логические, оптимизационные и многие другие. Для наглядности мы каждое из выше описанных решение задач в Excel и примеры его выполнения.

Решение задач оптимизации в Excel

Оптимизационные модели применяются в экономической и технической сфере. Их цель – подобрать сбалансированное решение, оптимальное в конкретных условиях (количество продаж для получения определенной выручки, лучшее меню, число рейсов и т.п.).

В Excel для решения задач оптимизации используются следующие команды:

Для решения простейших задач применяется команда «Подбор параметра». Самых сложных – «Диспетчер сценариев». Рассмотрим пример решения оптимизационной задачи с помощью надстройки «Поиск решения».

Условие. Фирма производит несколько сортов йогурта. Условно – «1», «2» и «3». Реализовав 100 баночек йогурта «1», предприятие получает 200 рублей. «2» — 250 рублей. «3» — 300 рублей. Сбыт, налажен, но количество имеющегося сырья ограничено. Нужно найти, какой йогурт и в каком объеме необходимо делать, чтобы получить максимальный доход от продаж.

Известные данные (в т.ч. нормы расхода сырья) занесем в таблицу:

На основании этих данных составим рабочую таблицу:

1. Количество изделий нам пока неизвестно. Это переменные.
2. В столбец «Прибыль» внесены формулы: =200*B11, =250*В12, =300*В13.
3. Расход сырья ограничен (это ограничения). В ячейки внесены формулы: =16*B11+13*B12+10*B13 («молоко»); =3*B11+3*B12+3*B13 («закваска»); =0*B11+5*B12+3*B13 («амортизатор») и =0*B11+8*B12+6*B13 («сахар»). То есть мы норму расхода умножили на количество.
4. Цель – найти максимально возможную прибыль. Это ячейка С14.

Активизируем команду «Поиск решения» и вносим параметры.

После нажатия кнопки «Выполнить» программа выдает свое решение.

Оптимальный вариант – сконцентрироваться на выпуске йогурта «3» и «1». Йогурт «2» производить не стоит.

Решение финансовых задач в Excel

Чаще всего для этой цели применяются финансовые функции. Рассмотрим пример.

Условие. Рассчитать, какую сумму положить на вклад, чтобы через четыре года образовалось 400 000 рублей. Процентная ставка – 20% годовых. Проценты начисляются ежеквартально.

Оформим исходные данные в виде таблицы:

Так как процентная ставка не меняется в течение всего периода, используем функцию ПС (СТАВКА, КПЕР, ПЛТ, БС, ТИП).

1. Ставка – 20%/4, т.к. проценты начисляются ежеквартально.
2. Кпер – 4*4 (общий срок вклада * число периодов начисления в год).
3. Плт – 0. Ничего не пишем, т.к. депозит пополняться не будет.
4. Тип – 0.
5. БС – сумма, которую мы хотим получить в конце срока вклада.

Вкладчику необходимо вложить эти деньги, поэтому результат отрицательный.

Для проверки правильности решения воспользуемся формулой: ПС = БС / (1 + ставка) кпер . Подставим значения: ПС = 400 000 / (1 + 0,05) 16 = 183245.

Решение эконометрики в Excel

Для установления количественных и качественных взаимосвязей применяются математические и статистические методы и модели.

Дано 2 диапазона значений:

Значения Х будут играть роль факторного признака, Y – результативного. Задача – найти коэффициент корреляции.

Для решения этой задачи предусмотрена функция КОРРЕЛ (массив 1; массив 2).

Решение логических задач в Excel

В табличном процессоре есть встроенные логические функции. Любая из них должна содержать хотя бы один оператор сравнения, который определит отношение между элементами (=, >, =, Пример задачи. Ученики сдавали зачет. Каждый из них получил отметку. Если больше 4 баллов – зачет сдан. Менее – не сдан.

