Как построить изокванты в excel

Краткие теоретические сведения:

В основе производственных функций (ПФ) лежат следующие предположения (свойства):

Математическое предположение: функция задана при всех неотрицательных значениях составляющих вектора х (вектора затрат ресурсов) и является непрерывной или нужное число раз дифференцируемой функцией своих аргументов.

Экономические предположения:

1. Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса

2. При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не уменьшается

3. По мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количествах других предельная эффективность использования этого ресурса не возрастает (выпуклость вверх).

4. ПФ характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства (однородность функции):

f(tx)=t δ f(х).

Основные показатели анализа замещения ресурсов:

Изокванта	Функция одного ресурса от остальных при постоянном выпуске		Показывает, при каких различных сочетаниях ресурсов может быть обеспечен один и тот же выпуск
Предельная норма замещения одного ресурса другим	Отношение частных производных по ресурсам, т.е. отношение предельных производительностей ресурсов		Показывает, сколько 2-го ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат 1-го ресурса, если выпуск продукции остается неизменным
Изоклиналь	Функция одного ресурса от остальных при постоянной предельной норме замещения		Показывает, при каких различных сочетаниях ресурсов может быть обеспечена одинаковая предельная норма замещения
Эластичность замещения ресурсов	Эластичность отношения ресурсов по предельной норме замещения		Показывает процентное изменение отношения ресурсов i и j при изменении предельной нормы замещения этих ресурсов на 1%

Задание.Дана производственная функция y=x₁ 0,4 x₂ 0,6 . С использованием таблиц АНАЛИЗА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ построить график зависимости объема выпуска продукции y от размера затрат на ресурсы x₁ и x₂, графики трех изоквант и трех изоклиналей.

Краткая справка. Задача АНАЛИЗА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ дает возможность путем подстановки в формулу различных значений переменных представить зависимость результатов вычислений по формуле от значений входящих в нее переменных. Этот режим реализуется с помощью команды Данные/Таблица подстановки. Создаются таблицы данных на основе значений одной (одномерная таблица) или двух переменных (двухмерная таблица). При создании одномерной таблицы список исходных значений задается либо в виде строки, либо в виде столбца. Двухмерная таблица чувствительности используется для выявления одновременного влияния двух переменных на определенный показатель. При этом значения одной из них располагаются в столбце, значения другой – в строке, а результаты вычислений – на пересечении соответствующих строки и столбца.

Двухмерная таблица чувствительности объема выпуска продукции y от размера затрат на ресурсы x₁ и x₂ должна показать влияние двух факторов (x₁ и x₂) на величину y. Для ее построения выполните следующие действия:

Подготовьте исходные данные в виде, как на рисунке:

В ячейках А2, В2 – начальные значения переменных x₁ и x₂, в ячейке С2 – значение параметра а.

В ячейке Е5 – формула расчета производственной функции y (является формулой связи для будущей таблицы подстановки).

В столбце Е, начиная с ячейки Е6, заведены интересующие значения ресурса x₁.

В ячейки 5-й строки, начиная с F5, занесены значения ресурса x₂.

Для расчета таблицы чувствительности выделите интервал ячеек, в который необходимо включить столбец и строку исходных данных, т.е. в данном случае укажите интервал Е5:О25.

Выберите команду Данные / Работа с данными / Анализ «что-если» / Таблица данных и укажите местонахождение ячейки ввода по столбцам ($A$2 – для переменной x₁) и ячейки ввода по строкам ($B$2 – для переменной x₂).

После нажатия ОК будет построена таблица подстановки (чувствительности), которая показывает зависимость y от переменных x₁ и x₂. Результаты расчета представлены на рисунке.

При построении двухмерной таблицы используется формула =ТАБЛИЦА(А2;В2). Первый аргумент представляет собой ссылку на ячейку А2, в которую подставляются значения из первой строки выделенной области (значения переменной x₁). Вторым аргументом является ячейка В2, в которую подставляются значения из левого столбца выделенной области (значения x₂).

По данным рассчитанной таблицы постройте график ПФ «Поверхность».

Изолинии на графике ПФ являются изоквантами, построенными в соответствии с ценой деления. Их можно представить в осях ресурсов, задав тип диаграммы «Контурная».

Постройте изокванты со следующими уровнями выпуска продукции: у₀ = 4; 6; 8.

Для этого необходимо задать формулуизокванты х₂(х₁) и рассчитать ее для данных уровней.

По рассчитанным данным постройте графики трех изоквант:

Постройте изоклинали по предельным нормам замещения ресурсов: γ₀ = -2; -1; -0,5.

Для этого необходимо предварительно для данных соотношений ресурсов задать формулыизоклиналей х₂(х₁) и рассчитать их.

Вид изоклиналей по этим расчетам показан на рисунке:

Применение ППП Microsoft Excel.

Для решения поставленной задачи воспользуемся возможностями среды электронных таблиц Excelмодулем «Поиск решения», предназначенным для решения задач нелинейного программирования (команда основного меню «Сервис/Поиск решения»). Применим следующую технологию.

Процесс решения начинается с создания формы и ввода исходных данных. Откроем рабочий лист и создадим форму согласно рисунку 1.

Дадим ряд комментариев по заполнению формы. Ячейки В2-C2 содержат любое допустимое решение задачи, выбор которого осуществляется на основе априорной информации с учетом особенностей, как задачи, так и методов решения. В третьей и четвертой строках заданы соответственно верхняя и нижняя границы вовлекаемых ресурсов, что может диктоваться как особенностями производства, так и возможностями фирмы. В пятой строке задается ограничение, связанное с лимитированием совокупных затрат в рассматриваемом периоде (указанные ограничения будут использованы для решения задачи в краткосрочном периоде).

Рисунок 1 – Форма для ввода исходной информации в ЭТ «MS Excel»

В ячейке В6 формируется целевая функция, реализующая заданный критерий оптимальности и зависящая от ячеек, в которых находятся начальные значения. Курсор необходимо установить в ячейку с целевой функцией и вызвать команду «Сервис/Поиск решения», в диалоговом окне которой заполняются все текстовые поля. Пример заполнения окна приведен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Диалоговое окно «Поиск решения» ЭТ «MS Excel»

После назначения параметров, активизируется команда «Выполнить» и в дополнительном диалоговом окне сообщается информация о результатах решения задачи и возможностях формирования автоматических отчетов.

В случае положительного решения (рисунок 3) на рабочем листе в ячейках, которые были разрешены для изменения (искомые значения), отражаются результаты – искомые оптимальные значения. В случае если решение найти не удается, показывается соответствующее текстовое сообщение с указанием причины.

Рисунок 3 – Сообщение о результатах и дополнительные возможности

Результаты решения задачи представлены на рисунке 4:

Рисунок 4 – Результаты решения задачи в ЭТ «MS Excel»

Помимо результатов с помощью стандартных отчетов находится значение множителя Лагранжа, который в данном случае имеет четкую экономическую интерпретацию: величина, обратная множителю Лагранжа, определяет нижнюю границу цены выпускаемой продукции. Фирма может установить цену не ниже 2,64 денежных единиц.

Далее проиллюстрируем взаимное расположение изокванты и изокосты в оптимальной точке.

Оптимальное значение выпуска равно 564,6 единиц, следовательно, построим изокванту, определяемую уравнением:

Полученное уравнение разрешим относительно х₁: .

Далее построим изокосту для уровня издержек С=1500:

Протабулируем функции (Таблица 1), изменяя аргумент х₁ в окрестности оптимальной точки и построим графики с помощью «Мастера диаграмм» (Рисунок 5).

Таблица 1 – Исходные данные для построения изокосты и изокванты

х1	Изокванта	Изокоста
160,00	260,39	233,33
170,00	230,65	216,67
180,00	205,74	200,00
190,00	184,65	183,33
200,00	166,65	166,67
210,00	151,15	150,00
220,00	137,73	133,33
230,00	126,01	116,67
240,00	115,73	100,00
250,00	106,65	83,33
260,00	0,52	66,67

Рисунок 5 – Взаимное расположение изокванты и изокосты в точке локального рыночного равновесия в ЭТ «MS Excel»

Построив изокосту и изокванту убеждаемся, что в оптимальной точке наблюдается касание изокосты и изокванты.

Решим задачу для краткосрочного периода.

В краткосрочном периоде математическая модель будет дополнена ограничением на использование второго ресурса в объеме не более 100 единиц. Это может быть связано с отсутствием возможности увеличения рабочих мест или с недостатком квалифицированной рабочей силы.

В результате модель примет вид:

Решая задачу для краткосрочного периода, получим следующие результаты: фирма полностью использует ресурс х₂ в количестве 100 единиц, затраты первого ресурса составят 240 единиц, при этом объем выпуска сократится до 537,77 единиц при заранее обусловленных совокупных затратах в 1500 единиц. Решение и взаимное расположение изокосты и изокванты представлено на рисунках 8-11. В краткосрочном периоде уже не наблюдается касания, а изокоста и изокванта пересекаются.

Сопоставляя результаты можно сделать вывод, что в краткосрочном периоде при одинаковых издержках фирмы объем выпускаемой продукции ниже, чем объем выпуска в долгосрочном периоде. Следовательно, прибыль фирмы в долгосрочном периоде не ниже краткосрочного.

Рисунок 8 – Результаты решения задачи в краткосрочном периоде в ЭТ «MS Excel»

Рисунок 10 – Взаимное расположение изокванты и изокосты в точке локального рыночного равновесия для краткосрочного периода в ЭТ «MS Excel»

Решение задачи максимизации выпуска при ограничении на совокупные затраты существенно зависит от величины затрат, следовательно, при изменении С изменится и положение точки локального рыночного равновесия (x₁ 0 (C), x₂ 0 (C)). Множество точек, соответствующих различным значениям С, образуют линию L, которая называется долговременной (стратегической) линией развития фирмы. Проведем анализ влияния величины издержек на оптимальную стратегию фирмы, предполагая, что цены на ресурсы остаются неизменными. Для этого решается семейство задач с возможным диапазоном изменения совокупных издержек и строится стратегическая (долговременная) линия развития фирмы. Результаты анализа представлены в таблице 2 и на рисунке 13. На основе аппроксимации результатов может быть построена аналитическая зависимость объема выпуска от затрат.

Таблица 2 – Вариантный анализ

Вариант	С	х1	х2	У
166,667	564,62
213,33	177,77	602,26
226,66	188,88	639,9
677,55
253,33	211,11	715,19

Рисунок 12 – Стратегическая линия развития фирмы

Исследуем возможность решения задачи аналитически.

Заданная производственная функция является неоклассической, то есть непрерывной, возрастающей, строго квази-вогнутой и дифференцируемой во всех точках. Фирма может вовлекать в производство только неотрицательные количества каждого ресурса. Кроме того, множество производственных возможностей является ограниченным, замкнутым, непустым и выпуклым. В этой ситуации предпосылка о строгой вогнутости (выпуклости) производственной функции позволяет переписать ограничение-неравенство на совокупные затраты в виде равенства. Экономически это означает, что так как издержки ограничены величиной 1500 единиц, то имеет смысл использовать производственные возможности в полном объеме, то есть зафиксировать С на уровне 1500, и перейти к следующей задаче:

Построенная модель представляет собой задачу нелинейного программирования с ограничениями в форме равенств, для решения которой можно применить метод Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид:

Найдем частные производные по всем переменным и приравняем их к нулю, затем решим полученную систему нелинейных уравнений.

Решая систему, получим, что решением является точка х₁=200; х₂=166,6; λ=0,38. Максимальный выпуск составит Y=564,6 единиц при издержках С=1500 единиц.

В целом, анализируя различные варианты поведения фирмы в области управления ресурсами, фирма должна учитывать не только производственные возможности, но и ограничения, связанные со сбытом произведенной продукции, возможные ограничения по мощности поставщиков ресурсов, а также доступность финансовых ресурсов.

Перейдем к решению второй задачи — задачи минимизации издержек производства при фиксированном объеме выпускаемой продукции.

Для случая долговременного промежутка построим математическую модель минимизации издержек производства при фиксированном объеме выпускаемой продукции:

Построенная модель представляет собой задачу нелинейного программирования с ограничениями в форме равенств, для решения которой можно применить метод Лагранжа.

Найдем частные производные по всем переменным и приравняем их к нулю, затем решим полученную систему нелинейных уравнений.

Получим, что решением является точка х₁=681.4; х₂=1022. Минимальные издержки производства составят С=3066,27 ед. Выпуск Y=780 единиц. Результаты решения в ППП представлены на рисунках 13 и 14.

Значение множителя Лагранжа имеет четкую экономическую интерпретацию: величина множителя Лагранжа равна нижней границе цены единицы выпускаемой продукции. Таким образом, фирма может устанавливать цену реализации не ниже 3,93 д.е. за единицу продукции.

Рисунок 13 – Результаты решения задачи в долгосрочном периоде в MS Excel

Далее проиллюстрируем взаимное расположение изокванты и изокосты в оптимальной точке (рисунки 15 и 16).

Построим изокванту для объема выпускаемой продукции Y=780, то есть .

Полученное уравнение разрешим относительно х₁:

Построим изокосту для оптимального значения издержек производства С=3066.27, что может быть записано как или .

Рисунок 15 – Взаимное расположение изокванты и изокосты в точке локального рыночного равновесия

Для построения стратегической линии развития фирмы (рисунок 17) будем варьировать значение объема выпуска продукции Y в интервале от 760 единиц до 800 ед. Результаты сведем в таблицу 3. На основе аппроксимации результатов может быть построена аналитическая зависимость издержек производства от объема выпуска.

Таблица 3 – Вариантный анализ влияния объема выпуска

Рисунок 17 – Стратегическая линия развития фирмы

Анализируя решение основных задач можно сделать следующие выводы. Стратегические задачи должны иметь приоритет перед тактическими, так решение в долгосрочном периоде всегда соответствует большей величине прибыли, что является целью фирмы. По результатам решения можно определить не только оптимальные значения ресурсов, вовлекаемых в производство, но и определить нижнюю границу цены продукции. Если сложившаяся цена рыночного равновесия превосходит рассчитанную, то фирме выгодно производить и реализовывать продукцию, в противном же случае следует изменить стратегию, либо отказаться от заведомо убыточной продукции.

Таблица А.1 Варианты для индивидуальных заданий