Модель тейла вейджа excel

Пункт шестой — «Построение прогноза продаж: основные методы прогнозирования»

Наконец-то мы подобрались к самому основному шагу нашей карты данных — «Построение прогноза продаж». Здесь я вкратце расскажу, какие методы прогнозирования наиболее распространены и популярны и приведу формулы их использования. А в следующей части данной статьи, я расскажу об обработке получившегося прогноза: наложении сезонности, округлении, учете промо и так далее.

Напомню, что до этого мы проделали довольно большой путь: подготовили корректную историю продаж, очищенную от нестабильных показателей, рассчитали коэффициенты сезонности и промо-объемы будущих периодов и определились с элементами графического интерфейса (GUI) нашего будущего инструмента прогнозирования. А теперь, мы будем рассматривать методы прогнозирования и строить сам прогноз.

Классификация методов прогнозирования.

Методы прогнозирования делятся на две группы или класса: интуитивные (субъективные или качественные) и формализованные (объективные или количественные). Интуитивные методы прогнозирования — это такие методы, основой которых НЕ являются сухие расчеты, математика и статистика. Они, в первую очередь, основаны на оценках группы экспертов и предназначены для прогнозирования объемов новой позиции, у которой нет истории продаж. Либо для прогнозирования объемов позиции, история продаж которой настолько нестабильна, что невозможно подобрать под нее адекватную математическую модель. В пример можно привести такие методы, как «Метод Дельфи», «Мозговой штурм», «Опрос/анкетирование» и так далее, но в данной статье данные методы прогнозирования рассмотрены не будут.

Здесь будут рассмотрены следующие формализованные методы прогнозирования:

1. Линейная регрессия
2. Полиномиальный прогноз
3. Экспоненциальное сглаживание
4. Модель Хольта
5. Модель Хольта-Винтерса
6. Модель Тейла-Вейджа

Немного расскажу про каждый из них, а также затрону метод «прогнозирования по свойствам». А в конце статьи, помимо готового примера в Excel с формулами расчета, добавлю ссылки на некоторые источники информации о методах прогнозирования, может кому-то будет полезно.

Методы прогнозирования: метод линейной регрессии.

Построение прогноза с помощью метода линейной регрессии — один из наиболее простых, часто-встречающихся и распространенных (если рассматривать Excel) методов прогнозирования. Часто встречается он как раз из-за того, что в Excel его очень легко применить — достаточно воспользоваться функцией ЛИНЕЙН, ПРЕДСКАЗ или ТЕНДЕНЦИЯ, где исходными данными будут являться номера периодов и соответствующие им объемы продаж.

Для нахождения прогноза на период x, мы воспользуемся уравнением y=k*x+b, где k — угловой коэффициент, который находится с помощью метода наименьших квадратов (на основании предыдущих периодов x и соответствующих значений y), а b — это точка, в которой наш график пересекается с осью y. Данное уравнение описывает линию, которая называется линия тренда, которая показывает динамику продаж и прогнозы на последующие периоды.

На гистограмме ниже изображены столбцы с объемами продаж для соответствующего периода (номера недель по оси X), пунктирная линия, которая как раз является линией тренда и столбец c предсказанным значением (соответствует «продолжению» линии тренда):

Данный метод один из самых простейших, и чаще всего используется для прогнозирования более-менее стабильных и регулярных продаж, однако при максимально аккуратном «сглаживании» промо-объемов, он подойдет и для нестабильных рядов. Важно отметить, что если история продаж у нас не очень большая (менее 4-5 периодов), данный метод прогнозирования не рекомендуется к использованию.

Также важно, что если мы хотим добавить к прогнозному значению коэффициент сезонности, то для начала, перед расчетом прогнозного значения, историю продаж необходимо «выровнять», то есть очистить от сезонных колебаний. А уже потом считать прогноз и накладывать сезонность.

Хочу отметить, что в моем опыте работы данный метод прогнозирования в совокупности с корректным сглаживанием числового ряда, а также с корректными значениями планируемых промо-объемов, которые мне предоставлял отдел трейд-маркетинга, достигал достаточно высокой точности прогнозирования (выше 80%).

Методы прогнозирования: полиномиальный прогноз.

Построение прогноза с помощью полинома немного похоже на построение прогноза с помощью предыдущего метода. Здесь, для нахождения прогноза на последующие периоды вместо линейного уравнение, мы используем полином третьей степени вида y = a*x³+b*x²+c*x+d или полином второй степени вида y = a*x²+b*x+c, где коэффициенты a,b,c,d постоянны и находятся с помощью различных методов решения систем линейных уравнений, на основании предыдущих периодов x и соответствующим им объемов продаж y.

Если степень полинома будет выше третьей — линия, которой описывается наш числовой ряд будет максимально приближена к реальным значениям, но при этом будет не очень пригодна для построения прогноза (особенно, если строите прогноз сразу на несколько периодов). Как раз на примере ниже это очень заметно:

Здесь используется полином пятой степени. Да, линия почти совпадает с фактическим значениям, но при этом даже невооруженным глазом видно, что прогноз на 31 и 32-ую неделю крайне неадекватный. Поэтому использовать полиномы выше третьей степени не рекомендуется.

Методы прогнозирования: модель на основе экспоненциального сглаживания.

Первоначально, модель экспоненциального сглаживания использовалась для сглаживания числового ряда. Однако, спустя какое-то время, данную модель немного видоизменили и приспособили для краткосрочного прогнозирования. Модель приемлема для нахождения прогноза только на 1 период вперед.

Для нахождения прогноза Y̅ на период t+1, используется следующая формула:

где yt — значение факта на период t, Y̅t — сглаженное значение на период t, а α — коэффициент или параметр сглаживания, который принимает значение 0<α<1.

При применении данной модели все сводится к выбору оптимального значения α. Следует отметить, что чем меньше значение α, тем больше модель учитывает фактические показатели почти всех прошедших периодов. Если же значение близится к единице, то на модель будет оказывать наибольшее влияние только несколько последних периодов, а сам числовой ряд будет наименее сглажен.

Единого метода определения α не существует, но для его нахождения можно выбрать следующие варианты:

1. В некоторых источниках рекомендуют использовать значение 0,2<α<0,3, поэтому просто предлагается оставить параметр сглаживания примерно в этих рамках.
2. Использовать формулу α = 2/(n-1), где n — количество периодов для экспоненциального сглаживания. Например, грубо говоря, если n=8, то модель будет учитывать значения последних восьми периодов в числовом ряду, и α будет равен 0,25.

Также, возникает проблема нахождения Y̅1: для его расчета необходимо предыдущее значение факта y на период t = 0, а у нас такого, естественно, нет. Поэтому, за Y̅1 можно принять значение y1.

Гистограмма с линией экспоненциального сглаживания по которой строится прогноз выглядит так (α=0,4):

Данный метод неплохой, но он не учитывает тренд продукции и сезонные колебания (поэтому первоначально числовой ряд нужно очистить от сезонности, как и в линейной регрессии), то есть лучше всего подходит для стабильных числовых рядов. Плюс ко всему, как я уже говорил, подходит для построения прогноза только на 1 период вперед. Для числового ряда с учетом тренда можно использовать улучшенную модель экспоненциального сглаживания (метод Хольта), а если еще необходимо учесть сезонность, то можно использовать Метод Хольта-Винтерса или Метод Тейла-Вейджа, о которых я напишу далее.

Методы прогнозирования: модель на основе экспоненциального сглаживания с учетом тренда (Метод Хольта).

Данная модель — усовершенствованная версия модели экспоненциального сглаживания с учетом тренда продаж.

Формула нахождения прогноза Y̅ на период t+d следующая:

где d — порядковый номер периода, на который мы делаем прогноз (то есть если числовой ряд состоит из 10 периодов, а прогноз мы делаем на 11, то d =1), а At и Bt — адаптивные переменные: A — экспоненциально-сглаженное фактическое значение , а B — значение тренда. Находятся данные переменные по следующим формулам:

И как в случае с обычным экспоненциальным сглаживанием, здесь тоже есть параметры, но их уже два: α1 и α2. И оба они принимают значения ∈(0,1). Подбирать эти параметры нужно так, чтобы прогнозы, построенные на уже имеющиеся периоды с фактическими значениями, с помощью полученной модели, давали наименьшую ошибку прогноза (во многих источниках рекомендуют использовать RMSE или MAPE). Напомню, для нахождения RMSE используется следующая формула:

Для нахождения A1 должно использоваться A0, но так как его не существует, мы, опять же, как и в случае с обычным экспоненциальным сглаживанием, вместо него используем фактическое значение y1, а вместо B1 используем 0.

Методы прогнозирования: модель на основе экспоненциального сглаживания с учетом тренда и мультипликативной сезонности (Метод Хольта-Винтерса).

Данная модель — тоже усовершенствованная версия модели экспоненциального сглаживания, только здесь помимо тренда, добавлена еще и мультипликативная сезонность. Подходит модель для работы с числовыми рядами, в которых присутствует ярко-выраженная сезонность или цикличность.

Формула расчета прогноза Y̅ на период t+d следующая:

где d — порядковый номер прогнозируемого периода (как и в предыдущем примере), L — это количество периодов в одном цикле (для месячного прогнозирования — 12, для квартального — 4, для ежедневного — 7). At и Bt — адаптивные переменные: A — экспоненциально-сглаженное фактическое значение, а B — значение тренда. А C с  большим индексом «t+(d mod L) — L» — значение сезонности в процентах. Индекс переменной C может немного смутить, но на самом деле все проще, чем кажется: просто используем C из прошлого цикла соответствующего периода (для прогноза на март используем коэффициент сезонности марта прошлого цикла).

