Классическая транспортная задача в excel

Эксель можно использовать для решения широкого спектра задач, в том числе, для нахождения наилучшего способа осуществления перевозок от производителя (продавца) к потребителю (покупателю). Давайте посмотрим, каким образом это можно реализовать в программе.

Транспортная задача: описание

С помощью транспортной задачи можно найти наилучший вариант перевозки с минимальными издержками между двумя взаимодействующими контрагентами (в рамках данной статьи будем рассматривать покупателей и продавцов). Чтобы приступить к решению, нужно представить исходные данные в схематичном или матричном виде. Последний вариант применяется в Эксель.

Транспортные задачи бывают двух типов:

• Закрытая – совокупное предложение продавца равняется общему спросу.
• Открытая – спрос и предложение не равны. Чтобы решить такую задачу, нужно сначала привести ее к закрытому типу. В этом случае добавляется условный покупатель или продавец с недостающим количеством спроса или предложения. Также в таблицу издержек следует внести соответствующую запись (с нулевыми значениями).

Подготовительный этап: включение функции “Поиск решения”

Чтобы решить транспортную задачу в Эксель, нужно воспользоваться функцией “Поиск решения”, которую нужно предварительно активировать, т.к. изначально она не включена. Алгоритм действий следующий:

1. Открываем меню “Файл”.
2. В перечне слева выбираем пункт “Параметры”.
3. В параметрах кликаем по подразделу “Надстройки”. Затем в правой части окна в самом низу, выбрав значение “Надстройки Excel” для параметра “Управление”, щелкаем по кнопке “Перейти”.
4. В открывшемся окне ставим галочку напротив надстройки “Поиск решения” и жмем OK.
5. В результате, если мы перейдем во вкладу “Данные”, то увидим здесь кнопку “Поиск решения” в группе инструментов “Анализ”.

Пример задачи и ее решение

Чтобы лучше понять, как решать транспортные задачи в Excel, давайте рассмотрим конкретный практический пример.

Условия задачи

Допустим, у нас есть 6 продавцов и 7 покупателей. Предложение продавцов составляет 36, 51, 32, 44, 35 и 38 единиц. Спрос покупателей следующий: 33, 48, 30, 36, 33, 24 и 32 единицы. Суммарные количества по спросу и предложению равны, следовательно, это транспортная задача закрытого типа.

Также, мы имеем данные по издержкам перевозок из одного пункта в другой (ячейки с желтым фоном).

Алгоритм решения

Итак, приступи к решению нашей задачи:

1. Для начала строим таблицу, количество строк и столбцов в которой соответствует числу продавцов и покупателей, соответственно.
2. Перейдя в любую свободную ячейку щелкаем по кнопке “Вставить функцию” (fx).
3. В открывшемся окне выбираем категорию “Математические”, в списке операторов отмечаем “СУММПРОИЗВ”, после чего щелкаем OK.
4. На экране отобразится окно, в котором нужно заполнить аргументы:
   • в поле для ввода значения напротив первого аргумента “Массив1” указываем координаты диапазона ячеек матрицы затрат (с желтым фоном). Сделать это можно, используя клавиши на клавиатуре, или просто выделив нужную область в самой таблице с помощью зажатой левой кнопки мыши.
   • в качестве значения второго аргумента “Массив2” указываем диапазон ячеек новой таблицы (либо вручную, либо выделив нужные элементы на листе).
   • по готовности жмем OK.
5. Щелкаем по ячейке, расположенной слева от самого верхнего левого элемента новой таблицы, после чего снова жмем кнопку “Вставить функцию”.
6. На этот раз нам нужна функция “СУММ”, которая также, находится в категории “Математические”.
7. Теперь нужно заполнить аргументы. В качестве значения аргумента “Число1” указываем верхнюю строку созданной для расчетов таблицы (целиком) – вручную или методом выделения на листе. Жмем кнопку OK, когда все готово.
8. В ячейке с функцией появится результат, равный нулю. Наводим указатель мыши на ее правый нижний угол, и когда появится Маркер заполнения в виде черного плюсика, зажав левую кнопку мыши тянем его до конца таблицы.
9. Это позволит скопировать формулу и получить аналогичные результаты для остальных строк.
10. Выбираем ячейку, которая находится сверху от самого верхнего левого элемента созданной таблицы. Аналогично описанным выше действиям вставляем в нее функцию “СУММ”.
11. В значении аргумента “Число1” теперь указываем (вручную или с помощью выделения на листе) все ячейки первого столбца, после чего кликаем OK.
12. С помощью Маркера заполнения выполняем копирование формулы на оставшиеся ячейки строки.
13. Переключаемся во вкладку “Данные”, где жмем по кнопке функции “Поиск решения” (группа инструментов “Анализ”).
14. Перед нами появится окно с параметрами функции:
    • в качестве значения параметра “Оптимизировать целевую функцию” указываем координаты ячейки, в которую ранее была вставлена функция “СУММПРОИЗВ”.
    • для параметра “До” выбираем вариант – “Минимум”.
    • в области для ввода значений напротив параметра “Изменяя ячейки переменных” указываем диапазон ячеек новой таблицы (без суммирующей строки и столбца).
    • нажимаем кнопку “Добавить” в блоке “В соответствии с ограничениями”.
15. Откроется небольшое окошко, в котором мы можем добавить ограничение – сумма значений первых столбцов исходной и созданной таблицы должны быть равны.
    • становимся в поле “Ссылка на ячейки”, после чего указываем нужный диапазон данных в таблице для расчетов.
    • затем выбираем знак “равно”.
    • в качестве значения для параметра “Ограничение” указываем координаты  аналогичного столбца в исходной таблице.
    • щелкаем OK по готовности.
16. Таким же способом добавляем условие по равенству сумм верхних строк таблиц.
17. Также добавляем следующие условия касательно суммы ячеек в таблице для расчетов (диапазон совпадает с тем, который мы указали для параметра “Изменяя ячейки переменных”):
    • больше или равно нулю;
    • целое число.
18. В итоге получаем следующий список условий в поле “В соответствии с ограничениями”. Проверяем, чтобы обязательно была поставлена галочка напротив опции “Сделать переменные без ограничений неотрицательными”, а также, чтобы в качестве метода решения стояло значение “Поиск решения нелинейных задач методов ОПГ”. Когда все готово, нажимаем “Найти решение”.
19. В результате будет выполнен расчет и отобразится окно с результатами поиска решения. Оцениваем их, и в случае, когда они нас устраивают, нажимаем OK.
20. Все готово, мы получили таблицу с заполненными данными и транспортную задачу можно считать успешно решенной.

Заключение

Таким образом, с помощью программы Эксель достаточно просто решить транспортную задачу. Самое главное – правильно заполнить начальные данные и четко следовать плану действий, и тогда проблем быть не должно, т.к. программа все расчеты выполнит сама.

Помогла ли Вам статья?

Практически все транспортные задачи имеют единую математическую модель. Классический вариант решения иллюстрирует самый экономный план перевозок одинаковых или схожих продуктов от производственного объекта в пункт потребления.

Планирование перевозок с помощью математических и вычислительных методов дает хороший экономический эффект.

Виды транспортных задач

Условия и ограничения транспортной задачи достаточно обширны и разнообразны. Поэтому для ее решения разработаны специальные методы. С помощью любого из них можно найти опорное решение. А впоследствии улучшить его и получить оптимальный вариант.

Условия транспортной задачи можно представить двумя способами:

• в виде схемы;
• в виде матрицы.

В процессе решения могут быть ограничения (либо задача решается без них).

По характеру условий различают следующие типы транспортных задач:

• открытые открытые транспортные задачи (запас товара у поставщика не совпадает с потребностью в товаре у потребителя);
• закрытые (суммарные запасы продукции у поставщиков и потребителей совпадают).

Закрытая транспортная задача может решаться методом потенциалов. Она всегда разрешима. Открытый тип сводят к закрытому с помощью прибавления к суммарному запасу или потребности в товаре недостающих единиц, чтобы добиться равенства.



Пример решения транспортной задачи в Excel

Предприятия А1, А2, А3 и А4 производят однородную продукцию а1, а2, а3 и а4, соответственно. В условных единицах – 246, 186, 196 и 197. Затем товар поступает в пять пунктов назначения: В1, В2, В3, В4 и В5. Это потребители продукции. Они готовы ежедневно принимать 136, 171, 71, 261 и 186 единиц товара.

Стоимость перевозки единицы продукции с учетом удаленности от пункта назначения:

Задача: минимизировать транспортные расходы по перевозке продукции.

1. Проверим, является ли модель транспортной задачи сбалансированной. Для этого все количество производимого товара сравним с суммарным объемом потребности в продукции: 246 + 186 + 196 + 197 = 136 + 171 + 71 + 261 + 186. Вывод – модель сбалансированная.
2. Сформулируем ограничения: объем перевозимой продукции не может быть отрицательным и весь товар должен быть доставлен к пунктам назначения (т.к. модель сбалансированная).
3. Введем стоимость перевозки единицы продукции в рабочие ячейки Excel.



4. Введем формулы для расчета суммарной потребности в товаре. Это будет первое ограничение.



5. Введем формулы для расчета суммарного объема производства. Это будет второе ограничение.



6. Вносим известные значения потребности в товаре и объема производства.



7. Вводим формулу целевой функции СУММПРОИЗВ(B3:F6; B9:F12), где первый массив (B3:F6) – стоимость единицы перевозки товаров. Второй (B9:F12) – искомые значения транспортных расходов.
8. Вызываем команду «Поиск решения» на закладке «Данные» (если там нет данного инструмента, то его нужно подключить в настройках Excel, а как это сделать описано в статье: расширенные возможности финансового анализа). Заполняем диалоговое окно. В графе «Установить целевую ячейку» — ссылка на целевую функцию. Ставим галочку «Равной минимальному значению». В поле «Изменяя ячейки» — массив искомых критериев. В поле «Ограничения»: искомый массив >=0, целые числа; «ограничение 1» = объему потребностей; «ограничение 2» = объему производства.



9. Нажимаем «Выполнить». Команда подберет оптимальные переменные при заданных ограничениях.

Так выглядит «сырой» вариант работы инструмента. Экспериментируя с полученными данными, находим подходящие значения.

Решение открытой транспортной задачи в Excel

При таком типе возможны два варианта развития событий:

• суммарный объем производства превышает суммарную потребность в товаре;
• суммарная потребность больше суммы запасов.

Открытую транспортную задачу приводят к закрытому типу. В первом случае вводят фиктивного потребителя. Его потребности равны разнице всего объема производства и суммы существующих потребностей.

Во втором случае вводят фиктивного поставщика. Объем его производства равен разнице суммарной потребности и суммарных запасов.

Единица перевозки груза для фиктивного участника равняется 0.

Когда все преобразования выполнены, транспортная задача становится закрытой и решается обычным способом.

Читайте также по теме: решение транспортной задачи методом потенциалов в Excel.

Рассмотрим решение классической
транспортной задачи на основе примера
заимствованного из книги [5].

Задача 2. Для перевозки продовольственных
грузов имеется три оптово-розничных
склада № 1, № 2 и № 3 и два магазина № 1 и
№ 2. Объемы перевозки грузов составят
соответственно 1000, 1500 и 1200 кг. Ежедневная
потребность магазинов (распределительных
центров) составляет 2300 и 1400 кг товара.
Расстояние (в км) между заводами и
распределительными центрами приведены
в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Мощность грузопотоков

Транспортная компания оценивает свои
услуги в 1 копейку за перевозку одного
кг груза на один км. В результате получаем
представленную в табл. 2.2 стоимость
перевозок (в рублях) по каждому маршруту.

Таблица 2.2

Стоимость перевозки товаров

Основываясь на данных из табл. 2.2,
формулируем следующую задачу линейного
программирования.

Минимизировать

F=
0,1x₁₁+0,26x₁₂+0,12x₂₁+0,13x₂₂+0,14x₃₁+0,085x₃₂min

при ограничениях

x₁₁+x₁₂=1000
(Склад № 1),

x₂₁+x₂₂=1500
(Склад № 2),

x₃₁+x₃₂=1200
(Склад № 3),

x₁₁+x₂₁+x₃₁=2300
(Магазин № 1),

x₁₂+x₂₂+x₃₂=1400
(Магазин № 2),

x_ij0,
i=1,2,3, j=1,2.

Эти ограничения выражены в виде равенств,
поскольку общий объем перевезенных
грузов со складов (S=1000+1500+1200=3700)
равен суммарному спросу магазинов
(D=2300+1400=3700).

Данную задачу можно решить с помощью
так называемой транспортной таблицы.
Решение данной задачи в Excel
представлено на рис. 2.2 — 2.4.

Рис. 2.2. Таблицы решения
транспортной задачи

Исходные данные для решения классической
транспортной задачи целесообразно
представить в виде трех таблиц (см. рис.
2.2), в первой из которых представлены
значения стоимости перевозок единицы
товара c_ij от i-го поставщика
к j-му потребителю.

Заполняем таблицу Стоимость перевозки
одного кг груза на один км, руб.
(рис. 2. 1).

Во второй таблице представлены: значения
S_i предложения каждого i-го
поставщика; значения D_j спроса
каждого _j-го потребителя;
переменные x_ij, первоначально
принимающие нулевые значения;
вспомогательная строка и вспомогательный
столбец «Сумма».

Далее заполняем графы Таблицы-плана
оптимального закрепления (рис. 2.2).

Ниже формируем Таблицу-план расходов
на перевозку. Пересечения столбцов
и строк представляют собой произведения
соответствующих ячеек двух предыдущих
таблиц.

Целевая ячейка Е25 должна содержать
формулу, выражающую целевую функцию:

= СУММ(C22:D24)

Используя меню СервисПоиск
решения открываем диалоговое окно Поиск
решения (см. рис. 2.3), в котором
устанавливаем целевую ячейку равной
минимальному значению, определяем
диапазон изменяемых ячеек и ограничения
и запускаем процедуру вычисления,
щелкнув по кнопке Выполнить.

Рис. 2.3. Окно поиска решения

Оптимальное решение данной задачи
представлено на рис. 2. 4. Оно предполагает
перевозку 1000 кг товара со склада №1 до
магазина № 1, 1300 кг – со склада № 2 до
магазина № 1, 200 кг товара со склада № 2
до магазина № 2 и 1200 кг товара со склада
№ 3 до магазина № 2. Минимальная стоимость
перевозок составляет 384 рубля.

Рис. 2.4. Оптимальное распределение
товара по маршрутам

Когда суммарный объем предложений
(грузов, имеющихся в пунктах отправления)
не равен общему объему спроса на товары
(грузы), запрашиваемые пунктами назначения,
транспортная задача называется
несбалансированной. В этом
случае, при решении классической
транспортной задачи методом
потенциалов, применяют прием,
позволяющий несбалансированную
транспортную задачу сделать
сбалансированной. Для этого вводят
фиктивные пункты назначения
или отправления. Выполнение баланса
транспортной задачи необходимо для
того, чтобы иметь возможность применить
алгоритм решения, построенный на
использовании транспортных таблиц. В
Excel несбалансированная
транспортная задача решается путем
изменения ограничений по спросу (если
спрос превышает предложение) или по
предложению (если предложение превышает
спрос), т.е. система ограничений будет
иметь вид:

в первом случае, либо

во втором случае.

При решение несбалансированной
транспортной задачи в Excel,
в отличии от вышеприведенного примера
в окне поиска решения приведено ниже.
Оно заключается в определении ограничений
для поиска решения.

Например, уменьшив потребный объем
перевозок для первого магазина до 2000
кг, мы получим результат решения,
аналогичный приведенному на рисунке
ниже. На этом же рисунке приведены
ограничения, накладываемые для поиска
решения.

Рис. 2.5. Пример решения несбалансированной
транспортной задачи

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

На этой странице разберем подробные решения транспортной задачи (алгоритм и примеры разных типов) с использованием пакета электронных таблиц MS Excel (надстройка Поиск решения).

Как решить транспортную задачу в Excel

Ручное решение транспортной задачи занимает очень много времени и сил (скажем, даже для учебной задачи типа 3*5 решение может составлять от 4 до 10 страниц расчетов!). Тогда как решение в Эксель для задачи размерности как 3*3, так и 5*7 потребует буквально 10-15 минут и немного опыта (правда, если уже составлена математическая модель).

Использовать можно любую версию программы — 2003, 2007, 2010 и так далее, главное, включить использование надстройки Поиск решения (интерфейс может немного отличаться в разных версиях).

Алгоритм решения ТЗ в Эксель

• Составить математическую модель транспортной задачи — то есть получить таблицу со стоимостью перевозок, запасами груза у поставщиков и потребностями потребителей (и, возможно, дополнительными ограничениями).
  
• Если задача открытая (несбалансированная), то добавить потребителя или поставщика с нулевыми тарифами перевозки.
• Внести на лист таблицы Excel данную модель в виде матрицы тарифов (затрат).
  
• Создать рядом на листе еще одну таблицу, где будут выводиться искомые перевозки (такой же размерности, что и таблица тарифов). Просуммировать перевозки по строкам и столбцам (чтобы сравнивать с аналогичными ячейками — предельными ограничениями задачи — запасами поставщиков и потребностями потребителей).
  
• Ввести в ячейку формулу, подсчитывающую суммарную стоимость перевозок (это число мы должны минимизировать по смыслу транспортной задачи)
  
  В режиме формул таблица будет выглядеть так:
  
• Запустить надстройку Поиск решения и указать а) ячейку, которую мы минимизируем, б) все ограничения на запасы поставщиков и потребности потребителей, в) дополнительные ограничения (иногда бывают запреты перевозок или требования по минимальному объему груза между определенными пунктами, как в данном случае).
  
• Получить решение транспортной задачи: в целевой ячейке вы увидите минимальную стоимость перевозок (в примере 435), а в таблице перевозок — искомые значения объема перевозимого груза (см. желтые ячейки).
  
• Проанализировать решение, если требуется и записать более подробно, например

  Минимальные затраты на перевозку составят 435. План перевозок:
  Из 1 карьера 10 тонн везем на 1-й участок, 15 тонн на 3-й.
  Из 2 карьера 20 тонн везем на 1-й участок.
  Из 3 карьера 20 тонн везем на 3-й.
  Из 4 карьера 10 тонн везем на 1-й участок, 20 тонн на 2-й, 5 тонн на 3-й.

Транспортные задачи: примеры в Excel

Задача 1. Решить транспортную задачу вручную (методом потенциалов) и в программе Эксель.

Задача 2. Исходные данные задачи приведены схематически: внутри прямоугольника заданы удельные транспортные затраты на перевозку единицы груза, слева указаны мощности поставщиков, а сверху — мощности потребителей.
Сформулировать экономико-математическую модель исходной транспортной задачи, найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями, установить единственность или не единственность оптимального плана, используя Поиск решений.

Задача 3. Имеется 3 нефтеперерабатывающих завода, 4 спиртовых завода, 3 завода по производству синтетического каучука.
Схема кооперационных связей (см. файл).
Далее приведены производственные показатели предприятий.

Также заданы расстояния между предприятиями.

Необходимо найти решение транспортной задачи с ориентацией на спрос СК и минимизацией транспортных суммарных затрат.

Задача 4. Используя метод потенциалов, решить транспортную задачу. Выполнить проверку, используя табличный редактор Microsoft Excel Компания владеет тремя заводами А1, А2, А3. Соответствующие объемы производства равны 600, 300 и 330 единиц продукции. Компания обязалась поставить в города В1, В2, В3 и В4 соответственно 350, 350, 230 и 300 единиц. При заданных в таблице стоимостях перевозок единицы продукции составьте план ее распределения, чтобы общая стоимость перевозок была наименьшей.

Задача 5. Свести задачу к виду ТЗ и решить с помощью надстройки «Поиск решения»
Четыре ремонтные мастерские могут за год отремонтировать соответственно 400, 500, 450 и 550 машин при себестоимости ремонта одной машины в 500, 700, 650 и 600 рублей. Планируется годовая потребность в ремонте пяти автобаз: 550, 350, 300, 375 и 400 машин.
Ремонт машин с 1 автобазы должен осуществляться в 100% случаев силами ремонтных мастерских.
На 4 АБ возможно самостоятельное проведение ремонтных работ (бесплатное) в объеме, не превышающем 8% от планируемой годовой потребности этой мастерской. Платное (на стороне) — совсем не возможно.
Вторая, третья и пятая АБ могут «ремонтироваться» на стороне, стоимость ремонта +трансп.расходы каждой машины в таком случае составит 695 руб.
Дана матрица, характеризующая транспортные расходы на доставку машины с j-й автобазы в i-ю ремонтную мастерскую. Определить минимальную годовую потребность в кредитах на выполнение указанного объема работ по всем автобазам

Полезные ссылки