Моделирование в информатике в excel

Введение

В системах, связанных с экономикой, руководящим работникам необходимо постоянно принимать решения следующих категорий:

1. Стратегические решения.
2. Тактические решения.
3. Оперативные решения.

Если принимаемые решения обладают низким интеллектуальным уровнем, то простота представления реальных ситуаций обычно ведёт к неточностям при выработке прогнозов, а, кроме того, к убыткам и добавочным финансовым потерям. Чтобы избежать возникновения подобных ситуаций и обеспечить устойчивое экономическое положение, существуют разнообразные системы поддержки выработки решений, усовершенствование которых превращается в наиболее актуальную проблему при наличии жёсткой конкуренции.

Существенным условием для таких программ считается возможность имитации вырабатываемых решений, апробации вероятных коррекций в экономической системе, появляющихся в результате влияния разных факторов, то есть нахождение ответа на вопрос типа, «что случится, если…». Это позволит существенно сократить риски от осуществления решений и сэкономить ресурсы, чтобы достичь поставленной цели.

Такие возможности предоставляют имитационные модели, которые обладают следующим набором качеств:

1. Возможность регулировать уровень сложности модели.
2. Присутствие случайных факторов.
3. Возможность описать процесс, развивающийся по времени.
4. Обязательное использование электронной вычислительной машины.

Имитационные модели предназначаются для того, чтобы оценить варианты намечаемых коррекций, обладать игровой формой для обучения работников, визуально отобразить работу исследуемого объекта во времени и так далее. Реализовать модели можно при помощи универсальных языков программирования, к примеру,Pascal, Basic, пакетов прикладных программ, таких как,Excel, MathCAD, и так далее. Выбор конкретного метода моделирования определяется сложностью задачи, наличием необходимых ресурсов и так далее.

«Моделирование в Excel» 👇

Однако имитационное моделирование применяется экономистами и другими специалистами только в малом проценте случаев, в которых можно было бы при помощи моделей поиметь важную для выработки решений информацию.Причина этого явления кроется в отсутствии инструкций по проведению имитационного моделирования при помощи общеизвестного и доступного инструментария, а именно, пакетов прикладного программного обеспечения, такого как Excel и MathCAD, которые могут обеспечить простую платформу для моделирования.Поэтому примеры формирования имитационных моделей при помощи, например, приложения Excel, помогают их широкому распространению в кругу работников, не владеющих языками моделирования и методиками, имеющимися в средах моделирования.

Электронные таблицы Excel как инструмент формирования имитационных моделей

Имитационное моделирование при помощи табличного процессора является отдельным направлением, имеющем свои особенности. Применение таких систем позволяет лучше понять происходящие процессы, в сравнении с использованием специализированных программ, обладающих высокой стоимостью и требующих много времени для их освоения, а также не позволяющих увидеть применяемые механизмы. Например, специалисты полагают, что имитация при помощи таблиц Excel позволяет лучше представить работу систем массового обслуживания, чем даже теория очередей, а также помогает в развитии интуиции, предоставляет даже не знающим программирования пользователям опыт формирования разных моделей. Специалисты предлагают следующие этапы обучения моделированию в Excel:

1. Базовые понятия.
2. Введение в теорию вероятности и статистику.
3. Процесс имитационного моделирования в ручном режиме.
4. Имитационное моделирование при помощи электронных таблиц.
5. Генерирование случайных чисел.
6. Осуществление анализа исходных данных.
7. Осуществление анализа итогов моделирования.

При формировании моделей в Excelприменяются следующие главные подходы к осуществлению имитации:

1. Подход, который ориентирован на события.
2. Подход, имеющий ориентацию на процессы.
3. Подход, направленный на сканирование активностей.

Первый подход служит для описания изменений в системе, которые происходят при совершении любого случайного события, например, получение заявки, завершение обслуживания. При его формировании при помощи электронных таблиц обычно применяется одна строчка для каждого события.

Если используется подход, ориентированный на процесс, то выполняется моделирование очерёдности событий для каждой заявки, и чтобы его реализовать, применяется одна строчка для каждого требования (используется при моделировании систем массового обслуживания).

Сканирование активностей состоит в описании действий, возникающих в системе за фиксированный временной интервал (день, неделя, месяц, год), и при его осуществлении, как правило, применяется одна строчка для каждого отрезка времени. К примеру, это может быть моделирование системы управления запасами.

Использование программного пакета MSExcelобладает следующими преимуществами:

1. В составе пакета Excelесть значительное число встроенных функций из области математики, статистики и других областей, включая возможность генерации случайных значений.
2. Excelдаёт возможность сохранять информацию и иметь к ней доступ.
3. Программный пакетExcelпозволяет строить графики и диаграммы.
4. Программный пакет Excel обладает встроенным языкомVBA (VisualBasicforApplication).
5. Программный пакет Excelшироко распространён среди специалистов, то есть имеется на компьютере практически у всех.
6. Наличие возможности экспорта информационных данных в иные программные приложения.

Помимо этих достоинств, возможен просмотр любой формулы, занесённой в ячейку таблицы, что увеличивает уровень доверия к итогам моделирования.

Пример имитационной модели

NOTE:

To change the image on this slide, select the picture and delete it. Then click the Pictures icon in the placeholder to insert your own image.

§26

Информатика, 8 класс

Учитель информатики

Дворецкая Ю.Ю,

1

Основные темы параграфа

• Что такое имитационная модель
• Пример имитационного моделирования в электронной таблице

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ – это логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.

Имитационная модель имеет определенную минимальную опорную структуру, которую пользователь может дополнить и расширить с учетом специфики решаемых задач и базовых методов обработки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

• ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ — это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью с достаточной точностью описывающей реальную систему и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе.