Сами переменные A,B и C рассчитываются по следующим формулам:

При использовании Метода Хольта-Винтерса рассчитывать коэффициенты сезонности перед построением не нужно, их расчет включен в формулу. Однако очищать числовой ряд от неадекватных значений все так же необходимо. Также, стоит отметить, что для корректной «работы» данной модели, история продаж должна содержать как минимум несколько циклов для корректного расчета сезонности (для месячного прогнозирования, необходима история продаж как минимум за 2-3 последних года).

Особенности расчета начальных переменных:

• Для A1 можно использовать y1
• Для B1 можно использовать 0
• В первом цикле при расчете A мы должны ссылаться на C прошлых циклов, но так как их нет, вместо C можно использовать 1 (то есть, пренебречь сезонностью)
• А для расчета сезонностей самого первого цикла(!) для каждого периода можно использовать формулу Ct=yt/At

Параметры α1,α2,α3 ∈(0,1), как и в предыдущей модели, подбираются путем минимизации ошибки прогноза (RMSE или MAPE).

Методы прогнозирования: модель на основе экспоненциального сглаживания с учетом тренда и аддитивной сезонности (Метод Тейла-Вейджа).

Данная модель также разработана на основе экспоненциального сглаживания, в которую добавлен тренд и сезонность, но теперь не мультипликативная, а аддитивная. Особенности здесь такие же, как и в методе Хольта-Винтерса. Основное отличие в том, что здесь сезонность является не коэффициентом, на который мы умножаем полученный прогноз, а целым числом, которое мы прибавляем или вычитаем из прогноза.

Формула расчета прогноза Y̅ на период t+d следующая:

где d — порядковый номер прогнозируемого периода (как и в предыдущем примере), L — это количество периодов в одном цикле (для месячного прогнозирования — 12, для квартального — 4, для ежедневного — 7). At и Bt — адаптивные переменные: A — сглаженное фактическое значение (с помощью экспоненты), а B — значение тренда. А C с  большим индексом «t+(d mod L) — L» — значение сезонности в процентах.

Сами переменные A,B и C рассчитываются по следующим формулам:

Особенности расчета начальных переменных:

• Для A1 можно использовать y1
• Для B1 можно использовать 0
• В первом цикле при расчете A мы должны ссылаться на C прошлых циклов, но так как их нет, вместо C можно использовать 0 (то есть пренебречь сезонностью)
• А для расчета сезонностей самого первого цикла(!) для каждого периода можно использовать формулу Ct=yt-At

Параметры α1,α2,α3 ∈(0,1), как и в предыдущей модели, подбираются путем минимизации ошибки прогноза (RMSE или MAPE).

Методы прогнозирования: построение прогноза основанное на свойствах.

Данный способ довольно интересный, чаще всего используется для определения спроса какого-либо нового продукта. Его нельзя полноценно отнести к формализованному методу, но и интуитивным назвать его тоже нельзя.

Рассмотрим его суть на примере телевизора. Предположим, что этот телевизор — новинка на рынке и необходимо рассчитать его прогноз продаж. Для начала, мы рассматриваем свойства данного телевизора (его функции и характеристики), например такие:

• Диагональ экрана
• Фирма-изготовитель
• Разрешение экрана
• Наличие Smart-TV
• Возможность подключения USB
• Частота экрана
• Габариты
• Возможность крепления на стену
• Цвет
• Частота обновления экрана
• И так далее..

Далее, мы просматриваем статистику продаж других телевизоров и смотрим, как часто покупался какой-либо другой телевизор с тем или иным перечисленным свойством. И на основе всех этих данных, составляем некое уравнение, которое учтет частоту приобретения телевизора с каждым свойством по отдельности. И с помощью полученного уравнения рассчитаем примерный прогноз продаж нашей новинки.

Метод довольно грубый и не очень точный, однако при прогнозировании новинки с большим перечнем свойств, может очень сильно помочь. И да, телевизор — не совсем удачный продукт, так как он не является регулярным или с ярко-выраженной сезонностью, да и к тому же можно их всегда закупить побольше, так как у них нет таких сроков годности, как у пищевой продукции. Однако, именно как пример — он очень подходит, потому что максимально легок для восприятия.

Методы прогнозирования: итоги и полезные ссылки.

Здесь были рассмотрены самые распространенные и наиболее простые способы/методы прогнозирования. Помимо них существует еще и другие, в том числе и более сложные, например:

• Модели на основе авторегрессии и среднего скользящего (ARIMA или модель Бокса-Дженкинса, ARIMAX и SARIMA)
• Модели на основе нейронных сетей (построение прогноза с помощью искусственного интеллекта)
• Прогнозирование с помощью «бутстреппинга»
• И другие модели/способы/методы прогнозирования

Возможно, спустя какое-то время, по некоторым из них будут написаны отдельные статьи (либо будет расширена текущая).

Файл с примерами расчетов в Excel, можно скачать нажав на кнопку ниже:

Методы прогнозирования: скачать пример

Так как статья про методы прогнозирования получилась довольно большой, информация про «Обработку прогноза» вынесена в отдельную статью: «Прогнозирование, шаг 6.2: обработка прогноза».

Если вы хотите больше узнать больше информации по прогнозированию, изучить более сложные модели и методы прогнозирования, то вам могут пригодиться следующие ссылки:

• Диссертация кандидата технических наук Чучуевой И.А. — «Модель прогнозирования временных рядов по выборке максимального подобия»
  • Блог Чучуевой Ирины на Хабре — mbureau
• Учебное пособие Тихонова Э.Е. — «Методы прогнозирования в условиях рынка» (хочу отметить, что Чучуева Ирина в своем блоге как раз опровергает некоторые суждения Тихонова, именно поэтому данное пособие, как и диссертация Ирины вызывают еще больший интерес)
• Учебник Лукашина Ю. П. «Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов» — можно найти в свободном доступе в интернете
• Ресурс, посвященный анализу данных и прогнозированию — MachineLearning.ru
• Статья «Прогнозирование временных рядов с помощью модели экспоненциального сглаживания Хольта-Винтерса»
• Учебное пособие Снитюка В.Е. «Прогнозирование. Модели. Методы. Алгоритмы»
• Статья Юрова В.М. «Моделирование нестационарных временных рядов с выраженными колебаниями с использованием инструментов Excel»
• Учебное пособие Арженовского С.В. «Статистические методы прогнозирования»
• Учебное пособие Сухарева М.Г. «Методы прогнозирования»

Сам предмет Эконометрика уже давно в России, и есть книги и на русском, покрайне мере я в универе его изучал по Русским книгам.
основа, это знание Алгебры (все графики, все виды зависимостей Ф(х)), и видеть эти графики в исходных данных(статистике)
соединение всех влияющих факторов во единую формулу (чем больше факторов тем точней достоверность)
определения достоверности результата. (90-95% это потолок выше это само обман)

И то что вы на основание одного фактора (выручка от даты) пытаетесь сделать прогноз, и при этом кричите что его погрешность 10%, это само обман.
Даже прогноз погоды будет холодно или жарко складывают из температуры, влажности, давления, осадки, пасмурность, время дня……

В экселе можно нарисовать уже готовую формулу Ф(х), но составить уравнение( что от чего и как зависит) нужно самостоятельно, оно уникально в каждом случае

Прогнозирование, шаг 6.1: методы прогнозирования

Пункт шестой — «Построение прогноза продаж: основные методы прогнозирования»

Наконец-то мы подобрались к самому основному шагу нашей карты данных — «Построение прогноза продаж». Здесь я вкратце расскажу, какие методы прогнозирования наиболее распространены и популярны и приведу формулы их использования. А в следующей части данной статьи, я расскажу об обработке получившегося прогноза: наложении сезонности, округлении, учете промо и так далее.

Напомню, что до этого мы проделали довольно большой путь: подготовили корректную историю продаж, очищенную от нестабильных показателей, рассчитали коэффициенты сезонности и промо-объемы будущих периодов и определились с элементами графического интерфейса (GUI) нашего будущего инструмента прогнозирования. А теперь, мы будем рассматривать методы прогнозирования и строить сам прогноз.

Классификация методов прогнозирования.

Методы прогнозирования делятся на две группы или класса: интуитивные (субъективные или качественные) и формализованные (объективные или количественные). Интуитивные методы прогнозирования — это такие методы, основой которых НЕ являются сухие расчеты, математика и статистика. Они, в первую очередь, основаны на оценках группы экспертов и предназначены для прогнозирования объемов новой позиции, у которой нет истории продаж. Либо для прогнозирования объемов позиции, история продаж которой настолько нестабильна, что невозможно подобрать под нее адекватную математическую модель. В пример можно привести такие методы, как «Метод Дельфи», «Мозговой штурм», «Опрос/анкетирование» и так далее, но в данной статье данные методы прогнозирования рассмотрены не будут.

Здесь будут рассмотрены следующие формализованные методы прогнозирования:

1. Линейная регрессия
2. Полиномиальный прогноз
3. Экспоненциальное сглаживание
4. Модель Хольта
5. Модель Хольта-Винтерса
6. Модель Тейла-Вейджа

Немного расскажу про каждый из них, а также затрону метод «прогнозирования по свойствам». А в конце статьи, помимо готового примера в Excel с формулами расчета, добавлю ссылки на некоторые источники информации о методах прогнозирования, может кому-то будет полезно.

