Метод главных компонент пример excel - Word и Excel - помощь в работе с программами

This tutorial will help you set up and interpret a Principal Component Analysis (PCA) in Excel using the XLSTAT software.

Dataset for running a principal component analysis in Excel

The data are from the US Census Bureau and describe the changes in the population of 51 states between 2000 and 2001. The initial dataset has been transformed to rates per 1000 inhabitants, with the data for 2001 serving as the focus for the analysis. This dataset is also used in our tutorial.

Goal of this tutorial

Our goal with this PCA example is to analyze the correlations between the variables and to find out if the changes in population in some states are very different from the ones in other states.

What is Principal Component Analysis?

Principal Component Analysis is a very useful method to analyze numerical data structured in a M observations / N variables table. It allows to:

Quickly visualize and analyze correlations between the N variables,
Visualize and analyze the M observations (initially described by the N variables) on a low dimensional map, the optimal view for a variability criterion,
Build a set of P uncorrelated factors

The limits of Principal Component Analysis stem from the fact that it is a projection method, and sometimes the visualization can lead to false interpretations. There are however some tricks to avoid these pitfalls.
It is also important to note that PCA is an exploratory statistical tool and does not generally allow to test hypotheses. The advantage of this aspect is that PCA’s may be run several times with observations or variables being removed or added at every run, as long as those manipulations are justified in the interpretations.

How to set up a Principal Component Analysis in Excel using XLSTAT?

Open XLSTAT
Select the XLSTAT / Analyzing data / Principal components analysis command. The Principal Component Analysis dialog box will appear.
Select the data on the Excel sheet. In this example, the data start from the first row, so it is quicker and easier to use columns selection. This explains why the letters corresponding to the columns are displayed in the selection boxes.
Select Observations/variables in the Data format field because of the format of the input data.
Select Correlation in the PCA type field. The PCA type that will be used during the computations is the Correlation matrix, which corresponds to the Pearson correlation coefficient. Covariance matrices allocate more weight to variables with higher variances. Spearman’s correlations may be more appropriate when running the PCA on variables with different distributions.

In the Outputs tab, activate the option to display significant correlations in bold characters (Test significancy).
In the Charts tab, in order to display the labels on all charts, and to display all the observations (observations charts and biplots), uncheck the filtering option. If there is a lot of data, displaying the labels might slow down the global display of the results. Displaying all the observations might make the results unreadable. In these cases, filtering the observations to display is recommended.
Click OK to launch the computations.
Confirm the axes for which you want to display plots. In this example, the percentage of variability represented by the first two factors is not very high (67.72%); to avoid a misinterpretation of the results, we have decided to complement the results with a second chart on axes 1 and 3.

How to interpret the results of a Principal Component Analysis in Excel using XLSTAT?

How to interpret a PCA correlation matrix?

The first result to look at is the correlation matrix. We can see right away that the rates of people below and above 65 are negatively correlated (r = -1). Either of the two variables could have been removed without effect on the quality of the results. We can also see that the Net Domestic Migration has low correlation with the other variables, including the Net International migration. This means that U.S. nationals and non-nationals may be moving to a state for different sets of reasons.

How to interpret Eigenvalues in Principal Component Analysis?

The next table and the corresponding chart are related to a mathematical object, the eigenvalues, which reflect the quality of the projection from the N-dimensional initial table (N=7 in this example) to a lower number of dimensions. In this example, we can see that the first eigenvalue equals 3.567 and represents 51% of the total variability. This means that if we represent the data on only one axis, we will still be able to see % of the total variability of the data.
Each eigenvalue corresponds to a factor, and each factor to a one dimension. A factor is a linear combination of the initial variables, and all the factors are un-correlated (r=0). The eigenvalues and the corresponding factors are sorted by descending order of how much of the initial variability they represent (converted to %).

Broadly speaking, factor = PCA dimension = PCA axis

Ideally, the first two or three eigenvalues will correspond to a high % of the variance, ensuring us that the maps based on the first two or three factors are a good quality projection of the initial multi-dimensional table. In this example, the first two factors allow us to represent 67.72% of the initial variability of the data. This is a good result, but we’ll have to be careful when we interpret the maps as some information might be hidden in the next factors. We can see here that although we initially had 7 variables, the number of factors is 6. This is due to the two age variables, which are negatively correlated (-1). The number of «useful» dimensions has been automatically detected.

How to interpret results related to variables in PCA?

The first map is called the correlation circle (below on axes F1 and F2). It shows a projection of the initial variables in the factors space. When two variables are far from the center, then, if they are: Close to each other, they are significantly positively correlated (r close to 1); If they are orthogonal, they are not correlated (r close to 0); If they are on the opposite side of the center, then they are significantly negatively correlated (r close to -1).
When the variables are close to the center, some information is carried on other axes, and that any interpretation might be hazardous. For example, we might be tempted to interpret a correlation between the variables Net Domestic migration and Net International Migration although, in fact, there is none. This can be confirmed either by looking at the correlation matrix or by looking at the correlation circle on axes F1 and F3.

The correlation circle is useful in interpreting the meaning of the axes. In this example, the horizontal axis is linked with age and population renewal, and the vertical axis with domestic migration. These trends will be helpful in interpreting the next map. To confirm that a variable is well linked with an axis, take a look at the squared cosines table: the greater the squared cosine, the greater the link with the corresponding axis. The closer the squared cosine of a given variable is to zero, the more careful you have to be when interpreting the results in terms of trends on the corresponding axis. Looking at this table we can see that the trends for international migration would be best viewed on a F2/F3 map.

How to interpret results related to observations in PCA?

The next chart can be the ultimate goal of the Principal Component Analysis (PCA). It enables you to look at the observations on a two- dimensional map, and to identify trends. We can see that the demographics of Nevada and Florida are unique, as are the demographics of Utah and Alaska, two states that share common characteristics. Going back to the table, we can confirm that Utah and Alaska have a low population rate of people over age 65. Utah has the highest birth rate in the U.S., and Alaska ranks high as well.
It is also possible to display biplots, which are simultaneous representations of variables and observations in the PCA space.
Click to view a 3D visualization on the first three axes generated by XLSTAT-3DPlot.

Note on the usage of Principal Component Analysis

Principal component analysis is often performed before a regression, to avoid using correlated variables, or before clustering the data, to have a better overview of the variables. The number of clusters might sometimes be a simple guess based on the maps. The above demographic data have also been used in the tutorial on hierarchical clustering. The «>65 pop» variable has been removed as its inclusion would double the weight of the age variables in the analysis.

Going further

Adding supplementary variables to the PCA

It is possible to add supplementary variables to the PCA after it has been computed. This may help increasing interpretation quality. In XLSTAT, those variables can be selected under the Suppl. Data tab of the PCA dialog box. Supplementary variables can be divided into two types:

Qualitative supplementary variables: they allow to color observations on the map according to the category they belong to. In this tutorial’s example, we could have added a column defining if a state is mostly republican or mostly democrat.
Quantitative supplementary variables: these variables can be added to see how they correlate with the group of variables that have been used to build the PCA. In the case where PCA is performed before a regression, the explanatory variables can be used to construct the PCA while the dependent variable can be added as a supplementary variable. This may help to roughly detect which explanatory variables could have the strongest effects on the dependent variable.

Running an Agglomerative Hierarchical Clustering (AHC) after a PCA

You can also launch an AHC by clicking on the button below the table of factor scores. An orange arrow allows you to go directly to the end of the table if it contains many variables.
By clicking on this button, the AHC dialog box is then automatically configured and you just have to click on the OK button to launch the analysis.
Click here to see how to interpret the results of the AHC analysis.

Watch our video on PCA analysis

The following video will help you better understand PCA and its implementation in XLSTAT.

Was this article useful?

Источник

Метод главных компонентов (английский — principal component analysis, PCA) упрощает сложность высокоразмерных данных, сохраняя тенденции и шаблоны. Он делает это, преобразуя данные в меньшие размеры, которые действуют, как резюме функций. Такие данные очень распространены в разных отраслях науки и техники, и возникают, когда для каждого образца измеряются несколько признаков, например, таких как экспрессия многих видов. Подобный тип данных представляет проблемы, вызванные повышенной частотой ошибок из-за множественной коррекции данных.

Метод похож на кластеризацию — находит шаблоны без ссылок и анализирует их, проверяя, взяты ли образцы из разных групп исследования, и имеют ли они существенные различия. Как и во всех статистических методах, его можно применить неправильно. Масштабирование переменных может привести к разным результатам анализа, и очень важно, чтобы оно не корректировалось, на предмет соответствия предыдущему значению данных.

Цели анализа компонентов

Основная цель метода — обнаружить и уменьшить размерность набора данных, определить новые значимые базовые переменные. Для этого предлагается использовать специальные инструменты, например, собрать многомерные данные в матрице данных TableOfReal, в которой строки связаны со случаями и столбцами переменных. Поэтому TableOfReal интерпретируется как векторы данных numberOfRows, каждый вектор которых имеет число элементов Columns.

Традиционно метод главных компонентов выполняется по ковариационной матрице или по корреляционной матрице, которые можно вычислить из матрицы данных. Ковариационная матрица содержит масштабированные суммы квадратов и кросс-произведений. Корреляционная матрица подобна ковариационной матрице, но в ней сначала переменные, то есть столбцы, были стандартизованы. Вначале придется стандартизировать данные, если дисперсии или единицы измерения переменных сильно отличаются. Чтобы выполнить анализ, выбирают матрицу данных TabelOfReal в списке объектов и даже нажимают перейти.

Это приведет к появлению нового объекта в списке объектов по методу главных компонент. Теперь можно составить график кривых собственных значений, чтобы получить представление о важности каждого. И также программа может предложить действие: получить долю дисперсии или проверить равенство числа собственных значений и получить их равенство. Поскольку компоненты получены путем решения конкретной задачи оптимизации, у них есть некоторые «встроенные» свойства, например, максимальная изменчивость. Кроме того, существует ряд других их свойств, которые могут обеспечить факторный анализ:

дисперсию каждого, при этом доля полной дисперсии исходных переменных задается собственными значениями;
вычисления оценки, которые иллюстрируют значение каждого компонента при наблюдении;
получение нагрузок, которые описывают корреляцию между каждым компонентом и каждой переменной;
корреляцию между исходными переменными, воспроизведенными с помощью р–компонента;
воспроизведения исходных данных могут быть воспроизведены с р–компонентов;
«поворот» компонентов, чтобы повысить их интерпретируемость.

Выбор количества точек хранения

Существует два способа выбрать необходимое количество компонентов для хранения. Оба метода основаны на отношениях между собственными значениями. Для этого рекомендуется построить график значений. Если точки на графике имеют тенденцию выравниваться и достаточно близки к нулю, то их можно игнорировать. Ограничивают количество компонентов до числа, на которое приходится определенная доля общей дисперсии. Например, если пользователя удовлетворяет 95% от общей дисперсии — получают количество компонентов (VAF) 0.95.

Основные компоненты получают проектированием многомерного статистического анализа метода главных компонентов datavectors на пространстве собственных векторов. Это можно сделать двумя способами — непосредственно из TableOfReal без предварительного формирования PCA объекта и затем можно отобразить конфигурацию или ее номера. Выбрать объект и TableOfReal вместе и «Конфигурация», таким образом, выполняется анализ в собственном окружении компонентов.

Если стартовая точка оказывается симметричной матрицей, например, ковариационной, сначала выполняют сокращение до формы, а затем алгоритм QL с неявными сдвигами. Если же наоборот и отправная точка является матрица данных, то нельзя формировать матрицу с суммами квадратов. Вместо этого, переходят от численно более стабильного способа, и образуют разложения по сингулярным значениям. Тогда матрица будет содержать собственные векторы, а квадратные диагональные элементы — собственные значения.

Виды линейных комбинаций

Основным компонентом является нормализованная линейная комбинация исходных предикторов в наборе данных по методу главных компонент для чайников. На изображении выше PC1 и PC2 являются основными компонентами. Допустим, есть ряд предикторов, как X1, X2…,Xp.

Основной компонент можно записать в виде: Z1 = 11X1 + 21X2 + 31X3 + …. + p1Xp

где:

Z1 — является первым главным компонентом;
p1 — является вектором нагрузки, состоящим из нагрузок (1, 2.) первого основного компонента.

Нагрузки ограничены суммой квадрата равного 1. Это связано с тем, что большая величина нагрузок может привести к большой дисперсии. Он также определяет направление основной компоненты (Z1), по которой данные больше всего различаются. Это приводит к тому, что линия в пространстве р-мер, ближе всего к n-наблюдениям.

Близость измеряется с использованием среднеквадратичного евклидова расстояния. X1..Xp являются нормированными предикторами. Нормализованные предикторы имеют среднее значение, равное нулю, а стандартное отклонение равно единице. Следовательно, первый главный компонент — это линейная комбинация исходных предикторных переменных, которая фиксирует максимальную дисперсию в наборе данных. Он определяет направление наибольшей изменчивости в данных. Чем больше изменчивость, зафиксированная в первом компоненте, тем больше информация, полученная им. Ни один другой не может иметь изменчивость выше первого основного.

Первый основной компонент приводит к строке, которая ближе всего к данным и сводит к минимуму сумму квадрата расстояния между точкой данных и линией. Второй главный компонент (Z2) также представляет собой линейную комбинацию исходных предикторов, которая фиксирует оставшуюся дисперсию в наборе данных и некоррелирована Z1. Другими словами, корреляция между первым и вторым компонентами должна равняться нулю. Он может быть представлен как: Z2 = 12X1 + 22X2 + 32X3 + …. + p2Xp.

Если они некоррелированы, их направления должны быть ортогональными.

Процесс прогнозирования тестовых данных

После того как вычислены главные компоненты начинают процесс прогнозирования тестовых данных с их использованием. Процесс метода главных компонент для чайников прост.

Например, необходимо сделать преобразование в тестовый набор, включая функцию центра и масштабирования в языке R (вер.3.4.2) и его библиотеке rvest. R — свободный язык программирования для статистических вычислений и графики. Он был реконструирован в 1992 году для решения статистических задач пользователями. Это полный процесс моделирования после извлечения PCA.

Набор данных Python:

Для реализации PCA в python импортируют данные из библиотеки sklearn. Интерпретация остается такой же, как и пользователей R. Только набор данных, используемый для Python, представляет собой очищенную версию, в которой отсутствуют вмененные недостающие значения, а категориальные переменные преобразуются в числовые. Процесс моделирования остается таким же, как описано выше для пользователей R. Метод главных компонент, пример расчета:

Спектральное разложение

Идея метода основного компонента заключается в приближении этого выражения для выполнения факторного анализа. Вместо суммирования от 1 до p теперь суммируются от 1 до m, игнорируя последние p-m членов в сумме и получая третье выражение. Можно переписать это, как показано в выражении, которое используется для определения матрицы факторных нагрузок L, что дает окончательное выражение в матричной нотации. Если используются стандартизованные измерения, заменяют S на матрицу корреляционной выборки R.

Это формирует матрицу L фактор-нагрузки в факторном анализе и сопровождается транспонированной L. Для оценки конкретных дисперсий фактор-модель для матрицы дисперсии-ковариации.

Σ = L L’+ Ψ

Теперь будет равна матрице дисперсии-ковариации минус LL ‘ .

Ψ = Σ — L L’

Основные компоненты определяются по формуле

Где:

Xi — вектор наблюдений для i-го субъекта.
S обозначает нашу выборочную дисперсионно-ковариационную матрицу.

Тогда p собственные значения для этой матрицы ковариации дисперсии, а также соответствующих собственных векторов для этой матрицы.

Собственные значения S:λ^1, λ^2, … , λ^п.

Собственные векторы S:е^1, e^2, … , e^п.

Анализ Excel в биоинформатике

Анализ PCA — это мощный и популярный метод многомерного анализа, который позволяет исследовать многомерные наборы данных с количественными переменными. По этой методике широко используется метод главных компонент в биоинформатике, маркетинге, социологии и многих других областях. XLSTAT предоставляет полную и гибкую функцию для изучения данных непосредственно в Excel и предлагает несколько стандартных и расширенных опций, которые позволят получить глубокое представление о пользовательских данных.

Можно запустить программу на необработанных данных или на матрицах различий, добавить дополнительные переменные или наблюдения, отфильтровать переменные в соответствии с различными критериями для оптимизации чтения карт. Кроме того, можно выполнять повороты. Легко настраивать корреляционный круг, график наблюдений в качестве стандартных диаграмм Excel. Достаточно перенести данные из отчета о результатах, чтобы использовать их в анализе.

XLSTAT предлагает несколько методов обработки данных, которые будут использоваться на входных данных до вычислений основного компонента:

Pearson, классический PCA, который автоматически стандартизирует данные для вычислений, чтобы избежать раздутого влияния переменных с большими отклонениями от результата.
Ковариация, которая работает с нестандартными отклонениями.
Полихорические, для порядковых данных.

Примеры анализа данных размерностей

Можно рассмотреть метод главных компонентов на примере выполнения симметричной корреляционной или ковариационной матрицы. Это означает, что матрица должна быть числовой и иметь стандартизованные данные. Допустим, есть набор данных размерностью 300 (n) × 50 (p). Где n — представляет количество наблюдений, а p — число предикторов.

Поскольку имеется большой p = 50, может быть p(p-1)/2 диаграмма рассеяния. В этом случае было бы хорошим подходом выбрать подмножество предиктора p (p<< 50), который фиксирует количество информации. Затем следует составление графика наблюдения в полученном низкоразмерном пространстве. Не следует забывать, что каждое измерение является линейной комбинацией р-функций.

Пример для матрицы с двумя переменными. В этом примере метода главных компонентов создается набор данных с двумя переменными (большая длина и диагональная длина) с использованием искусственных данных Дэвиса.

Компоненты можно нарисовать на диаграмме рассеяния следующим образом.

Этот график иллюстрирует идею первого или главного компонента, обеспечивающего оптимальную сводку данных — никакая другая линия, нарисованная на таком графике рассеяния, не создаст набор прогнозируемых значений точек данных на линии с меньшей дисперсией.

Первый компонент также имеет приложение в регрессии с уменьшенной главной осью (RMA), в которой предполагается, что как x-, так и y-переменные имеют ошибки или неопределенности или, где нет четкого различия между предсказателем и ответом.

Эконометрические модели прогнозирования

Метод главных компонентов в эконометрике — это анализ переменных, таких как ВНП, инфляция, обменные курсы и т. д. Их уравнения затем оцениваются по имеющимся данным, главным образом совокупным временным рядам. Однако эконометрические модели могут использоваться для многих приложений, а не для макроэкономических. Таким образом, эконометрика означает экономическое измерение.

Применение статистических методов к соответствующей эконометрике данных показывает взаимосвязь между экономическими переменными. Простой пример эконометрической модели. Предполагается, что ежемесячные расходы потребителей линейно зависят от доходов потребителей в предыдущем месяце. Тогда модель будет состоять из уравнения

Задачей эконометрика является получение оценок параметров a и b. Эти оценочные значения параметров, если они используются в уравнении модели, позволяют прогнозировать будущие значения потребления, которые будут зависеть от дохода предыдущего месяца. При разработке этих видов моделей необходимо учитывать несколько моментов:

характер вероятностного процесса, который генерирует данные;
уровень знаний об этом;
размер системы;
форма анализа;
горизонт прогноза;
математическая сложность системы.

Все эти предпосылки важны, потому что от них зависят источники ошибок, вытекающих из модели. Кроме того, для решения этих проблем необходимо определить метод прогнозирования. Его можно привести к линейной модели, даже если имеется только небольшая выборка. Этот тип является одним из самых общих, для которого можно создать прогнозный анализ.

Непараметрическая статистика

Метод главных компонент для непараметрических данных относится к методам измерения, в которых данные извлекаются из определенного распределения. Непараметрические статистические методы широко используются в различных типах исследований. На практике, когда предположение о нормальности измерений не выполняется, параметрические статистические методы могут приводить к вводящим в заблуждение результатам. Напротив, непараметрические методы делают гораздо менее строгие предположения о распределении по измерениям.

Они являются достоверными независимо от лежащих в их основе распределений наблюдений. Из-за этого привлекательного преимущества для анализа различных типов экспериментальных конструкций было разработано много разных типов непараметрических тестов. Такие проекты охватывают дизайн с одной выборкой, дизайн с двумя образцами, дизайн рандомизированных блоков. В настоящее время непараметрический байесовский подход с применением метода главных компонентов используется для упрощения анализа надежности железнодорожных систем.

Железнодорожная система представляет собой типичную крупномасштабную сложную систему с взаимосвязанными подсистемами, которые содержат многочисленные компоненты. Надежность системы сохраняется за счет соответствующих мер по техническому обслуживанию, а экономичное управление активами требует точной оценки надежности на самом низком уровне. Однако данные реальной надежности на уровне компонентов железнодорожной системы не всегда доступны на практике, не говоря уже о завершении. Распределение жизненных циклов компонентов от производителей часто скрывается и усложняется фактическим использованием и рабочей средой. Таким образом, анализ надежности требует подходящей методологии для оценки времени жизни компонента в условиях отсутствия данных об отказах.

Метод главных компонент в общественных науках используется для выполнения двух главных задач:

анализа по данным социологических исследований;
построения моделей общественных явлений.

Алгоритмы расчета моделей

Алгоритмы метода главных компонент дают другое представление о структуре модели и ее интерпретации. Они являются отражением того, как PCA используется в разных дисциплинах. Алгоритм нелинейного итеративного частичного наименьшего квадрата NIPALS представляет собой последовательный метод вычисления компонентов. Вычисление может быть прекращено досрочно, когда пользователь считает, что их достаточно. Большинство компьютерных пакетов имеют тенденцию использовать алгоритм NIPALS, поскольку он имеет два основных преимущества:

он обрабатывает отсутствующие данные;
последовательно вычисляет компоненты.

Цель рассмотрения этого алгоритма:

дает дополнительное представление о том, что означают нагрузки и оценки;
показывает, как каждый компонент не зависит ортогонально от других компонентов;
показывает, как алгоритм может обрабатывать недостающие данные.

Алгоритм последовательно извлекает каждый компонент, начиная с первого направления наибольшей дисперсии, а затем второго и т. д. NIPALS вычисляет один компонент за раз. Вычисленный первый эквивалентен t1t1, а также p1p1 векторов, которые были бы найдены из собственного значения или разложения по сингулярным значениям, может обрабатывать недостающие данные в XX. Он всегда сходится, но сходимость иногда может быть медленной. И также известен, как алгоритм мощности для вычисления собственных векторов и собственных значений и отлично работает для очень больших наборов данных. Google использовал этот алгоритм для ранних версий своей поисковой системы.

Алгоритм NIPALS показан на фото ниже.

Оценки коэффициента матрицы Т затем вычисляется как T=XW и в частичной мере коэффициентов регрессии квадратов B из Y на X, вычисляются, как B = WQ. Альтернативный метод оценки для частей регрессии частичных наименьших квадратов можно описать следующим образом.

Метод главных компонентов — это инструмент для определения основных осей дисперсии в наборе данных и позволяет легко исследовать ключевые переменные данных. Правильно примененный метод является одним из самых мощных в наборе инструментов анализа данных.

Источник

Время на прочтение
10 мин

Количество просмотров 221K

В этой статье я бы хотел рассказать о том, как именно работает метод анализа главных компонент (PCA – principal component analysis) с точки зрения интуиции, стоящей за ее математическим аппаратом. Максимально просто, но подробно.

Математика вообще очень красивая и изящная наука, но порой ее красота скрывается за кучей слоев абстракции. Показать эту красоту лучше всего на простых примерах, которые, так сказать, можно покрутить, поиграть и пощупать, потому что в конце концов все оказывается гораздо проще, чем кажется на первый взгляд – самое главное понять и представить.

В анализе данных, как и в любом другом анализе, порой бывает нелишним создать упрощенную модель, максимально точно описывающую реальное положение дел. Часто бывает так, что признаки довольно сильно зависят друг от друга и их одновременное наличие избыточно.

К примеру, расход топлива у нас меряется в литрах на 100 км, а в США в милях на галлон. На первый взгляд, величины разные, но на самом деле они строго зависят друг от друга. В миле 1600м, а в галлоне 3.8л. Один признак строго зависит от другого, зная один, знаем и другой.

Но гораздо чаще бывает так, что признаки зависят друг от друга не так строго и (что важно!) не так явно. Объем двигателя в целом положительно влияет на разгон до 100 км/ч, но это верно не всегда. А еще может оказаться, что с учетом не видимых на первый взгляд факторов (типа улучшения качества топлива, использования более легких материалов и прочих современных достижений), год автомобиля не сильно, но тоже влияет на его разгон.

Зная зависимости и их силу, мы можем выразить несколько признаков через один, слить воедино, так сказать, и работать уже с более простой моделью. Конечно, избежать потерь информации, скорее всего не удастся, но минимизировать ее нам поможет как раз метод PCA.

Выражаясь более строго, данный метод аппроксимирует n-размерное облако наблюдений до эллипсоида (тоже n-мерного), полуоси которого и будут являться будущими главными компонентами. И при проекции на такие оси (снижении размерности) сохраняется наибольшее количество информации.

Шаг 1. Подготовка данных

Здесь для простоты примера я не буду брать реальные обучающие датасеты на десятки признаков и сотни наблюдений, а сделаю свой, максимально простой игрушечный пример. 2 признака и 10 наблюдений будет вполне достаточно для описания того, что, а главное – зачем, происходит в недрах алгоритма.

Сгенерируем выборку:

x = np.arange(1,11)
y = 2 * x + np.random.randn(10)*2
X = np.vstack((x,y))
print X

OUT:
[[  1.           2.           3.           4.           5.          
    6.           7.           8.           9.          10.        ]
 [  2.73446908   4.35122722   7.21132988  11.24872601   9.58103444   
  12.09865079  13.78706794  13.85301221  15.29003911  18.0998018 ]]

В данной выборке у нас имеются два признака, сильно коррелирующие друг с другом. С помощью алгоритма PCA мы сможем легко найти признак-комбинацию и, ценой части информации, выразить оба этих признака одним новым. Итак, давайте разбираться!

Для начала немного статистики. Вспомним, что для описания случайной величины используются моменты. Нужные нам – мат. ожидание и дисперсия. Можно сказать, что мат. ожидание – это «центр тяжести» величины, а дисперсия – это ее «размеры». Грубо говоря, мат. ожидание задает положение случайной величины, а дисперсия – ее размер (точнее, разброс).

Сам процесс проецирования на вектор никак не влияет на значения средних, так как для минимизации потерь информации наш вектор должен проходить через центр нашей выборки. Поэтому нет ничего страшного, если мы отцентрируем нашу выборку – линейно сдвинем ее так, чтобы средние значения признаков были равны 0. Это очень сильно упростит наши дальнейшие вычисления (хотя, стоит отметить, что можно обойтись и без центрирования).
Оператор, обратный сдвигу будет равен вектору изначальных средних значений – он понадобится для восстановления выборки в исходной размерности.

Xcentered = (X[0] - x.mean(), X[1] - y.mean())
m = (x.mean(), y.mean())
print Xcentered
print "Mean vector: ", m

OUT:
(array([-4.5, -3.5, -2.5, -1.5, -0.5,  0.5,  1.5,  2.5,  3.5,  4.5]),
 array([-8.44644233, -8.32845585, -4.93314426, -2.56723136,  1.01013247,
         0.58413394,  1.86599939,  7.00558491,  4.21440647,  9.59501658]))
Mean vector:  (5.5, 10.314393916)

Дисперсия же сильно зависит от порядков значений случайной величины, т.е. чувствительна к масштабированию. Поэтому если единицы измерения признаков сильно различаются своими порядками, крайне рекомендуется стандартизировать их. В нашем случае значения не сильно разнятся в порядках, так что для простоты примера мы не будем выполнять эту операцию.

Шаг 2. Ковариационная матрица

В случае с многомерной случайной величиной (случайным вектором) положение центра все так же будет являться мат. ожиданиями ее проекций на оси. А вот для описания ее формы уже недостаточно толькое ее дисперсий по осям. Посмотрите на эти графики, у всех трех случайных величин одинаковые мат.ожидания и дисперсии, а их проекции на оси в целом окажутся одинаковы!

Для описания формы случайного вектора необходима ковариационная матрица.

Это матрица, у которой (i,j)-элемент является корреляцией признаков (X_i, X_j). Вспомним формулу ковариации:

В нашем случае она упрощается, так как

E(X_i) = E(X_j) = 0:

Заметим, что когда X_i = X_j:

и это справедливо для любых случайных величин.

Таким образом, в нашей матрице по диагонали будут дисперсии признаков (т.к. i = j), а в остальных ячейках – ковариации соответствующих пар признаков. А в силу симметричности ковариации матрица тоже будет симметрична.

Замечание: Ковариационная матрица является обобщением дисперсии на случай многомерных случайных величин – она так же описывает форму (разброс) случайной величины, как и дисперсия.

И действительно, дисперсия одномерной случайной величины – это ковариационная матрица размера 1×1, в которой ее единственный член задан формулой Cov(X,X) = Var(X).

Итак, сформируем ковариационную матрицу Σ для нашей выборки. Для этого посчитаем дисперсии X_i и X_j, а также их ковариацию. Можно воспользоваться вышенаписанной формулой, но раз уж мы вооружились Python’ом, то грех не воспользоваться функцией numpy.cov(X). Она принимает на вход список всех признаков случайной величины и возвращает ее ковариационную матрицу и где X – n-мерный случайный вектор (n-количество строк). Функция отлично подходит и для расчета несмещенной дисперсии, и для ковариации двух величин, и для составления ковариационной матрицы.
(Напомню, что в Python матрица представляется массивом-столбцом массивов-строк.)

covmat = np.cov(Xcentered)
print covmat, "n"
print "Variance of X: ", np.cov(Xcentered)[0,0]
print "Variance of Y: ", np.cov(Xcentered)[1,1]
print "Covariance X and Y: ", np.cov(Xcentered)[0,1]

OUT:
[[  9.16666667  17.93002811]
 [ 17.93002811  37.26438587]] 

Variance of X:  9.16666666667
Variance of Y:  37.2643858743
Covariance X and Y:  17.9300281124

Шаг 3. Собственные вектора и значения (айгенпары)

О’кей, мы получили матрицу, описывающую форму нашей случайной величины, из которой мы можем получить ее размеры по x и y (т.е. X₁ и X₂), а также примерную форму на плоскости. Теперь надо найти такой вектор (в нашем случае только один), при котором максимизировался бы размер (дисперсия) проекции нашей выборки на него.

Замечание: Обобщение дисперсии на высшие размерности — ковариационная матрица, и эти два понятия эквивалентны. При проекции на вектор максимизируется дисперсия проекции, при проекции на пространства больших порядков – вся ее ковариационная матрица.

Итак, возьмем единичный вектор на который будем проецировать наш случайный вектор X. Тогда проекция на него будет равна v^TX. Дисперсия проекции на вектор будет соответственно равна Var(v^TX). В общем виде в векторной форме (для центрированных величин) дисперсия выражается так:

Соответственно, дисперсия проекции:

Легко заметить, что дисперсия максимизируется при максимальном значении v^T Σv. Здесь нам поможет отношение Рэлея. Не вдаваясь слишком глубоко в математику, просто скажу, что у отношения Рэлея есть специальный случай для ковариационных матриц:

Последняя формула должна быть знакома по теме разложения матрицы на собственные вектора и значения. x является собственным вектором, а λ – собственным значением. Количество собственных векторов и значений равны размеру матрицы (и значения могут повторяться).

Кстати, в английском языке собственные значения и векторы именуются eigenvalues и eigenvectors соответственно.
Мне кажется, это звучит намного более красиво (и кратко), чем наши термины.

Таким образом, направление максимальной дисперсии у проекции всегда совпадает с айгенвектором, имеющим максимальное собственное значение, равное величине этой дисперсии.

И это справедливо также для проекций на большее количество измерений – дисперсия (ковариационная матрица) проекции на m-мерное пространство будет максимальна в направлении m айгенвекторов, имеющих максимальные собственные значения.

Размерность нашей выборки равна двум и количество айгенвекторов у нее, соответственно, 2. Найдем их.

В библиотеке numpy реализована функция numpy.linalg.eig(X), где X – квадратная матрица. Она возвращает 2 массива – массив айгензначений и массив айгенвекторов (векторы-столбцы). И векторы нормированы — их длина равна 1. Как раз то, что надо. Эти 2 вектора задают новый базис для выборки, такой что его оси совпадают с полуосями аппроксимирующего эллипса нашей выборки.

На этом графике мы апроксимировали нашу выборку эллипсом с радиусами в 2 сигмы (т.е. он должен содержать в себе 95% всех наблюдений – что в принципе мы здесь и наблюдаем). Я инвертировал больший вектор (функция eig(X) направляла его в обратную сторону) – нам важно направление, а не ориентация вектора.

Шаг 4. Снижение размерности (проекция)

Наибольший вектор имеет направление, схожее с линией регрессии и, спроецировав на него нашу выборку, мы потеряем информацию, сравнимую с суммой остаточных членов регрессии (только расстояние теперь евклидово, а не дельта по Y). В нашем случае зависимость между признаками очень сильная, так что потеря информации будет минимальна. «Цена» проекции — дисперсия по меньшему айгенвектору — как видно из предыдущего графика, очень невелика.

Замечание: диагональные элементы ковариационной матрицы показывают дисперсии по изначальному базису, а ее собственные значения – по новому (по главным компонентам).

Часто требуется оценить объем потерянной (и сохраненной) информации. Удобнее всего представить в процентах. Мы берем дисперсии по каждой из осей и делим на общую сумму дисперсий по осям (т.е. сумму всех собственных чисел ковариационной матрицы).
Таким образом, наш больший вектор описывает 45.994 / 46.431 * 100% = 99.06%, а меньший, соответственно, примерно 0.94%. Отбросив меньший вектор и спроецировав данные на больший, мы потеряем меньше 1% информации! Отличный результат!

Замечание: На практике, в большинстве случаев, если суммарная потеря информации составляет не более 10-20%, то можно спокойно снижать размерность.

Для проведения проекции, как уже упоминалось ранее на шаге 3, надо провести операцию v^TX (вектор должен быть длины 1). Или, если у нас не один вектор, а гиперплоскость, то вместо вектора v^T берем матрицу базисных векторов V^T. Полученный вектор (или матрица) будет являться массивом проекций наших наблюдений.

_, vecs = np.linalg.eig(covmat)
v = -vecs[:,1])
Xnew = dot(v,Xcentered)
print Xnew

OUT:
[ -9.56404107  -9.02021624  -5.52974822  -2.96481262   0.68933859
   0.74406645   2.33433492   7.39307974   5.3212742   10.59672425]

dot(X,Y) — почленное произведение (так мы перемножаем векторы и матрицы в Python)

Нетрудно заметить, что значения проекций соответствуют картине на предыдущем графике.

Шаг 5. Восстановление данных

С проекцией удобно работать, строить на ее основе гипотезы и разрабатывать модели. Но не всегда полученные главные компоненты будут иметь явный, понятный постороннему человеку, смысл. Иногда полезно раскодировать, к примеру, обнаруженные выбросы, чтобы посмотреть, что за наблюдения за ними стоят.

Это очень просто. У нас есть вся необходимая информация, а именно координаты базисных векторов в исходном базисе (векторы, на которые мы проецировали) и вектор средних (для отмены центровки). Возьмем, к примеру, наибольшее значение: 10.596… и раскодируем его. Для этого умножим его справа на транспонированный вектор и прибавим вектор средних, или в общем виде для всей выборки: X^Tv^T+m

n = 9     #номер элемента случайной величины
Xrestored = dot(Xnew[n],v) + m
print 'Restored: ', Xrestored
print 'Original: ', X[:,n]

OUT:
Restored:  [ 10.13864361  19.84190935]
Original:  [ 10.         19.9094105]

Разница небольшая, но она есть. Ведь потерянная информация не восстанавливается. Тем не менее, если простота важнее точности, восстановленное значение отлично аппроксимирует исходное.

Вместо заключения – проверка алгоритма

Итак, мы разобрали алгоритм, показали как он работает на игрушечном примере, теперь осталось только сравнить его с PCA, реализованным в sklearn – ведь пользоваться будем именно им.

from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components = 1)
XPCAreduced = pca.fit_transform(transpose(X))

Параметр n_components указывает на количество измерений, на которые будет производиться проекция, то есть до скольки измерений мы хотим снизить наш датасет. Другими словами – это n айгенвекторов с самыми большими собственными числами. Проверим результат снижения размерности:

print 'Our reduced X: n', Xnew
print 'Sklearn reduced X: n', XPCAreduced

OUT:
Our reduced X: 
[ -9.56404106  -9.02021625  -5.52974822  -2.96481262   0.68933859
   0.74406645   2.33433492   7.39307974   5.3212742   10.59672425]
Sklearn reduced X: 
[[ -9.56404106]
 [ -9.02021625]
 [ -5.52974822]
 [ -2.96481262]
 [  0.68933859]
 [  0.74406645]
 [  2.33433492]
 [  7.39307974]
 [  5.3212742 ]
 [ 10.59672425]]

Мы возвращали результат как матрицу вектор-столбцов наблюдений (это более канонический вид с точки зрения линейной алгебры), PCA в sklearn же возвращает вертикальный массив.

В принципе, это не критично, просто стоит отметить, что в линейной алгебре канонично записывать матрицы через вектор-столбцы, а в анализе данных (и прочих связанных с БД областях) наблюдения (транзакции, записи) обычно записываются строками.

Проверим и прочие параметры модели – функция имеет ряд атрибутов, позволяющих получить доступ к промежуточным переменным:

— Вектор средних: mean_
— Вектор(матрица) проекции: components_
— Дисперсии осей проекции (выборочная): explained_variance_
— Доля информации (доля от общей дисперсии): explained_variance_ratio_

Замечание: explained_variance_ показывает выборочную дисперсию, тогда как функция cov() для построения ковариационной матрицы рассчитывает несмещенные дисперсии!

Сравним полученные нами значения со значениями библиотечной функции.

print 'Mean vector: ', pca.mean_, m
print 'Projection: ', pca.components_, v
print 'Explained variance ratio: ', pca.explained_variance_ratio_, l[1]/sum(l)

OUT: 
Mean vector:  [  5.5         10.31439392] (5.5, 10.314393916)
Projection:  [[ 0.43774316  0.89910006]] (0.43774316434772387, 0.89910006232167594)
Explained variance:  [ 41.39455058] 45.9939450918
Explained variance ratio:  [ 0.99058588] 0.990585881238

Единственное различие – в дисперсиях, но как уже упоминалось, мы использовали функцию cov(), которая использует несмещенную дисперсию, тогда как атрибут explained_variance_ возвращает выборочную. Они отличаются только тем, что первая для получения мат.ожидания делит на (n-1), а вторая – на n. Легко проверить, что 45.99 ∙ (10 — 1) / 10 = 41.39.

Все остальные значения совпадают, что означает, что наши алгоритмы эквивалентны. И напоследок замечу, что атрибуты библиотечного алгоритма имеют меньшую точность, поскольку он наверняка оптимизирован под быстродействие, либо просто для удобства округляет значения (либо у меня какие-то глюки).

Замечание: библиотечный метод автоматически проецирует на оси, максимизирующие дисперсию. Это не всегда рационально. К примеру, на данном рисунке неаккуратное снижение размерности приведет к тому, что классификация станет невозможна. Тем не менее, проекция на меньший вектор успешно снизит размерность и сохранит классификатор.

Итак, мы рассмотрели принципы работы алгоритма PCA и его реализации в sklearn. Я надеюсь, эта статья была достаточно понятна тем, кто только начинает знакомство с анализом данных, а также хоть немного информативна для тех, кто хорошо знает данный алгоритм. Интуитивное представление крайне полезно для понимания того, как работает метод, а понимание очень важно для правильной настройки выбранной модели. Спасибо за внимание!

P.S.: Просьба не ругать автора за возможные неточности. Автор сам в процессе знакомства с дата-анализом и хочет помочь таким же как он в процессе освоения этой удивительной области знаний! Но конструктивная критика и разнообразный опыт всячески приветствуются!

Источник

К примеру, расход топлива у нас меряется в литрах на 100 км, а в США в милях на галлон. На первый взгляд, величиные разные, но на самом деле они строго зависят друг от друга. В миле 1600км, а в галлоне 3.8л. Один признак строго зависит от другого, зная один, знаем и другой.

Шаг 1. Подготовка данных

Сгенерируем выборку:

X = np.arange(1,11)
y = 2 * x + np.random.randn(10)*2
X = np.vstack((x,y))
print X
OUT:
[[ 1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10. ]
[ 2.73446908 4.35122722 7.21132988 11.24872601 9.58103444
12.09865079 13.78706794 13.85301221 15.29003911 18.0998018 ]]

Xcentered = (X — x.mean(), X — y.mean())
m = (x.mean(), y.mean())
print Xcentered
print «Mean vector: «, m
OUT:
(array([-4.5, -3.5, -2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5]),
array([-8.44644233, -8.32845585, -4.93314426, -2.56723136, 1.01013247,
0.58413394, 1.86599939, 7.00558491, 4.21440647, 9.59501658]))
Mean vector: (5.5, 10.314393916)

Шаг 2. Ковариационная матрица

Для описания формы случайного вектора необходима ковариационная матрица.

Это матрица, у которой (i,j)
-элемент является корреляцией признаков (X i , X j). Вспомним формулу ковариации:

В нашем случае она упрощается, так как E(X i) = E(X j) = 0:

Заметим, что когда X i = X j:

и это справедливо для любых случайных величин.

Замечание:
Ковариационная матрица является обобщением дисперсии на случай многомерных случайных величин – она так же описывает форму (разброс) случайной величины, как и дисперсия.

Итак, сформируем ковариационную матрицу Σ
для нашей выборки. Для этого посчитаем дисперсии X i и X j , а также их ковариацию. Можно воспользоваться вышенаписанной формулой, но раз уж мы вооружились Python’ом, то грех не воспользоваться функцией numpy.cov(X)
. Она принимает на вход список всех признаков случайной величины и возвращает ее ковариационную матрицу и где X – n-мерный случайный вектор (n-количество строк). Функция отлично подходит и для расчета несмещенной дисперсии, и для ковариации двух величин, и для составления ковариационной матрицы.
(Напомню, что в Python матрица представляется массивом-столбцом массивов-строк.)

Covmat = np.cov(Xcentered)
print covmat, «n»
print «Variance of X: «, np.cov(Xcentered)
print «Variance of Y: «, np.cov(Xcentered)
print «Covariance X and Y: «, np.cov(Xcentered)
OUT:
[[ 9.16666667 17.93002811]
[ 17.93002811 37.26438587]]
Variance of X: 9.16666666667
Variance of Y: 37.2643858743
Covariance X and Y: 17.9300281124

Шаг 3. Собственные вектора и значения (айгенпары)

О»кей, мы получили матрицу, описывающую форму нашей случайной величины, из которой мы можем получить ее размеры по x и y (т.е. X 1 и X 2), а также примерную форму на плоскости. Теперь надо надо найти такой вектор (в нашем случае только один), при котором максимизировался бы размер (дисперсия) проекции нашей выборки на него.

Замечание:
Обобщение дисперсии на высшие размерности — ковариационная матрица, и эти два понятия эквивалентны. При проекции на вектор максимизируется дисперсия проекции, при проекции на пространства больших порядков – вся ее ковариационная матрица.

Итак, возьмем единичный вектор на который будем проецировать наш случайный вектор X. Тогда проекция на него будет равна v T X. Дисперсия проекции на вектор будет соответственно равна Var(v T X). В общем виде в векторной форме (для центрированных величин) дисперсия выражается так:

Соответственно, дисперсия проекции:

Легко заметить, что дисперсия максимизируется при максимальном значении v T Σv. Здесь нам поможет отношение Рэлея. Не вдаваясь слишком глубоко в математику, просто скажу, что у отношения Рэлея есть специальный случай для ковариационных матриц:

Кстати, в английском языке собственные значения и векторы именуются eigenvalues
и eigenvectors
соответственно.
Мне кажется, это звучит намного более красиво (и кратко), чем наши термины.

Таким образом, направление максимальной дисперсии у проекции всегда совпадает с айгенвектором имеющим максимальное собственное значение, равное величине этой дисперсии
.

Размерность нашей выборки равна двум и количество айгенвекторов у нее, соответственно, 2. Найдем их.

В библиотеке numpy реализована функция numpy.linalg.eig(X)
, где X – квадратная матрица. Она возвращает 2 массива – массив айгензначений и массив айгенвекторов (векторы-столбцы). И векторы нормированы — их длина равна 1. Как раз то, что надо. Эти 2 вектора задают новый базис для выборки, такой что его оси совпадают с полуосями аппроксимирующего эллипса нашей выборки.

Шаг 4. Снижение размерности (проекция)

Наибольший вектор имеет направление, схожее с линией регрессии и спроецировав на него нашу выборку мы потеряем информацию, сравнимую с суммой остаточных членов регрессии (только расстояние теперь евклидово, а не дельта по Y). В нашем случае зависимость между признаками очень сильная, так что потеря информации будет минимальна. «Цена» проекции — дисперсия по меньшему айгенвектору — как видно из предыдущего графика, очень невелика.

Замечание:
диагональные элементы ковариационной матрицы показывают дисперсии по изначальному базису, а ее собственные значения – по новому (по главным компонентам).

Замечание:
На практике, в большинстве случаев, если суммарная потеря информации составляет не более 10-20%, то можно спокойно снижать размерность.

Для проведения проекции, как уже упоминалось ранее на шаге 3, надо провести операцию v T X (вектор должен быть длины 1). Или, если у нас не один вектор, а гиперплоскость, то вместо вектора v T берем матрицу базисных векторов V T . Полученный вектор (или матрица) будет являться массивом проекций наших наблюдений.

V = (-vecs, -vecs)
Xnew = dot(v,Xcentered)
print Xnew
OUT:
[ -9.56404107 -9.02021624 -5.52974822 -2.96481262 0.68933859
0.74406645 2.33433492 7.39307974 5.3212742 10.59672425]

dot(X,Y)
— почленное произведение (так мы перемножаем векторы и матрицы в Python)

Нетрудно заметить, что значения проекций соответствуют картине на предыдущем графике.

Шаг 5. Восстановление данных

Xrestored = dot(Xnew,v) + m
print «Restored: «, Xrestored
print «Original: «, X[:,9]
OUT:
Restored: [ 10.13864361 19.84190935]
Original: [ 10. 19.9094105]

Вместо заключения – проверка алгоритма

From sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components = 1)
XPCAreduced = pca.fit_transform(transpose(X))

Параметр n_components
указывает на количество измерений, на которые будет производиться проекция, то есть до скольки измерений мы хотим снизить наш датасет. Другими словами – это n айгенвекторов с самыми большими собственными числами. Проверим результат снижения размерности:

Print «Our reduced X: n», Xnew
print «Sklearn reduced X: n», XPCAreduced
OUT:
Our reduced X:
[ -9.56404106 -9.02021625 -5.52974822 -2.96481262 0.68933859
0.74406645 2.33433492 7.39307974 5.3212742 10.59672425]
Sklearn reduced X:
[[ -9.56404106]
[ -9.02021625]
[ -5.52974822]
[ -2.96481262]
[ 0.68933859]
[ 0.74406645]
[ 2.33433492]
[ 7.39307974]
[ 5.3212742 ]
[ 10.59672425]]

Вектор средних: mean_

— Вектор(матрица) проекции: components_

— Дисперсии осей проекции (выборочная): explained_variance_

— Доля информации (доля от общей дисперсии): explained_variance_ratio_

Замечание:
explained_variance_ показывает выборочную
дисперсию, тогда как функция cov() для построения ковариационной матрицы рассчитывает несмещенные
дисперсии!

Сравним полученные нами значения со значениями библиотечной функции.

Print «Mean vector: «, pca.mean_, m
print «Projection: «, pca.components_, v
print «Explained variance ratio: «, pca.explained_variance_ratio_, l/sum(l)
OUT:
Mean vector: [ 5.5 10.31439392] (5.5, 10.314393916)
Projection: [[ 0.43774316 0.89910006]] (0.43774316434772387, 0.89910006232167594)
Explained variance: [ 41.39455058] 45.9939450918
Explained variance ratio: [ 0.99058588] 0.990585881238

Замечание:
библиотечный метод автоматически проецирует на оси, максимизирующие дисперсию. Это не всегда рационально. К примеру, на данном рисунке неаккуратное снижение размерности приведет к тому, что классификация станет невозможна. Тем не менее, проекция на меньший вектор успешно снизит размерность и сохранит классификатор.

Итак, мы рассмотрели принципы работы алгоритма PCA и его реализации в sklearn. Я надеюсь, эта статья была достаточно понятна тем, кто только начинает знакомство с анализом данных, а также хоть немного информативна для тех, кто хорошо знает данный алгоритм. Интуитивное представление крайне полезно для понимания того как работает метод, а понимание очень важно для правильной настройки выбранной модели. Спасибо за внимание!

P.S.:
Просьба не ругать автора за возможные неточности. Автор сам в процессе знакомства с дата-анализом и хочет помочь таким же как он в процессе освоения этой удивительной области знаний! Но конструктивная критика и разнообразный опыт всячески приветствуются!

Компонентный анализ относится к многомерным методам снижения размерности. Он содержит один метод — метод главных компонент. Главные компоненты представляют собой ортогональную систему координат, в которой дисперсии компонент характеризуют их статистические свойства.

Учитывая, что объекты исследования в экономике характеризуются большим, но конечным количеством признаков, влияние которых подвергается воздействию большого количества случайных причин.

Вычисление главных компонент

Первой главной компонентой Z1 исследуемой системы признаков Х1, Х2, Х3 , Х4 ,…, Хn называется такая центрировано — нормированная линейная комбинация этих признаков, которая среди прочих центрировано — нормированных линейных комбинаций этих признаков, имеет дисперсию наиболее изменчивую.

В качестве второй главной компоненты Z2 мы будем брать такую центрировано — нормированную комбинацию этих признаков, которая:

не коррелированна с первой главной компонентой,

не коррелированны с первой главной компонентой, эта комбинация имеет наибольшую дисперсию.

K-ой главной компонентой Zk (k=1…m) мы будем называть такую центрировано — нормированную комбинацию признаков, которая:

не коррелированна с к-1 предыдущими главными компонентами,

среди всех возможных комбинаций исходных признаков, которые не

не коррелированны с к-1 предыдущими главными компонентами, эта комбинация имеет наибольшую дисперсию.

Введём ортогональную матрицу U и перейдём от переменных Х к переменным Z, причём

Вектор выбирается т. о., чтобы дисперсия была максимальной. После получения выбирается т. о., чтобы дисперсия была максимальной при условии, что не коррелированно с и т. д.

Так как признаки измерены в несопоставимых величинах, то удобнее будет перейти к центрированно-нормированным величинам. Матрицу исходных центрированно-нормированных значений признаков найдем из соотношения:

где — несмещенная, состоятельная и эффективная оценка математического ожидания,

Несмещенная, состоятельная и эффективная оценка дисперсии.

Матрица наблюденных значений исходных признаков приведена в Приложении.

Центрирование и нормирование произведено с помощью программы»Stadia».

Так как признаки центрированы и нормированы, то оценку корреляционной матрицы можно произвести по формуле:

Перед тем как проводить компонентный анализ, проведем анализ независимости исходных признаков.

Проверка значимости матрицы парных корреляций с помощью критерия Уилкса.

Выдвигаем гипотезу:

Н0: незначима

Н1: значима

125,7; (0,05;3,3) = 7,8

т.к > , то гипотеза Н0 отвергается и матрица является значимой, следовательно, имеет смысл проводить компонентный анализ.

Проверим гипотезу о диагональности ковариационной матрицы

Выдвигаем гипотезу:

Строим статистику, распределена по закону с степенями свободы.

123,21, (0,05;10) =18,307

т.к >, то гипотеза Н0 отвергается и имеет смысл проводить компонентный анализ.

Для построения матрицы факторных нагрузок необходимо найти собственные числа матрицы, решив уравнение.

Используем для этой операции функцию eigenvals системы MathCAD, которая возвращает собственные числа матрицы:

Т.к. исходные данные представляют собой выборку из генеральной совокупности, то мы получили не собственные числа и собственные вектора матрицы, а их оценки. Нас будет интересовать на сколько “хорошо” со статистической точки зрения выборочные характеристики описывают соответствующие параметры для генеральной совокупности.

Доверительный интервал для i-го собственного числа ищется по формуле:

Доверительные интервалы для собственных чисел в итоге принимают вид:

Оценка значения нескольких собственных чисел попадает в доверительный интервал других собственных чисел. Необходимо проверить гипотезу о кратности собственных чисел.

Проверка кратности производится с помощью статистики

где r-количество кратных корней.

Данная статистика в случае справедливости распределена по закону с числом степеней свободы. Выдвинем гипотезы:

Так как, то гипотеза отвергается, то есть собственные числа и не кратны.

Необходимо выделить главные компоненты на уровне информативности 0,85. Мера информативности показывает какую часть или какую долю дисперсии исходных признаков составляют k-первых главных компонент. Мерой информативности будем называть величину:

На заданном уровне информативности выделено три главных компоненты.

Запишем матрицу =

Для получения нормализованного вектора перехода от исходных признаков к главным компонентам необходимо решить систему уравнений: , где — соответствующее собственное число. После получения решения системы необходимо затем нормировать полученный вектор.

Для решения данной задачи воспользуемся функцией eigenvec системы MathCAD, которая возвращает нормированный вектор для соответствующего собственного числа.

В нашем случае первых четырех главных компонент достаточно для достижения заданного уровня информативности, поэтому матрица U (матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов)

Строим матрицу U, столбцами которой являются собственные вектора:

Матрица весовых коэффициентов:

Коэффициенты матрицы А являются коэффициентами корреляции между центрировано — нормированными исходными признаками и ненормированными главными компонентами, и показывают наличие, силу и направление линейной связи между соответствующими исходными признаками и соответствующими главными компонентами.

Метод главных
компонент – это метод, который переводит
большое количество связанных между
собой (зависимых, коррелирующих)
переменных в меньшее количество
независимых переменных, так как большое
количество переменных часто затрудняет
анализ и интерпретацию информации.
Строго говоря, этот метод не относится
к факторному анализу, хотя и имеет с ним
много общего. Специфическим является,
во-первых, то, что в ходе вычислительных
процедур одновременно получают все
главные компоненты и их число первоначально
равно числу исходных переменных;
во-вторых, постулируется возможность
полного разложения дисперсии всех
исходных переменных, т.е. ее полное
объяснение через латентные факторы
(обобщенные признаки).

Например,
представим, что мы провели исследование,
в котором измерили у студентов интеллект
по тесту Векслера, тесту Айзенка, тесту
Равена, а также успеваемость по социальной,
когнитивной и общей психологии. Вполне
возможно, что показатели различных
тестов на интеллект будут коррелировать
между собой, так как они, в конце концов,
измеряют одну характеристику испытуемого
– его интеллектуальные способности,
хотя и по-разному. Если переменных в
исследовании слишком много (x
1
,
x
2
,
…,
x
p
)
,
а некоторые из них взаимосвязаны, то у
исследователя иногда возникает желание
уменьшить сложность данных, сократив
количество переменных. Для этого и
служит метод главных компонент, который
создает несколько новых переменных y
1
,
y
2
,
…,
y
p
,
каждая из которых является линейной
комбинацией первоначальных переменных
x
1
,
x
2
,
…,
x
p
:

y 1 =a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1p x p

y 2 =a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2p x p

… (1)

y p =a p1 x 1 +a p2 x 2 +…+a pp x p

Переменные
y
1
,
y
2
,
…,
y
p

называются главными компонентами или
факторами. Таким образом, фактор
– это искусственный статистический
показатель, возникающий в результате
специальных преобразований корреляционной
матрицы
.

Процедура извлечения факторов называется
факторизацией матрицы. В результате
факторизации из корреляционной матрицы
может быть извлечено разное количество
факторов вплоть до числа, равного
количеству исходных переменных. Однако
факторы, определяемые в результате
факторизации, как правило, не равноценны
по своему значению.

Коэффициенты
a
ij
,
определяющие новую переменную, выбираются
таким образом, чтобы новые переменные
(главные компоненты, факторы) описывали
максимальное количество вариативности
данных и не коррелировали между собой.
Часто полезно представить коэффициенты
a
ij

таким образом,
чтобы они представляли собой коэффициент
корреляции между исходной переменной
и новой переменной (фактором). Это
достигается умножением a
ij

на стандартное отклонение фактора. В
большинстве статистических пакетов
так и делается (в программе STATISTICA
тоже). Коэффициенты
a

ij

Обычно они представляются в виде таблицы,
где факторы располагаются в виде
столбцов, а переменные в виде строк:

Такая
таблица называется таблицей (матрицей)
факторных нагрузок. Числа, приведенные
в ней, являются коэффициентами a
ij
.Число
0,86 означает, что корреляция между первым
фактором и значением по тесту Векслера
равна 0,86. Чем выше факторная нагрузка
по абсолютной величине, тем сильнее
связь переменной с фактором.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ

ДЛЯ ОБРАБОТКИ МНОГОМЕРНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Рассмотрены вопросы обработки многомерных статистических данных рейтинговой оценки студентов на основе применения метода главных компонент.

Ключевые слова: многомерный анализ данных, снижение размерности, метод главных компонент, рейтинг.

На практике часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда объект исследования характеризуется множеством разнообразных параметров, каждый из которых измеряется или оценивается. Анализ полученного в результате исследования нескольких однотипных объектов массива исходных данных представляет собой практически нерешаемую задачу. Поэтому исследователю необходимо проанализировать связи и взаимозависимости между исходными параметрами, с тем чтобы отбросить часть из них или заменить их меньшим числом каких-либо функций от них, сохранив при этом по возможности всю заключенную в них информацию.

В связи с этим встают задачиснижения размерности, т. е. перехода от исходного массива данных к существенно меньшему количеству показателей, отобранных из числа исходных или полученных путем некоторого их преобразования (с наименьшей потерей информации, содержащейся в исходном массиве), и классификации – разделения рассматриваемой совокупности объектов на однородные (в некотором смысле) группы. Если по большому числу разнотипных и стохастически взаимосвязанных показателей были получены результаты статистического обследования целой совокупности объектов, то для решения задач классификации и снижения размерности следует использовать инструментарий многомерного статистического анализа, в частности метод главных компонент .

В статье предлагается методика применения метода главных компонент для обработки многомерных статистических данных. В качестве примера приводится решение задачи статистической обработки многомерных результатов рейтинговой оценки студентов.

1.
Определение и вычисление главных компонент
..png» height=»22 src=»> признаков. В результате получаем многомерные наблюдения, каждое из которых можно представить в виде векторного наблюдения

где https://pandia.ru/text/79/206/images/image005.png» height=»22 src=»>.png» height=»22 src=»>– символ операции транспонирования.

Полученные многомерные наблюдения необходимо подвергнуть статистической обработке..png» height=»22 src=»>.png» height=»22 src=»>.png» width=»132″ height=»25 src=»>.png» width=»33″ height=»22 src=»> допустимых преобразований исследуемых признаков 0 » style=»border-collapse:collapse»>

	– условие нормировки;
	– условие ортогональности

Полученные подобным преобразованием https://pandia.ru/text/79/206/images/image018.png» width=»79″ height=»23 src=»> и представляют собой главные компоненты. Из нихпри дальнейшем анализеисключают переменные с минимальной дисперсией , т. е..png» width=»131″ height=»22 src=»> в преобразовании (2)..png» width=»13″ height=»22 src=»> этой матрицы равны дисперсиям главных компонент .

Таким образом, первой главной компонентой https://pandia.ru/text/79/206/images/image013.png» width=»80″ height=»23 src=»>называется такая нормированно-центрированная линейная комбинация этих показателей, которая среди всех прочих подобных комбинаций обладает наибольшей дисперсией..png» width=»12″ height=»22 src=»> –
собственный вектор матрицы https://pandia.ru/text/79/206/images/image025.png» width=»15″ height=»22 src=»>.png» width=»80″ height=»23 src=»> называется такая нормированно-центрированная линейная комбинация этих показателей, которая не коррелирована с https://pandia.ru/text/79/206/images/image013.png» width=»80″ height=»23 src=»>.png» width=»80″ height=»23 src=»> измеряются в различных единицах, то результаты исследования с помощью главных компонент будут существенно зависеть от выбора масштаба и природы единиц измерения , а полученные линейные комбинации исходных переменных будет трудно интерпретировать. В связи с этим при различных единицах измерения исходных признаков DIV_ADBLOCK310″>

https://pandia.ru/text/79/206/images/image030.png» width=»17″ height=»22 src=»>.png» width=»56″ height=»23 src=»>. После подобного преобразования проводят анализ главных компонент относительно величин https://pandia.ru/text/79/206/images/image033.png» width=»17″ height=»22 src=»>,
которая является одновременно корреляционной матрицей https://pandia.ru/text/79/206/images/image035.png» width=»162″ height=»22 src=»>.png» width=»13″ height=»22 src=»> на i
—
й исходный признак ..png» width=»14″ height=»22 src=»>.png» width=»10″ height=»22 src=»> равна дисперсии v
—
й главной компонентыhttps://pandia.ru/text/79/206/images/image038.png» width=»10″ height=»22 src=»> используются при содержательной интерпретации главных компонент..png» width=»20″ height=»22 src=»>.png» width=»251″ height=»25 src=»>

Для проведения расчетов векторные наблюдения агрегируем в выборочную матрицу, в которой строки соответствуют контролируемым признакам, а столбцы – объектам исследования (размерность матрицы – https://pandia.ru/text/79/206/images/image043.png» width=»348″ height=»67 src=»>

После центрирования исходных данных находим выборочную корреляционную матрицу по формуле

https://pandia.ru/text/79/206/images/image045.png» width=»204″ height=»69 src=»>

Диагональные элементы матрицы https://pandia.ru/text/79/206/images/image047.png» width=»206″ height=»68 src=»>

Недиагональные элементы этой матрицы представляют собой выборочные оценки коэффициентов корреляции между соответствующей парой признаков.

Составляем характеристическое уравнение для матрицы 0 » style=»margin-left:5.4pt;border-collapse:collapse»>

Находим все его корни:

Теперь для нахождения компонент главных векторов подставляем последовательно численные значения https://pandia.ru/text/79/206/images/image065.png» width=»16″ height=»22 src=»>.png» width=»102″ height=»24 src=»>

Например, при https://pandia.ru/text/79/206/images/image069.png» width=»262″ height=»70 src=»>

Очевидно, что полученная система уравнений совместна ввиду однородности и неопределенна, т. е. имеет бесконечное множество решений. Для нахождения единственного интересующего нас решения воспользуемся следующими положениями:

1. Для корней системы может быть записано соотношение

https://pandia.ru/text/79/206/images/image071.png» width=»20″ height=»23 src=»> – алгебраическое дополнение j
-го элемента любой i
-й строки матрицы системы.

2. Наличие условия нормировки (2) обеспечивает единственность решения рассматриваемой системы уравнений..png» width=»13″ height=»22 src=»>, определяются однозначно, за исключением того, что все они могут одновременно изменить знак. Однако знаки компонентов собственных векторов не играют существенной роли, так как их смена не влияет на результат анализа. Они могут служить только для индикации противоположных тенденций на соответствующей главной компоненте .

Таким образом, получаем собственный вектор https://pandia.ru/text/79/206/images/image025.png» width=»15″ height=»22 src=»>:

https://pandia.ru/text/79/206/images/image024.png» width=»12″ height=»22 src=»> проверяем по равенству

https://pandia.ru/text/79/206/images/image076.png» width=»503″ height=»22″>

… … … … … … … … …

https://pandia.ru/text/79/206/images/image078.png» width=»595″ height=»22 src=»>

https://pandia.ru/text/79/206/images/image080.png» width=»589″ height=»22 src=»>

где https://pandia.ru/text/79/206/images/image082.png» width=»16″ height=»22 src=»>.png» width=»23″ height=»22 src=»> – стандартизированные значения соответствующих исходных признаков.

Составляем ортогональную матрицу линейного преобразования https://pandia.ru/text/79/206/images/image086.png» width=»94″ height=»22 src=»>

Так как в соответствии со свойствами главных компонент сумма дисперсий исходных признаков равна сумме дисперсий всех главных компонент, то с учетом того, что мы рассматривали нормированные исходные признаки, можно оценить, какую часть общей изменчивости исходных признаков объясняет каждая из главных компонент. Например, для первых двух главных компонент имеем:

Таким образом, в соответствии с критерием информативности, используемым для главных компонент, найденных по корреляционной матрице, семьпервых главных компонент объясняют 88,97% общей изменчивости пятнадцати исходных признаков.

Используя матрицу линейного преобразования https://pandia.ru/text/79/206/images/image038.png» width=»10″ height=»22 src=»> (для семи первых главных компонент):

https://pandia.ru/text/79/206/images/image090.png» width=»16″ height=»22 src=»> – число дипломов, полученных в конкурсе научных и дипломных работ ; https://pandia.ru/text/79/206/images/image092.png» width=»16″ height=»22 src=»>.png» width=»22″ height=»22 src=»>.png» width=»22″ height=»22 src=»>.png» width=»22″ height=»22 src=»> – награды и призовые места, занятые на региональных, областных и городских спортивных соревнованиях.

3..png» width=»16″ height=»22 src=»>(число грамот по результатам участия в конкурсах научных и дипломных работ).

4..png» width=»22″ height=»22 src=»>(награды и призовые места, занятые на вузовских соревнованиях).

6. Шестая главная компонента положительно коррелирована с показателем DIV_ADBLOCK311″>

4. Третья главная компонента – активность студентов в учебном процессе.

5. Четвертая и шестая компоненты – прилежность студентов в течение весеннего и осеннего семестров соответственно.

6. Пятая главная компонента – степень участия в спортивных соревнованиях университета.

В дальнейшем для проведения всех необходимых расчетов при выделении главных компонент предлагается использовать специализированные статистические программные комплексы, например STATISTICA, что существенно облегчит процесс анализа.

Описанный в данной статье процесс выделения главных компонент на примере рейтинговой оценки студентов предлагается использовать для аттестации бакалавров и магистров.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности: справ. изд. / , ; под ред. . – М.: Финансы и статистика, 1989. – 607 с.

2. Справочник по прикладной статистике:в 2 т.: [пер. с англ.] / под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, . – М.:Финансы и статистика, 1990. – Т. 2. – 526 c.

3. Прикладная статистика. Основы эконометрики . В 2 т. Т.1. Теория вероятностей и прикладная статистика: учеб. для вузов / , B. C. Мхитарян. – 2-е изд., испр.– М: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с.

4. Афифи, А. Статистический анализ: подход с использованием ЭВМ: [пер. с англ.] / А. Афифи, С. Эйзен.– М.: Мир, 1982. – 488 с.

5. Дронов, статистический анализ: учеб. пособие / . – Барна3. – 213 с.

6. Андерсон, Т. Введение в многомерный статистический анализ / Т. Андерсон; пер. с англ. [и др.]; под ред. . – М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. – 500 с.

7. Лоули, Д. Факторный анализ как статистический метод / Д. Лоули, А. Максвелл; пер. с англ. . – М.: Мир, 1967. – 144 с.

8. Дубров, статистические методы: учебник / , . – М.: Финансы и статистика, 2003. – 352 с.

9. Кендалл, М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендалл, А. Стьюарт;пер. с англ. , ; под ред. , . – М.: Наука,1976. – 736 с.

10. Белоглазов, анализ в задачах квалиметрии образования / // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2006. – №6. – С. 39 – 52.

Материал поступил в редколлегию 8.11.11.

Работа выполнена в рамках реализации федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 гг. (государственный контракт № П770).

Цели анализа компонентов

дисперсию каждого, при этом доля полной дисперсии исходных переменных задается собственными значениями;
вычисления оценки, которые иллюстрируют значение каждого компонента при наблюдении;
получение нагрузок, которые описывают корреляцию между каждым компонентом и каждой переменной;
корреляцию между исходными переменными, воспроизведенными с помощью р-компонента;
воспроизведения исходных данных могут быть воспроизведены с р-компонентов;
«поворот» компонентов, чтобы повысить их интерпретируемость.

Выбор количества точек хранения

Основной компонент можно записать в виде: Z1 = 11X1 + 21X2 + 31X3 + …. + p1Xp

Z1 — является первым главным компонентом;
p1 — является вектором нагрузки, состоящим из нагрузок (1, 2.) первого основного компонента.

Если они некоррелированы, их направления должны быть ортогональными.

Теперь будет равна матрице дисперсии-ковариации минус LL » .

Xi — вектор наблюдений для i-го субъекта.
S обозначает нашу выборочную дисперсионно-ковариационную матрицу.

Собственные значения S:λ^1, λ^2, … , λ^п.

Собственные векторы S:е^1, e^2, … , e^п.

Pearson, классический PCA, который автоматически стандартизирует данные для вычислений, чтобы избежать раздутого влияния переменных с большими отклонениями от результата.
Ковариация, которая работает с нестандартными отклонениями.
Полихорические, для порядковых данных.

Примеры анализа данных размерностей

Компоненты можно нарисовать на диаграмме рассеяния следующим образом.

характер вероятностного процесса, который генерирует данные;
уровень знаний об этом;
размер системы;
форма анализа;
горизонт прогноза;
математическая сложность системы.

Непараметрическая статистика

Метод главных компонент в общественных науках используется для выполнения двух главных задач:

анализа по данным социологических исследований;
построения моделей общественных явлений.

Алгоритмы расчета моделей

он обрабатывает отсутствующие данные;
последовательно вычисляет компоненты.

Цель рассмотрения этого алгоритма:

дает дополнительное представление о том, что означают нагрузки и оценки;
показывает, как каждый компонент не зависит ортогонально от других компонентов;
показывает, как алгоритм может обрабатывать недостающие данные.

Алгоритм NIPALS показан на фото ниже.

Источник

Анализ данных и их оптимизация в Excel

С помощью средств анализа «что если» в Microsoft Excel можно экспериментировать с различными наборами значений в одной или нескольких формулах для изучения всех возможных результатов.

Формулы и функции в Excel автоматически пересчитывают результат при изменении содержимого ячеек, на которые имеются ссылки в данной формуле или функции. Другими словами, можно отвечать на вопросы типа «что-если». Например, при анализе финансовой функции ПЛТ ответить на вопрос, что будет, если первый взнос при получении ипотечной ссуды будет составлять не 20% от цены, а 15%.

Итак, проиллюстрируем проведение анализа данных «что-если» на примере работы функции ПЛТ, которая вычисляет величину выплаты по ссуде на основе постоянных выплат и постоянной процентной ставки.

Пс — приведенная к текущему моменту стоимость или общая сумма, которая на текущий момент равноценна ряду будущих платежей, называемая также основной суммой.

Бс — значение будущей стоимости, т. е. желаемого остатка средств после последней выплаты. Если этот аргумент опущен, предполагается, что он равен 0 (например, значение «бс» для займа равно 0).

Тип — число 0 (ноль) или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата.

Рассмотрим пример использования функции ПЛТ в Exceel.

Итак, требуется определить ежемесячные выплаты по займу в 20 000 руб., взятому на 16 месяцев под 11% годовых.

Для решения задачи выделяем ячейку на рабочем листе Excel (в нашел случаи ячейка А1) и в строку формул вводим следующее выражение: =ПЛТ(11%/12; 16; 20000) (Рис.1.1)

Нажав на клавишу Enter , мы получаем величину ежемесячных выплат по ссуде, которая составит -1350 руб. Рис.1.2

При ином значении банковской учетной ставки, следует сделать исправления в ранее введенной функции в Excel.

Рис. 1.3 — Пример расчета Excel, в котором исходные данные в отдельные ячейки

При изменении любых значений на рис.3 результаты расчета автоматически обновляются в разделе Результат расчета.

Вывод: Рассмотренный выше примеры показывают, что размещение исходных данных в отдельные ячейки упрощает анализ зависимости выходного результата от изменения исходных данных с использованием анализа данных «Что если» в Exceel.

Анализ данных и их оптимизация в Excel

В ячейке G3 этой таблицы определена точно такая же формула, как и в ячейке D7. Первый столбец таблицы подстановки заполнен значениями аргумента функции ПЛТ, в зависимости от которого требуется проанализировать поведение финансовой функции (в нашем случае от 11 до 15%).

Мнение эксперта

Витальева Анжела, консультант по работе с офисными программами

Со всеми вопросами обращайтесь ко мне!

Задать вопрос эксперту

С помощью этого инструмента определяется значение в одной ячейке исходных данных, которое требуется для получения требуемого значения в ячейке результата. Если же вам нужны дополнительные объяснения, обращайтесь ко мне!

Для примера выше мы хотим получит выручку, которую принес нам Петров в городе Москва. Формула имеет вид СУММЕСЛИМН(C2:C13;A2:A13;E2;B2:B13;F2), где C2:C13 — диапазон со значениями выручки, которые необходимо просуммировать; А2:А13 — диапазон с фамилиями, которые мы будем проверять; Е2 — ссылка на конкретную фамилию; B2:B13 — ссылка на диапазон с городами; F2 — ссылка на конкретный город.

10 наиболее полезных функций при анализе данных в Excel — ExcelGuide: Про Excel и не только

Выполнить команду меню Сервис > Поиск решения, чтобы вызвать диалоговое окно Поиск решения (рис. 4.2)
Установить курсор в поле Установить целевую ячейку диалогового окна и щелкнуть мышкой на целевой ячейке Е7 (рис. 4.2).
Установить курсор в поле Изменяя ячейки диалогового окна и выделить диапазон изменяемых ячеек С3:С6.
Установить курсор в поле Ограничения и щелкнуть на кнопке Добавить . В появившееся диалоговое окно, показанное на рис. 4.3, вводить поочередно все ограничения (рис. 4.4).
Щелкнуть на кнопке Выполнить диалогового окна Поиск решения.

Метод главных компонент считается статистическим методом. Однако есть другой подход, приводящий к методу главных компонент, но не являющийся статистическим. Этот подход связан с получением наилучшей проекции точек наблюдения в пространстве меньшей размерности. Для решения подобной задачи необходимо знать матрицу вторых моментов.

ГПР

Функция ГПР выполняет туже задачу, что и ВПР, только она просматривает первую строку в поиске искомого значения и для получения результата сдвигается на указанное количество строк вниз.

— Таблица- диапазон данных на листе, где в первой строке мы ищем искомое значение и сдвигаемся на необходимое количество строк.

— Интервальный просмотр — ставьте всегда 0, тогда Эксель будет искать точное совпадение, что нам и нужно в большинстве случаев.

Если вы хотите более подробно изучить, как пользоваться функцией ГПР — прочитайте статью на нашем сайте «Функция ГПР в Excel».

Мнение эксперта

Витальева Анжела, консультант по работе с офисными программами

Со всеми вопросами обращайтесь ко мне!

Задать вопрос эксперту

В функции СЦЕПИТЬ A2; ;B2 , первый параметр А2 — ссылка на ячейку с фамилией; второй параметр — пробел, что бы итоговый текст смотрелся нормально; третий параметр В2 — ссылка на ячейку с именем. Если же вам нужны дополнительные объяснения, обращайтесь ко мне!

— Интервальный просмотр — Может принимать параметр 0 или ЛОЖЬ, что обозначает что совпадение между искомым значением и значением в первом столбце таблицы должен быть точным; либо 1 или ИСТИНА, соответственно совпадение должно быть неточным. Настоятельно рекомендую использовать только параметр ЛОЖЬ, иначе можно получать непредсказуемые результаты.

Сингулярное разложение тензоров и тензорный метод главных компонент [ ]

Множество решений λ_j находят решением характеристического уравнения | R — λI| = 0. Х арактеристики вариации λ_j — показатели оценок дисперси й каждой главной компоненты. Суммарное значение Σλ_j равно сумме оценок дисперсий элементарных признаков x _j. При условии стандартизации исходных данных, эта сумма равна числу элементарных признаков k.

Источник