Метод половинного деления в excel график

Для
того чтобы уточнить корни уравнения
cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления,
используя Excel, необходимо выполнить
следующие действия:

1. Заполнить
   ячейки A1:H1 последовательно следующим
   образом: a, b, c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c), |b-a|<=2*e, e.

2. Ввести
   в ячейку A2 число 5, в ячейку B2 — число 6.

3. В
   ячейку C2
   ввести формулу: =(A2+B2)/2.

4. В
   ячейку D2 ввести формулу: =cos(2*A2)+A2-5,
   скопировать эту формулу в ячейки E2:F2.

5. Ввести
   в ячейку G2 формулу: =ЕСЛИ(ABS(B2-A2)<=2*$H$2;C2;»-«).

6. Ввести
   в ячейку H2 число 0,00001.

7. В
   ячейку A3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;A2;C2).

8. В
   ячейку B3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;C2;B2).

9. Диапазон
   ячеек C2:G2 скопировать в диапазон ячеек
   C3:G3.

10. Выделить
    диапазон ячеек A3:G3 и с помощью маркера
    заполнения заполнить все нижестоящие
    ячейки до получения результата в одной
    из ячеек столбца G (это ячейки A3:G53).

В
итоге получаем следующее:

Ответ:
Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32977.

Соседние файлы в папке exel

• #
• #
• #

  22.05.2015157.7 Кб80Копия Лабраб_6rgr.xls

• #

  22.05.201527.14 Кб126Лабраб_6.xls

• #
• #
• #

Решение уравнений в EXCEL методом половинного деления, методом хорд и касательных.

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику . Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Скачать:

Вложение	Размер
материал для ученика	57.5 КБ
работа ученика	27 КБ

Предварительный просмотр:

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков [a,b], в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

• Если f(a)* f(b] a, b существует, по крайней мере, один корень
• Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и f(a)*f(b) и f ‘(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин [a, x sr ] или [x sr ,b], на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина [a,b] станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка [a,b] (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

1. а:=левая граница b:= правая граница
2. m:= (a+b)/2 середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m)
5. если (a-b)/2>e повторяем , начиная с пункта2

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале , нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

, откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е — заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

1 Численный метод решения нелинейных уравнений

1.1 Область локализации корней

В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так , при этом корнем (решением) называется такое значение x*, что оказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня. Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения f ( x ), с осью абсцисс.

Например , для уравнения выполним преобразование и приведем его к виду f(x)= 0 т.е. . График этой функции представлен на рисунке 1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2].

Рисунок 1. График функции

Таким образом, можно приблизительно определять область локализации корней уравнения. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.

Некоторые виды уравнений допускают аналитическое решение. Например, степенные алгебраические уравнения степени n при n ≤ 4. Однако, в общем виде, аналитическое решение, как правило, отсутствует. В этом случае, применяются численные методы. Все численные методы решения уравнений представляют собой итерационные алгоритмы последовательного приближения к корню уравнения. То есть, выбирается начальное приближение к корню x ₀ и затем с помощью итерационной формулы генерируется последовательность x ₁, x ₂, …, x_k сходящаяся к корню уравнения .

1.2 Критерии сходимости при решении уравнений

Ø Абсолютная погрешность — абсолютное изменение приближения на соседних шагах итерации

Ø Относительная погрешность — относительное изменение приближения на соседних шагах итерации

Ø Близость к нулю вычисленного значения левой части уравнения (иногда это значение называют невязкой уравнения, так как для корня невязка равна нулю)

1.3 Метод половинного деления (метод дихотомии)

Метод половинного деления основан на последовательном делении отрезка локализации корня пополам.

Для этого выбирается начальное приближение к отрезку [ a , b ], такое, что f ( a ) × f ( b ) — середине отрезка [ a , b ]. Если он противоположен знаку функции в точке a, то корень локализован на отрезке [ a , c ], если же нет – то на отрезке [ c , b ]. Схема метода дихотомии приведен на рис у нке 2.

Рисунок 2. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню

Алгоритм метода дихотомии можно записать так:

1. представить решаемое уравнение в виде

2. выбрать a, b и вычислить

3. если f(a) × f( с ) то a=a; b = c иначе a = c; b=b

4. если критерий сходимости не выполнен, то перейти к п. 2

Пример решения уравнения методом дихотомии

Найти решение заданного уравнения методом дихотомии с точностью до 10 -5 .

Пример создания расчетной схемы на основе метода дихотомии на примере уравнения: на отрезке [1, 2]

Данный метод заключается в проверке на каждой итерации условия:

если f ( a ) × f (с) и выбор соответствующего отрезка для следующей итерации.

Рисунок 3. Последовательность итераций метода дихотомии при поиске корня уравнения на отрезке [1, 2]

a ) схема расчета (зависимые ячейки); b) режим отображения формул;

Для нашего примера итерационная последовательность для нахождения решения принимает вид:

Точность до пятой значащей цифры достигается за 20 итераций.

Скорость сходимости этого метода является линейной.

При выполнении начального условия он сходится к решению всегда.

Метод половинного деления удобен при решении физически реальных уравнений, когда заранее известен отрезок локализации решения уравнения.

2 Решение уравнений , используя “Подбор параметра ”

Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения вида f(x)=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;

2. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;

3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка П родолжить — для возврата в обычный режим подбора параметра.

2.1 Пример решения уравнения, используя “Подбор параметра”

Например , найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].

Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–3; 3] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.

Рисунок 4. Поиск приближенных значений корней уравнения

Выполните команду меню Сервис/Параметры, во вкладке Вычисления установите относительную погрешность вычислений E=0,00001, а число итераций N=1000, установите флажок Итерации.

Выполните команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 9) заполните следующие поля:

þ Установить в ячейке : в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

þ Значение : в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

þ Изменяя значение : в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

Рисунок 5. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня

После щелчка на ОК получим значение первого корня -1,65793685 .

Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101 .

3 Решение уравнений и систем уравнений, используя надстройку “Поиск решения”

Для решения уравнений можно также использовать команду Поиск решения, доступ к которой реализуется через пункт меню Сервис/Поиск решения.

Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Найти приближенное значение корня уравнения

2. Открыть диалог Поиск решения и установить следующие параметры (рисунок 10):

þ в поле У становить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу (левую часть уравнения);

þ установить переключатель в положение ‘ значению’ и ввести значение 0 (правая часть уравнения);

þ в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргумента x целевой функции,;

þ в поле Ограничения с помощью кнопки Д обавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска (область поиска корня уравнения);

þ для запуска процесса поиска решения нажать кнопку В ыполнить.

þ Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель С охранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения.

Рисунок 6. Диалоговое окно Поиск решения

Полученное решение зависит от выбора начального приближения. Поиск начальных приближений рассмотрен выше.

Рассмотрим некоторые Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Параметры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения):

þ Максимальное время — ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача большой размерности, то время необходимо увеличить).

þ Относительная погрешность — задает точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до 1).

þ Неотрицательные значения — этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.

þ Показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.

þ Метод поиска — служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Рисунок 7. Вкладка Параметры окна Поиск решения

3.1 Пример решения уравнения, используя надстройку “Поиск решения”

Например , найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3]. Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–3;3] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня. На рисунке 12 представлен пример заполнения окна Поиск решения для нахождения первого корня на отрезке [-2; -1].

Рисунок 8. Пример решения уравнения при помощи надстройки Поиск решения

Задание 1. Решение уравнений численным методом

На листе 1 (название листа: Численные методы) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания ) реализовать итерационные расчетные схемы методов, указанных в Таблице 1 для нахождения хотя бы одного корня на заданном интервале. Количество итераций просчитать, оценивая , .

Задания 2. Решение уравнений встроенными средствами “Подбор параметра” и “Поиск решения”

На листе 2 (название листа: Подбор Поиск) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания) на заданном интервале и с некоторым шагом (шаг выбрать самостоятельно) построить таблицу значений функции f(x) и определить количество корней уравнения и выделить интервалы, на которых находятся корни. Построить график функции. Уточнить на заданных интервалах с точностью до 10 -6 корни уравнения с помощью встроенных средств: Подбор параметра, Поиск решения

Конспект урока информатики в 11-м классе «Исследование математических моделей. Решение уравнений методом половинного деления»

Цели урока:

1. Обучающая– формирование новых знаний, умений и навыков по теме “Моделирование. Исследование математических моделей”, формирование общеучебных и специальных умений и навыков, контроль за усвоением учебного материала.




2. Развивающая– развивать умение выделять главное; развивать мышление учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала; самостоятельность; развитие речи, эмоций, логического мышления учащихся.




3. Воспитательная – формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля; чувство ответственности, деловые качества учащихся. Активизация познавательной и творческой активности учащихся

Задачи урока:

• начать изучение исследования математических моделей,
• начать изучение приближенных методов решения уравнений,
• познакомить учащихся с методом половинного деления,
• познакомить учащихся с приближенным методом решения уравнений с помощью электронных таблиц Excel,
• сформировать у учащихся умение приближенно решать уравнения с помощью электронных таблиц Excel,
• разработать компьютерную модель нахождения корня уравнения на языке Visual Basic,
• формировать у учащихся потребность использования информационных технологий в решении задач по математике,
• развивать межпредметные связи.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: компьютерный класс, оборудованный компьютерами Pentium I и выше, лицензионное ПО: операционная система Windows 97/2000/XP, MS Office 2000 и выше, среда программирования Visual Basic, интерактивная доска, проектор.

Организационный момент. Объявление темы, цели и задач урока.
1. Актуализация знаний, необходимых для изучения нового материала:

• Что называется уравнением?
• Что называется корнем уравнения?
• Что значит “решить уравнение”?
• Объяснить, как можно графически решить уравнение. (Использовать интерактивную доску, на которой строится график в заранее заготовленной системе координат)
• Как построить график функции в Excel?

1. Изучение нового материала.

Решение уравнений методом половинного деления.

Числовой метод половинного деления

Идея метода состоит в выборе точности решения и сведении первоначального отрезка [А;В], на котором существует корень уравнения, к отрезку заданной точности. Процесс сводится к последовательному делению отрезков пополам точкой С=(А+В)/2 и отбрасыванию той половины отрезка ([А;С] или [С;В]), на котором корня нет.

Выбор нужной половины отрезка основывается на проверке знаков значений функции на его краях. Выбирается та половина, на которой произведение значений функции на краях отрицательно, то есть где функция пересекает ось абсцисс.

Процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности. Деление этого отрезка пополам дает значение корня х=(А+В)/2 с заданной точностью. (Объяснение материала сопровождается презентацией)

Приближенное решение уравнений с помощью электронных таблиц Excel.

Задача: решить уравнение x 3 =cosx

Чтобы решить уравнение графически, введем функцию у= x 3 — cosx

На интерактивной доске демонстрируется таблица значений функции на промежутке

[-2,5; 2,5] с шагом h=0,5 (заготовлена заранее). Построим график этой функции. На промежутке (-2,5; 2,5) график имеет одну точку пересечения с осью абсцисс, значит, на этом промежутке уравнение имеет один корень.

1. Разработка компьютерной модели нахождения корня уравнения на языке Visual Basic (Приложение 3)

Проект “Приближенное решение уравнения” (Приложение1)

1. Поместить на форму текстовые поля для ввода числовых значений концов отрезка А и В, поле для ввода точности вычислений и поле для вывода значений корня.

2. Поместить на форму кнопку и создать событийную процедуру, вычисляющую корень уравнения методом половинного деления:

Private Sub Комманда1_Click()

dblC = (dblA + dblB) / 2

If (dblA ^ 3 — Cos(dblA)) * (dblC ^ 3 — Cos(dblC)) dblE

Текст8.Text = (dblA + dblB) / 2

End Sub

1. Закрепление материала. Проверка качества усвоения материала.

Работа на компьютерах. Учащиеся получают задание (Приложение 2) решить уравнения в Excel и проверить правильность выполнения задания, используя программу, разработанную на Visual Basic.

Определить корни уравнения графически. Уточнить один из корней уравнения с точностью e =0,1.

Решение уравнений

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков [a,b], в которых содержится только один корень уравнения;

 2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x)определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х0  называется корнем уравнения если  f(х0)=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

• Если  f(a)* f(b] < 0 , то внутри отрезка a, b существует, по крайней мере, один корень
• Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и  f(a)*f(b)<0 и f‘(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением  р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Метод дихотомии

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке xsr=(a+b)/2. Выбираем ту из половин [a, xsr ] или [xsr ,b], на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина [a,b] станет меньше заданной точности. В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка [a,b] (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР: Определим графически корень уравнения    . Пусть f1(х) = х,  a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

 Решение в Excel,

Алгоритм для программной реализации

1. а:=левая граница b:= правая граница  
2.  m:= (a+b)/2    середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m)<0  то b:=m иначе a:=m
5. если (a-b)/2>e повторяем , начиная с пункта2
   

Метод хорд.

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(xa) и f(х*) одного знака на интервале , нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х1, у1) и (х2, у2) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

        

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

, откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и хп_1 не будет выполняться условие  abs(xn-xn-1)е — заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Решение в Excel

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

1.  (х=1,261)
2.  (х=?)

1. sin(x/2)+1=x^2   (х=1,26)

1. y=sin3x*cos5x  (х=?)
2.     (х=0,756)

1. x-cosx=0  (х=0,739)

1. x^2+4sinx=0  (х=-1,933)

1. x=(x+1)3  (х=-2,325)

Тип урока: Изучение и закрепление новых знаний.

Вид занятия: практическая работа с использованием компьютера.

Продолжительность занятия: два урока.

Цель: Научиться решать уравнения с заданной точностью на заданном отрезке.

Задачи:

• развитие исследовательской, познавательной деятельности учащихся;
• развитие умений использовать различные программные средства при решении одной задачи;
• развитие коммуникативных способностей учащихся.

Методы обучения: наглядный, исследовательский, практический.

Оборудование:

• компьютер;
• локальная сеть;
• проектор.

Программное обеспечение:

1. Операционная система Windows;
2. Microsoft Excel из пакета Microsoft Office;
3. Microsoft Visual Basic 6.0.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Создание проблемной ситуации.
3. Использование графического метода для приближенного решения уравнений в электронных таблицах.
4. Изучение метода половинного деления при решении уравнений.
5. Моделирование листа электронных таблиц для приближенного решения уравнения методом половинного деления.
6. Моделирование проекта “Приближенное решение уравнения” на объектно-ориентированном языке Visual Basic 6.0.
7. Компьютерный эксперимент.
8. Анализ полученных результатов.
9. Подведение итогов урока.

1. Организационный момент.

2. Создание проблемной ситуации.

– Сегодня нам предстоит решить задачу нахождения приближенного корня уравнения cos(x)=x, используя различные программные средства. Запишите тему урока: “Приближенное решение уравнений разными инструментальными средствами.”

– Пока вы не знаете никаких математических приемов решения этого уравнения, но знаете программу, в которой можно приближенно решить его графическим способом. Какая это программа? (Microsoft Excel.)

3. Использование графического метода для приближенного решения уравнений в электронных таблицах.

– В чем смысл метода? (Нужно построить график функции y = cos(x)–x на некотором отрезке, абсцисса точки пересечения графика с осью OX является корнем уравнения cos(x)=x.)

– Что нужно определить для построения графика? (Отрезок, на котором существует корень.)

– Сделайте это математическим методом. (Множеством значений левой части уравнения, функции y = cos(x), является отрезок [-1; 1]. Поэтому уравнение может иметь корень только на этом отрезке.)

– Итак, найдите приближенный корень уравнения cos(x)=x на отрезке [-1; 1] с шагом, например, 0,1 в программе Microsoft Excel.

– Приближенный корень уравнения х=0,75. Однако это приближение не обладает высокой точностью. Для нахождения приближенного корня уравнения с указанной заранее точностью используются математические методы, в частности, метод половинного деления.

4. Изучение метода половинного деления при решении уравнений.

Рассмотрим непрерывную функцию f(х), такую, что корень данного уравнения является точкой пересечения графика этой функции с осью ОХ.

Идея метода половинного деления состоит в сведении первоначального отрезка [а; b], на котором существует корень уравнения, к отрезку заданной точности h.

Процесс сводится к последовательному делению отрезка пополам точкой с=(а+b)/2 и отбрасыванию половины отрезка ([a; c] или [c; b]), на которой корня нет. Выбирается тот отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, т.е. произведение этих значений отрицательно. Функция на этом отрезке пересекает ось абсцисс. Концам этого отрезка вновь присваивают обозначения a, b.

Это деление продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности, т.е. пока не выполнится неравенство (b-a)/2 = e

Практическая работа

Приближенное решение уравнений

Просмотр содержимого документа
«Практическая работа Приближенное решение уравнений»

Приближенное решение уравнений

Создать компьютерную модель «Приближенное решение уравнений» с использованием электронных таблиц Microsoft Excel, которая позволяет найти корень уравнения x 3 = sin x приближенными методами (графическим и с помощью метода Подбор параметра).

Представить функцию в табличной форме, построить ее график, который позволит определить корни уравнения грубо приблизительно.

Представить заданное уравнение в табличной форме.

Для грубо приближенного определения корня построить диаграмму типа график. По графику грубо приближенно можно определить, что х=0,8.

Для поиска решения с заданной точностью используем метод Подбор параметра. Точность подбора зависит от заданной точности представления чисел в ячейках таблицы (например, до трех знаков после запятой). Методом подбора параметра необходимо определить значение аргумента х (ячейка В14) равно нулю.

Выделить ячейку со значением функции В14 и ввести команду [Сервис-Подбор параметра…].

На панели Подбор параметра в поле Значение ввести требуемое значение функции (в данном случае 0).

В поле Изменяя значение ячейки ввести адрес ячейки $А$14, в которой будет производиться подбор значения аргумента, и щелкнуть по кнопке ОК.

На панели Результат подбора параметра будет выведена информация а величине подбираемого и подобранного значений.

В ячейке аргумента А14 появится подобранное значение 0,929. Таким образом, корень уравнения х=0,929 найден с заданной точностью.

Аналогично определите второй корень уравнения.

Задание для самостоятельной работы. Создать компьютерную модель «Приближенное решение уравнений» с использованием электронных таблиц Microsoft Excel, которая позволяет найти корень уравнения х 3 = sin х графическим способом.

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Описание презентации по отдельным слайдам:

Приближенное решение уравнений c помощью электронных таблиц MS EXСEL

1 способ графического решения уравнений с одним неизвестным Пусть дано уравнение f(x)=g(x). Приведем это уравнение к виду f(x)-g(x)=0 Введем функцию у=f(x)-g(x). Построим график этой функции Количество точек пересечения графика с осью абсцисс дает число корней уравнения Абсциссы точек пересечения и есть решения данного уравнения

2 способ графического решения уравнений с одним неизвестным Пусть дано уравнение f(x)=g(x). Введем функции у= f(x) и у =g(x). Построим графики этих функций в одной системе координат. Количество точек пересечения дает число корней уравнения. Абсциссы точек пересечения и есть решения данного уравнения.

Алгоритм использования команды Подбор параметра: Решить нужную задачу с каким – либо начальным значение параметра; Выбрать команду Подбор параметра в меню Сервис; В появившемся окне диалога Подбор параметра в поле Установить в ячейке указывается адрес ячейки, значение в которой нужно изменить (такая ячейка называется целевой); В поле Значение – то числовое значение, которое должно появиться в целевой ячейке; В поле Изменяя значение ячейки ввести ссылку на ячейку с параметром

Использование надстройки Подбор параметра для 1 способа По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения оси Х с графиком функции равен -1,1. По таблице значений функции можно определить, что этот аргумент функции хранится в ячейке А5 Выделить ячейку В5 со значением функции и выполним команду Сервис-Подбор параметра…. В диалоговом окне в поле Значение: ввести требуемое значение функции (0). В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес $A$5, в который будет производится подбор значения аргумента. Кнопка ОК В ячейке аргумента A5 появится подобранное значение – 1,296. Корень уравнения найден с заданной точностью.

Графическое решение систем уравнений с двумя неизвестными Пусть дана система уравнений f(x,y)=0 и y(x,y)=0 1. Рассмотрим каждое из них в виде y=f(x) и y=u(x); 2. Построим эти кривые на одном графике; 3. Определим координаты точек их пересечения, что будет являться решением исходной системы уравнений.

х1≈-0,5 у1≈5 х2≈1,5 у2≈5

Домашнее задание: 1. § 1.3.4 Н.Д.Угринович «Информатика и ИКТ» 11 класс – вопросы 1,2 2. Практическое задание: решить графически систему уравнений

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

1 способ графического решения уравнений с одним неизвестным

Пусть дано уравнение

Приведем это уравнение к виду f(x) — g(x) =0 Введем функцию у= f ( x )- g ( x ). Построим график этой функции Количество точек пересечения графика с осью абсцисс дает число корней уравнения

Абсциссы точек пересечения и есть решения данного уравнения 2 способ графического решения уравнений с одним неизвестным

Пусть дано уравнение f(x)=g(x) .

Введем функции у= f ( x ) и у = g ( x ). Построим графики этих функций в одной системе координат. Количество точек пересечения дает число корней уравнения. Абсциссы точек пересечения и есть решения данного уравнения.

• Барсуков Сергей ВладимировичНаписать 1577 16.01.2015

Номер материала: 306027

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

16.01.2015 2520

16.01.2015 1574

16.01.2015 784

16.01.2015 489

16.01.2015 383

16.01.2015 572

16.01.2015 647

Не нашли то что искали?

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.