Моделирование смо в excel

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1.Постановка
задач массового обслуживания 5

1.1.
Общие сведения о СМО 5

1.2.
Моделирование СМО в табличном процессоре
Excel 11

1.3.
Постановка задачи 13

2.
Выполнение расчётов 14

2.1.
Разработка расчётного инструментария 14

2.2.
Расчёт контрольного примера 15

3.
Состав проводимых численных экспериментов 20

3.1.
Результаты расчётов 20

3.2.
Изменение параметров 24

3.3.
Выводы по проделанной работе 25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27

СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 28

ВВЕДЕНИЕ

Возникновение
теории массового обслуживания относится
к началу XX в. и связано с необходимостью
решения задач строительства и развития
телефонных сетей. Большой вклад в
развитие и становления теории массового
обслуживания внесли зарубежные ученые
Ф.В. Иоханнсен, А. К. Эрланг, а также
отечественный математик А.Я. Хинчин,
систематизировавший достигнутые к тому
времени основные положения теории
массового обслуживания в монографии
«Работы по теории массового обслуживания»
(1963) [2]. В зарубежной практике указанное
направление исследований известно под
названием «Теории очередей».

Теорию
массового обслуживания следует
рассматривать как раздел прикладной
математики, изучающий процессы, связанные
с удовлетворением массового спроса на
выполнение какого-либо вида услуг с
учетом случайного характера спроса и
обслуживания.

Задача
теории массового обслуживания –
установить зависимость результирующих
показателей работы системы массового
обслуживания (вероятности того, что
заявка будет обслужена; математического
ожидания числа обслуженных заявок и
т.д.) от входных показателей (количества
каналов в системе, параметров входящего
потока заявок и т.д.). Результирующими
показателями или интересующими нас
характерисуноктиками СМО являются –
показатели эффективности СМО, которые
описывают способна ли данная система
справляться с потоком заявок.

Задачи
теории массового обслуживания носят
оптимизационный характер и в конечном
итоге включают экономический аспект
по определению такого варианта системы,
при котором будет обеспечен минимум
суммарных затрат от ожидания обслуживания,
потерь времени и ресурсов на обслуживание
и простоев каналов обслуживания.

В
качестве примеров СМО в финансово-экономической
сфере можно привести системы, представляющие
собой банки различных типов (коммерческие,
инвестиционные, ипотечные, инновационные,
сберегательные), страховые организации
(государственные, акционерные общества,
компании, фирмы, ассоциации, кооперативы),
налоговые инспекции, аудиторские службы,
различные системы связи (в том числе
телефонные станции), погрузочно-разгрузочные
комплексы (порты, товарные станции),
автозаправочные станции, различные
предприятия и организации сферы
обслуживания (магазины, парикмахерские,
больницы).

1. Постановка задач массового обслуживания

1. Общие сведения о смо

Каждая
система массового обслуживания (СМО)
может быть представлена в виде
определенного числа обслуживающих
единиц, которые называются каналами
обслуживания. В качестве канала могут
рассматриваться различного вида приборы
и приспособления, вычислительная машина,
коллектив людей или отдельный исполнитель,
выполняющий определенный вид работ. По
числу каналов СМО делится на одноканальные
и многоканальные системы.

Функционирование
любой СМО заключается в обслуживании
поступающего в нее потока заявок или
требований. Заявки обычно поступают
нерегулярно, образуя случайный поток
заявок (требований). На обслуживание
заявки также необходимо определенное
время. Случайный характер потока заявок
и времени обслуживания приводит к
неравномерной загрузке СМО. В какие-то
периоды времени скапливается большое
количество заявок (они либо становятся
в очередь, либо покидают СМО, не получив
обслуживания), в другие периоды СМО
может работать с недогрузкой или
простаивать [9].

Систематизируем
основные термины и понятия, используемые
в теории массового обслуживания.

Системой
массового обслуживания называется
любая система, предназначенная для
обслуживания каких-либо заявок
(требований), поступающих в нее в случайные
моменты времени [7].

Под обслуживанием понимается
удовлетворение потребности в чем-то.
По своей природе обслуживание может
иметь самый различный характер.

Основными
элементами СМО являются входной поток
заявок, очередь (может отсутствовать),
каналы обслуживания и выходящий поток.
Обобщенная структурная схема СМО
показана на рисунке 1:

Рисунок
1 — Обобщенная структурная схема СМО

В
зависимости от формирования СМО, ее
различают на:

1. Системы
   с отказами, в которых при занятости,
   заявка не встает в очередь и при это
   она покидает систему обслуживания.

2. Системы
   с неограниченными ожиданиями, в которых
   заявка встает в очередь, если в момент
   поступления все каналы были заняты.

Существуют
и системы смешанного типа с ожиданием
ограниченной длиной очереди, это когда
заявка получает отказ, если приходит в
момент, когда все места в очереди заняты.
Заявка, попавшая в очередь, обязательно
обслуживается [1].

По
числу каналов обслуживания СМО делятся
на одноканальные и многоканальные.

В
зависимости от расположения источника
требований системы могут быть разомкнутыми,
(источник заявок находится вне системы)
и замкнутыми (источник находится в самой
системе) [5].