Методы прогнозирования: метод линейной регрессии.

Построение прогноза с помощью метода линейной регрессии — один из наиболее простых, часто-встречающихся и распространенных (если рассматривать Excel) методов прогнозирования. Часто встречается он как раз из-за того, что в Excel его очень легко применить — достаточно воспользоваться функцией ЛИНЕЙН, ПРЕДСКАЗ или ТЕНДЕНЦИЯ, где исходными данными будут являться номера периодов и соответствующие им объемы продаж.

Для нахождения прогноза на период x, мы воспользуемся уравнением y=k*x+b, где k — угловой коэффициент, который находится с помощью метода наименьших квадратов (на основании предыдущих периодов x и соответствующих значений y), а b — это точка, в которой наш график пересекается с осью y. Данное уравнение описывает линию, которая называется линия тренда, которая показывает динамику продаж и прогнозы на последующие периоды.

На гистограмме ниже изображены столбцы с объемами продаж для соответствующего периода (номера недель по оси X), пунктирная линия, которая как раз является линией тренда и столбец c предсказанным значением (соответствует «продолжению» линии тренда):

Данный метод один из самых простейших, и чаще всего используется для прогнозирования более-менее стабильных и регулярных продаж, однако при максимально аккуратном «сглаживании» промо-объемов, он подойдет и для нестабильных рядов. Важно отметить, что если история продаж у нас не очень большая (менее 4-5 периодов), данный метод прогнозирования не рекомендуется к использованию.

Также важно, что если мы хотим добавить к прогнозному значению коэффициент сезонности, то для начала, перед расчетом прогнозного значения, историю продаж необходимо «выровнять», то есть очистить от сезонных колебаний. А уже потом считать прогноз и накладывать сезонность.

Хочу отметить, что в моем опыте работы данный метод прогнозирования в совокупности с корректным сглаживанием числового ряда, а также с корректными значениями планируемых промо-объемов, которые мне предоставлял отдел трейд-маркетинга, достигал достаточно высокой точности прогнозирования (выше 80%).

Методы прогнозирования: полиномиальный прогноз.

Построение прогноза с помощью полинома немного похоже на построение прогноза с помощью предыдущего метода. Здесь, для нахождения прогноза на последующие периоды вместо линейного уравнение, мы используем полином третьей степени вида y = a*x³+b*x²+c*x+d или полином второй степени вида y = a*x²+b*x+c, где коэффициенты a,b,c,d постоянны и находятся с помощью различных методов решения систем линейных уравнений, на основании предыдущих периодов x и соответствующим им объемов продаж y.

Если степень полинома будет выше третьей — линия, которой описывается наш числовой ряд будет максимально приближена к реальным значениям, но при этом будет не очень пригодна для построения прогноза (особенно, если строите прогноз сразу на несколько периодов). Как раз на примере ниже это очень заметно:

Полином пятой степени дает неудовлетворительные результаты в прогнозе.

Здесь используется полином пятой степени. Да, линия почти совпадает с фактическим значениям, но при этом даже невооруженным глазом видно, что прогноз на 31 и 32-ую неделю крайне неадекватный. Поэтому использовать полиномы выше третьей степени не рекомендуется.

Методы прогнозирования: модель на основе экспоненциального сглаживания.

Первоначально, модель экспоненциального сглаживания использовалась для сглаживания числового ряда. Однако, спустя какое-то время, данную модель немного видоизменили и приспособили для краткосрочного прогнозирования. Модель приемлема для нахождения прогноза только на 1 период вперед.

Для нахождения прогноза Y̅ на период t+1, используется следующая формула:

где yt — значение факта на период t, Y̅t — сглаженное значение на период t, а α — коэффициент или параметр сглаживания, который принимает значение 0 Методы прогнозирования: модель на основе экспоненциального сглаживания с учетом тренда (Метод Хольта).

Данная модель — усовершенствованная версия модели экспоненциального сглаживания с учетом тренда продаж.

Формула нахождения прогноза Y̅ на период t+d следующая:

где d — порядковый номер периода, на который мы делаем прогноз (то есть если числовой ряд состоит из 10 периодов, а прогноз мы делаем на 11, то d =1), а At и Bt — адаптивные переменные: A — экспоненциально-сглаженное фактическое значение , а B — значение тренда. Находятся данные переменные по следующим формулам:

И как в случае с обычным экспоненциальным сглаживанием, здесь тоже есть параметры, но их уже два: α1 и α2. И оба они принимают значения ∈(0,1). Подбирать эти параметры нужно так, чтобы прогнозы, построенные на уже имеющиеся периоды с фактическими значениями, с помощью полученной модели, давали наименьшую ошибку прогноза (во многих источниках рекомендуют использовать RMSE или MAPE). Напомню, для нахождения RMSE используется следующая формула:

Для нахождения A1 должно использоваться A0, но так как его не существует, мы, опять же, как и в случае с обычным экспоненциальным сглаживанием, вместо него используем фактическое значение y1, а вместо B1 используем 0.

Методы прогнозирования: модель на основе экспоненциального сглаживания с учетом тренда и мультипликативной сезонности (Метод Хольта-Винтерса).

Данная модель — тоже усовершенствованная версия модели экспоненциального сглаживания, только здесь помимо тренда, добавлена еще и мультипликативная сезонность. Подходит модель для работы с числовыми рядами, в которых присутствует ярко-выраженная сезонность или цикличность.

Формула расчета прогноза Y̅ на период t+d следующая:

где d — порядковый номер прогнозируемого периода (как и в предыдущем примере), L — это количество периодов в одном цикле (для месячного прогнозирования — 12, для квартального — 4, для ежедневного — 7). At и Bt — адаптивные переменные: A — экспоненциально-сглаженное фактическое значение, а B — значение тренда. А C с большим индексом «t+(d mod L) — L» — значение сезонности в процентах. Индекс переменной C может немного смутить, но на самом деле все проще, чем кажется: просто используем C из прошлого цикла соответствующего периода (для прогноза на март используем коэффициент сезонности марта прошлого цикла).

Сами переменные A,B и C рассчитываются по следующим формулам:

При использовании Метода Хольта-Винтерса рассчитывать коэффициенты сезонности перед построением не нужно, их расчет включен в формулу. Однако очищать числовой ряд от неадекватных значений все так же необходимо. Также, стоит отметить, что для корректной «работы» данной модели, история продаж должна содержать как минимум несколько циклов для корректного расчета сезонности (для месячного прогнозирования, необходима история продаж как минимум за 2-3 последних года).

Особенности расчета начальных переменных:

• Для A1 можно использовать y1
• Для B1 можно использовать 0
• В первом цикле при расчете A мы должны ссылаться на C прошлых циклов, но так как их нет, вместо C можно использовать 1 (то есть, пренебречь сезонностью)
• А для расчета сезонностей самого первого цикла(!) для каждого периода можно использовать формулу Ct=yt/At

Параметры α1,α2,α3 ∈(0,1), как и в предыдущей модели, подбираются путем минимизации ошибки прогноза (RMSE или MAPE).

Методы прогнозирования: модель на основе экспоненциального сглаживания с учетом тренда и аддитивной сезонности (Метод Тейла-Вейджа).

Данная модель также разработана на основе экспоненциального сглаживания, в которую добавлен тренд и сезонность, но теперь не мультипликативная, а аддитивная. Особенности здесь такие же, как и в методе Хольта-Винтерса. Основное отличие в том, что здесь сезонность является не коэффициентом, на который мы умножаем полученный прогноз, а целым числом, которое мы прибавляем или вычитаем из прогноза.

Формула расчета прогноза Y̅ на период t+d следующая:

где d — порядковый номер прогнозируемого периода (как и в предыдущем примере), L — это количество периодов в одном цикле (для месячного прогнозирования — 12, для квартального — 4, для ежедневного — 7). At и Bt — адаптивные переменные: A — сглаженное фактическое значение (с помощью экспоненты), а B — значение тренда. А C с большим индексом «t+(d mod L) — L» — значение сезонности в процентах.

Сами переменные A,B и C рассчитываются по следующим формулам:

Особенности расчета начальных переменных:

• Для A1 можно использовать y1
• Для B1 можно использовать 0
• В первом цикле при расчете A мы должны ссылаться на C прошлых циклов, но так как их нет, вместо C можно использовать 0 (то есть пренебречь сезонностью)
• А для расчета сезонностей самого первого цикла(!) для каждого периода можно использовать формулу Ct=yt-At

Параметры α1,α2,α3 ∈(0,1), как и в предыдущей модели, подбираются путем минимизации ошибки прогноза (RMSE или MAPE).

Методы прогнозирования: построение прогноза основанное на свойствах.

Данный способ довольно интересный, чаще всего используется для определения спроса какого-либо нового продукта. Его нельзя полноценно отнести к формализованному методу, но и интуитивным назвать его тоже нельзя.

Рассмотрим его суть на примере телевизора. Предположим, что этот телевизор — новинка на рынке и необходимо рассчитать его прогноз продаж. Для начала, мы рассматриваем свойства данного телевизора (его функции и характеристики), например такие:

• Диагональ экрана
• Фирма-изготовитель
• Разрешение экрана
• Наличие Smart-TV
• Возможность подключения USB
• Частота экрана
• Габариты
• Возможность крепления на стену
• Цвет
• Частота обновления экрана
• И так далее..

