Количество информации в битах excel

Материал разработан на 2 спаренных урока.

Цели уроков: Сформировать у учащихся понимание вероятности, равновероятных событий и событий с различными вероятностями. Научить находить количество информации, используя вероятностный подход. Создать в Excel информационную модель для автоматизации процесса вычислений в задачах на нахождение количества информации, используя формулу Шеннона.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

• какие события являются равновероятными, какие неравновероятными;
• как найти вероятность события;
• как найти количество информации в сообщении, что произошло одно из неравновероятных событий;
• как найти количество информации в сообщении, когда возможные события имеют различные вероятности реализации.

Учащиеся должны уметь:

• различать равновероятные и неравновероятные события;
• находить количество информации в сообщении, что произошло одно из равновероятных событий или одно из не равновероятных событий;
• создать информационную модель для автоматизации процесса решения задач на нахождение количества информации с помощью прикладных программ.

Оборудование: доска, компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, карточки-памятки, справочный материал.

Урок 1. Вероятностный подход к определению количества информации. Формула Шеннона

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

III. Постановка цели урока.

Задача: Какое сообщение содержит большее количество информации?

• В библиотеке 8 шкафов. Книга нашлась в 3-м шкафу; (Отв.: 3 бит.)
• Вася получил за экзамен оценку 4 (по 5-бальной системе единицы не ставят). (Отв.: 2 бит.)
• Бабушка испекла 12 пирожков с капустой, 12 пирожков с повидлом. Маша съела один пирожок. (Отв.: 1 бит.)
• Бабушка испекла 8 пирожков с капустой, 16 пирожков с повидлом. Маша съела один пирожок.

Первые три варианта учащиеся решают без затруднения. События равновероятны, поэтому можно применить для решения формулу Хартли. Но третье задание вызывает затруднение. Делаются различные предположения. Роль учителя: подвести учащихся к осмыслению, что в четвертом варианте мы сталкиваемся с ситуацией, когда события неравновероятны. Не все ситуации имеют одинаковые вероятности реализации. Существует много таких ситуаций, у которых вероятности реализации различаются. Например, если бросают несимметричную монету или «правило бутерброда».

Сегодня на уроке мы должны ответить на вопрос: как вычислить количество информации в сообщении о неравновероятном событии.

IV. Объяснение нового материала.

Для вычисления количества информации в сообщении о неравновероятном событии используют следующую формулу: I=log₂(1/p)

где I – это количество информации, р – вероятность события.

Вероятность события выражается в долях единицы и вычисляется по формуле: р=K/N,

где К – величина, показывающая сколько раз произошло интересующее нас событие, N – общее число возможных исходов какого-то процесса.

Вернемся к нашей задаче.

Пусть К₁ – это количество пирожков с повидлом, К₁=24

К₂ – количество пирожков с капустой, К₂=8

N – общее количество пирожков, N = К₁ +К₂=24+8=32

Вычислим вероятность выбора пирожка с разной начинкой и количество информации, которое при этом было получено.

Вероятность выбора пирожка с повидлом: р₁=24/32=3/4=0,75.

Вероятность выбора пирожка с капустой: р₂=8/32=1/4=0,25.

Обращаем внимание учащихся на то, что в сумме все вероятности дают 1.

Вычислим количество информации, содержащееся в сообщении, что Маша выбрала пирожок с повидлом: I₁=log₂(1/p₁)= log₂(1/0,75)= log₂1,3=1,15470 бит.

Вычислим количество информации, содержащееся в сообщении, если был выбран пирожок с капустой: I₂=log₂(1/p₂)= log₂(1/0,25)= log₂4=2 бит.

Пояснение: если учащиеся не умеют вычислять значение логарифмической функции, то можно использовать при решении задач этого урока следующие приемы:

• Ответы давать примерные, задавая ученикам следующий вопрос: «В какую степень необходимо возвести число 2, чтобы получилось число, стоящее под знаком логарифма?».
• Применить таблицу из задачника-практикума под редакцией Семакина И.Г. и др.

Приложение 1. «Количество информации в сообщении об одном из N равновероятных событий: I= log₂N». (Приложение вы можете получить у автора статьи.)

При сравнении результатов вычислений получается следующая ситуация: вероятность выбора пирожка с повидлом больше, чем с капустой, а информации при этом получилось меньше. Это не случайность, а закономерность.

Качественную связь между вероятностью события и количеством информации в сообщении об этом событии можно выразить так: чем меньше вероятность некоторого события, тем больше информации содержит сообщение об этом событии.

Вернемся к нашей задаче с пирожками. Мы еще не ответили на вопрос: сколько получим информации при выборе пирожка любого вида?

Ответить на этот вопрос нам поможет формула вычисления количества информации для событий с различными вероятностями, которую предложил в 1948 г. американский инженер и математик К.Шеннон.

Если I-количество информации, N-количество возможных событий, р_i — вероятности отдельных событий, где i принимает значения от 1 до N, то количество информации для событий с различными вероятностями можно определить по формуле:

можно расписать формулу в таком виде:

Рассмотрим формулу на нашем примере:

I = — (р₁∙log₂p₁ + р₂∙log₂p₂)= — (0,25∙ log₂0,25+0,75∙ log₂0,75)≈-(0,25∙(-2)+0,75∙(-0,42))=0,815 бит

Теперь мы с вами можем ответить на вопрос задачи, которая была поставлена в начале урока. Какое сообщение содержит большее количество информации?

1. В библиотеке 8 шкафов. Книга нашлась в 3-м шкафу; (Отв.: 3 бит.)
2. Вася получил за экзамен 3 балла (по 5-бальной системе единицы не ставят). (Отв.: 2 бит.)
3. Бабушка испекла 12 пирожков с капустой, 12 пирожков с повидлом. Маша съела один пирожок. (Отв.: 1 бит.)
4. Бабушка испекла 8 пирожков с капустой, 16 пирожков с повидлом. Маша съела один пирожок. (Отв.: 0,815 бит.)

Ответ: в 1 сообщении.

Обратите внимание на 3 и 4 задачу. Сравните количество информации.

Мы видим, что количество информации достигает максимального значения, если события равновероятны.

Интересно, что рассматриваемые нами формулы классической теории информации первоначально были разработаны для технических систем связи, призванных служить обмену информацией между людьми. Работа этих систем определяется законами физики т.е. законами материального мира. Задача оптимизации работы таких систем требовала, прежде всего, решить вопрос о количестве информации, передаваемой по каналам связи. Поэтому вполне естественно, что первые шаги в этом направлении сделали сотрудники Bell Telephon Companie – X. Найквист, Р. Хартли и К. Шеннон. Приведенные формулы послужили К. Шеннону основанием для исчисления пропускной способности каналов связи и энтропии источников сообщений, для улучшения методов кодирования и декодирования сообщений, для выбора помехоустойчивых кодов, а также для решения ряда других задач, связанных с оптимизацией работы технических систем связи. Совокупность этих представлений, названная К. Шенноном “математической теорией связи”, и явилась основой классической теории информации. (Дополнительный материал можно найти на сайте http://polbu.ru/korogodin_information или прочитав книгу В.И. Корогодин, В.Л. Корогодина. Информация как основа жизни. Формула Шеннона.)

Можно ли применить формулу К. Шеннона для равновероятных событий?

Если p₁=p₂=..=p_n=1/N, тогда формула принимает вид:

Мы видим, что формула Хартли является частным случаем формулы Шеннона.

V. Закрепление изучаемого материала.

Задача: В корзине лежат 32 клубка красной и черной шерсти. Среди них 4 клубка красной шерсти.

Сколько информации несет сообщение, что достали клубок красной шерсти? Сколько информации несет сообщение, что достали клубок шерсти любой окраски?

Дано: К_к=4;N=32

Найти: I_к, I

Решение:

1. Найдем количество клубков черной шерсти: К_ч=N- К_к; К_ч=32-4=28
2. Найдем вероятность доставания клубка каждого вида: p_к= К_к/N=4/32=1/8; p_ч= К_ч/N=28/32=7/8;
3. Найдем количество информации, которое несет сообщение, что достали клубок красной шерсти: I_к= log₂(1/(1/ p_к))= log₂(1/1/8)= log₂8=3 бит
4. Найдем количество информации, которое несет сообщение, что достали клубок шерсти любой окраски:

Ответ: I_к=3 бит; I=0,547 бит

VI. Подведение итогов урока.

Вопросы:

•  Объясните на конкретных примерах отличие равновероятного события от неравновероятного?
• С помощью какой формулы вычисляется вероятность события.
• Объясните качественную связь между вероятностью события и количеством информации в сообщении об этом событии.
• В каких случаях применяется формула Шеннона для измерения количества информации.
• В каком случае количество информации о событии достигает максимального значения.

Урок 2. Применение ЭТ Excel для решения задач на нахождение количества информации

Пояснение: При решении задач на нахождение количества информации учащиеся не вычисляли значение логарифма, т.к. не знакомы с логарифмической функцией. Урок строился таким образом: сначала решались однотипные задачи с составлением формул, затем разрабатывалась табличная модель в Excel, где учащиеся делали вычисления. В конце урока озвучивались ответы к задачам.

Ход урока

I. Постановка целей урока

На этом уроке мы будем решать задачи на нахождение количества информации в сообщении о неравновероятных событиях и автоматизируем процесс вычисления задач данного типа.

Для решения задач на нахождение вероятности и количества информации используем формулы, которые вывели на прошлом уроке:

р_i=K_i/N; I_i=log₂(1/p_i);

II. Решение задач.

Ученикам дается список задач, которые они должны решить.

Задачи решаются только с выводами формул, без вычислений.

Задача №1

В озере обитает 12500 окуней, 25000 пескарей, а карасей и щук по 6250. Какое количество информации несет сообщение о ловле рыбы каждого вида. Сколько информации мы получим, когда поймаем какую-нибудь рыбу?

Дано: К_о=12500; К_п=25000; К_к= К_щ=6250

Найти: I_о, I_п, I_к, I_щ, I

Решение:

1. Найдем общее количество рыбы: N= К_о+К_п+К_к+К_щ.
2. Найдем вероятность ловли каждого вида рыбы: p_о= К_о/N; p_п= К_п/N; p_к= p_щ= К_к/N.
3. Найдем количество информации о ловле рыбы каждого вида: I_о= log₂( 1/p_о); I_п=log₂ (1/p_п ); I_к= I_щ= log₂ (1/p_к )
4. Найдем количество информации о ловле рыбы любого вида: I= p_о∙log₂p_о+ p_п∙log₂p_п +p_к∙log₂p_к +p_щ∙log₂p_щ

III. Объяснение нового материала.

Задается вопрос ученикам:

1. Какие трудности возникают при решении задач данного типа? (Отв.: Вычисление логарифмов).

2. Нельзя ли автоматизировать процесс решения данных задач? (Отв.: можно, т.к. алгоритм вычислений в этих задачах один и тот же).

3. Какие программы используются для автоматизации вычислительного процесса? (Отв.: ЭТ Excel).

Давайте попробуем сделать табличную модель для вычисления задач данного типа.

Нам необходимо решить вопрос, что мы будем вычислять в таблице. Если вы внимательно присмотритесь к задачам, то увидите, что в одних задачах надо вычислить только вероятность событий, в других количество информации о происходящих событиях или вообще количество информации о событии.

Мы сделаем универсальную таблицу, где достаточно занести данные задачи, а вычисление результатов будет происходить автоматически.

Структура таблицы обсуждается с учениками. Роль учителя обобщить ответы учащихся.

При составлении таблицы мы должны учитывать:

1. Ввод данных (что дано в условии).
2. Подсчет общего количества числа возможных исходов (формула N=K₁+K₂+…+K_i).
3. Подсчет вероятности каждого события (формула p_i= К_i/N).
4. Подсчет количества информации о каждом происходящем событии (формула I_i= log₂(1/p_i)).
5. Подсчет количества информации для событий с различными вероятностями (формула Шеннона).

Прежде чем демонстрировать заполнение таблицы, учитель повторяет правила ввода формул, функций, операцию копирования (домашнее задание к этому уроку).

При заполнении таблицы показывает как вводить логарифмическую функцию. Для экономии времени учитель демонстрирует уже готовую таблицу, а ученикам раздает карточки-памятки по заполнению таблицы.

Рассмотрим заполнение таблицы на примере задачи №1.

Рис. 1. Режим отображения формул

Рис. 2. Отображение результатов вычислений

Результаты вычислений занести в тетрадь.

Если в решаемых задачах количество событий больше или меньше, то можно добавить или удалить строчки в таблице.

VI. Практическая работа.

1. Сделать табличную модель для вычисления количества информации.

2. Используя табличную модель, сделать вычисления к задаче №2 (рис.3), результат вычисления занести в тетрадь.

Рис. 3

3. Используя таблицу-шаблон, решить задачи №3,4 (рис.4, рис.5), решение оформить в тетради.

Рис. 4

Рис. 5

В классе 30 человек. За контрольную работу по информатике получено 15 пятерок, 6 четверок, 8 троек и 1 двойка. Какое количество информации несет сообщение о том, что Андреев получил пятерку?

Задача№3

В коробке лежат кубики: 10 красных, 8 зеленых, 5 желтых, 12 синих. Вычислите вероятность доставания кубика каждого цвета и количество информации, которое при этом будет получено.

Задача№4

В непрозрачном мешочке хранятся 10 белых, 20 красных, 30 синих и 40 зеленых шариков. Какое количество информации будет содержать зрительное сообщение о цвете вынутого шарика?

VII. Подведение итогов урока.

Учитель оценивает работу каждого ученика. Оценивается не только практическая работа на компьютере, но и оформление решения задачи в тетради.

VIII. Домашняя работа.

1. Параграф учебника «Формула Шеннона», компьютерный практикум после параграфа.

2. Доказать, что формула Хартли – частный случай формулы Шеннона.

Литература:

1. Соколова О.Л. «Универсальные поурочные разработки по информатике. 10-й класс.» – М.: ВАКО, 2007.
2. Угринович Н.Д. «Информатика и ИКТ. Профильный уровень. 10 класс» — Бином, Лаборатория знаний, 2007 г.
3. Семакин И.Г., Хеннер Е.К. «Информатика. Задачник – практикум.» 1 том, — Бином, Лаборатория знаний, 2008 г.

Практическая
работа №2

Применение
ЭТ Excel для решения задач на нахождение
количества информации с использованием
формулы Шеннона.

Ход
работы

Задача
1.
В озере обитает 12500 окуней, 25000 пескарей,
а карасей и щук по 6250. Какое количество
информации несет сообщение о ловле рыбы
каждого вида. Сколько информации мы
получим, когда поймаем какую-нибудь
рыбу?

Задача
2.
В группе 30 человек. За контрольную работу
по МДК 04.01. Построение и безопасность
ИТ получено 15 пятерок, 6 четверок, 8 троек
и 1 двойка. Какое количество информации
несет сообщение о том, что Мишустин
получил пятерку?

Задача
3.
В коробке лежат кубики: 10 красных, 8
зеленых, 5 желтых, 12 синих. Вычислите
вероятность доставания кубика каждого
цвета и количество информации, которое
при этом будет получено.

Задача
4.
В непрозрачном мешочке хранятся 10 белых,
20 красных, 30 синих и 40 зеленых шариков.
Какое количество информации будет
содержать зрительное сообщение о цвете
вынутого шарика?

Задача
5.
По каналу связи передаются сообщения
из двух символов. Вероятности появления
отдельных символов равны: p(x1) = 0,38; р(х2)
= 0,62, а статистическая связь между ними
задается условными вероятностями
p(x1/х1) = 0,3; p(x2/х1) = 0,7; p(x1/х2) = 0,6; p(x2/х2) = 0,4.
Определить условную энтропию и энтропию
последовательности.

Задача
6.
В кабеле 40 токопроводящих жил. Среди
них 7 неисправны. Какова вероятность
того, что сигнал поступит на неисправную
жилу? Сколько информации несет сообщение
о том, что информация поступила на
неисправную.

Задача
7.
Источник выдает ансамбль сообщений

Х1 0,04 Х2 0,08

Х3 0,16 Х4 0,32

Х5 0,34 Х6 0,06

Определить
избыточность источника сообщений.

Задача
8.
Отгадываем одно число из 32, 40, 64, 80 чисел.
Сколько бит информации можно получить
в каждом из этих четырех конкретных
случаев, чтобы отгадать задуманное
число?

Задача
9.
Мама попросила дочку сходить в магазин
и купить фрукты. В магазине в наличии
было 4 кг. яблок, 5 кг. груш и 10 кг. апельсинов.
Определить количество информации,
полученной мамой в зрительном сообщении
о покупке, сделанной дочкой.

Задача
10.
Известно, что в ящике лежат 20 шаров. Из
них 10 — черных, 4 — белых, 4 — желтых и 2
— красный. Какое количество информации
несёт сообщения о цвете вынутого шара?

Задание
11.

Соседние файлы в папке ПР №2

• #
• #

  09.12.201877.73 Кб130Применение ЭТ Excel для решения задач на нахождение количества информации с использованием формулы Шеннона.xlsx

1. Сколько битов информации содержит любое трехзначное восьмеричное число?

Решение:

Для решения используем формулу N = 2ⁱ,

где N – это объем информации;

i – вес одного символа.

N = 8 = 2³

Соответственно, восьмеричное число кодируется 3 битами.

Трехзначное восьмеричное число = 3*3 = 9 битов

Ответ:

Любое трехзначное восьмеричное число содержит 9 битов.

2. Найти неизвестные х и у, если верны соотношения 16^yМбайт = 8^xбит и 2^x Кбайт = 2^y Мбайт.

Решение:

2^4y Мбайт= 2^3x бит

2^23+4y=2^3x

23+4y=3x — это первое уравнение

2^x Кбайт = 2^y Мбайт

2^x = 2^10+y 

x=10+y – это второе уравнение

23+4y = 3(10+y)

23+4y = 30+3y

4y – 3y = 30 – 23

y = 7

x= 10 + 7 = 17

Ответ:

y = 7; x = 17.

3. Создать с помощью табличного процессора Microsoft Excel таблицу для автоматического перевода чисел из битов в байты, килобайты, мегабайты, гигабайты. Перевести во все предложенные единицы измерения 1000 битов, 8192 бита, 20500 битов, 16394 бита, 100200 битов.

Решение:

В Microsoft Excel создаем таблицу с нужными заголовками.

В каждую ячейку таблицы добавляем формулы перевода битов в байты, килобайты, мегабайты и гигабайты.

Тогда при вводе данных в битах они автоматически будут переводится в те значения, которые необходимы.

Для перевода битов в байты используем формулу Бит/8 (B3/8 и т.д.).

Для перевода в килобайты используем формулу Байт/1024 (С3/1024 и т.д.).

Для перевода в мегабайты используем формулу Кбайт/1024 (D3/1024 и т.д.).

Для перевода в гигабайты используем формулу МБ/1024 (E3/1024 и т.д.).

Вводим в первую колонку таблицы значения в битах, которые требуется перевести и получаем результат.

Ответ:

1000 битов = 125 Байт = 0,12 Кбайт = 0,00012 Мбайт = 1,16×10⁻⁷ ГБ

8192 бита = 1024 Байта = 1 Кбайт = 0,00098 Мбайт = 9,54×10⁻⁷ ГБ

20500 битов = 2462,5 Байт = 2,5 Кбайт = 0,00244 Мбайт = 2,39×10⁻⁶ ГБ

16394 бита = 2049,25 Байт = 2,001 Кбайт = 0,00195 Мбайт = 1,91×10⁻⁶ ГБ

100200 битов = 12525 Байт = 12,23 Кбайт = 0,01195 Мбайт = 1,17×10⁻⁵ ГБ

Приложение. Таблица перевода битов в Excel — таблица к 3 заданию 5 варианта

Практическая работа  «Измерение
информации»

Цель работы: практическое
закрепление знаний о способах измерения информации при использовании
содержательного и алфавитного подходов.

Задание
1.

• Запустите MicrosoftOffice
  Word.
• Напечатайте
  следующую фразу: «Говорить умеют все люди на свете. Даже у самых
  примитивных племен есть речь. Язык — это нечто всеобщее и самое
  человеческое, что есть на свете».
• Определите
  количество символов в этом файле, включая пробелы (команда Рецензирование
  → Статистика)

·        
Вычислите
количество информации в этом файле, если каждый символ кодируется 2 байтами
(используется кодировка ASCII), информацию о вычислениях занесите в таблицу:

Количество символов в файле
Информационный вес одного символа
Расчетная формула
Количество информации

• Сохраните  документ под именем Задание1
  в своей папке.

Задание
2.

Создать с помощью табличного
процессора MicrosoftOffice Excel таблицу
для автоматического перевода чисел из битов в байты, килобайты, мегабайты и
гигабайты. Перевести во все предложенные единицы измерения 1000 битов,
8192биты, 20 500 битов, 16 384 бита, 100 200 битов.

Для этого:

·        
Запустите MicrosoftOffice Excel

• Создайте и оформите таблицу
  следующего вида:

·        
В
ячейку B2 внесите
формулу =A2/8;
протяните эту формулу до ячейки B6;

·        
Аналогично
занесите формулы в ячейки C2:E6.

·        
Переименуйте
лист с таблицей в Задание 2: Вызовите контекстное меню на
названии листа и выберите пункт Переименовать лист…

·        
Перейдите
на следующий лист для выполнения третьего задания (добавить новый лист – кнопка
+
внизу
возле отображения названий листов).

Задание 3.

Создать с
помощью табличного процессора MicrosoftOffice Excel таблицу
для решения следующей задачи: в школьную команду по волейболу было отобрано
некоторое количество учеников из 64 претендентов. Сколько учеников было
отобрано, если сообщение о том, кто был выбран, содержит 72 бита информации?

Для этого:

·        
Запустите MicrosoftOffice Excel;

• Создайте
  и оформите таблицу следующего вида:

в ячейках D2, D3, D5 должны
быть формулы:

D2=log(B2,2)                  —           N=2ⁱ

D3=B3/D2                      —           k=I/i

D5=D3

·        
Переименуйте
лист в Задание3.

Задание 4.

Аналогично
выполнению задания 3 на следующем листе создайте таблицу для решения следующей
задачи: в детской магнитной азбуке 32 буквы. Какое количество информации
содержит сообщение о том, что из них было собрано слово «муравей»?

Переименуйте
лист с выполненным заданием в Задание 4.

Задание 5.

·        
Перейдите
на следующий лист

·        
Создайте
следующую таблицу

·        
В
первом столбце единица измерения должна выбираться из списка (список создается
с помощью команды Данные → Проверка данных), элементы списка вводить в строке Источник
через ;

·        
С
помощью условной функции ЕСЛИ реализуйте механизм перевода из выбранной
единицы измерения информации во все остальные единицы;

·        
Протестируйте
работу таблицы для следующих значений: 1024 байтов, 1 МБ, 32768 битов, 2048 Кб,
0,5 Гб;

·        
Переименуйте
лист с заданием в Задание 5;

·        
Сохраните
файл с заданиями в своей папке под именем Задания2-5.