Найти корни алгебраического уравнения в excel - Word и Excel

Как в офисе.

Рассмотрим пример нахождения всех корней уравнения

Отметим, что у полинома третьей степени имеется не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их предварительно надо локализовать. С этой целью необходимо полином протабулировать. Построим таблицу значений полинома на отрезке [—1,1] с шагом 0,2 и график полинома. Результат приведен на рис. 29, где в ячейку В2 введена формула

=A2^3 — 0,01*A2^2 — 0,7044*A2 + 0,139104.

На рис. 29 видно, что полином меняет знак на интервалах [—1,—0,8], [0,2, 0,4] и [0,6, 0,8]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома. Поскольку полином третьей степени имеет не более трех действительных корней, мы локализовали все его корни.

Найдем корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис / Подбор параметров. Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций задаются на вкладке Вычисления диалогового окна Параметры, открываемого командой Сервис / Параметры (рис. 30).

Зададим относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,00001 и 1000 соответственно. В качестве начальных приближений к корням можно взять любые точки из отрезков локализации корней. Возьмем в качестве начальных приближений их средние точки: —0.9, 0.3, 0,7 и введем их в диапазон ячеек С2:С4. В ячейку D2 введем формулу

=C2^3 — 0,01*C2^2 — 0,7044*C2 + 0,139104.

Выделим эту ячейку и с помощью маркера заполнения протащим введенную в нее формулу на диапазон D2:D4. В ячейках D2:D4 будут вычислены значения полинома при значениях аргумента, введенных в ячейки C2:C4.

Теперь выберем команду Сервис / Подбор параметров и заполним диалоговое окно Подбор параметров следующим образом (рис. 31).

В поле Установить в ячейке введем D2. В этом поле дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. В поле Значение введем 0 (в этом поле указывается правая часть уравнения). В поле Изменяя значение ячейки введем С2 (в этом поле дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную).

Вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке. При этом Excel автоматически будет превращать их в абсолютные ссылки (в нашем примере в $D$2 и $C$2).

После нажатия кнопки ОК средство подбора параметров находит приближенное значение корня, которое помещается в ячейку С2. В данном случае оно равно —0,920. Аналогично в ячейках С3 и С4 находим два оставшихся корня. Они равны 0,210 и 0,720.

Найти все корни уравнения через excel

Если в ячейку Excel введена формула, содержащая ссылку на эту же самую ячейку (может быть и не напрямую, а опосредованно — через цепочку других ссылок), то говорят, что имеет место циклическая ссылка (цикл). На практике к циклическим ссылкам прибегают, когда речь идет о реализации итерационного процесса, вычислениях по рекуррентным соотношениям. В обычном режиме Excel обнаруживает цикл и выдает сообщение о возникшей ситуации, требуя ее устранения. Excel не может провести вычисления, так как циклические ссылки порождают бесконечное количество вычислений. Есть два выхода из этой ситуации: устранить циклические ссылки или допустить вычисления по формулам с циклическими ссылками (в последнем случае число повторений цикла должно быть конечным).

Рассмотрим задачу нахождения корня уравнения методом Ньютона с использованием циклических ссылок. Возьмем для примера квадратное уравнение: х 2 — 5х + 6=0, графическое представление которого приведено на рис. 8. Найти корень этого (и любого другого) уравнения можно, используя всего одну ячейку Excel.

Для включения режима циклических вычислений в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления включаем флажок Итерации, при необходимости изменяем число повторений цикла в поле Предельное число итераций и точность вычислений в поле Относительная погрешность (по умолчанию их значения равны 100 и 0,0001 соответственно). Кроме этих установок выбираем вариант ведения вычислений: автоматически или вручную. При автоматическом вычислении Excel выдает сразу конечный результат, при вычислениях, производимых вручную, можно наблюдать результат каждой итерации.

Рис. 8. График функции

Выберем произвольную ячейку, присвоим ей новое имя, скажем — Х, и введем в нее рекуррентную формулу, задающую вычисления по методу Ньютона:

где F и F1 задают соответственно выражения для вычисления значений функции и ее производной. Для нашего квадратного уравнения после ввода формулы в ячейке появится значение 2, соответствующее одному из корней уравнения (рис. 8). В нашем случае начальное приближение не задавалось, итерационный вычислительный процесс начинался со значения, по умолчанию хранимого в ячейке Х и равного нулю. А как получить второй корень? Обычно это можно сделать изменением начального приближения. Решать проблему задания начальных установок в каждом случае можно по-разному. Мы продемонстрируем один прием, основанный на использовании функции ЕСЛИ. С целью повышения наглядности вычислений ячейкам были присвоены содержательные имена (рис. 9).

В ячейку Хнач (В4) заносим начальное приближение — 5.
В ячейку Хтекущ (С4) записываем формулу:
=ЕСЛИ(Хтекущ=0;Хнач; Хтекущ-(Хтекущ^2-5*Хтекущ+6)/(2*Хтекущ-5)).
В ячейку D4 помещаем формулу, задающую вычисление значения функции в точке Хтекущ, что позволит следить за процессом решения.
Заметьте, что на первом шаге вычислений в ячейку Хтекущ будет помещено начальное значение, а затем уже начнется счет по формуле на последующих шагах.

Чтобы сменить начальное приближение, недостаточно изменить содержимое ячейки Хнач и запустить процесс вычислений. В этом случае вычисления будут продолжены, начиная с последнего вычисленного

Рис. 9. Определение начальных установок

значения. Чтобы обнулить значение, хранящееся в ячейке Хтекущ, нужно заново записать туда формулу. Для этого достаточно для редактирования выбрать ячейку, содержащую формулу, дважды щелкнув мышью на ней (при этом содержимое ячейки отобразится в строке формул). Щелчок по кнопке (нажатие клавиши) Enter запустит вычисления с новым начальным приближением.

2.2. Подбор параметра

Когда желаемый результат вычислений по формуле известен, но неизвестны значения, необходимые для получения этого результата, можно воспользоваться средством Подбор параметра, выбрав команду Подбор параметра в меню Сервис. При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не дадут нужного результата.

Возьмем в качестве примера все то же квадратное уравнение х 2 -5х+6=0. Для нахождения корней уравнения выполним следующие действия:

В ячейку С3 (рис. 10) введем формулу для вычисления значения функции,

Рис. 10. Окно диалога Подбор параметра

стоящей в уравнении слева от знака равенства. В качестве аргумента используем ссылку на ячейку С2, т.е. =С2^2-5*C2+6.

В окне диалога Подбор параметра (рис. 10) в поле Установить в ячейке введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение — ожидаемый результат, в поле Изменяя значения ячейки — ссылку на ячейку, в которой будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).
После нажатия на кнопку Ok Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра. Если подобранное значение необходимо сохранить, то нажмите на Оk, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки. Для восстановления значения, которое было в ячейке С2 до использования команды Подбор параметра, нажмите кнопку Отмена.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка Продолжить — для возврата в обычный режим подбора параметра.

Вернемся к примеру. Опять возникает вопрос: как получить второй корень? Как и в предыдущем случае необходимо задать начальное приближение. Это можно сделать следующим образом (рис. 11,а):

В ячейку Х (С2) вводим начальное приближение.
В ячейку Х_i (С3) вводим формулу для вычисления очередного приближения к корню, т.е.
=X-(X^2-5*X+6)/(2*X-5).
В ячейку С4 поместим формулу, задающую вычисление значения функции, стоящей в левой части исходного уравнения, в точке Х_i.
После этого выбираем команду Подбор параметра, где в качестве изменяемой ячейки принимаем ячейку С2. Результат вычислений изображен на рис. 11,б (в ячейке С2 — конечное значение, а в ячейке С3 — предыдущее).

Однако все это можно сделать и несколько проще. Для того чтобы найти второй корень, достаточно в качестве начального приближения (рис. 10) в ячейку C2 поместить константу 5 и после этого запустить процесс Подбор параметра.

2.3. Поиск решения

Команда Подбор параметра является удобной для решения задач поиска определенного целевого значения, зависящего от одного неизвестного параметра. Для более сложных задач следует использовать команду Поиск решения (Решатель), доступ к которой реализован через пункт меню Сервис/Поиск решения.

Задачи, которые можно решать с помощью Поиска решения, в общей постановке формулируются так:

Искомые переменные — ячейки рабочего листа Excel — называются регулируемыми ячейками. Целевая функция F(х₁, х₂, … , х_n), называемая иногда просто целью, должна задаваться в виде формулы в ячейке рабочего листа. Эта формула может содержать функции, определенные пользователем, и должна зависеть (ссылаться) от регулируемых ячеек. В момент постановки задачи определяется, что делать с целевой функцией. Возможен выбор одного из вариантов:

найти максимум целевой функции F(х₁, х₂, … , х_n);
найти минимум целевой функции F(х₁, х₂, … , х_n);
добиться того, чтобы целевая функция F(х₁, х₂, … , х_n) имела фиксированное значение: F(х₁, х₂, … , х_n) = a.

Функции G(х₁, х₂, … , х_n) называются ограничениями. Их можно задать как в виде равенств, так и неравенств. На регулируемые ячейки можно наложить дополнительные ограничения: неотрицательности и/или целочисленности, тогда искомое решение ищется в области положительных и/или целых чисел.

Под эту постановку попадает самый широкий круг задач оптимизации, в том числе решение различных уравнений и систем уравнений, задачи линейного и нелинейного программирования. Такие задачи обычно проще сформулировать, чем решать. И тогда для решения конкретной оптимизационной задачи требуется специально для нее сконструированный метод. Решатель имеет в своем арсенале мощные средства решения подобных задач: метод обобщенного градиента, симплекс-метод, метод ветвей и границ.

Выше для нахождения корней квадратного уравнения был применен метод Ньютона (п. 1.4) с использованием циклических ссылок (п. 2.1) и средство Подбор параметра (п. 2.2). Рассмотрим, как воспользоваться Поиском решения на примере того же квадратного уравнения.

Рис. 12. Окно диалога Поиск решения

После открытия диалога Поиск решения (рис. 12) необходимо выполнить следующие действия:

в поле Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу для вычисления значений оптимизируемой функции, в нашем примере целевая ячейка — это С4, а формула в ней имеет вид: = C3^2 — 5*C3 + 6;
для максимизации значения целевой ячейки, установить переключатель максимальному значению в положение 8 , для минимизации используется переключатель минимальному значению, в нашем случае устанавливаем переключатель в положение значению и вводим значение 0;
в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргументов целевой функции (С3), разделяя их знаком «;» (или щелкая мышью при нажатой клавише Сtrl на соответствующих ячейках), для автоматического поиска всех влияющих на решение ячеек используется кнопка Предположить;
в поле Ограничения с помощью кнопки Добавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска: для нашего примера ограничений задавать не нужно;
для запуска процесса поиска решения нажать кнопку Выполнить.

Рис. 13. Результаты поиска

Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель Сохранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения. После чего рабочий лист примет вид, представленный на рис. 13. Полученное решение зависит от выбора начального приближения, которое задается в ячейке С4 (аргумент функции). Если в качестве начального приближения в ячейку С4 ввести значение, равное 1,0, то с помощью Поиска решения найдем второй корень, равный 2,0.

Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Параметры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения), следующие (рис. 14):

Рис. 14. Настройка параметров Решателя

Максимальное время — ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача большой размерности, то время необходимо увеличить).
Предельное число итераций — еще один способ ограничения времени поиска путем задания максимального числа итераций. По умолчанию задано 100, и, чаще всего, если решение не получено за 100 итераций, то при увеличении их количества (в поле можно ввести время, не превышающее 32767 секунд) вероятность получить результат мала. Лучше попытаться изменить начальное приближение и запустить процесс поиска заново.
Относительная погрешность — задает точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до 1).
Допустимое отклонение — задается в % только для задач с целочисленными ограничениями. Поиск решения в таких задачах сначала находит оптимальное нецелочисленное решение, а потом пытается найти ближайшую целочисленную точку, решение в которой отличалось бы от оптимального не более, чем на указанное данным параметром количество процентов.
Сходимость — когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа (дробь из интервала от 0 до 1), указанного в данном параметре, поиск прекращается.
Линейная модель — этот флажок следует включать, когда целевая функция и ограничения — линейные функции. Это ускоряет процесс поиска решения.
Неотрицательные значения — этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.
Автоматическое масштабирование — этот флажок следует включать, когда масштаб значений входных переменных и целевой функции и ограничений отличается, возможно, на порядки. Например, переменные задаются в штуках, а целевая функция, определяющая максимальную прибыль, измеряется в миллиардах рублей.
Показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.
Оценки — эта группа служит для указания метода экстраполяции — линейная или квадратичная, — используемого для получения исходных оценок значений переменных в каждом одномерном поиске. Линейная служит для использования линейной экстраполяции вдоль касательного вектора. Квадратичная служит для использования квадратичной экстраполяции, которая дает лучшие результаты при решении нелинейных задач.
Разности (производные) — эта группа служит для указания метода численного дифференцирования, который используется для вычисления частных производных целевых и ограничивающих функций. Параметр Прямые используется в большинстве задач, где скорость изменения ограничений относительно невысока. Параметр Центральные используется для функций, имеющих разрывную производную. Данный способ требует больше вычислений, однако его применение может быть оправданным, если выдается сообщение о том, что получить более точное решение не удается.
Метод поиска — служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и необходимо экономить память, а также если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Сохранить модель поиска решения можно следующими способами:

при сохранении книги Excel после поиска решения все значения, введенные в окнах диалога Поиск решения, сохраняются вместе с данными рабочего листа. С каждым рабочим листом в рабочей книге можно сохранить один набор значений параметров Поиска решения;
если в пределах одного рабочего листа Excel необходимо рассмотреть несколько моделей оптимизации (например найти максимум и минимум одной функции, или максимальные значения нескольких функций), то удобнее сохранить эти модели, используя кнопку Параметры/Сохранить модель окна Поиск решения. Диапазон для сохраняемой модели содержит информацию о целевой ячейке, об изменяемых ячейках, о каждом из ограничений и все значения диалога Параметры. Выбор модели для решения конкретной оптимизационной задачи осуществляется с помощью кнопки Параметры/Загрузить модель диалога Поиск решения;
еще один способ сохранения параметров поиска — сохранение их в виде именованных сценариев. Для этого необходимо нажать на кнопку Сохранить сценарий диалогового окна Результаты поиска решений.

Кроме вставки оптимальных значений в изменяемые ячейки Поиск решения позволяет представлять результаты в виде трех отчетов: Результаты, Устойчивость и Пределы. Для генерации одного или нескольких отчетов необходимо выделить их названия в окне диалога Результаты поиска решения. Рассмотрим более подробно каждый из них.

Рис. 15. Отчет по устойчивости

Отчет по устойчивости (рис.15) содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот отчет имеет два раздела: один для изменяемых ячеек, а второй для ограничений. Правый столбец в каждом разделе содержит информацию о чувствительности. Каждая изменяемая ячейка и ограничения приводятся в отдельной строке. Раздел для изменяемых ячеек содержит значение нормированного градиента, которое показывает, как целая ячейка реагирует на увеличение значения в соответствующей изменяемой ячейке на одну единицу. Подобным образом, множитель Лагранжа в разделе для ограничений показывает, как целевая ячейка реагирует на увеличение соответствующего значения ограничения на одну единицу. При использовании целочисленных ограничений Excel выводит сообщение Отчеты устойчивость и Пределы не применимы для задач с целочисленными ограничениями. Если в окне диалога Параметры поиска решения установлен флажок Линейная модель, то отчет по устойчивости содержит несколько дополнительных столбцов информации.

