Как построить автокорреляционную функцию в excel - Word и Excel

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

Автокорреляция измеряет степень сходства между временным рядом и его запаздывающей версией в течение последовательных интервалов времени.

Его также иногда называют «последовательной корреляцией» или «запаздывающей корреляцией», поскольку он измеряет взаимосвязь между текущими значениями переменной и ее историческими значениями.

Когда автокорреляция во временном ряду высока, становится легко предсказать будущие значения, просто ссылаясь на прошлые значения.

Автокорреляция в Excel

В Excel нет встроенной функции для расчета автокорреляции, но мы можем использовать единую формулу для расчета автокорреляции для временного ряда для заданного значения задержки.

Например, предположим, что у нас есть следующий временной ряд, который показывает значение определенной переменной в течение 15 различных периодов времени:

Мы можем использовать следующую формулу для расчета автокорреляции при задержке k = 2.

=(SUMPRODUCT( B2:B14 -AVERAGE( B2:B16 ), B4:B16 -AVERAGE( B2:B16 ))/COUNT( B2:B16 ))/VAR.P( B2:B16 )

В результате получается значение 0,656325.Это автокорреляция при задержке k = 2.

Мы можем вычислить автокорреляцию при лаге k = 3, изменив диапазон значений в формуле:

=(SUMPRODUCT( B2:B13 -AVERAGE( B2:B16 ), B5:B16 -AVERAGE( B2:B16 ))/COUNT( B2:B16 ))/VAR.P( B2:B16 )

В результате получается значение 0,49105.Это автокорреляция при задержке k = 3.

Мы можем найти автокорреляцию для каждого лага, используя аналогичную формулу. Вы заметите, что чем выше задержка, тем ниже автокорреляция. Это типично для процесса авторегрессионного временного ряда.

Вы можете найти больше руководств по временным рядам Excel на этой странице .

Написано

Замечательно! Вы успешно подписались.

Добро пожаловать обратно! Вы успешно вошли

Вы успешно подписались на кодкамп.

Срок действия вашей ссылки истек.

Ура! Проверьте свою электронную почту на наличие волшебной ссылки для входа.

Успех! Ваша платежная информация обновлена.

Ваша платежная информация не была обновлена.

Источник

Автокорреляция уровней временного ряда

Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда yt и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени yt—t.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Максимальный лаг должен быть не больше (n/4).

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка, измеряющий зависимость между соседними уровнями ряда yt и yt-1, т. е. при лаге 1, рассчитывается по формуле:

Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями yt и yt-2 и определяется по формуле:

Коэффициент автокорреляции характеризует тесноту только линейной связи текущего и анализируемого уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.

При помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Анализ структуры ряда можно проводить следующим образом:

Ø если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию;

Ø если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка τ, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов времени;

Ø если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из предположений относительно структуры ряда:

· ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а включает только случайную компоненту,

· ряд содержит сильную нелинейную тенденцию.

Пример. Динамика урожайности зерновых культур за гг. характеризуется данными (ц/га), представленными в табл. 1.

Таблица 1 — Урожайность зерновых культур за гг.

Пример выполнения задания № 2 в Excel и Calc

2015-05-18
4794

Имеются поквартальные данные о прибыли некоторой компании за четыре года (табл. 16).

Год	Квартал	Прибыль компании, млн у.е., Y_t
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV

Требуется дать прогноз прибыли компании на второй квартал следующего года.

1. Построим график временного ряда с помощью Мастера диаграмм, предварительно выделив два столбца переменных t = 1, 2, …, 16, и отвечающие этим моментам уровни y_t:

тип диаграммы – «График» (MS Excel) или «Линия» (OO Calc), вид – «График с маркерами» (MS Excel) или «Линии и точки» (OO Calc);

диапазон данных – в MS Excel выделяем значения переменных y_t, переходим на вкладку «Ряд», курсор устанавливаем в строке «Подписи оси Х» и выделяем в таблице значения кварталов, в OO Calc на этом шаге ставим флажок у команды «Первый столбец как надпись», шаг «Ряд данных» пропускаем, нажимая «Далее»;

элементы диаграммы – оформляем заголовки, оси, сетку, нажимаем «Готово» (рис. 16).

Поскольку амплитуда колебаний в уровнях ряда (рис. 16) изменяется (уменьшается в данном случае), для него следует выбрать мультипликативную модель.

2. Автокорреляционную функцию временного ряда можно построить с использованием в Excel встроенной функции КОРРЕЛ, а в Calc – CORREL (рис. 17). Аргументы названных функций – это уровни изучаемого ряда, сдвинутые между собой на заданный промежуток времени L (смотри пример из разд. 2.2).

Рис. 16. График временного ряда

Полученные значения коэффициентов автокорреляции для L = 1, 2, …, 4 следует проверить на существенность. При этом наблюдаемое значение t-статистики находим по формуле:

Полученную для каждого лага t-статистику сравнивают с критическим значением распределения Стьюдента t (a/2,n) для заданного уровня значимости a и числа степеней свободы n = n – L– 2. Если наблюдаемое значение t-статистики превосходит критическое t (a/2, n), то коэффициент автокорреляции r(L) значим.

Критическое значение t (a/2, n) в Excel находят с помощью встроенной функции СТЬДРАСПОБР(a, n), а в Calc – TINV(a, n).

В нашем примере (рис. 17) при заданном уровне значимости a = 0,05 статистически значимыми будут r(1) и r(4).

Рис. 17. Автокорреляционная функция изучаемого ряда

По графику временного ряда (рис. 16) и автокорреляционной функции для данного временного ряда (рис. 17) делаем вывод о наличии в уровнях ряда периодических колебаний (период колебаний равен 4 кварталам) и общей убывающей тенденции.

3. Построение мультипликативной модели.

Шаг первый. Лаг максимального значения коэффициента автокорреляции равен четырем, поэтому сначала моделируем квартальную сезонную компоненту S.

Проведем выравнивание исходных уровней ряда с использованием процедуры скользящей средней. Применяя для нашего примера ту же методику, что и для аддитивной модели (табл. 7, разд. 2.4), получим значения центрированных скользящих средних, которые приведены на рис. 18 (ячейки F7:F18).

Рис. 18. Процедура оценивания сезонной компоненты ряда

Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (ячейки G7:G18 на рис. 18). Используем эти данные для определения индексов сезонности S_t (разд. 2.5).

Для удобства расчета S_t составим вспомогательную таблицу (рис. 19). Блок D4:G7 содержит разнесённые по кварталам оценки сезонной компоненты. Соответствующие средние значения приведены в ячейках D9:G9.

Напомним, что в мультипликативной модели сумма индексов сезонности должна быть равна числу периодов в цикле (в нашем примере четырём – четыре квартала в году). Проверим выполнение этого требования (ячейка J9 на рис. 19):

Определим корректирующий коэффициент (ячейка L9): .

Рис. 19. Расчет индексов сезонности

Скорректируем значения индексов сезонности, умножив средние оценки на корректирующий коэффициент k (ячейки D10:G10 на рис.19).

В результате выполнения указанных действий в нашем примере получим следующие значения индексов сезонности: для 1-го квартала ; для 2-го квартала ; для 3-го квартала ; для 4-го квартала .

Экономический смысл этих показателей состоит в следующем. Прибыль компании в 1-м квартале ниже среднегодовой прибыли в 0,914 раза, во 2-м и 3-м кварталах – выше в 1,202 и 1,082 раза, соответственно. В 4-м квартале прибыль компании ниже среднегодового значения в 0,802 раза.

Шаг второй. Определимся с формой тренда в нашем примере. Для этого устраним влияние сезонной компоненты, разделив каждый уровень исходного ряда на соответствующее значение индекса сезонности. Полученные в результате десезонализированные данные (ячейки D4:D19 на рис. 20) помогают визуально определить форму тренда (рис. 21).

Рис. 20. Ряд десезонализированных данных

Рис. 21. График десезонализированного ряда

Шаг третий. По результатам визуального анализа (рис. 21) для описания тренда можно предложить линейную функцию . Выборочные оценки b₀и b_l для неизвестных коэффициентов β₀ и β₁ найдём по формулам (25) и (26), при этом вместо значений y_tследует брать десезонализированные, т. е. очищенные от влияния сезонной компоненты данные. В результате получим b₀ = 90,565и b_l = –2,773.

Таким образом, оценочное уравнение тренда:

Тот же результат можно получить, используя стандартные средства в электронных таблицах Excel или Calc. Для этого помечаем одну из точек десезонализированных данных (рис. 21) и из контекстного меню выбираем команду «Добавить линию тренда» (Excel) или «Вставить линию тренда» (Calc).

В диалоговом окне «Линия тренда» в Excel присутствуют две закладки, первая из них содержит образцы форм линии регрессии (тренда). В нашем примере заказываем линейную форму.

Переходим во вторую закладку – «Параметры». Устанавливаем флажки на опциях «Показать уравнение на диаграмме» и «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации».

Аналогично в Calc в диалоговом окне «Линия тренда» на закладке «Тип» выбираем тип регрессии – «Линейный», устанавливаем флажки на опциях «Показать уравнение» и «Показать коэффициент корреляции R 2 ».

Результаты выполнения указанных действий в виде оценочного уравнения тренда, его графика и значения коэффициента достоверности аппроксимации представлены на рис. 22.

Рис. 22. Построение линейного тренда в Excel

Таким образом, для изучаемого ряда выполнено моделирование сезонной S_tи трендовой Т_tсоставляющих, других систематических компонент автокорреляционная функция не показывает (рис. 17). Продемонстрируем смысл полученных результатов.

По уравнению тренда оценим его уровни в каждый момент времени t = 1, 2, …, 16 (ячейки Е4:Е19 на рис. 23).

Соответствующая этим данным прямая на рис. 24 даёт графическое представление трендовой модели изучаемого ряда.

Модель ряда с поправкой на сезонность получается при умножении уровней T_t на значения индексов сезонности S_t (ячейки F4:F19 на рис. 23). Значения (Т×S) изображены на рис. 24 в виде уровней, помеченных маркерами-кружками.

Визуальный анализ данных рис. 24 показывает, что тренд с поправкой на сезонность обеспечивает хорошее соответствие результатов моделирования реальным данным наблюдений.

Рис. 23. Расчёт компонентного состава изучаемого ряда

Рис. 24. Уровни исходного ряда (ромбики), его трендовая модель (квадратики) и трендовая модель с поправкой на сезонность (кружки)

4. Оценим качество модели временного ряда посредством коэффициента детерминации R 2 по формуле (31).

Предварительно рассчитаем абсолютную ошибку E_t, которая в мультипликативной модели определяются по формуле (33), результаты расчётов E_t приведены в ячейках D4:D19 на рис. 25.

Тогда сумма квадратов абсолютных ошибок равна 207,7 (ячейка E20 на рис. 25). Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от его среднего уровня равна 5023 (ячейка F20 на рис. 25). Отсюда найдём долю объясненной дисперсии уровней ряда по формуле (31): .

Таким образом, коэффициент детерминации R 2 равен 0,959, то есть построенная модель объясняет 95,9 % общей вариации уровней временного ряда, представляющего прибыль компании за 16 кварталов.

Высокое значение коэффициента детерминации гарантирует качество построенной модели и, следовательно, возможность её применения для прогнозирования.

Рис. 25. Оценка качества построенной модели

5. Прогнозирование по мультипликативной модели.

Трендовый прогноз для второго квартала следующего, то есть пятого, года (t = 18) предсказывает величину прибыли:

Уточним трендовый прогноз, поправив его на сезонность. Индекс сезонности для второго квартала . Тогда скорректированный на сезонность прогноз прибыли компании на второй квартал 5-го года:

Оба прогноза относятся к разряду точечных и, следовательно, определяют наиболее вероятную величину прибыли компании во втором квартале следующего года.

Варианты к заданию № 2

Вариант 1. Имеются данные о перевозках грузов железнодорожным транспортом (млн т) за четыре года.

Год

Квартал

Перевозка грузов, млн т

Год

Квартал

Перевозка грузов, млн т

Сделать прогноз ожидаемого объема перевозок на третий квартал 2000-го года.

Вариант 2. Имеются данные об объеме экспорта из Российской Федерации (млрд долл.) за 1995–1998 гг.

Год	Квартал	Экспорт	Год	Квартал	Экспорт
50,4	51,6
52,4
53,2
50,8	52,6
56,8

Сделать прогноз объема экспорта из России за второй квартал 1999-го года.

Вариант 3. Имеются данные о перевозках грузов железнодорожным транспортом (млн т) за четыре года.

Год	Квартал	Объем перевозок, млн т	Год	Квартал	Объем перевозок, млн т
13,7	15,7
12,1	13,3
12,7	14,1
16,7	18,7
14,9	16,7
12,5	14,3
13,7	14,7
17,7	18,5

Сделать прогноз ожидаемого объема перевозок на второе полугодие 2000-го года.

Вариант 4. Имеются данные об импорте товаров некоторой страны (млн долл.) за 1996–1999 гг.

Год	Квартал	Импорт товаров, млн долл.	Год	Квартал	Импорт товаров, млн долл.
17,2	19,2
15,6	16,8
16,2	17,6
20,2	22,2
18,4	20,2
17,8
17,2	18,2
21,2

Сделать прогноз ожидаемого объема импорта за первый квартал 2000-го года.

Вариант 5. Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту России (% к предыдущему периоду) в 1997–2000 гг.

Год	Квартал	Товаро- оборот, %	Год	Квартал	Товаро- оборот, %
37,3	39,3
35,7	36,9
36,3	37,7
40,3	42,3
38,5	40,3
36,1	37,9
37,3	38,3
41,3	42,1

Сделать прогноз ожидаемого товарооборота России на третий квартал 2001-го года.

Вариант 6. Имеются поквартальные данные о прибыли (тыс. долл.) некоторой компании за четыре года.

Год

Квартал

Прибыль, тыс. долл.

Год

Квартал

Прибыль, тыс. долл.

Сделать прогноз ожидаемой прибыли компании за первое полугодие 2000-го года.

Вариант 7. Имеются данные об объеме экспорта из Российской Федерации (млрд долл.) за 1995–1998 гг.

Год	Квартал	Экспорт, млрд долл.	Год	Квартал	Экспорт, млрд долл.
80,6	82,6
80,2
79,6
83,6	85,6
81,8	83,6
79,4	81,2
80,6	81,6
84,6	85,4

Сделать прогноз объема экспорта из России за третий квартал 1999-го года.

Вариант 8. Имеются поквартальные данные об объемах выпуска продукции (тыс. шт.) некоторой фирмой за 1996–1999 гг.:

Год

Квартал

Объем выпуска, тыс. шт.

Год

Квартал

Объем выпуска, тыс. шт.

Сделать прогноз ожидаемого объема выпуска продукции за первое полугодие 2000-го года.

Вариант 9. Имеются данные о перевозках грузов транспортом (млн тонн) за четыре года.

Год	Квартал	Объем перевозок, млн тонн	Год	Квартал	Объем перевозок, млн тонн
40,5	42,5
38,9	40,1
39,5	40,9
43,5	45,5
41,7	43,5
39,3	41,1
40,5	41,5
44,5	45,3

Сделать прогноз ожидаемого объема перевозок на первое полугодие 2000-го года.

Вариант 10. Имеются данные об импорте товаров некоторой страны (млн долл.) за 1999–2002 годы:

Год	Квартал	Импорт товаров, млн долл.	Год	Квартал	Импорт товаров, млн долл.
45,8	47,8
44,2	45,4
44,8	46,2
48,8	50,8
48,8
44,6	46,4
45,8	46,8
49,8	50,6

Сделать прогноз ожидаемого объема импорта за первый квартал 2003-го года.

Источник

Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии y_t жителями региона за 16 кварталов.

t	y_t	t	y_t
1	5,6	9	8,2
2	4,7	10	5,6
3	5,2	11	6,4
4	9,1	12	10,8
5	7,0	13	9,1
6	5,1	14	6,7
7	6,0	15	7,5
8	10,2	16	11,3

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

2. Построить аддитивную модель временного ряда.

3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Решение:

1. Рассчитаем коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка, то есть между соседними уровнями ряда y_t и y_t-1 (лаг = 1), и измерим тесноту связи между объёмом потребления электроэнергии в текущем и предыдущем году.

Для этого составим таблицу расчётных данных.

Расчёт коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда объемов потребления электроэнергии жителями региона:

t	y_t	y_t-1
1	5,6	—	—	—	—	—	—
2	4,7	5,6	-2,827	-1,547	4,371911	7,990044	2,392178
3	5,2	4,7	-2,327	-2,447	5,692578	5,413378	5,986178
4	9,1	5,2	1,573	-1,947	-3,06276	2,475378	3,789511
5	7	9,1	-0,527	1,953	-1,02876	0,277378	3,815511
6	5,1	7	-2,427	-0,147	0,355911	5,888711	0,021511
7	6	5,1	-1,527	-2,047	3,124578	2,330711	4,188844
8	10,2	6	2,673	-1,147	-3,06542	7,146711	1,314844
9	8,2	10,2	0,673	3,053	2,055911	0,453378	9,322844
10	5,6	8,2	-1,927	1,053	-2,02942	3,712044	1,109511
11	6,4	5,6	-1,127	-1,547	1,742578	1,269378	2,392178
12	10,8	6,4	3,273	-0,747	-2,44409	10,71471	0,557511
13	9,1	10,8	1,573	3,653	5,747911	2,475378	13,34684
14	6,7	9,1	-0,827	1,953	-1,61476	0,683378	3,815511
15	7,5	6,7	-0,027	-0,447	0,011911	0,000711	0,199511
16	11,3	7,5	3,773	0,353	1,333244	14,23804	0,124844
Итого	112,9	107,2	—	—	11,19133	65,06933	52,37733

Рассчитаем выборочные средние:

Определим коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка:

Полученное значение свидетельствует об очень слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней.

Рассчитаем коэффициент автокорреляции 2-го порядка.

t	y_t	y_t-2
1	5,6	—	—	—	—	—	—
2	4,7	—	—	—	—	—	—
3	5,2	5,6	-2,529	-1,521	3,847041	6,393673	2,314745
4	9,1	4,7	1,371	-2,421	-3,32082	1,880816	5,863316
5	7	5,2	-0,729	-1,921	1,399898	0,530816	3,691888
6	5,1	9,1	-2,629	1,979	-5,20082	6,909388	3,914745
7	6	7	-1,729	-0,121	0,209898	2,987959	0,014745
8	10,2	5,1	2,471	-2,021	-4,99582	6,107959	4,086173
9	8,2	6	0,471	-1,121	-0,52867	0,222245	1,257602
10	5,6	10,2	-2,129	3,079	-6,55296	4,530816	9,477602
11	6,4	8,2	-1,329	1,079	-1,43296	1,765102	1,163316
12	10,8	5,6	3,071	-1,521	-4,67296	9,433673	2,314745
13	9,1	6,4	1,371	-0,721	-0,98939	1,880816	0,520459
14	6,7	10,8	-1,029	3,679	-3,78367	1,057959	13,53189
15	7,5	9,1	-0,229	1,979	-0,45224	0,052245	3,914745
16	11,3	6,7	3,571	-0,421	-1,5051	12,7551	0,177602
Итого	108,2	99,7	—	—	-27,9786	56,50857	52,24357

Выборочные средние:

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка:

Продолжив расчёты аналогичным образом, получим автокорреляционную функцию этого ряда. Её значения приведены в таблице:

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней
1	0,1917
2	-0,5149
3	0,1272
4	0,9862
5	0,1448
6	-0,6487
7	-0,00647
8	0,9632

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде линейной тенденции и сезонных колебаний периодичностью в 4 квартала.

2. Построим аддитивную модель временного ряда.
Общий вид аддитивной модели следующий:
Y = T + S + E
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объёмы потребления электроэнергии (гр. 3);

2) разделив полученные суммы на 4, найдём скользящие средние (гр. 4). Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

3) приведём эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдём средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр.5).

Расчёт оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Шаг 2. Рассчитаем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Расчёт значений сезонной компоненты:

Показатели	Год	№ квартала, i
I	II	III	IV
	1	—	—	-1,125	2,55
2	0,3	-1,8375	-1,225	2,7625
3	0,65	-2,075	-1,4625	2,6875
4	0,7125	-1,8875	—	—
Итого за i-й квартал		1,6625	-5,8	-3,8125	8
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала,		0,554167	-1,93333	-1,27083	2,666667
Скорректированная сезонная компонента, Si		0,55	-1,9375	-1,275	2,6625

Для данной модели имеем:

0,554167 + ( -1,93333) + (-1,27083) + 2,666667 = 0,016667

Определим корректирующий коэффициент:

k = 0,016667 / 4 = 0,004167

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между её средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

Проверим условие равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

0,55 + (-1,9375) + (-1,275) + 2,6625 = 0

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S₁= 0,55;

II квартал: S₂ = -1,9375;

III квартал: S₃ = -1,275;

IV квартал: S₄= 2,6625.

Занесём полученные значения в таблицу для соответствующих кварталов каждого года (гр. 3).

t	y_t	S_i	T + E = y_t – S_i	T	T + S	E = y_t – (T + S)	E²
1	2	3	4	5	6	7	8
1	5,6	0,55	5,05	5,8588235	6,408824	-0,80882	0,654196
2	4,7	-1,9375	6,6375	6,0651471	4,127647	0,572353	0,327588
3	5,2	-1,275	6,475	6,2714706	4,996471	0,203529	0,041424
4	9,1	2,6625	6,4375	6,4777941	9,140294	-0,04029	0,001624
5	7	0,55	6,45	6,6841176	7,234118	-0,23412	0,054811
6	5,1	-1,9375	7,0375	6,8904412	4,952941	0,147059	0,021626
7	6	-1,275	7,275	7,0967647	5,821765	0,178235	0,031768
8	10,2	2,6625	7,5375	7,3030882	9,965588	0,234412	0,054949
9	8,2	0,55	7,65	7,5094118	8,059412	0,140588	0,019765
10	5,6	-1,9375	7,5375	7,7157353	5,778235	-0,17824	0,031768
11	6,4	-1,275	7,675	7,9220588	6,647059	-0,24706	0,061038
12	10,8	2,6625	8,1375	8,1283824	10,79088	0,009118	8,31E-05
13	9,1	0,55	8,55	8,3347059	8,884706	0,215294	0,046352
14	6,7	-1,9375	8,6375	8,5410294	6,603529	0,096471	0,009307
15	7,5	-1,275	8,775	8,7473529	7,472353	0,027647	0,000764
16	11,3	2,6625	8,6375	8,9536765	11,61618	-0,31618	0,099968

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E = Y — S (гр. 4 табл.). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

T = 5,6525 + 0,206 * t

Подставляя в это уравнение значения t = 1,…,16, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл.).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл.).
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.
Коэффициент детерминации.

t	y_t	Е²
1	5,6	0,654196	3,262539
2	4,7	0,327588	7,323789
3	5,2	0,041424	4,867539
4	9,1	0,001624	2,868789
5	7	0,054811	0,165039
6	5,1	0,021626	5,318789
7	6	0,031768	1,977539
8	10,2	0,054949	7,805039
9	8,2	0,019765	0,630039
10	5,6	0,031768	3,262539
11	6,4	0,061038	1,012539
12	10,8	8,31E-05	11,51754
13	9,1	0,046352	2,868789
14	6,7	0,009307	0,498789
15	7,5	0,000764	0,008789
16	11,3	0,099968	15,16129
Итого	118,5	1,457029	68,549

Рассчитаем коэффициент детерминации.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97,9% общей вариации уровней временного ряда.

Далее необходимо провести проверку адекватности модели данным наблюдения. Воспользуемся F-критерием Фишера:

где m — количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Табличное значение F-критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05,

k₁= m = 1, k₂ = n — m — 1 = 14,

Fтабл = 4,60

Поскольку F > Fтабл, то уравнение статистически значимо, надёжно.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели.

Прогнозное значение F_t уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

T = 5,6525 + 0,206 × t

Прогноз на 1 период:

T₁₇ = 5,6525 + 0,206 × 17 = 9,16

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно:

S₁ = 0,55

Таким образом,

F₁₇ = T₁₇ + S₁ = 9,16 + 0,55 = 9,71

Прогноз на 2 период:

T₁₈ = 5,6525 + 0,206 × 18 = 9,366

Значение сезонной компоненты за соответствующий период равно:

S₂ = – 1,9375

Таким образом, прогнозное значение на 2 квартала вперёд составит:

F₁₈ = T₁₈ + S₂ = 9,366 – 1,9375 = 7,429

Источник

При изучении развития явления во времени часто возникает необходимость оценить степень взаимосвязи в изменениях уровней 2-х или более рядов динамики различного содержания, но связанных между собой. Эта задача решается методами коррелирования:

уровней ряда динамики
отклонений фактических уровней от тренда
последовательных разностей

Коррелирование уровней динамических рядов с применением парного коэффициента корреляции правильно показывает тесноту связи лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция . Наличие зависимости между последующими и предшествующими уровнями динамического ряда в статистической литературе называют автокорреляцией .

Поэтому прежде, чем коррелировать ряды динамики по уровням, необходимо проверить каждый из рядов на наличие или отсутствие в них автокорреляции . Применение методов классической теории корреляции в динамических рядах связано с некоторыми особенностями. Прежде всего, это наличие для большинства динамических рядов зависимости последующих уровней от предыдущих.

Коэффициент автокорреляции вычисляется по непосредственным данным рядов динамики, когда фактические уровни одного ряда рассматриваются как значения факторного признака, а уровни этого же ряда со сдвигом на один период, принимаются в качестве результативного признака (этот сдвиг называется лагом). Коэффициент автокорреляции рассчитывается на основе формулы коэффициента корреляции для парной зависимости:

$large r_{a}= frac{overline{y_{t}cdot y_{t+1}}-overline{y_{t}}cdot overline{y_{t+1}}}{sigma _{y_{t}}cdot sigma _{y_{t+1}}}$

где:

y_t– фактические уровни ряда,
y_t₊₁– уровни того же ряда со сдвигом на 1 период (коэффициент автокорреляции первого порядка).

Примечание: во избежание путаницы, следует обратить внимание на порядок, по которому будет производиться сдвиг уровней, а именно, вниз или вверх. Соответственно и в формулах по разным источникам, ряд со сдвигом отображают либо так y_t-1 либо y_t+1

Формула для расчета коэффициента автокорреляции уровней ряда 1-го порядка:

Формула для расчета коэффициента автокорреляции уровней ряда 2-го порядка:

Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду, фактическое значение коэффициента автокорреляции сопоставляют с табличным для 5% или 1% уровня значимости (т. е. по величине вероятности допустить ошибку при принятии гипотезы о независимости уровней ряда). Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается и, наоборот, в противном случае, отвергается.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции ) называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру ряда, т. е. определить присутствие в ряде той или иной компоненты. Так, если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка m, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в m моментов времени. Если же ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений:

либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Необходимо подчеркнуть, что линейные коэффициенты автокорреляции характеризуют тесноту только линейной связи текущего и предыдущих уровней ряда. Поэтому, по коэффициентам автокорреляции можно судить только о наличии или отсутствии линейной зависимости (или близкой к линейной). Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако, при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Для проверки ряда на наличие нелинейной тенденции рекомендуется вычислить линейные коэффициенты автокорреляции для временного ряда, состоящего из логарифмов исходных уровней. Отличные от нуля значения коэффициентов автокорреляции будут свидетельствовать о наличии нелинейной тенденции.

Пример расчета:

Коэффициент автокорреляции 1 порядка

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровень. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции , уменьшается на 1. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило: максимальный лаг не должен превышать n : 4 (n-число уровней ряда). Исходный ряд состоял из 8 уровней. Расчет производится не по 8, а по 7 парам наблюдений. Получаем следующие данные:

y_t	14017	14909	15333.5	15381.1	15548.8	22214.2	32267.6
y_{t — 1}	14909	15333.5	15381.1	15548.8	22214.2	32267.6	42597.5

Для расчета коэффициента автокорреляции , необходимо рассчитать параметры уравнения авторегрессии:

Линейный коэффициент автокорреляции (L=1):

y_t	y_t-1	y_t ²	y_t-1 ²	y_t • y_t-1
14017	14909	196476289	222278281	208979453
14909	15333.5	222278281	235116222.25	228607151.5
15333.5	15381.1	235116222.25	236578237.21	235846096.85
15381.1	15548.8	236578237.21	241765181.44	239157647.68
15548.8	22214.2	241765181.44	493470681.64	345404152.96
22214.2	32267.6	493470681.64	1041198009.76	716798919.92
32267.6	42597.5	1041198009.76	1814547006.25	1374519091
129671.2	158251.7	2666882902.3	4284953619.55	3349312512

Так как коэффициент автокорреляции первого порядка оказался высоким, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Проверка значимости коэффициента автокорреляции дает следующий результат:

По таблице распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=5 находим: t_крит (n-m-1; α/2) > (5; 0.025) = 2.571. Поскольку 2,16<2,571 (t_набл < t_крит), то принимаем гипотезу о равенстве коэффициента автокорреляции =0, что, в свою очередь, подтверждает наличие сильной нелинейной тенденции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически — не значим.

Коэффициент автокорреляции 2 порядка

Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка

Теперь cдвигаем исходный ряд на 2 уровня. Исходный ряд состоял из 8 уровней. Расчет производится не по 8, а уже по 6 парам наблюдений. Получаем следующую таблицу:

y_t	14017	14909	15333.5	15381.1	15548.8	22214.2
y_{t — 2}	15333.5	15381.1	15548.8	22214.2	32267.6	42597.5

Проведя аналогичные расчеты, как при сдвиге исходного ряда на 1 уровень, получаем:

Линейный коэффициент автокорреляции (L=2):

y_t	y_t-2	y_t ²	y_t-2 ²	y_t • y_t-2
14017	15333.5	196476289	235116222.25	214929669.5
14909	15381.1	222278281	236578237.21	229316819.9
15333.5	15548.8	235116222.25	241765181.44	238417524.8
15381.1	22214.2	236578237.21	493470681.64	341678831.62
15548.8	32267.6	241765181.44	1041198009.76	501722458.88
22214.2	42597.5	493470681.64	1814547006.25	946269384.5
97403.6	143342.7	1625684892.54	4062675338.55	2472334689.2

Коэффициент автокорреляции второго порядка также оказался высоким — исследуемый ряд содержит только тенденцию. Но проверка значимости коэффициента автокорреляции опять не подтверждает значимость коэффициента автокорреляции :

По таблице распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=4 находим: t_крит (n-m-1; α/2) > (4; 0.025) = 2.776. Поскольку 1,73<2,776 (t_набл < t_крит), то принимаем гипотезу о равенстве коэффициента автокорреляции =0, тем самым подтверждая наличие сильной нелинейной тенденции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически — не значим.

Коэффициенты автокорреляции в MS Excel

Для расчета значений автокорреляционной функции в MS Excel целесообразно использовать функцию КОРРЕЛ (массив1; массив2). Так, если уровни исходного временного ряда располагаются в ячейках А1:А20, то для расчета коэффициентов автокорреляции можно вводить функции:

r₁: =КОРРЕЛ (А1:А19; А2:А20)

r₂: =КОРРЕЛ (А1:А18; А3:А20)

r₃: =КОРРЕЛ (А1:А17; А4:А20)

r₄:=КОРРЕЛ (А1:А16; А5:А20)

И т. д., постоянно сдвигая диапазон ячеек массива 1-вверх, массива 2- вниз, в зависимости от количества уровней в ряду динамики.

Остальные коэффициенты автокорреляции рассчитаем в MS Excel:

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней	Коррелограмма
1	0,96538	**********
2	0,86291	********
3	0,74906	*******
4	0,88313	*********

При анализе наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней первого и четвертого порядков. Следовательно, исследуемый ряд содержит тенденцию и циклические колебания.

Проверка значимости коэффициентов

Существует другая методика проверки значимости коэффициентов автокорреляции , что, в свою очередь, дает основания подтвердить (отклонить) наличие в ряду динамики автокорреляции .

Значимость каждого в отдельности коэффициента автокорреляции принято проверять с помощью критерия стандартной ошибки. С его помощью удается выявить среди запаздывающих переменных те, которые необходимо включить в модель. Коэффициент автокорреляции можно считать значимым, если не выполняется неравенство с принятым уровнем надежности (95%):

$[- 1.96frac{1}{{sqrt n }}; le ;{r_k}; le 1.96frac{1}{{sqrt n }}]$

где n – число пар наблюдений временного ряда, k – лаг (смещение данных ряда). Если рассчитанное значение автокорреляции попадает в этот интервал, то можно сделать вывод, что данные не показывают наличие автокорреляции k-го порядка с 95% уровнем надежности:

Для r₁ объем выборки составляет (n-1)=(8-1)=7 пар наблюдений:

$[- 1.96frac{1}{{sqrt 7 }}; le ;{r_1}; le 1.96frac{1}{{sqrt 7 }}; Rightarrow ; - 0.7408; le ;0.9654; le ;0.7405]$

Неравенство не выполняется – наличие автокорреляции .

Для r₂ объем выборки составляет (n-2)=(8-2)=6 пар наблюдений:

$[- 1.96frac{1}{{sqrt 6 }}; le ;{r_2}; le 1.96frac{1}{{sqrt 6 }}; Rightarrow ; - 0.8001; le ;0.8629; le ;0.8001]$

Неравенство не выполняется – наличие автокорреляции .

Для r₃ объем выборки составляет (n-3)=(8-3)=5 пар наблюдений:

$[- 1.96frac{1}{5}; le ;{r_3}; le 1.96frac{1}{{sqrt 5 }}; Rightarrow ; - 0.8765; le ;0.7491; le ;0.8756]$

Неравенство выполняется – автокорреляция отсутствует.

Для r₄ объем выборки составляет (n-4)=(8-4)=4 пары наблюдений:

$[- 1.96frac{1}{4}; le ;{r_4}; le 1.96frac{1}{{sqrt 4 }}; Rightarrow ; - 0.98; le ;0.8831; le ;0.98]$

Неравенство выполняется – автокорреляция отсутствует.

Данный анализ подтвердил наличие автокорреляции в ряду динамики, что дало основание отклонить применение парного линейного коэффициента корреляции при коррелировании уровней. В этом случае необходимо коррелировать отклонения или последовательные разности (см. ниже корреляция взаимосвязанных рядов динамики). Статистическая недостоверность коэффициентов корреляции подтвердила наличие в ряду динамики сильной нелинейной тенденции, для выявления которой необходимо провести дополнительный анализ, а также циклические колебания с периодичностью в k моментов времени. Конечно же, важным моментом анализа является сама содержательная характеристика исследуемого показателя (в данном примере он обезличен, но на практике этот показатель подвержен сильному влиянию конъюнктуры рынка по объему его производства и международных цен, что, в свою очередь, дает основание утверждать о присутствии циклической компоненты).

Аналитическое выравнивание по параболе 2-го порядка и анализ коррелированности отклонений исходного уровня (y_i) от выравненного (y_t) с использованием статистики Дарбина-Уотсона, дает следующие результаты:

y_i	y_t= 1048.72t²-5775.81t+20782.31	e_i = y_i-y_t	e²	(e_i — e_i-1)²
14017	16055.22	-2038.22	4154344.17	0
14909	13425.58	1483.42	2200547.96	12401985.18
15333.5	12893.38	2440.12	5954201.3	915272.61
15381.1	14458.62	922.48	850961.22	2303254.3
15548.8	18121.32	-2572.52	6617851.19	12214983.39
22214.2	23881.46	-1667.26	2779752.33	819494.81
32267.6	31739.05	528.55	279369.51	4821595.15
42597.5	41694.08	903.42	816169.2	140525.02
			23653196.89	33617110.46

Критические значения d₁(d_L) и d₂(d_U) определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости (α) и числа наблюдений n = 8, где количество объясняющих переменных m=1. Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие: d₁ < DW и d₂ < DW < 4 — d₂. По таблице распределений Дарбина-Уотсона для n=8 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d₁ = 1.08; d₂ = 1.36. Поскольку 1.08 < 1.42 и 1.36 < 1.42 < 4 — 1.36, то автокорреляция остатков отсутствует.

В зависимости от величины и знака расчетного значения статистики Дарбина-Уотсона, возможны следующие ситуации.

Возможные варианты:

1. Если коэффициент автокорреляции является положительной величиной (DW>0), то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций:

Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критического значения его нижней границы DW<d₁, то нулевая гипотеза (H₀) об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критического значения его верхней границы DW>d₂, то нулевая гипотеза (H₀) об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится между верхней и нижней критическими границами d₁<DW< d₂ нет достаточных оснований для принятия единственно правильного решения, необходимы дополнительные исследования.

2. Если коэффициент автокорреляции является отрицательной величиной (DW<0), то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций:

Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критической величины (4–d₁) DW>4–d₁, то нулевая гипотеза (H₀) об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критической величины (4–d₂) DW<4–d₂, то нулевая гипотеза (H₀) об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится в критическом интервале между величинами (4–d₁) и (4–d₂) 4–d₁<DW<4–d₂, то достаточных оснований для принятия единственно правильного решения нет, необходимы дополнительные исследования.

Данный временной ряд наилучшим образом аппроксимируется параболой 3-го порядка, нежели параболой 2-го порядка, тем самым, подтверждая сильную нелинейную тенденцию ряда (R²=0.9898).

Далее, для анализа второго временного ряда, который будет выбран в качестве взаимосвязанного с рассмотренным выше, так же необходимо провести анализ на наличие (отсутствие) автокорреляции . Затем произвести расчет и анализ коэффициента корреляции 2-х взаимосвязанных рядов динамики по нижеприведенным формулам.

Взаимосвязанные ряды динамики

Применение корреляции в динамических рядах имеет ряд особенностей, недоучет которых не позволяет получить правильной оценки взаимосвязи между рядами динамики, которые, в свою очередь, рассматриваются как результативный и факторный признаки.

В рядах динамики из-за автокорреляции (влияние изменений уровней предыдущих рядов на последующие), необходимо из уровней каждого ряда исключить тренд — основную тенденцию, налагаемую на ряд развитием во времени и найти корреляцию отклонений от тренда по формулам:

где: d_y (d_x) — остаточные отклонения фактических уровней ряда от выровненных, соответственно, для уровней временного ряда, принятого в качестве результативного (d_y) и в качестве факторного (d_x) признаков, либо использовать последовательные разности уровней взаимосвязанных рядов динамики (цепные абсолютные приросты) — (Δ_x,Δ_y).

Коррелируя отклонения или последовательные разности взаимосвязанных динамических рядов, при переходе от самих уровней к их отклонениям от выровненных значений, исключается влияние общей тенденции на колеблемость (изменчивость) самих уровней.

Смотри также:

Корреляция и регрессия
Компоненты и сезонная декомпозиция временного ряда
Сезонная корректировка временного ряда
Проверка выполнимости предпосылок МНК
Метод наименьших квадратов

Источник

Все данные взяты с сайта http://e3.prime-tass.ru/macro/

Пример 1. ВВП РФ

Приведем данные о ВВП РФ

Год	квартал	ВВП	первая разность
2001	I	1900,9
II	2105,0	204,1
III	2487,9	382,9
IV	2449,8	-38,1
2002	I	2259,5	-190,3
II	2525,7	266,2
III	3009,2	483,5
IV	3023,1	13,9
2003	I	2850,7	-172,4
II	3107,8	257,1
III	3629,8	522,0
IV	3655,0	25,2
2004	I	3516,8	-138,2
II	3969,8	453,0
III	4615,2	645,4
IV	4946,4	331,2
2005	I	4479,2	-467,2
II	5172,9	693,7
III	5871,7	698,8
IV	6096,2	224,5
2006	I	5661,8	-434,4
II	6325,8	664,0
III	7248,1	922,3
IV	7545,4	297,3
2007	I	6566,2	-979,2
II	7647,5	1081,3

Исследуем ряд

На диаграммах показаны: исходный ряд (сверху) и автокорреляционная функция до лага 9 (снизу). На нижней диаграмме штриховой линией обозначен уровень «белого шума» — граница статистической значимости коэффициентов корреляции. Видно, что имеется сильная корреляция 1 и 2 порядка, соседних членов ряда, но и удаленных на 1 единицу времени друг от друга. Корреляционные коэффициенты значительно превышают уровень «белого шума». По графику автокорреляции видим наличие четкого тренда.

Ниже даны значения автокорреляционной функции и уровня белого шума

АКФ(…)	Ошибка АКФ
1	0,856	0,203	-0,203
2	0,762	0,616	-0,616
3	0,658	0,747	-0,747
4	0,550	0,831	-0,831
5	0,418	0,885	-0,885
6	0,315	0,915	-0,915
7	0,224	0,932	-0,932
8	0,131	0,940	-0,940

Если нас интересует внутренняя динамика ряда необходимо найти первую разность его членов, т.е. для каждого квартала найти изменение значения по сравнению с предыдущим кварталом. Для первой разности построим автокорреляционную функцию.

Статистика Дарбина-Ватсона (DW) =1,813

DW Up= 1,450

DW Low=1,290

Статистика Дарбина-Уотсона показывает, что автокорреляции 1-го порядка нет. По графику можно видеть, что первые разности возрастают, т. к. тренд восходящий. Видна автокорреляция 2 и 4-го порядков, что говорит о полугодовой и годовой сезонности. Значения функции и границы для «белого шума» представлены ниже

АКФ(…)	Ошибка АКФ
1	-0,203	0,392	-0,392
2	-0,530	0,416	-0,416
3	-0,003	0,513	-0,513
4	0,637	0,513	-0,513
5	-0,087	0,627	-0,627
6	-0,423	0,629	-0,629
7	-0,028	0,673	-0,673

Пример 2. Импорт

Дано

год	квартал	номер	значение	разность
1999	I	1	3,10
II	2	3,40	0,30
III	3	3,33	-0,07
IV	4	3,80	0,47
2000	I	5	3,20	-0,60
II	6	3,60	0,40
III	7	3,70	0,10
IV	8	4,33	0,63
2001	I	9	3,60	-0,73
II	10	4,43	0,83
III	11	4,30	-0,13
IV	12	5,17	0,87
2002	I	13	4,13	-1,03
II	14	4,77	0,63
III	15	5,20	0,43
IV	16	5,97	0,77
2003	I	17	5,10	-0,87
II	18	5,90	0,80
III	19	6,33	0,43
IV	20	7,23	0,90
2004	I	21	6,43	-0,80
II	22	7,70	1,27
III	23	8,17	0,47
IV	24	9,08	0,92
2005	I	25	8,17	-0,92
II	26	9,80	1,63
III	27	10,50	0,70
IV	28	12,47	1,97
2006	I	29	10,40	-2,07
II	30	12,67	2,27
III	31	14,20	1,53
IV	32	17,10	2,90

Построим автокорреляционную функцию

АКФ(…)	Ошибка АКФ
1	0,802	0,211	-0,211
2	0,693	0,535	-0,535
3	0,585	0,637	-0,637
4	0,566	0,701	-0,701
5	0,423	0,756	-0,756
6	0,343	0,785	-0,785
7	0,255	0,803	-0,803
8	0,231	0,813	-0,813
9	0,131	0,822	-0,822
10	0,072	0,824	-0,824

Видим, что есть автокорреляция 1-го и 2-го порядков. График показывает наличие тренда. Положительная автокорреляция объясняется неправильно выбранной спецификацией, т. к. линейный тренд тут непригоден, он скорее экспоненциальный. Поэтому сделаем ряд стационарным, взяв первую разность.

АКФ(…)	Ошибка АКФ
1	-0,297	0,343	-0,343
2	0,309	0,390	-0,390
3	-0,420	0,420	-0,420
4	0,636	0,471	-0,471
5	-0,226	0,571	-0,571
6	0,214	0,583	-0,583
7	-0,311	0,593	-0,593
8	0,444	0,613	-0,613
9	-0,229	0,653	-0,653

Видим наличие автокорреляции 4-го порядка, что соответствует корреляции данных, отдаленных на год. Автокорреляцию первого порядка не имеем.

Статистика Дарбина-Ватсона (DW) =2,023

DW Up=1,500

DW Low=1,360

Пример 3. Экспорт

Приведем данные

год	квартал	номер	значение	разность
2000	I	1	22,30
II	2	22,80	0,50
III	3	24,80	2,00
IV	4	24,80	0,00
2001	I	5	25,50	0,70
II	6	25,50	0,00
III	7	25,90	0,40
IV	8	26,20	0,30
2002	I	9	26,30	0,10
II	10	28,60	2,30
III	11	28,70	0,10
IV	12	30,30	1,60
2003	I	13	30,50	0,20
II	14	31,00	0,50
III	15	33,80	2,80
IV	16	36,40	2,60
2004	I	17	38,00	1,60
II	18	41,40	3,40
III	19	47,20	5,80
IV	20	52,36	5,16
2005	I	21	52,50	0,14
II	22	60,40	7,90
III	23	65,70	5,30
IV	24	67,40	1,70
2006	I	25	69,00	1,60
II	26	76,60	7,60
III	27	79,80	3,20
IV	28	71,00	-8,80
2007	I	29	80,50	9,50

Для исходного ряда имеем:

АКФ(…)	Ошибка АКФ
1	0,896	0,165	-0,165
2	0,822	0,600	-0,600
3	0,712	0,739	-0,739
4	0,592	0,828	-0,828
5	0,483	0,884	-0,884
6	0,372	0,920	-0,920
7	0,261	0,941	-0,941
8	0,150	0,950	-0,950
9	0,062	0,954	-0,954

Очевидно наличие четкого тренда, значимыми являются коэффициенты автокорреляции 1-го и 2-го порядков. Для первой разности

АКФ(…)	Ошибка АКФ
1	-0,173	0,372	-0,372
2	-0,090	0,389	-0,389
3	0,353	0,392	-0,392
4	0,240	0,435	-0,435
5	-0,106	0,454	-0,454
6	-0,088	0,457	-0,457
7	0,315	0,460	-0,460
8	-0,136	0,490	-0,490

Автокорреляции уже не видим, остатки распределены как «белый шум».

При цитировании материалов в рефератах, курсовых, дипломных работах правильно указывайте источник цитирования, для удобства можете скопировать из поля ниже:

Комментарии к статье

Содержание

Источник