Отличие от математического моделирования

• имитационное моделирование исследует математические модели в виде алгоритмов , воспроизводящих функционирование исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций .
• в имитационных моделях для получения необходимой информации или результатов необходимо осуществлять их «прогон» в отличие от аналитических моделей, которые необходимо «решать».
• имитационные модели неспособны формировать свое собственное решение в том виде, в каком это имеет место в аналитических моделях, а могут лишь служить в качестве средства для анализа поведения системы в условиях, которые определяются экспериментатором.

Имитационные модели

В общем виде структуру имитационной модели в математической форме можно представляет следующим образом: ,

где E – результат действия системы;

x i – переменные и параметры, которыми мы можем управлять;

y i – переменные и параметры, которыми мы управлять не можем;

f – функциональная зависимость между x i и y i , которая определяет величину E .

Имитационные модели

Имитационная модель представляет собой комбинацию таких составляющих, как:

• компоненты;
• переменные;
• параметры;
• функциональные зависимости;
• ограничения;
• целевые функции.

Схема имитационного моделирования:

НЕДОСТАТКИ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ:

• разработка имитационных моделей требует больших затрат, времени и сил;
• любая имитационная модель сложной системы менее объективна, чем аналитическая модель;
• результаты имитационного моделирования носят как правило частный характер, поэтому для предоставления обоснованных выводов необходимо провести серии модельных экспериментов.

Пример имитационного моделирования на компьютере

Имитационная модель воспроизводит поведение сложной системы, элементы которой могут вести себя случайным образом. Иначе говоря, поведение которых заранее предсказать нельзя.

Модель – эволюция популяций

• Пусть на определенном пространстве случайным образом расселяются живые организмы.
• В дальнейшем происходит процесс смены поколений: в каких-то местах расселения жизнь сохраняется, в каких-то исчезает.
• Эти процессы протекают в соответствии с законами эволюции (формальными правилами).

Цель моделирования — проследить изменения в расселении живых организмов со сменой поколений.

Имитационные модели

Законы эволюции:

• В следующем поколении в пустой ячейке жизнь может либо появиться, либо нет.
• В живой ячейке жизнь может либо сохраниться, либо исчезнуть
• На состояние данной ячейки влияют ее ближайшие соседи: два соседа слева и два соседа справа.
• Если ячейка была живая, и число живых соседей не превышает двух, то в следующем поколении в этой ячейке жизнь сохранится, иначе жизнь исчезнет (погибнет от перенаселения).
• Если в ячейке жизни не было, но среди ее соседей есть 1, 2 или 3 живые ячейки, то в следующем поколении в этой ячейке появится жизнь. В противном случае ячейка останется пустой.

Модельное описание процесса эволюции популяции

• Следует учитывать, что у ячеек, расположенных у края, число соседей меньше других.
• У ячейки номер 2 соседи: 1, 3 и 4.
• Но ячейка 1 всегда пустая.
• У ячейки номер 3 из четырех соседей живыми могут быть не больше трех (2,4,5).
• Аналогичная ситуация у крайних правых ячеек.

Кодирование

• Распределение живых организмов по ячейкам будем кодировать последовательностью из нулей и единиц.
• Ноль обозначает пустую ячейку , единица — живую .
• Например, расселение, отображенное на рис. 4.3, кодируется следующим образом:

00001001000100000000

Имитационные модели

Введем обозначения:

n — номер ячейки,

R (n) — значение двоичного числа, соответствующего этой ячейке в текущем поколении.

В рассматриваемом примере R (5) = R (8) =  R (12) = 1 .

Все остальные значения ячеек равны нулю.

Значения кода в n -й ячейке для следующего поколения будем обозначать S ( n ) .

Проанализировав правила эволюции, приходим к следующей формуле:

Если 1 R ( n — 2) + R ( n — 1) + R ( n ) + R ( n + 1) + R ( n + 2) 3, то S ( n ) = 1, иначе S ( n ) = 0.

Имитационные модели

Эта формула работает для значений n от 3 до 18 .

Всегда: S (1) = S (20) = 0 .

Для ячеек с номерами 2 и 19 в данной сумме нужно убрать по одному слагаемому. Но можно поступить иначе: для этого к отрезку добавим по одной фиктивной ячейке справа и слева.

Их номера будут, соответственно, 0 и 21. В этих ячейках, как и в ячейках 1 и 20, всегда будут храниться нули. Тогда написанную формулу можно применять для n от 2 до 19.

Итак, модель построена и формализована.

Имитационные модели

Для реализации применим табличный процессо р.

Моделью жизненного пространства будет строка электронной таблицы.

Первая строка — первое поколение,

вторая строка — второе поколение и т. д.

Тогда номера ячеек будут идентифицироваться именами столбцов таблицы.

Ячейка номер 0 — столбец А,

ячейка 1 — столбец В и т. д.,

ячейка 21 — столбец F.

=1; А1 + В1 + С1 + D1 + Е1 Далее, копируя эту формулу во все остальные ячейки второй строки с D2 по Т2, получаем картину распределения живых организмов во втором поколении. Чтобы получить третье поколение, достаточно скопировать вторую строку (блок С2:Т2) в третью строку (блок СЗ:ТЗ). Так можно продолжать сколько угодно. » width=»640″

• В первой строке выставляем единицы в ячейках, заселенных в первом поколении. Это будут ячейки F1, I1, М1 . Незаполненные ячейки по умолчанию приравниваются к нулю.
• Теперь в ячейки второй строки нужно записать формулы. Сделать это достаточно один раз. Например, в ячейку С2 занести следующую формулу:

ЕСЛИ(И(А1 + В1 + С1 + D1 + Е1 =1; А1 + В1 + С1 + D1 + Е1

• Далее, копируя эту формулу во все остальные ячейки второй строки с D2 по Т2, получаем картину распределения живых организмов во втором поколении.
• Чтобы получить третье поколение, достаточно скопировать вторую строку (блок С2:Т2) в третью строку (блок СЗ:ТЗ). Так можно продолжать сколько угодно.

Результаты имитационного моделирования процесса эволюции исходного расселения живых организмов вплоть до 10-го поколения

Модель Дж. Конуэя «Жизнь»

В этой модели эволюция популяции живых организмов происходит в двумерном пространстве.

Рассматривается прямоугольная область, разделенная на квадратные ячейки. Тогда у каждой внутренней ячейки имеется 8 соседей. Судьба жизни в ячейке также зависит от состояния соседних клеток.

Но теперь правила эволюции такие:

• если клетка живая и в ее окружении более трех живых клеток, то она погибает от перенаселения;
• если же живых соседей меньше двух, то она погибает от одиночества.
• в пустой клетке в следующем поколении зарождается жизнь, если у нее есть ровно три живых соседа.

Домашнее задание

§26 конспект

Моделирование в электронных таблицах

Решим физическую задачу в Excel.  Построим компьютерную модель движения тела
в электронных таблицах. За основу возьмем формальную физическую модель
«Движение тела под углом к горизонту».

Найти через
какое время, и на каком расстоянии от места броска мячик упадет на землю. Если
начальная скорость мяча 20 м/с и угол броска 30, 45 и 60 градусов.

Надо построить математическую модель
задачи (формулу).Записать уравнение движения мат. точки относительно обеих
осей.

По этой модели построить электронную
таблицу для ввода и нахождения результатов.

 ;  

Ввести
начальные данные. Создать формулы:

Ячейка
F4
=$B$2*COS(РАДИАНЫ($B$3))*E4

Ячейка
G4
=$B$2*SIN(РАДИАНЫ($B$3))*E4-9,8*E4*E4/2

Ячейка
H4
=$B$2*SIN(РАДИАНЫ($B$4))*E4-9,8*E4*E4/2

Ячейка
I4
=$B$2*SIN(РАДИАНЫ($B$5))*E4-9,8*E4*E4/2

Скопировать формулы вниз по столбцам. Визуализировать
полученные данные с помощью графиков.

Для решения
общей оптимизационной задачи в Excel с использованием настройки Поиск решения следует
выполнить следующие действия:

1.                 
Ввести формулу для целевой
функции;

2.                 
Ввести формулы для ограничений
оптимизационной задачи;

3.                 
Выбрать в Excel пункт меню Сервис/Поиск
решения;

4.                 
В окне Поиск решения выбрать
целевую ячейку, изменяемые ячейки и добавить ограничения;

5.                 
Нажать кнопку Выполнить,
после чего будет получено решение оптимизационной
задачи.

Рассмотрим конкретную задачу условной
оптимизации (оптимизация с ограничениями). Решение
проблемы оптимизации перевозок на примере логистической задачи «Склады и
магазины города».

Постановка задачи:

Предположим, что компания, где вы
работаете, имеет два складских помещения, откуда товар поступает в пять ваших
магазинов, разбросанных по всему городу.

Каждый магазин в состоянии
реализовать определенное, известное нам количество товара. Каждый из складов
имеет ограниченную вместимость. Задача состоит в том, чтобы рационально выбрать
– с какого склада в какие магазины нужно доставлять товар, чтобы минимизировать
общие транспортные расходы.

Решение:

В математике подобные задачи
выбора оптимального маршрута по нескольким точкам относят к классу так называемых
«транспортных задач». Разработаны способы их решения. Excel предоставляет
пользователю один из них – с помощью настройки Поиск решения (Solver) в
меню Сервис (Tools).

Перед началом оптимизации
необходимо будет составить  таблицу на листе Excel –математическую модель,
описывающую ситуацию:

Подразумевается, что:

·        
серая таблица (B3:G5)
описывает стоимость доставки единицы от каждого склада до каждого магазина;

·        
лиловые ячейки (C14:G14)
описывают необходимое для каждого магазина количество товаров на реализацию;

·        
красные ячейки (J10:J11)
отображают емкость каждого склада – предельное количество товара, которое склад
может вместить;

·        
желтые (C12:G12) и синие
(H10:H11) ячейки – соответственно, суммы по строке и столбцу для зеленых ячеек;

·        
общая стоимость доставки (E17)
вычисляется как сумма произведений количества товаров на соответствующие им
стоимости доставки.

Таким
образом, наша задача сводится к подбору оптимальных значений зеленых ячеек.
Причем так, чтобы общая сумма по строке (синие ячейки) не превышала вместимости
склада (красные ячейки), и при этом каждый магазин получил необходимое ему
количество товаров на реализацию (сумма по каждому магазину в желтых ячейках
должна быть как можно ближе к требованиям – лиловым ячейкам).

Чтобы
выполнить такую оптимизацию, откроем меню Сервис (Tools) и выберем
команду Поиск решения (Solver). В Excel 2007 это будет кнопка Поиск
решения (Solver) на вкладке Данные (Data). Откроется вот такое окно:

В этом окне
нужно задать следующие настройки:

Целевая
ячейка – тут необходимо указать
конечную главную цель нашей оптимизации, т.е. розовую ячейку с общей стоимостью
доставки (E17). Целевую ячейку можно минимизировать (если это расходы, как в
нашем случае), максимизировать (если это, например, прибыль) или попытаться
привести к заданной константе.

Изменяемые
ячейки – здесь укажем зеленые ячейки
(C10:G11), варьируя значения которых, мы хотим добиться нашего результата –
минимальных затрат на доставку.

Ограничения
– список ограничений, которые надо учитывать при проведении оптимизации. В
нашем случае это ограничения на вместимость складов и потребности магазинов.
Для добавления ограничений в список нужно нажать кнопку Добавить и
ввести условие в появившееся окно:

Кроме очевидных ограничений,
связанных с физическими факторами (вместимость складов и средств перевозки,
ограничения бюджета и сроков и т.д.), иногда приходится добавлять ограничения
«специально для Excel». В нашем случае, например, нужно будет добавить вот
такое ограничение:

Оно
дополнительно уточнит, что объем перевозимого товара (зеленые ячейки) не может
быть отрицательным – для человека это очевидно, но для компьютера надо
прописать. После настройки всех необходимых параметров окно должно выглядеть
следующим образом:

Мы получим следующие результаты:

Следует
обратить внимание на то, как интересно распределились объемы поставок по
магазинам, не превысив при этом емкости складов и удовлетворив все запросы по
требуемому количеству товаров для каждого магазина.

