Квартиль в excel для чего

Возвращает квартиль множества данных. Квартиль часто используются при анализе продаж для разбиения генеральной совокупности на группы. Например, можно воспользоваться функцией КВАРТИЛЬ, чтобы найти среди всех предприятий 25 процентов наиболее доходных.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.

Дополнительные сведения о новых функциях см. в разделах Функция КВАРТИЛЬ.ИСКЛ и Функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ.

Синтаксис

КВАРТИЛЬ(массив;часть)

Аргументы функции КВАРТИЛЬ описаны ниже.

• Массив     Обязательный. Массив или диапазон ячеек с числовыми значениями, для которых определяется значение квартиля.

• Часть     Обязательный. Значение, которое требуется вернуть.

Если часть равна	КВАРТИЛЬ возвращает
0	Минимальное значение
1	Первую квартиль (25-ю персентиль)
2	Значение медианы (50-ю персентиль)
3	Третью квартиль (75-ю персентиль)
4	Максимальное значение

Замечания

• Если массив пуст, КВАРТИЛЬ возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если значение аргумента «часть» не является целым числом, то оно усекается.

• Если кварт < 0 или > 4, кВАРТИЛЬ возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Функции МИН, МЕДИАНА и МАКС возвращают то же значение, что и функция КВАРТИЛЬ, если аргумент «часть» равен соответственно 0, 2 или 4.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные
1
2
4
7
8
9
10
12
Формула	Описание (результат)	Результат
=КВАРТИЛЬ(A2:A9;1)	Первая квартиль (25-я процентиль) для приведенных выше данных (3,5)	3,5

Функция КВАРТИЛЬ в Excel используется для расчета квартиля диапазона числовых данных и возвращает соответствующее числовое значение.

Функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ вычисляет на основе указанной процентили в качестве второго аргумента функции. Полностью соответствует первой функции. Последняя используется в Excel 2007 и более ранних версиях и оставлена для совместимости.

Функция КВАРТИЛЬ.ИСКЛ используется для расчета квартили диапазона числовых значений на основе известной процентили, за исключением граничных значений (минимального и максимального значения в диапазоне).

Квартили используются для распределения диапазона чисел на четыре равные части:

1. Первый квартиль является числом из диапазона исследуемых значений, которое делит данный диапазон на две части так, что около 25% данного диапазона являются числами, которые меньше первого квартиля, а остальные (75%) – больше. Рассматриваемые функции могут возвращать результат интерполяции двух соседних значений из диапазона.
2. Второй квартиль эквивалентен медиане выборки (исследуемого числового диапазона), то есть числовому значению, которое делит диапазон на две части: 50% чисел меньше медианы, остальные 50% чисел больше медианы. Так, запись =КВАРТИЛЬ.ВКЛ(A1:A10;2) возвращает значение, эквивалентное результату вычисления функции =МЕДИАНА(A1:A10), при условии, что ячейки из диапазона A1:A10 содержат числовые значения.
3. Третий квартиль – числовое значение, делящее диапазон на две части, в первой из которой содержатся 75% чисел диапазона, которые меньше полученного значения, а во второй (25%) – больше.

Функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ может быть использована не только для определения медианы выборки (второго квартиля), а и нахождения минимального и максимального значений соответственно. При работе с большими диапазонами чисел для подобных расчетов рекомендуется использовать функции МИН и МАКС соответственно.

Существует несколько алгоритмов расчета квартилей. Все рассмотренные функции используют следующую формулу:

Q_p=(1-(x-i)∙A_i+(x-i)∙A_(i+1), где:

• Q_p – p-й квантиль (является частным случаем квантиля);
• x – индекс квантиля;
• i – индекс элемента из выборки;
• A₁,A₂…A_i – элементы выборки, отсортированной по возрастанию значений.

Для расчета индекса квантиля (x) функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ используют формулу:

x=(n-1)p, где n – количество элементов в диапазоне.

Функция КВАРТИЛЬ.ИСКЛ использует формулу x=(n+1)p.

В Excel принято так, что первые выше указанные 2 функции используют метод N-1-интерполяцию, а третья функция – N+1-интерполяцию.



Примеры использования функций КВАРТИЛЬ в Excel

Пример 1. В столбце таблицы содержится числовая последовательность. Определить число, которое делит последовательность на 2 части, 25% первой – числа меньше полученного значения, а 75% — больше. Использовать N+1-интерполяцию.