Характеристики
СМО

Заявки
характеризуются:

• интенсивность
  потока заявок (число заявок в единицу
  времени);

• 
  вероятность
  отказа в обслуживании (доля не обслуженных
  заявок). Очередь характеризуется:

• m
  – длина очереди;

• –
  средняя
  длина очереди;

• 
  – среднее
  время ожидания в очереди;

• 
  – вероятность
  попадания в очередь (доля заявок,
  попавших в очередь). Каналы обслуживания
  характеризуются;

• n
  – число каналов обслуживания;

• –
  среднее
  время обслуживания одной заявки;

• –
  интенсивность
  обслуживания (число обслуженных заявок
  в единицу времени); 
  
  ;

• среднее
  число занятых каналов;
  ;

• 
  – среднее
  число свободных каналов;
  

• коэффициент
  загрузки канала;

• –
  вероятность
  обслуживания (доля обслуженных заявок);

• интенсивность
  нагрузки; ρ
  
  
  ;

• 
  – среднее
  время простоя каналов;

• –
  среднее
  время пребывания заявки в СМО;

• –
  среднее
  число заявок в СМО.

Параметры
структуры СМО

Каждая
система массового обслуживания
обладает определенной структурой,
характеризующейся совокупностью
параметров [3]. Основным компонентом
структуры СМО являются каналы обслуживания.
В зависимости от числа каналов различают
одноканальные и многоканальные СМО.

Дисциплина
очереди

Дисциплина
очереди определяет
принцип, в соответствии с которым
поступающие на вход обслуживающей
системы требования подключаются из
очереди к процедуре обслуживания [8].

Наиболее
распространенный принцип ее построения
основан на правиле

«первым
пришел – первым обсуживаешься» (часто
обозначается аббревиатурой FIFO
– от английского First-In-First-Out).
Второе правило (например, при обработке
документов) – «последним пришел –
первым обслуживаешься» (обозначается
аббревиатурой LIFO – от англ. Last-In-First-Out)
[10].
Могут использоваться случайный отбор
заявок, учет определенных приоритетов,
вводиться ограничение на время пребывания
заявки в очереди.

Входящий
поток

Входящий
поток наиболее распространен в практике
это простейший поток заявок, обладающий
свойствами стационарности, ординарности
и отсутствия последствия.

1. Свойством
   стационарности, которое выражает
   неизменность вероятностного режима
   потока по времени. Это значит, что число
   требований, поступающих в систему в
   равные промежутки времени, в среднем
   должно быть постоянным. Например, число
   вагонов, поступающих под погрузку в
   среднем в сутки должно быть одинаковым
   для различных периодов времени [6].

2. Отсутствие
   последствия, которое обслуживает
   взаимную независимость поступления
   того или иного числа требований на
   обслуживание в непересекающиеся
   промежутки времени. Это значит, что
   число требований, поступающих в данный
   отрезок времени, не зависит от числа
   требований, обслуженных в предыдущем
   промежутке времени.

3. Свойством
   ординарности, которое выражает
   практическую невозможность одновременного
   поступления двух или более требований
   (вероятность такого события неизмеримо
   мала по отношению к рассматриваемому
   промежутку времени, когда последний
   устремляют к нулю).

Входящий
поток требований представляет собой
совокупность требований, которые
поступают в систему и нуждаются в
обслуживании. Входящий поток требований
изучается с целью установления
закономерностей этого потока и дальнейшего
улучшения качества обслуживания [4].

В
большинстве случаев входящий поток
неуправляем и зависит от ряда случайных
факторов. Число требований, поступающих
в единицу времени, случайная величина.
Случайной величиной является также
интервал времени между соседними
поступающими требованиями. Однако
среднее количество требований, поступивших
в единицу времени, и средний интервал
времени между соседними поступающими
требованиями предполагаются заданными.

Среднее
число требований, поступающих в систему
обслуживания за единицу времени,
называется интенсивностью поступления
требований.

На
практике условия простейшего потока
не всегда строго выполняются. Часто
имеет место не стационарность процесса
(в различные часы дня и различные дни
месяца поток требований может меняться,
он может быть интенсивнее утром или в
последние дни месяца) [7]. Существует
также наличие последствия, когда
количество требований на отпуск товаров
в конце месяца зависит от их удовлетворения
в начале месяца.

Простейшей
одноканальной моделью с вероятностным
входным потоком и процедурой обслуживания
является модель, характеризуемая
показательным распределением как
длительностей интервалов между
поступлениями требований, так и
длительностей обслуживания. При этом
плотность распределения длительностей
интервалов между поступлениями требований
имеет вид:

,

где

— интенсивность поступления заявок в
систему.

Под
интенсивностью потока понимают:

,

где
m(t, t+)
— среднее число событий в интервале (t,
t+).

Плотность
распределения длительностей обслуживания:

,

где

— интенсивность обслуживания.

Выходящий
поток

Совокупность
обслуженных и потерянных заявок образует
выходящий поток СМО.

В
зависимости от структуры выходящего
потока различают СМО без потерь и СМО
с потерями. Для СМО без потерь характерно
отсутствие ограничений на число мест
в очереди и на время пребывания заявки
в системе. По этой причине выходящий
поток будет состоять лишь из обслуженных
заявок.

В
свою очередь, поток потерянных заявок
может состоять из потока заявок,
получивших отказ, и потока не «терпеливых»
заявок, покинувших систему, так как их
время пребывания превысило допустимую
величину.

Выходящий
поток в общем случае распадается на
поток обслуженных и поток потерянных
заявок.

Выходящий
поток заявок связан с потоком обслуживания
в канале, где длительность обслуживания
t_обс
является случайной величиной и подчиняется
закону распределения с плотностью:

где
μ – интенсивность потока обслуживания,
т.е. среднее число заявок, обслуживаемых
в единицу времени:

(чел./мин,
р./ дн., кг/ч, докум./дн.),

где

— среднее время обслуживания.

Важной
характеристикой СМО, объединяющей λ и
μ, является интенсивность нагрузки:

.

СМО
с отказами

Заявка,
поступившая в систему с отказами, при
этом все каналы заняты, получает отказ
и покидает систему необслуженной.
Показателем качества обслуживания
выступает вероятность получения отказа.
Предполагается, что все каналы доступны
в равной степени всем заявкам, входящий
поток является простейшим, длительность
(время) обслуживания одной заявки

распределена по показательному закону
[2].

По
ниже написанным формулам можно рассчитать
СМО с отказами:

1. Вероятность
   простоя каналов обслуживания, когда
   нет заявок (k
   = 0):

1. Вероятность
   отказа в обслуживании, когда поступившая
   на обслуживание заявка найдет все
   каналы занятыми (k
   = n):

;

1. Вероятность
   обслуживания:

;

1. Среднее
   число занятых обслуживанием каналов:

;

1. Доля
   каналов, занятых обслуживанием:

;

1. Абсолютная
   пропускная способность СМО:

;

1.2.
Моделирование с помощью табличного
процессора Excel

Имитация
с помощью табличных процессоров
(spreadsheet simulation) представляет собой
отдельное направление со своими
особенностями. Его сторонники утверждают,
что использование данных систем улучшает
понимание происходящих процессов
гораздо лучше, чем применение
специализированного программного
обеспечения, имеющего высокую стоимость
и требующего время для изучения, а также
скрывающего используемые механизмы
(хотя такие среды довольно широко
используются, особенно GPSS, поскольку
предоставляют больше возможностей и
позволяют моделировать сложные системы)
[1].

Так,
Grossman в своей публикации «Spreadsheet Modeling
and Simulation Improves Understanding of Queues» утверждал,
что имитация с помощью таблиц Excel гораздо
лучше дает представление о системах
массового обслуживания, чем теория
очередей, и также развивает интуицию,
дает даже незнакомым с программированием
специалистам опыт реализации различных
моделей [1]. Однако эти подходы (реализация
с помощью Excel и сред моделирования) не
являются взаимоисключающими, а скорее
дополняют друг друга.

В
том случае, если обслуживание заявок
может происходить в нескольких узлах,
то говорят, что данная система является
многоканальной. Рассмотрим двухканальную
СМО. Предположим, что вновь поступившая
заявка поступает в тот канал, который
раньше других освободился (а при
одновременном освобождении заявка
поступит в первый узел), тогда процесс
моделирования можно представить
следующим образом (рисунок 2) (исходные
данные: tz =8 мин., to =7 мин.; t0 =9 ч.).

Рисунок
2 — Двухканальная СМО

Для
каждого канала выполняется расчет
времени начала и окончания обслуживания.
Решение о том, в каком канале будет
происходить обслуживание, принимается
на основе данных о времени освобождения
каждого из них. Время начала обслуживания
заявки равно максимальному значению
из следующих величин: время освобождения
найденного канала и время прибытия
заявки

Е8=ЕСЛИ(МАКС(F$7:F7)<=МАКС(H$7:H7);МАКС(F$7:F7;C8);»»)

F8=ЕСЛИ(ЕТЕКСТ(E8);»»;E8+D8)

G8=ЕСЛИ(МАКС(F$7:F7)>МАКС(H$7:H7);МАКС(H$7:H7;C8);»»)

H8=ЕСЛИ(ЕТЕКСТ(G8);»»;G8+D8).

Время
ожидания обслуживания определяется по
формуле I8=ЕСЛИ(ЕТЕКСТ(E8);G8-C8;E8-C8) (рисунок
3).

Рисунок
3 — Моделирование СМО в Excel

Соседние файлы в папке Курсовая 4 курс СМО

• #
• #

---

Подборка по базе: 3Отчетность экономических субъектов и ее анализ.docx, Лабунец Л.В.Цифровое моделирование оптических отражательных хара, Введение в компьютерное моделирование.pdf, Расчет основных технико- экономических показателей на примере те, Отчетность экономических субъектов и ее анализ_.docx, Анализ операций банка на рынке драгоценных металлов в современны, состав экономических районов.docx, Контрольная работа по разделу Человек в экономических отношениях, ПЗ_3.3. Моделирование свободного падения тел с учетом сопротивле, Игровое моделирование в аналитической деятельности1(1).docx

---

) и т.д., обеспечивающие следующие дополнительные возможности Excel: генерация случайных чисел, автоматизация запуска экспериментов, анализ и представление выходной информации и т.д. Генерация случайных чисел может быть также выполнена с помощью надстройки Excel, называемой «Пакет анализа данных».
Наконец
, отметим, что в связи с продолжением развития данного программного обеспечения, возможно, будущие версии будут предоставлять больше возможностей и обеспечивать более эффективную имитацию.

