Множественная линейная регрессия — это метод, который мы можем использовать для понимания взаимосвязи между двумя или более независимыми переменными и переменной отклика .
В этом руководстве объясняется, как выполнить множественную линейную регрессию в Excel.
Примечание. Если у вас есть только одна независимая переменная, вам следует вместо этого выполнить простую линейную регрессию .
Пример: множественная линейная регрессия в Excel
Предположим, мы хотим знать, влияет ли количество часов, потраченных на учебу, и количество сданных подготовительных экзаменов на балл, который студент получает на определенном вступительном экзамене в колледж.
Чтобы исследовать эту взаимосвязь, мы можем выполнить множественную линейную регрессию, используя часы обучения и подготовительные экзамены, взятые в качестве объясняющих переменных, и экзаменационный балл в качестве переменной ответа.
Выполните следующие шаги в Excel, чтобы провести множественную линейную регрессию.
Шаг 1: Введите данные.
Введите следующие данные для количества часов обучения, сданных подготовительных экзаменов и результатов экзаменов, полученных для 20 студентов:
Шаг 2: Выполните множественную линейную регрессию.
В верхней ленте Excel перейдите на вкладку « Данные » и нажмите « Анализ данных».Если вы не видите эту опцию, вам необходимо сначала установить бесплатный пакет инструментов анализа .
Как только вы нажмете « Анализ данных», появится новое окно. Выберите «Регрессия» и нажмите «ОК».
Для Input Y Range заполните массив значений для переменной ответа. Для Input X Range заполните массив значений для двух независимых переменных. Установите флажок рядом с Метки , чтобы Excel знал, что мы включили имена переменных во входные диапазоны. В поле Выходной диапазон выберите ячейку, в которой должны отображаться выходные данные регрессии. Затем нажмите ОК .
Автоматически появится следующий вывод:
Шаг 3: Интерпретируйте вывод.
Вот как интерпретировать наиболее релевантные числа в выводе:
R-квадрат: 0,734.Это известно как коэффициент детерминации. Это доля дисперсии переменной отклика, которая может быть объяснена объясняющими переменными. В этом примере 73,4% вариаций в экзаменационных баллах можно объяснить количеством часов обучения и количеством сданных подготовительных экзаменов.
Стандартная ошибка: 5,366.Это среднее расстояние, на которое наблюдаемые значения отходят от линии регрессии. В этом примере наблюдаемые значения отклоняются от линии регрессии в среднем на 5,366 единицы.
Ф: 23,46.Это общая F-статистика для регрессионной модели, рассчитанная как MS регрессии / остаточная MS.
Значение F: 0,0000.Это p-значение, связанное с общей статистикой F. Он говорит нам, является ли регрессионная модель в целом статистически значимой. Другими словами, он говорит нам, имеют ли объединенные две объясняющие переменные статистически значимую связь с переменной отклика. В этом случае p-значение меньше 0,05, что указывает на то, что независимые переменные количество часов обучения и сданных подготовительных экзаменов вместе имеют статистически значимую связь с экзаменационным баллом .
P-значения. Отдельные p-значения говорят нам, является ли каждая независимая переменная статистически значимой. Мы можем видеть, что изученные часы статистически значимы (p = 0,00), в то время как пройденные подготовительные экзамены (p = 0,52) не являются статистически значимыми при α = 0,05. Поскольку сданные подготовительные экзамены не являются статистически значимыми, мы можем принять решение удалить их из модели.
Коэффициенты: коэффициенты для каждой независимой переменной говорят нам о среднем ожидаемом изменении переменной отклика при условии, что другая независимая переменная остается постоянной. Например, ожидается, что за каждый дополнительный час, потраченный на учебу, средний экзаменационный балл увеличится на 5,56 при условии, что количество сданных подготовительных экзаменов останется неизменным.
Вот еще один способ подумать об этом: если учащийся А и учащийся Б сдают одинаковое количество подготовительных экзаменов, но учащийся А учится на один час больше, то ожидается, что учащийся А получит результат на 5,56 балла выше, чем учащийся Б.
Мы интерпретируем коэффициент для перехвата как означающий, что ожидаемая оценка экзамена для студента, который учится ноль часов и сдает нулевые подготовительные экзамены, составляет 67,67 .
Расчетное уравнение регрессии: мы можем использовать коэффициенты из выходных данных модели, чтобы создать следующее расчетное уравнение регрессии:
экзаменационный балл = 67,67 + 5,56*(часы) – 0,60*(подготовительные экзамены)
Мы можем использовать это оценочное уравнение регрессии, чтобы рассчитать ожидаемый балл экзамена для учащегося на основе количества часов, которые он изучает, и количества подготовительных экзаменов, которые он сдает. Например, студент, который занимается три часа и сдает один подготовительный экзамен, должен получить 83,75 балла:
экзаменационный балл = 67,67 + 5,56*(3) – 0,60*(1) = 83,75
Имейте в виду, что, поскольку пройденные подготовительные экзамены не были статистически значимыми (p = 0,52), мы можем решить удалить их, поскольку они не улучшают общую модель. В этом случае мы могли бы выполнить простую линейную регрессию, используя только часы изучения в качестве независимой переменной.
С результатами этого простого линейного регрессионного анализа можно ознакомиться здесь .
Дополнительные ресурсы
После выполнения множественной линейной регрессии есть несколько предположений, которые вы можете проверить, в том числе:
1. Тестирование на мультиколлинеарность с помощью VIF .
2. Тестирование на гетеродескедастичность с помощью теста Бреуша-Пагана .
3. Проверка нормальности с использованием графика QQ .
Рассмотрим использование
MS
EXCEL
для прогнозирования переменной
Y
на основании нескольких переменных Х, т.е. множественную регрессию.
Перед прочтением этой статьи рекомендуется освежить в памяти
простую линейную регрессию
– прогнозирование на основе значений только одного фактора.
Disclaimer
: Данную статью не стоит рассматривать, как пересказ главы из учебника по статистике. Статья не обладает ни полнотой, ни строгостью изложения положений статистической науки. Эта статья – о применении MS EXCEL для целей
Множественного регрессионного анализа.
Теоретические отступления приведены лишь из соображения логики изложения. Использование данной статьи для изучения
Регрессии
– плохая идея.
Статья про
Множественный регрессионный анализ
получилась большая, поэтому ниже для удобства приведены ее разделы:
- Оценка неизвестных параметров
- Диаграмма рассеяния
-
Вычисление прогнозных значений Y
(отдельное наблюдение и среднее значение) и построение доверительных интервалов
- Стандартные ошибки и доверительные интервалы для коэффициентов регрессии
- Проверка гипотез
- Генерация данных для множественной регрессии с помощью заданного тренда
- Коэффициент детерминации
Прогнозирование единственной переменной Y на основании значений 2-х или более переменных Х называется
множественной регрессией
.
Множественная линейная регрессионная модель
(Multiple Linear Regression Model)
имеет вид Y=β
0
+β
1
*X
1
+β
2
*X
2
+…+β
k
*X
k
+ε. В этом случае переменная Y зависит от k поясняющих переменных Х, т.е.
регрессоров
. ε —
случайная ошибка
. Модель является линейной относительно неизвестных параметров β.
Оценка неизвестных параметров
В этой статье рассмотрим модель с 2-мя регрессорами. Сначала введем необходимые обозначения и понятия множественной регрессии.
Для описания зависимости Y от 2-х переменных
линейная модель
имеет вид:
Y=β
0
+β
1
*X
1
+β
2
*X
2
+ε.
Параметры этой модели β
i
нам неизвестны, но их можно оценить, используя случайную выборку (измеренные значения переменной Y от заданных Х). Оценки параметров модели (β
0
, β
1
, β
2
) обычно вычисляются
методом наименьших квадратов (МНК)
, который минимизирует сумму квадратов ошибок прогнозирования (критерий минимизации в англоязычной литературе обозначают как SSE – Sum of Squared Errors).
Соответствующие оценки параметров будем обозначать как
b
0
,
b
1
и
b
2
.
Ошибка ε имеет случайную природу и имеет свою функцию распределения со
средним значением
=0 и
дисперсией σ
2
.
Оценки
b
1
и
b
2
называются
коэффициентами регрессии
, они определяют влияние соответствующей переменной X, когда все остальные независимые переменные остаются
неизменными
.
Сдвиг (intercept)
или
постоянный
член
b
0
, определяет прогнозируемое значение Y, когда все поясняющие переменные Х равны 0 (часто
сдвиг
не имеет физического смысла в рамках модели и обусловлен лишь математическими вычислениями
МНК
).
Вычислив оценки, полученные методом
МНК,
позволяют прогнозировать значения переменной Y:
Y=
b
0
+
b
1
*X
1
+
b
2
*X
2
Примечание
: Для случая 2-х регрессоров, все спрогнозированные значения переменной Y будут лежать в плоскости (в
плоскости регрессии
).
В качестве примера рассмотрим технологический процесс изготовления нити:
Инженер, на основе имеющегося опыта, предположил, что
прочность нити
Y зависит от
концентрации исходного раствора
(Х
1
) и
температуры реакции
(Х
2
), и соответствует модели линейной регрессии. Для нахождения комбинации переменных Х, при которых Y принимает максимальное значение, необходимо определить коэффициенты регрессии, сделав выборку.
В MS EXCEL
коэффициенты множественной регрессии
удобнее всего вычислить с помощью функции
ЛИНЕЙН()
. Это сделано в
файле примера на листе Коэффициенты
. Чтобы вычислить оценки:
-
выделите 3 ячейки в одной строке (т.к. мы рассматриваем случай 2-х регрессоров, то будут вычислены 2
коэффициента регрессии
+
величина сдвига
= 3 значения, для вывода которых понадобится 3 ячейки). Пусть это будет диапазон
С8:Е8
; -
в
Строке формул
введите =
ЛИНЕЙН(D20:D50;B20:C50)
. Предполагается, что в столбце
В
содержатся прогнозируемые значения Y (в нашей модели это Прочность нити), в столбцах
С
и
D
содержатся значения контролируемых параметров Х (Х1 – Концентрация в столбце С и Х2 – Температура в столбце D). -
нажмите
CTRL
+
SHIFT
+
ENTER
(т.к. этоформула массива
).
В левой ячейке будет рассчитано значение
коэффициента регрессии
b
2
для переменной Х2, в средней ячейке — значение
коэффициента регрессии
b
1
для переменной Х1, в правой –
сдвиг
. Обратите внимание, что порядок вывода
коэффициентов
регрессии
обратный по отношению к расположению столбцов с данными соответствующих переменных Х (вычисленный коэффициент
b
2
располагается
левее
по отношению к
b
1
, тогда как значения переменной Х2 располагаются
правее
значений переменной Х1). Это может привести к путанице, поэтому лучше разместить коэффициенты над соответствующими столбцами с данными, как это сделано в строке 17
файла примера
.
Примечание
: В принципе без функции
ЛИНЕЙН()
можно обойтись, записав альтернативные формулы. Для этого в
файле примера на листе Коэффициенты
в столбцах
I
:
K
вычислены отклонения значений переменных Х
1i
, Х
2i
, Y
i
от их средних значений
, т.е.:
Далее коэффициенты регрессии рассчитываются по следующим формулам (эти формулы справедливы только при прогнозировании по 2-м независимым переменным Х):
При прогнозировании по 3-м и более независимым переменным Х формулы для вычисления
коэффициентов регрессии
значительно усложняются, поэтому следует использовать матричный подход.
В
файле примера на листе Матричная форма
выполнены расчеты
коэффициентов регрессии
с помощью матричного подхода.
Расчет можно произвести как пошагово, так и одной
формулой массива
:
=МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(B9:D33);(B9:D33)));МУМНОЖ(ТРАНСП(B9:D33);(E9:E33)))
Коэффициенты регрессии
(вектор
b
)
в этом случае вычисляются по формуле
b
=(X
T
X)
-1
(X
T
Y) или в другом виде записи
b
=(X
’
X)
-1
(X
’
Y)
Под Х подразумевается матрица, состоящая из столбцов значений переменной Х с дополнительным столбцом единиц, а под Y – вектор-столбец значений Y.
Символ
Т
или ‘ – это
транспонирование матрицы
, а обозначение
-1
говорит о
вычислении обратной матрицы
.
Диаграмма рассеяния
В случае
простой линейной регрессии
(один регрессор, т.е. одна переменная Х) для визуализации связи между прогнозируемым значением Y и переменной Х строят
диаграмму рассеяния
(двумерную).
В случае
множественной
линейной регрессии
двумерную диаграмму рассеяния можно построить только для анализа влияния каждого отдельного регрессора на Y (при этом остальные Х не меняются), т.е. так называемую Матричную диаграмму рассеивания (См.
файл примера лист Диагр расс (матричная)
).
К сожалению, такую диаграмму трудно интерпретировать.
Более того, матричная диаграмма может вводить в заблуждение (см.
Introduction
to
linear
regression
analysis
/
D
.
C
.
Montgomery
,
E
.
A
.
Peck
,
G
.
G
.
Vining
, раздел 3.2.5
), демонстрируя наличие или отсутствие линейной взаимосвязи между отдельным регрессором X
i
и Y.
Для случая с 2-мя регрессорами можно предложить альтернативный вид матричной
диаграммы рассеяния
. В стандартной диаграмме рассеяния строятся проекции на координатные плоскости Х1;Х2, Y;X1 и Y;X2. Однако, если взглянуть на точки относительно
плоскости регрессии
, то картину, на мой взгляд, будет проще интерпретировать.
Сравним две матричные диаграммы рассеяния (см.
файл примера на листе «Диагр расс (в плоск регрессии)»
, построенные для одних и тех же наблюдений. Первая – стандартная,
вторая представляет собой вид сверху на плоскость регрессии и 2 вида вдоль плоскости.
На второй диаграмме становится очевидно, что разброс точек относительно плоскости регрессии совсем не большой и поэтому, скорее всего, построенная модель является полезной, а выбранные 2 переменные Х позволяют прогнозировать Y (конечно, для подтверждения этой гипотезы нужно
провести процедуру F-теста
).
Несколько слов о построении альтернативной матричной диаграммы рассеяния:
-
Перед построением необходимо нормировать значения наблюдений (для каждой переменной вычесть
среднее
и разделить на
стандартное отклонение
). В этом случае практически все точки на диаграммах будут находится в диапазоне +/-3 (по аналогии со
стандартным нормальным распределением
, 99% значений которого лежат в пределах +/-3 сигма). В этом случае, на диаграмме можно фиксировать мин/макс значений осей, чтобы EXCEL автоматически не модифицировал масштаб осей при изменении данных (это не всегда удобно);
-
Теперь координаты точек необходимо рассчитать в системе отсчета относительно плоскости регрессии (в которой плоскость Оху’ совпадает с плоскостью регрессии). Для этого необходимо найти
матрицу вращения
, например, через вращение приводящее к совмещению нормали к плоскости регрессии и вектора оси Z (0;0;1);
-
Новые координаты позволяют построить альтернативную матричную диаграмму. Кроме того, для удобства можно вращать систему координат вокруг новой оси Z, чтобы нагляднее представить себе распределение точек относительно плоскости регрессии (для этого использована Полоса прокрутки в ячейках
Q
31:
S
31
).
Вычисление прогнозных значений Y (отдельное наблюдение и среднее значение) и построение доверительных интервалов
После того, как нами были найдены тем или иным способом коэффициенты регрессии можно приступать к вычислению прогнозных значений Y на основе заданных значений переменных Х.
Уравнение прогнозирования или уравнение регрессии в случае 2-х независимых переменных (регрессоров) записывается в виде:
Y=
b
0
+
b
1
*
Х
1
+
b
2
*
Х
2
Примечание:
В MS EXCEL
прогнозное значение Y для заданных Х
1
и Х
2
можно также предсказать с помощью функции
ТЕНДЕНЦИЯ()
. При этом 2-й аргумент будет ссылкой на столбцы, содержащие все значения переменных Х
1
и Х
2
, а 3-й аргумент функции должен быть ссылкой на диапазон ячеек, содержащий 2 значения Х (Х
1i
и Х
2i
) для выбранного наблюдения i (см.
файл примера, лист Коэффициенты, столбец G
). Функция
ПРЕДСКАЗ()
, использованная нами в простой регрессии, не работает в случае
множественной регрессии
.
Найдя прогнозное значение Y, мы, таким образом, вычислим его точечную оценку. Понятно, что фактическое значение Y, полученное при наблюдении, будет, скорее всего, отличаться от этой оценки. Чтобы ответить на вопрос о том, на сколько хорошо мы можем предсказывать новые значения Y, нам потребуется построить
доверительный интервал
этой оценки, т.е. диапазон в котором с определенной заданной вероятностью, скажем 95%, мы ожидаем новое значение Y.
Доверительные интервалы
построим при фиксированном Х для:
- нового наблюдения Y;
- среднего значения Y (интервал будет уже, чем для отдельного нового наблюдения)
Как и в случае
простой линейной регрессии
, для построения
доверительных интервалов
нам потребуется сначала вычислить
стандартную ошибку модели
(standard error of the model)
, которая приблизительно показывает насколько велика ошибка предсказания значений переменной Y на основании значений переменных Х.
Для вычисления
стандартной ошибки
оценивают
дисперсию
ошибки ε, т.е. сигма^2
(ее часто обозначают как
MS
Е либо
MSres
)
. Затем, вычислив из полученной оценки квадратный корень, получим
Стандартную ошибку регрессии (часто обозначают как
SEy
или
sey
).
где SSE – сумма квадратов значений ошибок модели ei=yi — ŷi (
Sum of Squared Errors
). MSE означает Mean Square of Errors (среднее квадратов ошибок, точнее остатков).
Величина n-p – это количество
степеней свободы
(
df
–
degrees
of
freedom
), т.е. число параметров системы, которые могут изменяться независимо (вспомним, что у нас в этом примере есть n независимых наблюдений переменной Y, р – количество оцениваемых параметров модели). В случае
простой множественной регрессии
с 2-мя регрессорами
число степеней свободы
равно n-3, т.к. при построении
плоскости регрессии
было оценено 3 параметра модели
b
(т.е. на это было «потрачено» 3
степени свободы
).
В MS EXCEL
стандартную ошибку
SEy можно вычислить формулы (см.
файл примера, лист Статистика
):
=
ИНДЕКС(ЛИНЕЙН($E$13:$E$43;$C$13:$D$43;;ИСТИНА);3;2)
Стандартная ошибка
нового наблюдения Y при заданных значениях Х (вектор Хi) вычисляется по формуле:
x
i
— вектор-столбец со значениями переменных Х (с дополнительной 1) для заданного наблюдения i.
Соответствующий доверительный интервал вычисляется по формуле:
где α (альфа) –
уровень значимости
(обычно принимают равным 0,05=5%)
р – количество оцениваемых параметров модели (в нашем случае = 3)
n-p – число степеней свободы
–
квантиль
распределения Стьюдента
(задает количество
стандартных ошибок
, в +/- диапазоне которых вероятность обнаружить новое наблюдение равно 1-альфа). Т.е. если
квантиль
равен 2, то диапазон шириной +/- 2
стандартных ошибок
относительно прогнозного значения Y будет с вероятностью 95% содержать новое наблюдение Y (для каждого заданного Хi). В MS EXCEL вычисления квантиля производят по формуле =
СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;n-p)
, подробнее см.
в статье про распределение Стьюдента
.
– прогнозное значение Yi вычисляемое по формуле Yi=
b
0+
b
1*
Х1i+
b
2*
Х2i (точечная оценка).
Стандартная ошибка
среднего значения Y при заданных значениях Х (вектор Хi) будет меньше, чем стандартная ошибка отдельного наблюдения. Вычисления производятся по формуле:
x
i
— вектор-столбец со значениями переменных Х (с дополнительной 1) для заданного наблюдения i.
Соответствующий
доверительный интервал
вычисляется по формуле:
Прогнозное значение Yi (точечная оценка) используется тоже, что и для отдельного наблюдения.
Стандартные ошибки и доверительные интервалы для коэффициентов регрессии
В разделе
Оценка неизвестных параметров
мы получили точечные оценки
коэффициентов регрессии
. Так как эти оценки получены на основе случайных величин (значений переменных Х и Y), то эти оценки сами являются случайными величинами и соответственно имеют функцию распределения со
средним значением
и
дисперсией
. Но, чтобы перейти от
точечных оценок
к
интервальным
, необходимо вычислить соответствующие
стандартные ошибки
(т.е.
стандартные отклонения
)
коэффициентов регрессии
.
Стандартная ошибка коэффициента регрессии
b
j
(обозначается
se
(
b
j
)
) вычисляется на основании
стандартной ошибки
по следующей формуле:
где C
jj
является диагональным элементом матрицы (X
’
X)
-1
. Для коэффициента сдвига
b
0
индекс j=1 (верхний левый элемент), для
b
1
индекс j=2,
b
2
индекс j=3 (нижний правый элемент).
SEy –
стандартная ошибка регрессии
(см.
выше
).
В MS EXCEL
стандартные ошибки коэффициентов регрессии
можно вычислить с помощью функции
ЛИНЕЙН()
:
=
ИНДЕКС(ЛИНЕЙН($E$13:$E$43;$C$13:$D$43;;ИСТИНА);2;j)
Примечание
: Подробнее о функции
ЛИНЕЙН()
см. статью
Функция MS EXCEL ЛИНЕЙН()
.
Применяя матричный подход
стандартные ошибки
можно вычислить и через обычные формулы (точнее через
формулу массива
, см.
файл примера лист Статистика
):
=
КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(E13:E43;F13:F43) /(n-p)) *КОРЕНЬ (ИНДЕКС (МОБР (МУМНОЖ(ТРАНСП(B13:D43);(B13:D43)));j;j))
При построении
двухстороннего доверительного интервала
для
коэффициента регрессии
его границы определяются следующим образом:
b
j
+/- t*Se(
b
j
)
где t – это
t-значение
, которое можно вычислить с помощью формулы =
СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;n-p)
для
уровня значимости
0,05.
В результате получим, что найденный
доверительный интервал
с вероятностью 95% (1-0,05) накроет истинное значение
коэффициента регрессии
b
j
.
Здесь мы считаем, что
коэффициент регрессии
b
j
имеет
распределение Стьюдента
с n-p
степенями свободы
(n – количество наблюдений, т.е. пар Х и Y).
Проверка гипотез
Когда мы строим модель, мы предполагаем, что между Y и переменными X существует линейная взаимосвязь. Однако, как это иногда бывает в статистике, можно вычислять параметры связи даже тогда, когда в действительности она не существует, и обусловлена лишь случайностью.
Единственный вариант, когда Y не зависит X, возможен, когда все
коэффициенты регрессии
β
равны 0.
Чтобы убедиться, что вычисленная нами оценка
коэффициентов регрессии
не обусловлена лишь случайностью (они не случайно отличны от 0), используют
проверку гипотез
. В качестве
нулевой гипотезы
Н
0
принимают, что линейной связи нет, т.е. ВСЕ β=0. В качестве альтернативной гипотезы
Н
1
принимают, что ХОТЯ БЫ ОДИН коэффициент β <>0.
Процедура проверки значимости множественной регрессии, приведенная ниже, является обобщением
дисперсионного анализа
, использованного нами в случае
простой линейной регрессии (F-тест)
.
Если нулевая гипотеза справедлива, то
тестовая
F
-статистика
имеет
F-распределение
со степенями свободы
k
и
n
—
k
-1
, т.е. F
k, n-k-1
:
Проверку значимости регрессии можно также осуществить через вычисление
p
-значения
. В этом случае вычисляют вероятность того, что случайная величина F примет значение F
0
(это и есть
p-значение
), затем сравнивают p-значение с заданным
уровнем значимости α (альфа)
. Если
p-значение
больше уровня значимости
,
то нулевую гипотезу нет оснований отклонить, и регрессия незначима.
В MS EXCEL значение F
0
можно вычислить на основании значений выборки по вышеуказанной формуле или с помощью функции
ЛИНЕЙН()
:
=
ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(E13:E43; C13:D43;;ИСТИНА);4;1)
В MS EXCEL для проверки гипотезы через
p
-значение
используйте формулу =F.РАСП.ПХ(F
0
;k;n-k-1)<
альфа
Если формула вернет ИСТИНА, то регрессия значима. Если формула вернет ЛОЖЬ, то у нас нет оснований отклонить нулевую гипотезу, т.е. «скорее всего» все коэффициенты регрессии равны 0 (см.
файл примера лист Статистика
, где показано эквивалентность обоих подходов проверки значимости регрессии).
В MS EXCEL критическое значение для заданного
уровня значимости
F
1-альфа, k, n-k-1
можно вычислить по формуле =
F.ОБР(1- альфа;k;n-k-1)
или =
F.ОБР.ПХ(альфа;k; n-k-1)
. Другими словами требуется вычислить
верхний альфа-
квантиль
F
-распределения
с соответствующими
степенями свободы
.
Таким образом, при значении статистики F
0
> F
1-альфа, k, n-k-1
мы имеем основание для отклонения нулевой гипотезы.
В программах статистики результаты процедуры
F
-теста
выводят с помощью стандартной таблицы
дисперсионного анализа
. В
файле примера такая таблица приведена на листе Надстройка
, которая построена на основе результатов, возвращаемых инструментом
Регрессия надстройки Пакета анализа MS EXCEL
.
Генерация данных для множественной регрессии с помощью заданного тренда
Иногда, бывает удобно сгенерировать значения наблюдений, имея заданный тренд.
Для решения этой задачи нам потребуется:
- задать значения регрессоров в нужном диапазоне (значения переменных Х);
-
задать коэффициенты регрессии (
b
); -
задать тренд (вычислить значения Y=
b
0
+
b
1
*
Х
1
+
b
2
*
Х
2
); - задать величину разброса Y вокруг тренда (варианты: случайный разброс в заданных границах или заданная фигура, например, круг)
Все вычисления выполнены в
файле примера, лист Тренд
для случая 2-х регрессоров. Там же построены
диаграммы рассеяния
.
Коэффициент детерминации
Коэффициент детерминации
R
2
показывает насколько полезна построенная нами
линейная регрессионная модель
.
По определению
коэффициент детерминации
R
2
равен:
R
2
=
Изменчивость объясненная моделью (
SSR
) / Общая изменчивость (
SST
).
Этот показатель можно вычислить с помощью функции
ЛИНЕЙН()
:
=
ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(E13:E43;C13:D43;;ИСТИНА);3)
При добавлении в модель новой объясняющей переменной Х,
коэффициент детерминации
будет всегда расти. Поэтому, рост
коэффициента детерминации
не может служить основанием для вывода о том, что новая модель (с дополнительным регрессором) лучше прежней.
Более подходящей статистикой, которая лишена указанного недостатка, является
нормированный
коэффициент детерминации
(Adjusted R-squared):
где p – число независимых
регрессоров
(вычисления см.
файл примера лист Статистика
).
Регрессионный анализ в Microsoft Excel
Регрессионный анализ является одним из самых востребованных методов статистического исследования. С его помощью можно установить степень влияния независимых величин на зависимую переменную. В функционале Microsoft Excel имеются инструменты, предназначенные для проведения подобного вида анализа. Давайте разберем, что они собой представляют и как ими пользоваться.
Подключение пакета анализа
Но, для того, чтобы использовать функцию, позволяющую провести регрессионный анализ, прежде всего, нужно активировать Пакет анализа. Только тогда необходимые для этой процедуры инструменты появятся на ленте Эксель.
-
Перемещаемся во вкладку «Файл».
Открывается окно параметров Excel. Переходим в подраздел «Надстройки».
В самой нижней части открывшегося окна переставляем переключатель в блоке «Управление» в позицию «Надстройки Excel», если он находится в другом положении. Жмем на кнопку «Перейти».
Теперь, когда мы перейдем во вкладку «Данные», на ленте в блоке инструментов «Анализ» мы увидим новую кнопку – «Анализ данных».
Виды регрессионного анализа
Существует несколько видов регрессий:
- параболическая;
- степенная;
- логарифмическая;
- экспоненциальная;
- показательная;
- гиперболическая;
- линейная регрессия.
О выполнении последнего вида регрессионного анализа в Экселе мы подробнее поговорим далее.
Линейная регрессия в программе Excel
Внизу, в качестве примера, представлена таблица, в которой указана среднесуточная температура воздуха на улице, и количество покупателей магазина за соответствующий рабочий день. Давайте выясним при помощи регрессионного анализа, как именно погодные условия в виде температуры воздуха могут повлиять на посещаемость торгового заведения.
Общее уравнение регрессии линейного вида выглядит следующим образом: У = а0 + а1х1 +…+акхк . В этой формуле Y означает переменную, влияние факторов на которую мы пытаемся изучить. В нашем случае, это количество покупателей. Значение x – это различные факторы, влияющие на переменную. Параметры a являются коэффициентами регрессии. То есть, именно они определяют значимость того или иного фактора. Индекс k обозначает общее количество этих самых факторов.
- Кликаем по кнопке «Анализ данных». Она размещена во вкладке «Главная» в блоке инструментов «Анализ».
Открывается небольшое окошко. В нём выбираем пункт «Регрессия». Жмем на кнопку «OK».
Открывается окно настроек регрессии. В нём обязательными для заполнения полями являются «Входной интервал Y» и «Входной интервал X». Все остальные настройки можно оставить по умолчанию.
В поле «Входной интервал Y» указываем адрес диапазона ячеек, где расположены переменные данные, влияние факторов на которые мы пытаемся установить. В нашем случае это будут ячейки столбца «Количество покупателей». Адрес можно вписать вручную с клавиатуры, а можно, просто выделить требуемый столбец. Последний вариант намного проще и удобнее.
В поле «Входной интервал X» вводим адрес диапазона ячеек, где находятся данные того фактора, влияние которого на переменную мы хотим установить. Как говорилось выше, нам нужно установить влияние температуры на количество покупателей магазина, а поэтому вводим адрес ячеек в столбце «Температура». Это можно сделать теми же способами, что и в поле «Количество покупателей».
С помощью других настроек можно установить метки, уровень надёжности, константу-ноль, отобразить график нормальной вероятности, и выполнить другие действия. Но, в большинстве случаев, эти настройки изменять не нужно. Единственное на что следует обратить внимание, так это на параметры вывода. По умолчанию вывод результатов анализа осуществляется на другом листе, но переставив переключатель, вы можете установить вывод в указанном диапазоне на том же листе, где расположена таблица с исходными данными, или в отдельной книге, то есть в новом файле.
После того, как все настройки установлены, жмем на кнопку «OK».
Разбор результатов анализа
Результаты регрессионного анализа выводятся в виде таблицы в том месте, которое указано в настройках.
Одним из основных показателей является R-квадрат. В нем указывается качество модели. В нашем случае данный коэффициент равен 0,705 или около 70,5%. Это приемлемый уровень качества. Зависимость менее 0,5 является плохой.
Ещё один важный показатель расположен в ячейке на пересечении строки «Y-пересечение» и столбца «Коэффициенты». Тут указывается какое значение будет у Y, а в нашем случае, это количество покупателей, при всех остальных факторах равных нулю. В этой таблице данное значение равно 58,04.
Значение на пересечении граф «Переменная X1» и «Коэффициенты» показывает уровень зависимости Y от X. В нашем случае — это уровень зависимости количества клиентов магазина от температуры. Коэффициент 1,31 считается довольно высоким показателем влияния.
Как видим, с помощью программы Microsoft Excel довольно просто составить таблицу регрессионного анализа. Но, работать с полученными на выходе данными, и понимать их суть, сможет только подготовленный человек.
Помимо этой статьи, на сайте еще 12680 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.
Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.
Множественная регрессия в EXCEL
history 26 января 2019 г.
-
Группы статей
- Статистический анализ
Рассмотрим использование MS EXCEL для прогнозирования переменной Y на основании нескольких переменных Х, т.е. множественную регрессию.
Перед прочтением этой статьи рекомендуется освежить в памяти простую линейную регрессию – прогнозирование на основе значений только одного фактора.
Disclaimer : Данную статью не стоит рассматривать, как пересказ главы из учебника по статистике. Статья не обладает ни полнотой, ни строгостью изложения положений статистической науки. Эта статья – о применении MS EXCEL для целей Множественного регрессионного анализа. Теоретические отступления приведены лишь из соображения логики изложения. Использование данной статьи для изучения Регрессии – плохая идея.
Статья про Множественный регрессионный анализ получилась большая, поэтому ниже для удобства приведены ее разделы:
Прогнозирование единственной переменной Y на основании значений 2-х или более переменных Х называется множественной регрессией .
Множественная линейная регрессионная модель (Multiple Linear Regression Model) имеет вид Y=β 0 +β 1 *X 1 +β 2 *X 2 +…+β k *X k +ε. В этом случае переменная Y зависит от k поясняющих переменных Х, т.е. регрессоров . ε — случайная ошибка . Модель является линейной относительно неизвестных параметров β.
Оценка неизвестных параметров
В этой статье рассмотрим модель с 2-мя регрессорами. Сначала введем необходимые обозначения и понятия множественной регрессии.
Для описания зависимости Y от 2-х переменных линейная модель имеет вид:
Параметры этой модели β i нам неизвестны, но их можно оценить, используя случайную выборку (измеренные значения переменной Y от заданных Х). Оценки параметров модели (β 0 , β 1 , β 2 ) обычно вычисляются методом наименьших квадратов (МНК) , который минимизирует сумму квадратов ошибок прогнозирования (критерий минимизации в англоязычной литературе обозначают как SSE – Sum of Squared Errors).
Ошибка ε имеет случайную природу и имеет свою функцию распределения со средним значением =0 и дисперсией σ 2 .
Оценки b 1 и b 2 называются коэффициентами регрессии , они определяют влияние соответствующей переменной X, когда все остальные независимые переменные остаются неизменными .
Сдвиг (intercept) или постоянный член b 0 , определяет прогнозируемое значение Y, когда все поясняющие переменные Х равны 0 (часто сдвиг не имеет физического смысла в рамках модели и обусловлен лишь математическими вычислениями МНК ).
Вычислив оценки, полученные методом МНК, позволяют прогнозировать значения переменной Y:
Примечание : Для случая 2-х регрессоров, все спрогнозированные значения переменной Y будут лежать в плоскости (в плоскости регрессии ).
В качестве примера рассмотрим технологический процесс изготовления нити:
Инженер, на основе имеющегося опыта, предположил, что прочность нити Y зависит от концентрации исходного раствора (Х 1 ) и температуры реакции (Х 2 ), и соответствует модели линейной регрессии. Для нахождения комбинации переменных Х, при которых Y принимает максимальное значение, необходимо определить коэффициенты регрессии, сделав выборку.
В MS EXCEL коэффициенты множественной регрессии удобнее всего вычислить с помощью функции ЛИНЕЙН() . Это сделано в файле примера на листе Коэффициенты . Чтобы вычислить оценки:
- выделите 3 ячейки в одной строке (т.к. мы рассматриваем случай 2-х регрессоров, то будут вычислены 2 коэффициента регрессии + величина сдвига = 3 значения, для вывода которых понадобится 3 ячейки). Пусть это будет диапазон С8:Е8 ;
- в Строке формул введите = ЛИНЕЙН(D20:D50;B20:C50) . Предполагается, что в столбце В содержатся прогнозируемые значения Y (в нашей модели это Прочность нити), в столбцах С и D содержатся значения контролируемых параметров Х (Х1 – Концентрация в столбце С и Х2 – Температура в столбце D).
- нажмите CTRL+SHIFT+ENTER (т.к. это формула массива ).
В левой ячейке будет рассчитано значение коэффициента регрессии b 2 для переменной Х2, в средней ячейке — значение коэффициента регрессии b 1 для переменной Х1, в правой – сдвиг . Обратите внимание, что порядок вывода коэффициентов регрессии обратный по отношению к расположению столбцов с данными соответствующих переменных Х (вычисленный коэффициент b 2 располагается левее по отношению к b 1 , тогда как значения переменной Х2 располагаются правее значений переменной Х1). Это может привести к путанице, поэтому лучше разместить коэффициенты над соответствующими столбцами с данными, как это сделано в строке 17 файла примера .
Примечание : В принципе без функции ЛИНЕЙН() можно обойтись, записав альтернативные формулы. Для этого в файле примера на листе Коэффициенты в столбцах I : K вычислены отклонения значений переменных Х 1i , Х 2i , Y i от их средних значений , т.е.:
Далее коэффициенты регрессии рассчитываются по следующим формулам (эти формулы справедливы только при прогнозировании по 2-м независимым переменным Х):
При прогнозировании по 3-м и более независимым переменным Х формулы для вычисления коэффициентов регрессии значительно усложняются, поэтому следует использовать матричный подход.
В файле примера на листе Матричная форма выполнены расчеты коэффициентов регрессии с помощью матричного подхода.
Расчет можно произвести как пошагово, так и одной формулой массива :
Коэффициенты регрессии (вектор b ) в этом случае вычисляются по формуле b =(X T X) -1 (X T Y) или в другом виде записи b =(X ’ X) -1 (X ’ Y)
Под Х подразумевается матрица, состоящая из столбцов значений переменной Х с дополнительным столбцом единиц, а под Y – вектор-столбец значений Y.
Диаграмма рассеяния
В случае простой линейной регрессии (один регрессор, т.е. одна переменная Х) для визуализации связи между прогнозируемым значением Y и переменной Х строят диаграмму рассеяния (двумерную).
В случае множественной линейной регрессии двумерную диаграмму рассеяния можно построить только для анализа влияния каждого отдельного регрессора на Y (при этом остальные Х не меняются), т.е. так называемую Матричную диаграмму рассеивания (См. файл примера лист Диагр расс (матричная) ).
К сожалению, такую диаграмму трудно интерпретировать.
Более того, матричная диаграмма может вводить в заблуждение (см. Introduction to linear regression analysis / D . C . Montgomery , E . A . Peck , G . G . Vining , раздел 3.2.5 ), демонстрируя наличие или отсутствие линейной взаимосвязи между отдельным регрессором X i и Y.
Для случая с 2-мя регрессорами можно предложить альтернативный вид матричной диаграммы рассеяния . В стандартной диаграмме рассеяния строятся проекции на координатные плоскости Х1;Х2, Y;X1 и Y;X2. Однако, если взглянуть на точки относительно плоскости регрессии , то картину, на мой взгляд, будет проще интерпретировать.
Сравним две матричные диаграммы рассеяния (см. файл примера на листе «Диагр расс (в плоск регрессии)» , построенные для одних и тех же наблюдений. Первая – стандартная,
вторая представляет собой вид сверху на плоскость регрессии и 2 вида вдоль плоскости.
На второй диаграмме становится очевидно, что разброс точек относительно плоскости регрессии совсем не большой и поэтому, скорее всего, построенная модель является полезной, а выбранные 2 переменные Х позволяют прогнозировать Y (конечно, для подтверждения этой гипотезы нужно провести процедуру F-теста ).
Несколько слов о построении альтернативной матричной диаграммы рассеяния:
- Перед построением необходимо нормировать значения наблюдений (для каждой переменной вычесть среднее и разделить на стандартное отклонение ). В этом случае практически все точки на диаграммах будут находится в диапазоне +/-3 (по аналогии со стандартным нормальным распределением , 99% значений которого лежат в пределах +/-3 сигма). В этом случае, на диаграмме можно фиксировать мин/макс значений осей, чтобы EXCEL автоматически не модифицировал масштаб осей при изменении данных (это не всегда удобно);
- Теперь координаты точек необходимо рассчитать в системе отсчета относительно плоскости регрессии (в которой плоскость Оху’ совпадает с плоскостью регрессии). Для этого необходимо найти матрицу вращения , например, через вращение приводящее к совмещению нормали к плоскости регрессии и вектора оси Z (0;0;1);
- Новые координаты позволяют построить альтернативную матричную диаграмму. Кроме того, для удобства можно вращать систему координат вокруг новой оси Z, чтобы нагляднее представить себе распределение точек относительно плоскости регрессии (для этого использована Полоса прокрутки в ячейках Q31:S31 ).
Вычисление прогнозных значений Y (отдельное наблюдение и среднее значение) и построение доверительных интервалов
После того, как нами были найдены тем или иным способом коэффициенты регрессии можно приступать к вычислению прогнозных значений Y на основе заданных значений переменных Х.
Уравнение прогнозирования или уравнение регрессии в случае 2-х независимых переменных (регрессоров) записывается в виде:
Примечание: В MS EXCEL прогнозное значение Y для заданных Х 1 и Х 2 можно также предсказать с помощью функции ТЕНДЕНЦИЯ() . При этом 2-й аргумент будет ссылкой на столбцы, содержащие все значения переменных Х 1 и Х 2 , а 3-й аргумент функции должен быть ссылкой на диапазон ячеек, содержащий 2 значения Х (Х 1i и Х 2i ) для выбранного наблюдения i (см. файл примера, лист Коэффициенты, столбец G ). Функция ПРЕДСКАЗ() , использованная нами в простой регрессии, не работает в случае множественной регрессии .
Найдя прогнозное значение Y, мы, таким образом, вычислим его точечную оценку. Понятно, что фактическое значение Y, полученное при наблюдении, будет, скорее всего, отличаться от этой оценки. Чтобы ответить на вопрос о том, на сколько хорошо мы можем предсказывать новые значения Y, нам потребуется построить доверительный интервал этой оценки, т.е. диапазон в котором с определенной заданной вероятностью, скажем 95%, мы ожидаем новое значение Y.
Доверительные интервалы построим при фиксированном Х для:
- нового наблюдения Y;
- среднего значения Y (интервал будет уже, чем для отдельного нового наблюдения)
Как и в случае простой линейной регрессии , для построения доверительных интервалов нам потребуется сначала вычислить стандартную ошибку модели (standard error of the model) , которая приблизительно показывает насколько велика ошибка предсказания значений переменной Y на основании значений переменных Х.
Для вычисления стандартной ошибки оценивают дисперсию ошибки ε, т.е. сигма^2 (ее часто обозначают как MS Е либо MSres ) . Затем, вычислив из полученной оценки квадратный корень, получим Стандартную ошибку регрессии (часто обозначают как SEy или sey ).
где SSE – сумма квадратов значений ошибок модели ei=yi — ŷi ( Sum of Squared Errors ). MSE означает Mean Square of Errors (среднее квадратов ошибок, точнее остатков).
Величина n-p – это количество степеней свободы ( df – degrees of freedom ), т.е. число параметров системы, которые могут изменяться независимо (вспомним, что у нас в этом примере есть n независимых наблюдений переменной Y, р – количество оцениваемых параметров модели). В случае простой множественной регрессии с 2-мя регрессорами число степеней свободы равно n-3, т.к. при построении плоскости регрессии было оценено 3 параметра модели b (т.е. на это было «потрачено» 3 степени свободы ).
В MS EXCEL стандартную ошибку SEy можно вычислить формулы (см. файл примера, лист Статистика ):
Стандартная ошибка нового наблюдения Y при заданных значениях Х (вектор Хi) вычисляется по формуле:
x i — вектор-столбец со значениями переменных Х (с дополнительной 1) для заданного наблюдения i.
Соответствующий доверительный интервал вычисляется по формуле:
где α (альфа) – уровень значимости (обычно принимают равным 0,05=5%)
р – количество оцениваемых параметров модели (в нашем случае = 3)
n-p – число степеней свободы
– квантиль распределения Стьюдента (задает количество стандартных ошибок , в +/- диапазоне которых вероятность обнаружить новое наблюдение равно 1-альфа). Т.е. если квантиль равен 2, то диапазон шириной +/- 2 стандартных ошибок относительно прогнозного значения Y будет с вероятностью 95% содержать новое наблюдение Y (для каждого заданного Хi). В MS EXCEL вычисления квантиля производят по формуле = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;n-p) , подробнее см. в статье про распределение Стьюдента .
– прогнозное значение Yi вычисляемое по формуле Yi= b 0+ b 1* Х1i+ b 2* Х2i (точечная оценка).
Стандартная ошибка среднего значения Y при заданных значениях Х (вектор Хi) будет меньше, чем стандартная ошибка отдельного наблюдения. Вычисления производятся по формуле:
x i — вектор-столбец со значениями переменных Х (с дополнительной 1) для заданного наблюдения i.
Соответствующий доверительный интервал вычисляется по формуле:
Прогнозное значение Yi (точечная оценка) используется тоже, что и для отдельного наблюдения.
Стандартные ошибки и доверительные интервалы для коэффициентов регрессии
В разделе Оценка неизвестных параметров мы получили точечные оценки коэффициентов регрессии . Так как эти оценки получены на основе случайных величин (значений переменных Х и Y), то эти оценки сами являются случайными величинами и соответственно имеют функцию распределения со средним значением и дисперсией . Но, чтобы перейти от точечных оценок к интервальным , необходимо вычислить соответствующие стандартные ошибки (т.е. стандартные отклонения ) коэффициентов регрессии .
Стандартная ошибка коэффициента регрессии b j (обозначается se ( b j ) ) вычисляется на основании стандартной ошибки по следующей формуле:
где C jj является диагональным элементом матрицы (X ’ X) -1 . Для коэффициента сдвига b 0 индекс j=1 (верхний левый элемент), для b 1 индекс j=2, b 2 индекс j=3 (нижний правый элемент).
SEy – стандартная ошибка регрессии (см. выше ).
В MS EXCEL стандартные ошибки коэффициентов регрессии можно вычислить с помощью функции ЛИНЕЙН() :
Примечание : Подробнее о функции ЛИНЕЙН() см. статью Функция MS EXCEL ЛИНЕЙН() .
Применяя матричный подход стандартные ошибки можно вычислить и через обычные формулы (точнее через формулу массива , см. файл примера лист Статистика ):
= КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(E13:E43;F13:F43) /(n-p)) *КОРЕНЬ (ИНДЕКС (МОБР (МУМНОЖ(ТРАНСП(B13:D43);(B13:D43)));j;j))
При построении двухстороннего доверительного интервала для коэффициента регрессии его границы определяются следующим образом:
где t – это t-значение , которое можно вычислить с помощью формулы = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;n-p) для уровня значимости 0,05.
В результате получим, что найденный доверительный интервал с вероятностью 95% (1-0,05) накроет истинное значение коэффициента регрессии b j . Здесь мы считаем, что коэффициент регрессии b j имеет распределение Стьюдента с n-p степенями свободы (n – количество наблюдений, т.е. пар Х и Y).
Проверка гипотез
Когда мы строим модель, мы предполагаем, что между Y и переменными X существует линейная взаимосвязь. Однако, как это иногда бывает в статистике, можно вычислять параметры связи даже тогда, когда в действительности она не существует, и обусловлена лишь случайностью.
Единственный вариант, когда Y не зависит X, возможен, когда все коэффициенты регрессии β равны 0.
Чтобы убедиться, что вычисленная нами оценка коэффициентов регрессии не обусловлена лишь случайностью (они не случайно отличны от 0), используют проверку гипотез . В качестве нулевой гипотезы Н 0 принимают, что линейной связи нет, т.е. ВСЕ β=0. В качестве альтернативной гипотезы Н 1 принимают, что ХОТЯ БЫ ОДИН коэффициент β <>0.
Процедура проверки значимости множественной регрессии, приведенная ниже, является обобщением дисперсионного анализа , использованного нами в случае простой линейной регрессии (F-тест) .
Если нулевая гипотеза справедлива, то тестовая F -статистика имеет F-распределение со степенями свободы k и n — k -1 , т.е. F k, n-k-1 :
Проверку значимости регрессии можно также осуществить через вычисление p -значения . В этом случае вычисляют вероятность того, что случайная величина F примет значение F 0 (это и есть p-значение ), затем сравнивают p-значение с заданным уровнем значимости α (альфа) . Если p-значение больше уровня значимости , то нулевую гипотезу нет оснований отклонить, и регрессия незначима.
В MS EXCEL значение F 0 можно вычислить на основании значений выборки по вышеуказанной формуле или с помощью функции ЛИНЕЙН() :
В MS EXCEL для проверки гипотезы через p -значение используйте формулу =F.РАСП.ПХ(F 0 ;k;n-k-1) файл примера лист Статистика , где показано эквивалентность обоих подходов проверки значимости регрессии).
В MS EXCEL критическое значение для заданного уровня значимости F 1-альфа, k, n-k-1 можно вычислить по формуле = F.ОБР(1- альфа;k;n-k-1) или = F.ОБР.ПХ(альфа;k; n-k-1) . Другими словами требуется вычислить верхний альфа- квантиль F -распределения с соответствующими степенями свободы .
Таким образом, при значении статистики F 0 > F 1-альфа, k, n-k-1 мы имеем основание для отклонения нулевой гипотезы.
В программах статистики результаты процедуры F -теста выводят с помощью стандартной таблицы дисперсионного анализа . В файле примера такая таблица приведена на листе Надстройка , которая построена на основе результатов, возвращаемых инструментом Регрессия надстройки Пакета анализа MS EXCEL .
Генерация данных для множественной регрессии с помощью заданного тренда
Иногда, бывает удобно сгенерировать значения наблюдений, имея заданный тренд.
Для решения этой задачи нам потребуется:
- задать значения регрессоров в нужном диапазоне (значения переменных Х);
- задать коэффициенты регрессии ( b );
- задать тренд (вычислить значения Y= b0 +b1 * Х 1 + b2 * Х 2 );
- задать величину разброса Y вокруг тренда (варианты: случайный разброс в заданных границах или заданная фигура, например, круг)
Все вычисления выполнены в файле примера, лист Тренд для случая 2-х регрессоров. Там же построены диаграммы рассеяния .
Коэффициент детерминации
Коэффициент детерминации R 2 показывает насколько полезна построенная нами линейная регрессионная модель .
По определению коэффициент детерминации R 2 равен:
R 2 = Изменчивость объясненная моделью ( SSR ) / Общая изменчивость ( SST ).
Этот показатель можно вычислить с помощью функции ЛИНЕЙН() :
При добавлении в модель новой объясняющей переменной Х, коэффициент детерминации будет всегда расти. Поэтому, рост коэффициента детерминации не может служить основанием для вывода о том, что новая модель (с дополнительным регрессором) лучше прежней.
Более подходящей статистикой, которая лишена указанного недостатка, является нормированный коэффициент детерминации (Adjusted R-squared):
где p – число независимых регрессоров (вычисления см. файл примера лист Статистика ).
Корреляционно-регрессионный анализ в Excel: инструкция выполнения
Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.
Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.
Регрессионный анализ в Excel
Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.
Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.