Вид таблицы данных:

Для определения 1-го квартиля используем функцию:

Описание аргументов:

• A2:A15 – диапазон ячеек с исследуемыми числами;
• 1 – номер вычисляемого квартиля.

Полученный результат:

Проверим утверждение о том, что второй квартиль соответствует медиане выборке. Определим 2-й по формуле:

Вычислим медиану:

=МЕДИАНА(A2:A15)

Полученные значения совпадают:

В результате расчетов мы получили первый, второй квартили и медиану для исходного диапазона чисел.

Статистический анализ роста доли дохода в Excel за период

Пример 2. В таблице приведены данные о доходах предпринимателя за год. Доказать, что примерно 75% значений меньше, чем третий квартиль доходов.

Вид исходной таблицы:

Определим 3-й по формуле:

Определим соотношение чисел, меньше полученного числа, к общему количеству значений по формуле:

=СЧЁТЕСЛИ(B2:B13;»<«&B15)/СЧЁТ(B2:B13)

Полученные результаты:

Анализ статистики случайно сгенерированных чисел в Excel

Пример 3. Имеется диапазон случайных чисел, отсортированный в порядке возрастания. Определить соотношение суммы чисел, которые меньше 1-го квартиля, к сумме чисел, которые превышают значение 1-го квартиля.

Чтобы сгенерировать случайное число в Excel воспользуемся функцией:

=СЛУЧМЕЖДУ(0;1000)

После генерации отсортируем случайно сгенерированные числа по возрастанию. Вид исходной таблицы данных со случайными числами:

Формула для расчета имеет следующий вид (формула массива CTRL+SHIFT+ENTER):

Функции СУММ с вложенными функциями ЕСЛИ выполняют расчет суммы только тех чисел, которые меньше и больше соответственно значения, возвращаемого функцией для исследуемого диапазона. Из полученных значений вычисляется частное. Результат расчетов:

Общая сумма чисел исследуемого диапазона, которые меньше 1-го квартиля, составляет всего 8,57% от общей суммы чисел, которые больше 1-го квартиля.

Особенности использования функций расчета квартиля в Excel

Все рассматриваемые функции имеют одни и те же аргументы:

=КВАРТИЛЬ(массив;часть)

Описание аргументов:

• массив – обязательный аргумент, принимающий константу массива или ссылку на диапазон ячеек с числовыми значениями, для которых будет рассчитан требуемый квартиль;
• часть – обязательный аргумент, принимающий числовые значения, указывающие номер возвращаемого квартиля. В зависимости от используемой функции, может принимать числа из диапазонов:

1. От 0 до 4 (КВАРТИЛЬ.ВКЛ), при этом числа 0 и 1 характеризуют минимальное и максимальное значения из исследуемого диапазона соответственно. Число 1 соответствует 1-й квартили, 2 – медиане, 3 – 3-й квартили.
2. От 1 до 3 (функция КВАРТИЛЬ.ИСКЛ), соответствующие 1-й, 2-й и 3-й квартилям.

Примечания:

1. Все рассматриваемые функции не учитывают имена и текстовые строки, которые не могут быть преобразованы к числам, логические значения и пустые ячейки. Ячейки, содержащие значение 0 (нуль), в расчет включаются.
2. Если в качестве первого аргумента функций передан пустой массив или ссылка на диапазон пустых значений, все функции вернут код ошибки #ЧИСЛО!.
3. Если в качестве второго аргумента функций было передано нецелое число из диапазона допустимых значений, дробная часть будет усечена.
4. Если второй аргумент задан числом, взятым из вне диапазона допустимых значений, в результате вычислений будет возвращен код ошибки #ЧИСЛО!.

Для вычисления квартилей в MS EXCEL существует специальная функция

КВАРТИЛЬ()

. В этой статье дадим определение квартилей и научимся их вычислять для выборки и для непрерывного распределения. Также вычислим интерквартильный интервал.

Квартили

(Quartiles) — значения, которые делят

выборку

(набор значений) на четыре части, содержащие приблизительно равное количество наблюдений (по 25%).

Поясним определение

квартиля

на примере. Пусть имеется

выборка

, состоящая из 50 значений в ячейках

А7:А56

(см.

файл примера

, лист Квартиль-выборка). Для наглядности

отсортируем значения по возрастанию

и построим

гистограмму

.

Чтобы разделить

выборку

на 4 части достаточно 3-х

квартилей

.

Первый

квартиль

(или

нижний квартиль

, Q1) делит

выборку

, на 2 части: примерно 25% значений в

выборке

меньше Q1, остальные 75% — больше. Для вычисления

1-го квартиля

используйте формулу

=КВАРТИЛЬ.ВКЛ(A7:A56;1)

. Для нашей выборки формула вернет значение 224. Значения 224 нет в

выборке

, формула произвела интерполяцию на основе 2-х соседних значений 223 и 227.

Примечание

: Функция

КВАРТИЛЬ.ВКЛ()

появилась в MS EXCEL 2010. В более ранних версиях использовалась аналогичная ей функция

КВАРТИЛЬ()

.

Чтобы убедиться, что примерно 25% значений меньше, чем 224, используем формулу

=СЧЁТЕСЛИ(A7:A56;»<«&224)/СЧЁТ(A7:A56)

. В результате получим, что 26% меньше, чем 1-й

квартиль

.

Чем в

выборке

больше значений и меньше

повторов

, тем точнее деление

выборки квартилями

на четверти.

Примечание

: Первый квартиль — это то же самое, что и 25-я

процентиль

. Подробнее см.

статью про процентили

.

Второй

квартиль

(или

медиана

, Q2) также делит

выборку

, на 2 равные части: половина чисел множества больше, чем

медиана

, а половина чисел меньше, чем

медиана

. Для вычисления 2-го

квартиля

используйте формулу

=КВАРТИЛЬ.ВКЛ(A7:A56;2)

или

=МЕДИАНА(A7:A56)

Третий

квартиль

(или верхний

квартиль

, Q3) делит

выборку

, на 2 части: примерно 75% значений в

выборке

меньше Q3, остальные 25% — больше. Для вычисления 3-го

квартиля

используйте формулу

=КВАРТИЛЬ.ВКЛ(A7:A56;3)

или

=ПРОЦЕНТИЛЬ.ВКЛ(A7:A56;0,75)

Примечание

: Третий

квартиль

— это то же самое, что и 75-я

процентиль

.

Второй аргумент функции

КВАРТИЛЬ.ВКЛ()

может также принимать значения 0 и 4. В первом случае функция вернет

минимальное значение

, во втором –

максимальное

.

Интерквартильный размах

Интерквартильным размахом

или

интерквартильным интервалом

(InterQuartile range, IQR) называется разность между третьим и первым

квартилями

(Q3 — Q1).

Интерквартильный размах

является характеристикой разброса значений в

выборке

.

Примечание

: Характеристикой разброса значений в

выборке

является также

дисперсия и стандартное отклонение

.

Интерквартильный размах

, а также

квартили

используются при построении

Блочной диаграммы

, которая полезна для оценки разброса значений (variation) в небольших

выборках

или для сравнения нескольких

выборок

имеющих сходные распределения.

Подробнее о построении

Блочной диаграммы

см. статью

Блочная диаграмма в MS EXCEL

.

Квартили непрерывного распределения

Если

функция распределения

F

(х)

случайной величины

х

непрерывна, то 1-й

квартиль

является решением уравнения

F(х)

=0,25, второй —

F(х)

=0,5, а третий

F(х)

=0,75.

Примечание

: Подробнее о

Функции распределения

см. статью

Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL

.

Если известна

функция плотности вероятности

p

(х)

, то 1-й

квартиль

можно найти из уравнения:

Например, решив аналитическим способом это уравнение для

Логнормального распределения

lnN(μ; σ

²

), получим, что

медиана

(2-й

квартиль

) вычисляется по формуле e

^μ

или в MS EXCEL =EXP(μ). При μ=1,

медиана

равна 2,718.

Обратите внимание на точку

Функции распределения

, для которой

F(х)=0,5

(см. картинку выше или

файл примера

, лист Квартиль-распределение)

.

Абсцисса этой точки равна 2,718. Это и есть значение 2-го

квартиля

(

медианы

), что естественно совпадает с ранее вычисленным значением по формуле e

^μ

.

Примечание

: Напомним, что интеграл от

функции плотности вероятности

по всей области задания случайной величины равен единице:

Поэтому, линии

квартилей

(

х=квартиль

) делят площадь под графиком

функции плотности вероятности

на 4 равные части.

Квартили в MS EXCEL

Чтобы вычислить в MS EXCEL

квартили

заданного распределения необходимо использовать соответствующую

обратную функцию распределения

.

При вычислении

квартилей

в MS EXCEL используются

обратные функции распределения

:

НОРМ.СТ.ОБР()

,

ЛОГНОРМ.ОБР()

,

ХИ2.ОБР()

,

ГАММА.ОБР()

и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.

Например, в MS EXCEL 1-й

квартиль

для

логнормального распределения

LnN(1;1) можно вычислить по формуле

=ЛОГНОРМ.ОБР(0,25;1;1)

, а 3-й

квартиль

для

стандартного нормального распределения

по формуле

=НОРМ.СТ.ОБР(0,75)

.

Скачать пример рабочей книги

Загрузите образец книги

В этом руководстве показано, как использовать Функция Excel QUARTILE в Excel для расчета квартиля.

Функция КВАРТИЛЬ Вычисляет указанное значение квартиля.

Чтобы использовать функцию листа Excel QUARTILE, выберите ячейку и введите:

(Обратите внимание, как появляются входные данные формулы)

Функция КВАРТИЛЬ Синтаксис и входные данные:

1	= КВАРТИЛЬ (массив; кварта)

множество — Массив чисел.

кварта — Число, представляющее квартиль, который вы хотите вернуть.

Что такое функция КВАРТИЛЬ?

КВАРТИЛЬ — одна из статистических функций Excel. Он возвращает квартиль диапазона данных. Вы можете указать, хотите ли вы: первый, второй или третий квартиль. QUARTILE также может возвращать минимальные и максимальные значения.

КВАРТИЛЬ — это функция «совместимости»

Начиная с Excel 2010, Microsoft заменила QUARTILE двумя вариантами: QUARTILE.INC и QUARTILE. ИСКЛ.

КВАРТИЛЬ по-прежнему работает, поэтому, если у вас есть старые электронные таблицы, которые его используют, они будут продолжать работать в обычном режиме. Однако вы должны использовать QUARTILE.INC или QUARTILE.EXC везде, где это возможно, на тот случай, если Microsoft исключит QUARTILE из будущих версий Excel.

Что такое квартиль?

Квартили делят диапазон данных на четыре приблизительно равные группы по размеру. Excel рассчитывает квартили как процентили:

• Первый квартиль также известен как 25^th процентиль — поскольку 25% данных ниже этого значения.
• Второй квартиль — это медиана набора данных, также известная как 50^th процентиль, поскольку 50% данных ниже этого значения.
• Третий квартиль также называют 75^th процентиль, поскольку 75% данных ниже этого значения.

Квартили вместе с наименьшими и наибольшими числами в наборе создают «пятизначную сводку». Это может помочь вам сразу увидеть, где находится середина данных и насколько они распределены.

Как использовать функцию КВАРТИЛЬ

Используйте QUARTILE так:

Группа учеников эксклюзивной школы сдала важный экзамен. Их оценки хранятся в C4: C13, а диапазон данных — это первый аргумент, который мы передаем в QUARTILE.

Следующий аргумент в функции, который мы называем «кварта”, Определяет значение, которое мы хотим вернуть. Здесь мы выбрали 2, второй квартиль / медиана. Медиана — это среднее число в диапазоне, а поскольку у нас 11 студентов, медиана — это 6^th один — 74 балла Жана, которые я выделил в таблице.

Несколько полезных вещей, которые нужно знать о QUARTILE:

• Если кварт не является числом, вы получите # ЗНАЧ! ошибка
• Если в кварте меньше 0 или больше 4, вы получите # ЧИСЛО! ошибка
• Если кварт не является целым числом, КВАРТИЛЬ проигнорирует все, что находится после десятичной точки.
• Пустые или нечисловые ячейки в диапазоне данных игнорируются.
• Если диапазон данных пуст, вы получите # ЧИСЛО! ошибка

Создание пятизначной сводки

Когда вы определяете кварта у вас есть пять вариантов:

• 0 — наименьшее число (эквивалент функции MIN в Excel <>)
• 1 — первый квартиль
• 2 — второй квартиль (эквивалент функции МЕДИАНА Excel <>)
• 3 — третий квартиль
• 4 — наибольшее значение (эквивалент функции Excel MAX <>)

Поэтому, если вы хотите создать сводку из пяти цифр, вы просто создаете пять функций QUARTILE и измените кварта ценность в каждом. Это показано ниже:

QUARTILE.INC

Как я упоминал ранее, Microsoft заменила квартиль двумя функциями — QUARTILE.INC и QUARTILE.EXC. QUARTILE.INC — это то же самое, что QUARTILE. Поэтому, если мы переключим эти функции в нашей сводной таблице из пяти чисел, мы получим точно такие же результаты:

1	= КВАРТИЛЬ.INC (C4: C14; E4)

Часть функции «INC» является сокращением от «inclusive». Это означает, что QUARTILE.INC включает наименьшие и наибольшие значения в диапазоне данных при вычислении квартилей.

Excel вычисляет квартили как процентили: это может дать несколько отличные результаты от способа вычисления квартилей в других аналитических пакетах (обычно путем разделения данных на две половины и вычисления медианы каждой половины).

Вот как Excel рассчитывает инклюзивные квартили:

1	Расположение квартиля = (n — 1) * (целевой квартиль / 100) + 1

Здесь n — количество точек данных в наборе. Итак, давайте заполним уравнение на примере первого квартиля:

1	Расположение Q1 = (11-1) * (25/100) + 1

Это означает, что значение Q1 равно 3,5.^th значение, другими словами, посередине между третьим и четвертым значением.

Чтобы получить фактическое значение, мы используем следующее:

1	Q1 = 3-е значение + (4-е значение — 3-е значение) * .5

Заполняем уравнение нашими значениями:

1	Q1 = 65 + (67-65) * 0,5

Более подробное обсуждение того, как рассчитываются процентили в Excel, можно найти на главной странице функции Excel PERCENTILE <>.

QUARTILE.EXC

QUARTILE.EXC очень похож на QUARTILE.INC, за исключением того, что он исключает наименьшие и наибольшие значения в наборе данных при вычислении квартилей.

Вы используете это так:

1	= КВАРТИЛЬ.EXC (C4: C14,2)

Вот та же сводка из пяти цифр, рассчитанная с помощью QUARTILE.EXC:

Ну, первое, что выскакивает, — это # ​​ЧИСЛО! ошибки, когда мы устанавливаем кварта на 0 или 4. Это связано с тем, что, как упоминалось ранее, QUARTILE.EXC исключает наименьшие и наибольшие значения при создании своих диапазонов. Таким образом, вы не можете создать пятизначную сводку с помощью QUARTILE.EXC.

Вот как Excel рассчитывает эксклюзивные квартили:

1	Расположение квартиля = (n + 1) * (целевой квартиль / 100)

Давайте заполним это поле, снова используя в качестве примера первый квартиль:

1	Расположение Q1 = (11 + 1) * (25/100)

Это означает, что значение Q1 является третьим значением: оценка Логана 65.

Если бы в результате мы получили десятичное число, это означало бы, что квартиль находится между двумя значениями, и мы получили бы значение так же, как и с QUARTILE.INC:

1	Квартиль = наименьшее значение + (наибольшее значение — наименьшее значение) * [десятичная дробь из первого уравнения]

Опять же, для более подробного обсуждения того, как рассчитываются процентили в Excel, см. Главную страницу функции Excel PERCENTILE <>.

Функция КВАРТИЛЬ в Google Таблицах

Функция КВАРТИЛЬ в Google Таблицах работает точно так же, как и в Excel:

Примеры QUARTILE в VBA

Вы также можете использовать функцию QUARTILE в VBA. Тип:
application.worksheetfunction.quartile (массив, кварта)
Для аргументов функции (массив и т. Д.) Вы можете либо ввести их непосредственно в функцию, либо определить переменные, которые будут использоваться вместо них.

Вернуться к списку всех функций в Excel

• 

Квартиль — одна из статистик, используемая при описании выборок (подробнее о различных статистиках см. Определение среднего значения, вариации и формы распределения. Описательные статистики). В то время как медиана разделяет упорядоченный массив пополам, квартили разбивают набор данных на четыре части. Первый квартиль – это число, разделяющее выборку на две части: 25% элементов меньше, а 75% — больше значения первого квартиля. Третий квартиль — это число, разделяющее выборку также на две части: 75% элементов меньше, а 25% — больше третьего квартиля.

Рис. 1. 5-числовые сводки: М – медиана, Н1 и Н2 – сгибы (они же квартили)

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel (файл содержит код VBA).

Для расчета квартилей в Excel2007 и более ранних версиях использовалась функция КВАРТИЛЬ. Начиная с версии Excel2010 применяются две функции: КВАРТИЛЬ.ВКЛ и КВАРТИЛЬ.ИСКЛ (функция КВАРТИЛЬ оставлена для совмещения с более ранними версиями Excel; эта функция возвращает те же значения, что и КВАРТИЛЬ.ВКЛ). Эти две функции возвращают различные значения, но я нигде не нашел, какой алгоритм они используют при расчетах. Замечу, что для корректной работы функций данные можно не упорядочивать.

Изучение литературы показало, что в отличие от большинства других статистик, единодушия в методике расчета квартилей нет)) Я нашел упоминание о девяти различных подходах…

Начнем с метода Джона Тьюки, описанного им в, уже ставшем классическом, труде Анализ результатов наблюдений. Разведочный анализ, изданном в 1977 г. Он начинает с введения трех сводок, характеризующих выборку: минимальное, максимальное значения и медиана. Далее он продолжает: «Если мы хотим добавить еще два числа, чтобы образовать 5-числовую сводку, то естественно определять их подсчетом до половины расстояния от каждого из концов к медиане. Процесс нахождения медианы, а затем и этих новых значений можно представить себе, как складывание листа бумаги. Поэтому эти новые значения естественно назвать сгибами» (англ. – hinge; рис. 1). Мы их называем квартилями.

Такие рисунки выглядят очень аккуратно, если число элементов выборки N = 4k + 1, например, 9, 13, 17… Но как быть, если в выборке 12 или 19 элементов? Наглядную картину представил Jon Peltier в серии заметок в своем блоге. Упорядочим элементы случайной выборки и разместим их над линейкой (рис. 2; случайная выборка, элементы которой упорядочены называется вариационным рядом). Серые числа под линейкой – индекс ряда (Джон зачем-то в качестве выборки – над линейкой – взял ряд целых чисел; наверное, чтобы запутать нас). Красное число над рядом – значение сводки; если оно дробное, значит полученное значение является интерполяцией между соседними значениями. Мы определяем медиану, как среднее значение набора данных, а первую квартиль – как медиану нижней половины данных.

Рис. 2. Инклюзивные квартили

Когда Джон Тьюки впервые предложил такой подход, он решил, что медиана (если число элементов в выборке нечетное) должна быть включена как в нижнюю (левую на рисунке), так и в верхнюю половинку данных при определении медиан этих половинок, то есть сгибов. Поэтому такой подход и называется инклюзивным (с включением).

Эксклюзивный подход. Некоторым статистикам не нравится, что медиана учитывается дважды. Они решили, что сгибы должны быть определены как медианы верхней и нижней половин набора данных, из которых срединное значение исключено (рис. 3). Такой взгляд отстаивали Moore и McCabe, или кратко M&M. Если набор данных содержит четное количество значений, инклюзивные и эксклюзивные квартили равны, так как нет элемента выборки (соответствующего центральной медиане), который можно было бы включить или исключить из рассмотрения. Для нечетного числа элементов, инклюзивные сгибы всегда ближе к медиане.

Рис. 3. Эксклюзивные квартили

Третий подход – компромисс между Тьюки и М&M – называется Эмпирическая функции распределения или Интегральная функция распределения (английская аббревиатура CDF). В случае нечетного числа значений в наборе данных, следует включить или исключить медиану, ориентируясь на то, чтобы оставшиеся половинки содержали нечетное число элементов. Например, если в выборке 9 элементов, медиану следует включить, а при 11 элементах – исключить. В обоих случаях половинки будут содержать по 5 элементов. Преимущество этого компромисса заключается в том, что в качестве значения квартиля всегда получается один из элементов набора данных (а не среднее значение двух соседних элементов). CDF является методом по умолчанию в статистическом пакете SAS.

Все возможные случаи N. Мы не всегда можем изобразить данные в W-образной форме, как на рис. 1, поэтому удобнее пользоваться линейкой. В общем случае возможны четыре варианта по числу элементов в выборке: N = 4k, N = 4k + 1, N = 4k + 2, N = 4k + 3… и три подхода к расчету квартилей: Тьюки, M&M, CDF (рис. 4–7).

Рис. 4. Число элементов в выборке N = 4k; все три метода дают одинаковые значения квартилей

Рис. 5. Число элементов в выборке N = 4k + 1; M&M дает значения, отстоящие дальше от медианы

Рис. 6. Число элементов в выборке N = 4k + 2; все три метода дают одинаковые значения квартилей

Рис. 7. Число элементов в выборке N = 4k + 3

Методы интерполяции. Помимо трех описанных выше методов, применяют и целый ряд индексных алгоритмов. Мы рассмотрим три из них. Первый индекс во всех методах равен 0, а последний – N–1, N, N + 1. Например, для N=8 индексированные ряды представлены на рис. 8.

Рис. 8. Индексные ряды на основе N–1, N и N + 1 для N = 8

Положение перцентиля р – доля длины индексной линии, или р(N–1), рN, р(N+1), соответственно. р = 0,25 соответствует первому квартилю, а р = 0,75 – третьему. Ниже наглядно представлен расчет квартилей при различном числе элементов в выборке и трех методах интерполяции на основе N–1, N и N + 1 (рис. 9, 11–13). Обратите внимание, что рассчитанные числа (по формулам справа от линеек) являются не значениями квартилей, а значениями индексов квартилей. Над линейками показано значение квартилей для ряда значений {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Рис. 9. Число элементов в выборке N = 4k

Если, например, наша выборка {2, 3, 5, 8, 11, 12, 14, 17}, то расчет квартилей на основе N–1-метода даст индексы 1,75, 3,5 и 5,25, и значения квартилей 4,5, 9,5 и 12,5 (рис. 10).

Рис. 10. От индексов к значениям квартилей для N–1-метода и N = 4k

Рис. 11. Число элементов в выборке N = 4k + 1

Рис. 12. Число элементов в выборке N = 4k + 2

Рис. 13. Число элементов в выборке N = 4k + 3

Какой алгоритм считать стандартным для вычисления квартилей?

В 1996 году Роб Дж. Хиндман и Янан Фан опубликовали статью в American Statistician под названием Квантили выборок в статистических пакетах. В ней они рассматривали различные алгоритмы расчета квантилей (квартили – это частный случай квантилей). Их целью было указать методологию, которая могла бы стать стандартом для поставщиков статистического программного обеспечения, чтобы расчет квартилей не зависел от типа пакета. В статье они описали девять методов для расчета квантилей. Таблица показывает некоторые статистические пакеты и используемые в них алгоритмы (рис. 14; таблица, этот раздел заметки и код VBA ниже базируются на тексте с сайта Bacon Bits). Обратите внимание, что R и Maple применяют весь спектр алгоритмов.

Рис. 14. Алгоритмы, используемые в статистических пакетах

Кстати, Хиндман и Фан в завершении своей статьи рекомендовали метод 8 в качестве стандарта для статистических пакетов. По их мнению, этот метод оценки квантиля не зависит от распределения, что делает его наиболее приемлемым для расчета.

Расчет квартилей в Excel

Функция Excel КВАРТИЛЬ.ИСКЛ использует следующую формулу для расчета квартилей:

где Q_p – p-й квантиль: p = 0 – для минимального значения, 0,25 – для первого квартиля, 0,5 – для медианы, 0,75 – для третьего квартиля, 1 – для максимального значения;

x – индекс квантиля (может быть дробным); x = (n+1)p, где n – число элементов в выборке; обратите внимание на (n+1), поэтому метод и называется N+1-интерполяция;

i – индекс элемента в упорядоченной выборке; самое большое целое всё еще меньшее, чем x;

A₁, A₂, …, A_i, A_i+1, …, A_n – элементы случайной выборки, упорядоченной по возрастанию.

Формула для КВАРТИЛЬ.ВКЛ отличается только методом расчета х: x = (n-1)p+1; обратите внимание на (n–1), поэтому метод называется N–1-интерполяция. Подробнее с работой формул можно ознакомиться в приложенном Excel-файле на листе Формулы.

Расчет квартилей в R и SAS

Функция quantile в R использует все девять алгоритмов расчета квантилей, в соответствии с нумерацией, предложенной Hyndman and Fan в работе 1996 г. (рис. 15; если вы не знакомы с R, рекомендую начать с Алексей Шипунов. Наглядная статистика. Используем R!). Квантиль при i-м методе расчета:

где i – номер метода, 1 ≤ i ≤ 9, (j–m)/n ≤ p < (j–m+1)/n, х_j – j-ый порядковый элемент упорядоченного ряда, n – размер выборки, γ является функцией двух параметров: j = floor(np + m) и g = np + m – j, где floor – функция возвращающая наибольшее целое, но всё еще меньшее, чем аргумент функции (аналог в Excel – ОКРВНИЗ.МАТ), m – константа, определяемая типом алгоритма расчета квантиля. Если вас интересуют подробности, обратитесь к справочной системе R.

SAS предлгает 5 методов расчета квантилей. И вновь за подробностями я отсылаю вас к справочной системе.

Рис. 15. Расчет квартилей в R девятью способами

Расчет квартилей в Excel любым методом с помощью VBA

Ниже представлен код пользовательской функции, которая позволяет воспроизвести любой из шести методов, перечисленных в таблице на рис. 14. Даже если у вас Excel 2007, и вам недоступна функция КВАРТИЛЬ.ИСКЛ, вы сможете рассчитать квартиль шестым методом с помощью этой функции.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

Function Quantile(MyRange As Range, p As Double, Optional m As Variant) ‘Mike Alexander: www.datapigtechnologies.com ‘Based on Code originally posted by Jerry W. Lewis (former Excel MVP) ‘********************************************************************* ‘This function will replicate various quantile calcuations found ‘in statistical software packages. ‘Calculation is determined by the Hyndman—Fan method used. ‘Hyndman-Fan Method 4 Replicates: ‘SAS(PCTLDEF=1), R(type=4), Maple(method=3) ‘Hyndman-Fan Method 5 Replicates: R(type=5), Maple(method=4) ‘Hyndman—Fan Method 6 Replicates: Excel(QUARTILE.EXC), SAS(PCTLDEF=4), ‘R(type=6), Minitab, SPSS, BMDP, JMP, Maple(method=5) ‘Hyndman—Fan Method 7 Replicates: Excel (QUARTILE and QUARTILE.INC), ‘R(type=7), S-Plus, Maxima, Maple(method=6) ‘Hyndman—Fan Method 8 Replicates: R(type=8), Maple(method=7) ‘Hyndman-Fan Method 9 Replicates: R(type=9), Maple(method=8) ‘********************************************************************** ‘Call function from Excel Spreadhseet by entering ‘=Quantile(Range, p, m) ‘Enter p as the fraction of the population ‘(.25 for quartile 1, .75 for quartile 3, etc....) ‘Enter m as the Hyndman-Fan Quantile method number (4, 5, 6, 7, 8 or 9) ‘If m is left blank, the function will use method 6 by default ‘********************************************************************** Dim n As Long Dim i As Long Dim QDef As Double Dim x As Double ‘Identify method and set the interpolation basis used Select Case m     Case Is = 4         QDef = 0     Case Is = 5         QDef = 0.5     Case Is = 6         QDef = p     Case Is = 7         QDef = 1 — p     Case Is = 8         QDef = (p + 1) / 3     Case Is = 9         QDef = (p + 1.5) / 4     Case Else ‘Use Hyndman-Fan 6 by default         QDef = p End Select ‘Count values within MyRange and calculate the required position index n = WorksheetFunction.Count(MyRange) x = n * p + QDef i = WorksheetFunction.Max(WorksheetFunction.Min(Fix(x), n), 1) ‘Perform interpolation and return answer If (x — i) >= 0 And i < n Then     Quantile = (1 — (x — i)) * WorksheetFunction.Small(MyRange, i) + _     (x — i) * WorksheetFunction.Small(MyRange, i + 1) Else     Quantile = WorksheetFunction.Small(MyRange, i) End If End Function

После того, как вставите код в стандартный модуль книги, вы сможете использовать функцию (рис. 16): =Quantile(MyRange; P; M), где MyRange – диапазон, включающий выборку (можно оставить его неупорядоченным); Р – статистика: 0 – минимум, 0,25 – 1-й квартиль, 0,5 – медиана, 0,75 – 3-й квартиль, 1 – максимум; возможно введение иных значений в диапазоне от 0 до 1; М – номер метода из таблицы на рис. 14.

Рис. 16. Синтаксис пользовательской функции Quantile

В таблице (рис. 17) приведен расчет квартилей по всем методам. Обратите внимание, как метод 8 (который Хиндман и Фан рекомендуют в качестве стандарта) вычисляет квартили, которые ложатся между значениями, вычисляемыми по методам 6 и 7. Действительно, метод 8 дает наиболее сбалансированный набор квартилей.

Рис. 17. Значения квартилей, вычисленные различными методами

Сравнение алгоритмов вычисления квартилей

Стандартом де-факто вычисления квартилей в статистических пакетах и Excel является метод 6 на основе N+1-интерполяции. Если вы хотите, чтобы ваши данные были одинаковыми при использовании различных инструментов, используйте именно этот метод. В Excel он лежит в основе работы функции КВАРТИЛЬ.ИСКЛ. К сожалению, этот метод приводит к увеличению межквартильного интервала. Для нашего примера (рис. 17) с 13,0 до 15,5. Если сравнить все пять методов расчета (рис. 18), то видно, что минимальный межквартильный интервал соответствует методу 7, а максимальный – методу 6. На что это влияет мы рассмотрим в заметке Визуализация статистических данных с помощью диаграммы ящик с усами. Если же вы используете только Excel рекомендую метод 7 на основе N–1-интерполяции. Это позволит вам оперировать с самым узким межквартильным интервалом.

Рис. 18. Влияние алгоритма расчета квартилей на межквартильный интервал; цифры от 5 до 9 – номера методов