Если найденное решение подходит, то
можно его сохранить, либо вернуться назад к исходным значениям и попробовать
еще раз с другими параметрами.

В практической деятельности человека
задачи, заключающиеся в поиске лучшего (оптимального) решения при наличии
различных критериев, встречаются часто. Решая такого рода задачи, учащиеся познают
суть математического моделирования
процессов и теории оптимизации.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя              общеобразовательная школа № 15 имени Пяти Героев Советского Союза

Иследовательская работа

Тема:

«Создание и исследование моделей

в электронной таблице Excel»

Секция информатики

Выполнила: Сотникова Полина Андреевна,

ученица 10 «А» класса

Руководитель: Титаренко Алексей Анатольевич,

учитель информатики

г. Хабаровск

2016

Содержание

Актуальность темы…………………………………………………………………………………………………………………3

Введение………………………………………………………………………………………………………………………………..4

Создание информационных моделей…………………………………………………………………………………..5

Формулы в Excel…………………………………………………………………………………………………………………….7

Этапы разработки и исследования моделей………………………………………………………………………..10

Исследование физических моделей в электронных таблицах…………………………………………..11

Исследование биологической модели развития популяций………………………………………………14

Оптимизационное моделирование в экономике…………………………………………………………………17

Заключение…………………………………………………………………………………………………………………………….20

Список использованной литературы…………………………………………………………………………………….21

2

Актуальность темы

Часто для исследования предметов, процессов и явлений человек создает модели окружающего мира.

Наглядные модели часто используются в процессе обучения. На уроке географии мы изучаем нашу планету используя её модели – карты и глобусы, при изучении химии мы используем модели молекул и кристаллических решеток, изучаем строение человека по анатомическим муляжам скелета и органов на биологии.

 Модели играют чрезвычайно важную роль в проектировании и создании различных технических устройств, машин и механизмов, зданий, электрических цепей и т.д. Без предварительного создания чертежей невозможно изготовить даже простую деталь, не говоря уже о сложном механизме. Кроме чертежей,в проектировании часто изготавливают макеты. Разработка электрической схемы обязательно предшествует созданию электрических цепей.

Развитие науки невозможно без создания теоретических моделей (теорий, законов, гипотез), отражающих строение, свойства и поведение реальных объектов. Соответствие теоретических моделей действительности проверяется с помощью опытов и экспериментов.

 Все художественное творчество фактически является процессом создания моделей. Например, такой литературный жанр, как басня, переносит реальные отношения между людьми на отношения между животными и фактически создает модели человеческих отношений.

3

Введение

Моделирование – это метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей – неких новых объектов, которые отражают существенные особенности изучаемого объекта, явления или процесса.Модель – это некий новый объект, который отражает существенные особенности изучаемого объекта,явления или процесса. Модели позволяют представить в наглядной форме объекты и процессы, недоступные для непосредственного восприятия (очень большие или очень маленькие объекты, очень быстрые или очень медленные процессы).

Компьютерные модели стали обычным инструментом математического моделирования и применяются в физике, астрофизике, механике, химии, биологии, экономике, социологии, метеорологии, других науках и прикладных задачах в различных областях радиоэлектроники, машиностроения, автомобилестроения и прочих. Компьютерные модели используются для получения новых знаний о моделируемом объекте или для приближенной оценки поведения систем, слишком сложных для аналитического исследования. Компьютерное моделирование является одним из эффективных методов изучения сложных систем. Компьютерные модели проще и удобнее исследовать в силу их возможности проводить вычислительные эксперименты, в тех случаях когда реальные эксперименты затруднены из-за финансовых или физических препятствий или могут дать непредсказуемый результат. Логичность и формализованность компьютерных моделей позволяет определить основные факторы, определяющие свойства изучаемого объекта-оригинала (или целого класса объектов). В частности, моделирование в электронных таблицах может быть использовано для описания ряда объектов, обладающих одинаковыми наборами свойств. С помощью таблиц могут быть построены как статические, так и динамические информационные модели в различных предметных областях, а простота использования программ создания таблиц помогает составлять модели людям без знания сложных языков программирования.

4

Создание информационных моделей:

Информационные модели отражают различные типы систем объектов, в которых реализуются различные структуры взаимодействия и взаимосвязи между элементами системы. Для отражения систем с различными структурами используются различные типы информационных моделей: табличные, иерархические и сетевые. В программе Excelдоступно создание табличного типа моделей.

Табличные информационные модели:

Одним из наиболее часто используемых типов информационных моделей является прямоугольная таблица, состоящая из столбцов и строк. Такой тип моделей применяется для описания ряда объектов, обладающих одинаковыми наборами свойств.

В табличной информационной модели обычно перечень объектов размещен в ячейках первого столбца таблицы, а значения их свойств – в других столбцах.

С помощью электронной таблицы Excelпостроим таблицу стоимости продуктов. В первом столбце таблицы будет содержаться перечень продуктов, а во втором – интересующее нас свойство (цена).

С помощью специальных инструментов, встроенных в программу Excelможно визуализировать таблицу, представив ее в виде графика или круговой диаграммы. Для этого нужно выделить таблицу, зайти во вкладку «Вставка» и выбрать нужный формат визуализации.

5

Визуализация круговой диаграммой

Визуализация столбчатой диаграммой

6

Формулы в Excel

В таблицах Excelможно не только вводить и визуализировать данные, но и производить простые и сложные расчеты над данными.Все это реализуется при помощи формул в ячейках. Формула выполняет вычисления или другие действия с данными в листе.

