Метод простой итерации для решения уравнений excel

1. Метод простой итерации

Метод основан на замене исходного
уравнения F(x)=0на эквивалентноеx=(x).
Функция(x)
выбирается таким образом, чтобы на обоих
концах отрезка [a,b]
выполнялось условие сходимости(x)< 1. В этом случае
в качестве начального приближения можно
выбрать любой из концов отрезка.
Итерационная формула имеет вид

Итерационный процесс продолжается до
тех пор, пока не будет выполнено условие
F(x)<,
где- заданная
точность.

2.6. Реализация в пакете Excel

В качестве примера рассмотрим уравнение
x²— 4x+ 3 = 0. Интервал поиска [0;3,3], шагh= 0,3. Решим его, используя различные
численные методы, а также специальные
возможности пакетаExcel-
«Подбор параметра» и «Поиск решения».

Последовательность действий (см. рис.
5):

1. Оформить заголовок в строке 1 «Численные
   методы решения нелинейного уравнения».

2. Оформить заголовок в строке 3 «Шаговый
   метод».

3. В ячейки B4 иC4
   записать заголовки рядов — соответственноxиF(x).

4. В ячейки B5 иB6
   ввести первые два значения аргумента
   — 0 и 0,3.

5. Выделить ячейки B5-B6
   и протащить ряд данных до конечного
   значения (3,3), убедившись в правильном
   выстраивании арифметической прогрессии.

6. В ячейку C5 ввести формулу
   «=B5*B5-4*B5+3».

7. Скопировать формулу на остальные
   элементы ряда, используя прием
   протаскивания. В интервале C5:C16
   получен ряд результатов вычисления
   функцииF(x).
   Видно, что функция дважды меняет знак.
   Корни уравнения расположены на интервалах
   [0,9;1,2] и [3;3,3].

8. Для построения графика зависимости
   F(x)используем Мастер диаграмм (тип
   «Точечная», маркеры соединяются гладкими
   кривыми).

9. Оформить заголовок в строке 17 «Методы
   уточнения».

10. Ввести в ячейку E18
    заголовок «Метод половинного деления»
    (выравнивание по центру).

11. Ввести в ячейку H18 текст
    «е=», а в ячейкуI18 значение
    точности «0,001».

12. В области C19:I19
    оформить заголовок таблицы (рядC- левая граница отрезка «a»,
    рядD- середина отрезка
    «x», рядE- правая граница отрезка «b»,
    рядF- значение функции
    на левой границе отрезка «F(a)»,
    рядG- значение функции
    на середине отрезка «F(x)»,
    рядH- произведение
    «F(a)*F(x)»,
    рядI- проверка достижения
    точности «F(x)<е».

13. Ввести первоначальные значения концов
    отрезка: в ячейку C20 «0,9»,
    в ячейкуE20 «1,2».

14. Ввести в ячейку D20 формулу
    «=(C20+E20)/2».

Рис. 5

1. Ввести в ячейку F20 формулу
   «=C20*C20-4*C20+3».

2. Ввести в ячейку G20 формулу
   «=D20*D20-4*D20+3».

3. Ввести в ячейку H20 формулу
   «=F20*G20».

4. Ввести в ячейку I20 формулу
   «=ЕСЛИ(ABS(G20)<$I$18;корень,)».

5. Ввести в ячейку C21 формулу
   «=ЕСЛИ(H20<0;C20;D20)».

6. Ввести в ячейку E21 формулу
   «=ЕСЛИ(H20<0;D20;E20)».

7. Скопировать ячейку D20 в
   ячейкуD21, ячейкиF20:I20
   в ячейкиF21:I21.

8. Выделить область C21:I21
   и протащить ее по вертикали вплоть до
   появления в рядуIсообщения
   «корень» (ячейкаI27).

9. Ввести в ячейку C28
   заголовок «Метод Ньютона» (выравнивание
   по левому краю).

10. Ввести в ячейку C29 текст
    «е=», а в ячейкуD29 значение
    точности «0,000001».

11. Убедиться, что при x=0,9
    значение функции и ее второй производной
    имеют одинаковые знаки.

12. В области B30:E30
    оформить заголовок таблицы (рядB- значение аргумента «x»,
    рядC- значение функции
    «F(x)», рядD- производная функции
    «F(x)»,
    рядE- проверка достижения
    точности «F(x)<е».

13. В ячейку B31 ввести
    первоначальное значение аргумента
    «0,9».

14. Ввести в ячейку C31 формулу
    «=B31*B31-4*B31+3».

15. Ввести в ячейку D31 формулу
    «=2*B31-4».

16. Ввести в ячейку E31 формулу
    «=ЕСЛИ(ABS(C31)<$D$29;корень,)».

17. Ввести в ячейку B32 формулу
    «=B31-C31/D31».

18. Скопировать ячейки C31:E31
    в ячейкиC32:E32.

19. Выделить область B32:E32
    и протащить ее по вертикали вплоть до
    появления в рядуEсообщения
    «корень» (ячейкаE34).

20. Ввести в ячейку G28
    заголовок «Метод простой итерации»
    (выравнивание по левому краю).

21. Ввести в ячейку H29 текст
    «е=», а в ячейкуI29 значение
    точности «0,001».

22. Выбрать функцию (x),
    удовлетворяющую условию сходимости.
    В нашем случае такой функцией является
    функцияS(x)=(x*x+3)/4.

23. В области G30:J30
    оформить заголовок таблицы (рядG- значение аргумента «x»,
    рядH- значение функции
    «F(x)», рядI- значение вспомогательной
    функции «S(x)»,
    рядJ- проверка достижения
    точности «F(x)<е».

24. В ячейку G31 ввести
    первоначальное значение аргумента
    «0,9».

25. Ввести в ячейку H31 формулу
    «=G31*G31-4*G31+3».

26. Ввести в ячейку I31 формулу
    «=(G31*G31
    +3)/4».

27. Ввести в ячейку J31 формулу
    «=ЕСЛИ(ABS(H31)<$I$29;корень,)».

28. Ввести в ячейку G32 формулу
    «=I31».

29. Скопировать ячейки H31:J31
    в ячейкиH32:J32.

30. Выделить область G32:J32
    и протащить ее по вертикали вплоть до
    появления в рядуJсообщения
    «корень» (ячейкаJ39).

31. Выделить ряд x, полученный с помощью
    метода половинного деления (ячейки
    D20:D27). Используя Мастер диаграмм,
    построить зависимость x от номера
    итерации (тип диаграммы «График»).
    Определить заголовок ряда «Метод
    половинного деления».

32. Добавить на график еще два ряда: «Метод
    Ньютона» — ячейки B31:B34 и «Метод простой
    итерации» — ячейки G31:G39. Для каждого
    ряда использовать сою маркировку.
    График показывает, что наибольшую
    скорость сходимости имеет метод Ньютона.

33. Ввести в ячейку C57 заголовок «Подбор
    параметра» (выравнивание по левому
    краю).

34. Ввести в ячейку C59 текст «x», а в ячейку
    D59 — «F(x)».

35. Занести в ячейку C60 начальное значение
    переменной (например, ноль).

36. Ввести в ячейку столбца D60 формулу
    «=C60*C60-4*C60+3».

37. Дать команду «Сервис»
    «Подбор параметра».

38. В поле «Установить в ячейке» указать
    ячейку D60, в которой занесена формула,
    в поле «Значение» задать 0 (ноль), в поле
    «Изменяя значение ячейки» указать
    ячейку C60, где занесено начальное
    значение переменной.

39. Щелкнуть <ОК> и посмотреть на результат
    подбора, отображенный в диалоговом
    окне «Результаты подбора параметра».

40. Нажать <ОК>, чтобы сохранить полученные
    значения.

41. Повторить расчет п.п. 49-54, задав другое
    начальное значение в ячейке C60. Совпали
    ли результаты вычисления?

42. Ввести в ячейку H57 заголовок «Поиск
    решения» (выравнивание по левому краю).

43. Ввести в ячейку H59 текст «x», а в ячейку
    I59 — «F(x)».

44. Занести в ячейку H60 начальное значение
    переменной (например, ноль).

45. Ввести в ячейку столбца I60 формулу
    «=H60*H60-4*H60+3».

46. Дать команду «Сервис»
    «Поиск решения».

47. В поле «Установить целевую ячейку»
    указать ячейку $I$60, в которой занесена
    формула, в поле «Равной» установить
    «значению 0», в поле «Изменяя ячейки»
    указать ячейку $H$60, в поле «Ограничения»
    установить два ограничения «$H$60>=0,9 и
    $H$60<=1,2».

48. Нажать кнопку «Выполнить». Появится
    сообщение, что решение найдено.

49. Нажать кнопку <ОК>, результат будет
    помещен в рабочий лист.

50. Повторить расчет п.п. 58-63, задав другое
    начальное значение в ячейке H60. Совпали
    ли результаты вычисления?

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х² + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.



2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.



3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».



Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

1. Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.



2. Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.



3. Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.



4. Умножим обратную матрицу Ах^-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.



5. Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.



2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.



3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.



4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.



5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х³ + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Х_n+1 = X_n– F (X_n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х³ – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

Метод простой итерации даёт возможность получить последовательность приближённых значений, сходящуюся к точному решению системы.
Преобразуем систему (3.1) к нормальному виду:
. (3.2)
Правая часть системы (3.2) определяет отображение:
x=(x₁, x₂, …, x_n), преобразующее точку n-мерного метрического пространства в точку y=(y₁, y₂, …, y_n) того же пространства.
Выбрав начальную точку x⁰=(x⁰₁, x⁰₂, …, x⁰_n), можно построить итерационную последовательность точек n — мерного пространства: x⁰, x¹=F(x⁰), … , xⁿ⁺¹=F(xⁿ)
При определённых условиях данная последовательность сходится.
Так, для исследования сходимости таких последовательностей используется принцип сжимающих отображений, который состоит в следующем.
Если F– сжимающее отображение, определённое в полном метрическом пространстве с метрикой ρ(x,y), то существует единственная неподвижная точка x*, такая, что x*=F(x*). При этом итерационная последовательность, {x_n}, полученная с помощью отображения F с любым начальным членом х⁽⁰⁾, сходится к x*.
Оценка расстояния между неподвижной точкой x* отображения F и приближением х^(к) даётся формулами:
(3.3)
где α – множитель, определяемый достаточными условиями сжимаемости отображения F.
Значение множителя α, определяется выбором метрики, в которой проверяется сходимость последовательности значений x_i.

Рассмотрим достаточные условия сходимости итерационной последовательности {x_n}.
Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно «погрузить» в одну из трёх следующих метрик:
(3.4)
Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:
а) в пространстве с метрикой ρ₁: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.
б) в пространстве с метрикой ρ₂: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.
в) в пространстве с метрикой ρ₃: , т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы

ПРИМЕР. Вычислить два приближения методом простой итерации. Оценить погрешность второго приближения. В качестве начального приближения выбрать x⁰=(0; 0; 0).

Так как диагональные элементы системы являются преобладающими, то приведем систему к нормальному виду:

Последовательные приближения будем искать по формулам:

Получаем:
x¹=(-1.9022; 0.4889; 2.1456), x²=(-1.1720; 0.6315; 1.2389).
Для оценки погрешности в метрике ρ₁ вычисляем коэффициент μ
.
Вычисляем погрешность:

При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этом случае для решения СЛАУ иногда удобнее пользоваться методом простой итерации.

Метод итераций для системы уравнений в Excel

На листе Excel организуется таблица в три зоны: первая зона состоит из одного столбца (номер итерации), вторая зона определяет переменные x, третья зона под вычисления точности epsilon.
Во второй зоне по итерационной схеме организуется расчет переменных x (в примере для случая трех переменных):
Итерация №1:=$F$2/$B$2-C6*$C$2/$B$2-D6*$D$2/$B$2;=$F$3/$C$3-B6*$B$3/$C$3-D6*$D$3/$C$3;=$F$4/$D$4-B6*$B$4/$D$4-C6*$C$4/$D$4
Итерация №2:=$F$2/$B$2-C7*$C$2/$B$2-D7*$D$2/$B$2;=$F$3/$C$3-B7*$B$3/$C$3-D7*$D$3/$C$3;=$F$4/$D$4-B7*$B$4/$D$4-C7*$C$4/$D$4

Для вычисления точности epsilon.
Итерация №1:=ABS(B7)-ABS(B6);=ABS(C7)-ABS(C6);=ABS(D7)-ABS(D6)
Итерация №2:=ABS(B8)-ABS(B7);=ABS(C8)-ABS(C7);=ABS(D8)-ABS(D7)
Скачать шаблон решения.

ПРИМЕР. Методом итераций решить систему линейных алгебраических уравнений предварительно приведя ее к диагональному преобладанию.
Решение. Приведем матрицу к диагональному преобладанию.
Умножаем матрицы A^TA.

Умножаем матрицы A^Tb.

Приведем к виду:
x₁=7.25-1.5x₃
x₂=-0.8+0.24x₃
x₃=-3.67-0.5x₁+0.5x₂
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x₁=7.25 — 0 • 0 — 0 • (-1.5)=7.25
x₂=-0.8 — 0 • 0 — 0 • 0.24=-0.8
x₃=-3.67 — 0 • (-0.5) — 0 • 0.5=-3.67
N=2
x₁=7.25 — (-0.8) • 0 — (-3.67) • (-1.5)=1.75
x₂=-0.8 — 7.25 • 0 — (-3.67) • 0.24=0.0588
x₃=-3.67 — 7.25 • (-0.5) — (-0.8) • 0.5=0.36
N=3
x₁=7.25 — 0.0588 • 0 — 0.36 • (-1.5)=7.79
x₂=-0.8 — 1.75 • 0 — 0.36 • 0.24=-0.89
x₃=-3.67 — 1.75 • (-0.5) — 0.0588 • 0.5=-2.82
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x1	x2	x3	e1	e2	e3
	7.25	-0.8	-3.67	7.25	0.8	3.67
	1.75	0.0588	0.36	-5.5	-0.75	-3.31
	7.79	-0.89	-2.82	6.04	0.83	2.46
	3.02	-0.14	0.67	-4.77	-0.75	-2.15
	8.26	-0.96	-2.09	5.24	0.82	1.41
	4.12	-0.31	0.94	-4.14	-0.65	-1.14
	8.67	-1.03	-1.45	4.55	0.71	0.51
	5.07	-0.46	1.18	-3.59	-0.56	-0.27
	9.02	-1.08	-0.9	3.95	0.62	-0.28
	5.9	-0.59	1.38	-3.12	-0.49	0.49
	9.33	-1.13	-0.42	3.42	0.54	-0.96
	6.62	-0.71	1.56	-2.7	-0.42	1.14
	9.59	-1.17	-0.00351	2.97	0.47	-1.56
	7.24	-0.8	1.71	-2.35	-0.37	1.71
	9.82	-1.21	0.36	2.58	0.4	-1.36
	7.79	-0.89	1.85	-2.04	-0.32	1.49
	10.02	-1.24	0.67	2.24	0.35	-1.18
	8.26	-0.96	1.96	-1.77	-0.28	1.29

После N-ой итерации получаем: x₁ = 7.5, x₂ = -0.75, x₃ = 0.25

Министерство
общего образования

Российской федерации

Уральский государственный технический университет-УПИ

филиал
в г.Краснотурьинске

Кафедра
вычислительной техники

Курсовая работа

По
численным методам

Решение
линейных уравнений методом простой итерации

c помощью
программы Microsoft Excel

Руководитель                                                                                        Кузьмина
Н.В.