Далее, мы просматриваем статистику продаж других телевизоров и смотрим, как часто покупался какой-либо другой телевизор с тем или иным перечисленным свойством. И на основе всех этих данных, составляем некое уравнение, которое учтет частоту приобретения телевизора с каждым свойством по отдельности. И с помощью полученного уравнения рассчитаем примерный прогноз продаж нашей новинки.

Метод довольно грубый и не очень точный, однако при прогнозировании новинки с большим перечнем свойств, может очень сильно помочь. И да, телевизор — не совсем удачный продукт, так как он не является регулярным или с ярко-выраженной сезонностью, да и к тому же можно их всегда закупить побольше, так как у них нет таких сроков годности, как у пищевой продукции. Однако, именно как пример — он очень подходит, потому что максимально легок для восприятия.

Методы прогнозирования: итоги и полезные ссылки.

Здесь были рассмотрены самые распространенные и наиболее простые способы/методы прогнозирования. Помимо них существует еще и другие, в том числе и более сложные, например:

• Модели на основе авторегрессии и среднего скользящего (ARIMA или модель Бокса-Дженкинса, ARIMAX и SARIMA)
• Модели на основе нейронных сетей (построение прогноза с помощью искусственного интеллекта)
• Прогнозирование с помощью «бутстреппинга»
• И другие модели/способы/методы прогнозирования

Возможно, спустя какое-то время, по некоторым из них будут написаны отдельные статьи (либо будет расширена текущая).

Файл с примерами расчетов в Excel, можно скачать нажав на кнопку ниже:

Так как статья про методы прогнозирования получилась довольно большой, информация про «Обработку прогноза» вынесена в отдельную статью: «Прогнозирование, шаг 6.2: обработка прогноза».

Если вы хотите больше узнать больше информации по прогнозированию, изучить более сложные модели и методы прогнозирования, то вам могут пригодиться следующие ссылки:

Прогнозирование. Регрессионный анализ, его реализация и прогнозирование

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Сущность метода регрессионного анализа

Одним из методов, используемых для прогнозирования, является регрессионный анализ.

Регрессия – это статистический метод, который позволяет найти уравнение, наилучшим образом описывающее совокупность данных, заданных таблицей.

X	X1	X2	…	Xi	…	Xn
Y	Y1	Y2	…	Yi	…	Yn

На графике данные отображаются точками. Регрессия позволяет подобрать к этим точкам кривую у=f(x), которая вычисляется по методу наименьших квадратов и даёт максимальное приближение к табличным данным.

По полученному уравнению можно вычислить (сделать прогноз) значение функции у для любого значения х , как внутри интервала изменения х из таблицы(интерполяция), так и вне его (экстраполяция).

Линейная регрессия

Линейная регрессия дает возможность наилучшим образом провести прямую линию через точки одномерного массива данных (рис.13.1 а). Уравнение с одной независимой переменной, описывающее прямую линию, имеет вид:

где:x – независимая переменная;

y – зависимая переменная;

m – характеристика наклона прямой;

b – точка пересечения прямой с осью у.

Например, имея данные о реализации товаров за год с помощью линейной регрессии можно получить коэффициенты прямой (1) и, предполагая дальнейший линейный рост, получить прогноз реализации на следующий год.

Нелинейная регрессия

Нелинейная регрессия позволяет подбирать к табличным данным нелинейное уравнение (рис. 13.1 рис. 13.1, б.) – параболу, гиперболу и др. Excel реализует нелинейность в виде экспоненты, т.е. подбирает кривую вида:

,

которая позволяет наилучшим образом провести экспоненциальную кривую по точкам данных, которые изменяются нелинейно.

Так, например, данные о росте населения почти всегда лучше описываются не прямой линией, а экспоненциальной кривой. При этом нужно помнить, что достоверное прогнозирование возможно только на участках подъёма или спуска кривой (при отрицательных значениях х), т.к. сама кривая (2) изменяется монотонно, без точек перегиба. Например, делать экспоненциальный прогноз для функции, изменяющейся синусоидально, можно только на участках подъёма или спуска функции, для чего её разбивают на соответствующие интервалы.

Множественная регрессия

Множественная регрессия представляет собой анализ более одного набора данных аргумента х и даёт более реалистичные результаты.

Множественный регрессионный анализ также может быть как линейным, так и экспоненциальным. Уравнение регрессии (1) и (2) примут соответственно вид (3) и (4):

( 3)

( 4)

С помощью множественной регрессии, например, можно оценить стоимость дома в некотором районе, основываясь на данных его площади, размерах участка земли, этажности, вида из окон и т.д.

Использование функций регрессии

В Excel имеется 5 функций для линейной регрессии: ЛИНЕЙН(…)(LINEST), ТЕНДЕНЦИЯ(…), ПРЕДСКАЗ(…), НАКЛОН(…), СТОШУХ(…)) и 2 функции для экспоненциальной регрессии – ЛГРФПРИБЛ(…) и РОСТ(…).

Рассмотрим некоторые из них.

Функция ЛИНЕЙН((LINEST) вычисляет коэффициент m и постоянную b для уравнения прямой (1). Синтаксис функции:

Известные_значения_у и известные_значения_х – это множество значений у и необязательное множество значений х (их вводить необязательно), которые уже известны для соотношения (1).

Константа – это логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0. Если константа имеет значение ИСТИНА или опущено, то b вычисляется обычным образом.

Статистика – это логическое значение, которое указывает требуется ли вывести дополнительную статистику по регрессии.

Если статистика имеет значение ЛОЖЬ (или 0), то функция ЛИНЕЙН возвращает только значения коэффициентов m и b , в противном случае выводится дополнительная регрессионная статистика в виде табл. 13.1 таблица 13.1:

Таблица 13.1. Общий вид выводимого массива статистических показателей при использовании функции ЛИНЕЙН((LINEST)

mn	mn-1	…	m2	m1	b
sen	sen-1	…	se2	se1	seb
r 2	sey	…	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
F	df	…	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
ssreg	ssresid	…	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

где: se₁ , se₂,…,se_n – стандартные значения ошибок для коэффициентов m₁ , m₂,…, m_n ;

se_b – стандартное значение ошибки для постоянной b (seb равно #Н/Д, т.е. «нет допустимого значения», если конст. имеет значение ЛОЖЬ);

r 2 – коэффициент детерминированности. Сравниваются фактические значения у и значения, получаемые из уравнения прямой; по результатам сравнения вычисляется коэффициент детерминированности, нормированный от 0 до 1. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями у. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений у;

se_y – стандартная ошибка для оценки у (предельное отклонение для у);

F – F-cтатистика, или F-наблюдаемое значение. Она используется для определения того, является ли наблюдаемая взаимосвязь между зависимой и независимой переменными случайной или нет;

df – степени свободы. Степени свободы полезны для нахождения F-критических значений в статистической таблице. Для определения уровня надёжности модели нужно сравнить значения в таблице с F-статистикой, возвращаемой функцией ЛИНЕЙН;

ss_reg – регрессионная сумма квадратов;

ss_resid – остаточная сумма квадратов;

#Н/Д – ошибка, означающая «нет доступного значения».

Любую прямую можно задать её наклоном m и у-пересечением:

Наклон ( m ). Для того, чтобы определить наклон прямой, обычно обозначаемый через m , нужно взять 2 точки прямой (х1,у1) и (х2,у₂); тогда наклон равен m=(y2-y1)/(x2-x1 ).

у-пересечение ( b ) прямой, обычно обозначаемое через b , является значение у для точки, в которой прямая пересекает ось у.

Уравнение прямой имеет вид: у=mx+b. Если известны значения m и b , то можно вычислить любую точку на прямой, подставляя значения у или х в уравнение. Можно также использовать функцию ТЕНДЕНЦИЯ ( TREND ) (см. ниже).

Если для функции у имеется только одна независимая переменная х, можно получить наклон и у-пересечение непосредственно, используя следующие формулы:

Точность аппроксимации с помощью прямой, вычисленной функцией ЛИНЕЙН, зависит от степени разброса данных. Чем ближе данные к прямой, тем более точными являются модель, используемая функцией ЛИНЕЙН, и значения, получаемые из уравнения прямой.

В случае экспоненциальной регрессии аналогом функции (5) является функция ЛГРФПРИБЛ(LOGEST):

которая отличается лишь тем, что вычисляет коэффициенты m и b для экспоненциальной кривой (2).

Функция ТЕНДЕНЦИЯ(TREND) имеет вид:

возвращает числовые значения, лежащие на прямой линии, наилучшим образом аппроксимирующие известные табличные данные.

Новые_значения_х – это те, для которых необходимо вычислить соответствующие значения у.

Если параметр новые_значения_х пропущен, то считается, что он совпадает с известными х. Назначение остальных параметров функции ТЕНДЕНЦИЯ совпадает с описанными выше.

В случае экспоненциальной регрессии аналогом функции (7) является функция РОСТ(GROWTH):

возвращает стандартную погрешность регрессии – меру погрешности предсказываемого значения у для заданного значения х.