- линейной (у = а + bx);
- параболической (y = a + bx + cx 2 );
- экспоненциальной (y = a * exp(bx));
- степенной (y = a*x^b);
- гиперболической (y = b/x + a);
- логарифмической (y = b * 1n(x) + a);
- показательной (y = a * b^x).
Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.
Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.
Модель линейной регрессии имеет следующий вид:
Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.
В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).
В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».
Активируем мощный аналитический инструмент:
- Нажимаем кнопку «Офис» и переходим на вкладку «Параметры Excel». «Надстройки».
- Внизу, под выпадающим списком, в поле «Управление» будет надпись «Надстройки Excel» (если ее нет, нажмите на флажок справа и выберите). И кнопка «Перейти». Жмем.
- Открывается список доступных надстроек. Выбираем «Пакет анализа» и нажимаем ОК.
После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».
Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.
- Открываем меню инструмента «Анализ данных». Выбираем «Регрессия».
- Откроется меню для выбора входных значений и параметров вывода (где отобразить результат). В полях для исходных данных указываем диапазон описываемого параметра (У) и влияющего на него фактора (Х). Остальное можно и не заполнять.
- После нажатия ОК, программа отобразит расчеты на новом листе (можно выбрать интервал для отображения на текущем листе или назначить вывод в новую книгу).
В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.
R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».
Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.
Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.
Корреляционный анализ в Excel
Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.
Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.
Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.
Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.
Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.
Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.
Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.
- В категории «Статистические» выбираем функцию КОРРЕЛ.
- Аргумент «Массив 1» — первый диапазон значений – время работы станка: А2:А14.
- Аргумент «Массив 2» — второй диапазон значений – стоимость ремонта: В2:В14. Жмем ОК.
Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).
Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.
Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой:
Корреляционно-регрессионный анализ
На практике эти две методики часто применяются вместе.
- Строим корреляционное поле: «Вставка» — «Диаграмма» — «Точечная диаграмма» (дает сравнивать пары). Диапазон значений – все числовые данные таблицы.
- Щелкаем левой кнопкой мыши по любой точке на диаграмме. Потом правой. В открывшемся меню выбираем «Добавить линию тренда».
- Назначаем параметры для линии. Тип – «Линейная». Внизу – «Показать уравнение на диаграмме».
- Жмем «Закрыть».
Теперь стали видны и данные регрессионного анализа.
источники:
http://excel2.ru/articles/mnozhestvennaya-regressiya-v-ms-excel
http://exceltable.com/otchety/korrelyacionno-regressionnyy-analiz
Download Article
Easily create a multiple regression model in your Excel spreadsheet
Download Article
Trying to create a multiple regression model in Excel? It’s pretty easy to do using the built-in data analysis tools. Multiple regression is a great way to examine how multiple independent variables explain the variation in a dependent variable. This wikiHow guide will show you how to run a multiple regression in Microsoft Excel on Windows or Mac.
Things You Should Know
- You’ll need to enable the Analysis ToolPak, a built-in add-in for Excel, before running a regression analysis.
- Make sure your data is arranged in adjacent columns with the first row being the headers.
- Click «Data Analysis» in the «Data» tab and select «Regression» to set up the analysis.
Steps
-
1
Enable the data analysis add-in (if needed). Whether you’re studying statistics or doing regression professionally, Excel is a great tool for running the analysis. Excel has a built-in data analysis add-in called «Analysis ToolPak.» You can check to see if it’s active by clicking the Data tab. If you don’t see the Data Analysis option, you will need to enable it:[1]
- Windows:
- Open the File tab (or press Alt+F) and select Options (Windows).
- Click Add-Ins on the left side of the window.
- Select Excel Add-ins next to «manage» and click Go.
- In the new window, check the box next to «Analysis ToolPak», then click OK. This will enable the built-in data analysis add-in.
- Mac:
- Click Tools and then Excel Add-ins.
- Check the box next to Analysis ToolPak and click OK.
- Note that you may need to click Browse to find the Analysis ToolPak.
- If the Data Analysis tool doesn’t appear in the Data tab, close and reopen Excel.
- Windows:
-
2
Enter your data or open your data file. Data must be arranged in immediately adjacent columns and labels should be in the first row of each column. This is a typical format for databases.
Advertisement
-
3
Click theData tab and click Data Analysis. This option is in the «Analysis» section near the far right of Data tab options.
- Another powerful tool is Excel’s Solver function, an optimization model feature.
-
4
Click Regression and then OK. This will open a new window for inputting the parameters of the regression model.
-
5
Input the dependent (Y) data range. To do so:
- Click the «Input Y Range» field.
- Highlight the column containing your dependent variable values.
- Click the Labels checkbox if your data has a header row.
-
6
Input the independent (X) data range. To do so:
- Click the «Input X Range» field.
- Highlight the column or columns containing your dependent variable values. This can include multiple columns if you have more than one independent variable.
- Note: The independent variable data columns must be adjacent to one another for the input to work.
-
7
Adjust the regression options (if needed). You can change the following parts of the analysis in the Regression window:
- The default confidence level is 95%. If you want to change this value, click the box next to Confidence Level and modify the adjacent value.
- Under «Output options,» select where you want the regression results to output.
- Select the desired options in the «Residuals» category. Graphical residual outputs are created by the Residual Plots and Line Fit Plots options.
-
8
Click OK and the analysis will be created. You’ll see the following information:
- Regression Statistics includes the correlation values, standard error, and number of observations.
- ANOVA is a table displaying the degrees of freedom, sum squares, mean squares, F value, and F significance. You can use this table to assess the statistical significance of the model.
- The confidence interval table shows the regression coefficient, standard error, significance, and confidence interval for each regression parameter (the intercept and the independent variable slopes).
Advertisement
Add New Question
-
Question
what is output range
Kyle Smith is a wikiHow Technology Writer, learning and sharing information about the latest technology. He has presented his research at multiple engineering conferences and is the writer and editor of hundreds of online electronics repair guides. Kyle received a BS in Industrial Engineering from Cal Poly, San Luis Obispo.
wikiHow Technology Writer
Expert Answer
The output range in the regression window is where the results of the analysis will appear. This can be in an existing sheet, a new sheet, or an entirely new workbook file.
-
Question
getting #NUM error p- values. What does it mean?
Kyle Smith is a wikiHow Technology Writer, learning and sharing information about the latest technology. He has presented his research at multiple engineering conferences and is the writer and editor of hundreds of online electronics repair guides. Kyle received a BS in Industrial Engineering from Cal Poly, San Luis Obispo.
wikiHow Technology Writer
Expert Answer
This could indicate that you don’t have enough observations to compute the significance of the model or its parameters. Try adding additional observations if this is the case.
-
Question
What is the formula of multiple regression used by Excel in the background?
Kyle Smith is a wikiHow Technology Writer, learning and sharing information about the latest technology. He has presented his research at multiple engineering conferences and is the writer and editor of hundreds of online electronics repair guides. Kyle received a BS in Industrial Engineering from Cal Poly, San Luis Obispo.
wikiHow Technology Writer
Expert Answer
Excel is using the linear regression formula y = m1x1 + m2x2 + … + b. It calculates the values using the least squares method.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
Thanks for submitting a tip for review!
About This Article
Thanks to all authors for creating a page that has been read 807,255 times.
Is this article up to date?
Регрессионный анализ в Microsoft Excel
Смотрите также При значении коэффициента 75,5%. Это означает,х нескольких независимых переменных. D, F. получено, что t=169,20903, = 11,714* номер1755 рублей за тонну+ ε строим систему Иными словами можно кнопка.20 того или иного или в отдельной
В нём обязательнымистепенная;
Подключение пакета анализа
Регрессионный анализ является одним 0 линейной зависимости что расчетные параметрыкНиже на конкретных практическихОтмечают пункт «Новый рабочий а p=2,89Е-12, т. месяца + 1727,54.4
- нормальных уравнений (см. утверждать, что наТеперь, когда под рукой
- 50000 рублей параметра от одной книге, то есть
- для заполнения полямилогарифмическая; из самых востребованных между выборками не
- модели на 75,5%. примерах рассмотрим эти лист» и нажимают е. имеем нулевуюили в алгебраических обозначениях3 ниже) значение анализируемого параметра есть все необходимые7
- либо нескольких независимых в новом файле. являютсяэкспоненциальная; методов статистического исследования. существует.
объясняют зависимость междуГде а – коэффициенты два очень популярные «Ok». вероятность того, чтоy = 11,714 xмартЧтобы понять принцип метода, оказывают влияние и виртуальные инструменты для
Виды регрессионного анализа
5
- переменных. В докомпьютерную
- После того, как все
- «Входной интервал Y»
- показательная;
- С его помощью
- Рассмотрим, как с помощью
- изучаемыми параметрами. Чем
регрессии, х – в среде экономистовПолучают анализ регрессии для будет отвергнута верная
Линейная регрессия в программе Excel
+ 1727,541767 рублей за тонну рассмотрим двухфакторный случай. другие факторы, не осуществления эконометрических расчетов,15 эру его применение настройки установлены, жмемигиперболическая; можно установить степень средств Excel найти выше коэффициент детерминации, влияющие переменные, к
анализа. А также данной задачи. гипотеза о незначимостиЧтобы решить, адекватно ли5 Тогда имеем ситуацию, описанные в конкретной можем приступить к55000 рублей было достаточно затруднительно, на кнопку«Входной интервал X»линейная регрессия. влияния независимых величин коэффициент корреляции. тем качественнее модель. – число факторов. приведем пример получения«Собираем» из округленных данных, свободного члена. Для полученное уравнения линейной4 описываемую формулой модели. решению нашей задачи.8
- особенно если речь«OK». Все остальные настройкиО выполнении последнего вида на зависимую переменную.Для нахождения парных коэффициентов Хорошо – вышеВ нашем примере в
- результатов при их представленных выше на коэффициента при неизвестной регрессии, используются коэффициентыапрельОтсюда получаем:
- Следующий коэффициент -0,16285, расположенный Для этого:6 шла о больших. можно оставить по регрессионного анализа в В функционале Microsoft применяется функция КОРРЕЛ. 0,8. Плохо –
качестве У выступает объединении. листе табличного процессора t=5,79405, а p=0,001158. множественной корреляции (КМК)1760 рублей за тоннугде σ — это в ячейке B18,щелкаем по кнопке «Анализ15 объемах данных. Сегодня,Результаты регрессионного анализа выводятся умолчанию. Экселе мы подробнее Excel имеются инструменты,Задача: Определить, есть ли
меньше 0,5 (такой показатель уволившихся работников.Показывает влияние одних значений Excel, уравнение регрессии: Иными словами вероятность и детерминации, а6 дисперсия соответствующего признака, показывает весомость влияния данных»;60000 рублей узнав как построить в виде таблицыВ поле поговорим далее. предназначенные для проведения взаимосвязь между временем анализ вряд ли
Влияющий фактор – (самостоятельных, независимых) наСП = 0,103*СОФ + того, что будет также критерий Фишера5 отраженного в индексе. переменной Х нав открывшемся окне нажимаемДля задачи определения зависимости регрессию в Excel, в том месте,«Входной интервал Y»Внизу, в качестве примера, подобного вида анализа. работы токарного станка можно считать резонным). заработная плата (х). зависимую переменную. К 0,541*VO – 0,031*VK отвергнута верная гипотеза и критерий Стьюдента.майМНК применим к уравнению Y. Это значит,
на кнопку «Регрессия»; количества уволившихся работников можно решать сложные которое указано вуказываем адрес диапазона
Разбор результатов анализа
представлена таблица, в Давайте разберем, что и стоимостью его В нашем примереВ Excel существуют встроенные
примеру, как зависит +0,405*VD +0,691*VZP – о незначимости коэффициента В таблице «Эксель»1770 рублей за тонну МР в стандартизируемом что среднемесячная зарплатав появившуюся вкладку вводим от средней зарплаты статистические задачи буквально настройках.
ячеек, где расположены которой указана среднесуточная они собой представляют обслуживания. – «неплохо». функции, с помощью количество экономически активного 265,844. при неизвестной, равна с результатами регрессии7 масштабе. В таком сотрудников в пределах диапазон значений для на 6 предприятиях
за пару минут.Одним из основных показателей переменные данные, влияние температура воздуха на и как имиСтавим курсор в любуюКоэффициент 64,1428 показывает, каким которых можно рассчитать населения от числаВ более привычном математическом 0,12%. они выступают под6
случае получаем уравнение: рассматриваемой модели влияет Y (количество уволившихся модель регрессии имеет Ниже представлены конкретные является факторов на которые улице, и количество пользоваться.
ячейку и нажимаем
lumpics.ru
Регрессия в Excel: уравнение, примеры. Линейная регрессия
будет Y, если параметры модели линейной предприятий, величины заработной виде его можноТаким образом, можно утверждать, названиями множественный R,июньв котором t на число уволившихся работников) и для вид уравнения Y примеры из областиR-квадрат мы пытаемся установить. покупателей магазина заСкачать последнюю версию кнопку fx. все переменные в регрессии. Но быстрее платы и др.
Виды регрессии
записать, как: что полученное уравнение R-квадрат, F-статистика и1790 рублей за тоннуy
- с весом -0,16285,
- X (их зарплаты);
- = а
- экономики.
- . В нем указывается
- В нашем случае
- соответствующий рабочий день.
Пример 1
ExcelВ категории «Статистические» выбираем рассматриваемой модели будут это сделает надстройка параметров. Или: как
y = 0,103*x1 + линейной регрессии адекватно. t-статистика соответственно.8, t т. е. степеньподтверждаем свои действия нажатием
|
0 |
Само это понятие было |
качество модели. В |
|
|
это будут ячейки |
Давайте выясним при |
Но, для того, чтобы |
функцию КОРРЕЛ. |
|
равны 0. То |
«Пакет анализа». |
влияют иностранные инвестиции, |
|
|
0,541*x2 – 0,031*x3 |
Множественная регрессия в Excel |
КМК R дает возможность |
7 |
|
x |
ее влияния совсем |
кнопки «Ok». |
+ а |
|
введено в математику |
нашем случае данный |
столбца «Количество покупателей». |
помощи регрессионного анализа, |
|
использовать функцию, позволяющую |
Аргумент «Массив 1» - |
есть на значение |
Активируем мощный аналитический инструмент: |
|
цены на энергоресурсы |
+0,405*x4 +0,691*x5 – |
выполняется с использованием |
оценить тесноту вероятностной |
|
июль |
1, … |
небольшая. Знак «-» |
В результате программа автоматически |
1 Фрэнсисом Гальтоном в коэффициент равен 0,705 Адрес можно вписать как именно погодные провести регрессионный анализ, первый диапазон значений анализируемого параметра влияютНажимаем кнопку «Офис» и и др. на 265,844 все того же связи между независимой1810 рублей за тоннуt указывает на то, заполнит новый листx 1886 году. Регрессия или около 70,5%. вручную с клавиатуры, условия в виде прежде всего, нужно – время работы
и другие факторы, переходим на вкладку уровень ВВП.Данные для АО «MMM» инструмента «Анализ данных». и зависимой переменными.
Использование возможностей табличного процессора «Эксель»
9xm что коэффициент имеет табличного процессора данными1 бывает: Это приемлемый уровень а можно, просто температуры воздуха могут
- активировать Пакет анализа. станка: А2:А14.
- не описанные в «Параметры Excel». «Надстройки».
- Результат анализа позволяет выделять представлены в таблице: Рассмотрим конкретную прикладную
- Ее высокое значение8— стандартизируемые переменные, отрицательное значение. Это
анализа регрессии. Обратите+…+алинейной; качества. Зависимость менее выделить требуемый столбец. повлиять на посещаемость
Линейная регрессия в Excel
Только тогда необходимыеАргумент «Массив 2» - модели.Внизу, под выпадающим списком, приоритеты. И основываясьСОФ, USD задачу.
- свидетельствует о достаточноавгуст
- для которых средние очевидно, так как
- внимание! В Excelkпараболической; 0,5 является плохой. Последний вариант намного
- торгового заведения. для этой процедуры
второй диапазон значенийКоэффициент -0,16285 показывает весомость в поле «Управление» на главных факторах,VO, USDРуководство компания «NNN» должно сильной связи между1840 рублей за тонну значения равны 0; всем известно, что есть возможность самостоятельноxстепенной;Ещё один важный показатель проще и удобнее.Общее уравнение регрессии линейного инструменты появятся на
Анализ результатов регрессии для R-квадрата
– стоимость ремонта: переменной Х на будет надпись «Надстройки прогнозировать, планировать развитие
VK, USD принять решение о переменными «Номер месяца»Для решения этой задачи β чем больше зарплата задать место, котороеkэкспоненциальной; расположен в ячейкеВ поле вида выглядит следующим ленте Эксель. В2:В14. Жмем ОК. Y. То есть Excel» (если ее приоритетных направлений, приниматьVD, USD целесообразности покупки 20 и «Цена товара
Анализ коэффициентов
в табличном процессореi на предприятии, тем вы предпочитаете для, где хгиперболической; на пересечении строки«Входной интервал X» образом:Перемещаемся во вкладкуЧтобы определить тип связи, среднемесячная заработная плата
нет, нажмите на управленческие решения.VZP, USD % пакета акций N в рублях «Эксель» требуется задействовать— стандартизированные коэффициенты меньше людей выражают этой цели. Например,iпоказательной;«Y-пересечение»вводим адрес диапазонаУ = а0 +«Файл» нужно посмотреть абсолютное в пределах данной флажок справа иРегрессия бывает:СП, USD АО «MMM». Стоимость за 1 тонну». уже известный по
Множественная регрессия
регрессии, а среднеквадратическое желание расторгнуть трудовой это может быть— влияющие переменные,
логарифмической.и столбца ячеек, где находятся а1х1 +…+акхк. число коэффициента (для модели влияет на выберите). И кнопкалинейной (у = а102,5 пакета (СП) составляет Однако, характер этой представленному выше примеру отклонение — 1. договор или увольняется. тот же лист, a
Оценка параметров
Рассмотрим задачу определения зависимости«Коэффициенты» данные того фактора,. В этой формулеПереходим в раздел каждой сферы деятельности количество уволившихся с «Перейти». Жмем. + bx);535,5 70 млн американских связи остается неизвестным. инструмент «Анализ данных».Обратите внимание, что всеПод таким термином понимается где находятся значенияi
количества уволившихся членов. Тут указывается какое влияние которого наY
«Параметры»
есть своя шкала). весом -0,16285 (этоОткрывается список доступных надстроек.