Порядок ввода формулы

Для начала определим, в какой ячейке должен стоять результат расчета. Затем выделим эту ячейку (нажмем на нее левой кнопкой мышки и ячейка станет активной).

Вводить формулу надо со знака равенства. Это надо для того, чтобы Excel понял, что в ячейку вводится именно формула, а не данные.

Выделим произвольную ячейку, например D1. В строке формул введем =2+3 и нажмем Enter. В ячейке появится результат (5). А в строке формул сверху останется сама формула.

При обработке формулы с большим количеством вычислений, наблюдается определенный приоритет.

1. В первую очередь выполняются выражения внутри скобок.
2. Умножение и деление имеют более высокий приоритет чем сложение и вычитание.
3. Операторы с одинаковым приоритетом выполняются слева направо.

                         7

Так, в примере выше, сначала выполняется действие в скобках (5-4=1), потом первое умножение (100*1=100), затем второе умножение (38*2=76), сложение (100+26=126), и в конце вычитание (126-76=50).

Также, можно выполнять действия над числами, содержащимися в ячейках. Для этого, вместо цифр, в формулах нужно использовать ссылки на ячейки – букву латинского алфавита, обозначающую столбец и цифру, обозначающую строку.

Так, в ячейку D3 была введена формула D1+D2. В результате сложились числа,стоящие в ячейках D1(4) и D2(6) и полученный результат – 10 был записан в ячейку D3.

Для складывания нескольких ячеек используется функция СУММ. Для суммирования трех чисел формула запишется следующим образом

Но можно облегчить себе работу и вместо перечисления каждой ячейки записать диапазон, с помощью двоеточия

Истинное значение функции СУММ раскрывается, когда необходимо сложить большое количество ячеек в Excel. В примере ниже требуется просуммировать 12 значений. Функция СУММ позволяет сделать это несколькими щелчками мышью, если же использовать оператор сложения, то провозиться придется долго.

8

В таблицах Excelможно не только проводить простейшие вычисления над числами, но и возводить в степень, извлекать корень, производить сравнение чисел и многое другое.

9

Этапы разработки и исследования моделей

Использование компьютера для исследования информационных моделей различных объектов и систем позволяет изучить их изменения в зависимости от значения тех или иных параметров. Процесс разработки моделей и их исследования на компьютере можно разделить на несколько основных этапов.

 На первом этапе исследования объекта или процесса обычно строится описательная информационная модель. Такая модель выделяет существенные с точки зрения целей проводимого исследования параметры объекта, а несущественными параметрами пренебрегает.

На втором этапе создается формализованная модель, то есть описательная информационная модель записывается с помощью какого-либо формального языка. В такой модели с помощью формул, уравнений, неравенств и пр. фиксируются формальные соотношения между начальными и конечными значениями свойств объектов, а также накладываются ограничения на допустимые значения этих свойств.

 Однако далеко не всегда удается найти формулы, явно выражающие искомые величины через исходные данные. В таких случаях используются приближенные математические методы, позволяющие получать результаты с заданной точностью.

На третьем этапе необходимо формализованную информационную модель преобразовать в компьютерную модель, то есть выразить ее на понятном для компьютера языке. Существуют два принципиально различных пути построения компьютерной модели:

1) построение алгоритма решения задачи и его кодирование на одном из языков программирования;

2) построение компьютерной модели с использованием одного из приложений (электронных таблиц, СУБД и пр.).

 В процессе создания компьютерной модели полезно разработать удобный графический интерфейс, который позволит визуализировать формальную модель, а также реализовать интерактивный диалог человека с компьютером на этапе исследования модели.

Четвертый этап исследования информационной модели состоит в проведении компьютерного эксперимента. Если компьютерная модель существует в виде программы на одном из языков программирования, ее нужно запустить на выполнение и получить результаты.

Если компьютерная модель исследуется в приложении, например в электронных таблицах, можно провести сортировку или поиск данных, построить диаграмму или график и так далее.

Пятый этап состоит в анализе полученных результатов и корректировке исследуемой модели. В случае различия результатов, полученных при исследовании информационной модели, с измеряемыми параметрами реальных объектов можно сделать вывод, что на предыдущих этапах построения модели были допущены ошибки или неточности. Например, при построении описательной качественной модели могут быть неправильно отобраны существенные свойства объектов, в процессе формализации могут быть допущены ошибки в формулах и так далее. В этих случаях необходимо провести корректировку модели, причем уточнение модели может проводиться многократно, пока анализ результатов не покажет их соответствие изучаемому объекту.

10

Исследование физических моделей в электронных таблицах:

Рассмотрим процесс построения и исследования модели на конкретном примере движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Задача: В процессе тренировке теннисистов используются автоматы по бросания мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в мишень определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.

Качественная описательная модель: Сначала построим качественную описательную модель процесса движения тела с использованием физических объектов, понятия и законов, то есть в данном случае идеализированную модель движения объекта. Из условия задачи можно сформулировать следующие основные предположения:

• Мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;
• Изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной величиной g= 9,8 мс и движение по оси ОУ можно считать равноускоренным;
• Скорость бросания тела мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь и движение по оси ОХ можно считать равномерным

Формальная модель: Для формализации модели используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения. При заданных начальной скорости v0 и угле бросания aзначения координат дальности полета х и высоты у от времени можно записать следующими формулами:

X=v0*cos*t;

Y=v0*sinα*t – g*t²/2

Пусть мишень высотой h будет размещаться на расстоянии sот автомата. Из первой формулы выражаем время, которое понадобится мячику, чтобы преодолеть расстояние s:

t = s/(v0*cos2α)

Представляем это значение для tв формулу для у. Получаем l – высоту мячика над землей на расстоянии s:

l = s*tgα – g*s²/(2*v0²*cosα²)

Формализуем теперь условие попадания мячика в мишень. Попадание произойдет, если значение высоты lмячика в мишень. Попадание произойдет, если значение высоты lмячика будет удовлетворять условию в форме неравенства:

0≤l ≤ h

Если l<0, то это означает «недолет», а если l>h, то это означает «перелет».

Создание модели:

1. Для ввода начальной скорости будем использовать ячейку В1, а для ввода угла – ячейку В2
2. Введем в ячейки А5:А18 значения времени с интервалом в 0,2 с.
3. В ячейки В5 и С5 введем формулы:

11

=$B$1*cos(Радианы($B$2))*А5

=$B$1*sin(РАДИАНЫ($B$2))*A5-4,9*A5*A5

1. Скопируем формулы в ячейки В6:В18 и С6:С18 соответственно.

Визуализируем модель, построив график зависимости координаты у от координаты х (траекторию движения тела).

1. Построить диаграмму типа График, в которой используется в качестве категории диапазон ячеек В5:В18, а в качестве значений – диапазон ячеек С5:С18.

Исследование модели: Исследуем модель и определим с заданной точностью 0,1 диапазон изменений угла, который обеспечивает попадание в мишень, находящуюся на расстоянии 30 м и имеющую высоту 1 м, при заданной начальной скорости 18 м/с. Воспользуемся для этого методом Подбор параметра.

1. Установить для ячеек точность один знак после запятой

12

1. Ввести в ячейки B21, B22 и В23 значения расстояния до мишени S = 30 м, начальной скорости Vо = 18 м/с и угла α= 35⁰, а в ячейку В25 – формулу для вычисления высоты мячика над поверхностью для заданных условий:

=B21*TAN(РАДИАНЫ(B23))-(9,81*B21^2)/(2*B22^2*COS(РАДИАНЫ(B23))^2)

Для заданных начальных условий определим углы, которые обеспечивают попадание в мишень на высотах 0 и 1 м.

1. Выделить ячейку В25 и ввести команду [Сервис-Подбор параметра…]. На появившейся диалоговой панели ввести в поле Значение: наименьшую высоту попадания в мишень ( то есть 0). В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки, содержащей значение угла (в данном случае $B$23).

1. В ячейке В23 появится значение 32,6. Повторить процедуру подбора параметра для максимальной высоты попадания в мишень – в ячейке В23 получим значение 36,1.

Таким образом, исследование компьютерной модели в электронных таблицах показало, что существует диапазон значений для угла бросания от 32,6 до 36,1⁰, который обеспечивает попадание в мишень высотой 1 м, находящуюся на расстоянии 30 м, мячиком брошенным со скоростью 18 м/с.

13

Исследование биологической модели развития популяций

В биологии при исследовании развития биосистем строятся динамические модели изменения численности популяций различных живых существ (бактерий, рыб, животных и пр.) с учетом различных факторов. Взаимовлияние популяций рассматривается в моделях типа «хищник-жертва».

Формальная модель. Изучение динамики численности популяций естественно начать с простейшей модели неограниченного роста, в которой численность популяции ежегодно увеличивается на определенный процент. Математическую модель можно записать с помощью рекуррентной формулы, связывающей численность популяции следующего года с численностью популяции текущего года, с использованием коэффициента роста а:

X(n+1) = a * x(n)

Например, если ежегодный прирост численности популяции составляет 5%, то а = 1,05. В модели ограниченного роста учитывается эффект перенаселенности, связанный с нехваткой питания, болезнями и так далее, который замедляет рост популяции с увеличением ее численности. Введем коэффициент перенаселенности b, значение которого обычно существенно меньше а (b<<а). Тогда коэффициент ежегодного увеличения численности равен (а — b*х(n)) и формула принимает вид:

X(n+1) = (a – b * x(n)) * x(n)

В модели ограниченного роста с отловом учитывается, что на численность популяций промысловых животных и рыб оказывает влияние величина ежегодного отлова. Если величина ежегодного отлова равна с, то формула принимает вид:

X(n+1) = (a – b * x(n)) * x(n) — c

Популяции обычно существуют не изолированно, а во взаимодействии с другими популяциями. Наиболее важным типом такого взаимодействия является взаимодействие между жертвами и хищниками (например, караси-щуки, зайцы-волки и так далее). В модели «хищник-жертва» количество жертв х(n) и количество хищников у(n) связаны между собой. Количество встреч жертв с хищниками можно считать пропорциональным произведению количеств жертв и хищников, а коэффициент f характеризует возможность гибели жертвы при встрече с хищниками. В этом случае численность популяции жертв ежегодно уменьшается на величину f * х(n)* у(n) и формула для расчета численности жертв принимает вид:

X(n+1) = (a – b * x(n)) * x(n) – c – f* x(n) * y(n)

Численность популяции хищников в отсутствие жертв (в связи с отсутствием пищи) уменьшается, что можно описать рекуррентной формулой

Y(n+1) = d* y(n)

где значение коэффициента d < 1 характеризует скорость уменьшения численности популяции хищников. Увеличение популяции хищников можно считать пропорциональной произведению собственно количеств жертв и хищников, а коэффициент е характеризует величину роста численности хищников за счет жертв. Тогда для численности хищников можно использовать

14

формулу:

y(n+1) = d*y(n) + e*x(n)*y(n)

Компьютерная модель. Построим в электронных таблицах компьютерную модель, позволяющую исследовать численность популяций с использованием различных моделей: неограниченного роста, ограниченного роста, ограниченного роста с отловом и «хищник—жертва».

1. В ячейки В1 и В6 внести начальные значения численности популяций жертв и хищников.

В ячейки В2:В5 внести значения коэффициентов a, b, cи f, влияющих на изменение численности жертв.