Правила ввода функций

Формулы(5)-(8) являются табличными, т.е. они заменяют собой несколько обычных формул и возвращают не один результат, а массив результатов. Поэтому необходимо соблюдать следующие правила:

1. Перед вводом одной из формул (5)-(8) выведите блок ячеек, точно совпадающей по размеру с величиной возвращаемого формулой массива результатов. Например, при использовании функции ЛИНЕЙН с выводом статистики нужно выделить массив ячеек, равный табл. 13.1, если параметр статистики равен ЛОЖЬ, достаточно выделить одну строку табл. 13.1.
2. Наберите функцию в строке формул. При этом слова на русском языке можно набирать строчными буквами, т.к. они являются ключевыми и при вводе Exсel автоматически переведет их в заглавные. Имена ячеек автоматически вводятся латинским шрифтом. Вместо слова ИСТИНА можно вводить числа от 1 до 9 (не 0), а вместо слова ЛОЖЬ – число 0. Если в результате, выполнения функции выводится одно число, можно вводить формулы не вручную, а использовать аппарат Мастера функций.
3. Одновременно нажмите клавиши Shift+Ctrl+Enter . Результаты вычислений заполнят выделенные ячейки.

Линия тренда

Excel позволяет наглядно отображать тенденцию данных с помощью линии тренда, которая представляет собой интерполяционную кривую, описывающую отложенные на диаграмме данные.

Для того, чтобы дополнить диаграмму исходных данных линией тренда, необходимо выполнить следующие действия:

• выделить на диаграмме ряд данных, для которого требуется построить линию тренда;
• щелкнуть правой кнопкой мыши и выбрать команду Добавить линию тренда;
• в открывшемся окне задать метод интерполяции (линейный, полиномиальный, логарифмический и т. д.), а также через команду Параметры – другие параметры (например, вывод уравнения кривой тренда, коэффициента детерминированности r 2 , направление и количество периодов для экстраполяции (прогноза) и др.);
• нажать кнопку Закрыть.

Чтобы отобразить на графике (гистограмме и др.) новые, прогнозируемые в результате регрессионного анализа данные, нужно:

• определить их с помощью функции ТЕНДЕНЦИЯ, РОСТ или другим способом,
• выделить на диаграмме нужную кривую, щелкнув по ней правой кнопкой мыши,
• в появившемся окне выбрать команду Выбрать данные…, в появившемся окне выбрать диапазон ячеек с новыми данными вручную или протащив по ним курсор при нажатой левой клавише мыши, нажать ОК.

На диаграмме появится продолжение кривой, построенной по новым данным.

Простая линейная регрессия

Пример 1. Функция ТЕНДЕНЦИЯ(TREND)

а) Предположим, что фирма может приобрести земельный участок в июле. Фирма собирает информацию о ценах за последние 12 месяцев, начиная с марта, на типичный земельный участок. Название первого столбца «Месяц» с данными о номерах месяцев записано в ячейке А1, а второго столбца «Цена» – в ячейке В1. Номера месяцев с 1 по 12 (известные значения х) записаны в ячейки А2…А13. Известные значения у содержат множество известных значений (133 890 руб., 135 000 руб., 135 790 руб., 137 300 руб., 138 130 руб., 139 100 руб., 139 900 руб., 141 120 руб., 141 890 руб., 143 230 руб., 144 000 руб., 145 290 руб.), которые находятся в ячейках В2;В13 соответственно (данные условия). Новые значения х, т.е. числа 13, 14,15,16,17 введём в ячейки А14…А18. Для того чтобы определить ожидаемые значения цен на март, апрель, май, июнь, июль, выделим любой интервал ячеек, например, B14:B18 (по одной ячейке для каждого месяца) и в строке формул введем функцию:

После нажатия клавиш Ctrl+ Shift+Enter данная функция будет выделена как формула вертикального массива, а в ячейках B14:B18 появится результат: <146172;174190;148208;149226;150244>.

Таким образом, в июле фирма может ожидать цену около 150 244 руб.

б) Тот же результат будет получен, если вводить в формулу не все массивы переменных х и у, а использовать часть массивов, которые предусматриваются автоматически по умолчанию. Тогда формула (10) примет вид:

В формуле (11) используется массив по умолчанию (1:2:3:4:5:6:7:8:9:10:11:12) для аргумента «известные_значения_х», соответствующий 12 месяцам, для которых имеются данные по продажам. Он должен был бы быть помещен в формуле (11) между двумя знаками ;;. Массив (13:14:15:16:17) соответствует следующим 5 месяцам, для которых и получен массив результатов (146172:147190:148208:149226:150244).

Элементы массивов разделяет знак «:», который указывает на то, что они расположены по столбцам.

в) Аргумент «новые значения х» можно задать другим массивом ячеек, например, В14:В18, в которые предварительно записаны те же номера месяцев 13,14,15,16,17. Тогда вводимая в строку формул функция примет вид =ТЕНДЕНЦИЯ(В2:В13;;В14:В18).

Пример 2. Функция ЛИНЕЙН

а) Дана таблица изменения температуры в течение шести часов, введённая в ячейки D2 :E7 (табл. 13.2 таблица 13.2).

Требуется определить температуру во время восьмого часа.

Таблица 13.2. Данные для примера 1

…	D	E
1	х-№часа	у-t о , град.
2	1	2
3	2	3
4	3	4
5	4	7
6	5	12
7	6	18

Выделим ячейки D8:E12 для вывода результата, введем в строку ввода формулу =ЛИНЕЙН(Е2:Е7;D2:D7;1;1), нажмем клавиши Сtrl+Shift+Enter, в выделенных ячейках появится результат:

3,142857	-3,3333333
0,540848	2,106302
0,894088	2,2625312
33,76744	4
172,8571	20,47619

Таким образом, коэффициент m=3,143 со стандартной ошибкой 0,541, а свободный член b=-3,333 со стандартной ошибкой 2,106, т.е. функция, описывающая данные табл. 13.2 таблица 13.2, имеет вид

Стандартные ошибки показывают максимально возможное отклонение параметра от рассчитанной величины. Для у оно составляет 2,263, т.е. реальное значение у может лежать в пределах .

Точность приближения к табличным данным (коэффициент детерминированности r 2 ) составляет 0,894 или 89,4%, что является высоким показателем. При х=8 получим: у=3,143*8-3,333=21,81 град.

б) Тот же результат можно получить, использовав функцию =ТЕНДЕНЦИЯ(Е2:Е7;;G2:G5) для, например, следующих четырёх часов, предварительно введя в ячейки G2 :G5 числа с 7 до 10. Выделив ячейки Н2:Н5, введя в строку формул эту функцию и нажав Сtrl+Shift+Enter, получим в выделенных ячейках массив <18,667;21,80952;24,95238;28,09524>, т.е. для восьмого часа значение град.

в) Функция ПРЕДСКАЗ ( FORECAST ) – позволяет предсказать значение у для нового значения х по известным значениям х и у, используя линейное приближение зависимости у=f(x).

Для данных примера 2 ввод формулы =ПРЕДСКАЗ(8;Е2:Е7;D2:D7) выводит в заранее выделенной ячейке результат 21,809. Новое значение х может быть задано не числом, а ячейкой, в которую записано это число.

Отличие функции ПРЕДСКАЗ от функции ТЕНДЕНЦИЯ заключается в том, что ПРЕДСКАЗ прогнозирует значения функции линейного приближения только для одного нового значения х.

Экспоненциальная регрессия

Пример 3

а) Функция ЛГРФПРИБЛ.

Рассмотрим условие примера 2.

Поскольку функция в табл. 13.2 таблица 13.2 носит явно нелинейный характер, целесообразно искать ее приближение в виде не прямой линии, как в примере 2, а в виде нелинейной кривой. Из всех видов нелинейности (гипербола, парабола, и др.) Excel реализует только экспоненциальное приближение вида у=b*mx c помощью функции ЛГРФПРИБЛ, которая рассчитывает для этого уравнения значения b и m .

Выделим для результата блок ячеек F8:G12 , введём в строку формул Функцию =ЛГРФПРИБЛ(Е2:Е7;D2:D7;1;1), нажмем клавиши Сtrl+Shift+Enter, в выделенных ячейках появится результат:

1,56628015	1,196513
0,02038299	0,07938
0,99181334	0,085268
484,599687	4
3,52335921	0,029083

Таким образом, коэффициент m=1,566, а b=1,197, т.е. уравнение приближающей кривой имеет вид:

со стандартными ошибками для m, b , и у равными 0,02, 0,079 и 0,085 соответственно. Коэффициент детерминированности r 2 =0,992, т.е. полученное уравнение даёт совпадение с табличными данными с вероятностью 99,2%.

Поскольку интерполяция табл. 13.2 таблица 13.2 экспоненциальной кривой даёт более точное приближение (99,2%) и с меньшими стандартными ошибками для m, b и у, в качестве приближающего уравнения принимаем уравнение (13).

При х=8 получим у=1,197*34,363=41,131 град.

б) Функция РОСТ вычисляет прогнозируемое по экспоненциальному приближению значение у для новых значений х, имеет формат:

Выделим блок ячеек F14: F17 , введём формулу =РОСТ(Е2:Е7;D2:D7;G2:G5;ИСТИНА), в выделенных ячейках появится массив чисел <27,6696434;43,3384133;67,8800967;106,319248>, т.е. при х=8 значение функции у=43,34 град. Это значение немного отличается от вычисленного в п. а), поскольку функция РОСТ использует для расчетов линию экспонециального тренда.