параболической (y = a45,2 долларов. Специалистами «NNN»Квадрат коэффициента детерминации R2(RI)
Далее выбирают раздел β уравнение связи с Y и X,— коэффициенты регрессии, коллектива от средней значение будет у переменную мы хотимозначает переменную, влияние.Для корреляционного анализа нескольких небольшая степень влияния). Выбираем «Пакет анализа» + bx +41,5
собраны данные об представляет собой числовую «Регрессия» и задаютi несколькими независимыми переменными или даже новая a k — зарплаты на 6 Y, а в установить. Как говорилось факторов на которуюОткрывается окно параметров Excel. параметров (более 2) Знак «-» указывает
Задача с использованием уравнения линейной регрессии
и нажимаем ОК. cx2);21,55 аналогичных сделках. Было характеристику доли общего параметры. Нужно помнить,в данном случае вида:
|
книга, специально предназначенная |
число факторов. |
промышленных предприятиях. |
|
|
нашем случае, это |
выше, нам нужно |
мы пытаемся изучить. |
Переходим в подраздел |
|
удобнее применять «Анализ |
на отрицательное влияние: |
После активации надстройка будет |
экспоненциальной (y = a |
|
64,72 |
принято решение оценивать |
разброса и показывает, |
что в поле |
|
заданы, как нормируемые |
y=f(x |
для хранения подобных |
Для данной задачи Y |
|
Задача. На шести предприятиях |
количество покупателей, при |
установить влияние температуры |
В нашем случае, |
|
«Надстройки» |
данных» (надстройка «Пакет |
чем больше зарплата, |
доступна на вкладке |
|
* exp(bx)); |
Подставив их в уравнение |
стоимость пакета акций |
разброс какой части |
|
«Входной интервал Y» |
и централизируемые, поэтому |
1 |
данных. |
|
— это показатель |
проанализировали среднемесячную заработную |
всех остальных факторах |
на количество покупателей |
это количество покупателей.. анализа»). В списке тем меньше уволившихся. «Данные».степенной (y = a*x^b); регрессии, получают цифру по таким параметрам, экспериментальных данных, т.е. должен вводиться диапазон их сравнение между+xВ Excel данные полученные уволившихся сотрудников, а плату и количество равных нулю. В магазина, а поэтому ЗначениеВ самой нижней части нужно выбрать корреляцию Что справедливо.Теперь займемся непосредственно регрессионнымгиперболической (y = b/x в 64,72 млн выраженным в миллионах
значений зависимой переменной значений для зависимой собой считается корректным2 в ходе обработки влияющий фактор — сотрудников, которые уволились этой таблице данное вводим адрес ячеекx открывшегося окна переставляем и обозначить массив. анализом. + a);
американских долларов. Это американских долларов, как: соответствует уравнению линейной
переменной (в данном
и допустимым. Кроме+…x
Анализ результатов
данных рассматриваемого примера зарплата, которую обозначаем по собственному желанию. значение равно 58,04. в столбце «Температура».– это различные переключатель в блоке Все.Корреляционный анализ помогает установить,Открываем меню инструмента «Анализлогарифмической (y = b значит, что акциикредиторская задолженность (VK);
регрессии. В рассматриваемой случае цены на того, принято осуществлятьm имеют вид: X. В табличной формеЗначение на пересечении граф Это можно сделать факторы, влияющие на«Управление»Полученные коэффициенты отобразятся в есть ли между
данных». Выбираем «Регрессия». * 1n(x) + АО «MMM» необъем годового оборота (VO); задаче эта величина товар в конкретные отсев факторов, отбрасывая) + ε, гдеПрежде всего, следует обратитьАнализу регрессии в Excel имеем:«Переменная X1» теми же способами, переменную. Параметрыв позицию
корреляционной матрице. Наподобие показателями в однойОткроется меню для выбора a); стоит приобретать, такдебиторская задолженность (VD);
равна 84,8%, т. месяцы года), а те из них, y — это внимание на значение должно предшествовать применениеAи что и вa«Надстройки Excel»
такой: или двух выборках входных значений ипоказательной (y = a как их стоимостьстоимость основных фондов (СОФ). е. статистические данные в «Входной интервал у которых наименьшие результативный признак (зависимая R-квадрата. Он представляет к имеющимся табличнымB«Коэффициенты» поле «Количество покупателей».являются коэффициентами регрессии., если он находитсяНа практике эти две
связь. Например, между параметров вывода (где * b^x).
Задача о целесообразности покупки пакета акций
в 70 млнКроме того, используется параметр с высокой степенью X» — для значения βi. переменная), а x
собой коэффициент детерминации. данным встроенных функций.Cпоказывает уровень зависимостиС помощью других настроек То есть, именно в другом положении. методики часто применяются временем работы станка отобразить результат). ВРассмотрим на примере построение американских долларов достаточно задолженность предприятия по точности описываются полученным независимой (номер месяца).
- Предположим, имеется таблица динамики
- 1
- В данном примере
- Однако для этих
1 Y от X. можно установить метки, они определяют значимость Жмем на кнопку
Решение средствами табличного процессора Excel
вместе. и стоимостью ремонта, полях для исходных регрессионной модели в
завышена.
- зарплате (V3 П)
- УР.
- Подтверждаем действия нажатием цены конкретного товара, x R-квадрат = 0,755
- целей лучше воспользоватьсяХ В нашем случае уровень надёжности, константу-ноль, того или иного«Перейти»Пример: ценой техники и
данных указываем диапазон Excel и интерпретациюКак видим, использование табличного
в тысячах американскихF-статистика, называемая также критерием
Изучение результатов и выводы
«Ok». На новом N в течение2 (75,5%), т. е.
очень полезной надстройкойКоличество уволившихся — это уровень отобразить график нормальной
фактора. Индекс.Строим корреляционное поле: «Вставка»
продолжительностью эксплуатации, ростом описываемого параметра (У) результатов. Возьмем линейный процессора «Эксель» и
долларов. Фишера, используется для
|
листе (если так |
последних 8 месяцев. |
, …x |
расчетные параметры модели |
«Пакет анализа». Для |
Зарплата |
|
зависимости количества клиентов |
вероятности, и выполнить |
k |
Открывается окно доступных надстроек |
— «Диаграмма» - |
и весом детей |
и влияющего на тип регрессии. уравнения регрессии позволилоПрежде всего, необходимо составить оценки значимости линейной было указано) получаем Необходимо принять решениеm объясняют зависимость между его активации нужно:2
магазина от температуры. другие действия. Но,обозначает общее количество Эксель. Ставим галочку «Точечная диаграмма» (дает и т.д.
него фактора (Х).Задача. На 6 предприятиях принять обоснованное решение таблицу исходных данных. зависимости, опровергая или данные для регрессии. о целесообразности приобретения
— это признаки-факторы
fb.ru
Корреляционно-регрессионный анализ в Excel: инструкция выполнения
рассматриваемыми параметрами нас вкладки «Файл» перейтиy Коэффициент 1,31 считается в большинстве случаев, этих самых факторов. около пункта
сравнивать пары). ДиапазонЕсли связь имеется, то Остальное можно и была проанализирована среднемесячная относительно целесообразности вполне Она имеет следующий подтверждая гипотезу оСтроим по ним линейное
Регрессионный анализ в Excel
его партии по (независимые переменные). 75,5 %. Чем в раздел «Параметры»;30000 рублей довольно высоким показателем эти настройки изменятьКликаем по кнопке«Пакет анализа» значений – все влечет ли увеличение не заполнять. заработная плата и
конкретной сделки. вид: ее существовании. уравнение вида y=ax+b, цене 1850 руб./т.Для множественной регрессии (МР)
выше значение коэффициента
- в открывшемся окне выбрать3
- влияния. не нужно. Единственное«Анализ данных»
- . Жмем на кнопку числовые данные таблицы.
- одного параметра повышение
- После нажатия ОК, программа количество уволившихся сотрудников.
- Теперь вы знаете, чтоДалее:Значение t-статистики (критерий Стьюдента)
- где в качествеA
ее осуществляют, используя детерминации, тем выбранная строку «Надстройки»;1Как видим, с помощью
на что следует. Она размещена во «OK».Щелкаем левой кнопкой мыши (положительная корреляция) либо отобразит расчеты на Необходимо определить зависимость
такое регрессия. Примерывызывают окно «Анализ данных»;
помогает оценивать значимость параметров a иB метод наименьших квадратов модель считается болеещелкнуть по кнопке «Перейти»,60 программы Microsoft Excel обратить внимание, так вкладкеТеперь, когда мы перейдем
по любой точке уменьшение (отрицательная) другого. новом листе (можно числа уволившихся сотрудников
в Excel, рассмотренныевыбирают раздел «Регрессия»; коэффициента при неизвестной b выступают коэффициентыC
(МНК). Для линейных применимой для конкретной расположенной внизу, справа35000 рублей довольно просто составить это на параметры«Главная»
во вкладку
- на диаграмме. Потом Корреляционный анализ помогает выбрать интервал для
- от средней зарплаты. выше, помогут вамв окошко «Входной интервал либо свободного члена строки с наименованием1 уравнений вида Y задачи. Считается, что
- от строки «Управление»;4 таблицу регрессионного анализа.
вывода. По умолчаниюв блоке инструментов«Данные»
правой. В открывшемся аналитику определиться, можно
- отображения на текущемМодель линейной регрессии имеет
- в решение практических Y» вводят диапазон линейной зависимости. Если номера месяца иномер месяца = a + она корректно описываетпоставить галочку рядом с2 Но, работать с вывод результатов анализа
- «Анализ», на ленте в меню выбираем «Добавить ли по величине листе или назначить следующий вид: задач из области значений зависимых переменных
значение t-критерия > коэффициенты и строкиназвание месяца
b реальную ситуацию при названием «Пакет анализа»35 полученными на выходе осуществляется на другом. блоке инструментов линию тренда». одного показателя предсказать вывод в новуюУ = а эконометрики. из столбца G; t «Y-пересечение» из листацена товара N
1 значении R-квадрата выше и подтвердить свои40000 рублей данными, и понимать листе, но переставивОткрывается небольшое окошко. В«Анализ»Назначаем параметры для линии. возможное значение другого.
книгу).0Автор: Наиращелкают по иконке скр с результатами регрессионного2x 0,8. Если R-квадрата действия, нажав «Ок».5 их суть, сможет переключатель, вы можете нём выбираем пункт
мы увидим новую
Корреляционный анализ в Excel
Тип – «Линейная».Коэффициент корреляции обозначается r.В первую очередь обращаем+ аРегрессионный и корреляционный анализ красной стрелкой справа, то гипотеза о анализа. Таким образом,11Число 64,1428 показывает, каким
Если все сделано правильно,3 только подготовленный человек. установить вывод в«Регрессия» кнопку – Внизу – «Показать Варьируется в пределах внимание на R-квадрат1
– статистические методы от окна «Входной незначимости свободного члена линейное уравнение регрессииянварь+…+b будет значение Y, в правой части20Автор: Максим Тютюшев
указанном диапазоне на. Жмем на кнопку«Анализ данных»
уравнение на диаграмме». от +1 до
и коэффициенты.х исследования. Это наиболее интервал X» и линейного уравнения отвергается.
(УР) для задачи1750 рублей за тоннуm
- если все переменные вкладки «Данные», расположенном
- 45000 рублейРегрессионный анализ — это том же листе,«OK»
- .Жмем «Закрыть». -1. Классификация корреляционныхR-квадрат – коэффициент детерминации.
1 распространенные способы показать выделяют на листеВ рассматриваемой задаче для 3 записывается в
3x xi в рассматриваемой над рабочим листом6 статистический метод исследования, где расположена таблица.
Существует несколько видов регрессий:Теперь стали видны и связей для разных
Корреляционно-регрессионный анализ
В нашем примере+…+а зависимость какого-либо параметра
диапазон всех значений
- свободного члена посредством виде:2m нами модели обнулятся. «Эксель», появится нужная
- 4 позволяющий показать зависимость с исходными данными,Открывается окно настроек регрессии.параболическая; данные регрессионного анализа.
- сфер будет отличаться. – 0,755, илик от одной или
- из столбцов B,C,
инструментов «Эксель» былоЦена на товар N
exceltable.com
февраль