Мнк в excel это

• 

Содержание

• Использование метода в Экселе
  • Включение надстройки «Поиск решения»
  • Условия задачи
  • Решение
• Вопросы и ответы

Метод наименьших квадратов представляет собой математическую процедуру построения линейного уравнения, которое бы наиболее точно соответствовало набору двух рядов чисел. Целью применения данного способа является минимизация общей квадратичной ошибки. В программе Excel имеются инструменты, с помощью которых можно применять данный метод при вычислениях. Давайте разберемся, как это делается.

Использование метода в Экселе

Метод наименьших квадратов (МНК) является математическим описанием зависимости одной переменной от второй. Его можно использовать при прогнозировании.

Включение надстройки «Поиск решения»

Для того, чтобы использовать МНК в Экселе, нужно включить надстройку «Поиск решения», которая по умолчанию отключена.

1. Переходим во вкладку «Файл».



2. Кликаем по наименованию раздела «Параметры».



3. В открывшемся окне останавливаем выбор на подразделе «Надстройки».



4. В блоке «Управление», который расположен в нижней части окна, устанавливаем переключатель в позицию «Надстройки Excel» (если в нём выставлено другое значение) и жмем на кнопку «Перейти…».



5. Открывается небольшое окошко. Ставим в нём галочку около параметра «Поиск решения». Жмем на кнопку «OK».

Теперь функция Поиск решения в Excel активирована, а её инструменты появились на ленте.

Урок: Поиск решения в Экселе

Условия задачи

Опишем применение МНК на конкретном примере. Имеем два ряда чисел x и y, последовательность которых представлена на изображении ниже.

Наиболее точно данную зависимость может описать функция:

y=a+nx

При этом, известно что при x=0 y тоже равно 0. Поэтому данное уравнение можно описать зависимостью y=nx.

Нам предстоит найти минимальную сумму квадратов разности.

Решение

Перейдем к описанию непосредственного применения метода.

1. Слева от первого значения x ставим цифру 1. Это будет приближенная величина первого значения коэффициента n.



2. Справа от столбца y добавляем ещё одну колонку – nx. В первую ячейку данного столбца записываем формулу умножения коэффициента n на ячейку первой переменной x. При этом, ссылку на поле с коэффициентом делаем абсолютной, так как это значение меняться не будет. Кликаем по кнопке Enter.



3. Используя маркер заполнения, копируем данную формулу на весь диапазон таблицы в столбце ниже.



4. В отдельной ячейке высчитываем сумму разностей квадратов значений y и nx. Для этого кликаем по кнопке «Вставить функцию».



5. В открывшемся «Мастере функций» ищем запись «СУММКВРАЗН». Выбираем её и жмем на кнопку «OK».



6. Открывается окно аргументов. В поле «Массив_x» вводим диапазон ячеек столбца y. В поле «Массив_y» вводим диапазон ячеек столбца nx. Для того, чтобы ввести значения, просто устанавливаем курсор в поле и выделяем соответствующий диапазон на листе. После ввода жмем на кнопку «OK».



7. Переходим во вкладку «Данные». На ленте в блоке инструментов «Анализ» жмем на кнопку «Поиск решения».



8. Открывается окно параметров данного инструмента. В поле «Оптимизировать целевую функцию» указываем адрес ячейки с формулой «СУММКВРАЗН». В параметре «До» обязательно выставляем переключатель в позицию «Минимум». В поле «Изменяя ячейки» указываем адрес со значением коэффициента n. Жмем на кнопку «Найти решение».



9. Решение будет отображаться в ячейке коэффициента n. Именно это значение будет являться наименьшим квадратом функции. Если результат удовлетворяет пользователя, то следует нажать на кнопку «OK» в дополнительном окне.

Как видим, применение метода наименьших квадратов довольно сложная математическая процедура. Мы показали её в действии на простейшем примере, а существуют гораздо более сложные случаи. Впрочем, инструментарий Microsoft Excel призван максимально упростить производимые вычисления.

Еще статьи по данной теме:

Помогла ли Вам статья?

Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью линейной функции

y

=

a

x

+

b

.

Метод наименьших квадратов

(англ.

Ordinary

Least

Squares

,

OLS

) является одним из базовых методов регрессионного анализа в части оценки неизвестных параметров

регрессионных моделей

по выборочным данным.