Примечание. При выборе экспоненциальной приближающей кривой следует учитывать, что интерполировать ею можно только участки, где функция монотонно возрастает или убывает (при отрицательном аргументе х), т.е. функцию, имеющую точки перегиба (например, параболу, синусоиду, кривую рис. 2 – т. А и др.) следует разбить на участки монотонного изменения от одной точки перегиба до другой и каждый участок интерполировать отдельно. Для рисунка 2 функцию нужно разбить на 2 участка – от начала до т. А и от т. А до конца кривой.

Множественная линейная регрессия

Пример 4

Предположим, что коммерческий агент рассматривает возможность закупки небольших зданий под офисы в традиционном деловом районе. Агент может использовать множественный регрессионный анализ для оценки цены здания под офис на основе следующих переменных:

у – оценочная цена здания под офис;

х₁ – общая площадь в квадратных метрах;

х₂ – количество офисов;

х₃ – количество входов;

х₄ – время эксплуатации здания в годах.

Агент наугад выбирает 11 зданий из имеющихся 1500 и получает следующие данные:

А	В	С	D	Е
1	х1— площадь, м2	х2 – офисы	х3 – входы	х4 – срок, лет	у – цена, у.е.
2	2310	2	2	20	42000
3	2333	2	2	12	144000
4	2356	3	1,5	33	151000
5	2379	3	2	43	151000
6	2402	2	3	53	139000
7	2425	4	3	23	169000
8	2448	2	1,5	99	126000
9	2471	2	2	34	142000
10	2494	3	3	23	163000
11	2517	4	4	55	169000
12	2540	2	3	22	149000

«Пол-входа» означает вход только для доставки корреспонденции.

В этом примере предполагается, что существует линейная зависимость между каждой независимой переменной (х₁,х₂,х₃,х₄) и зависимой переменной (у), т.е. ценой зданий под офис в данном районе.

• выделим блок ячеек А14:Е18 (в соответствии с табл. 13.1 таблица 13.1),
• введём формулу =ЛИНЕЙН(Е2:Е12;А2:D12;ИСТИНА;ИСТИНА), —
• нажмём клавиши Ctrl+Shift+Enter ,
• в выделенных ячейках появится результат:

А	В	С	D	E
14	-234,237	2553,210	12529,7682	27,6413	52317,83
15	13,2680	530,6691	400,066838	5,42937	12237,36
16	0,99674	970,5784	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
17	459,753	6	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
18	1732393319	5652135	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

Уравнение множественной регрессии теперь может быть получено из строки 14:

Теперь агент может определить оценочную стоимость здания под офис в том же районе, которое имеет площадь 2500 м 2 , три офиса, два входа, зданию 25 лет, используя следующее уравнение:

Это значение может быть вычислено с помощью функции ТЕНДЕНЦИЯ:

При интерполяции с помощью функции

для получения уравнения множественной экспоненциальной регрессии выводится результат:

0,99835752	1,0173792	1,0830186	1,0001704	81510,335
0,00014837	0,0065041	0,0048724	6,033Е-05	0,1365601
0,99158875	0,0105158	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
176,832548	6	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
0,07821851	0,0006635	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

Коэффициент детерминированности здесь составляет 0,992 (99,2%), т.е. меньше, чем при линейной интерполяции, поэтому в качестве основного следует оставить уравнение множественной регрессии (14).

Таким образом, функции ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБЛ, НАКЛОН определяют коэффициенты, свободные члены и статистические параметры для уравнений одномерной и множественной регрессии, а функции ТЕНДЕНЦИЯ, ПРЕДСКАЗ, РОСТ позволяют получить прогноз новых значений без составления уравнения регрессии по значениям тренда.

ЗАДАНИЕ

Вариант задания к данной лабораторной работе включает две задачи. Для каждой из них необходимо составить и определить:

1. Таблицу исходных данных, а также значений, полученных методами линейной и экспоненциальной регрессии.
2. Коэффициенты в уравнениях прямой и экспоненциальной кривой (функции ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ), напишите уравнения прямой и экспоненциальной кривой для простой и множественной регрессии.
3. Погрешности (ошибки) прямой и экспоненциальной кривой, вычислений для коэффициентов и функций, коэффициенты детерминированности. Оценить, какой тип регрессии наилучшим образом подходит для вашего варианта задания.
4. Прогноз изменения данных, выполненный с использованием линейной и экспоненциальной регрессии (функции ТЕНДЕНЦИЯ, ПРЕДСКАЗ, РОСТ).
5. Построить гистограмму (или график) исходных данных для задачи 1 (одномерная регрессия), отобразить на ней линию тренда, а также соответствующее ей уравнение и коэффициент детерминированности.

Варианты заданий (номер варианта соответствует номеру компьютера).

1. На рынке наблюдается стойкое снижение цен на компьютеры. Сделать прогноз, на сколько необходимо будет снизить цену на компьютеры в следующем месяце в вашей фирме, чтобы как минимум сравнять её с ценой на аналогичные компьютеры в конкурирующей фирме, если известна динамика изменения цен на них в конкурирующей фирме за последние 12 месяцев.

Для выполнения задания нужно ввести ряд из 12 ячеек с ценами конкурирующей фирмы, сделать прогноз цены на следующий месяц и др. (см. Задание).

1. Известна структура расходов фирмы на рекламу в газетах, на радио, в журналах, на телевидении, на наружную рекламу (в процентах от общей суммы), а также оборот фирмы в каждом за последние 6 месяцев. Какой оборот можно ожидать в следующем месяце, если предполагается следующая структура расходов на рекламу: газеты-40%, журналы-40%, радио-5%, телевидение-14%, наружная реклама-1%.

Для выполнения задания нужно составить таблицу со столбцами вида:

Месяц	х1-газеты,%	х2-журн.,%	х3-рад.,%	х4-телев.,%	х5-нар. рекл.,%	Оборот, $
1	37	34	12	10	5	410000
2	38	37	10	11	6	411500
3	39	38	9	13	7	413700
4	40	39	8	15	8	417050
5	41	40	7	16	9	420000
6	42	42	5	17	10	425000

и сделать множественный регрессионный прогноз (см. Задание).

1. Имеются данные об объеме продаж в расчете на душу населения по хлебу и молоку и данные по годовым доходам на душу за 10 лет. По каждому товару построить модели регрессии для объемов продаж и функции размера доходов. Сделать прогноз о продажах и доходах на следующий год.

Для выполнения задания нужно составить таблицу вида:

Годы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
х1-хлеб, кг	23,5	26,7	27,9	30,1	31,5	35,7	38,3	40,1	41,5	42,8
х2-молоко, л	20,45	22	23,8	25,9	27,4	29	33,5	36,8	38,1	39,5
У-доход, р.	6600	7200	8400	10500	12750	14730	16240	17000	18050	18250

и получить два уравнения – у=f(x1) и у=f(x2), сделать прогноз на следующий год для рядов х₁, х₂, у и др. (см. Задание).

1. Руководство фирмы провело оценку качеств пяти рекламных агентов по следующим признакам: х₁ – эрудиция, х₂ – знание предметной области. Полученные средние оценки, нормированные от 0 до 1, были сопоставлены с оценками эффективности деятельности агентов (% успешных сделок от количества возможных). Определить эффективность для агента с усреднёнными качествами. Сравнить её со средней эффективностью упомянутых 5 агентов.

Исходные данные нужно ввести в таблицу вида:

А	В	С	D	E	F	G
1	х1-эрудиция	х2-энергичность	х3-люди	х4-внешность	х5-знания	Эффективность
2	Агент 1	0,8	0,2	0,4	0,6	1,0	76%
3	Агент 2	0,74	0,3	0,39	0,58	0,95	78%
4	Агент 3	0,67	0,41	0,35	0,5	0,83	79%
5	Агент 6	0,59	0,59	0,33	0,47	0,8	80%
6	Агент 5	0,5	0,7	0,3	0,4	0,74	81%
7	Средняя эффективность пяти агентов
8	Средний агент	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5

Массив ячеек В2-F6 заполняется произвольными числами от 0 до 1, столбец G2 -G6 – процентами удачных сделок по принципу «Чем выше уровень качеств агента, тем выше эффективность его работы», в ячейке G7 должна быть формула для вычисления среднего значения ячеек G2:G6 , в ячейке G8 нужно вычислить значение эффективности для среднего агента по формуле, полученной в результате множественного регрессионного анализа работы пяти агентов. Остальные пункты – см. Задание.

1. Автосалон имеет данные о количестве проданных автомобилей «Мерседес» и «БМВ» за последние 4 квартала. Учитывая тенденцию изменения объёма продаж, определить, каких автомобилей нужно закупить больше («Мерседес» или «БМВ») в следующем квартале?

Для выполнения задания нужно составить и заполнить таблицу вида:

Х	1	2	3	4	5
Мерседес ( Y1 )	10	12	15	18
БМВ ( Y2 )	9	10	14	17

сделать прогноз продаж на новый квартал и выполнить другие пункты задания.

1. Известны следующие данные о 5 недавно проданных подержанных автомобилях: у – стоимость продажи, х₁ – стоимость аналогичного нового автомобиля, х₂ – год выпуска, х₃ – пробег, х₄ – количество капитальных ремонтов, х₅ – экспертные заключения о состоянии кузова и техническом состоянии автомобилей (по 10-бальной шкале). Определить, сколько может стоить автомобиль с соответствующими характеристиками: 340 000, 1998г., 140000км., 1, 6 (см. пример 4).