Студент                                                                                                 Нигматзянов
Т.Р.

Группа                                                                                                   М-177Т

2002

Задание.

          Тема: «Нахождение с
заданной точностью корня уравнения F(x)=0 на промежутке
[a;b] методом простой
итерации».

          Контрольный пример:
0,25-х+sinx=0

          Условия задачи: для заданной функции F(x) на
интервале [0,5;2] найти корень      уравнения F(x)=0
методом простой итерации.

          Корень вычислить
дважды(с помощью автоматического и ручного расчета).

          Предусмотреть построение графика функции на заданном
интервале.

Содержание.

Введение                                                                                                       4

1.Теоретическая часть                                                                                    5

2.Описание хода работы                                                                                7

3.Входные и выходные
данные                                                                    8

Заключение                                                                                                  9

Приложение                                                                                                 10

Библиографический список                                                                       12

Введение.

          В ходе данной работы мне необходимо ознакомиться с
различными методами решения уравнения и найти корень нелинейного уравнения
0,25-х+sin(x)=0 численным методом – методом простой итерации. Для
проверки правильности нахождения корня необходимо решить уравнение графически
,найти приближенное значение и сравнить его с полученным результатом.

1.Теоретичесакя часть.

Метод простой итерации.

          Итерационный
процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0 (корня
уравнения). Каждый такой шаг называется итерацией.

          Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение записывается
в виде: х=j(х), т.е. выделяется х; j(х) –
непрерывна и дифференцируема на интервале (а; в). Обычно это можно сделать несколькими
способами:

Например:

arcsin(2x+1)-x²=0                    (f(x)=0)

Способ 1.

arcsin(2x+1)=x²

sin(arcsin(2x+1))=sin(x²)

2x+1=sin(x²)

x=0.5(sinx²-1)                        
(x=j(x))

Способ 2.

x=x+arcsin(2x+1)-x²             
(x=j(x))

Способ 3.

x²=arcsin(2x+1)

x=                   
(x=j(x)),знак берется в зависимости от интервала [а;b].

          Преобразование должно
быть таким, чтобы ½j(x)<1½
для всех принадлежащих интервалу [a;b].В
таком случае процесс итерации сходится.

Пусть известно начальное
приближение корня x=c₀.Подставляя
это значение в правую часть уравнения x=j(x),получаем новое
приближение корня:c=j(c₀).Далее, подставляя каждый раз новое значение
корня в x=j(x),получаем последовательность значений

             c₂=j(c₁)

…

c_n=j(c_n-1)    n=1,2,3,…

Процесс итераций следует
продолжать до тех пор,пока для двух последовательных приближений не будет
выполнено условие: ½c_n-c_n-1½<e

Решать уравнения численными
методами можно с помощью языков программирования, но программа Excel дает возможность справиться сданной задачей более простым
способом.

Программа Excel
реализует метод простой итерации двумя способами с помощью ручного расчета и с
автоматическим контролем точности.

у                                                                                                                 у=х

 

                              

1. 

 

j(с₀)

 

    с₀  с₂ 
с₄  с₆   с₈             корень                    
с₉           с₇            с₅                с₃                                
с₁                             

                                                                                                       
                                                                                                                    х

	Рис. График итерационного процесса

 

2.Описание хода работы.

1. 
Запустил МЕ.

2. 
Построил график функции y=x и y=0,25+sin(x) на
отрезке [0,5;2] с шагом 0,1 назвал лист «График».

3. 
Выбрал команду Сервис®Параметры.
Открыл вкладку Вычисления.
Включил режим Вручную.
Отключил флажок Пересчет перед сохранением. Сделал значение поля Пре-дельное
число итераций равным 1,относительную погрешность 0,001.

4. 
Ввел в ячейку А1 строку «Решение
уравнения x=0,25+sin(x) методом простой итерации».

5. 
Ввел в ячейку А3 текст «Начальное
значение»,в ячейку А4 текст «Начальный флаг»,в ячейку В3 значение 0,5 ,в ячейку
В4 слово ИСТИНА.

6. 
Присвоил ячейкам В3 и В4 имя
«нач_зн» и «нач».
В ячейке В6 будет выполняться проверка,равна ли истина значению ячейки
«нач».Если это так,х будет установлено равным начальному значению, в противоположном
случае равным ячейке В7,т.е. 0,25+синуса х.В ячейке В7 выч-исляется 0,25-синуса
ячейки В6,и тем организуется циклическая ссылка.

7. 
В ячейку А6 ввел y=x,и в
ячейку А7 y=0,25+sin(x).В ячейку В6 формулу:
=ЕСЛИ(нач;нач_зн;В7).
В ячейку В7 формулу: y=0,25+sin(B6).

8. 
В ячейку А9 ввел слово
Погрешность.

9. 
В ячейку  В9 ввел формулу: =В7-В6.

10.
С помощью команды Формат-Ячейки(вкладка
Число) преобразовал ячейку В9 в экспоненциальный формат с двумя
цифрами после запятой.

11.
Затем организовал вторую
циклическую ссылку-для подсчета количества ите-раций.В ячейку А11 ввел текст
«Количество итераций».

12.
В ячейку В11 ввел формулу:
=ЕСЛИ(нач;0;В12+1).

13.
В ячейку В12 ввел =В11.

14.
Для выполнения расчета установил
табличный курсор в ячейку В4 и нажал клавишу F9(Вычислить)
для запуска решения задачи.

15.
Изменил значение начального флага
на ЛОЖЬ,и снова нажал F9.При каждом нажатии F9 выполняется
одна итерация и вычисляется следующее приближен-ное значение х.

16.
Нажимал клавишу F9 до
тех пор, пока значение х не достигло необходимой точности.
При автоматическом расчете:

17.
Перешел на другой лист.

18.
Повторил пункты с 4 по 7,только в
ячейку В4 ввел значение ЛОЖЬ.

19.
Выбрал команду Сервис®Параметры(вкладка
Вычисления).Установил зна-чение поля Предельное число
итераций равным 100,относительную погреш-ность равной 0,0000001.Включил
ркжим Автоматически.

3.Входные и выходные данные.

Входные:

Начальный флаг ЛОЖЬ.
Начальное значение 0,5

Функция
y=0,25-x+sin(x)

Границы
интервала [0,5;2]

Точность
вычисления при ручном расчете 0,001

                                     
при автоматическом  

Выходные:

1. 
Ручной расчет:
число итераций      37
корень уравнения  1,17123

2. 
Автоматический расчет:
число итераций      100
корень уравнения  1,17123

3. 
Решение уравнения графическим
способом:
корень уравнения  1,17

Заключение.

          В ходе данной курсовой работы я ознакомился с
различными методами решения уравнений:

· 
Аналитическим методом

· 
Графическим методом

· 
Численным методом

          Но так как
большинство численных методов решения уравнений являются итерационными, то я на
практике использовал этот метод.

          Нашел с заданной точностью корень уравнения
0,25-x+sin(x)=0 на промежутке [0,5;2] методом простой итерации.

Приложение.

1.Ручной расчет.

2.Автоматический расчет.

3.Решение уравнения 0.25-x-sin(x)=0
графическим способом.

Библиографический список.

1. 
Волков Е.А. «Числовые методы».

2. 
Самарский А.А. «Введение в
числовые методы».

3. 
Игалеткин И.И. «Числовые методы».