Как найти собственные значения матрицы в excel - Word и Excel

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

	Собственные значения матрицы 02.09.2013, 23:51
02/09/13 6	Помогите, пожалуйста! Объясните попроще, как с помощью эксель рассчитать собственные значения матрицы. Прочитала уже много, но не понимаю, как делать. До этого делала через поиск решения, так он выдает только одно число (определитель) и дальше не хочет ничего считать. Может, я что-то не правильно делаю… Еще особенность: матрица очень большая: 32 на 32

ИСН

Re: Собственные значения матрицы

03.09.2013, 00:26

Заслуженный участник

18/05/06
13406
с Территории

C чего Вы взяли, что они в нём есть? По-моему, Excel только определитель и умеет — функция MDETERM() или МОПРЕД().

— менее минуты назад —

(только дошло) Или речь идёт про какой-нибудь сложный алгоритм действий руками, в котором Excel выполняет фактически роль калькулятора?

piligrim07	Re: Собственные значения матрицы 03.09.2013, 00:38
02/09/13 6	Да! Просто чтобы упростить расчеты, вручную такой объем не рассчитаешь…

Евгений Машеров

Re: Собственные значения матрицы

03.09.2013, 06:42

Заслуженный участник

11/03/08
8714
Москва

Сложность задачи нахождения с.з. кубическая, так что даже с «Экселем-калькулятором» трудоёмкость запредельна.
Варианты:
А. Вам нужны все с.з. (и, возможно, с.в.)
— воспользуйтесь существующими математическими программами (а также статистическими, некоторые рассчитывают с.з. в ходе, скажем, реализации метода главных компонент)
— если какой-то извращенец требует только Excel — пишите программу на VB. Скорее всего метода Якоби, программа короче будет.
В. Вам нужно одно с.з., самое большое (и его с.в. — даже если не нужен — он сам получится).
— вот тут можно и Excel. Итерации по схеме $x_{n+1}=Ax_n$ , с произвольным начальным значением вектора х и нормализацией на каждом шаге. После сходимости с.з. получается, как отношение норм векторов.

ewert

Re: Собственные значения матрицы

03.09.2013, 07:56

Заслуженный участник

11/05/08
32160

После сходимости с.з. получается, как отношение норм векторов.

Ну аккуратнее всё-таки — вдруг ТС буквально это поймёт.

Pavia	Re: Собственные значения матрицы 03.09.2013, 08:04
31/10/08 1244	Сложность задачи нахождения с.з. кубическая Почему кубическая?!

ewert

Re: Собственные значения матрицы

03.09.2013, 08:37

Заслуженный участник

11/05/08
32160

Почему кубическая?!

Так природа захотела; почему — не наше дело. Другой вопрос, что (говоря формально) сложность вообще бесконечна, т.е. в замкнутой форме решить задачу невозможно, а можно лишь приближённо, причём алгоритмы в любом варианте довольно сложны. Однако для исчерпания машинной точности действительно достаточно операций.

Евгений Машеров

Re: Собственные значения матрицы

03.09.2013, 10:44

Заслуженный участник

11/03/08
8714
Москва

После сходимости с.з. получается, как отношение норм векторов.

Ну аккуратнее всё-таки — вдруг ТС буквально это поймёт.

Ну, я надеюсь, что либо моё сообщение его просто наведёт на мысль прочесть про этот метод, либо попросит уточнений здесь, а не кинется делать сразу.

— 03 сен 2013, 11:03 —

Сложность задачи нахождения с.з. кубическая

Почему кубическая?!

Ну, строго говоря, там бесконечный итеративный процесс. И оценки такого вида возможны лишь для отдельных этапов вычислений. Скажем, приведение к трёхдиагональному , а последующий расчёт QR-алгоритмом или делением пополам теоретически бесконечен. Но реально удовольствуются получением заданной точности. И для того же деления пополам при трёхдиагональной матрице получается и вовсе квадратично по n (и коэффициент, зависящий от точности).

piligrim07	Re: Собственные значения матрицы 03.09.2013, 22:16
02/09/13 6	Спасибо за помощь! Мне нужно сделать анализ методом главных компонент. Вручную невозможно. Пыталась с помощью надстройки Хемометрика в экселе, тоже не считается. В чем моя ошибка?

provincialka

Re: Собственные значения матрицы

03.09.2013, 22:28

Заслуженный участник

18/01/13
12041
Казань

Может, помощнее средство взять? Я последние пару лет работаю со статистическим языком R, там эти главные компоненты находятся одной строкой.

Вот кусок кода с комментариями:

Код:

#——————————————————————————————
# применение метода главных компонент
prcomp(metal)->f; f$rotation->a # вычисление матрицы вращения
nov<- as.matrix(metal)%*%a # выполнение вращения

Здесь $metal$ — исходная матрица размером , $nov$ — новые компоненты тех же 9 объектов.

Евгений Машеров

Re: Собственные значения матрицы

04.09.2013, 08:45

Заслуженный участник

11/03/08
8714
Москва

Я думаю, что предел возможностей Excel, как таблицы — нахождение первой ГК. Степенным методом. Умножить матрицу на (вначале произвольный) вектор Х, затем вычислить норму полученного вектора, поделить на неё этот вектор и вновь подставить его в качестве вектора Х, пока не сойдётся (что, вообще говоря, не гарантировано, но получается почти всегда). Полученный вектор будет собственным, а вычисленная норма равна старшему собственному значению (которому соответствует вектор).
В принципе можно вычесть из корреляционной матрицы составляющую, соответствующую данным с.з. и с.в., и повторить для остатка. Но тут может накапливаться ошибка. Вторую и даже третью ГК, впрочем, для данной размерности можно надеяться получить достаточно точно.
Ну, можно Excel употребить, как субстрат, на котором растёт Visual Basic, и написать на нём (VB) программу расчёта (медленность счёта тут будет некритична). Роль Excel тут всё же несколько превысит роль топора в солдатском супе, он упростит ввод данных. Но и только.
А вообще — используйте специализированные статистические пакеты.

piligrim07	Re: Собственные значения матрицы 17.09.2013, 17:37
02/09/13 6	Всем большое спасибо за оказанную помощь и поддержку. В итоге решила обрабатывать с помощью программы Statistica. Возник следующий вопрос: как задать в ней зависимый параметр? Задача состоит в том, чтобы узнать, как различные факторы влияют на рост растений. Но программа воспринимает рост как один из факторов, а не зависимую величину. Подскажите, в чем моя ошибка и как можно это исправить.

Евгений Машеров

Re: Собственные значения матрицы

17.09.2013, 19:54

Заслуженный участник

11/03/08
8714
Москва

А может, Вам вообще нужен регрессионный анализ?

piligrim07	Re: Собственные значения матрицы 17.09.2013, 21:30
02/09/13 6	Регрессионный уже сделала. Нужен именно факторный

provincialka

Re: Собственные значения матрицы

17.09.2013, 21:35

Заслуженный участник

18/01/13
12041
Казань

А зачем? Как он выявляет зависимости? В крайнем случае, попробуйте найти главные компоненты без учёта параметра «рост».

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Источник

Собственные числа матрицы. Примеры решений

Пример 1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение находим с помощью калькулятора. Составим характеристическое уравнение:

Отсюда собственные числа данной матрицы: λ₁=-1, λ₂=7
Найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям
Подставим собственное число λ₁=-1 в систему однородных уравнений (A-λE)X=0 и найдем ее нетривиальное решение.

Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (n—r)=1 решение. Пусть x₂=1, тогда x₁=-1. Получаем собственный вектор

Рассмотрим собственное значение λ₂=7

Положим x₂=1, тогда x₁=1. Получаем собственный вектор

Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Собственные числа данной матрицы: λ_1,2=3, λ₃=6
Найдем собственные векторы, соответствующие λ=3.

Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (n—r)=3-1=2 решения. Зададим два набора значений свободных переменных и составим два собственных вектора

Найдем собственные векторы, соответствующие λ=6.

Ранг матрицы r=2 , ФСР содержит (n—r)=3-1=1 решение. Зададим значение свободной переменной и составим собственный вектор

Перейти к онлайн решению своей задачи

Argument ‘Topic id’ is null or empty

Использование любых материалов сайта
допускается строго с указанием прямой ссылки на источник, упоминанием
названия сайта, имени автора и неизменности исходного текста
и иллюстраций.

ИП Павлов Николай Владимирович
ИНН 633015842586
ОГРН 310633031600071

Источник

1 / 1 / 2

Регистрация: 21.02.2010

Сообщений: 62

Собственные значения матрицы

17.11.2011, 11:29. Показов 8726. Ответов 3

Всем добрый день
Есть такой вопрос, можно ли средствами MS Excel (конкретно 2010-го) вычислить собственные значения матрицы (конкретно размером 2х2, 3х3, и 4х4)?
Заранее всем спасибо.

956 / 596 / 11

Регистрация: 11.06.2010

Сообщений: 1,345

17.11.2011, 12:25

Здравствуйте.

Не помню что такое «собственные значения матрицы».
Приведите пример матрицы и тот результат, который должен получится.

1 / 1 / 2

Регистрация: 21.02.2010

Сообщений: 62

17.11.2011, 13:37

[ТС]

Пример вычисления собственных чисел:

Комментарий модератора

Ссылка удалена администрацией. Читаем правила. При повторном нарушении будет бан.

(там 2х2 матрица)

956 / 596 / 11

Регистрация: 11.06.2010

Сообщений: 1,345

17.11.2011, 14:26

Сообщение от Drozd Oleg

Пример вычисления…

Мне не нужен пример вычисления. Я не собираюсь становится математиком, что бы помочь Вам.

Мне нужны

Сообщение от Serge 007

пример матрицы и тот результат, который должен получится.