1. Определить минимально необходимый тираж журнала и возможный доход от размещения в нём рекламы в следующем месяце, если известны данные об объёмах продаж этого журнала и доходах от размещения рекламы за последние 12 месяцев (считать, что расценки на рекламу не менялись).

Для выполнения задания нужно составить таблицу вида:

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Тираж,тыс.	100	120	121,7	124,2	128	130,1	133,45	136	141	142,1	143,8	145
Доход,тыс. руб.	128	135	138	142	147	154	159	161	163	168	170,5	172

и заполнить ячейки за 12 месяцев условными данными. По этим данным нужно сделать линейный и экспоненциальный прогноз и др. (см. Задание).

1. В целях привлечения покупателей и увеличения оборота фирма проводит стратегию ежемесячного снижения цен на свой товар. На основании данных о динамике изменения цен, объемов продаж в данной фирме и ещё в 3 конкурирующих фирмах за последние 12 месяцев сделать прогноз о том, возрастает ли объём продаж у данной фирмы при очередном снижении цен в следующем месяце, если предположить, что цены и объёмы у конкурентов в следующем месяце будут средние за рассматриваемый период.

Для выполнения задания нужно составить таблицу вида:

Мес.	Фирма	Конкурент 1	Конкурент 2	Конкурент 3
1	У-объём	х1-цена	х2-объём	х3-цена	х4-объём	х5-цена	х6-объём	х7-цена
2	10000	1875	12000	1720	12500	1740	11970	1700
3	11000	1850	12340	1705	12620	1735	12100	1690
4	11570	1810	12750	1675	12740	1710	12350	1645
5	11850	1750	12910	1630	12960	1695	12500	1615
6	12100	1685	13100	1615	13000	1674	12630	1580
7	12340	1630	13570	1600	13210	1625	12920	1545
8	12750	1615	13820	1575	13320	1610	13150	1520
9	12910	1600	13980	1515	13460	1560	13300	1500
10	13100	1575	14000	1500	13600	1525	13610	1490
11	13230	1530	14070	1495	13780	1500	13850	1485
12	13470	1510	14120	1488	13900	1460	14000	1475
13

1. На основании данных о курсе американского доллара и немецкой марки в первом полугодии сделать прогноз о соотношении данных валют на второе полугодие. Во что будет выгоднее вкладывать деньги в конце года?

Для выполнения задания нужно составить таблицу вида:

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Доллар	24,5	24,9	25,7	26,9	28,0	28,8	29,3	29,7	30,5	30,9	31,8
Марка	72,1	76,3	79,6	85,3	89,7	90,9	93,2	96,4	100,2	101,6	104,9

и сделать линейный прогноз на следующие 6 месяцев и др. (см. Задание).

1. Известны данные за последние 6 месяцев о том, сколько раз выходила реклама фирмы, занимающейся недвижимостью, на телевидении – х₁, радио – х₂, в газетах и журналах – х₃, а также количество звонков –у₁ и количество совершённых сделок – у₂. Какое соотношение количества совершённых сделок к количеству звонков у (в %) можно ожидать в следующем месяце, если известно, сколько раз выйдет реклама в каждом из перечисленных средств массовой информации.

Для выполнения задания нужно составить и заполнить таблицу вида:

A	B	C	D	E
1	месяц	х1	х2	х3	y=у2/у1*100%
2	1	15	10	24	78%
3	2	16	11	23	80%
4	3	18	12	22	81%
5	4	19	12	22	84%
6	5	21	13	21	85%
7	6	22	14	20	89%
8	7

и выполнить применительно к таблице пункты Задания.

1. Для некоторого региона известен среднегодовой доход населения, а также данные о структуре расходов (тыс. руб. в год) за последние 5 лет по следующим статьям: питание – х₁, жильё – х₂, одежда – х₃, здоровье – х₄, транспорт – х₅, отдых – х₆, образование – х₇. На основании известных данных провести анализ потребительского кредита (или накопления) в следующем 6 году.

Для выполнения задания нужно составить и заполнить таблицу вида

Годы	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	Расход	Доход	Кредит(Y)
1	5	2	1,3	1	0,3	5	4	18,6	21,4	3,1
2	5,2	2,2	1,2	1,2	0,4	4,8	4,5	19,5	22	2,5
3	5,5	2,5	1,1	1,4	0,6	4,6	4,9	20,6	23,4	2,8
4	5,8	2,7	0,9	1,6	1	4,2	5,6	21,8	25,8	4
5	7	3	0,8	2	1,2	4	6,5	24,7	26,2	1,5
6	7,5	3,3	0,7	2,2	1,5	3,8	7	26,5	27,5

В ячейках столбца ) должны быть записаны формулы, вычисляющие суммы всех расходов х₁+х₂+…+х₇ в каждом году, в ячейках столбца Доход – соответствующие среднегодовые доходы, в ячейках столбца Кредит – формулы разности содержимого ячеек с ежегодными доходами и затратами, т.е. Кредит = Доход- . Затем для столбца Кредит нужно выполнить регрессионный прогноз на следующий год и другие пункты Задания.

1. Для 10 однокомнатных квартир, расположенных в одном районе, известны следующие данные: общая площадь – х₁, жилая площадь – х₂, площадь кухни – х₃, наличие балкона – х₄, телефона – х₅, этаж – х₆, а также стоимость – y . Определить, сколько может стоить однокомнатная квартира в этом районе без балкона, без телефона, расположенная на 1-ом этаже, общей площадью 28 м 2 , жилой – 16 м 2 , с кухней 6 м 2 .

Квартиры	X1	X2	X3	X4	X5	Стоимость ( y )
1	41	33	7	1	2	42000
2	40	30	7,7	2	3	40000
3	45	37	8	0	5	47000
4	46,3	34	9	1	6	49500
5	50	36	9	1	4	51000
6	53	40	9,5	1	7	55000
7	56	41	10	0	9	62000
8	60	47	12	2	10	62300
9	65	49	14	2	12	69000
10	70	58	14,5	2	14	72000
11	28	16	6	0	1

1. Определить возможный прирост населения (кол-во человек на 1000 населения) в 2011 году, если известны данные о кол-ве родившихся и умерших на 1000 населения в 1997-2006 годах.

Годы	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2011
Родились	100	110	130	155	170	174	180	185	190	200
Умерли	108	115	135	160	178	180	186	190	197	205

1. После некоторого спада наметился рост объёмов продаж матричных принтеров. Используя данные об объёмах продаж, ценах на матричные, струйные и лазерные принтеры, а также на их расходные материалы за последние 6 месяцев, определить возможный спрос на матричные принтеры в следующем месяце.

Проанализируйте, связано ли увеличение спроса на матричные принтеры с уменьшением спроса на струйные и лазерные.

Матричные принтеры	Струйные принтеры	Лазерные принтеры
Спрос у1	Цена х1	Рас.мат. z1	Спрос у2	Цена х2	Рас.мат. z/2	Спрос у3	Цена х3	Рас.мат. z3
1	56	4172	174	26	2384	558	13	12517	1558
2	58	4250	179	24	2398	570	11	12984	1612
3	60	4289	182	23	2401	598	9	13259	1789
4	65	4297	194	20	2456	649	8	13687	1865
5	69	4305	205	19	2512	722	7	14013	1998
6	75	4318	213	18	2543	768	6	14587	2200
7	4456	220	17	2601	779	5	14789	2245

Необходимо сделать прогноз на седьмой месяц по уравнению у₁=f(x₁,z₁), получить уравнение y=(у₂,x₂, z₂, у₃, x₃, z₂ ) и проанализировать его. Если слагаемые у₂ и у₃ входят в регрессионное уравнение со знаком «-«, то уменьшение спросов у₂ и у₃ ведёт к увеличению спроса у₁.

1. Построить прогноз развития спроса населения на телевизоры, если известна динамика продаж телевизоров (тыс. шт.) и динамика численности населения (тыс. чел.) за 10 лет. По данным таблицы сделать прогноз по обоим рядам на следующий год. Выполнить другие пункты задания.

Годы	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Динамика населения (тыс. чел)	21,5	26,1	31,5	34,9	45,1	50,8	56	59,4	63,9	67,1
Динамика продаж (тыс. шт.)	2,5	2,9	3,4	3,9	4,1	4,8	5	5,6	5,9	6,2

1. Размещая рекламу в 4-х изданиях, фирма собрала сведения о поступивших на нее откликов – у и сопоставила их с данными об изданиях: х₁ – стоимость издания, х₂ – стоимость одного блока рекламы, х₃ – тираж, х₄ – объём аудитории, х₅ – периодичность, х₆ – наличие телепрограммы. Какое количество откликов можно ожидать на рекламу в издании со следующими характеристиками: 15000 руб., 10$, 1000 экз., 25000 чел., 4 раза в месяц, без телепрограммы.

Пользуясь данными таблицы

Издания	х1	х2	х3	х4	х5	х6	Отклики, у
1	10000	13	700	15000	4	1	108
2	12500	12	850	22000	8	1	115
3	15890	11,8	960	28000	10	0	120
4	17850	11	1200	32000	26	1	128
5	15000	10	1000	25000	4	0

необходимо сделать прогноз при заданных характеристиках.

