Как найти решение системы линейных уравнений в excel

Помогла ли Вам статья?

Возможно вы слышали о нобелевском лауреате, психологе и исследователе по имени Дэниель Канеман. Канеман занимался наукой, которую называют термином «поведенческая экономика», т.е. изучал реакции, поведение и суждения людей в типовых жизненных (и экономических) ситуациях и условиях неопределенности.

В его книге, которая называется «Думай медленно — решай быстро» (очень рекомендую, кстати) в качестве одного из примеров когнитивных искажений — несознательной автоматической реакции — приводится следующая задача:

Бейсбольная бита и мяч стоят вместе 1 доллар 10 центов.
Бита дороже мяча на 1 доллар.
Сколько стоит мяч?

Подозреваю, что вашей первой рефлекторной мыслью, скорее всего, будет «10 центов!»  Но весьма скоро, я уверен, вы сообразите, что на самом деле всё не так примитивно и для получения ответа нужно решить простую систему уравнений (здесь b — это бита, а m — это мяч):

Конечно можно «тряхнуть стариной» и решить всё вручную на бумажке через подстановку переменных — как-то так:

Но, во-первых, на практике уравнения могут быть сложнее и переменных может оказаться сильно больше двух и, во-вторых, у нас с вами есть Microsoft Excel — универсальный мега-инструмент, величайшее изобретение человечества. Так что давайте-ка лучше разберём как решить нашу задачу с его помощью.

Способ 1. Матричные функции МУМНОЖ и МОБР

Само собой, изобретать велосипед тут не надо — прогрессивное человечество в лице математиков давным-давно придумало кучу способов для решения подобных задач. В частности, если уравнения в нашей системе линейные (т.е. не используют степени, логарифмы, тригонометрические функции типа sin, cos и т.д.), то можно использовать метод Крамера.

Сначала записываем числовые коэффициенты, стоящие перед нашими переменными в виде матрицы (в нашем случае — размером 2х2, в общем случае — может быть и больше).

Затем находим для неё так называемую обратную матрицу , т.е. матрицу, при умножении которой на исходную матрицу коэффициентов получается единица. В Excel это легко сделать с помощью стандартной математической функции МОБР (MINVERSE):

Здесь важно отметить, что если у вас свежая версия Excel 2021 или Excel 365, то достаточно ввести эту функцию обычным образом в первую ячейку (G7) — сразу получится динамический массив с обратной матрицей 2х2. Если же у вас более старая версия Excel, то эту функцию нужно обязательно вводить как формулу массива, а именно:

1. Выделить диапазон для результатов — G7:H8
2. Ввести функцию =МОБР(B7:C8) в строку формул
3. Нажать на клавиатуре сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter

Замечательное свойство обратной матрицы состоит в том, что если умножить её на значения правых частей наших уравнений (свободные члены), то мы получим значения переменных, при которых левые и правые части уравнений будут равны, т.е. решения нашей задачи. Выполнить такое матричное умножение можно с помощью ещё одной стандартной экселевской функции МУМНОЖ (MMULT):

Если у вас старая версия Excel, то не забудьте также ввести её в режиме формулы массива, т.е. сначала выделить диапазон K7:K8, а после ввода функции нажать сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Само собой, уравнений и переменных может быть больше, да и посчитать всё можно сразу в одной формуле, вложив используемые функции одна в другую:

Не так уж и сложно, правда? Однако надо понимать, что этот метод подходит только для решения систем линейных уравнений. Если у вас в уравнениях используются функции посложнее четырех базовых математических действий, то зачастую проще будет пойти другим путем — через подбор.

Способ 2. Подбор надстройкой «Поиск решения» (Solver)

Принципиально другой способ решения подобных задач — это итерационные методы, т.е. последовательный подбор значений переменных, чтобы после подстановки их в наши уравнения мы получили верные равенства. Само собой, подбор имеется ввиду не тупой и долгий (брутфорс), а умный и быстрый, благо математики, опять же, давным-давно придумали кучу различных методов для решения таких задач буквально за несколько итераций.

В Microsoft Excel некоторые из этих методов реализованы в стандартной надстройке Поиск решения (Solver). Её можно подключить через Файл — Параметры — Надстройки — Перейти (File — Options — Add-ins — Go to) или на вкладке Разработчик — Надстройки (Developer — Add-ins). 

Давайте рассмотрим её использование на следующей задаче. Предположим, что нам с вами нужно решить вот такую систему из двух нелинейных уравнений:

Подготавливаем основу для оптимизации в Excel:

Здесь:

• В жёлтых ячейках C9:C10 лежат текущие значения наших переменных, которые и будут подбираться в процессе оптимизации. В качестве стартовых можно взять любые значения, например, нули или единицы — роли не играет. Для удобства, кстати, этим ячейкам можно дать имена, назвав их именами переменных x и y, — для этого выделите диапазон C9:C10 и выберите команду Формулы — Создать из выделенного — Слева (Formulas — Create from selection — Left column). 
• В зелёных ячейках E9:E10 введены наши уравнения с использованием либо прямых ссылок на жёлтые ячейки переменных, либо созданных имён (так нагляднее). В результате мы видим, чему равны наши уравнения при текущих значениях переменных.
• В синих ячейках F9:F10 введены значения правых частей наших уравнений, к которым мы должны стремиться.

Теперь запускаем нашу надстройку на вкладке Данные — Поиск решения (Data — Solver) и вводим в появившемся диалоговом окне следующие параметры:

• Оптимизировать целевую функцию (Set target cell) — любая из двух наших зелёных ячеек с уравнениями, например E9.
• Изменяя ячейки переменных (By changing cells) — жёлтые ячейки с текущими значениями переменных, которыми мы «играем».
• Добавляем ограничение с помощью кнопки Добавить (Add) и задаём равенство левой и правой части наших уравнений, т.е. зелёного и голубого диапазонов.
• В качестве метода решения выбираем Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ, т.к. уравнения у нас нелинейные. Для линейных можно смело выбирать симплекс-метод.

Обратите внимание, что поскольку мы здесь используем итерационные, а не аналитические методы, то зеленые ячейки не совсем равны голубым, т.е. найденное решение не абсолютно точно. На практике, конечно же, такой точности вполне достаточно для большинства задач, и если необходимо, её можно настроить, вернувшись в окно Поиск решения и нажав кнопку Параметры (Options).

Решение СЛАУ в MS EXCEL

С системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) часто приходится сталкиваться не только в курсе математики. Их решение пригодится в других науках, например, физике или химии.

Систему из двух уравнений часто можно решить способом подстановки. Системы трех и более уравнений приходится решать другими способами. К ним относятся:

• метод обратной матрицы;
• метод Крамера;
• метод Гаусса.

В общем виде систему линейных уравнений можно представить в виде:
A⋅X=BAcdot X = B,

где AA – матрица коэффициентов;

XX – вектор-столбец неизвестных;

BB – вектор-столбец свободных коэффициентов.

Мы рассмотрим решение одной и той же простой системы уравнений первыми двумя способами, чтобы сравнить результаты. Если при решении разными способами ответы будут совпадать, значит СЛАУ решена верно.

Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы (матричный метод) используется для квадратных матрицы, чей определитель равен нулю.

Для того чтобы найти корни уравнения этим способом, в первую очередь находят обратную матрицу, которую перемножают на свободные коэффициенты. Рассмотрим, как это будет выглядеть в MS Excel.

Возьмем для примера матрицу (рис.1):

Рисунок 1

Запишем нашу систему уравнений в следующем виде (рис.2):

Рисунок 2

Скопируем матрицу коэффициентов и таблицу свободных коэффициентов в Excel (рис.3):

Рисунок 3

Для нахождения обратной матрицы выделяем нужные ячейки, в которых будет новая матрица, в строке формул пишем функцию «=мобр» и указываем в скобках массив матрицы, для которой мы и находим обратную матрицу. В нашем случае это будет «=мобр(C2:E4)». После этого нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter (рис.4):

Рисунок 4

После этого в каждой ячейке формула будет записана в фигурных скобках.

Для нахождения неизвестных необходимо перемножить обратную матрицу и свободные коэффициенты. Делается это так же, как и нахождение обратной матрицы: выделяем ячейки, куда будут записаны ответы, в строке формул записываем функцию «=мумнож», в скобках указываем массив матрицы и вектор свободных коэффициентов. В нашем случае это будет выглядеть «=мумнож(C7:E9;F2:F4)»:

Рисунок 5

Для тренировки можно скачать файл с данным примером и подставить другие значения. Таким же способом решают СЛАУ из 4, 5 и более уравнений.

Если тема осталась для вас непонятной, изучайте подробно матрицы и методы работы с ними в этой статье с пошаговым разбором.

Метод Крамера

Метод Крамера несколько отличается от предыдущего. Для этого нам нужно найти определитель основной матрицы, после чего в матрице коэффициентов каждый столбец заменить на вектор свободных коэффициентов и для полученных таблиц найти определитель. Рассмотрим наглядно это на рисунке 6:

Рисунок 6

Для каждой матрицы находим определитель с помощью функции «МОПРЕД». Корнями системы уравнений будут частные определителя основной и новых матриц (рис.7):

Рисунок 7

Такими простыми способами можно решать системы линейных квадратных уравнений.

Тест по теме «Решение СЛАУ в MS Excel»

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х² + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.



2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.



3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».



Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

1. Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.



2. Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.



3. Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.



4. Умножим обратную матрицу Ах^-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.



5. Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.



2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.



3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.



4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.



5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х³ + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Х_n+1 = X_n– F (X_n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х³ – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

Решим Систему Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы в MS EXCEL. В этой статье нет теории, объяснено только как выполнить расчеты, используя MS EXCEL.

Решим систему из 3-х линейных алгебраических уравнений с помощью

обратной матрицы

(матричным методом).

СОВЕТ

: Решение СЛАУ методом Крамера приведено в статье

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Крамера в MS EXCEL

.

Запишем в ячейки основную матрицу системы и столбец свободных членов.

Систему

n

линейных алгебраических уравнений с

n

неизвестными можно решать матричным методом только тогда, когда

определитель основной матрицы

системы отличен от нуля (в противном случае мы имеем линейно зависимые уравнения и соответственно решение систем не единственное). В нашем случае определитель =12.

Вычислим

обратную матрицу

с помощью

формулы массива

МОБР()

.

Для этого выделите ячейки

A18:C20

, а в

Строке формул

введите

=МОБР(A11:C13)

, затем нажмите

CTRL+SHIFT+ENTER

.

Решение системы уравнений получим умножением обратной матрицы и столбца свободных членов.

Перемножить матрицы

можно с помощью

формулы массива

=МУМНОЖ()

.

Для этого выделите ячейки

F18:F20

, а в

Строке формул

введите

=МУМНОЖ(A18:C20;F11:F13)

, затем нажмите

CTRL+SHIFT+ENTER

.

В

файле примера

также приведено решение системы 4-х и 5-и уравнений.

Рассмотрим
использование метода «Поиск решения…»
на исходных данных представленных на
рис. 4.1.

Для использования
метода «Поиск решения…» необходимо
свести задачу решения СЛАУ к задаче
оптимизации. Введем целевую функцию
вида

, (4.4)

где b_i
– i-й
элемент вектора свободных членов СЛАУ;

a_i,j
– i,
j-й
элемент матрицы коэффициентов СЛАУ;

x_j
– j-й
элемент вектора решения СЛАУ;

n
– количество уравнений в СЛАУ.

Ограничений на
вектор решения X
накладывать не будем.

Тогда математически
задачу поиска вектора решения СЛАУ X
можно записать

. (4.5)

Подобная задача
(4.5) легко решается использованием метода
«Поиск решения…» MS
Excel
(см. рис. 4.2) следующим образом:

• обнуляем ячейки
  (B29:B32),
  в которых будем формировать вектор
  решения СЛАУ X;

• для ячейки G30
  в строке формул
  запишем

  =(B15-МУМНОЖ(B10:E10;B29:B32))^2+(B16-МУМНОЖ(B11:E11;B29:B32))^2+(B17-МУМНОЖ(B12:E12;B29:B32))^2+(B18-МУМНОЖ(B13:E13;B29:B32))^2
  (см. 4.5)

  правую
  часть целевой функции (4.4) для исходных
  данных нашей задачи;

Рис. 4.2. Решение
СЛАУ, используя метод «Поиск
решения…»

(пункт главного меню
«Сервис») MS
Excel

• в пункте главного
  меню MS
  Excel
  «Сервис»
  выбираем подпункт «Поиск решения…»
  (см. рис. 4.3).

При открытии окна
«Поиск решения» напротив метки
«Установить целевую ячейку:» будет
отражен адрес активной ячейки (ячейки,
в которой был установлен курсор при
открытии окна). В ячейке $G$30
(G30)
должна быть записана формула вычисления
правой части целевой функции (4.4). Также
в окне «Поиск решения» ниже метки
«Изменяя ячейки:» необходимо задать
адрес вектора решения СЛАУ X
($B$29:$B$32)
(B29:B32).
Адреса целевой ячейки и вектора решения
СЛАУ можно формировать в режиме
конструктора. Для этого необходимо
поместить курсор в ячейку формирования
соответствующего адреса и на листе MS
Excel
выделить ячейку или массив ячеек;

• нажать кнопку
  «Выполнить». После чего появится
  окно «Результаты поиска решения»
  и в ячейках (B29:B32)
  сформируется вектор решения СЛАУ X.

Рис. 4.3. Окно “Поиск
решения…”

Лист MS
Excel,
представленный на рис. 4.2 позволяет
получить вектор решения для любой СЛАУ,
состоящей из четырех уравнений. Описанная
технология решения СЛАУ легко позволяет
решить задачу любой размерности (для
любого количества уравнений в СЛАУ).

4.3. Решение слау методом Крамера (методом определителей)

СЛАУ из n
уравнений задается матрицей коэффициентов
СЛАУ A
и вектором свободных членов СЛАУ B.

;

,

где a_i,j
– i,
j-й
элемент матрицы коэффициентов СЛАУ;

b_i
– i-й
элемент вектора свободных членов СЛАУ.

Суть метода Крамера
в следующем: сначала вычисляется
определитель матрицы коэффициентов
СЛАУ

,

за тем вычисляются
еще n
определителей

,
,…,
,

т.е. определитель

вычисляется для матрицы, полученной из
матрицы коэффициентов СЛАУ путем замены
j-го
столбца матрицы коэффициентов СЛАУ
вектором свободных членов СЛАУ.

Тогда элементы
вектора решения СЛАУ x_j,
j
= 1, …, n
определяются по формуле

.

В MS
Excel
существует формула
=МОПРЕД(левый_верхний_элемент_исходной_матрицы:
правый_нижний_элемент_исходной_матрицы)
для вычисления значений определителей
квадратных матриц.

Решение СЛАУ
методом Крамера (методом определителей)
представлено на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Решение
СЛАУ методом Крамера

Строки с 1 по 25 на
рис. 4.4 не показаны, потому что они
полностью совпадают с соответствующими
строками рис. 4.1, 4.2.

Необходимо
сформировать матрицы для вычисления
определителей ,
_X1,
_X2,
_X3
в ячейках (B27:E30),
(B32:E35),
(B37:E40),
(B42:E45),
(B47:E50),
соответственно. Алгоритм формирования
матриц для вычисления определителей
представлен в табл. 4.2.

Табл. № 4.2

Алгоритм формирования
матриц для вычисления определителей

Алгоритм вычисления
определителей представлен в табл. 4.3.

Табл. № 4.3

Алгоритм вычисления
определителей

Возможно вычисление
определителей в режиме конструктора.
Для этого необходимо выделить ячейку,
в которой вычисляется определитель,
например, G28
и щелкнуть по пиктограмме MS
Excel

,
за тем в группе “Математические”
выбрать функцию МОПРЕД и нажать кнопку
“OK”.
После появления окна “Аргументы функции”
выделить (при нажатой левой кнопки
манипулятора мышь) элементы исходной
матрицы, например, ячейки (B27:E30)
и нажать кнопку “OK”.

Вектор решения
СЛАУ X
определяется в строке 53. Алгоритм
формирования вектора решения представлен
в табл. 4.4.

Табл. № 4.4

Алгоритм формирования
вектора решения СЛАУ X

В результате в
ячейках (C53,
G53,
J53,
M53)
сформируется вектор решения СЛАУ X
(см. рис. 4.4).

Лист MS
Excel,
представленный на рис. 4.4 позволяет
получить вектор решения для любой СЛАУ,
состоящей из четырех уравнений. Описанная
технология решения СЛАУ легко позволяет
решить задачу любой размерности (для
любого количества уравнений в СЛАУ).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Цели урока:

обучающие:

• повторение и закрепление знаний учащихся
  правил записи арифметических выражений и формул
  в электронных таблицах;
• повторение алгоритма решения систем уравнений;
• формирование знаний и умений в решении систем
  уравнений, используя возможности электронных
  таблиц;

развивающие:

• формирование умений анализировать, выделять
  главное, сравнивать, строить аналогии;

воспитывающие:

• осуществление эстетического воспитания;
• воспитание аккуратности, добросовестности.

Тип урока: урок закрепления изученного
материала и объяснения нового.

Здравствуйте! Все мы знаем, что одну и
ту же информацию можно закодировать любым
способом. Перед вами набор чисел. Известно, что
каждому числу ставится в соответствие буква в
русском алфавите. Расшифруйте эту информацию,
кто быстрее!

Ответ: “Знание – сила!”

Молодцы! А знаете, кому принадлежит это
выражение? (Если нет, то один ученик ищет ответ в
Интернете. Остальные отвечают на вопросы:
Для чего предназначена программа Excel? (Программа
Excel предназначена для хранения и обработки
данных, представленных в табличном виде) Что
собой представляет документ в Excel? (Каждый
документ в Excel представляет собой набор таблиц –
рабочую книгу, которая состоит из одного или
многих рабочих листов) Какая функция
используется для подсчета суммы чисел? (Функция
СУММ). Как определить адрес ячейки? (Excel вводит
номера ячеек автоматически. Адрес ячейки
составляется как объединение номеров столбца и
строки без пробела между ними)

Выражение английского философа Френсиса
Бэкона “Знание – сила!” и будет эпиграфом к
нашему уроку. («Нравственные и политические
очерки», 1597).

II. Повторение пройденного материала.

Мы уже знакомы с программой Microsoft Excel,
умеем записывать арифметические выражения и
различные формулы, находить значения
арифметических выражений и построить графики
функций. Чтобы проверить выполнение домашнего
задания, предлагаю каждому пройти тестирование. (Приложение 1)

Хорошо, все справились и каждому
поставим соответствующие оценки в журнал. А
давайте устроим путешествие в математику и
вспомним, что мы понимаем под понятием: “Решить
систему уравнений”? (Найти такие значения х и у,
которые будут удовлетворять и первое уравнение и
второе). Какие способы существуют для решения
систем уравнений (метод подстановки, метод
сложения и графический способ). Сегодня мы с
вами научимся решать системы уравнений,
используя возможности электронных таблиц.

III. Объяснение нового.

А. Решим систему графическим способом. Преобразуем
данную систему .
Для решения воспользуемся диаграммой, на которой
отобразим графики обеих функций. Заполняем
столбец А: заполняем ячейки А2:А22 числами от -5 до 5
с шагом 0,5. (в ячейку А2 заносим число -5, в ячейку А3
– число -4,5, выделяем ячейки А2 и А3, установим
курсор мыши на правый нижний угол рамки
(указатель примет форму черного крестика) и
растягиваем рамку вниз, пока последнее значение
не станет равным 5). При заполнении столбца В в
ячейку В2 заносим формулу =А2*А2, которую затем
копируем до ячейки В22. (протянем формулу за
правый нижний угол). При заполнении столбца С в
ячейку С2 заносим формулу =1-2*А2, копируем ее до
ячейки С22. Выделим блок с данными, с помощью
Мастера диаграмм выберем тип диаграммы Точечная
и построим графики функций. Координаты точек
пересечения графиков – решения системы. {(-2,5; 6);
(0,5; 0)}

Получены приближенные значения
решений. Чем меньше шаг, тем точнее значение
координат точек пересечения.

Запишем алгоритм решения систем
уравнений графическим способом:

1. Преобразовать систему уравнений,
если это необходимо.

2. Задать начальные значения для Х.

3. Найти значение первой функции при
заданных Х.

4. Найти значение второй функции при
тех же Х.

5. Выделить блок с данными и построить
графики функций, используя точечный тип
диаграммы.

6. Решение системы — точка пересечения
графиков функций.

7. Для нахождения координат точек
пересечения с заданной точностью построить
новый график на том отрезке, где находится
решение, с шагом, равным значению точности.

Б. Решить систему уравнений . Занесем в
электронную таблицу исходные данные и расчетные
формулы следующим образом:.

Для решения системы уравнений
воспользуемся надстройкой Поиск решения,
которая запускается через Сервис (-Надстройки) и
заполним диалоговое окно следующим образом:

При нажатии на кнопку Выполнить
происходит решение системы уравнений и в ячейках
B3 и B4 высвечивается результат.

Запишем примерный алгоритм решения
системы уравнений, используя Поиск решения

1. Преобразовать систему уравнений,
если это необходимо

2. Записать исходные данные (в ячейку А1
ввести текст “Решите уравнение”, в ячейку В1
записать первое уравнение, в ячейку В2 второе
уравнение, в ячейку А3 ввести текст “Х=”, в ячейку
А4 “Y=”, в ячейку А5 “уравнение 1”, в ячейку А6
“уравнение 2”. В ячейке B3 хотим получить
значение Х, в ячейке В4 – значение Y, их оставляем
пустыми.

3. В ячейку В5 переписать уравнение 1,
используя правило записи арифметических
выражений, следующим образом: в левой части
вместо Х указывать ячейку В3, вместо Y ячейку В4,
правую часть отбросить. Таким же образом
переписать левую часть второго уравнения в
ячейку В6.

4. Выбрать команду Сервис – Поиск
решения.

5. Установить целевую ячейку — ту
ячейку, в которой содержится формула, например, В5
и задать значение, равное значению правой части
первого уравнения

6. В поле “изменяя ячейки” указать
ячейки, в которых хотим увидеть ответ (В3 и В4)

7. Вести ограничение $B$6 = -3. Для этого
щелкнуть на кнопке Добавить и в полученном окне
установить реквизиты следующим образом: в поле
Ссылка на ячейку указать ячейку, в которой
записана левая часть другого уравнения, в другом
поле выбрать знак “=”, в третьем ввести число,
равное значению правой части. Закрыть окно
Добавить ограничение, щелкнув кнопкой ОК

8. Решить систему уравнений, щелкнув
кнопкой Выполнить

IV. Практическая работа на компьютере.

Вариант I

А. Решите систему уравнений графическим
способом

Б. Решите систему уравнения, воспользовавшись
командой Поиск решения:

Вариант II

А. Решите систему уравнений графическим
способом

Б. Решите систему уравнения, воспользовавшись
командой Поиск решения:

V. Подведение итогов.

Повторить алгоритмы решения систем уравнений

Выставить оценки за тестирование в журнал

VI. Домашнее задание.

Решить рациональным способом системы
уравнений:

;