будет многоканальной), числу фаз обслуживания. Время обслуживание может быть случайной величиной или детерминированным.
Также существую системы, в которых обслуженные требования после некоторой задержки опять поступают на вход. Такие системы называются замкнутыми
В
качестве показателей эффективности СМО рассматриваются: среднее время
, которое клиент проводит в очереди, средняя длина очереди, среднее время
, которое клиент проводит в
системе обслуживания
(
TotalTimeSystem
TimeSystem
N
=
, где
TotalTimeSystem
— общее время пребывания в системе для всех заявок, а
N
-число заявок), среднее число клиентов в системе обслуживания
, вероятность того, что система окажется свободной и т.д.
2.1 Одноканальная система массового обслуживания
Рассмотрим простую систему массового обслуживания: число каналов равно единице
, время ожидания неограниченно, время между заявками и время обслуживания заявок являются случайными величинами с показательным законом распределения (среднее значение времени обслуживания равно
to
, среднее время между заявками —
tz
) (рис.2.2).
Рис
. 2.2 – Одноканальная система массового обслуживания
Рассмотрим процесс поступления десяти заявок, если
tz
=0,5 ч.,
to
=1 ч.
В
[6]использован следующий способ моделирования такой системы
(рис.2.3). Величины времени обслуживания и между заявками рассчитываются согласно способу моделирования случайной величины с показательным законом распределения
D9=-$F$4*LN(СЛЧИС())
E9=-$F$3*LN(СЛЧИС()).

равно максимальному значению из следующих величин: время освобождения найденного канала и время прибытия заявки
Е
8=ЕСЛИ(МАКС(F$7:F7)<=МАКС(H$7:H7);МАКС(F$7:F7;C8);»»)
F8=ЕСЛИ(ЕТЕКСТ(E8);»»;E8+D8)
G8=ЕСЛИ(МАКС(F$7:F7)>МАКС(H$7:H7);МАКС(H$7:H7;C8);»»)
H8=ЕСЛИ(ЕТЕКСТ(G8);»»;G8+D8).
Время ожидания обслуживания определяется по формуле
I8=ЕСЛИ(ЕТЕКСТ(E8);G8-C8;E8-C8).
Рис
. 2.9 — Моделирование двухканальной системы массового обслуживания
Задачи
1. Магазин, располагающий двумя кассами
, занимается продажей продовольственных товаров (рис. 2.10). Время между приходом двух покупателей
– случайная величина с
показательным законом распределения
(среднее значение —
tz
), а время обслуживания равномерно распределено на интервале [
a
;
b
]. Сумма покупки является случайной величиной с нормальным законом распределения (среднее значение —
MD
; среднее квадратическое отклонение —
SD
). Пусть исходные значения равны величинам
:
MD
=400 руб.;
SD
=100 руб.;
tz
=10 мин.;
a
=3 мин.;
b
=7 мин.;
tn
=9 ч. Выполните моделирование поступления семи заявок (покупателей).
Определите время прихода седьмого клиента. Какой размер выручки

получит магазин а) после того, как было обслужено семь покупателей; б) к моменту времени 10:00 ч.?
2. Предположите, что рассматриваемый поток клиентов – это потенциальные покупатели
, которые с вероятностью
P
могут совершить покупку (
P
=0,6).
3. Пусть время обслуживания – дискретная случайная величина со следующим законом распределения
Значение
, мин
1 2
3 4
Вероятность
0,2 0,2 0,4 0,2
Выполните имитацию, учитывая данное условие.
4. Проведите 10 экспериментов и рассчитайте величины:
• среднее время ожидания;
• средний размер выручки.
Рис
.2.10 – Система массового обслуживания «Магазин»
2.3 Система массового обслуживания с ограниченным по
времени
ожиданием
Ожидание наступления обслуживания может быть ограничено двумя условиями
: длиной очереди и временем. Во втором случае заявка покидает

систему необслуженной, если время ее ожидание превысило некоторое значение
TOMax
, в противном случае – поступает в канал обслуживания (рис. 2.11).
Если время ожидания заявок равно нулю, то система называется СМО без ожидания
(рис. 2.12). В качестве примера можно привести поступление телефонных звонков в справочную службу: если оператор занят разговором с другим клиентом, то поступившие в этом период звонки получают отказ в обслуживании
Рис
. 2.11– Система массового обслуживания с ограниченным по времени ожиданием
Рис
. 2.12 – Система массового обслуживания без ожидания
Считая
, что время между заявками и обслуживания является случайной величиной с показательным законом распределения, выполним имитацию данной системы со следующими исходными данными:
tz
=8 мин.,
to
=7 мин.;
0
t
=9 ч.;
TOMax
= 1 мин. Результаты представлены на рис. 2.13. В столбце «Поступление на

обслуживание
» принимается решение о том, будет ли начато обслуживание заявки
. Для этого рассчитывается промежуток времени между поступлением заявки и освобождением канала и сравнивается с максимальным временем ожидания заявки
Е
9=ЕСЛИ((МАКС(G$8:G8)-C9)>$D$4;»Нет»;»Да»).
В
случае поступления заявки на обслуживание определяется время его начала и окончания
F9=ЕСЛИ(E9= «Да»;МАКС(C9;G$8:G8); «»)
G9=ЕСЛИ(ЕТЕКСТ(F9);»»;F9+D9).
В
последнем столбце «Ожидание» рассчитывается время ожидания (для всех заявок, независимо от, того были ли они обслужены)
H9=ЕСЛИ(ЕТЕКСТ(G9);МАКС(G$8:G8;C9)-C9;F9-C9).
Так
, из рис.2.13 видно, что в данной реализации период ожидания шестой заявки превысил максимально допустимое значение, и поэтому обслуживания не произошло
Рис
. 2.13 – Моделирование системы массового обслуживания с ограниченным по времени ожиданием
Задачи
1. Менеджер фирмы принимает заказы от клиентов на выполнение различных работ
(рис.2.14). Заказы поступают посредством телефонной связи. Время между двумя звонками является случайной величиной с показательным

законом распределения (среднее значение —
tz
), время обслуживания
(принятия заказа) – случайная величина с нормальным законом распределения
(среднее значение —
to
, среднее квадратическое отклонение
—
sto
). В том случае, если звонок поступил в то время, когда менеджер занят приемом другого заказа, то он получает отказ в обслуживании.
Стоимость заказа клиента равномерно распределена на интервале [
a
;
b
].
Выполните моделирование данной системы при следующих исходных данных
:
tz
=15 мин.;
to
=15 мин.;
sto
=2 мин.;
a
=5000 руб.;
b
=15000 руб.;
tn
=9 ч
. Рассмотрите поступление шести звонков и определите следующие величины
: число отказов в обслуживании; общая сумма заказов; время поступления последнего звонка.
Рис
.2.14 – Система обслуживания «Прием заказов»
2. Проведите 10 экспериментов и рассчитайте величины:
• среднее число отказов в обслуживании;
• среднюю сумму заказов;
• среднее время завершения моделирования (время окончания обслуживания последней заявки).
3. Выполните моделирование, считая, что вероятность совершения заказа клиентом равна
P
(
P
=0,7).
4. Предположите, что фирма наняла еще одного менеджера и вновь поступивший звонок направляется к свободному в данный момент работнику
5. Пусть новое оборудование фирмы позволяет поступившим звонкам ожидать освобождения менеджера в течение времени
TOMax
. Выполните моделирование при
TOMax
=2 мин. (число каналов обслуживания равно единице
), рассчитайте среднее число отказов (за 10 реализаций) и сравните данное значение с полученным во втором задании.

Одно из важных направлений прикладной математики связано с исследованием систем мaссового обслуживания (СМО). СМО – это системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. Примерами СМО являются магазины, телефонные станции, кассы, ремонтные мастерские, автозаправочные станции, ЭВМ, обрабатывающая запросы от удаленных терминалов [1,7, 9].

При изучении СМО используются методы имитационного моделирования и статистических испытаний (или метод Монте-Карло). При этом создается компьютерная модель, имитирующая поведение системы, с помощью ее производят большое количество реализаций анализируемого процесса и сохраняют получающиеся значения выходных величин. Получающиеся результаты приобретают статистическую устойчивость и после соответствующей математической обработки могут рассматриваться как характеристики изучаемой системы [3,8,12,13]. Имитационные модели используются при изучении социологических, экономических процессов функционирования сложных технических систем (например, ядерного реактора), а также в процессе обучения.

Каждая из систем массового обслуживания состоит из каналов (или приборов) обслуживания, на которые в случайные моменты времени поступает поток заявок или требований. После приема заявки канал оказывается занят на некоторое время обслуживания , после чего он освобождается и ожидает следующей заявки. На входе СМО может накапливаться несколько заявок, они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными [3,5].

Последовательность событий, происходящих друг за другом в случайные моменты времени, называется потоком событий. Если поток событий задается только моментами времени  наступления этих событий, то он называется однородным. Поток неоднородных событий характеризуется:

1. совокупностью вызывающих моментов времени ,;
2. набором признаков событий, к которым относятся принадлежность заявки к тому или иному источнику, приоритет заявки, возможность обслуживания тем или иным каналом и т.д.

Интенсивность потока рассчитывается как отношение числа событий ко времени наблюдения: . В случае, когда вероятность появления заданного числа событий в течение интервала ∆τ зависит исключительно от продолжительности интервала ∆τ и не зависит от времени τ, прошедшего с начала запуска системы, поток событий называется стационарным [10,13].

Любая СМО состоит из приборов обслуживания , каждый из которых имеет накопитель заявок  и канала обслуживания заявок . В накопители заявок может одновременно находится заявок, где –емкость i-ого накопителя. В накопитель поступает поток заявок , а в канал  – поток обслуживаний . При изучение сложных систем массового обслуживания рассматривают специальные Q-схемы, образующие многоканальные и многофазные сети массового обслуживания. Связи между элементами таких СМО изображают в виде стрелок, которые показывают направления движения заявок. В некоторых случаях говорят о замкнутых СМО, имеющих обратную связь, по которой выходной поток обслуженных заявок снова поступает на вход того или иного прибора обслуживания. В общем случае процесс функционирования СМО любой сложности можно однозначно задать с помощью Q-схемы, учитывающей:

1. множество входящих потоков W;
2. множество потоков обслуживания U;
3. правила R сопряжения элементов СМО;
4. множество собственных параметров H;
5. оператор алгоритмов обслуживания заявок A;
6. вектором состояния Z, элементов которого характеризуют состояния всех приборов обслуживания и их накопителей.

Для изучения функционирования СМО методом статистических испытаний (методом Монте-Карло) стоится имитационная модель процесса и с помощью генератора случайных чисел производится «розыгрыш» случайных событий (входных сигналов и внешних воздействий) в соответствии с заданными законами распределения. Компьютер моделирует более 1000 реализаций исследуемого процесса, выходные сигналы и подвергаются статистической обработке.

Рассмотрим пример решения задачи о грузовой сортировочной станции в Arena и сравним с получившимися данными в Microsoft Excel.

На грузовой станции имеется два выгрузочных фронта. Интенсивность подхода составов под выгрузку составляет 0,4 состава в сутки. Среднее время разгрузки одного состава – 2 суток. Приходящий поезд отправляется на другую станцию, если в очереди на разгрузку стоят более трёх составов.

Оценить эффективность работы выгрузочных фронтов грузовой станции: вероятность, что выгрузочные фронты свободны, вероятность, что состав останется без разгрузки, относительную пропускную способность, абсолютную пропускную способность, среднее число поездов, ожидающих разгрузки, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе. Как изменятся данные показатели, если интенсивность подхода составов увеличится до 0,5?

Решение таких задач, не смотря на разработанный математический аппарат, не очень удобно производить вручную. Для наиболее быстрого и эффективного решения, можно использовать различные программные средства: табличный процессор Microsoft Excel и среду имитационного моделирования Arena Rockwell Software. Табличный процессор при решении таких задач может помочь в вычислении приблизительных характеристик исследуемой СМО. Эти значения дают общее представление об эффективности работы системы и конечно не могут учесть массу случайных факторов, влияющих на ее работу. Кроме того, для многих подобных задач не менее важно представить логику работы системы, очереди, увидеть и понять какое количество поступивших составов получают отказ в обслуживании [5,6,8]. Эти вещи позволяет реализовать Arena (рис.1). Для решения задачи был выбран период моделирования равный 12 месяцам, что позволило получить представление о длительном периоде работы системы и наиболее приближенных к реальности показателях системы.

Рисунок 1. Логика задачи в Arena

 По условию задачи n = 2, m = 3, т. е. грузовая станция представляет собой многоканальную систему с ограниченной очередью. Интенсивность потока обслуживаний равна μ =1/2 = 0,5. Интенсивность нагрузки канала (трафик) равна ρ = 0,4 ∙ 2 = 0,8. Теперь рассчитаем характеристики для интенсивности подхода составов, равной 0,4: вероятность того, что выгрузочный фронт свободен;  вероятность того, что состав будет отправлен на другую станцию; относительную пропускную способность;  абсолютную пропускную способность; среднее число составов, ожидающих разгрузки; среднее время ожидания разгрузки; среднее число занятых фронтов (среднее число заявок под обслуживанием); среднее число составов, находящихся у разгрузочного фронта; среднее время пребывания состава у разгрузочного фронта.

Произведем вычисления для интенсивности подхода составов, равной 0,4. Решение проиллюстрировано в таблице 1. Аналогично произведем вычисления для характеристик системы массового обслуживания с интенсивностью прихода составов равной 0,5.

Таблица 1 – Расчет характеристик для грузовой  станции в Microsoft Excel

Характеристики многоканальной СМО с отказами
Число каналов обслуживания	n	2	2
Максимальное число составов в очереди	m	3	3
Интенсивность прихода составов	λ	0,4	0,5
Время разгрузки 1 состава	tоб	2	2
Интенсивность разгрузки составов	μ	0,5	0,5
Приведенная интенсивность	ρ	0,8	1
Вероятность, того что канал свободен	P0	0,47	0,39
Вероятность отказа в разгрузке	Pотк	0,010	0,02
Относительная пропускная способность	Q	0,99	0,98
Абсолютная пропускная способность	A	0,40	0,49
Длина очереди	Nоч	0,14	0,29
Среднее время  в  очереди	Tоч	0,06	0,15
Среднее число занятых каналов	k	0,79	0,98
Среднее время нахождения состава в  системе	Nсист	0,93	1,27
Среднее число составов в  системе	Tсист	2,33	2,54

Сравнивая получившиеся результаты, можно сказать, что вероятность того, что состав будет отправлен на другую станцию при интенсивности подхода составов равной 0,5 больше, чем при интенсивности, равной 0,4.

Исходя из данных, приведённых данных в таблице 1 и получившихся результатах  имитационного моделирования (в отчетах среднее время ожидания разгрузки  — 9,5ч, а вероятность отказа  1,3%) можно сделать вывод о том, что среднее время пребывания состава в ожидании разгрузки на другой станции невелико, что говорит о нормальной работе разгрузочного узла. При увеличении интенсивности похода составов выгрузочный узел продолжает работать эффективно.

Используя данные программы, можно с легкостью обрабатывать большой массив данных, производить расчеты, наблюдать за многоканальной системой обслуживания в динамике, анализируя все ее слабые и сильные стороны. Помимо этого анимация процессов в программе Arena и обширные статистические данные, собранные в отчетах, помогут опытному  пользователю быстро разобраться с причинами возникающих проблем в системе.

Библиографический список

1. Акопов А.С. Имитационное моделирование: учебник и практикум. – Москва: Юрайт, 2015.–390 с.
2. Баженов Р.И., Лопатин Д.К. Об имитационном моделировании экономических процессов средствами специализированной программной среды // Молодой ученый. 2014. № 4. С. 88-92.
3. Гусева Е. Н. Математика и информатика: [электронный ресурс]  учеб. пособие/ Е. Н. Гусева, И.Ю. Ефимова, И.Н. Мовчан,  Л.А. Савельева. – 3-е изд., стереотип. –М.: Флинта, 2015– 400 с. –Режим доступа:  lf5.com/Knigi/Nauka-Obrazovanie/Matematika/Matematika-i-informatika-148-103807
4. Гусева Е.Н. Математические основы информатики/ Е.Н. Гусева, И.И. Боброва, И.Ю. Ефимова, И.Н. Мовчан, С.А. Повитухин, Л.А. Савельева. – Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2016.- 234 с.
5. Гусева Е. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие – 5-е изд., доп. и перераб.: [электронный ресурс]/ Е. Н. Гусева. –М.: Флинта, 2011.– 220 с. – Режим доступа: http://www.knigafund.ru/books/116083/read
6. Гусева Е.Н. Имитационное моделирование экономических процессов в среде «Arena»: учеб. пособие: [электронный ресурс]. М.: Флинта, 2011. – 132 с. – Режим доступа: http://www.knigafund.ru/books/114189
7. Гусева Е.Н. Имитационное моделирование социально-экономических процессов. – Магнитогорск: изд-во Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2015. – 25с.
8. Гусева Е.Н. Моделирование макроэкономических процессов: учеб. пособ.: [электронный ресурс]/ Е. Н. Гусева. – М.: Флинта, 2014.–214с.– Режим доступа: http://www.ozon.ru/context/detail/id/28975354/
9. Гусева Е.Н. Основы имитационного моделирования экономических процессов: лаб. практикум / Е.Н. Гусева. – Магнитогорск: МаГУ, 2007. – 140с.
10. Кийкова Е.В. Управление системой закупок товаров, работ и услуг для нужд бюджетного образовательного учреждения на основе имитационного моделирования // Современные проблемы науки и образования. –2013. № 1. С. 302.
11. Кийкова Е.В., Лаврушина Е.Г. Значение изучения имитационного моделирования студентами вуза различных уровней подготовки // Современные проблемы науки и образования. –2014. № 3. С. 388.
12. Лебединский Б.П., Желекова Е.Э. Имитационное моделирование систем массового обслуживания в программном продукте GPSS // Вестник Курганского государственного университета. Серия: Технические науки. – 2012. № 24. С. 66-69.
13. Самаров К. Л. Элементы теории массового обслуживания Учебное пособие для студентов [Электронный ресурс]. – URL: http://www.resolventa.ru/data/metodstud/servtheory.pdf (дата обращения: 19.06.2016).

---

Количество просмотров публикации: Please wait

Все статьи автора «Татарникова Виктория Викторовна»

1. Пользовательская функция СХЕМАГР

Формулы финальных вероятностей P(S = S_i) = p_i, i = 0, 1, … , n, схемы гибели и размножения приведены в [1], сведения по VBA Excel изложены в [2, 3]. Программный код пользовательской функции СХЕМАГР, возвращающей финальные вероятности, приведен в листинге 1.1.

Листинг 1.1. Код функции СХЕМАГР и ее описания

Function СХЕМАГР(Загрузки As Variant) As Variant

n = UBound(Загрузки)

ReDim L(0 To n)

ReDim p(0 To n)

p(0) = 1:L(0) = 1

For i = 1 To n

L(i) = L(i — 1) * Загрузки(i):p(0) = p(0) + L(i)

Next

p(0) = 1 / p(0)

For i = 1 To n

p(i) = L(i) * p(0)

Next

СХЕМАГР = p

End Function

Sub InstallFunc1()

Application.MacroOptions Macro:=»СХЕМАГР», Description:=

«Возвращает финальные вероятности схемы гибели и » & _

«размножения по заданным загрузкам состояний, » & _

«начиная с состояния 0»

End Sub

Пример 1.1. В схеме гибели и размножения выполняются соотношения: λ₀=1, λ₁=2, λ₂=3, μ₁=0,5, μ₂=1,5, μ₃=2,5. Найти финальные вероятности.

Выделяется диапазон А1:D1, вызывается пользовательская функция СХЕМАГР и вводятся данные (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Применение функции СХЕМАГР в примере 1.1

Команда Ctrl+Shift+Галочка (Ввод) возвращает в выделенном диапазоне значения финальных вероятностей (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Финальные вероятности в примере 1.1

2. Пользовательская функция ЭРЛАНГ

Финальные вероятности n-канальной СМО с отказами находятся по формулам Эрланга [1, с. 351]. Характеристики эффективности системы:

Р_{простой} = р₀, Р_отк = р_n, Q = 1 – р_n, А= λ(1 – р_n), k=ρ(1-p_n),

k – среднее число занятых каналов. Код пользовательской функции ЭРЛАНГ, возвращающей финальные вероятности n-канальной СМО с отказами и значения параметров Q, А, k, приведен в листинге 2.1.

Листинг 2.1. Код функции ЭРЛАНГ и ее описания

Function ЭРЛАНГ(Инт_заяв, Инт_обсл, Каналов, _

P_F As String) As Variant

n = Каналов

ReDim L(0 To n)

ReDim p(0 To n)

Dim c(1 To 3)

p(0) = 1:L(0) = 1

For i = 1 To n

L(i) = L(i — 1) * Инт_заяв / Инт_обсл / i

p(0) = p(0) + L(i)

Next

p(0) = 1 / p(0)

For i = 1 To n

p(i) = L(i) * p(0)

Next

c(1) =1 — p(n):c(2) = Инт_заяв * c(1)

c(3) = Инт_заяв / Инт_обсл * c(1)

Select Case P_F

Case “P”

ЭРЛАНГ = p

Case “F”

ЭРЛАНГ = c

End Select

End Function

Sub InstallFunc2()

Application.MacroOptions Macro:=»ЭРЛАНГ», Description:=

«При Р возвращает финальные вероятности, при F – » & _

«значения Q, A и среднее число занятых каналов » & _

«СМО с отказами»

End Sub

Пример 2.1. В 2-канальной СМО с отказами λ=8, μ=6.

Найти: 1. Финальные вероятности; 2. Относительную пропускную способность; 3. Абсолютную пропускную способность; 4. Среднее число занятых каналов.

Выделяется диапазон А1:С1, вызывается пользовательская функция ЭРЛАНГ, вводятся числовые данные и “P” (рис. 2.1).

Рис. 2.1. 1-е применение функции ЭРГАНГ в примере 2.1

Команда Ctrl+Shift+Галочка (Ввод) возвращает в выделенном диапазоне значения финальных вероятностей (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Финальные вероятности в примере 2.1

Выделяется диапазон А3:С3, вызывается пользовательская функция ЭРЛАНГ, вводятся числовые данные и “F” (рис. 2.3).

Рис. 2.3. 2-е применение функции ЭРГАНГ в примере 2.1

Команда Ctrl+Shift+Галочка (Ввод) возвращает в выделенном диапазоне значения пунктов 2-4 (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Значения пунктов 2–4 примера 2.1

3. Пользовательская функция ОЧЕРЕДЬ

Код пользовательской функции ОЧЕРЕДЬ, возвращающей вероятность простоя n-канальной СМО с очередью, вероятность отказа, среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе, среднее время ожидания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе, приведен в листинге 3.1.

Листинг 3.1. Код функции ОЧЕРЕДЬ и ее описания

Function ОЧЕРЕДЬ(Инт_заяв, Инт_обсл, _

Каналов, Условия_0_m) As Variant

Dim c(0 To 5) As Single

Dim w As Single, n As Integer, m As Integer, h As Integer

Dim x As Single, y As Single, S() As Single

w = Инт_заяв / Инт_обсл

n = Каналов:m = Условия_0_m:ReDim S(0 To n + 1)

h = Application.WorksheetFunction.Fact(n)

x = 1:S(0) = 1

For i = 1 To n + 1

If i < n + 1 Then

S(i) = S(i — 1) * w / i:x = x + S(i)

Else

S(i) = S(i — 1) * w / n / (1 — w / n)

y = x + S(i) * (1 — (w / n) ^ m):x = x + S(i)

End If

Next

x = 1 / x:y = 1 / y

If Условия_0_m = 0 Then

c(0) = x:c(1) = 0

c(2) = w ^ (n + 1) * x / h / n / (1 — w / n) ^ 2

c(3) = w ^ (n + 1) * x / h / n / (1 — w / n) ^ 2 + w

Else

c(0) = y

c(1) = w ^ (n + m) * y / h / n ^ m

c(2) = y * w ^ n * (w / n — (m + 1) * (w / n) ^ _

(m + 1) + m * (w / n) ^ (m + 2)) / h / (1 — w / n) ^ 2

c(3) = y * w ^ n * (w / n — (m + 1) * (w / n) ^ _

(m + 1) + m * (w / n) ^ (m + 2)) / h /  + _

(1 — w / n) ^ 2 + w * (1 — c(1))

End If

c(4) = c(2) / Инт_заяв

c(5) = c(3) / Инт_заяв

ОЧЕРЕДЬ = c

End Function

Sub InstallFunc3()

Application.MacroOptions Macro:=»ОЧЕРЕДЬ», Description:=

«Возвращает вероятность простоя n-канальной СМО » & _

«с очередью, вероятность отказа, средние » & _

«значения заявок в очереди, заявок в системе, » & _

«время в очереди, время в системе»

End Sub

Параметр Условие_0_m принимает значение 0, если очередь неограниченная, иначе значение параметра равно числу мест в очереди.

Пример 3.1. В 1-канальной СМО с неограниченной очередью λ=2, μ=3. Найти: 1. Вероятность простоя; 2. Вероятность отказа; 3. Среднее число заявок в очереди; 4. Среднее число заявок в системе; 5. Среднее время ожидания заявки в очереди; 6. Среднее время пребывания заявки в системе.

Выделяется диапазон 1х6, например, диапазон А1:F1, вызывается функция ОЧЕРЕДЬ и вводятся данные (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Применение функции ОЧЕРЕДЬ в примере 3.1

Команда Ctrl+Shift+Галочка (Ввод) возвращает в выделенном диапазоне значения требуемых параметров (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Полученные результаты в примере 3.1

Пример 3.2. Решить задачу примера 3.1, если число каналов обслуживания равно 2, а число мест в очереди равно 3.

Выделяется диапазон А1:F1, вызывается функция ОЧЕРЕДЬ и вводятся данные (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Применение функции ОЧЕРЕДЬ в примере 3.2

Возвращаемые результаты показаны на рисунке 3.4.

Рис. 3.4. Полученные результаты в примере 3.2