Рассмотрим приближение функциями, зависящими только от одной переменной:

• Линейная: y=ax+b (эта статья)
• Логарифмическая

  : y=a*Ln(x)+b

• Степенная

  : y=a*x
  
  ^m
  

• Экспоненциальная

  : y=a*EXP(b*x)+с

• Квадратичная

  : y=ax
  
  ²
  
  +bx+c

Примечание

: Случаи приближения полиномом с 3-й до 6-й степени рассмотрены в этой статье. Приближение тригонометрическим полиномом рассмотрено здесь.

Линейная зависимость

Нас интересует связь 2-х переменных

х

и

y

. Имеется предположение, что

y

зависит от

х

по линейному закону

y

=

ax

+

b

. Чтобы определить параметры этой взаимосвязи исследователь провел наблюдения: для каждого значения х

_i

произведено измерение y

_i

(см.

файл примера

). Соответственно, пусть имеется 20 пар значений (х

_i

; y

_i

).

Для наглядности рекомендуется построить диаграмму рассеяния.

Примечание:

Если шаг изменения по

х

постоянен, то для построения

диаграммы рассеяния

можно использовать

тип График

, если нет, то необходимо использовать тип диаграммы

Точечная

.

Из диаграммы очевидно, что связь между переменными близка к линейной. Чтобы понять какая из множества прямых линий наиболее «правильно» описывает зависимость между переменными, необходимо определить критерий, по которому будут сравниваться линии.

В качестве такого критерия используем выражение:

где

ŷ

_i

=

a

*

x

_i

+

b

;

n – число пар значений (в нашем случае n=20)

Вышеуказанное выражение представляет собой сумму квадратов расстояний между наблюденными значениями y

_i

и ŷ

_i

и часто обозначается как SSE (

Sum

of

Squared

Errors

(

Residuals

), сумма квадратов ошибок (остатков)

)

.

Метод наименьших квадратов

заключается в подборе такой линии

ŷ

=

ax

+

b

, для которой вышеуказанное выражение принимает минимальное значение.

Примечание:

Любая линия в двухмерном пространстве однозначно определяется значениями 2-х параметров:

a

(наклон) и

b

(сдвиг).

Считается, что чем меньше сумма квадратов расстояний, тем соответствующая линия лучше аппроксимирует имеющиеся данные и может быть в дальнейшем использована для прогнозирования значений y от переменной х. Понятно, что даже если в действительности никакой взаимосвязи между переменными нет или связь нелинейная, то МНК все равно подберет «наилучшую» линию. Таким образом, МНК ничего не говорит о наличии реальной взаимосвязи переменных, метод просто позволяет подобрать такие параметры функции

a

и

b

, для которых вышеуказанное выражение минимально.

Проделав не очень сложные математические операции (подробнее см.

статью про квадратичную зависимость

), можно вычислить параметры

a

и

b

:

Как видно из формулы, параметр

a

представляет собой отношение ковариации и

дисперсии

, поэтому в MS EXCEL для вычисления параметра

а

можно использовать следующие формулы (см.

файл примера лист Линейная

):

=

КОВАР(B26:B45;C26:C45)/ ДИСП.Г(B26:B45)

или

=

КОВАРИАЦИЯ.В(B26:B45;C26:C45)/ДИСП.В(B26:B45)

Также для вычисления параметра

а

можно использовать формулу =

НАКЛОН(C26:C45;B26:B45)

. Для параметра

b

используйте формулу =

ОТРЕЗОК(C26:C45;B26:B45)

.

И наконец, функция

ЛИНЕЙН()

позволяет вычислить сразу оба параметра. Для ввода формулы

ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45)

необходимо выделить в строке 2 ячейки и нажать

CTRL

+

SHIFT

+

ENTER

(см. статью про

формулы массива, возвращающими несколько значений

). В левой ячейке будет возвращено значение

а

, в правой –

b

.

Примечание

: Чтобы не связываться с вводом

формул массива

потребуется дополнительно использовать функцию

ИНДЕКС()

. Формула =

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);1)

или просто =

ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45)

вернет параметр, отвечающий за наклон линии, т.е.

а

. Формула =

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);2)

вернет параметр, отвечающий за пересечение линии с осью Y, т.е.

b

.

Вычислив параметры, на

диаграмме рассеяния

можно построить соответствующую линию.

Инструмент диаграммы Линия тренда

Еще одним способом построения прямой линии по методу наименьших квадратов является инструмент диаграммы

Линия тренда

. Для этого выделите диаграмму, в меню выберите

вкладку Макет

, в

группе Анализ

нажмите

Линия тренда

, затем

Линейное приближение

.

Поставив в диалоговом окне галочку в поле «показывать уравнение на диаграмме» можно убедиться, что найденные выше параметры совпадают со значениями на диаграмме.

Примечание

: Для того, чтобы параметры совпадали необходимо, чтобы тип у диаграммы был

Точечная, а не График

. Дело в том, что при построении диаграммы

График

значения по оси Х не могут быть заданы пользователем (пользователь может указать только подписи, которые не влияют на расположение точек). Вместо значений Х используется последовательность 1; 2; 3; … (для нумерации категорий). Поэтому, если строить

линию тренда

на диаграмме типа

График

, то вместо фактических значений Х будут использованы значения этой последовательности, что приведет к неверному результату (если, конечно, фактические значения Х не совпадают с последовательностью 1; 2; 3; …).

СОВЕТ

: Подробнее о построении диаграмм см. статьи

Основы построения диаграмм

и

Основные типы диаграмм

.

Программа Excel – мощный табличный редактор, позволяющий выполнять огромное количество различных операций и задач. В данной статье мы разберем, как можно применить метод наименьших квадратов (МНК), который используется для решения различных задач с минимизацией суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных.

Подготовительный этап: активируем надстройку “Поиск Решения”

Прежде, чем приступить к решению основной задачи, потребуется активировать надстройку “Поиск решения” в программе.

1. Идем в меню “Файл”.
2. В перечне слева выбираем пункт “Параметры”.
3. В правой части подраздела “Надстройки” выбираем для параметра “Управление” вариант “Надстройки Excel” и жмем “Перейти”.
4. Появится окно для выбора нужных надстроек. Устанавливаем галочку напротив пункта “Поиск решения” и щелкаем OK.

Этап 1: исходные данные

Давайте разберем применение метода наименьших квадратов, решив конкретный пример. Допустим, у нас есть два ряда числовых значений – X и Y.

Данная зависимость может быть описана уравнением ниже:

Y=A+NX

Также, мы знаем, что если X=0, то и Y=0. А значит, данное уравнение можно записать так:

Y=NX

Приступим к выполнению нашей задачи, которая заключается в нахождении суммы квадратов разности.

Этап 2: решаем задачу с применением МНК

1. Столбцу, находящемся слева от X, задаем имя N пишем число “1” (примерное значение первого коэф. N) напротив первого значения ряда X.
2. Столбцу с правой стороны от Y задаем название NX. Затем в самой верхней ячейке (напротив первых значений рядов X и Y) пишем формулу произведения коэф. N на соответствующее ему значение из столбца X. При этом адрес ячейки с коэффициентом нужно сделать абсолютным, чтобы он не менялся при копировании формулы. По готовности жмем Enter.
3. Наводим указатель мыши на ячейку с полученным результатом. Как только появится черный плюсик (маркер заполнения), зажав левую кнопку мыши тянем его вниз до последней строки таблицы.
4. Получаем результаты расчетов в каждой ячейке столбца NX.
5. Теперь нужно посчитать сумму разностей квадратов значений Y и NX. Встаем в самую верхнюю ячейку столбца справа от NX (не считая шапки таблицы) и щелкаем по значку “Вставить функцию” (fx).
6. В окне вставки функции выбираем категорию “Математические”, находим оператор “СУММКВРАЗН” и щелкаем OK.
7. Теперь нужно заполнить аргументы функции:
   • в поле “Массив_x”  указываем координаты диапазона ячеек столбца Y (без шапки). Адреса ячеек можно указать как вручную, напечатав их с клавиатуры, так и путем выделения с помощью зажатой левой кнопки мыши в самой таблице.
   • в поле “Массив_y” указываем диапазон ячеек столбца NX.
   • жмем Enter, когда все готово.
8. Переключаемся во вкладку “Данные”. В группе “Анализ” щелкаем по функции “Поиск решения”.
9. Нам предстоит заполнить параметры поиска решения:
   • в поле “Оптимизировать целевую функцию” следует указать ссылку на ячейку с функцией “СУММКВРАЗН”. Сделать это можно вручную или выбрав элемент в таблице.
   • для опции “До” выбираем вариант – “Минимум”.
   • в поле “Изменяя ячейки переменных” нужно указать координаты ячейки, в которой находится соответствующее значение коэф. N.
   • по готовности нажимаем “Найти решение”.
10. После выполнения функции появится окно с результатами поиска решения и произойдет замена значения в столбце N. Найденная величина является наименьшим квадратом функции. Нажимаем OK, если полученный результат удовлетворителен.

Заключение

Итак, мы только что разобрали на практическом примере, каким образом можно применить метод наименьших квадратов в Эксель. На практике могут встречаться более сложные задачи, однако, в целом логика действий схожа с той, что мы описали.

Метод наименьших квадратов — это математическая процедура составления линейного уравнения, максимально соответствующего набору упорядоченных пар, путем нахождения значений для a и b, коэффициентов в уравнении прямой. Цель метода наименьших квадратов состоит в минимизации общей квадратичной ошибки между значениями y и ŷ. Если для каждой точки мы определяем ошибку ŷ, метод наименьших квадратов минимизирует:

где n = число упорядоченных пар вокруг линии. максимально соответствующей данным.

Это понятие проиллюстрировано на рисунке

Судя по рисунку, линия, максимально соответствующая данным, линия регрессии, минимизирует общую квадратичную ошибку четырех точек на графике. Я покажу вам, как определять это уравнение регрессии с помощью метода наименьших квадратов на следующем примере.

Представьте себе молодую пару, которые, с недавних пор, живут вместе и совместно делят столик для косметических принадлежностей в ванной. Молодой человек начал замечать, что половина его столика неумолимо сокращается, сдавая свои позиции муссам для волос и соевым комплексам. За последние несколько месяцев парень внимательно следил за тем, с какой скоростью увеличивается число предметов на ее части стола. В таблице ниже представлено число предметов девушки на столике в ванной, накопившихся за последние несколько месяцев.

Поскольку своей целью мы определили задачу узнать, увеличивается ли со временем число предметов, «Месяц» будет независимой переменной, а «Число предметов» — зависимой.

С помощью метода наименьших квадратов определяем уравнение, максимально соответствующее данным, путем вычисления значений a, отрезка на оси y, и b, наклона линии:

a = y_ср — bx_ср

где x_ср — среднее значение x, независимой переменной, y_ср — среднее значение y, независимой переменной.

В таблице ниже суммированы необходимые для этих уравнений вычисления.

Кривая эффекта для нашего примера с ванной будет определяться следующим уравнением:

ŷ=5.13+0.976x

Поскольку наше уравнение имеет положительный наклон — 0.976, парень имеет доказательство того, что число предметов на столике со временем увеличивается со средней скоростью 1 предмет в месяц. На графике представлена кривая эффекта с упорядоченными парами.

Ожидание в отношении числа предметов в течение следующего полугода (месяца 16) будет вычисляться так:

ŷ = 5.13 + 0.976x = 5.13 + 0.976(16) ~ 20.7 = 21 предмет

Так что, пора нашему герою предпринимать какие-нибудь действия.

Как вы уже, наверное, догадались в Excel имеется функция для расчета значения по методу наименьших квадратов. Это функция называется ТЕНДЕНЦИЯ. Синтаксис у нее следующий:

ТЕНДЕНЦИЯ (известные значения Y; известные значения X; новые значения X; конст)

где:

известные значения Y – массив зависимых переменных, в нашем случае, количество предметов на столике

известные значения X – массив независимых переменных, в нашем случае это месяц

новые значения X – новые значения X (месяца) для которого функция ТЕНДЕНЦИЯ возвращает ожидаемое значение зависимых переменных (количество предметов)

конст — необязательный. Логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0.

Например, на рисунке показана функция ТЕНДЕНЦИЯ, используемая для определения ожидаемого количества предметов на столике в ванной для 16-го месяца.

Скачать файл с примером расчета значений по методу наименьших квадратов