Рис. 16. Отчет по результатам

Отчет по результатам (рис.16) содержит три таблицы: в первой приведены сведения о целевой функции до начала вычисления, во второй — значения искомых переменных, полученные в результате решения задачи, в третьей — результаты оптимального решения для ограничений. Этот отчет также содержит информацию о таких параметрах каждого ограничения, как статус и разница. Статус может принимать три состояния: связанное, несвязанное или невыполненное. Значение разницы — это разность между значением, выводимым в ячейке ограничения при получении решения, и числом, заданным в правой части формулы ограничения. Связанное ограничение — это ограничение, для которого значение разницы равно нулю. Несвязанное ограничение — это ограничение, которое было выполнено с ненулевым значением разницы.

Отчет по пределам содержит информацию о том, в каких пределах значения изменяемых ячеек могут быть увеличены или уменьшены без нарушения ограничений задачи. Для каждой изменяемой ячейки этот отчет содержит оптимальное значение, а также наименьшие значения, которые ячейка может принимать без нарушения ограничений.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Решение уравнений в excel — примеры решений

Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.

Первый метод

Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».

1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.

2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля

3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.

4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.

Второй метод

Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.

1. Создаете два диапазона.

На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.

2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.

3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.

Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.

4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.

Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.

Третий метод

Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.

1. Записываете произвольную систему уравнений.

2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.

3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.

4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.

Четвертый метод

Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.

Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.

1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.

2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).

Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.

3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.

4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.

5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу

=C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.

6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78

7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77

8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76

9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.

Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.

Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.

Жми «Нравится» и получай только лучшие посты в Facebook ↓

источники:

http://old.exponenta.ru/EDUCAT/systemat/pimonov/Equations/gl2.asp

http://mir-tehnologiy.ru/reshenie-uravnenij-v-excel-primery-reshenij/

Источник

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х² + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.

Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.

После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.

Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.

Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Умножим обратную матрицу Ах^-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.

Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.

Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.

Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.

Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.

В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х³ + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Х_n+1 = X_n– F (X_n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х³ – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

Источник

Microsoft Excel представляет собой приложение для работы с электронными таблицами. Одно из самых значительных его преимуществ – это возможность осуществления различных расчетов с использованием встроенных формул и функций.

Вам понадобится

— MS Excel.

Инструкция

Выполните решение нелинейного уравнения в Excel на примере следующего задания. Найти корни полинома x3 — 0,01×2 — 0,7044x + 0,139104 = 0. Для этого сначала выполните графическое решение уравнения. Известно, что для решения такого уравнения нужно найти точку пересечения графика функции f(x) и оси абсцисс, то есть необходимо узнать такое значение x, при котором функция обратится в ноль.

Проведите табулирование полинома на интервале, к примеру, от –1 до 1, возьмите для этого шаг 0,2. Введите в первую ячейку –1, в следующую –0,8, затем выделите обе, наведите курсор мыши на правый нижний угол, чтобы появился значок плюса, и протяните до тех пор, пока не появится значение 1.

Затем в ячейке справа от –1 введите формулу = A2^3 — 0,01*A2^2 — 0,7044*A2 + 0,139104. С помощью автозаполнения найдите y для всех значений x. Выполните построение графика функции по полученным расчетам. На графике найдите пересечения оси абсцисс и определите интервалы, на которых находятся корни полинома. В нашем случае это [-1,-0.8] и [0.2,0.4], а также [0.6,0.8].

Найдите корни уравнения с помощью последовательного приближения. Установите погрешность вычисления корней, а также предельное число с помощью меню «Сервис» и вкладки «Параметры». Введите начальные приближения и значения функции, затем вызовите меню «Сервис», пункт «Подбор параметра».

Заполните появившееся диалоговое окно таким образом: в поле «Установить в ячейке» введите B14 (ссылка на ячейку, которая отводится под искомую переменную), в поле «Значение» установите 0 (правая часть уравнения), а в поле «Изменяя значение ячейки» введите абсолютную ссылку на ячейку A14 (ячейка с формулой, по которой вычисляется значение левой половины уравнения). Удобнее вводить ссылки не вручную, а выбирая нужные ячейки левой кнопкой мыши. Щелкните «ОК». На экране отобразится результат подбора. Поиск двух оставшихся корней произведите аналогично.

Источники:

как в excel найти корень

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Добавил:

Upload

Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Предмет:

Файл:

exel / Excel2_уравнение.doc

Скачиваний:

156

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

7.07 Mб

Скачать

1. Графический способ отделения корней

Отделение
корней во многих случая можно произвести
графически, «учитывая что действительные
корни уравнения F(x)=0
(1)
— это есть точки пересечения графика
функции y=F(x)
с осью абсцисс y=0,
нужно построить график функции y=F(x)
на оси OX отметить отрезки, содержащие
по одному корню. Но часто для упрощения
построения графика функции y=F(x)
исходное уравнение (1)
заменяют равносильным ему уравнением
f₁(x)=f₂(x)
(2).
Далее строятся графики функций y₁=f₁(x)
и y₂=f₂(x)
, а затем по оси OX отмечаются отрезки,
локализующие абсциссы точек пересечения
двух графиков»[1].

На
практике данный способ реализуется
следующим образом:
например, требуется отделить корни
уравнения cos(2x)+x-5=0
графически на отрезке [-10;10], используя:

1 Способ

Построим
график функции f(x)=cos(2x)+x-5
в декартовой системе координат. Для
этого нужно:

Создать
таблицу табулирования функции f(x) на
промежутке [-10;10].c шагом 1. Шапка таблицы
должна выглядеть следующим образом:

Х	Y=cos(2x)+x-5

Использовать
автозаполнение для задания значений
аргумента функции: столбец Х.
Для
вычисления значений функции использовать
соответствующую формулу, которую
скопировать с помощью маркера заполнения
для всех значений аргумента.
С
помощью мастера диаграмм построить
график функции, используя полученную
таблицу. В качестве подписей оси Х
выбрать диапазон со значениями аргумента
функции, а в качестве ряда данных выбрать
диапазон со значениями функции. Подписи
осей X и Y должны быть выбраны из шапки
таблицы.

В
итоге получаем следующее:

Анализируя
полученное изображение графика, можно
сказать, что уравнение cos(2x)+x-5=0
имеет один корень – это видно из
пересечения графика функции y=cos(2x)+x-5
с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий
данный корень: [5;6]
– отрезок изоляции.

2 Способ

Для
подтверждения полученных данных, можно
решить эту же задачу вторым способом,
используя формулу (2).
Для этого необходимо уравнение
cos(2x)+x-5=0 преобразовать к виду: cos(2x)=5-x.
Затем следует каждую часть уравнения
рассмотреть как отдельную функцию. Т.
е. y1=cos(2x) и y2=5-x. Для решения этой задачи
в MS Excel необходимо таблицу табулирования
построить для двух функций, т. е. шапка
такой таблицы будет выглядеть следующим
образом:

Y1=cos(2x)

Y2=5-x

Использовать
автозаполнение для задания значений
аргумента функции: столбец Х.
Для
вычисления значений функций использовать
соответствующие формулы, которые
скопировать с помощью маркера заполнения
для всех значений аргумента.
С
помощью мастера диаграмм построить
графики функций, используя полученную
таблицу. В качестве подписей оси Х
выбрать диапазон со значениями аргумента
функции, а в качестве рядов данных
выбрать диапазоны со значениями функций
Y1 и Y2.
В
диаграмму добавить легенду.

В
итоге получаем следующее:

Анализируя
полученный результат, можно сказать,
что точка пересечения двух графиков
попадает на тот же самый отрезок изоляции
[5;6],
что и при решении задачи первым способом.

Соседние файлы в папке exel

#
#
#
22.05.201539.42 Кб102PRACTIC5.XLS
#
22.05.201544.03 Кб49PRICES.XLS
#
22.05.201537.38 Кб42SALES4.XLS
#
22.05.201543.01 Кб46SALES5.XLS

Источник

=A2^3 — 0,01*A2^2 — 0,7044*A2 + 0,139104.

=C2^3 — 0,01*C2^2 — 0,7044*C2 + 0,139104.

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: .
В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Квадратное уравнение в Excel

В этой статье вы узнаете как решить квадратное уравнение в Excel на конкретном примере. Подробно разберем решение несложно задачи с картинками.

Ход решения

Запустим программу Microsoft Office Excel. Я пользуюсь 2007 версией. Для начала объединим ячейки A1:A5 и запишем в них формулу квадратного уравнения в виде ax2+bx+c=0.Далее нам нужно возвести x в квадрат, для этого нужно сделать цифру 2 надстрочным интервалом. Выделим двойку и нажмем правой кнопкой мыши.

Получим формулу вида ax 2 +bx+c=0

В ячейке A2 введем текстовое значение a= , в ячейке A3 b= и в ячейке A4 с= соответственно. Эти значения будут вводиться с клавиатуры в следующих ячейках (B2,B3,B4).

Введем текст для значений, которые будут считаться. В ячейке C2 d=, C3 x₁= C4 x₂=. Подстрочный интервал для xсделаем аналогично надстрочному интервалу в x 2

Перейдем к вводу формул для решения

Дискриминант квадратного трехчлена равен b 2 -4ac

В ячейку D2 введем соответствующую формулу для возведения числа во вторую степень:

Квадратное уравнение имеет два корня, в случае если дискриминант больше нуля. В ячейку C3 введем формулу для x₁

Для расчета x2 введем похожую формулу, но со знаком плюс

Соответственно при введенных значениях a,b,c сначала считается дискриминант, если его значения меньше нуля выводится сообщение «Корней нет», иначе получаем значения x₁ и x₂.

Защита листа в Excel

Нам нужно защитить лист, на котором мы производили расчеты. Без защиты нужно оставить ячейки, в которые можно вводить значения a,b,c, то есть ячейки B2 B3 B4. Для этого выделим данный диапазон и зайдем в формат ячеек, перейдем во вкладку Рецензирования, Защитить лист и уберем флажок с позиции Защищаемая ячейка. Нажмем кнопку OK, подтвердив внесенные изменения.

Этот диапазон ячеек будет не защищен при защите листа. Выполним защиту листа, для этого перейдем на вкладку Рецензирование пункт Защита листа. Пароль наберем 1234. Нажмем OK.

Теперь мы сможем изменять значения ячеек B2,B3,B4. При попытке изменения других ячеек мы получим сообщение следующего содержания: «Ячейка или диаграмма защищена от изменений. А так же совет по снятию защиты.

Источник

Содержание | Назад

Рассмотрим пример нахождения всех корней уравнения

=A2^3 — 0,01*A2^2 — 0,7044*A2 + 0,139104.

=C2^3 — 0,01*C2^2 — 0,7044*C2 + 0,139104.

Содержание | Назад

Источник

Содержание

Варианты решений
- Способ 1: матричный метод
- Способ 2: подбор параметров
- Способ 3: метод Крамера
- Способ 4: метод Гаусса
Вопросы и ответы

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Теперь для нахождения корней уравнения, прежде всего, нам нужно отыскать матрицу, обратную существующей. К счастью, в Эксель имеется специальный оператор, который предназначен для решения данной задачи. Называется он МОБР. Он имеет довольно простой синтаксис:
=МОБР(массив)

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОБР. Оно по числу аргументов имеет всего одно поле – «Массив». Тут нужно указать адрес нашей таблицы. Для этих целей устанавливаем курсор в это поле. Затем зажимаем левую кнопку мыши и выделяем область на листе, в которой находится матрица. Как видим, данные о координатах размещения автоматически заносятся в поле окна. После того, как эта задача выполнена, наиболее очевидным было бы нажать на кнопку «OK», но не стоит торопиться. Дело в том, что нажатие на эту кнопку является равнозначным применению команды Enter. Но при работе с массивами после завершения ввода формулы следует не кликать по кнопке Enter, а произвести набор сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter. Выполняем эту операцию.

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
=МУМНОЖ(Массив1;Массив2)

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Урок: Обратная матрица в Excel

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

3x^2+4x-132=0

Принимаем значение x за равное 0. Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:
=3*x^2+4*x-132

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Урок: Подбор параметра в Excel

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:
=МОПРЕД(массив)

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

14x1+2x2+8x3=110 7x1-3x2+5x3=32 5x1+x2-2x3=17

Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:
=B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:
=B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:
=B17:E17/D17

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:
=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:
=(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Еще статьи по данной теме:

Помогла ли Вам статья?

Источник

Лабораторная работа

Отделение корней
нелинейного уравнения

Пусть имеется
нелинейное уравнение .

Требуется найти
корни этого уравнения. Численный процесс приближенного решения поставленной
задачи разделяют два этапа: отделение корня и уточнение корня.

Для отделения
корня необходимо определить промежуток аргумента , где
содержится один и только один корень уравнения. Одна из точек этого промежутка
принимается за начальное приближение корня. В зависимости от метода, который
предполагается использовать для уточнения корня, требуется определение
некоторых свойств отделенного корня и поведения функции на отрезке отделения.
Например, при использовании метода деления пополам, необходимо и достаточно
установить лишь непрерывность функции на отрезке отделения.

Этап отделения
корня уравнения алгоритмизирован только для некоторых классов уравнений
(наиболее известным из которых является класс алгебраических уравнений),
поэтому отделение корней нелинейных уравнений, обычно, выполняется «вручную» с
использованием всей возможной информации о функции . Часто
применяется графический метод отделения действительных корней, обладающий
большой наглядностью.

Методы
отделения корней

Отделение корней
во многих случая можно произвести графически. Учитывая, что действительные
корни уравнения F(x)=0 – это есть точки пересечения графика
функции y=F(x) с осью абсцисс y=0, нужно построить
график функции y=F(x) и на оси OX отметить отрезки,
содержащие по одному корню. Но часто для упрощения построения графика функции y=F(x)
исходное уравнение заменяют равносильным ему уравнением f₁(x)=f₂(x).
Далее строятся графики функций y₁=f₁(x)
и y₂=f₂(x), а затем по оси OX
отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения двух графиков.

На практике
данный способ реализуется следующим образом: например, требуется отделить корни
уравнения cos(2x)+x-5=0 графически на отрезке [–10;10],
используя Excel.

1 способ

Построим график функции f(x)=cos(2x)+x-5
в декартовой системе координат. Для этого нужно:

1.
Ввести в
ячейку A1 текст х.

2.
Ввести в
ячейку B1 текст y=cos(2x)+x-5.

3.
Ввести в
ячейку А2 число -10, а в ячейку А3 число -9.

4.
Выделить
ячейки А2 и А3.

5.
Навести
указатель «мыши» на маркер заполнения в правом нижнем углу рамки, охватывающий
выделенный диапазон. Нажать левую кнопку «мыши» и перетащить маркер так, чтобы
рамка охватила диапазон ячеек А2:А22.

6.
Ячейки
автоматически заполняются цифрами :

7.
Ввести в
ячейку В2 формулу =COS(2*A2)+A2-5.

8.
Методом
протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

9.
Вызвать
«Мастер диаграмм» и выбрать диаграмму график (первый вид), нажать
«далее».

10.
Указать
диапазон данных, для этого щелкнуть кнопку в поле «Диапазон» и выбрать диапазон
данных В2:В22.

11.
Выбрать
вкладку ряд, указать имя ряда, щелкнув кнопку в поле «ряд» и выбрав В1.

12.
В поле
«подписи по оси Х», щелкнуть кнопку и выбрать диапазон А2:А22, нажать «далее».

13.
Подписать
названия осей x и y соответственно, нажать «далее».

14.
Вывести
диаграмму на том же листе, что и таблица, нажать кнопку «готово».

В итоге получаем следующее
(рисунок 1):

Рисунок 1 – Локализация корня

Анализируя полученное
изображение графика, можно сказать, что уравнение cos(2x)+x-5=0
имеет один корень – это видно из пересечения графика функции y=cos(2x)+x-5
с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень:[5;6] – отрезок локализации.

2 способ

Для подтверждения полученных
данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо
уравнение cos(2x)+x-5=0 преобразовать к виду: cos(2x)=5-x.
Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е. y₁=cos(2x)
и y₂=5-x. Для решения этой задачи в Excel необходимо
выполнить следующие действия:

1.
Вести в
ячейки А1:C1 соответственно текст: «x», «y₁=cos(2_x)»,
«y₂=5-x».

2.
A2:A22
заполнить так же как при решении задачи первым способом.

3.
В В2
ввести формулу =COS(2*A2).

4.
Методом
протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

5.
В С2
ввести =5-A2.

6.
Методом
протягивания заполнить диапазон ячеек С3:С22.

7.
С помощью
Мастера диаграмм выбрать график (первый вид).

8.
В данном
случае диапазон данных следует указывать для построения двух графиков. Для
этого нужно нажать кнопку в поле «Диапазон» и выделить ячейки В2:В22, затем
нажать Ctrl (на клавиатуре) и выделить следующий диапазон C2:C22.

9.
Перейти
на вкладку ряд, где выбрать именем ряда 1 ячейку В1, а именем ряда 2 ячейку С2.

10.
Подписать
ось x , выбрав диапазон А2:А22.

11.
Подписать
соответственно оси x и y.

12.
Поместить
диаграмму на имеющемся листе.

Результат представлен на
рисунке 2: Анализируя
полученный результат, можно сказать, что точка пересечения двух графиков
попадает на тот же самый отрезок локализации [5;6], что и при решении задачи
первым способом.

Рисунок 2 – Локализация корня

Аналитический способ отделения
корней

Аналитический
способ отделения корней основан на следующей теореме, известной из курса математического
анализа.

ТЕОРЕМА: Если непрерывная на функция ,
определяющая уравнение , на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е. , то на этом отрезке содержится, по
крайней мере, один корень уравнения. Если же функция непрерывна
и дифференцируема и ее производная сохраняет знак внутри отрезка , то на этом отрезке находится только один
корень уравнения.

В случае, когда
на концах интервала функция имеет одинаковые знаки, на этом интервале корни
либо отсутствуют, либо их четное число.

Для отделения корней
аналитическим способом выбирается отрезок , на
котором находятся все интересующие вычислителя корни уравнения. Причем на
отрезке функция F(x) определена, непрерывна и F(a)*F(b)<0.
Требуется указать все частичные отрезки ,
содержащие по одному корню.

Будем вычислять
значение функции F(x),
начиная с точки x=a, двигаясь вправо с некоторым шагом h. Если F(x)*F(x+h)<0,
то на отрезке [x;x+h] существует корень (рисунок 3).

Рисунок 3 –
Аналитический способ локализации корней

Если F(x_k)=0,
x_k-точный корень.

Доказательство существования
и единственности корня на отрезке.

В качестве примера рассмотрим
функцию f(x)=cos(2x)+x-5.

1. Ввести в ячейки А1, В1 и С1
соответственно «x», «y=cos(2x)+x-5» и «ответ».

2. В А2 и А3 ввести граничные
значения отрезка изоляции.

3. В В2 ввести формулу
=COS(2*A2)+A2-5 и методом протягивания заполнить В3.

4. В С2 ввести формулу
=ЕСЛИ(B2*B3<0;»корень существует»;»корень не
существует»).

Таким образом, на отрезке
изоляции корень существует:

Рисунок 4 – Проверка существования корня на отрезке

Для доказательства
единственности корня на отрезке изоляции необходимо выполнить следующие
действия:

1.
Продолжить
работу в том же документе MS Excel.

2.
Заполнить
D1 и E1 соответственно: «y’=-sin(2x)*2+1» и «ответ» (причем выражение
y’=-sin(2x)*2+1 – это производная первого порядка от функции y=cos(2x)+x-5).

3.
Ввести в
D2 формулу =-SIN(2*A2)*2+1 и методом протягивания заполнить D3.

4.
Ввести в
E2 =ЕСЛИ(D2*D3>0;»корень на данном отрезке единственный»;»Корень
не единственный»).

В результате получаем
(рисунок 5):

Рисунок 5 –
Доказательство единственности корня на отрезке

Таким образом доказано
существование и единственность корня на отрезке изоляции.

Рассмотрим
решение задачи отделения корней уравнения
cos(2x)+x-5=0 аналитическим
способом с шагом 1 на отрезке [-10;10].

Чтобы отделить корни
уравнения аналитическим способом с помощью Excel, необходимо выполнить
следующее:

1.
Заполнить
ячейки A1:D1 соответственно: «x», «y=cos(2x)+x-5»,
«h», «ответ».

2.
В С2
ввести значение 1.

3.
Ввести в
А2 значение -10.

4.
Ввести в
А3 =A2+$C$2 и методом протягивания заполнить ячейки А4:А22.

5.
В В2
ввести =COS(2*A2)+A2-5 и методом протягивания заполнить диапазон В3:В22.

В С3 ввести формулу
=ЕСЛИ(B2*B3<0;»Корень на отрезке существует»;ЕСЛИ(B3=0;»точный
корень»;»-«)) и методом протягивания заполнить диапазон ячеек
С4:С22.

В результате получаем
следующее (рисунок 6):

Рисунок 6 –
Отделение корня

Следующий пример (рисунок
7) демонстрирует отделение нескольких корней. Пусть исследуется функция cos(x)=0,1x на интервале [–10;10] с шагом
1.

Табулирование
функции и построение графика осуществляется как в предыдущих примерах. Видно,
что на заданном отрезке имеем 7 корней, находящихся внутри отрезков: [-10;-9];
[-9;-8]; [-5;-4]; [-2;-1]; [1;2]; [5;6]; [7;8].

Рисунок 7 – Отделение корней

Обратим внимание
на то, что надежность рассмотренного алгоритма отделения корней уравнения
зависит как от характера функции F(x), так и от выбранной величины шага h.
Для повышения надежности следует выбирать при отделении корней достаточно малые
значения h.

Задание

1. Выполнить отделение корней
следующих функций:

№ п/п	Уравнение	A	B
1	tg(x) = 1/x	0	n/2
2	e ^-x = x	0	1
3	ln(x) = 1/x	1	2
4	2 +ln(x) = 1/x	0	1
5	x — x³ + 1 =0	1	2

2. Выполнить индивидуальные задания

Вариант 1

1	ctg(x) = —x²	1,6	4,5
2	2ln(x)+sin(x) =e ^x	0	2
3	lg(x) = 2 ^x-x³	0	10
4	cos(x) = 1/x	0	p/2
5	cos(x) = ln(1+x)	0	p/2

Вариант 2

1	tg(x) = 1/x—x²	1,6	4,5
2	2ln(x) =e ^x	0	2
3	lg(x) = sin(x)	0	10
4	cos(x)+x² = 1/x	0	p/2
5	cos²(x) = ln(1+x²)	0	p/2

Вариант 3

1	cos²(x) = x	p/2
2	1 — 3 x + x3=0	1
3	1 — 3x + x4=0	1
4	1 — 3 x + x⁵=0	1
5	tg(x) = 1/x2	p/2

Вариант 4

1	ln(x) = sin(x)	1	3
2	e ^— ^x = sin(x)	0	p/2
3	e ^x = 1 /sin(x)	0	p/2
4	e ^— ^x = x²	0	1
5	2 + ln(x) = 1/x²	0	1

Вариант 5

1	ln(x) = Sin (x)	0	p/2
2	x — x³ + 2 =0	1	2
3	x +5 = x³	1	2
4	x ²— 0,5 x-2=0	0	0,5
5	ln(x -1)+ x-2=0	1	3

Вариант 6

1	ln(x+3) = Sin (x)	0	p/2
2	2x — x³ + 3 =0	1	2
3	x +8 = x³+x²	1	2
4	x — 0,5 x²+4=0	0	0,5
5	(x -1)²— x=0	1	3

Вариант 7

1	x +0,5 = e ^-x	0	1
2	2 — x + x³=0	-2	0
3	sin(x) = 1/x	0	p/2
4	sin(x) = x/2	п/2	п
5	ln(x) = e ^-x	0	2

Вариант 8

1	lg(x) = e ^— ^x	1
2	cos(x) = x	p/2
3	cos(x) = ln(x)	p/2
4	cos(x) = tg(x)	p/2
5	cos(x) = x³	p/2

Вариант 9

1	1 — 5 x + x³=0	0	1
2	1 — 5 x + x⁴=0	0	1
3	1 — 3 x + x⁵=0	1	2
4	4cos(x) = x+x²	0	p/2
5	cos(x) = ln(x)-x²	0	p/2

Вариант 10

1	ln(x) = cos (x)	0	p/2
2	x² — x³ + 2 =0	1	2
3	cosx +5 = x³	1	2
4	x ^0,5— x=0	0	0,5
5	(x -1)²— x=5	1	3

Вариант 11

1	ln(x+3) =sin (x)-x	0	p/2
2	2x — x³ + 3 =ln(x)	1	2
3	cos(x) +2 = x³+x²	1	2
4	3x — 0,5 x²+cosx=0	0	0,5
5	(x -1)²— x+tg(x-1)=0	1	3

Вариант 12

1	x² +0,5 = e ^-x	0	1
2	2 – sin(x) + x³=0	-2	0
3	sin(x) = 1/x-x²	0	p/2
4	sin(x) = x/2+cos(x)	п/2	п
5	ln(x)-x = e ^-x	0	2

Вариант 13

1	lg(x)+2sin²(x) = e ^— ^x	1
2	cos(x+p/2) = x+x²	p/2
3	cos(x) = ln(x)-x²	p/2
4	cos(x) = tg(x)+sin(2x-p/2)	p/2
5	cos(x) = x³-log(x²)	p/2

Вариант 14

1	1 — 5 cos(x) + x³=0	0	1
2	1 — 5 tg(x) + x⁴=0	0	1
3	1 – 3( x-2)² + x⁵=0	1	2
4	4cos(x) = cos(x)+x²	0	p/2
5	cos(x) = ln(x)-x²+x	0	p/2

Источник

Как в офисе.

Найти все корни уравнения через excel

2.2. Подбор параметра

2.3. Поиск решения

Решение уравнений в excel — примеры решений

Первый метод

Второй метод

Третий метод

Четвертый метод

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

1. Графический способ отделения корней

1 Способ

2 Способ

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Квадратное уравнение в Excel

Ход решения

Перейдем к вводу формул для решения

Защита листа в Excel

Варианты решений

Способ 1: матричный метод

Способ 2: подбор параметров

Способ 3: метод Крамера

Способ 4: метод Гаусса

Еще статьи по данной теме:

Помогла ли Вам статья?

Лабораторная работа

Отделение корней нелинейного уравнения

Аналитический способ отделения корней

Отделение корней
нелинейного уравнения

Аналитический способ отделения
корней