Метод итераций для решения слау в excel - Word и Excel - помощь в работе с программами

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

f(x)

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

«равно»

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

«равно»

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12680 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Решение СЛАУ методом простой итерации

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом простой итерации в онлайн режиме (см. пример решения). Для проверки решения генерируется шаблон в Excel .

Шаг №1
Шаг №2
Видеоинструкция

Рассмотрим достаточные условия сходимости итерационной последовательности n>.
Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно «погрузить» в одну из трёх следующих метрик:
(3.4)
Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:
а) в пространстве с метрикой ρ₁: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.
б) в пространстве с метрикой ρ₂: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.
в) в пространстве с метрикой ρ₃: , т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы

Пример . Вычислить два приближения методом простой итерации. Оценить погрешность второго приближения. В качестве начального приближения выбрать x 0 =(0; 0; 0).

Так как диагональные элементы системы являются преобладающими, то приведем систему к нормальному виду:

Последовательные приближения будем искать по формулам:

Получаем:
x 1 =(-1.9022; 0.4889; 2.1456), x 2 =(-1.1720; 0.6315; 1.2389).
Для оценки погрешности в метрике ρ₁ вычисляем коэффициент μ
.
Вычисляем погрешность:

При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этом случае для решения СЛАУ иногда удобнее пользоваться методом простой итерации.

Метод итераций для системы уравнений в Excel

Для вычисления точности epsilon .
Итерация №1: =ABS(B7)-ABS(B6);=ABS(C7)-ABS(C6);=ABS(D7)-ABS(D6)
Итерация №2: =ABS(B8)-ABS(B7);=ABS(C8)-ABS(C7);=ABS(D8)-ABS(D7)
Скачать шаблон решения.

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: <=B12:E12/D12>.
В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (<=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11>). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (<=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10>). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

источники:

http://math.semestr.ru/optim/iter.php

http://exceltable.com/otchety/reshenie-uravneniy

Источник

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х² + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.

Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.

После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.

Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.

Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Умножим обратную матрицу Ах^-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.

Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.

Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.

Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.

Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.

В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х³ + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Х_n+1 = X_n– F (X_n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х³ – 1. М = 11.

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

Источник

Метод простой итерации даёт возможность получить последовательность приближённых значений, сходящуюся к точному решению системы.
Преобразуем систему (3.1) к нормальному виду:
. (3.2)
Правая часть системы (3.2) определяет отображение:
x=(x₁, x₂, …, x_n), преобразующее точку n-мерного метрического пространства в точку y=(y₁, y₂, …, y_n) того же пространства.
Выбрав начальную точку x⁰=(x⁰₁, x⁰₂, …, x⁰_n), можно построить итерационную последовательность точек n — мерного пространства: x⁰, x¹=F(x⁰), … , xⁿ⁺¹=F(xⁿ)
При определённых условиях данная последовательность сходится.
Так, для исследования сходимости таких последовательностей используется принцип сжимающих отображений, который состоит в следующем.
Если F– сжимающее отображение, определённое в полном метрическом пространстве с метрикой ρ(x,y), то существует единственная неподвижная точка x*, такая, что x*=F(x*). При этом итерационная последовательность, {x_n}, полученная с помощью отображения F с любым начальным членом х⁽⁰⁾, сходится к x*.
Оценка расстояния между неподвижной точкой x* отображения F и приближением х^(к) даётся формулами:
(3.3)
где α – множитель, определяемый достаточными условиями сжимаемости отображения F.
Значение множителя α, определяется выбором метрики, в которой проверяется сходимость последовательности значений x_i.

Рассмотрим достаточные условия сходимости итерационной последовательности {x_n}.
Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно «погрузить» в одну из трёх следующих метрик:
(3.4)
Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:
а) в пространстве с метрикой ρ₁: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.
б) в пространстве с метрикой ρ₂: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.
в) в пространстве с метрикой ρ₃: , т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы

ПРИМЕР. Вычислить два приближения методом простой итерации. Оценить погрешность второго приближения. В качестве начального приближения выбрать x⁰=(0; 0; 0).

Так как диагональные элементы системы являются преобладающими, то приведем систему к нормальному виду:

Последовательные приближения будем искать по формулам:

Получаем:
x¹=(-1.9022; 0.4889; 2.1456), x²=(-1.1720; 0.6315; 1.2389).
Для оценки погрешности в метрике ρ₁ вычисляем коэффициент μ
.
Вычисляем погрешность:

Метод итераций для системы уравнений в Excel

На листе Excel организуется таблица в три зоны: первая зона состоит из одного столбца (номер итерации), вторая зона определяет переменные x, третья зона под вычисления точности epsilon.
Во второй зоне по итерационной схеме организуется расчет переменных x (в примере для случая трех переменных):
Итерация №1:=$F$2/$B$2-C6*$C$2/$B$2-D6*$D$2/$B$2;=$F$3/$C$3-B6*$B$3/$C$3-D6*$D$3/$C$3;=$F$4/$D$4-B6*$B$4/$D$4-C6*$C$4/$D$4
Итерация №2:=$F$2/$B$2-C7*$C$2/$B$2-D7*$D$2/$B$2;=$F$3/$C$3-B7*$B$3/$C$3-D7*$D$3/$C$3;=$F$4/$D$4-B7*$B$4/$D$4-C7*$C$4/$D$4

Для вычисления точности epsilon.
Итерация №1:=ABS(B7)-ABS(B6);=ABS(C7)-ABS(C6);=ABS(D7)-ABS(D6)
Итерация №2:=ABS(B8)-ABS(B7);=ABS(C8)-ABS(C7);=ABS(D8)-ABS(D7)
Скачать шаблон решения.

ПРИМЕР. Методом итераций решить систему линейных алгебраических уравнений предварительно приведя ее к диагональному преобладанию.
Решение. Приведем матрицу к диагональному преобладанию.
Умножаем матрицы A^TA.

Умножаем матрицы A^Tb.

Приведем к виду:
x₁=7.25-1.5x₃
x₂=-0.8+0.24x₃
x₃=-3.67-0.5x₁+0.5x₂
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x₁=7.25 — 0 • 0 — 0 • (-1.5)=7.25
x₂=-0.8 — 0 • 0 — 0 • 0.24=-0.8
x₃=-3.67 — 0 • (-0.5) — 0 • 0.5=-3.67
N=2
x₁=7.25 — (-0.8) • 0 — (-3.67) • (-1.5)=1.75
x₂=-0.8 — 7.25 • 0 — (-3.67) • 0.24=0.0588
x₃=-3.67 — 7.25 • (-0.5) — (-0.8) • 0.5=0.36
N=3
x₁=7.25 — 0.0588 • 0 — 0.36 • (-1.5)=7.79
x₂=-0.8 — 1.75 • 0 — 0.36 • 0.24=-0.89
x₃=-3.67 — 1.75 • (-0.5) — 0.0588 • 0.5=-2.82
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x₁	x₂	x₃	e₁	e₂	e₃

	7.25	-0.8	-3.67	7.25	0.8	3.67
	1.75	0.0588	0.36	-5.5	-0.75	-3.31
	7.79	-0.89	-2.82	6.04	0.83	2.46
	3.02	-0.14	0.67	-4.77	-0.75	-2.15
	8.26	-0.96	-2.09	5.24	0.82	1.41
	4.12	-0.31	0.94	-4.14	-0.65	-1.14
	8.67	-1.03	-1.45	4.55	0.71	0.51
	5.07	-0.46	1.18	-3.59	-0.56	-0.27
	9.02	-1.08	-0.9	3.95	0.62	-0.28
	5.9	-0.59	1.38	-3.12	-0.49	0.49
	9.33	-1.13	-0.42	3.42	0.54	-0.96
	6.62	-0.71	1.56	-2.7	-0.42	1.14
	9.59	-1.17	-0.00351	2.97	0.47	-1.56
	7.24	-0.8	1.71	-2.35	-0.37	1.71
	9.82	-1.21	0.36	2.58	0.4	-1.36
	7.79	-0.89	1.85	-2.04	-0.32	1.49
	10.02	-1.24	0.67	2.24	0.35	-1.18
	8.26	-0.96	1.96	-1.77	-0.28	1.29

После N-ой итерации получаем: x₁ = 7.5, x₂ = -0.75, x₃ = 0.25

Источник

Тема: Решение систем линейных уравнений методом простой итерации.

Цель работы: изучить особенности различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (далее — СЛАУ), приобрести навыки решения СЛАУ с помощью средств MS Excel выполнения задания

Задание 1. Используя методы Гаусса, простых итераций и Зейделя, разработайте схемы соответствующих алгоритмов решения СЛАУ в среде MS Excel.

1.1. Метод Гаусса в среде MS Excel

1.1.1. В ячейки А2:Е5 введите расширенную матрицу системы (рис. 1.1), скопируйте ее в диапазоны ячеек А7:Е10.

a)предположите, что в ячейке А2 не ноль. Если это не так, то переставьте строки таким образом, чтобы число в ячейке А2 было отлично от нуля;

нажмите клавиши + + . В результате формула примет вид:

в) протянув за маркер автозаполнения, скопируйте формулу в ячейки А9:Е10. В результате этих операций коэффициенты при х₁ во всех уравнениях кроме первого обратятся в ноль;

г) выделите диапазон А7:Е10 и скопируйте значения, хранящиеся в нем в ячейки диапазонов А12:Е15. Для копирования значений нужно воспользоваться специальной вставкой. Ей соответствует пункт меню Правка-Специальная вставка. После выбора этого пункта появляется диалоговое окно Специальная вставка, в котором нужно выбрать Вставить-Значения и нажать ОК;

д) аналогичным образом обратите в ноль коэффициенты при х₂. В диапазон ячеек В14:Е14 введите формулу

е) протяните маркер автозаполнения этого диапазона так, чтобы заполнить ячейки диапазона В15:Е15. Это обратит в ноль коэффициенты при х₂ в последних двух уравнениях.

ж) далее содержимое (только значения!) диапазона A12:Е15 скопируйте в ячейки диапазона A17:Е20;

з) выделите диапазон С20:Е20, введите в него формулу

{=C15:E15–$C$14:$E$14*C15/$C$14},

что обратит в ноль коэффициент при х₃ в последнем уравнении;

и) в результате этих преобразований матрица системы примет треугольный вид.

1.1.3.Обратный ход метода Гаусса:

а)в ячейки G2, G3, G4 и G5 введите х4, x3, x2 и х1 соответственно, а в ячейки Н2:Н5 — формулы из таблицы 1.1;

Таблица 1.1 — Обратный ход метода Гаусса

Ячейка

Формула

Н2

= E20 / D20

Н3

= (E19 – D19 * H2) / C19

Н4

= (E18 – D18 * H2 – C18 * H3) / B18

Н5

= (E17 – D17*H2 – C17 * H3 – B17 * H4) / A17

б) в результате чего в диапазоне Н2:Н5 будет получено решение системы (рис. 1.1).

1.2. Метод простых итераций в среде MS Excel:

а) в ячейки А2:Е5 введите расширенную матрицу системы (рис. 1.2) и сделайте пояснительные записи;

б) приведите систему к нормальному виду, т. е. все коэффициенты первого уравнения разделите на а₁₁, все коэффициенты второго уравнения на а₂₂ и т. д. Для этого в диапазон ячеек А8:А11 введите надписи: х1=, х2=, х3=, х4=. Выделите блок ячеек В8:Е8, в строке формул введите формулу =$B$2:$E$2/$A$2 и нажмите клавиши + + (операция над матрицей);

Рисунок 1.2 – Вид решения СЛАУ методом простых итераций и методом Зейделя в Excel

б) в ячейку В9 введите формулу =А3/В3. Далее выделите диапазон ячеек С9:Е9 и введите формулу =С3:Е3/В3, используя операцию над матрицей;

в) в блок ячеек В10:С10 внесите формулу =А4:В4/С4, а в блок D10:E10 — соответственно =D4:E4/C4, используя операцию над матрицами. Для блока В11:D11 введите формулу =А5:С5/D5, а в ячейку Е5 — формулу = E5/D5;

г) из полученной системы определите норму матрицы и признак сходимости метода. Для этого найдите модули полученных коэффициентов и в ячейку G7 введите формулу =ABS(B8), которую скопируйте на блок G7:I10. В ячейке D6 проверьте один из признаков сходимости и введите формулу =ЕСЛИ(МАКС (G7 + G8 + G9 + G10; H7 + H8 + H9 + H10; I7 + I8 + I9 + I10)

д) в ячейке D7 определите норму матрицы по формуле: =МАКС(G7 + H7 + I7; G8 + H8 + I8; G9 + H9 + I9; G10 + H10 + I10). Если полученный ответ меньше 1, то метод сходится при любых начальных приближениях. За начальное (нулевое) приближение возьмите полученные свободные члены и внесите их в ячейки G2:G5. Вычислим первые приближенные значения: х1(1), х2(1), х3(1), х4(1) по формулам (табл. 1.2);

Таблица 1.2 – Вычисление первых приближенных значений

Ячейка

Формула

В13

= E8 – B8*G3 – C8 * G4 – D8 * G5

В14

= E9 – B9 * G2 – C9 * G4 – D9 * G5

В15

= E10 – B10 * G2 – C10 * G3 – D10 * G5

В16

= E11 – B11 * G2 – C11 * G3 – D11 * G4

е) таким образом получите первые приближенные значения х1, х2, х3, х4. Далее в ячейки С13:С16 введите формулы, используя уже новые полученные приближения из В13:В16 (табл. 1.3).

Таблица 1.3 – Продолжение вычислений

Ячейка

Формула

С13

= $E$8 – $B$8 * B14 – $C$8 * B15 – $D$8 * B16

С14

= $E$9 – $B$9 * B13 – $C$9 * B15 – $D$9 * B16

С15

= $E$10 – $B$10 * B13 – $C$10 * B14 – $D$10 * B16

С16

= $E$11 – $B$11 * B13 – $C$11 * B14 – $D$11 * B15

ж) используя полученные вторые приближения, скопируйте формулы из ячеек С13:С16 на блок ячеек D13:D16. В результате получите новые приближенные значения корней. Продолжайте операцию копирования, получая новые приближения. Момент прекращения вычислений определите эмпирическим правилом.

1.3.Метод Зейделя в среде MS Excel:

а) в блоке ячеек В19:В22введите формулы вычисления корней уравнения по методу Зейделя (табл. 1.4).

Таблица 1.4 – Вычисление корней уравнения по методу Зейделя

Ячейка

Формула

В19

= $E$8 – $B$8 * G3 – $C$8 * G4 – $D$8 * G5

В20

= $E9 – $B$9 * B19 – $C$9 * G4 – $D$9 * G5

В21

= $E$10 – $B$10 * B19 –$C$10 * B20 – $D$10 * G5

В22

= $E$11 – $B$11 * B19 – $C$11 * B20 – $D$11 * B21

б) рассуждая аналогично, введите формулы в ячейки C19:C22, используя соответственно полученные данные из В19:В22 (табл. 1.5).

Таблица 1.5 – Продолжение вычислений

Ячейка

Формула

С19

=$E$8 – $B$8 * B20 – $C$8 * B21 – $D$8 * B22

С20

=$E$9 – $B$9 * C19 – $C$9 * B21 – $D$9 * B22

С21

=$E$10 – $B$10 * C19 – $C$10 * C20 – $D$10 * B22

С22

=$E$11 – $B$11 * C19 – $C$11 * C20 – $D$11 * C21

в) скопируйте формулы из ячеек С19:С22 на блоки: D19:D22, Е19:Е22 и т.д. Момент прекращения вычислений определяется, как и в методе простых итераций, эмпирическим правилом.

3. Выполненной задание прислать по эл.почте [email protected]

или в л/с ВК (Елена Ленина)

Источник

Практикум

Цель работы: изучить особенности различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (далее — слау), приобрести навыки решения слау с помощью средств ms Excel и MathCad.

Задание 1. Используя методы Гаусса, простых итераций и Зейделя, разработайте схемы соответствующих алгоритмов решения слау в среде ms Excel.

Пример выполнения задания

Найдите
решение системы

(1.9)

1.1.
Метод Гаусса
в среде MS Excel

1.1.1.
В ячейки А2:Е5 введите расширенную матрицу
системы (рис. 1.1), скопируйте ее в диапазоны
ячеек А7:Е10.

Рисунок
1.1 – Вид решения СЛАУ методом Гаусса в
Excel

Прямой ход метода Гаусса:

a)
предположите,
что в ячейке А2 не ноль. Если это не так,
то переставьте строки таким образом,
чтобы число в ячейке А2 было отлично от
нуля;

б)
выделите диапазон А8:Е8 и в строке формул
введите формулу

=A3:E3–$A$2:$E$2*A3/$A$2,

нажмите
клавиши
<Ctrl> + <Shift> + <Enter>.
В результате
формула примет вид:

{=A3:E3–$A$2:$E$2*A3/$A$2},

где
фигурные скобки указывают на операции
над матрицами;

в)
протянув за маркер автозаполнения,
скопируйте формулу в ячейки А9:Е10. В
результате этих операций коэффициенты
при х₁
во всех уравнениях кроме первого
обратятся в ноль;

г)
выделите диапазон А7:Е10 и скопируйте
значения, хранящиеся в нем в ячейки
диапазонов А12:Е15. Для копирования
значений нужно воспользоваться
специальной вставкой. Ей соответствует
пункт меню Правка-Специальная
вставка.
После выбора этого пункта появляется
диалоговое окно Специальная
вставка, в
котором нужно выбрать Вставить-Значения
и нажать ОК;

д)
аналогичным образом обратите в ноль
коэффициенты при х₂.
В диапазон ячеек В14:Е14 введите формулу

=B9:E9–$B$8:$E$8*B9/$B$8,

нажмите
клавиши
<Ctrl> + <Shift> + <Enter>;

е)
протяните маркер автозаполнения этого
диапазона так, чтобы заполнить ячейки
диапазона В15:Е15. Это обратит в ноль
коэффициенты при х₂
в последних двух уравнениях.

ж)
далее содержимое (только значения!)
диапазона A12:Е15
скопируйте в ячейки диапазона A17:Е20;

з)
выделите диапазон С20:Е20, введите в него
формулу

{=C15:E15–$C$14:$E$14*C15/$C$14},

что
обратит в ноль коэффициент при х₃
в последнем уравнении;

и)
в результате этих преобразований матрица
системы примет треугольный вид.

1.1.3.
Обратный ход метода Гаусса:

а)
в ячейки G2,
G3,
G4
и G5
введите х4,
x3,
x2
и х1
соответственно, а в ячейки Н2:Н5 — формулы
из таблицы 1.1;

Таблица
1.1 — Обратный ход метода Гаусса

Ячейка	Формула
Н2	= E20 / D20
Н3	= (E19 – D19 * H2) / C19
Н4	= (E18 – D18 * H2 – C18 * H3) / B18
Н5	= (E17 – D17H2 – C17 H3 – B17 * H4) / A17

б)
в результате чего в диапазоне Н2:Н5 будет
получено решение системы (рис. 1.1).

1.2.
Метод простых итераций в
среде MS Excel:

а)
в ячейки А2:Е5 введите расширенную матрицу
системы (рис. 1.2) и сделайте пояснительные
записи;

б)
приведите систему к нормальному виду,
т. е. все коэффициенты первого уравнения
разделите на а₁₁,
все коэффициенты второго уравнения на
а₂₂
и т. д. Для этого в диапазон ячеек
А8:А11 введите надписи: х1=,
х2=,
х3=,
х4=.
Выделите блок ячеек В8:Е8, в строке формул
введите формулу =$B$2:$E$2/$A$2
и нажмите клавиши <Ctrl> + <Shift> + <Enter>
(операция над матрицей);

Рисунок
1.2 – Вид решения СЛАУ методом простых
итераций и методом Зейделя в Excel

б)
в ячейку В9 введите формулу =А3/В3. Далее
выделите диапазон ячеек С9:Е9 и введите
формулу =С3:Е3/В3, используя операцию над
матрицей;

в)
в блок ячеек В10:С10 внесите формулу
=А4:В4/С4, а в блок D10:E10
— соответственно =D4:E4/C4,
используя операцию над матрицами. Для
блока В11:D11 введите формулу =А5:С5/D5, а в
ячейку Е5 — формулу = E5/D5;

г)
из полученной
системы определите норму матрицы и
признак сходимости метода. Для этого
найдите модули полученных коэффициентов
и в ячейку G7 введите формулу =ABS(B8), которую
скопируйте на блок G7:I10. В ячейке D6
проверьте один из признаков сходимости
и введите
формулу
=ЕСЛИ(МАКС (G7 + G8 + G9 + G10; H7 + H8 + H9 + H10; I7 + I8 + I9 + I10) < 1; «сходится»;
«не сходится»);

д)
в ячейке D7 определите норму матрицы по
формуле:
=МАКС(G7 + H7 + I7; G8 + H8 + I8; G9 + H9 + I9; G10 + H10 + I10).
Если полученный ответ меньше 1, то метод
сходится при любых начальных приближениях.
За начальное (нулевое) приближение
возьмите полученные свободные члены и
внесите их в ячейки G2:G5. Вычислим первые
приближенные значения: х1(1),
х2(1),
х3(1),
х4(1)
по формулам (табл. 1.2);

Таблица
1.2 – Вычисление первых приближенных
значений

Ячейка	Формула
В13	= E8 – B8G3 – C8 G4 – D8 * G5
В14	= E9 – B9 * G2 – C9 * G4 – D9 * G5
В15	= E10 – B10 * G2 – C10 * G3 – D10 * G5
В16	= E11 – B11 * G2 – C11 * G3 – D11 * G4

е)
таким образом получите первые приближенные
значения х1,
х2,
х3,
х4.
Далее в ячейки С13:С16 введите формулы,
используя уже новые полученные приближения
из В13:В16 (табл. 1.3).

Таблица
1.3 – Продолжение вычислений

Ячейка	Формула
С13	= $E$8 – $B$8 * B14 – $C$8 * B15 – $D$8 * B16
С14	= $E$9 – $B$9 * B13 – $C$9 * B15 – $D$9 * B16
С15	= $E$10 – $B$10 * B13 – $C$10 * B14 – $D$10 * B16
С16	= $E$11 – $B$11 * B13 – $C$11 * B14 – $D$11 * B15

ж)
используя полученные вторые приближения,
скопируйте формулы из ячеек С13:С16 на
блок ячеек D13:D16.
В результате получите новые приближенные
значения корней. Продолжайте операцию
копирования, получая новые приближения.
Момент прекращения вычислений определите
эмпирическим правилом.

1.3.Метод
Зейделя в
среде MS Excel:

а)
в блоке ячеек В19:В22
введите
формулы вычисления корней уравнения
по методу Зейделя (табл. 1.4).

Таблица
1.4 – Вычисление корней уравнения по
методу Зейделя

Ячейка	Формула
В19	= $E$8 – $B$8 * G3 – $C$8 * G4 – $D$8 * G5
В20	= $E9 – $B$9 * B19 – $C$9 * G4 – $D$9 * G5
В21	= $E$10 – $B$10 * B19 –$C$10 * B20 – $D$10 * G5
В22	= $E$11 – $B$11 * B19 – $C$11 * B20 – $D$11 * B21

б)
рассуждая аналогично, введите формулы
в ячейки C19:C22,
используя соответственно полученные
данные из В19:В22 (табл. 1.5).

Таблица
1.5 – Продолжение вычислений

Ячейка	Формула
С19	=$E$8 – $B$8 * B20 – $C$8 * B21 – $D$8 * B22
С20	=$E$9 – $B$9 * C19 – $C$9 * B21 – $D$9 * B22
С21	=$E$10 – $B$10 * C19 – $C$10 * C20 – $D$10 * B22
С22	=$E$11 – $B$11 * C19 – $C$11 * C20 – $D$11 * C21

в)
скопируйте формулы из ячеек С19:С22 на
блоки: D19:D22,
Е19:Е22 и т.д. Момент прекращения вычислений
определяется, как и в методе простых
итераций, эмпирическим правилом.

Задание
2. Изучите возможности математического
пакета MathCad при решении СЛАУ и разработайте
схемы программ решения СЛАУ с использованием
средств: lsolve( ), Given … Find( ), метода обратной
матрицы и метода Гаусса.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Ячейка	Формула
Н2	= E20 / D20
Н3	= (E19 – D19 * H2) / C19
Н4	= (E18 – D18 * H2 – C18 * H3) / B18
Н5	= (E17 – D17H2 – C17 H3 – B17 * H4) / A17

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Варианты решений

Способ 1: матричный метод

Способ 2: подбор параметров

Способ 3: метод Крамера

Способ 4: метод Гаусса

Решение СЛАУ методом простой итерации

Метод итераций для системы уравнений в Excel

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Практикум

Задание 1. Используя методы Гаусса, простых итераций и Зейделя, разработайте схемы соответствующих алгоритмов решения слау в среде ms Excel.

Пример выполнения задания

Прямой ход метода Гаусса: