Как построить спираль архимеда в excel

Формула Бернулли в Excel

В этой статье я расскажу о том, как решать задачи на применение формулы Бернулли в Эксель. Разберем формулу, типовые задачи — решим их вручную и в Excel. Вы разберетесь со схемой независимых ипытаний и сможете использовать расчетный файл эксель) для решения своих задач. Удачи!

Схема независимых испытаний

В общем виде схема повторных независимых испытаний записывается в виде задачи:

Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых (вероятность успеха) равна $p$, вероятность ненаступления (неуспеха) — соответственно $q=1-p$. Найти вероятность, что событие $A$ наступит в точности $k$ раз в $n$ опытах.

Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли:

$$ P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^=C_n^k cdot p^k cdot q^. qquad(1) $$

Данная схема описывает большой пласт задач по теории вероятностей (от игры в лотерею до испытания приборов на надежность), главное, выделить несколько характерных моментов:

• Опыт повторяется в одинаковых условиях несколько раз. Например, кубик кидается 5 раз, монета подбрасывается 10 раз, проверяется 20 деталей из одной партии, покупается 8 однотипных лотерейных билетов.
• Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова. Этот пункт связан с предыдущим, рассматриваются детали, которые могут оказаться с одинаковой вероятностью бракованными или билеты, которые выигрывают с одной и той же вероятностью.
• События в каждом опыте наступают или нет независимо от результатов предыдущих опытов. Кубик падает случайно вне зависимости от того, как упал предыдущий и т.п.

Если эти условия выполнены — мы в условиях схемы Бернулли и можем применять одноименную формулу. Если нет — ищем дальше, ведь классов задач в теории вероятностей существенно больше (и о решении некоторых написано тут): классическая и геометрическая вероятность, формула полной вероятности, сложение и умножение вероятностей, условная вероятность и т.д.

Подробнее про формулу Бернулли и примеры ее применения можно почитать в онлайн-учебнике. Мы же перейдем к вычислению с помощью программы MS Excel.

Формула Бернулли в Эксель

Для вычислений с помощью формулы Бернулли в Excel есть специальная функция =БИНОМ.РАСП() , выдающая определенную вероятность биномиального распределения.

Чтобы найти вероятность $P_n(k)$ в формуле (1) используйте следующий текст =БИНОМ.РАСП($k$;$n$;$p$;0) .

Покажем на примере. На листе подкрашены ячейки (серые), куда можно ввести параметры задачи $n, k, p$ и получить искомую вероятность (текст полностью виден в строке формул вверху).

Пример применения формулы на конкретных задачах мы рассмотрим ниже, а пока введем в лист Excel другие нужные формулы, которые пригодятся в решении:

Выше на скриншоте введены формулы для вычисления следующих вероятностей (помимо самих формул для Excel ниже записаны и исходные формулы теории вероятностей):

• Событие произойдет в точности $k$ раз из $n$:
  =БИНОМ.РАСП(k;n;p;0)
  $$P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot q^$$
• Событие произойдет от $k_1$ до $k_2$ раз:
  =БИНОМ.РАСП(k_2;n;p;1) — БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;0)
  $$P_n(k_1le X le k_2)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
• Событие произойдет не более $k_3$ раз:
  =БИНОМ.РАСП(k_3;n;p;1)
  $$P_n(0le X le k_3)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
• Событие произойдет не менее $k_4$ раз:
  =1 — БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;0)
  $$P_n(k_4le X le n)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
• Событие произойдет хотя бы один раз:
  =1-БИНОМ.РАСП(0;n;p;0)
  $$P_n( X ge 1)=1-P_n(0)=1-q^$$
• Наивероятнейшее число наступлений события $m$:
  =ОКРУГЛВВЕРХ(n*p-q;0)
  $$np-q le m le np+p$$

Вы видите, что в задачах, где нужно складывать несколько вероятностей, мы уже используем функцию вида =БИНОМ.РАСП(k;n;p;1) — так называемая интегральная функция вероятности, которая дает сумму всех вероятностей от 0 до $k$ включительно.

Примеры решений задач

Рассмотрим решение типовых задач.

Пример 1. Произвели 7 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 5 попаданий; от 6 до 7 попаданий в цель.

Решение. Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (выстрелах), всего их $n=7$, вероятность попадания при каждом одинакова и равна $p=0,75$, вероятность промаха $q=1-p=1-0,75=0,25$. Нужно найти, что будет ровно $k=5$ попаданий. Подставляем все в формулу (1) и получаем:

$$ P_7(5)=C_<7>^5 cdot 0,75^5 cdot 0,25^2 = 21cdot 0,75^5 cdot 0,25^2= 0,31146. $$

Для вероятности 6 или 7 попаданий суммируем:

$$ P_7(6)+P_7(7)=C_<7>^6 cdot 0,75^6 cdot 0,25^1+C_<7>^7 cdot 0,75^7 cdot 0,25^0= \ = 7cdot 0,75^6 cdot 0,25+0,75^7=0,44495. $$

А вот это решение в файле эксель:

Пример 2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье:
1. Ровно 2 мальчика
2. От 4 до 5 мальчиков
3. Не более 2 мальчиков
4. Не менее 7 мальчиков
5. Хотя бы один мальчик
Каково наиболее вероятное число мальчиков и девочек в семье?

Решение. Сначала запишем данные задачи: $n=10$ (число детей), $p=0,5$ (вероятность рождения мальчика). Формула Бернулли принимает вид: $$P_<10>(k)=C_<10>^k cdot 0,5^kcdot 0,5^<10-k>=C_<10>^k cdot 0,5^<10>$$ Приступим к вычислениям:

$$1. P_<10>(2)=C_<10>^2 cdot 0,5^ <10>= frac<10!><2!8!>cdot 0,5^ <10>approx 0,044.$$ $$2. P_<10>(4)+P_<10>(5)=C_<10>^4 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^5 cdot 0,5^<10>=left( frac<10!> <4!6!>+ frac<10!> <5!5!>right)cdot 0,5^ <10>approx 0,451.$$ $$3. P_<10>(0)+P_<10>(1)+P_<10>(2)=C_<10>^0 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^1 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^2 cdot 0,5^<10>=left( 1+10+ frac<10!> <2!8!>right)cdot 0,5^ <10>approx 0,055.$$ $$4. P_<10>(7)+P_<10>(8)+P_<10>(9)+P_<10>(10)=\ = C_<10>^7 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^8 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^9 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^10 cdot 0,5^ <10>=\=left(frac<10!><3!7!>+ frac<10!> <2!8!>+ 10 +1right)cdot 0,5^ <10>approx 0,172.$$ $$5. P_<10>(ge 1)=1-P_<10>(0)=1-C_<10>^0 cdot 0,5^ <10>= 1- 0,5^ <10>approx 0,999.$$

Наивероятнейшее число мальчиков найдем из неравенства:

$$ 10 cdot 0,5 — 0,5 le m le 10 cdot 0,5 + 0,5, \ 4,5 le m le 5,5,\ m=5. $$

Наивероятнейшее число — это 5 мальчиков и соответственно 5 девочек (что очевидно и по здравому смыслу, раз их рождения вероятность одинакова).

Проведем эти же расчеты в нашем шаблоне эксель, вводя данные задачи в серые ячейки:

Видно, что ответы совпадают.

Пример 3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,3. Куплено 8 билетов. Найти вероятность того, что а) хотя бы один билет выигрышный; б) менее трех билетов выигрышные. Какое наиболее вероятное число выигрышных билетов?

Решение. Полное решение этой задачи можно найти тут, а мы сразу введем данные в Эксель и получим ответы: а) 0,94235; б) 0,55177; в) 2 билета. И они совпадут (с точностью до округления) с ответами ручного решения.

Решайте свои задачи и советуйте наш сайт друзьям. Удачи!

Плоские алгебраические кривые в EXCEL

history 16 апреля 2015 г.

Группы статей
• Диаграммы и графики

Построим в MS EXCEL несколько плоских алгебраических кривых: кардиоиду, эпициклоиду, логарифмическую спираль и лемнискату Бернулли.

Кривые будем строить с помощью уравнений в параметрической форме, где х и y зависят от одного парамеметра t. Например, для кардиоиды запишем уравнения в виде (см. файл примера ):

Для построения использован тип диаграммы Точечная с гладкими кривыми.

В статье Эллипс и окружность в MS EXCEL построены окружность и эллипс.

СОВЕТ : Для начинающих пользователей EXCEL советуем прочитать статью Основы построения диаграмм в MS EXCEL , в которой рассказывается о базовых настройках диаграмм, а также статью об основных типах диаграмм .

Разработка урока «Красивые графики. Построение графиков функций в полярной системе координат в электронных таблицах Excel»

Практическая работа «Красивые графики функций»

Построить спираль Архимеда по следующим данным:
— в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 10 с шагом 0,2
— в столбце В – значения r = 0,5* t
— в столбце С – значения х = r * cos ( t )
— в столбце D – значения y = r * sin ( t )
— выделить значения в столбцах С и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )

Построить астроиду по следующим данным:
— в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 7 с шагом 0,2
— в столбце В – значения х = 2*( cos ( t )) 3
— в столбце С – значения y = 2*( sin ( t )) 3
— выделить значения в столбцах B и С и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )

П остроить улитку Паскаля по следующим данным:
— в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
— в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
— в столбце С – значения p = cos ( t )–0,5
— в столбце D – значения x = p * cos ( t )
— в столбце Е – значения у = p * sin ( t )
— выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )

Построить лемнискату Бернулли по следующим данным:
— в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
— в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
— в столбце С – значения r = 2* sin (2* t ) 2
— в столбце D – значения x = r * cos ( t )
— в столбце E – значения y = r * sin ( t )
— выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )

П остроить график в форме сердца по следующим данным:
— в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
— в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
— в столбце С – значения x = 16*( sin ( t )) 3
— в столбце D – значения у =13* cos ( t )–5* cos (2* t )–2* cos (3* t )– cos (4* t )
— выделить значения в столбцах C и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )

Как сделать спираль архимеда в excel

Архимедова спираль

Архимедова спираль Архимедова спираль – это кривая, задаваемая так: X(T)=T*COS(T), Y(T)=T*SIN(T) T – задается в радианах и изменяется от 0 до бесконечности. Кривая, заданная параметрически, — это множество точек плоскости вида (X(T);Y(T)), где T – это независимая переменная, называемая в данном случае параметром. Таких кривых очень много. Мы познакомимся с некоторыми из них. Давайте построим эту кривую. Запустим Excel. В данном случае нам нужно табулировать не одну, а две функции – X(T) и Y(T).

Слайд 17 из презентации «Построение графиков в Excel». Размер архива с презентацией 381 КБ.

Excel

«Работа в Excel» — Форматирование. Команды на ленте. Улучшение Excel. Столбцы листа. Начало работы. Операции. Подробные сведения. Форматы файлов. Обучение работе с Microsoft. Верхний колонтитул. Работа с файлами предыдущих версий. Отличия. Столбец. Шаблон Excel. Заголовки. Доступ к командам. Резюме практических заданий. Панель быстрого доступа. Откройте нужный файл. Формат файлов. Что изменилось и почему. Формат файлов Excel.

«Знакомство с Excel» — Формулы. Табличный процессор. Адреса ячеек. Строка. Принцип относительной адресации. Отрицательное значение. Основной элемент. Данные электронной таблицы. Текстовые данные. Функции обработки диапазона. Операции манипулирования. Ячейка. Cтолбцы. Знакомство с Excel. Числовой формат. Назначение. Тип даты. Запуск электронных таблиц. Имя файла.

«Программа Excel» — Маркер заполнения. Абсолютная ссылка. Цель урока. Результат в данной ячейке. План урока. Функция. Арифметические действия. Ссылка на ячейку, то есть на адрес. Ситуация. Некоторые форматы находятся на панели инструментов. Закрепим основные понятия. Сортировка. Смешанные ссылки. Ярлык. Решение расчётной задачи. Возможности программы. Диаграмма. У каждой ячейки есть свой адрес. Виды ссылок. Тест. Когда курсор попадает в ячейку, она становится активной.

«Таблица данных в Excel» — Статистические данные. Регрессионная модель. Постановка задачи и гипотезы. Построим таблицу. Познакомить с понятием «статистика». Графики. График квадратичной функции. Исходная информация. Метод наименьших квадратов. Таблица «Excel». Запишите функции. График регрессионной модели. Математическая модель. Данные медицинской статистики. Сумма квадратов отклонений. Практическое использование. Продолжите предложения.

«Электронные таблицы Microsoft Excel» — Группировка данных. Диаграммы на основе сводных таблиц. Изменение области данных. Описание частей сводной таблицы. Добавление области данных. Анализ электронных таблиц. Консолидация. Обновление исходных данных. Сводная таблица. Внешние источники данных. Поля страницы. Части сводной таблицы. Структура сводной таблицы. Создание связей итоговой таблицы. Переключатель. Мастера сводных таблиц. Методы консолидации данных.

«Microsoft Office Excel» — Ячейка. Овладение практическими способами работы с информацией. MS Excel. Форматирование ячеек. Практическая работа. Объекты программы MS Excel. Элементы диаграммы. Правильный адрес ячейки. Диаграмма. Смешанной ссылкой. Назначение. Что такое ЭТ. Выдающийся, превосходящий другие. Электронные таблицы. Идеальный режим. Ссылка. Порядок создания диаграммы. Обработка числовых данных.

Плоские алгебраические кривые в EXCEL

history 16 апреля 2015 г.

Группы статей
• Диаграммы и графики

Построим в MS EXCEL несколько плоских алгебраических кривых: кардиоиду, эпициклоиду, логарифмическую спираль и лемнискату Бернулли.

Кривые будем строить с помощью уравнений в параметрической форме, где х и y зависят от одного парамеметра t. Например, для кардиоиды запишем уравнения в виде (см. файл примера ):

Для построения использован тип диаграммы Точечная с гладкими кривыми.

В статье Эллипс и окружность в MS EXCEL построены окружность и эллипс.

СОВЕТ : Для начинающих пользователей EXCEL советуем прочитать статью Основы построения диаграмм в MS EXCEL , в которой рассказывается о базовых настройках диаграмм, а также статью об основных типах диаграмм .

Источник

Как Построить Спираль Архимеда в Excel Пошагово • Построение окружности

Резьб (также известный как арифметическая спираль ) представляет собой спираль , названной в честь третьего века до нашей эры греческого математика Архимеда . Это геометрическое место, соответствующее местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью . Эквивалентно в полярных координатах ( r , θ ) его можно описать уравнением

с действительными числами a и b . Изменение параметра a перемещает центральную точку спирали наружу от начала координат (положительное значение a в направлении θ = 0 и отрицательное значение a в сторону θ = π ), в то время как b контролирует расстояние между петлями.

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно утверждать: положение частицы от точки старта пропорционально углу θ с течением времени.

Архимед описал такую ​​спираль в своей книге « О спиралях» . Конон Самосский был его другом, и Папп утверждает, что эту спираль открыл Конон. [1]

СОДЕРЖАНИЕ

Вывод общего уравнения спирали [ править ]

Ниже используется физический подход для понимания понятия спиралей Архимеда.

Предположим, что точечный объект движется в декартовой системе с постоянной скоростью v, направленной параллельно оси x относительно плоскости xy . Пусть в момент времени t = 0 объект находился в произвольной точке ( c , 0, 0) . Если плоскость xy вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси z , то скорость точки относительно оси z может быть записана как:

В ху плоскость поворачивается на угол ωt (против часовой стрелки) вокруг начала координат в времени т . ( c , 0) — положение объекта при t = 0 . P — это положение объекта в момент времени t на расстоянии R = vt + c .

Здесь vt + c — модуль вектора положения частицы в любой момент времени t , v _x — составляющая скорости вдоль оси x, а v _y — составляющая вдоль оси y . Рисунок, показанный рядом, объясняет это.

Вышеупомянутые уравнения можно интегрировать, применяя интегрирование по частям , что приводит к следующим параметрическим уравнениям:

Возведение двух уравнений в квадрат с последующим сложением (и некоторыми небольшими изменениями) приводит к декартову уравнению

(используя тот факт, что ωt = θ и θ = arctg y / Икс ) или же

Длина дуги, кривизна [ править ]

Характеристики [ править ]

Архимедова спираль обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные повороты спирали в точках с постоянным разделительным расстоянием (равным 2 πb, если θ измеряется в радианах ), отсюда и название «арифметическая спираль». В отличие от этого, в логарифмической спирали эти расстояния, а также расстояния до точек пересечения, измеренные от начала координат, образуют геометрическую прогрессию .

Оскулирующие круги спирали Архимеда. Сама спираль не рисуется: мы видим ее как геометрическое место точек, где окружности особенно близки друг к другу.

Для больших θ точка движется с хорошо аппроксимированным равномерным ускорением по спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью [2] (см. вклад Михаила Гайченкова).

Общая архимедова спираль [ править ]

Иногда термин спираль Архимеда используется для более общей группы спиралей.

Приложения [ править ]

В одном из методов квадрата круга , предложенном Архимедом, используется архимедова спираль. Архимед также показал, как спиралью можно разрезать угол пополам . Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. [3] [expert_bq использованием инструментов Основание по траектории и Геликоид и спираль , в SolidWorks можно создавать на первый взгляд сложные, но на практике простые и разнообразные вещи. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Всеобъемлющий видеокурс направленный на максимально полное освоение и профессиональное применение инструментов и приемов конструирования в программном комплексе SOLIDWORKS. Обучение на примере создания цифровых прототипов сложных изделий и сборок, разбор…

Спираль в SOLIDWORKS | Спираль Архимеда © Студия Vertex

Спираль Архимеда и закон октав Искусство – и я имею в виду подлинное, доброе искусство – зиждется, помимо всего прочего, на принципах баланса, динамики, местоположения и композиции. Эти элементы должны находиться в гармонии, взаимодействовать друг с другом, чтобы

Спираль в SOLIDWORKS

Рассмотрим как можно сделать спираль в SolidWorks и какие операции можно проводить используя инструмент Геликод и спираль.

Видеокурс по этой теме

Видеокурс «Моделирование в SOLIDWORKS. Полное руководство»

Всеобъемлющий видеокурс направленный на максимально полное освоение и профессиональное применение инструментов и приемов конструирования в программном комплексе SOLIDWORKS. Обучение на примере создания цифровых прототипов сложных изделий и сборок, разбор…

Спираль по траектории

Запустим SolidWorks и создадим новый документ Деталь.

Построим эскиз на плоскости Спереди.

Чертим окружность с диаметром 5 мм и расстоянием от центра координат 50 мм.

Выходим из эскиза и создаем еще один эскиз на этой же плоскости.

От центра координат, чертим вертикальную линию с высотой в 100 мм. Нажимаем ОК и выходим из эскиза.

Итого имеем два эскиза на плоскости Спереди. Во вкладке Элементы нажимаем на Бобышка/основание по траектории. Построим спираль по траектории.

На панели параметров для синей области указываем Эскиз 1 который будет являться сечением для спирали, а для красной области выбираем Эскиз 2, который будет как центр вращением траектории спирали.

Далее открываем вкладку Параметры>Указать величину скручивания и в Контроль скручивания выбираем Вращения (указываем значение 10). То есть задавая эти параметры, мы неким образом накладываем массив по спирали. При этом можем видеть как предварительно будет выглядеть спираль. Нажимаем ОК.

Спираль по траектории готова. Таким образом мы построили пружину.

Построение логарифмической спирали

Рассмотрим как можно построить так называемую спираль Архимеда в SolidWorks.

Откроем новый документ и создадим Эскиз на плоскости Спереди.

Переходим во вкладку Элементы > Кривые > Геликоид и спираль.

Кликаем на построенную окружность и в панели параметров указываем нужные параметры для построения логарифмической спирали (Шаг, количество оборотов, угол, направление по стрелке). Нажимаем ОК.

Спираль Архимеда готова! Если указать для нее сечение, как в предыдущем блоке и построить эскиз, можно создать так же основание по траектории и получим твердотельную спираль.

С использованием инструментов Основание по траектории и Геликоид и спираль, в SolidWorks можно создавать на первый взгляд сложные, но на практике простые и разнообразные вещи.

[expert_bq спираль обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные повороты спирали в точках с постоянным разделительным расстоянием равным 2 πb, если θ измеряется в радианах , отсюда и название арифметическая спираль. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq] Здесь vt + c — модуль вектора положения частицы в любой момент времени t , v _x — составляющая скорости вдоль оси x, а v _y — составляющая вдоль оси y . Рисунок, показанный рядом, объясняет это.

Архимедова спираль

Глава 11. Конец спирали, ведущей вниз Следующие семь лет моя карьера и семейная жизнь продолжали испытывать кризис. Долгое время окружающие меня люди — даже самые близкие — не могли понять, каковы мои проблемы. Но постепенно, наблюдая за мной, Холли и сестры догадались, в

Источник

Как Построить Спираль Архимеда в Excel по Данным • Построение гороскопа

В Архимедова спираль (также известный как арифметическая спираль) это спираль назван в честь III века до нашей эры Греческий математик Архимед. Это локус точек, соответствующих местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловая скорость. Эквивалентно в полярные координаты (р, θ) его можно описать уравнением

с действительные числа а и б . Изменение параметра а перемещает центральную точку спирали наружу от начала координат (положительный а к θ = 0 и отрицательный а к θ = π ), пока б контролирует расстояние между петлями.

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно утверждать: положение частицы от начальной точки пропорционально углу θ по прошествии времени.

Архимед описал такую ​​спираль в своей книге. На спиралях. Конон Самосский был его другом и Паппус заявляет, что эта спираль была открыта Кононом. [1]

Содержание

Вывод общего уравнения спирали.

А физический подход используется ниже для понимания понятия спиралей Архимеда.

Предположим, что точечный объект движется в Декартова система с постоянным скорость v направлен параллельно Икс -оси относительно ху -самолет. Пусть на время т = 0 , объект находился в произвольной точке (c, 0, 0) . Если ху самолет вращается с постоянной угловая скорость ω о z -оси, то скорость точки относительно z -axis можно записать как:

В ху плоскость поворачивается на угол ωt (против часовой стрелки) о происхождении во времени т . (c, 0) положение объекта в т = 0 . п положение объекта во время т , на расстоянии р = vt + c .

Здесь vt + c модуль вектор положения частицы в любое время т , v_Икс — компонента скорости вдоль Икс ось и v_у компонент вдоль у -ось. Рисунок, показанный рядом, объясняет это.

Приведенные выше уравнения можно интегрировать, применяя интеграция по частям, что приводит к следующим параметрическим уравнениям:

Возведение двух уравнений в квадрат с последующим сложением (и некоторыми небольшими изменениями) приводит к декартову уравнению

(используя тот факт, что ωt = θ и θ = arctan у / Икс ) или же

Характеристики

Архимедова спираль обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные повороты спирали в точках с постоянным разделительным расстоянием (равным 2πb если θ измеряется в радианы), отсюда и название «арифметическая спираль». В отличие от этого, в логарифмическая спираль эти расстояния, а также расстояния до точек пересечения, измеренные от начала координат, образуют геометрическая прогрессия.

Оскулирующие круги архимедовой спирали. Сама спираль не рисуется: мы видим ее как геометрическое место точек, в которых круги особенно близки друг к другу.

Для больших θ точка движется с хорошо приближенным равномерным ускорением по спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью [2] (см. вклад Михаила Гайченкова).

Общая архимедова спираль

Иногда термин Архимедова спираль используется для более общей группы спиралей

Нормальная архимедова спираль возникает, когда c = 1 . К другим спиралям, попадающим в эту группу, относятся: гиперболическая спираль ( c = −1 ), Спираль Ферма ( c = 2 ), а литуус ( c = −2 ). Практически все статические спирали, встречающиеся в природе, являются логарифмические спиралиа не архимедовы. Многие динамические спирали (например, Спираль Паркера из Солнечный ветер, или узор, сделанный Екатерининское колесо) архимедовы.

Приложения

Один метод квадрат круга, согласно Архимеду, использует спираль Архимеда. Архимед также показал, как можно использовать спираль для разрезать угол. Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. [3]

Источник