1. Размещая свою рекламу в 2-х печатных изданиях одновременно, фирма собрала сведения о количестве поступивших звонков и количестве заключенных сделок по объявлениям в каждом из указанных изданий за последние 12 месяцев. Определить, в каком из изданий и насколько эффективность размещения рекламы в следующем месяце будет больше?

Месяцы	Издание 1	Издание 2
Звонки	Сделки	Звонки	Сделки
1	98	66	112	79
2	105	72	143	85
3	105	75	150	90
4	110	80	130	100
5	125	90	120	75
6	140	100	115	80
7	136	95	128	82
8	137	87	132	78
9	145	102	138	88
10	123	75	143	92
11	130	79	150	97
12	139	88	155	97
13

Эффективность определяется как сделки/звонки. Сделать линейный и экспоненциальный прогнозы по обоим изданиям.

1. Пусть комплект мягкой мебели (диван + 2 кресла) характеризуется стоимостью комплектующих: х₁— деревянные подлокотники, х₂ – велюровое покрытие, х₃ – кресло-кровать, х₄ – угловой диван, х₅ – раскладывающийся диван, х₆ – место для хранения белья. По данным о стоимости 5 комплектов сделать вывод о возможной стоимости комплекта с обычным раскладывающимся диваном, с местом для белья, без деревянных подлокотников и велюрового покрытия, с креслом кроватью.

Пользуясь данными таблицы

Признаки	х1	х2	х3	х4	х5	х6	У -стоимость
Комплект 1	250	540	2500	4300	6400	800	13850 руб.
Комплект 2	320	650	3000	4800	7000	980	15770 руб.
Комплект 3	400	730	3900	6000	8500	1100	16730 руб.
Комплект 4	452	1300	4300	7500	9200	2050	24350 руб.
Комплект 5	550	1750	6400	12450	16700	4300	42150 руб.
Комплект 6	670	800	2750	6700	8800	1000

сделать прогноз и выполнить другие пункты задания.

1. Для 2-х радиостанций известны данные об изменении объёма аудитории и динамике роста цен за 1 минуту эфирного времени за последние 12 месяцев. Определить, для какой радиостанции стоимость одного контакта со слушателем будет меньше?

Месяц	Радиостанция 1	Радиостанция 2
Аудитория	Цена 1 мин.	Аудитория	Цена 1 мин.
1	250000	8000	300000	7560
2	540000	6500	450000	6340
3	580000	6460	490000	6250
4	650000	6300	550000	6000
5	730000	6060	610000	5730
6	750000	6000	690000	5300
7	800000	5400	750000	5100
8	840000	5320	780000	5000
9	890000	5130	870000	4700
10	950000	5000	900000	4650
11	1000000	4800	940000	4600
12	1108000	4700	1025000	4540
13
Контакт

В строке «Контакт» в ячейках С8 и D8 должны быть записаны формулы = С7/В7 и =Е7/D7 соответственно, вычисляющие стоимость 1 мин. Эфира для одного слушателя в прогнозируемом месяце. Прогноз нужно выполнить для линейного и экспоненциального приближений и выбрать более достоверный, а также сделать другие пункты Задания.

1. На основании данных ежемесячных исследований известна динамика рейтинга банка (в условных единицах) за последние 6 месяцев в следующих сферах:
2. менеджмент и технология – х₁;
3. менеджеры и персонал – х₂;
4. культура банковского обслуживания – х₃;
5. имидж банка на рынке финансовых услуг – х₄;
6. реклама банка – х₅.

Определить возможное изменение количества вкладчиков данного банка в следующем месяце, если известны значения сфер рейтинга и количество вкладчиков в каждом из рассматриваемых 6 месяцев.

Прогнозирование с применением уравнения регрессии

Уравнения регрессии применимо и для прогнозирования возможных ожидаемых значений результативного признака. При этом следует учесть, что перенос закономерности связи, измеренной в варьирующей совокупности, в статике на динамику не является, строго говоря, корректным и требует проверки условий допустимости такого переноса (экстраполяции), что выходит за рамки статистики и может быть сделано только специалистом, хорошо знающим объект (систему) и возможности его развития в будущем.

Ограничением прогнозирования на основании регрессионного уравнения, тем более парного, служит условие стабильности или по крайней мере малой изменчивости других факторов и условий изучаемого процесса, не связанных с ними. Если резко изменится “внешняя среда” протекающего процесса, прежнее уравнение регрессии результативного признака на факторный потеряет свое значение. В сильно засушливый год доза удобрений может не оказать влияния на урожайность сельскохозяйственной культуры, так как последнюю лимитирует недостаточная влагообеспеченность.

_{Прогнозируемое значение переменной У получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины фактора Х:}

Следует соблюдать одно ограничение: нельзя подставлять значения факторного признака, значительно отличающиеся от входящих в базисную информацию, по которой вычислено уравнение регрессии. При качественно иных уровнях фактора, если они даже возможны в принципе, были бы другими параметры уравнения. Можно рекомендовать при определении значений факторов не выходить за пределы трети размаха вариации, как за минимальное, так и за максимальное значение признака-фактора, имевшееся в исходной информации.

Прогноз, полученный подстановкой в уравнение регрессии ожидаемого значения фактора, называют точечным прогнозом. Вероятность точной реализации такого прогноза крайне мала. Необходимо сопроводить его расчетом значения средней ошибки прогноза или доверительного интервала прогноза с достаточно большой вероятностью (надежностью).

_{Доверительные интервалы зависят от следующих параметров:}

_{– отклонение от своего среднего значения ;}

_{В частности для прогноза будущие значения с вероятностью}

_{Расположение границ доверительного интервала показывает, что прогноз значений зависимой переменной по уравнению регрессии хорош только в случае, если значение фактора Х не выходит за пределы выборки. Иными словами, экстраполяция по уравнению регрессии может привести к значительным погрешностям.}

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Определение

Пусть задан временной ряд: .

Необходимо решить задачу прогнозирования временного ряда.

Модель Тейла-Вейджа (Theil,Wage) — усложненная модель Хольта, учитывающая сезонность и аддитивный тренд, в отличии от модели Хольта-Уинтерса аддитивно включает линейный тренд, что оправдано при решении некоторых задач.

где — период сезонности, — сезонный профиль, — параметр тренда, — параметр прогноза, очищенный от влияния тренда и сезонности.

Выбирать параметры предлагается экспериментально, используя метод минимизации среднеквадратичной ошибки. Проблема оптимального выбора параметров и пути её решения описаны в книге Лукашина.

Литература

Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003.

Theil H., Wage S. Some observations on adaptive forecasting // Management Science. — 1964. — Vol. 10. — Mb 2.

Ссылки

Модель Брауна — экспоненциальное сглаживание.

Модель Хольта — учитывается линейный тренд без сезонности.

Модель Хольта-Уинтерса — учитываются мультипликативный тренд и сезонность.

Анализ адекватности адаптивных моделей

1. Методы экспоненциального и текущего сглаживания.

Метод
экспоненциального сглаживания был
независимо открыт Брауном и Хольтом.
Экспоненциальное сглаживание, как и
метод скользящих средних, для прогноза
использует прошлые значения временного
ряда.

Сущность
метода экспоненциального сглаживания
заключается в том, что временной ряд
сглаживается с помощью взвешенной
скользящей средней, в которой веса
подчиняются экспоненциальному закону.
Взвешенная скользящая средняя с
экспоненциально распределенными весами
характеризует значение процесса на
конце интервала сглаживания, то есть
является средней характеристикой
последних уровней ряда. Именно это
свойство и используется для прогнозирования.

Обычное
экспоненциальное сглаживание применяется
в случае отсутствия в данных тренда
или сезонности. В этом случае прогноз
является взвешенной средней всех
доступных предыдущих значений ряда;
веса при этом со временем геометрически
убывают по мере продвижения в прошлое
(назад). Поэтому (в отличие от метода
скользящего среднего) здесь нет точки,
на которой веса обрываются, то есть
зануляются.

=

1. Модель хольта (линейного роста) и хольта-уинтерса.

Модель
Хольта

Важной
проблемой является выбор коэффициентов 
,
которые определяют чувствительность
модели. Чувствительная модель быстро
реагирует на реальные изменения, а
нечувствительная не реагирует на шум
и случайные отклонения.

Модель
Хольта-Уинерса (линейного роста с мульт
сеззоностью)

Многие
продукты имеют тенденцию роста или
падения продаж, особенно когда они
производятся впервые или когда появляются
конкурирующие товары. Для некоторых
продуктов существенны сезонные изменения
уровня продаж, поэтому для прогноза
продаж товара целесообразно учитывать
конкретный характер тенденции и сезонных
колебаний. На основе модели
Хольта Уинтерс
(Винтерс, Winters) создал свою прогностическую
модель, которая учитывает
экспоненциальный тренда и
аддитивную сезонность.

1. Модель тейла-вейджа.

Пусть
задан временной
ряд: 
.

Необходимо
решить задачу прогнозирования временного
ряда.

Модель
Тейла-Вейджа (Theil,Wage) — усложненная модель
Хольта, учитывающая сезонность и
аддитивный тренд, в отличии от модели
Модель Хольта-Уинтерса аддитивно
включает линейный тренд, что оправдано
при решении некоторых задач.

где s — период
сезонности,

—
сезонный профиль,

—
параметр тренда,

—
параметр прогноза, очищенный от влияния
тренда и сезонности.

Выбирать
параметры

предлагается экспериментально, используя
метод минимизации среднеквадратичной
ошибки.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #