Метод трапеций для интеграла в excel

history 20 ноября 2022 г.

Группы статей

Вычислим в MS EXCEL определенный интеграл методом трапеций (англ. Trapezoidal Rule). Оценим ошибку интегрирования, построим график функции.

В интернете есть много сайтов по автоматическому вычислению интегралов аналитическими и численными методами. Но, как правило, про использованный метод численного интегрирования ничего не говорится, а корректность вычислений проверить невозможно. В данном примере все вычисления прозрачны и можно задать необходимое количество интервалов разбиения. Правда, данный метод имеет относительно невысокую точность по сравнению с другими методами (если сравнивать его с методом Симпсона и методом интерполяционного полинома Лагранжа).

Немного теории

Так как функция, стоящая под знаком интеграла в общем случае может быть любая, то значение интеграла не всегда можно вычислить аналитически. Однако, можно воспользоваться тем фактом, что согласно теории, значение интеграла численно равно площади фигуры образованной графиком функции и осью Х (фигура выделена цветом).

Таким образом, задача нахождения интеграла сводится к нахождению площади этой фигуры. Площадь фигуры в общем случае можно найти численными методами, разбивая ее на простые однотипные фигуры, например трапеции. Т.к. площадь каждой трапеции найти легко, то простым суммированием площадей можно найти и интеграл. Платой за универсальность является ошибка интегрирования, которую впрочем можно оценить (будет показано далее).

Фактически метод трапеций основан на линейной интерполяции, т.е. график функции y = f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (x_i, y_i) прямыми линиями.

Площадь каждой трапеции можно найти следующим образом (см. рисунок ниже).

Фактически задача по нахождению интеграла сводится в основном к построению таблицы значений функции y=f(x) для заданных Х и нахождению их суммы. Интеграл можно найти с помощью вот такой простой формулы:

Построение модели

Для определенности вычислим интеграл для функции-многочлена f(𝑥)=𝑥³−5𝑥²+6𝑥+1. График этой функции в диапазоне от 0 до 4 выглядит следующим образом (см. файл примера).

Примечание: про тонкости построения графика функции можно прочитать в этой статье https://excel2.ru/articles/grafik-vs-tochechnaya-diagramma-v-ms-excel.

В файле примера построим таблицу значений функции для 41 точки (от 0 до 40), что составляет 40 интервалов.

Напомним, что Интеграл методом трапеций можно найти с помощью вот такой простой формулы:

В MS EXCEL формула также будет очень простой =E13/2*СУММ(D20:D59).

Примечание: При вводе функции в столбец С нужно быть очень внимательным — ошибиться очень легко, т.к. формула будет выглядеть как месиво символов =B19^3-5*B19^2+6*B19+1.

Вычисленное приближенное значение интеграла для данной функции в интервале [0;4] равно 9,340, а точное 9,333, т.е. ошибка составляет менее 0,1%. Ниже показано как ее оценить.

В файле примера на листе «настраиваемый интервал» сделана форма для работы с разными количествами интервалов разбиения. При изменении количества интервалов график перестраивается автоматически, формулы для вычисления интеграла не нужно переписывать (как, впрочем, и расширять/ убавлять таблицу значений).

Ошибка вычисления

На рисунке ниже показано откуда появляется ошибка интегрирования. Для первых 2-х трапеций (образованы красными линиями) площадь меньше чем у истинной функции (синяя линия). Для следующих 2-х — площадь больше. Из этого следует, что метод трапеций хорошо работает для осциллирующих функций, когда ошибки компенсируют друг друга.

Простой многочлен был выбран в качестве демонстрационной функции, чтобы можно было вычислить интеграл точно и потом найти истинную ошибку, чтобы иметь возможность сравнить ее с оценкой.

К сожалению, для нахождения оценки ошибки потребуется вычислить первую производную. Сделать это чаще всего не сложно, но автоматизировать это в EXCEL не получится. Поэтому при изменении подинтегральной функции приходится вносить изменения в несколько формул на листе, а точнее — в 2 ячейки С19 и G31 (в файле примера они выделены красным). После ввода формул их нужно скопировать вниз.

В наем случае полученная оценка ошибки совпала с истинной ошибкой, что говорит о том что мы не ошиблись при вычислении производной и вводе формул на лист.

Совет: всегда оценивайте ошибку интегрирования.

Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Численное интегрирование», применяя возможности MS Excel по вычисление определенных интегралов методом трапеции. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Задачи урока:

• Образовательные – совершенствование умений студентов при вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
• Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
• Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия.

Тип урока: комбинированный урок.

Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.

Оборудование урока:

• Компьютеры с OS MS Windows;
• Программа Microsoft Excel;
• Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
• Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Структура урока:

1.Актуализация знаний:
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;
1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач интегрирования и методики решения;
1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма вычисления определенных интегралов методом трапеции;
1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.
2.Применение знаний, формирование умений и навыков:
2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;
2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.
2.3.Подведение итога урока.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики  Microsoft PowerPoint.

ХОД УРОКА

1. Актуализация знаний

1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.

На прошлых уроках мы с Вами изучили приближенное вычисление определенных интегралов, выделили методы их решения и решали данные интегралы ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при вычислении определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.

— В чем заключается вычисление интеграла?

— Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница . Ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае подынтегральной функции. Поэтому применяют численные методы, позволяющие найти приближенное значение исходного интеграла с заданной точностью.
— Общий подход к ее решению состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию  какой-либо другой функцией , для которой интеграл вычисляется аналитически.

— Тогда для решения задачи строим  с оценкой погрешности   , и  приближенно  с очевидной оценкой погрешности .

— Введем на отрезке  сетку , , где , и таблицу значений , .

— Рассмотрим  простой вариант построения функции , приводящий к формуле трапеций.

— При этом функция   строится как кусочно-линейная интерполяция значений  ,   на равномерной сетке с шагом .

— Тогда

=.

— Формулы такого рода () называют механическими квадратурами,  – коэффициентами (весами) квадратуры,  – ее узлами.

Точность формулы трапеций зависит от гладкости функции . Если она на  имеет первую производную, ограниченную числом , то , и погрешность формулы трапеций не превосходит . Если  на    имеет вторую производную, ограниченную числом , то погрешность формулы итераций не превосходит , поскольку .

Теоретические оценки погрешностей не всегда применяются. Если требуется вычислить интеграл с погрешностью , то мало кто сначала оценит третью производную функции  и вычислит шаг сетки . Эта оценка и значение константы  завышены. Кроме того, само вычисление  может быть трудным, особенно если  задана некоторым сложным образом.

Поэтому, вычисляя интеграл с небольшим числом узлов , получают его значение ; вычисляя интеграл с удвоенным , получают . Если модуль  (где ε – предельное допустимое значение погрешности расчета), то задачу считают решенной. В противном случае вычисляют  и т.д. Для гладких функций  часто интеграл вычисляется очень точно при малом числе узлов.

— Объясните алгоритм вычисления интеграла различными методами?

2. Применение знаний, формирование умений и навыков

Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»

Состав задания:

1. Ознакомиться с теоретической частью задания;
2. Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
3. Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
   — постановку задачи;
   — алгоритм расчета;
   — таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
   — результат расчета и его анализ.

Индивидуальное расчетное задание:

1. Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x⁴)^1/2 на отрезке [0; 4]
   по формуле трапеций, разбивая отрезок [0; 4] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.
2. Представьте графически поставленную задачу.

Постановка задачи:

Дано: f(x)= 1/(1+x⁴)^1/2 на отрезке [0; 4]

Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.

Анализ заданной функции и результаты вычислений в Ms Excel

Ответ: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций равна 1,60кв.мм, значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,008.

Задания для индивидуальной работы студентов по вариантам:

Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x) на отрезке [a; b] (см. таблицу ) по формуле трапеций, разбивая отрезок [a; b] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.

Представьте графически поставленную задачу.

На сегодняшнем занятии мы отработали навыки вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработали умения применять теоретические знания в практических расчетах.

Список литературы и интернет-ресурсов

1. Основы компьютерной грамотности: учебное пособие / Кривенкова С.В., Радионова Л.К., Соболенко Н.А., Шванн Д.Э. М.: Издательство МЭИ, 2004.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
3. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство МФТИ, 1994.
4. Физико-математические основы техники и электрофизики высоких напряжений. Учебное пособие для вузов / В.В. Базуткин, К.П. Кадомская, Е.С. Колечицкий и др. Под ред. К.П. Кадомской. М.: Энергоатомиздат, 1995.
5. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
6. Зенков, А.В. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ /А.В. Зенков. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2016. — 127с.
7. Вычислительные методы // Википедия. [2010—2019]. Дата обновления: 31.01.2019. URL: https://ru.wikipedia.org/?oldid=97827303 (дата обращения: 20.05.2019).
8. Численное решение уравнений // Википедия. [2010—2018]. Дата обновления: 01.01.2018. URL: https://ru.wikipedia.org/?oldid=89982922 (дата обращения: 20.05.2019).

1Постановка физической задачина расчёт определённого интеграла

Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (единицы измерений – микрозиверт в час, мкЗв/ч). Возможно, Вас это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек попадает под радиоактивное излучение, превышающее фоновый уровень до 10 раз и даже больше. Но воздействие это кратковременное, и поэтому не столь опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время – Мощность дозы.

Необходимо посчитать суммарную накопленную за время полёта дозу.

2Геометрический смыслопределённого интеграла

Как мы помним из курса школьной алгебры, определённый интеграл – это площадь под графиком измеряемой величины. Чтобы определить накопленную дозу радиации в рассматриваемом примере, нужно определить площадь фигуры под графиком таблично заданной мощности дозы. Накопленная доза радиации равна площади фигуры под графиком мощности дозы

3Методика вычисленияопределённого интеграла

Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.

Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: S_трап = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.

4Согласованиеединиц измерения

В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час, а шкала времени – с точностью до минут. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, для величины, измеряемой в часах. Поэтому необходимо перевести мкЗв/час в мкЗв/мин.

Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на количество минут в часе, т.е. на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации это столбец «D». В столбце «D» в строке 2 вписываем =С2/60 А потом с помощью маркера заполнения распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце «D», (т.е. тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки). Таким образом, в столбце «D» у нас появятся значения мощности дозы радиации, измеряемые в микрозивертах в минуту для каждой минуты перелёта.

5Вычисление площадей отдельных трапеций

Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце «E» будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций.
Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца «D». Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).

Получаем формулу в ячейке «E3»: =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что «×1» в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца «Е» посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.

Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:
=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)).

Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:
=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).
Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.

5Определение площадипод графиком функции

Осталось найти сумму вычисленных площадей трапеций. Можно в ячейке «F2» написать формулу: =СУММ(E:E) Это и будет сумма всех значений в столбце «E», т.е. численное значение искомого определённого интеграла. Но давайте сделаем вот что: определим накопленную дозу в разные моменты полёта. Для этого в ячейку «F4» впишем формулу =СУММ(E$3:E4) и маркером заполнения распространим на весь столбец «F».

Обозначение E$3 говорит программе Excel, что увеличивать индекс ячейки «3» в столбце «E» при переносе формулы на следующие строки не нужно. Т.е. в строке 4 формула будет определять сумму в ячейках с «Е3» по «Е4», в строке 5 – сумму с «Е3» по «Е5», в строке 6 – с «Е3» по «Е6» и т.д.

Построим график по столбцам «F» и «A». Это график изменения накопленной дозы радиации во времени. Наглядно видно монотонное увеличение накопленной дозы радиации за время полёта. Это говорит о том, что мы правильно рассчитали интеграл. И окончательное значение накопленной за двухчасовой полёт дозы радиации, которое получается в последней ячейке этого столбца, равно примерно 4,5 микрозиверт.

Таким образом, мы только что нашли определённый интеграл таблично заданной функции в программе Excel на реальном физическом примере. В качестве приложения к статье – файл Excel с нашим примером.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ ТРАПЕЦИЙ В СРЕДЕ MICROSOFT EXCEL

Автор: Пилипенко Дэниил Владимирович, студент 3 курса ГБПОУ МО «Серпуховский колледж» г. Серпухов Московской области.

Научный руководитель: Соколова Марина Анатольевна, преподаватель специальных дисциплин ГБПОУ МО «Серпуховский колледж» г. Серпухов Московской области.

Аннотация.

В данной статье рассматривается численные методы решения определенных интегралов методом трапеций, с применением электронных таблиц Microsoft Excel.

Annotation.

The article shows numerical methods for solving definite integrals using the trapezoidal rule via Microsoft Excel spreadsheets.

Актуальность

Задача вычисления определенных интегралов появляется во многих областях прикладной математики, при решении практических задач. В большинстве случаев не удается найти аналитические формулы, выразить определенный интеграл в виде алгебраических и трансцендентных функций. Даже если аналитическая функция находится, то она получается более сложной, поэтому вычислять интеграл с её помощью значительно труднее, чем другими способами. Иногда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных данных. Большинство определенных интегралов не могут решиться с помощью точных методов или путем аналитических преобразований, на практике их решают только численными методами.

Задача нахождения определенного интеграла численными методами считается решенной, если они вычислены с заданной степенью точности. В своей работе я буду проводить вычисление определенного интеграла методом трапеций, с применением электронных таблиц Microsoft Excel.

Объект исследования: определенные интегралы.

Предмет исследования: методы решения определенных интегралов.

Цель работы: изучить методы решения определенных интегралов; вычислить определенный интеграл методом трапеций в среде Microsoft Excel.

Задачи работы:

1. Изучить и провести анализ литературы, интернет-ресурсов теоретической и практической основы численных методов решения определенных интегралов;

2. Исследовать различные численные методы решения определенных интегралов;

3. Вычислить определенный интеграл методом трапеций в среде Microsoft Excel.

Введение

Здесь речь пойдет об одной из самых распространенных операций – вычислении определенного интеграла . Самый общий подход к ее решению состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию  какой-либо другой функцией , для которой интеграл вычисляется аналитически. Тогда для решения задачи строим  с оценкой погрешности и полагаем приближенно  с очевидной оценкой погрешности .

Введем на отрезке  сетку , , где , и таблицу значений , . Рассмотрим самый простой вариант построения функции , приводящий к широко распространенной формуле трапеций.

При этом функция   строится как кусочно-линейная интерполяция значений  ,   на равномерной сетке с шагом . Тогда =.

Формулы такого рода () называют механическими квадратурами,  – коэффициентами (весами) квадратуры,  – ее узлами.

Точность формулы трапеций зависит от гладкости функции . Если она на  имеет первую производную, ограниченную числом , то , и погрешность формулы трапеций не превосходит . Если  на    имеет вторую производную, ограниченную числом , то погрешность формулы итераций не превосходит , поскольку .

Однако теоретические оценки погрешностей не очень популярны среди практиков. Если требуется вычислить интеграл с погрешностью , то мало кто сначала оценит третью производную функции  и вычислит шаг сетки . Дело в том, что сама эта оценка завышена и завышено значение константы . Кроме того, само вычисление  может быть проблематичным, особенно если  задана некоторым сложным образом.

Поступают иначе. Вычисляя интеграл с небольшим числом узлов , получают его значение ; вычисляя интеграл с удвоенным , получают . Если модуль  (где ε – предельное допустимое значение погрешности расчета), то задачу считают решенной. В противном случае вычисляют  и т. д. Нужно иметь в виду, что для гладких функций  часто интеграл вычисляется очень точно при малом числе узлов.

Постановка задачи

Дано: f(x) = 1/(1+x4)1/2 на отрезке [0; 4]

Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.

Вывод

Я изучил методы решения определенных интегралов численными методами с помощью электронных таблиц. В данной работе был рассмотрен   метод расчета интеграла – метод трапеций. Результаты расчетов были сведены в таблицу. Вследствие чего было выяснено, что метод трапеций расчета интегралов является численным методом. Точное решение находится по формуле Ньютона-Лейбница.Я сделал вывод, что электронные таблицы – это очень мощный компьютерный инструмент, позволяющий проводить сложные расчеты, с заданной точностью.

Список использованных источников

1.  Основы компьютерной грамотности: учебное пособие / Кривенкова С. В., Радионова Л. К., Соболенко Н. А., Шванн Д. Э. М.: Издательство МЭИ, 2004.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
3. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство МФТИ, 1994.
4. Физико-математические основы техники и электрофизики высоких напряжений. Учебное пособие для вузов / В.В. Базуткин, К.П. Кадомская, Е.С. Колечицкий и др. Под ред. К.П. Кадомской. М.: Энергоатомиздат, 1995.
5. Поршнев С. В., Беленкова И. В. Численные методы на базе Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

Опубликовано 10 Авг 2015
Рубрика: Справочник Excel | 13 комментариев

При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.

Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.

Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.

Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.

Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.

Например:

Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.

Признак (значение функции) – высота фигуры.

Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.

Функция – описание зависимости высоты от ширины.

Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.

Теория.

Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.

Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.

Площадь под кривой y = f (x) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y=f (x). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x₁ до x_n – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.

Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.

Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.

Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.

Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.

Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.

1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!

2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!

Практика вычисления интегралов в Excel.

Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.

Определение тепловой энергии.

Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания  воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.

Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Многим, я думаю, это будет интересно.

Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.

Заполним таблицу.

1. В столбец B вписываем время проведения измерения τ_i.

2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t_2i, измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.

3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t_1i, поступающего на вход коллекторов.

4. В столбце E вычисляем разности температур dt_i на выходе и входе

dt_i=t_2i—t_1i

5. Зная удельную теплоемкость воздуха c=1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G=0,02031 кг/с, определяем мощность установки N_i в КВт в каждый из моментов времени в столбце F

N_i=c*G*dt_i

На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.

Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.

6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день

Q_i=(N_i+1+N_i)*(τ_i+1—τ_i)/2

Q=ΣQ_i=10,395 КВт*час

7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона

Q_j=(N_i+4*N_i+1+N_i+2)*(τ_i+1—τ_i)/3

Q=ΣQ_j=10,395 КВт*час

Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!

Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.

По методу трапеций: Q=10,220 КВт*час (-1,684%)

По методу Симпсона: Q=10,309 КВт*час (-0,827%)

Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.

Общие выводы.

Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.

Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.

Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!

Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы