Лабораторная работа excel решение математических задач

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

средняя
общеобразовательная школа №2 с. Верхние Киги муниципального района Кигинский
район Республики Башкортостан


Решение математических задач

средствами
MICROSOFT EXCEL

(лабораторный практикум)

 Составитель: учитель информатики и
математики Абдуллина О.Р.

 

 

 

 

с.
Верхние Киги – 2017 г.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

1. Условие задачи

Найти корни уравнения x3 – 2x2–
4x = –7 на отрезке [–3, 3].

2. Постановка задачи

Определение корней уравнения разбивается на
два этапа. Во-первых, этап отделения корня, то есть выделения достаточно малого
промежутка, содержащего единственный корень. Приведя уравнение к виду f(x) = 0,
воспользуемся одним из способов отделения корней – проанализируем таблицу значений
функции f(x), построенной с достаточно малым шагом. Очевидно, что на границе
окрестности, содержащей один корень, функция f(x) меняет свой знак.

Второй этап – это уточнение корня, то есть
определение значения корня с заданной степенью точности. Для этого используем
команду Подбор параметра… меню Сервис. Относительную погрешность
можно задать на вкладке Вычисления команды Параметры… меню Сервис.
По умолчанию эта величина составляет значение 0,001.

3. Решение задачи

В начале определим, сколько корней имеет
уравнение на данном отрезке. Для чего построим таблицу значений функции y=x3
– 2x2–4x + 7 с шагом 0,3, как показано на рис. 1. Из таблицы
следует, что уравнение имеет 3 корня: первый – на отрезке [–2,1; –1.8], второй
– на отрезке [1,2; 1,5], а третий – на отрезке [2,4; 2,7].

Рис
1. Таблица для отделения корней уравнения

Для нахождения более точного значения первого
корня, введем в ячейку E5 середину первого найденного интервала изоляции
корня – 1,95, в ячейку F5 поместим функцию f(x). Выделив ячейку F5,
вызовем команду Подбор параметра меню Сервис. В диалоговом окне
(рис. 2) адрес $F$5 появится
автоматически.

Рис.
2. Диалоговое окно подбора параметра

В поле Значение: введем 0, а в
поле Изменяя значение ячейки: ссылку на $E$5, щелкнув на ней
мышью. Нажав ОК, получим в ячейке $E$5 искомое значение корня.
Аналогичные действия необходимо проделать и для нахождения других корней.
Результаты расчетов приведены на рис. 3.

Рис.
3. Фрагмент таблицы со значениями корней

Варианты заданий представлены в табл. 1.

 

 

ТАБУЛИРОВАНИЕ функции

1.
Условие задачи

Протабулировать функцию, т.е. для каждого значения
x из предложенного интервала найти значение функции:

2. Постановка задачи

На интервале табуляции, где функция определена
и непрерывна, можно использовать традиционный способ задания переменной как
дискретной величины.

3. Решение задачи

Таблица 1

№ вар.

Исходные данные

№ вар.

Исходные данные

1

16

2

 

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

Аргумент
изменяется с постоянным шагом, что можно использовать для быстрого ввода значений этого ряда. Введем в ячейку А3 число 0, в А4
– число 0,1. Выделим эти ячейки и маркером автозаполнения сформируем весь ряд
изменения аргумента. Теперь в ячейку B3 введем формулу, имеющую вид

=1,5*A3+КОРЕНЬ(EXP(–A3+1)+5*SIN(A3–1,34)^2).

Далее скопируем формулу в другие ячейки
столбца B. Отформатируем данные
первого столбца, указав один знак в дробной части, для второго столбца назначим
в дробную часть 3 знака. В окончательном виде таблица значений аргумента x и
соответствующих им значений функции y(x) показана на рис. 4.

Рис.
4. Табулирование функции

Для большей наглядности построим график
значений этой функции (рис. 5). В окне первого шага Мастера диаграмм на
закладке Стандартные выберем тип График. В окне второго шага
укажем диапазон вычисленных данных и расположение рядов – в столбцах. На
вкладке Ряд укажем столбец аргументов в строке Подписи оси X:.
Далее внесем название графика, а на закладке Линии сетки активизируем опции
основные линии по обеим осям.

Рис. 5. График
функции y(x)

Варианты заданий представлены в табл. 2.

Таблица 2

№ вар.

Исходные данные

№ вар.

Исходные данные

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

1. Условие задачи

Вычислить
значение функции в зависимости от условия. Использовать встроенную функцию ЕСЛИ

2. Постановка задачи

Задана функция y(x), имеющая разрывы в точках
– 1 и 1. Для вычисления ее значений удобно использовать встроенную функцию ЕСЛИ,
позволяющую наряду с единственным условием в качестве аргумента использовать
другие функции, в том числе функцию ЕСЛИ. Такая вложенная структура
позволяет учесть все точки разрыва.

3. Решение задачи

В одном из столбцов (рис. 6) располагают значения
аргумента.

В данном случае – в виде прогрессии с
постоянным шагом, что вовсе не обязательно. Весь диапазон пунктом Вставить… команды
Имя меню Вставка назван вполне понятным именем x. Соседний столбец заполнен с помощью маркера
автозаполнения одной формулой:

=ЕСЛИ(x<–1;SIN(x);ЕСЛИ(x>1;LN(x);COS(x))).

В формуле используется вложенная функция ЕСЛИ,
которая и вычисляет значение Y(x) в зависимости от значения самого аргумента x.

Рис.
6. Вычисление значений функции по условию

Варианты заданий представлены в табл. 3.

Таблица 3

№ вар.

Исходные данные

№ вар.

Исходные данные

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Условие задачи

Вычислить методами прямоугольников и трапеций
определенный интеграл

.

(1)

2. Постановка задачи

Как известно, определенный интеграл

(2)

представляет собой площадь фигуры, образуемой кривой
подынтегральной функции , отрезком оси абсцисс,
ограниченным нижним (a) и верхним (b) пределами интегрирования, и перпендикулярами,
восстановленными из концов интервала интегрирования до пересечения с кривой
функции . Вид подынтегральной функции определяет
геометрическую форму образующейся фигуры.

Площадь такой фигуры в силу разнообразия видов
подынтегральных функций, как правило, не может быть точно вычислена по
известным аналитическим зависимостям. Поэтому фигуру разбивают на простые
геометрические формы, для нахождения площади которых, имеются аналитические
зависимости. Это могут быть, например, прямоугольники или трапеции.
Подсчитанные площади простых фигур затем суммируются. В рамках погрешности
метода эта сумма принимается за значение определенного интеграла.

Метод
прямоугольников

Интервал интегрирования [a, b] разбивается на N равных
отрезков, длина каждого из которых

.

(3)

Величина Н называется шагом интегрирования.

В результате разбиения получаем на оси абсцисс
ряд равноудаленных друг от друга точек X0, X1, Х2,
…, Хn. Точки Х0
и Хn совпадают соответственно с нижним (a) и верхним (b) пределами интегрирования.
Восстанавливаем из точек разбиения перпендикуляры до пересечения с кривой подынтегральной
функции и завершаем построение прямоугольников (рис. 7).

Площадь каждого прямоугольника Si выражается как произведение основания, равного шагу разбиения Н, на
высоту, равную значению подынтегральной функции Y(X) в точке:

.

(4)

Просуммируя площади и вынеся за знак суммы
значение шага Н получим итерационную формулу:

.

(5)

Рис. 7. Геометрическая
интерпретация метода

прямоугольников

Метод трапеций

Интервал интегрирования также разбивается на N
отрезков, а искомая фигура заменяется совокупностью прямоугольных
трапеций (рис. 8).

Рис. 8. Геометрическая
интерпретация метода

трапеций

Площадь
трапеции, как известно, определяется произведением полусуммы оснований на
высоту. В нашем случае имеем

(6)

Просуммировав площади элементарных фигур и
проведя элеентарные преобразования, можно записать формулу для приближенного
вычисления интеграла:

(7)

3. Решение задачи

Создадим макет таблицы и подготовим исходные
данные для расчета (рис. 9). Для этого впишем значения нижнего (ячейка А3)
и верхнего (ячейка В3) пределов интегрирования в соответствии с заданным
интегралом (1); зададим количество отрезков N (ячейка С3) и рассчитаем
величину шага Н по формуле (2).

Далее в ячейке А5 зададим начальное
значение аргумента X, равное нижнему пределу интегрирования (=А3); в
ячейку А6 запишем формулу расчета приращения аргумента (=А5+$D$3),
указав абсолютную адресацию для ячейки, в которой записана величина шага и скопируем
формулу из ячейки А6 в нижележащие ячейки вплоть до ячейки А25, в
которой значение аргумента станет равным 6, т. е. верхнему пределу
интегрирования заданного интеграла. Столбец со значениями аргумента подготовлен.

Рис. 9. Подготовка таблицы

Теперь заполним столбец со значениями функции.
В ячейку В5 запишем выражение для подынтегральной функции (=А5^2)
и скопируем его в нижележащие ячейки.

Переходим к составлению расчетной формулы
метода прямоугольников. Знак суммы в выражении (5) для Excel непонятен, поэтому выражение надо записать иначе и для накопления
суммы использовать рекуррентную зависимость:

.

(8)

Здесь каждое последующее значение суммы Si+1
рассчитывается на основании предыдущего Si плюс следующий член
последовательности HY(Xi). Обратите внимание, что значение аргумента
берется от предыдущего шага Xi. Чтобы не произошло накопление
ошибки, первоначальную сумму надо обнулить, поэтому в ячейку С5 запишем
ноль. Саму рекуррентную зависимость, выраженную в адресах, запишем в ячейку С6
(=C5+B5*$D$3). Затем скопируем формулу из ячейки С6 в ячейки
диапазона С7:С25. Получим ряд промежуточных сумм, а в ячейке С25
будет представлен окончательный результат (рис. 10). Он равен 66,69.

Для реализации метода трапеций также организуем
накопление площадей, используя рекуррентную зависимость:

(9)

Это означает, что на каждом шаге к сумме,
накопленной за предыдущие шаги, добавляется площадь очередной трапеции. В
ячейку D6 запишем выражение для суммы площадей на втором шаге (=D5+(B5+B6)*$D$3/2). Скопируем выражение в ячейки диапазона D7:D25. Результат
представлен на рис. 10.

Интересно сравнить результаты, полученные
методом прямоугольников (66,69) и трапеций (72,09), с точным решением
определенного интеграла (72), а так же исследовать влияние на точность
вычислений числа отрезков N,
на которые разбивается интервал интегрирования [a, b].

Варианты заданий представлены в табл. 4.

Рис. 10. Результаты численного
определения интеграла

Таблица 4

№ вар.

Исходные данные

№ вар.

Исходные данные

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

 

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Условие задачи

Решить систему линейных уравнений, используя
различные способы:

(13)

2. Постановка задачи

Исходную систему часто представляют в виде A×X=B, где A – матрица
коэффициентов при неизвестных, X – матрица неизвестных, B – матрица свободных членов.

Матричный способ
основан на использовании обратной матрицы: X=A–1×B.

Рис. 11.
Значения производной

Метод Крамера для
нахождения неизвестных использует определители матриц: X1=det(AX1)/det(A); X2= det(AX2)/det(A); X3= det(AX3)/det(A).

Встроенная команда Поиск решения
меню Сервис позволяет найти неизвестные, добиваясь равенства матрицы
свободных членов (правой части) произведению матрицы коэффициентов на матрицу
неизвестных (левой части), причем, варьировать можно лишь значениями
неизвестных.

3. Решение задачи

Для каждого из трех методов сформируем матрицу
коэффициентов при неизвестных и матрицу свободных членов, например, в блоках B5:D7 и G5:G7.

Реализация матричного способа в Excel
базируется на математических функциях, оперирующих массивами. Выделяем диапазон
ячеек J5:J7, вводим формулу

=МУМНОЖ(МОБР(B5:D7), (G5:G7))

и нажимаем Ctrl + Shift + Enter. Результат представлен на рис. 13.

Рис. 12.
Результат решения системы линейных уравнений

Перед использованием правила Крамера, сформируем
матрицы, полученные поочередной заменой одного столбца в матрице свободных
членов столбцом правых частей системы. На рис. 13 указанные матрицы расположены
в блоках B10:D12, F10:H12, J10:L12. С помощью пункта Присвоить…
команды Имя меню Вставка указанным блокам дадим имена ДЕЛЬТА1, ДЕЛЬТА2, ДЕЛЬТА3, а
блоку B5:D7, содержащему коэффициенты при неизвестных, присвоим имя ДЕЛЬТА.

В этом случае, употребляя встроенную функцию
для подсчета определителя, формулы для неизвестных запишем в виде:

=МОПР(ДЕЛЬТА1)/МОПР(ДЕЛЬТА);

=МОПР(ДЕЛЬТА2)/МОПР(ДЕЛЬТА);

=МОПР(ДЕЛЬТА3)/МОПР(ДЕЛЬТА).

Рис. 13. Решение системы по правилу Крамера

Для последнего способа сформируем левую часть
системы (13): в ячейку E5 введем формулу: =СУММПРОИЗВ($B$10:$D$10;B5:D5) и скопируем ее с помощью маркера заполнения в ячейки E6 и E7.

Выполним команду Сервис – Поиск решения (рис.
14). В поле Ограничения: внесем равенство диапазонов $E$5:$E$7=$G$5:$G$7. В качестве изменяемых значений используются
ячейки B10, C10, D10, их и указываем в поле Изменяемые
ячейки. Результат представлен на рис. 15.

Варианты заданий представлены в табл. 5.

Рис. 14. Диалоговое окно Поиск решения

Рис. 15. Результаты решения системы

Таблица 5

№ вар.

Исходные данные

№ вар.

Исходные данные

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

Источник

Цель
работы –
Изучение возможностей применения
табличного процессора MS
Excel
для решения задач, требующих сложных
математических расчетов, в том числе
оптимизационных задач.

2.1 Порядок выполнения работы

Выполнение
работы включает решение задач, приведенных
в подразделах 2.2 – 2.7. По каждой задаче
должны быть сделаны выводы, отражающие
смысл полученных результатов. Выводы
рекомендуется вносить в рабочие листы
Excel
вместе с получаемыми результатами.

Для
решения математических задач в Excel
применяются специальные функции, а
также несколько математических программ,
основная из которых – программа Поиск
решения (меню
Сервис),
предназначенная для решения уравнений,
систем уравнений, поиска экстремумов.

2.2 Простые вычисления

Пример 2.1 –
Известны
координаты одиннадцати точек на
плоскости. Требуется найти расстояния
от каждой из первых десяти точек до
одиннадцатой.

Примечание –
Напомним, что расстояние между точками
с координатами (x1; y1)
и (x2; y2)
вычисляется по формуле:

.

  1. В
    ячейку А1 ввести заголовок “X”,
    в ячейку B1
    – заголовок “Y”.
    В ячейки
    A2:A11 и B2:B11 ввести произвольные числа –
    координаты десяти точек (будем считать,
    что в столбец A вводятся координаты X,
    а в столбец B – координаты Y).

  2. В
    ячейки D2
    и E2
    ввести произвольные числа – координаты
    одиннадцатой точки.

  3. В
    ячейку G1 ввести заголовок ”Расстояния”.
    В ячейках G2:G11 вычислить расстояния от
    первых десяти точек до одиннадцатой.
    Для этого выполнить следующее:

  • в
    ячейке G2 найти расстояние между первой
    и одиннадцатой точками. Для этого
    ввести формулу: =КОРЕНЬ((A2–$D$2)^2+(B2–$E$2)^2).
    Здесь знаком $
    обозначены абсолютные адреса ячеек,
    которые не будут изменяться при
    копировании формулы в другие ячейки;

  • в
    ячейках G3:G11
    вычислить расстояния от каждой из
    остальных точек до одиннадцатой. Для
    этого с помощью мыши распространить
    формулу, введенную в ячейку G2, на ячейки
    G3:G11. Убедиться, что в ячейке G3 находится
    формула =КОРЕНЬ((A3–$D$2)^2+(B3–$E$2)^2),
    в ячейке G4 – =КОРЕНЬ((A4–$D$2)^2+(B4–$E$2)^2)
    и т.д.

2.3 Решение уравнений

Пример 2.2
– Решить уравнение: 602x
= 0,1.

  1. Перейти
    на новый рабочий лист. Выбрать любую
    свободную ячейку для получения решения,
    т.е значения переменной x.
    Пусть для этого выбрана, например,
    ячейка C1.
    В соседнюю ячейку B1
    ввести
    подпись “x”.

  2. В
    ячейку B2
    ввести подпись “Левая часть”. В ячейку
    C2
    ввести формулу, задающую левую часть
    уравнения: =60*2^C1.

Примечание – Все
подписи и обозначения на рабочем листе
(“x”,
“Левая часть” и т.д.) в этой и
последующих задачах необязательны. Их
рекомендуется указывать только для
наглядности.

  1. Выбрать
    элемент меню Сервис
    – Поиск решения    .
    В появившемся окне Поиск
    решения
    ввести следующее:

  • в
    поле Установить
    целевую ячейку
    указать ячейку, в которой задана левая
    часть уравнения, в данном примере –
    ячейку C2;

  • установить
    переключатель Равной
    значению    . В
    поле рядом с этим переключателем указать
    значение 0,1 (т.е. правую часть уравнения);

  • в
    поле Изменяя
    ячейки
    указать ячейку, в которой должно быть
    получено решение уравнения, в данном
    примере – ячейку C1;

  • чтобы
    получить решение, нажать кнопку
    Выполнить.

Настройка, заданная
в окне Поиск
решения,
означает следующее: требуется установить
целевую ячейку C2
равной значению 0,1, изменяя для этого
значение ячейки C1.

  1. После
    появления окна с сообщением о том, что
    решение найдено, установить переключатель
    Сохранить
    найденное решение
    и нажать OK.

В ячейке C1
указывается найденное решение (корень
уравнения). В данном примере в ячейке
C1
должно быть получено значение, близкое
к –9,22. Значение ячейки C2
при этом должно быть очень близким к
0,1.

Если выводится
сообщение о невозможности найти решение
(“Поиск не может найти подходящее
решение”, “Значения целевой ячейки не
сходятся” и т.д.), это может означать,
что в описании задачи, введенном в
рабочем листе Excel
или в окне Поиск
решения,
допущена ошибка. Возможно также, что
заданная задача вообще не имеет решения.

Примечания

1 В
некоторых случаях табличный процессор
Excel не находит решения задачи из-за того,
что начальные значения ячеек, указанных
в поле Изменяя
ячейки (т.е.
начальные значения переменных задачи),
нулевые. В таких случаях в ячейках,
где определяются значения переменных,
перед началом решения задачи следует
указать произвольные начальные значения
(например, единицы).

2 В
данном примере еще до решения уравнения
было очевидно, что решение у него только
одно. В более сложных задачах, где
уравнение может иметь несколько решений,
рекомендуется сначала приближенно
определить диапазоны, где находятся
эти решения. Пример такой задачи будет
рассмотрен в подразделе 2.6.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

1.

2. Решение математических задач в среде Excel

2.1. Численное дифференцирование

Известно, что численными приближенными методами производная функции в заданной точке может быть вычислена с использованием конечных разностей. Выражение, записанное в конечных разностях, для вычисления производной функции одного переменного имеет вид:

Для вычисления производной в Excel будем использовать приведенную зависимость.

Рассмотрим методику вычисления производной на примере упражнения.

Упражнение 1

Допустим требуется найти производную функции Y= 2×3 + x2 в точке x=3. Производная, вычисленная аналитическим методом, равна 60.

Для вычисления производной выполните следующие действия:

—

табулируйте заданную функцию в окрестности точки х=3 с достаточно малым шагом, например 0,001 (см рис.)

— в ячейку С2 введите формулу вычисления производной. Здесь ячейка В2 содержит значение хк+1, ячейка А2 — хк.

— буксировкой скопируйте формулу до строки 7, получим значения производных в точках табуляции аргумента.

Для значения х =3 производная функции равна значению 60,019, что близко к значению, вычисленному аналитически.

2.2. Численное вычисление определенных интегралов

Для численного вычисления определенного интеграла методом трапеций используется формула:

Методику вычисления определенного интеграла в Excel с использованием приведенной формулы рассмотрим на примере.

Упражнение 2

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

Величина интеграла, вычисленная аналитически равна 9. Для численного вычисления величины интеграла с использованием приведенной формулы выполните следующие действия:

— табулируйте подинтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0 – 3 (см. рис.).

— в ячейку С3 введите формулу =(A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2+C2, которая реализует подинтегральную функцию.

—

Скопируйте буксировкой формулу, записанную в ячейке С3 до значения аргумента х = 3. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной заданного интеграла — 9.

2.3. Нахождение экстремумов функций с помощью инструмента Поиск решения

Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого отрезка локальный экстремум, то его можно найти используя надстройку Excel Поиск решения .

Рассмотрим последовательность нахождения экстремума функции на примере следующего упражнения.

Упражнение 3

Пусть задана неразрывная функция Y= X2 +X +2. Требуется найти ее экстремум (минимальное значение).

Для решения задачи выполните действия:

— В ячейку А2 рабочего листа введите любое число принадлежащее области определения функции, в этой ячейке будет находиться значение Х;

— В ячейку В2 введите формулу, определяющую заданную функцию. Вместо переменной Х в этой формуле должна быть ссылка на ячейку А2: =A2^2 + A2 +2

— Выполните команду меню Сервис/Поиск решения;

— Настройте параметры инструмента Поиск решения: число итераций – 1000, относительная погрешность 0,00001.

— в поле Установить целевую ячейку укажите адрес ячейки, содержащей формулу ( А2), установите переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки введите адрес ячейки, содержащей Х (А2);

— Щелкните на кнопке Выполнить. В ячейке А2 будет помещено значение Х функции, при котором она имеет минимальное значение, а в ячейке В2 – минимальное значение функции.

Обратите внимание, что в окне Поиск решения можно устанавливать ограничения. Их целесообразно использовать, если функция многоэкстремальна, а нужно найти экстремум в заданном диапазоне изменения аргумента.

2.4. Решение систем линейных уравнений

2.4.1. Встроенные функции для работы с матрицами

В библиотеке Excel в разделе математических функций есть функции для выполнения операций над матрицами (табл.1.1).

Таблица 1.1

Русифицированное имя функции

Англоязычное имя функции

Выполняемое действие

МОБР (параметр)

MINVERSE (parametr)

обращение матрицы

МОПР (параметр)

MDETERM (parametr)

вычисление определителя матрицы

МУМНОЖ (список параметров)

MMULT (parametrlist)

Умножение матриц

Параметрами функций, приведенных в таблице, могут быть адресные ссылки на массивы, содержащие значения матриц, или имена диапазонов и выражения, например

МОБР (А1: B2) или МОПР (матрица_1).

2.4.2. Решение систем линейных уравнений

Известно, что система линейных уравнений в матричном представлении записывается в виде:

AX=B.

Решение такой системы записывается в виде

X=A-1 B,

Где A-1 –матрица, обратная по отношению к А.

2.4.3. Пример решения системы линейных уравнений:

Пусть система уравнений задана матрицами:

Для решения задачи выполните действия:

· Выделите диапазон размерностью 2 х 2 и присвойте ему имя А ;

· Выделите диапазон размерностью 1 х 2 и присвойте ему имя В ;

· Выделите диапазон размерностью 1 х 2 и присвойте ему имя Х ;

· Используя список имен выделите диапазон А и введите в него значения элементов матрицы А;

· Используя список имен выделите диапазон В и введите в него значения элементов вектора В;

· Используя список имен выделите диапазон Х для помещения результата решения системы;

· В выделенный диапазон Х введите формулу

=МУМНОЖ(МОБР(А); В);

· Укажите Excel, что выполняется операция над массивами, для этого нажмите комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>, в ячейках диапазона Х будет получен результат: х1=2,16667, х2= — 1,33333

Чтобы выполнить проверку полученных результатов достаточно перемножить исходную матрицу на вектор результата, итогом этой операции является вектор свободных членов.

Упражнение 4

Решите систему уравнений вида AX=B и выполните проверку решения

2.5. Решение нелинейных уравнений методом подбора параметра

Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Уравнение представляется в виде функции одной переменной;

2. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;

3. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;

4. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

Рассмотрим последовательность отыскания корней нелинейного уравнения на примере.

Упражнение 5

Требуется найти все корни уравнения X3 -0,01X2 -0,7044X+0,139104=0 на отрезке [-1; 1]. Правая часть уравнения представлена полиномом третьей степени, следовательно, уравнение может иметь не более трех корней.

1. представим уравнение в виде функции

Y = X3 -0,01X2 -0,7044X+0,139104

Известно, что корни исходного уравнения находятся в точках пересечения графика функции с осью Х.

2. Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–1;+1] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.

3. Анализ таблицы показывает, что функция меняет знак в следующих интервалах значений аргумента Х: (-1;-0,8), (-0,2;0,4) и (0,6;0,8). Поэтому в качестве начальных приближений возьмем значения Х: -0,8; -0,2 и 0,6 .

4. На свободном участке рабочего листа, как показано на рисунке, в ячейки А15: A17 введите начальные приближения, а соответствующие ячейки столбца В скопируйте формулу.

5. Выполните команду меню Сервис/Параметры, во вкладкеВычисления установите относительную погрешность вычислений E=0,00001, а число итераций N=1000, установите флажок Итерации.

6. Выполните команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне заполните следующие поля:

Установить в ячейке : в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

Значение : в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

Изменяя значение : в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

После щелчка на ОК получим значение первого корня: -0,92.

Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0,209991 и 0,720002.

2.6. Решение систем нелинейных уравнений

Применяя надстройку Excel Поиск решения можно решать системы нелинейных уравнений. Предварительно система уравнений должна быть приведена к одному уравнению. Рассмотрим последовательность решения на примере упражнения.

Упражнение 6

Дана система двух уравнений:

Требуется найти все корни приведенного уравнения для диапазона значений х и y [-3; 3].

Шаг 1 . Приведем систему к одному уравнению. Пара (x, y) является решением системы тогда и только тогда, когда она является решением следующего уравнения с двумя неизвестными:

(x2 + y2 – 3)2 + (2x + 3y – 1)2 = 0

Шаг 2. Для решения последнего уравнения необходимо найти начальные приближения, для этого табулируем выражение, стоящее в левой части как функцию по двум переменным x и y. Для табуляции функции выполните следующие действия:

— В столбец А введите последовательность значений Х с шагом 0,5, а строку 3 – последовательность значений У также с шагом 0,5.

— Присвойте диапазонам значений Х и У имена Х и У, соответственно.

— Выделите диапазон ячеек, в котором будут вычисляться значения функции (B4:N16).

— В выделенный диапазон введите формулу

=(Х^2+Y^2-3)^2+(2*Х+3*Y-1)^2.

— Нажав комбинацию клавиш [Ctrl]+[Shift]+[Enter] выполните операцию над выделенным массивом. В выделенном диапазоне появятся вычисленные значения функции.

Шаг 3. Найдем начальные приближения. Поскольку табулируемая функция задает поверхность, то начальные приближения следует искать во впадинах, т.е. в точках, где функция принимает наименьшие значения. На рисунке эти точки затемнены. Начальными приближениями являются пары (-1;1) и (1,5; -0,5).

Введите значения найденных приближений в смежные ячейки рабочего листа ( см. рис.). Над столбцами сделайте надписи XX и YY, которые будут выполнять в формулах роль меток. Обратите внимание, что мы уже использовали имена Х и Y, поэтому имена новых меток должны отличаться.

Шаг 4 . В ячейку строки, в которой записана первая пара Х и У введите формулу, вычисляющую значение функции:

=(XX^2+YY^2-3)^2+(2*XX+3*YY-1)^2

и скопируйте ее в следующую строку.

Шаг 4 . Установите курсор на ячейку, в которой записана формула и выполните команду меню Сервис/Поиск решения. Выполните настройку параметров инструмента Поиск решения: Предельное число итераций – 1000, относительная погрешность 0,000001.

В окне Поиск решения в качестве целевой ячейки установите адрес ячейки, содержащей формулу, взведите переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки укажите адрес диапазона, содержащего начальные приближения и щелкните на ОК. В ячейках, где хранились начальные приближения будет получена первая пара корней.

Повторите такие же операции для второй пары приближений.

Решением системы являются пары (-1,269; 1,1791) и (1,5764; -0,718).

Задания для самостоятельной работы

1. Найти корни уравнения:

Вариант

Уравнение

Ответ

1

Sin(x)e-2x = 0 для значений х [-2;2]

Х = 0

2

X3-2,56×2-1,3251x+4,395006=0

X=-0,94644

3

X3-2,92×2+1,4355x+0,791136=0 для х [-3;3]

-0,32; 1,229997; 2,010001

4

x3-2,84×2-5,6064x-1476336 = 0

4,700766

5

X3+1,41×2-5,4724x-7,380384 = 0

3,542723

2. Найти корни линейного уравнения вида Ах=В и выполнить проверку:

Вариант 1 Вариант2

Вариант 3 Вариант 4

3. Найти производную функции:

a) Y = 2×2 при х = 3

b) Y= Sin(x) для х = 0

c) Y = Cos(x) для х = 0

d) Y= Sin(x) для х = Пи/2

e) Y = Cos(x) для х = Пи/2

f) Y= Tg(x) для х = 0

4. Вычислить определенный интеграл:

А) В)

С) D)

5. Найти экстремум функции:

a) Y = (2 – x)2

b) Y = x2 + y2 – 3

c) Y = (x-2)2 +(y+3)2 -6

d) Y = sin(2x) для х [0; Пи/2]

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Лабораторная работа excel рабочая книга
  • Лабораторная работа номер 1 по информатике 9 класс excel
  • Лабораторная работа excel поиск решения в excel
  • Лабораторная работа навыки текстовый редактор word
  • Лабораторная работа excel подбор параметра