В ячейки В7 и В8 внести значения коэффициентов dи е, влияющих на изменение численности хищников

В столбце Dбудем вычислять численность популяции в соответствии с моделью неограниченного роста, в столбце Е – ограниченного роста, в столбце F–ограниченного роста с отловом, в столбцах Gи H–«хищник-жертва».

1. В ячейки D1, E1, F1 и G1 внести значения начальной численности популяций жертв, в ячейку Н1 – хищников.

В ячейку D2 внести рекуррентную формулу неограниченного роста =$B$2*D1

В ячейку Е2 внести рекуррентную формулу неограниченного роста =($B$2-$B$3*E1)*E1

В ячейку F2 внести рекуррентную формулу ограниченного роста с отловом =($B$2-$B$3*F1)*F1-$B$4

В ячейку G2 внести рекуррентную формулу изменения количества жертв =($B$2-$B$3*G1)*G1-$B$4-$B$5*G1*H1

В ячейку Н2 внести рекуррентную формулу изменения количества хищников =$B$7*H1+$B$8*G1*H1

1. Скопировать внесенные формулы в ячейки столбцов командой [Правка-Заполнить-Вниз].

В ячейках столбцов ознакомиться с динамикой изменения численности популяций.

15

1. Выделить столбцы данных и построить диаграмму типа График. Появятся графики изменения численности популяций в соответствии с моделями неограниченного роста, ограниченного роста, ограниченного роста с отловом, моделью хищник-жертва.

Исследование модели: Изменяя значения начальных численностей популяций, а также коэффициенты, можно получать различные варианты изменения численности популяций в зависимости от времени.

16

Оптимизационное моделирование в экономике

В сфере управления сложными системами (например, в экономике) применяется оптимизационное моделирование, в процессе которого осуществляется поиск наиболее оптимального пути развития системы.

Критерием оптимальности могут быть различные параметры; например, в экономике можно стремиться к максимальному количеству выпускаемой продукции, а можно к ее низкой себестоимости. Оптимальное развитие соответствует экстремальному (максимальному или минимальному) значению выбранного целевого параметра.

 Развитие сложных систем зависит от множества факторов (параметров), следовательно, значение целевого параметра зависит от множества параметров. Выражением такой зависимости является целевая функция

К = F(X1,X2,…,Xn),

где К — значение целевого параметра; X1,X2,…,Xn — параметры, влияющие на развитие системы.

Цель исследования состоит в нахождении экстремума этой функции и определении значений параметров, при которых этот экстремум достигается. Если целевая функция нелинейна, то она имеет экстремумы, которые находятся определенными методами.

 Однако часто целевая функция линейна и, соответственно, экстремумов не имеет. Задача поиска оптимального режима при линейной зависимости приобретает смысл только при наличии определенных ограничений на параметры. Если ограничения на параметры (система неравенств) также имеют линейный характер, то такие задачи являются задачами линейного программирования. (Термин «линейное программирование» в имитационном моделировании понимается как поиск экстремумов линейной функции, на которую наложены ограничения.) Рассмотрим в качестве примера экономического моделирования поиск вариантов оптимального раскроя листов материала на заготовки определенного размера.

Содержательная постановка проблемы. В ходе производственного процесса из листов материала получают заготовки деталей двух типов А и Б тремя различными способами, при этом количество получаемых заготовок при каждом методе различается.

Тип Заготовки	1 способ раскроя	2 способ раскроя	3 способ раскроя
А	10	3	8
Б	3	6	4

Необходимо выбрать оптимальное сочетание способов раскроя, для того чтобы получить 500 заготовок первого типа и 300 заготовок второго типа при расходовании наименьшего количества листов материала.

Формальная модель. Параметрами, значения которых требуется определить, являются количества листов материала, которые будут раскроены различными способами:

Х1 — количество листов, раскроенное способом 1;

Х2 — количество листов, раскроенное способом 2;

Х3 — количество листов, раскроенное способом 3.

Тогда целевая функция, значением которой является количество листов материала, примет вид:

17

F = Х1+ Х2 + Х3.

Ограничения определяются значениями требуемых количеств заготовок типа А и Б, тогда с учетом количеств заготовок, получаемых различными способами, должны выполняться два равенства: 10Х1+ ЗХ2 + 8Х3 = 500;

ЗХ1 + 6Х2 + 4Х3 = 300.

 Кроме того, количества листов не могут быть отрицательными, поэтому должны выполняться неравенства:

X1>= 0; Х2>= 0; Х3 >= 0.

Таким образом, необходимо найти удовлетворяющие ограничениям значения параметров, при которых целевая функция принимает минимальное значение. Компьютерная модель. Будем искать решение задачи путем создания и исследования компьютерной модели в электронных таблицах Excel.

Оптимизационное моделирование

1. Ячейки В2, С2 и D2 выделить для значений параметров Х1, Х2 и Х3.

В ячейку В4 ввести формулу для вычисления целевой функции:

=В2+С2+D2

В ячейку В7 ввести формулу вычисления количества заготовок типа А:

=10*B2+3*C2+8*D2.

В ячейку В8 ввести формулу вычислений количества заготовок типа Б:

=3*B2+6*C2+4*D2

Исследование модели: Для поиска оптимального набора значений параметров, который соотвествует минимальному значению целевой функции, воспользоваться надстройкой электронных таблиц Поиск решения.

1. На вкладке Данные нажмите кнопку Поиск решения.
2. На появившейся диалоговой панели Поиск решения установить:

• Адрес целевой ячейки
• Вариант оптимизации значения целевой ячейки (максимизация, минимизация или подбор значения)
• Адреса ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения ( в которых хранятся значения параметров)

18

• Ограничения (типа «=» для ячеек, хранящих количество деталей, и типа «≥» для параметров).

• Щелкнуть по кнопке Выполнить. В ячейке целевой функции появится значение 69,4, а в ячейках параметров значения 0,11,58.

Таким образом, для изготовления 500 деталей А и 300 деталей Б требуется 71 лист материала, при этом 12 листов нужно раскроить по второму, а 59 по третьему способу.

19

Заключение

Моделирование глубоко проникает в теоретическое мышление. Более того, развитие любой науки в целом можно трактовать — в весьма общем, но вполне разумном смысле, — как «теоретическое моделирование». Важная познавательная функция моделирования состоит в том, чтобы служить импульсом, источником новых теорий. Нередко бывает так, что теория первоначально возникает в виде модели, дающей приближённое, упрощённое объяснение явления, и выступает как первичная рабочая гипотеза, которая может перерасти в «предтеорию» — предшественницу развитой теории. При этом в процессе моделирования возникают новые идеи и формы эксперимента, происходит открытие ранее неизвестных фактов. Такое «переплетение» теоретического и экспериментального моделирования особенно характерно для развития физических теорий.

 Моделирование — не только одно из средств отображения явлений и процессов реального мира, но и — несмотря на описанную выше его относительность — объективный практический критерий проверки истинности наших знаний, осуществляемой непосредственно или с помощьюустановления их отношения с другой теорией, выступающей в качестве модели, адекватность которой считается практически обоснованной. Применяясь в органическом единстве с другими методами познания, моделирование выступает как процесс углубления познания, его движения от относительно бедных информацией моделей к моделям более содержательным, полнее раскрывающим сущность исследуемых явлений действительности.

В своем проекте я показала, как использовать электронные таблицы Excelдля моделирования и анализа созданных моделей.

20

Список использованной литературы

1. Н. Угринович «Информатика и информационные технологии»
2. Н. Угринович «Информатика и ИКТ»
3. http://on-line-teaching.com/excel/lsn003.html
4. http://www.excel-office.ru/formulivexcel/formulivexcel

21

Тема: Моделирование в табличном процессоре MS Excel

Цель занятия: применение табличного процессора MS Excel в моделировании. Построение поверхностей в трехмерной системе координат, форматирование и копирование созданных таблиц. Построение гистограмм.

ТСО: Компьютерный класс. Программное обеспечение (Windows XP), MS Office (Word, Excel).

Задание 1. Построить график поверхности функции , заданной в промежутке с шагом 0,5.

Порядок работы

1. Запустить Excel.

2. Переименовать Лист7 → Поверхность.

3. Ввести данные и заполнить столбец и строку, как указано на рисунке.

4. Составить расчетную формулу для заполнения столбца (диапазона) В8:В24 (это =A8*$B$7).

5. Заполнить столбец методом автокопирования.

6. Скопировать исходную формулу и вставить в ячейку С8 и соответственно нужно изменить адрес ячейки $B$7 на $C$7 и получить расчетную формулу =A8*$C$7.

7. Повторить пункт 5.

8. Эти операции повторить до тех пор, пока не заполним таблицу.

9. Выделить диапазон В8:R24 и построить диаграмму «Поверхность».

Задание 2. Построить поверхность в изометрической проекции, которая задается формулой в промежутке с шагом 0,5.

Формулы расчета значений таблицы в Excel:

=$A$2+B3 – для вычисления значений в интервале, столбец В.

=$A$2+C2– для вычисления значений в интервале, строка 2.

=КОРЕНЬ (16—В3^2-$С$2^2) – для вычисления значений в интервале, столбец С.

Ход выполнения задания

1. В ячейку A2 ввести значение шага 0,5 (абсолютный адрес).

2. В ячейку B3 ввести начальное значение заданного интервала, число – 4.

3. В ячейку B4 ввести первую форму = $A$2+B3, для расчета относительных адресов и нажать Enter.

4. Щелкнуть по ячейке В4. Подвести курсор к нижнему правому углу выделенной ячейки, как только курсор примет вид крестика «+», нажать левую клавишу мыши, и, не отпуская, протянуть маркер заполнения вниз, пока не увидите число 4 в ячейке В19.

5. В ячейку С2 ввести начальное значение из заданного интервала, число – 4.

6. В ячейку D2, ввести расчетную формулу =$A$2+C2, нажать Enter.

7. Щелкнуть по ячейке D2, и протянуть маркер заполнения курсором мыши по диапазону D2:S2, выделив все ячейки.

8. Установить курсор в ячейку С3, ввести формулу =КОРЕНЬ (16—В3^2–$С$2^2), и нажать Enter.

9. Щелкнуть повторно по ячейке С3.

10. Подвести курсор мыши к нижнему правому углу выделенной ячейки и, как только курсор примет вид крестика «+», нажать левую клавишу мыши и, не отпуская, протянуть маркер заполнения вниз, до ячейки С19.

11. Аналогичными действиями, нужно вводить формулы для ячеек D3, E3, … , S3, заменив адреса относительных ячеек на абсолютные адреса.

12. Щелкнуть повторно по ячейке D3.

13. Подвести курсор мыши к нижнему правому углу выделенной ячейки и, как только курсор примет вид крестика «+», нажать левую клавишу мыши, и, не отпуская, протянуть маркер заполнения вниз до ячейки D19.

14. В ячейку E3 ввести формулу =КОРЕНЬ (16—В3^2-$E$2^2), нажать Enter.

15. Щелкнуть повторно по ячейке E3.

16. Повторить пункт 10.

И соответственно ввести расчетные формулы в ячейках

F3 = КОРЕНЬ (16—В3^2—$F$2^2)

G3 = КОРЕНЬ (16—В3^2—$G$2^2)

…

…

S3 = КОРЕНЬ (16—В3^2—$S$2^2)

Для построения диаграммы, выделить в таблице область данных. Диаграмма строится стандартным образом. После получения диаграммы ее продемонстрировать.

Для более компактного размещения данных в Excel, нужно выполнить команду ФОРМАТ → Ячейки → Число → Числовой.

Задать число « Десятичных знаков» – 2.

И последняя операция – уменьшить размер столбцов.