1. Ставим курсор в ячейку С1. Нажимаем значок функций. Выбираем «ЕСЛИ».
2. Заполняем аргументы. Логическое выражение – B1>=4. Это условие, при котором логическое значение – ИСТИНА.
3. Если ИСТИНА – «Зачет сдал». ЛОЖЬ – «Зачет не сдал».

Решение математических задач в Excel

Средствами программы можно решать как простейшие математические задачки, так и более сложные (операции с функциями, матрицами, линейными уравнениями и т.п.).

Условие учебной задачи. Найти обратную матрицу В для матрицы А.

1. Делаем таблицу со значениями матрицы А.
2. Выделяем на этом же листе область для обратной матрицы.
3. Нажимаем кнопку «Вставить функцию». Категория – «Математические». Тип – «МОБР».
4. В поле аргумента «Массив» вписываем диапазон матрицы А.
5. Нажимаем одновременно Shift+Ctrl+Enter — это обязательное условие для ввода массивов.

Возможности Excel не безграничны. Но множество задач программе «под силу». Тем более здесь не описаны возможности которые можно расширить с помощью макросов и пользовательских настроек.

history 14 января 2021 г.

Группы статей
• Надстройка «Поиск решения»

Пусть дана функция с несколькими переменными F(x1, x2, …)=a1*x1+a2*x2+… Также даны граничные условия в виде b1*x1+b2*x2+…<=c (несколько условий). Нужно найти экстремум функции F (минимум или максимум). Это классическая задача для Поиска решения MS EXCEL, кроме того это линейная модель. Сделаем удобную форму для таких задач и покажем как настроить Поиск решения.

Задача

Пусть дана явная функция с 4 переменными:

Также даны несколько (семь) граничных условий (англ: restrictions, constraints):

Требуется найти максимум функции F.

Создание модели

Решим задачу с помощью инструмента MS EXCEL

Поиск решения

, хотя можно ее решить и другим способом, например аналитически.

На рисунке ниже приведена модель, созданная для решения задачи (см.

файл примера

).

Переменные (выделено зеленым)

. В качестве переменных модели, очевидно, выступают x1, x2, x3, x4. Эта задача хороша тем, что переменные задаются однозначно, не требуется осмысливать житейскую задачу, например как с

оптимизацией затрат

. Хотя математически — это эквивалентные задачи, только количество переменных разное.

После запуска Поиск решения будет методично (последовательно) по своему алгоритму подставлять в зеленые ячейки числовые значения и вычислять функцию F (красная ячейка).

Ограничения (выделено серым)

. Ограничения модели — это ограничения на область изменения переменных. Они могут задаваться как простыми выражениями для одной переменной, например х1>=0, так и для некой комбинации переменных 5*x1+4*x2-x3-2*x4<=-3. В первом случае х1>=0 ограничения можно ввести прямо в окне Поиска решения (будет показано ниже), для более сложных зависимостей удобно подготовить вспомогательную таблицу (С26:Е29).

Составить модель, особенно первую, непросто. Может помочь такой подход: считать, что переменные (зеленые ячейки) уже содержат некие значения, пусть даже не оптимальные. Так легче составлять огграничения. В нашем случае ограниечение 5*x1+4*x2-x3-2*x4 можно записать с помощью формулы =

СУММПРОИЗВ($D$19:$D$22;C26:C29)

. В диапазоне D19:D22 содержатся коэффициенты 5; 4; -1; -2. Кроме того, если значения переменных заданы, то и значение целевой функции также автоматически рассчитано (тоже не оптимальное пока, до запуска Поиска решения).

Целевая функция (выделено красным)

.

Целевая функция — это то, что требуется оптимизировать, т.е. F. Формула для ее вычисления задана в явном виде — не нужно догадываться из условий обычной задачи как ее подсчитать. Это не всегда очевидно (см., например, статью про

пропускную способность трубопровода

).

Ниже приведено окно Поиска решения с заполненными полями: целевая функция, переменные и ограничения.

После запуска Поиска решения ответ будет вычислен за доли секунды: F=3.