Как посчитать зависимость в excel

Содержание

• Суть корреляционного анализа
• Расчет коэффициента корреляции
  • Способ 1: определение корреляции через Мастер функций
  • Способ 2: вычисление корреляции с помощью пакета анализа
• Вопросы и ответы

Корреляционный анализ – популярный метод статистического исследования, который используется для выявления степени зависимости одного показателя от другого. В Microsoft Excel имеется специальный инструмент, предназначенный для выполнения этого типа анализа. Давайте выясним, как пользоваться данной функцией.

Суть корреляционного анализа

Предназначение корреляционного анализа сводится к выявлению наличия зависимости между различными факторами. То есть, определяется, влияет ли уменьшение или увеличение одного показателя на изменение другого.

Если зависимость установлена, то определяется коэффициент корреляции. В отличие от регрессионного анализа, это единственный показатель, который рассчитывает данный метод статистического исследования. Коэффициент корреляции варьируется в диапазоне от +1 до -1. При наличии положительной корреляции увеличение одного показателя способствует увеличению второго. При отрицательной корреляции увеличение одного показателя влечет за собой уменьшение другого. Чем больше модуль коэффициента корреляции, тем заметнее изменение одного показателя отражается на изменении второго. При коэффициенте равном 0 зависимость между ними отсутствует полностью.

Расчет коэффициента корреляции

Теперь давайте попробуем посчитать коэффициент корреляции на конкретном примере. Имеем таблицу, в которой помесячно расписана в отдельных колонках затрата на рекламу и величина продаж. Нам предстоит выяснить степень зависимости количества продаж от суммы денежных средств, которая была потрачена на рекламу.

Способ 1: определение корреляции через Мастер функций

Одним из способов, с помощью которого можно провести корреляционный анализ, является использование функции КОРРЕЛ. Сама функция имеет общий вид КОРРЕЛ(массив1;массив2).

1. Выделяем ячейку, в которой должен выводиться результат расчета. Кликаем по кнопке «Вставить функцию», которая размещается слева от строки формул.



2. В списке, который представлен в окне Мастера функций, ищем и выделяем функцию КОРРЕЛ. Жмем на кнопку «OK».



3. Открывается окно аргументов функции. В поле «Массив1» вводим координаты диапазона ячеек одного из значений, зависимость которого следует определить. В нашем случае это будут значения в колонке «Величина продаж». Для того, чтобы внести адрес массива в поле, просто выделяем все ячейки с данными в вышеуказанном столбце.

   В поле «Массив2» нужно внести координаты второго столбца. У нас это затраты на рекламу. Точно так же, как и в предыдущем случае, заносим данные в поле.

   Жмем на кнопку «OK».

Как видим, коэффициент корреляции в виде числа появляется в заранее выбранной нами ячейке. В данном случае он равен 0,97, что является очень высоким признаком зависимости одной величины от другой.

Способ 2: вычисление корреляции с помощью пакета анализа

Кроме того, корреляцию можно вычислить с помощью одного из инструментов, который представлен в пакете анализа. Но прежде нам нужно этот инструмент активировать.

1. Переходим во вкладку «Файл».



2. В открывшемся окне перемещаемся в раздел «Параметры».





3. Далее переходим в пункт «Надстройки».



4. В нижней части следующего окна в разделе «Управление» переставляем переключатель в позицию «Надстройки Excel», если он находится в другом положении. Жмем на кнопку «OK».



5. В окне надстроек устанавливаем галочку около пункта «Пакет анализа». Жмем на кнопку «OK».



6. После этого пакет анализа активирован. Переходим во вкладку «Данные». Как видим, тут на ленте появляется новый блок инструментов – «Анализ». Жмем на кнопку «Анализ данных», которая расположена в нем.



7. Открывается список с различными вариантами анализа данных. Выбираем пункт «Корреляция». Кликаем по кнопке «OK».



8. Открывается окно с параметрами корреляционного анализа. В отличие от предыдущего способа, в поле «Входной интервал» мы вводим интервал не каждого столбца отдельно, а всех столбцов, которые участвуют в анализе. В нашем случае это данные в столбцах «Затраты на рекламу» и «Величина продаж».

   Параметр «Группирование» оставляем без изменений – «По столбцам», так как у нас группы данных разбиты именно на два столбца. Если бы они были разбиты построчно, то тогда следовало бы переставить переключатель в позицию «По строкам».

   В параметрах вывода по умолчанию установлен пункт «Новый рабочий лист», то есть, данные будут выводиться на другом листе. Можно изменить место, переставив переключатель. Это может быть текущий лист (тогда вы должны будете указать координаты ячеек вывода информации) или новая рабочая книга (файл).

   Когда все настройки установлены, жмем на кнопку «OK».

Так как место вывода результатов анализа было оставлено по умолчанию, мы перемещаемся на новый лист. Как видим, тут указан коэффициент корреляции. Естественно, он тот же, что и при использовании первого способа – 0,97. Это объясняется тем, что оба варианта выполняют одни и те же вычисления, просто произвести их можно разными способами.

Как видим, приложение Эксель предлагает сразу два способа корреляционного анализа. Результат вычислений, если вы все сделаете правильно, будет полностью идентичным. Но, каждый пользователь может выбрать более удобный для него вариант осуществления расчета.

Еще статьи по данной теме:

Помогла ли Вам статья?

Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.

Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.

Регрессионный анализ в Excel

Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.

Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

Регрессия бывает:

• линейной (у = а + bx);
• параболической (y = a + bx + cx²);
• экспоненциальной (y = a * exp(bx));
• степенной (y = a*x^b);
• гиперболической (y = b/x + a);
• логарифмической (y = b * 1n(x) + a);
• показательной (y = a * b^x).

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а₀ + а₁х₁ +…+а_кх_к.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

1. Нажимаем кнопку «Офис» и переходим на вкладку «Параметры Excel». «Надстройки».



2. Внизу, под выпадающим списком, в поле «Управление» будет надпись «Надстройки Excel» (если ее нет, нажмите на флажок справа и выберите). И кнопка «Перейти». Жмем.



3. Открывается список доступных надстроек. Выбираем «Пакет анализа» и нажимаем ОК.

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

1. Открываем меню инструмента «Анализ данных». Выбираем «Регрессия».



2. Откроется меню для выбора входных значений и параметров вывода (где отобразить результат). В полях для исходных данных указываем диапазон описываемого параметра (У) и влияющего на него фактора (Х). Остальное можно и не заполнять.



3. После нажатия ОК, программа отобразит расчеты на новом листе (можно выбрать интервал для отображения на текущем листе или назначить вывод в новую книгу).

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.



Корреляционный анализ в Excel

Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.

Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.

Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.

Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.

Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.

Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.

Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.

1. В категории «Статистические» выбираем функцию КОРРЕЛ.
2. Аргумент «Массив 1» — первый диапазон значений – время работы станка: А2:А14.
3. Аргумент «Массив 2» — второй диапазон значений – стоимость ремонта: В2:В14. Жмем ОК.

Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).

Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.

Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой:

Корреляционно-регрессионный анализ

На практике эти две методики часто применяются вместе.

Пример:

1. Строим корреляционное поле: «Вставка» — «Диаграмма» — «Точечная диаграмма» (дает сравнивать пары). Диапазон значений – все числовые данные таблицы.



2. Щелкаем левой кнопкой мыши по любой точке на диаграмме. Потом правой. В открывшемся меню выбираем «Добавить линию тренда».



3. Назначаем параметры для линии. Тип – «Линейная». Внизу – «Показать уравнение на диаграмме».



4. Жмем «Закрыть».

Теперь стали видны и данные регрессионного анализа.

Функция КОРРЕЛ возвращает коэффициент корреляции двух диапазонов ячеев. Коэффициент корреляции используется для определения взаимосвязи между двумя свойствами. Например, можно установить зависимость между средней температурой в помещении и использованием кондиционера.

Синтаксис

КОРРЕЛ(массив1;массив2)

Аргументы функции КОРРЕЛ описаны ниже.

• массив1    — обязательный аргумент. Диапазон значений ячеок.

• массив2    — обязательный аргумент. Второй диапазон значений ячеев.

Замечания

• Если аргумент массива или ссылки содержит текст, логические значения или пустые ячейки, эти значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми значениями включаются.

• Если массив1 и массив2 имеют различное количество точек данных, то correl возвращает #N/A.

• Если массив1 или массив2 пуст или если s (стандартное отклонение) их значений равно нулю, то corREL возвращает значение #DIV/0! ошибку «#ВЫЧИС!».

• Так как коэффициент корреляции ближе к +1 или -1, он указывает на положительную (+1) или отрицательную (-1) корреляцию между массивами. Положительная корреляция означает, что при увеличении значений в одном массиве значения в другом массиве также увеличиваются. Коэффициент корреляции, который ближе к 0, указывает на отсутствие или неабную корреляцию.

• Уравнение для коэффициента корреляции имеет следующий вид:

  

  где 

  

  являются средними значениями выборок СРЗНАЧ(массив1) и СРЗНАЧ(массив2).

Пример

В следующем примере возвращается коэффициент корреляции двух наборов данных в столбцах A и B.

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

Регрессия позволяет прогнозировать зависимую переменную на основании значений фактора. В

MS

EXCEL

имеется множество функций, которые возвращают не только наклон и сдвиг линии регрессии, характеризующей линейную взаимосвязь между факторами, но и регрессионную статистику. Здесь рассмотрим простую линейную регрессию, т.е. прогнозирование на основе одного фактора.

Disclaimer

: Данную статью не стоит рассматривать, как пересказ главы из учебника по статистике. Статья не обладает ни полнотой, ни строгостью изложения положений статистической науки. Эта статья – о применении MS EXCEL для целей

Регрессионного анализа.

Теоретические отступления приведены лишь из соображения логики изложения. Использование данной статьи для изучения

Регрессии

– плохая идея.

Статья про

Регрессионный анализ

получилась большая, поэтому ниже для удобства приведены ее разделы:

• Немного теории и основные понятия
• Предположения линейной регрессионной модели
• Задачи регрессионного анализа
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (используя функции MS EXCEL)
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (через статистики выборок)
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (матричная форма)
• Построение линии регрессии
• Коэффициент детерминации
• Стандартная ошибка регрессии
• Стандартные ошибки и доверительные интервалы для наклона и сдвига
• Проверка значимости взаимосвязи переменных
• Доверительные интервалы для нового наблюдения Y и среднего значения
• Проверка адекватности линейной регрессионной модели

Примечание

: Если прогнозирование переменной осуществляется на основе нескольких факторов, то имеет место

множественная регрессия

.

Чтобы разобраться, чем может помочь MS EXCEL при проведении регрессионного анализа, напомним вкратце теорию, введем термины и обозначения, которые могут отличаться в зависимости от различных источников.

Примечание

: Для тех, кому некогда, незачем или просто не хочется разбираться в теоретических выкладках предлагается сразу перейти к вычислительной части —

оценке неизвестных параметров линейной модели

.

Немного теории и основные понятия

Пусть у нас есть массив данных, представляющий собой значения двух переменных Х и Y. Причем значения переменной Х мы можем произвольно задавать (контролировать) и использовать эту переменную для предсказания значений зависимой переменной Y. Таким образом, случайной величиной является только переменная Y.

Примером такой задачи может быть производственный процесс изготовления некого волокна, причем

прочность этого волокна

(Y) зависит только от

рабочей температуры процесса

в реакторе (Х), которая задается оператором.

Построим

диаграмму рассеяния

(см.

файл примера лист Линейный

), созданию которой

посвящена отдельная статья

. Вообще, построение

диаграммы рассеяния

для целей

регрессионного анализа

де-факто является стандартом.

СОВЕТ

: Подробнее о построении различных типов диаграмм см. статьи

Основы построения диаграмм

и

Основные типы диаграмм

.

Приведенная выше

диаграмма рассеяния

свидетельствует о возможной

линейной взаимосвязи

между Y от Х: очевидно, что точки данных в основном располагаются вдоль прямой линии.

Примечание

: Наличие даже такой очевидной

линейной взаимосвязи

не может являться доказательством о наличии причинной взаимосвязи переменных. Наличие

причинной

взаимосвязи не может быть доказано на основании только анализа имеющихся измерений, а должно быть обосновано с помощью других исследований, например теоретических выкладок.

Примечание

: Как известно, уравнение прямой линии имеет вид

Y

=

m

*

X

+

k

, где коэффициент

m

отвечает за наклон линии (

slope

),

k

– за сдвиг линии по вертикали (

intercept

),

k

равно значению Y при Х=0.

Предположим, что мы можем зафиксировать переменную Х (

рабочую температуру процесса

) при некотором значении Х

_i

и произвести несколько наблюдений переменной Y (

прочность нити

). Очевидно, что при одном и том же значении Хi мы получим различные значения Y. Это обусловлено влиянием других факторов на Y. Например, локальные колебания давления в реакторе, концентрации раствора, наличие ошибок измерения и др. Предполагается, что воздействие этих факторов имеет случайную природу и для каждого измерения имеются одинаковые условия проведения эксперимента (т.е. другие факторы не изменяются).

Полученные значения Y, при заданном Хi, будут колебаться вокруг некого

значения

. При увеличении количества измерений, среднее этих измерений, будет стремиться к

математическому ожиданию

случайной величины Y (при Х

_i

) равному μy(i)=Е(Y

_i

).

Подобные рассуждения можно привести для любого значения Хi.

Чтобы двинуться дальше, воспользуемся материалом из раздела

Проверка статистических гипотез

. В статье о

проверке гипотезы о среднем значении генеральной совокупности

в качестве

нулевой

гипотезы

предполагалось равенство неизвестного значения μ заданному μ0.

В нашем случае

простой линейной регрессии

в качестве

нулевой

гипотезы

предположим, что между переменными μy(i) и Хi существует линейная взаимосвязь μ

_y(i)

=α* Х

_i

+β. Уравнение μ

_y(i)

=α* Х

_i

+β можно переписать в обобщенном виде (для всех Х и μ

_y

) как μ

_y

=α* Х +β.

Для наглядности проведем прямую линию соединяющую все μy(i).

Данная линия называется

регрессионной линией генеральной совокупности

(population regression line), параметры которой (

наклон

a и

сдвиг β

) нам не известны (по аналогии с

гипотезой о среднем значении генеральной совокупности

, где нам было неизвестно истинное значение μ).

Теперь сделаем переход от нашего предположения, что μy=a* Х +

β

, к предсказанию значения случайной переменной Y в зависимости от значения контролируемой переменной Х. Для этого уравнение связи двух переменных запишем в виде Y=a*X+β+ε, где ε — случайная ошибка, которая отражает суммарный эффект влияния других факторов на Y (эти «другие» факторы не участвуют в нашей модели). Напомним, что т.к. переменная Х фиксирована, то ошибка ε определяется только свойствами переменной Y.

Уравнение Y=a*X+b+ε называют

линейной регрессионной моделью

. Часто Х еще называют

независимой переменной

(еще

предиктором

и

регрессором

, английский термин

predictor

,

regressor

), а Y –

зависимой

(или

объясняемой

,

response

variable

). Так как

регрессор

у нас один, то такая модель называется

простой линейной регрессионной моделью

(

simple

linear

regression

model

). α часто называют

коэффициентом регрессии.

Предположения линейной регрессионной модели перечислены в следующем разделе.

Предположения линейной регрессионной модели

Чтобы модель линейной регрессии Yi=a*Xi+β+ε

_i

была адекватной — требуется:

• Ошибки ε
  
  _i
  
  должны быть независимыми переменными;
• При каждом значении Xi ошибки ε
  
  _i
  
  должны быть иметь нормальное распределение (также предполагается равенство нулю математического ожидания, т.е. Е[ε
  
  _i
  
  ]=0);
• При каждом значении Xi ошибки ε
  
  _i
  
  должны иметь равные дисперсии (обозначим ее σ
  
  ²
  
  ).

Примечание

: Последнее условие называется

гомоскедастичность

— стабильность, гомогенность дисперсии случайной ошибки e. Т.е.

дисперсия

ошибки σ

²

не должна зависеть от значения Xi.

Используя предположение о равенстве математического ожидания Е[ε

_i

]=0 покажем, что μy(i)=Е[Yi]:

Е[Yi]= Е[a*Xi+β+ε

_i

]= Е[a*Xi+β]+ Е[ε

_i

]= a*Xi+β= μy(i), т.к. a, Xi и β постоянные значения.

Дисперсия

случайной переменной Y равна

дисперсии

ошибки ε, т.е. VAR(Y)= VAR(ε)=σ

²

. Это является следствием, что все значения переменной Х являются const, а VAR(ε)=VAR(ε

_i

).

Задачи регрессионного анализа

Для проверки гипотезы о линейной взаимосвязи переменной Y от X делают выборку из генеральной совокупности (этой совокупности соответствует

регрессионная линия генеральной совокупности

, т.е.  μy=a* Х +β). Выборка будет состоять из n точек, т.е. из n пар значений {X;Y}.

На основании этой выборки мы можем вычислить оценки наклона a и сдвига β, которые обозначим соответственно

a

и

b

. Также часто используются обозначения â и b̂.

Далее, используя эти оценки, мы также можем проверить гипотезу: имеется ли линейная связь между X и Y статистически значимой?

Таким образом:

Первая задача

регрессионного анализа

– оценка неизвестных параметров (

estimation

of

the

unknown

parameters

). Подробнее см. раздел

Оценки неизвестных параметров модели

.

Вторая задача

регрессионного анализа

–

Проверка адекватности модели

(

model

adequacy

checking

).

Примечание

: Оценки параметров модели обычно вычисляются

методом наименьших квадратов

(МНК),

которому посвящена отдельная статья

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (используя функции MS EXCEL)

Неизвестные параметры

простой линейной регрессионной модели

Y=a*X+β+ε оценим с помощью

метода наименьших квадратов

(в

статье про МНК подробно описано этот метод

).

Для вычисления параметров линейной модели методом МНК получены следующие выражения:

Таким образом, мы получим уравнение прямой линии Y=

a

*X+

b

, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные.

Примечание

: В статье про

метод наименьших квадратов

рассмотрены случаи аппроксимации

линейной

и

квадратичной функцией

, а также

степенной

,

логарифмической

и

экспоненциальной функцией

.

Оценку параметров в MS EXCEL можно выполнить различными способами:

• с помощью функций
  
  НАКЛОН()
  
  и
  
  ОТРЕЗОК()
  
  ;
• с помощью функции
  
  ЛИНЕЙН()
  
  ; см. статью

  Функция MS EXCEL ЛИНЕЙН()

• формулами через статистики выборок

  ;

• в матричной форме

  ;

• с помощью

  инструмента Регрессия надстройки Пакет Анализа

  .

Сначала рассмотрим функции

НАКЛОН()

,

ОТРЕЗОК()

и

ЛИНЕЙН()

.

Пусть значения Х и Y находятся соответственно в диапазонах

C

23:

C

83

и

B

23:

B

83

(см.

файл примера

внизу статьи).

Примечание

: Значения двух переменных Х и Y можно сгенерировать, задав тренд и величину случайного разброса (см. статью

Генерация данных для линейной регрессии в MS EXCEL

).

В MS EXCEL наклон прямой линии

а

(

оценку

коэффициента регрессии

), можно найти по

методу МНК

с помощью функции

НАКЛОН()

, а сдвиг

b

(

оценку

постоянного члена

или

константы регрессии

), с помощью функции

ОТРЕЗОК()

. В английской версии это функции SLOPE и INTERCEPT соответственно.

Аналогичный результат можно получить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

, английская версия LINEST (см.

статью об этой функции

).

Формула

=ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

вернет наклон

а

. А формула =

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);2)

— сдвиг

b

. Здесь требуются пояснения.

Функция

ЛИНЕЙН()

имеет 4 аргумента и возвращает целый массив значений:

ЛИНЕЙН(известные_значения_y; [известные_значения_x]; [конст]; [статистика])

Если 4-й аргумент

статистика

имеет значение ЛОЖЬ или опущен, то функция

ЛИНЕЙН()

возвращает только оценки параметров модели:

a

и

b

.

Примечание

: Остальные значения, возвращаемые функцией

ЛИНЕЙН()

, нам потребуются при вычислении

стандартных ошибок

и для

проверки значимости регрессии

. В этом случае аргумент

статистика

должен иметь значение ИСТИНА.

Чтобы вывести сразу обе оценки:

• в одной строке необходимо выделить 2 ячейки,
• ввести формулу в

  Строке формул

• нажать
  
  CTRL
  
  +
  
  SHIFT
  
  +
  
  ENTER
  
  (см. статью про

  формулы массива

  ).

Если в

Строке формул

выделить формулу =

ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

и нажать

клавишу F9

, то мы увидим что-то типа {3,01279389265416;154,240057900613}. Это как раз значения

a

и

b

. Как видно, оба значения разделены точкой с запятой «;», что свидетельствует, что функция вернула значения «в нескольких ячейках одной строки».

Если требуется вывести параметры линии не в одной строке, а одном столбце (ячейки друг под другом), то используйте формулу =

ТРАНСП(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83))

. При этом выделять нужно 2 ячейки в одном столбце. Если теперь выделить новую формулу и нажать клавишу F9, то мы увидим что 2 значения разделены двоеточием «:», что означает, что значения выведены в столбец (функция

ТРАНСП()

транспонировала строку в столбец

).

Чтобы разобраться в этом подробнее необходимо ознакомиться с

формулами массива

.

Чтобы не связываться с вводом

формул массива

, можно

использовать функцию ИНДЕКС()

. Формула =

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);1)

или просто

ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

вернет параметр, отвечающий за наклон линии, т.е.

а

. Формула

=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);2)

вернет параметр

b

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (через статистики выборок)

Наклон линии, т.е. коэффициент

а

, можно также вычислить через

коэффициент корреляции

и

стандартные отклонения выборок

:

=

КОРРЕЛ(B23:B83;C23:C83) *(СТАНДОТКЛОН.В(C23:C83)/ СТАНДОТКЛОН.В(B23:B83))

Вышеуказанная формула математически эквивалентна отношению

ковариации

выборок Х и Y и

дисперсии

выборки Х:

=

КОВАРИАЦИЯ.В(B23:B83;C23:C83)/ДИСП.В(B23:B83)

И, наконец, запишем еще одну формулу для нахождения сдвига

b

. Воспользуемся тем фактом, что

линия регрессии

проходит через точку

средних значений

переменных Х и Y.

Вычислив

средние значения

и подставив в формулу ранее найденный наклон

а

, получим сдвиг

b

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (матричная форма)

Также параметры

линии регрессии

можно найти в матричной форме (см.

файл примера лист Матричная форма

).

В формуле символом β обозначен столбец с искомыми параметрами модели: β0 (сдвиг

b

), β1 (наклон

a

).

Матрица Х равна:

Матрица

Х

называется

регрессионной матрицей

или

матрицей плана

. Она состоит из 2-х столбцов и n строк, где n – количество точек данных. Первый столбец — столбец единиц, второй – значения переменной Х.

Матрица

Х

^T

– это

транспонированная матрица

Х

. Она состоит соответственно из n столбцов и 2-х строк.

В формуле символом

Y

обозначен столбец значений переменной Y.

Чтобы

перемножить матрицы

используйте функцию

МУМНОЖ()

. Чтобы

найти обратную матрицу

используйте функцию

МОБР()

.

Пусть дан массив значений переменных Х и Y (n=10, т.е.10 точек).

Слева от него достроим столбец с 1 для матрицы Х.

Записав формулу

=

МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(B7:C16);(B7:C16))); МУМНОЖ(ТРАНСП(B7:C16);(D7:D16)))

и введя ее как

формулу массива

в 2 ячейки, получим оценку параметров модели.

Красота применения матричной формы полностью раскрывается в случае

множественной регрессии

.

Построение линии регрессии

Для отображения

линии регрессии

построим сначала

диаграмму рассеяния

, на которой отобразим все точки (см.

начало статьи

).

Для построения прямой линии используйте вычисленные выше оценки параметров модели

a

и

b

(т.е. вычислите

у

по формуле

y

=

a

*

x

+

b

) или функцию

ТЕНДЕНЦИЯ()

.

Формула =

ТЕНДЕНЦИЯ($C$23:$C$83;$B$23:$B$83;B23)

возвращает расчетные (прогнозные) значения ŷi для заданного значения Хi из столбца

В2

.

Примечание

:

Линию регрессии

можно также построить с помощью функции

ПРЕДСКАЗ()

. Эта функция возвращает прогнозные значения ŷi, но, в отличие от функции

ТЕНДЕНЦИЯ()

работает только в случае одного регрессора. Функция

ТЕНДЕНЦИЯ()

может быть использована и в случае

множественной регрессии

(в этом случае 3-й аргумент функции должен быть ссылкой на диапазон, содержащий все значения Хi для выбранного наблюдения i).

Как видно из диаграммы выше

линия тренда

и

линия регрессии

не обязательно совпадают: отклонения точек от

линии тренда

случайны, а МНК лишь подбирает линию наиболее точно аппроксимирующую случайные точки данных.

Линию регрессии

можно построить и с помощью встроенных средств диаграммы, т.е. с помощью инструмента

Линия тренда.

Для этого выделите диаграмму, в меню выберите

вкладку Макет

, в

группе Анализ

нажмите

Линия тренда

, затем

Линейное приближение.

В диалоговом окне установите галочку

Показывать уравнение на диаграмме

(подробнее см. в

статье про МНК

).

Построенная таким образом линия, разумеется, должна совпасть с ранее построенной нами

линией регрессии,

а параметры уравнения

a

и

b

должны совпасть с параметрами уравнения отображенными на диаграмме.

Примечание:

Для того, чтобы вычисленные параметры уравнения

a

и

b

совпадали с параметрами уравнения на диаграмме, необходимо, чтобы тип у диаграммы был

Точечная, а не График

, т.к. тип диаграммы

График

не использует значения Х, а вместо значений Х используется последовательность 1; 2; 3; … Именно эти значения и берутся при расчете параметров

линии тренда

. Убедиться в этом можно если построить диаграмму

График

(см.

файл примера

), а значения

Хнач

и

Хшаг

установить равным 1. Только в этом случае параметры уравнения на диаграмме совпадут с

a

и

b

.

Коэффициент детерминации R

²

Коэффициент детерминации

R

²

показывает насколько полезна построенная нами

линейная регрессионная модель

.

Предположим, что у нас есть n значений переменной Y и мы хотим предсказать значение yi, но без использования значений переменной Х (т.е. без построения

регрессионной модели

). Очевидно, что лучшей оценкой для yi будет

среднее значение

ȳ. Соответственно, ошибка предсказания будет равна (yi — ȳ).

Примечание

: Далее будет использована терминология и обозначения

дисперсионного анализа

.

После построения

регрессионной модели

для предсказания значения yi мы будем использовать значение ŷi=a*xi+b. Ошибка предсказания теперь будет равна (yi — ŷi).

Теперь с помощью диаграммы сравним ошибки предсказания полученные без построения модели и с помощью модели.

Очевидно, что используя

регрессионную модель

мы уменьшили первоначальную (полную) ошибку (yi — ȳ)  на значение (ŷi — ȳ)  до величины (yi — ŷi).

(yi — ŷi) – это оставшаяся, необъясненная ошибка.

Очевидно, что все три ошибки связаны выражением:

(yi — ȳ)= (ŷi — ȳ) + (yi — ŷi)

Можно показать, что в общем виде справедливо следующее выражение:

Доказательство:

или в других, общепринятых в зарубежной литературе, обозначениях:

SST

=

SSR

+

SSE

Что означает:

Total Sum of Squares

=

Regression Sum of Squares

+

Error Sum of Squares

Примечание

: SS — Sum of Squares — Сумма Квадратов.

Как видно из формулы величины SST, SSR, SSE имеют размерность

дисперсии

(вариации) и соответственно описывают разброс (изменчивость):

Общую изменчивость

(Total variation),

Изменчивость объясненную моделью

(Explained variation) и

Необъясненную изменчивость

(Unexplained variation).

По определению

коэффициент детерминации

R

²

равен:

R

²

=

Изменчивость объясненная моделью / Общая изменчивость.

Этот показатель равен квадрату

коэффициента корреляции

и в MS EXCEL его можно вычислить с помощью функции

КВПИРСОН()

или

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3)

R

₂

принимает значения от 0 до 1 (1 соответствует идеальной линейной зависимости Y от Х). Однако, на практике малые значения R2 вовсе не обязательно указывают, что переменную Х нельзя использовать для прогнозирования переменной Y. Малые значения R2 могут указывать на нелинейность связи или на то, что поведение переменной Y объясняется не только Х, но и другими факторами.

Стандартная ошибка регрессии

Стандартная ошибка регрессии

(

Standard Error of a regression

) показывает насколько велика ошибка предсказания значений переменной Y на основании значений Х. Отдельные значения Yi мы можем предсказывать лишь с точностью +/- несколько значений (обычно 2-3, в зависимости от формы распределения ошибки ε).

Теперь вспомним уравнение

линейной регрессионной модели

Y=a*X+β+ε. Ошибка ε имеет случайную природу, т.е. является случайной величиной и поэтому имеет свою функцию распределения со

средним значением

μ и

дисперсией

σ

²

.

Оценив значение

дисперсии

σ

²

и вычислив из нее квадратный корень – получим

Стандартную ошибку регрессии.

Чем точки наблюдений на диаграмме

рассеяния

ближе находятся к прямой линии, тем меньше

Стандартная ошибка.

Примечание

:

Вспомним

, что при построении модели предполагается, что

среднее значение

ошибки ε равно 0, т.е. E[ε]=0.

Оценим

дисперсию σ

²

. Помимо вычисления

Стандартной ошибки регрессии

эта оценка нам потребуется в дальнейшем еще и при построении

доверительных интервалов

для оценки параметров регрессии

a

и

b

.

Для оценки

дисперсии

ошибки ε используем

остатки регрессии

— разности между имеющимися значениями

yi

и значениями, предсказанными регрессионной моделью ŷ. Чем лучше регрессионная модель согласуется с данными (точки располагается близко к прямой линии), тем меньше величина остатков.

Для оценки

дисперсии σ

²

используют следующую формулу:

где SSE – сумма квадратов значений ошибок модели ε

_i

=yi — ŷi (

Sum of Squared Errors

).

SSE часто обозначают и как SSres – сумма квадратов остатков (

Sum

of

Squared

residuals

).

Оценка

дисперсии

s

²

также имеет общепринятое обозначение MSE (Mean Square of Errors), т.е. среднее квадратов

ошибок

или MSRES (Mean Square of Residuals), т.е. среднее квадратов

остатков

. Хотя правильнее говорить сумме квадратов остатков, т.к. ошибка чаще ассоциируется с ошибкой модели ε, которая является непрерывной случайной величиной. Но, здесь мы будем использовать термины SSE и MSE, предполагая, что речь идет об остатках.

Примечание

: Напомним, что когда

мы использовали МНК

для нахождения параметров модели, то критерием оптимизации была минимизация именно SSE (SSres). Это выражение представляет собой сумму квадратов расстояний между наблюденными значениями yi и предсказанными моделью значениями ŷi, которые лежат на

линии регрессии.

Математическое ожидание

случайной величины MSE равно

дисперсии ошибки

ε, т.е.

σ

²

.

Чтобы понять почему SSE выбрана в качестве основы для оценки

дисперсии

ошибки ε, вспомним, что

σ

²

является также

дисперсией

случайной величины Y (относительно

среднего значения

μy, при заданном значении Хi). А т.к. оценкой μy является значение ŷi =

a

* Хi +

b

(значение

уравнения регрессии

при Х= Хi), то логично использовать именно SSE в качестве основы для оценки

дисперсии

σ

²

. Затем SSE усредняется на количество точек данных n за вычетом числа 2. Величина n-2 – это количество

степеней свободы

(

df

–

degrees

of

freedom

), т.е. число параметров системы, которые могут изменяться независимо (вспомним, что у нас в этом примере есть n независимых наблюдений переменной Y). В случае

простой линейной регрессии

число степеней свободы

равно n-2, т.к. при построении

линии регрессии

было оценено 2 параметра модели (на это было «потрачено» 2

степени свободы

).

Итак, как сказано было выше, квадратный корень из s

²

имеет специальное название

Стандартная ошибка регрессии

(

Standard Error of a regression

) и обозначается SEy. SEy показывает насколько велика ошибка предсказания. Отдельные значения Y мы можем предсказывать с точностью +/- несколько значений SEy (см.

этот раздел

). Если ошибки предсказания ε имеют

нормальное распределение

, то примерно 2/3 всех предсказанных значений будут на расстоянии не больше SEy от

линии регрессии

. SEy имеет размерность переменной Y и откладывается по вертикали. Часто на

диаграмме рассеяния

строят

границы предсказания

соответствующие +/- 2 SEy (т.е. 95% точек данных будут располагаться в пределах этих границ).

В MS EXCEL

стандартную ошибку

SEy можно вычислить непосредственно по формуле:

=

КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C23:C83; ТЕНДЕНЦИЯ(C23:C83;B23:B83;B23:B83)) /( СЧЁТ(B23:B83) -2))

или с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3;2)

Примечание

: Подробнее о функции

ЛИНЕЙН()

см.

эту статью

.

Стандартные ошибки и доверительные интервалы для наклона и сдвига

В разделе

Оценка неизвестных параметров линейной модели

мы получили точечные оценки наклона

а

и сдвига

b

. Так как эти оценки получены на основе случайных величин (значений переменных Х и Y), то эти оценки сами являются случайными величинами и соответственно имеют функцию распределения со

средним значением

и

дисперсией

. Но, чтобы перейти от

точечных оценок

к

интервальным

, необходимо вычислить соответствующие

стандартные ошибки

(т.е.

стандартные отклонения

).

Стандартная ошибка коэффициента регрессии

a

вычисляется на основании

стандартной ошибки регрессии

по следующей формуле:

где Sx – стандартное отклонение величины х, вычисляемое по формуле:

где Sey –

стандартная ошибка регрессии,

т.е. ошибка предсказания значения переменой Y

(

см. выше

).

В MS EXCEL

стандартную ошибку коэффициента регрессии

Se можно вычислить впрямую по вышеуказанной формуле:

=

КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C23:C83; ТЕНДЕНЦИЯ(C23:C83;B23:B83;B23:B83)) /( СЧЁТ(B23:B83) -2))/  СТАНДОТКЛОН.В(B23:B83) /КОРЕНЬ(СЧЁТ(B23:B83) -1)

или с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);2;1)

Формулы приведены в

файле примера на листе Линейный

в разделе

Регрессионная статистика

.

Примечание

: Подробнее о функции

ЛИНЕЙН()

см.

эту статью

.

При построении

двухстороннего доверительного интервала

для

коэффициента регрессии

его границы определяются следующим образом:

где  —

квантиль распределения Стьюдента

с n-2 степенями свободы. Величина

а

с «крышкой» является другим обозначением

наклона

а

.

Например для

уровня значимости

альфа=0,05, можно вычислить с помощью формулы

=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;n-2)

Вышеуказанная формула следует из того факта, что если ошибки регрессии распределены нормально и независимо, то выборочное распределение случайной величины

является

t-распределением Стьюдента

с n-2 степенью свободы (то же справедливо и для наклона

b

).

Примечание

: Подробнее о построении

доверительных интервалов

в MS EXCEL можно прочитать в этой статье

Доверительные интервалы в MS EXCEL

.

В результате получим, что найденный

доверительный интервал

с вероятностью 95% (1-0,05) накроет истинное значение

коэффициента регрессии.

Здесь мы считаем, что

коэффициент регрессии

a

имеет

распределение Стьюдента

с n-2

степенями свободы

(n – количество наблюдений, т.е. пар Х и Y).

Примечание

: Подробнее о построении

доверительных интервалов

с использованием t-распределения см. статью про построение

доверительных интервалов

для среднего

.

Стандартная ошибка сдвига

b

вычисляется по следующей формуле:

В MS EXCEL

стандартную ошибку сдвига

Seb можно вычислить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);2;2)

При построении

двухстороннего доверительного интервала

для

сдвига

его границы определяются аналогичным образом как для

наклона

:

b

+/- t*Seb.

Проверка значимости взаимосвязи переменных

Когда мы строим модель Y=αX+β+ε мы предполагаем, что между Y и X существует линейная взаимосвязь. Однако, как это иногда бывает в статистике, можно вычислять параметры связи даже тогда, когда в действительности она не существует, и обусловлена лишь случайностью.

Единственный вариант, когда Y не зависит X (в рамках модели Y=αX+β+ε), возможен, когда

коэффициент регрессии

a

равен 0.

Чтобы убедиться, что вычисленная нами оценка

наклона

прямой линии не обусловлена лишь случайностью (не случайно отлична от 0), используют

проверку гипотез

. В качестве

нулевой гипотезы

Н

₀

принимают, что связи нет, т.е. a=0. В качестве альтернативной гипотезы

Н

₁

принимают, что a <>0.

Ниже на рисунках показаны 2 ситуации, когда

нулевую гипотезу

Н

₀

не удается отвергнуть.

На левой картинке отсутствует любая зависимость между переменными, на правой – связь между ними нелинейная, но при этом

коэффициент линейной корреляции

равен 0.

Ниже — 2 ситуации, когда

нулевая гипотеза

Н

₀

отвергается.

На левой картинке очевидна линейная зависимость, на правой — зависимость нелинейная, но коэффициент корреляции не равен 0 (метод МНК вычисляет показатели наклона и сдвига просто на основании значений выборки).

Для проверки гипотезы нам потребуется:

• Установить

  уровень значимости

  , пусть альфа=0,05;

• Рассчитать с помощью функции
  
  ЛИНЕЙН()
  
  стандартное отклонение
  
  Se для
  
  коэффициента регрессии
  
  (см.

  предыдущий раздел

  );

• Рассчитать число степеней свободы: DF=n-2 или по формуле =
  
  ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C24:C84;B24:B84;;ИСТИНА);4;2)
  
• Вычислить значение тестовой статистики t
  
  ₀
  
  =a/S
  
  _e
  
  , которая имеет

  распределение Стьюдента

  с
  
  числом степеней свободы
  
  DF=n-2;

• Сравнить значение
  
  тестовой статистики
  
  |t0| с пороговым значением t
  
  _альфа
  
  ,n-2. Если значение
  
  тестовой статистики
  
  больше порогового значения, то
  
  нулевая гипотеза
  
  отвергается (
  
  наклон
  
  не может быть объяснен лишь случайностью при заданном уровне альфа) либо
• вычислить
  
  p-значение
  
  и сравнить его с
  
  уровнем значимости
  
  .

В

файле примера

приведен пример проверки гипотезы:

Изменяя

наклон

тренда k (ячейка

В8

) можно убедиться, что при малых углах тренда (например, 0,05) тест часто показывает, что связь между переменными случайна. При больших углах (k>1), тест практически всегда подтверждает значимость линейной связи между переменными.

Примечание

: Проверка значимости взаимосвязи эквивалентна

проверке статистической значимости коэффициента корреляции

. В

файле примера

показана эквивалентность обоих подходов. Также проверку значимости можно провести с помощью

процедуры F-тест

.

Доверительные интервалы для нового наблюдения Y и среднего значения

Вычислив параметры

простой линейной регрессионной модели

Y=aX+β+ε мы получили точечную оценку значения нового наблюдения Y при заданном значении Хi, а именно: Ŷ=

a

* Хi +

b

Ŷ также является точечной оценкой для

среднего значения

Yi при заданном Хi. Но, при построении

доверительных интервалов

используются различные

стандартные ошибки

.

Стандартная ошибка

нового наблюдения Y при заданном Хi учитывает 2 источника неопределенности:

• неопределенность связанную со случайностью оценок параметров модели
  
  a
  
  и
  
  b
  
  ;
• случайность ошибки модели ε.

Учет этих неопределенностей приводит к

стандартной ошибке

S(Y|Xi), которая рассчитывается с учетом известного значения Xi.

где SS

_xx

– сумма квадратов отклонений от

среднего

значений переменной Х:

Примечание

: Se –

стандартная ошибка коэффициента регрессии

(

наклона

а

).

В

MS EXCEL 2010

нет функции, которая бы рассчитывала эту

стандартную ошибку

, поэтому ее необходимо рассчитывать по вышеуказанным формулам.

Доверительный интервал

или

Интервал предсказания для нового наблюдения

(Prediction Interval for a New Observation) построим по схеме показанной в разделе

Проверка значимости взаимосвязи переменных

(см.

файл примера лист Интервалы

). Т.к. границы интервала зависят от значения Хi (точнее от расстояния Хi до среднего значения Х

_ср

), то интервал будет постепенно расширяться при удалении от Х

_ср

.

Границы

доверительного интервала

для

нового наблюдения

рассчитываются по формуле:

Аналогичным образом построим

доверительный интервал

для

среднего значения

Y при заданном Хi (Confidence Interval for the Mean of Y). В этом случае

доверительный интервал

будет уже, т.к.

средние значения

имеют меньшую изменчивость по сравнению с отдельными наблюдениями (

средние значения,

в рамках нашей линейной модели Y=aX+β+ε, не включают ошибку ε).

Стандартная ошибка

S(Yср|Xi) вычисляется по практически аналогичным формулам как и

стандартная ошибка

для нового наблюдения:

Как видно из формул,

стандартная ошибка

S(Yср|Xi) меньше

стандартной ошибки

S(Y|Xi) для индивидуального значения

.

Границы

доверительного интервала

для

среднего значения

рассчитываются по формуле:

Проверка адекватности линейной регрессионной модели

Модель адекватна, когда все предположения, лежащие в ее основе, выполнены (см. раздел

Предположения линейной регрессионной модели

).

Проверка адекватности модели в основном основана на исследовании остатков модели (model residuals), т.е. значений ei=yi – ŷi для каждого Хi. В рамках

простой линейной модели

n остатков имеют только n-2 связанных с ними

степеней свободы

. Следовательно, хотя, остатки не являются независимыми величинами, но при достаточно большом n это не оказывает какого-либо влияния на проверку адекватности модели.

Чтобы проверить предположение о

нормальности распределения

ошибок строят

график проверки на нормальность

(Normal probability Plot).

В

файле примера на листе Адекватность

построен

график проверки на нормальность

. В случае

нормального распределения

значения остатков должны быть близки к прямой линии.

Так как значения переменной Y мы

генерировали с помощью тренда

, вокруг которого значения имели нормальный разброс, то ожидать сюрпризов не приходится – значения остатков располагаются вблизи прямой.

Также при проверке модели на адекватность часто строят график зависимости остатков от предсказанных значений Y. Если точки не демонстрируют характерных, так называемых «паттернов» (шаблонов) типа вор

о

нок или другого неравномерного распределения, в зависимости от значений Y, то у нас нет очевидных доказательств неадекватности модели.

В нашем случае точки располагаются примерно равномерно.

Часто при проверке адекватности модели вместо остатков используют нормированные остатки. Как показано в разделе

Стандартная ошибка регрессии

оценкой

стандартного отклонения ошибок

является величина SEy равная квадратному корню из величины MSE. Поэтому логично нормирование остатков проводить именно на эту величину.

SEy можно вычислить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3;2)

Иногда нормирование остатков производится на величину

стандартного отклонения

остатков (это мы увидим в статье об инструменте

Регрессия

, доступного в

надстройке MS EXCEL Пакет анализа

), т.е. по формуле:

Вышеуказанное равенство приблизительное, т.к. среднее значение остатков близко, но не обязательно точно равно 0.

Одним из самых распространенных методов, применяемых в статистике для изучения данных, является корреляционный анализ, с помощью которого можно определить влияние одной величины на другую. Давайте разберемся, каким образом данный анализ можно выполнить в Экселе.

Назначение корреляционного анализа

Корреляционный анализ позволяет найти зависимость одного показателя от другого, и в случае ее обнаружения – вычислить коэффициент корреляции (степень взаимосвязи), который может принимать значения от -1 до +1:

• если коэффициент отрицательный – зависимость обратная, т.е. увеличение одной величины приводит к уменьшению второй и наоборот.
• если коэффициент положительный – зависимость прямая, т.е. увеличение одного показателя приводит к увеличению второго и наоборот.

Сила зависимости определяется по модулю коэффициента корреляции. Чем больше значение, тем сильнее изменение одной величины влияет на другую. Исходя из этого, при нулевом коэффициенте можно утверждать, что взаимосвязь отсутствует.

Выполняем корреляционный анализ

Для изучения и лучшего понимания корреляционного анализа, давайте попробуем его выполнить для таблицы ниже.

Здесь указаны данные по среднесуточной температуре и средней влажности по месяцам года. Наша задача – выяснить, существует ли связь между этими параметрами и, если да, то насколько сильная.

Метод 1: применяем функцию КОРРЕЛ

В Excel предусмотрена специальная функция, позволяющая сделать корреляционный анализ – КОРРЕЛ. Ее синтаксис выглядит следующим образом:

КОРРЕЛ(массив1;массив2).

Порядок действий при работе с данным инструментом следующий:

1. Встаем в свободную ячейку таблицы, в которой планируем рассчитать коэффициент корреляции. Затем щелкаем по значку “fx (Вставить функцию)” слева от строки формул.
2. В открывшемся окне вставки функции выбираем категорию “Статистические” (или “Полный алфавитный перечень”), среди предложенных вариантов отмечаем “КОРРЕЛ” и щелкаем OK.
3. На экране отобразится окно аргументов функции с установленным курсором в первом поле напротив “Массив 1”. Здесь мы указываем координаты ячеек первого столбца (без шапки таблицы), данные которого требуется проанализировать (в нашем случае – B2:B13). Сделать это можно вручную, напечатав нужные символы с помощью клавиатуры. Также выделить требуемый диапазон можно непосредственно в самой таблице с помощью зажатой левой кнопки мыши. Затем переходим ко второму аргументу “Массив 2”, просто щелкнув внутри соответствующего поля либо нажав клавишу Tab. Здесь указываем координаты диапазона ячеек второго анализируемого столбца (в нашей таблице – это C2:C13). По готовности щелкаем OK.
4. Получаем коэффициент корреляции в ячейке с функцией. Значение “-0,63” свидетельствует об умеренно-сильной обратной зависимости между анализируемыми данными.

Метод 2: используем “Пакет анализа”

Альтернативным способом выполнения корреляционного анализа является использование “Пакета анализа”, который предварительно нужно включить. Для этого:

1. Заходим в меню “Файл”.
2. В перечне слева выбираем пункт “Параметры”.
3. В появившемся окне кликаем по подразделу “Надстройки”. Затем в правой части окна в самом низу для параметра “Управление” выбираем “Надстройки Excel” и щелкаем “Перейти”.
4. В открывшемся окошке отмечаем “Пакет анализа” и подтверждаем действие нажатием кнопки OK.

Все готово, “Пакет анализа” активирован. Теперь можно перейти к выполнению нашей основной задачи:

1. Нажимаем кнопку “Анализ данных”, которая находится во вкладке “Данные”.
2. Появится окно, в котором представлен перечень доступных вариантов анализа. Отмечаем “Корреляцию” и щелкаем OK.
3. На экране отобразится окно, в котором необходимо указать следующие параметры:
   • “Входной интервал”. Выделяем весь диапазон анализируемых ячеек (т.е. сразу оба столбца, а не по одному, как это было в описанном выше методе).
   • “Группирование”. На выбор предложено два варианта: по столбцам и строкам. В нашем случае подходит первый вариант, т.к. именно подобным образом расположены анализируемые данные в таблице. Если в выделенный диапазон включены заголовки, следует поставить галочку напротив пункта “Метки в первой строке”.
   • “Параметры вывода”. Можно выбрать вариант “Выходной интервал”, в этом случае результаты анализа будут вставлены на текущем листе (потребуется указать адрес ячейки, начиная с которой будут выведены итоги). Также предлагается вывод результатов на новом листе или в новой книге (данные будут вставлены в самом начале, т.е. начиная с ячейки A1). В качестве примера оставляем “Новый рабочий лист” (выбран по умолчанию).
   • Когда все готово, щелкаем OK.
4. Получаем тот же самый коэффициент корреляции, что и в первом методе. Это говорит о том, что в обоих случаях мы все сделали верно.

Заключение

Таким образом, выполнение корреляционного анализа в Excel – достаточно автоматизированная и простая в освоении процедура. Все что нужно знать – где найти и как настроить необходимый инструмент, а в случае с “Пакетом решения”, как его активировать, если до этого он уже не был включен в параметрах программы.