Источник

4. Собственные векторы и собственные значения матрицы

Пусть A — числовая квадратная матрица n-го порядка:

	a		a	.	a
	11		12			1n
A			a22	.
a21	a2n
	.		.	.		.
			a		.	a
	a	n1	n2
					nn

Матрица A – E, где E — единичная матрица (все диагональные элементы равны 1, а остальные 0) n-го порядка, называется характеристической для A, а ее определитель

A( ) = det(A – E) характеристическим многочленом матрицы A:

a			a		.		a
	11				12				1n
	a		a			.		a
A E		21		22					2n	(2)
				.	.			.
.
	a			a		.	a

		n1			n2			nn

Характеристическая матрица — это λ — матрица. Нетрудно заметить, что степень характеристического многочлена равна порядку n характеристической матрицы.

Ненулевой столбец, удовлетворяющий условию:

	x
		1

x	x2		,	Ax x.	(3)
	.

	x
		n

называется собственным вектором матрицы A. Число в равенстве (3) называется собственным значением матрицы A. Говорят, что собственный вектор x соответствует (принадлежит) собственному значению .

Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. Определение (3) можно записать в виде (A – E) x = 0. Таким образом, условие

(3) представляет собой однородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2, …, xn:

(a11 )x1	a12 x2	.	a1n xn		0,
	a21x1	(a22 )x2	.	a2n xn		0,

		.			.		.		.		(4)


	a	x	a		x		. (a	)x		0.
	n2	2	nn	n
		n1 1

Поскольку нас интересуют только нетривиальные решения (x 0) однородной системы, то определитель матрицы системы должен быть равен нулю:

a				a		.		a				a		a		.		a

	11				12				1n			11				12				1n
a		a			.		a				a		a			.		a
det			21		22					2n				21		22					2n	0. (5)
					.	.			.		.			.	.			.
.
		a			a		.	a					a			a		.	a

			n1			n2			nn					n1			n2			nn

В противном случае система имеет единственное тривиальное решение. Таким образом, задача нахождения собственных значений матрицы свелась к решению уравнения (5), т.е. к отысканию корней характеристического многочлена A( ) = det(A –E) матрицы A.

Уравнение A( ) = det(A – E) = 0 называется характеристическим уравнением

матрицы A. Так как характеристический многочлен имеет n-ю степень, то характеристическое уравнение — это алгебраическое уравнение n-го порядка.

Характеристический многочлен можно представить в виде:

A( ) = det(A – E) = an ( – 1)n1 ( – 2)n2 …( – k)nk ,

(6)

где 1, 2, …, k — корни многочлена кратности n1, n2, …, nk соответственно, причем n1 + n2 +…+ nk = n. Другими словами, характеристический многочлен имеет n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Теорема о собственных значениях матрицы. Все корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (5)) и только они являются собственными значениями матрицы.

Действительно, если число — собственное значение матрицы A, которому соответствует собственный вектор x 0, то однородная система (4) имеет нетривиальное решение, следовательно, матрица системы вырожденная, т.е. число удовлетворяет характеристическому уравнению (5). Наоборот, если — корень характеристического многочлена, то определитель (5) матрицы однородной системы (4) равен нулю, т.е. rg(A – E) < n. В этом случае система имеет бесконечное множество решений, включая ненулевые решения. Поэтому найдется столбец x 0, удовлетворяющий условию (4). Значит, — собственное значение матрицы A.

Литература

1.Николаева С.В. Решение математических задач в Excel: лабораторный практикум для обучающихся всех направлений бакалавриата. — М.: МГУТУ, 2014. – 56 с.

2.Интернет-ресурс: http://mathhelpplanet.com/static.php?p=sobstvennye-vektory-i- sobstvennye-znacheniya-matritsy.

Телефоны кафедры Информационных технологий МГУТУ им. К.Г. Разумовского

(факс) 8(495) 670-66-00; 8(495) 678-25-34; Email – kit2202@yandex.ru

Сайт кафедры – kafedrait.com

____________________________________________________________

Краснов Андрей Евгеньевич, Николаева Светлана Владимировна, Феоктистова Наталия Владимировна

Информационные технологии обработки многомерных данных в Excel:

лабораторный практикум

Источник

ГЛАВНАЯ

ТРЕНИНГИ

   Быстрый старт
   Расширенный Excel
   Мастер Формул
   Прогнозирование
   Визуализация
   Макросы на VBA

КНИГИ

   Готовые решения
   Мастер Формул
   Скульптор данных

ВИДЕОУРОКИ

ПРИЕМЫ

   Бизнес-анализ
   Выпадающие списки
   Даты и время
   Диаграммы
   Диапазоны
   Дубликаты
   Защита данных
   Интернет, email
   Книги, листы
   Макросы
   Сводные таблицы
   Текст
   Форматирование
   Функции
   Всякое
PLEX

   Коротко
   Подробно
   Версии
   Вопрос-Ответ
   Скачать
   Купить

ПРОЕКТЫ

ОНЛАЙН-КУРСЫ

ФОРУМ

   Excel
   Работа
   PLEX

Использование любых материалов сайта допускается строго с указанием прямой ссылки на источник, упоминанием названия сайта, имени автора и неизменности исходного текста и иллюстраций.

Техническая поддержка сайта

ООО «Планета Эксел»

ИНН 7735603520

ОГРН 1147746834949

ИП Павлов Николай Владимирович
ИНН 633015842586
ОГРНИП 310633031600071

Источник