Как найти ранг матрицы в excel

Урок №12. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Норма матриц.

Уровень 1

Задание 1. Найдите ранг матрицы А с помощью Excel.

Рисунок 1. Исходная матрица

Ход решения.

1. Первую строку оставляем без изменений. Скопируйте первую строку в ячейки B6:E6.
2. Чтобы избежать появления дробей, умножим вторую, третью и четвертую строки на 2. Для этого введите в ячейку B7 формулу =2*B2. Скопируйте эту форму с помощью маркера заполнения в ячейки B7:E9 (Маркер заполнения — небольшой черный квадрат в правом нижнем углу ячейки. При наведении на него курсор принимает вид черного креста.). В результате должна получиться матрица А1 (рис.2).

Рисунок 2.   2-я,3-я,4-я строки умножены на 2.

1. Первую строку оставим без изменения (скопируйте в ячейки B11:E11).
2. В ячейку B12 внесите формулу =B7+B$6*(-$B7/$B$6). Скопируйте эту формулу в ячейки C12:E14 с помощью маркера заполнения. В итоге имеем матрицу А2 (рис.3)

Рисунок 3. Матрица А2

1. Переходим к вычислению матрицы А3. Первую и вторую строки оставляем без изменения. Для этого выделите ячейки B11:E12, нажмите кнопку «Копировать», далее выделите ячейку B16 и в контекстном меню ячейки выберите «Специальная вставка». В открывшемся окне выберите пункт «значения» (рис.4) и нажмите ОК. В результате будут скопированы только значения ячеек, без формул.

Рисунок 4. Специальная вставка

1. В ячейку С18 внесите формулу =C$12*(-$C13/$C$12)+C13. Скопируйте эту формулу в ячейки B18:E19 с помощью маркера заполнения. В итоге имеем матрицу А3 (рис.5)

Рисунок 5. Матрица А3

1. Поменяйте местами третий и четвертый столбцы (используйте копирование и специальную ставку значений).

Рисунок 6. Матрица А4 — результирующая
Ответ: Базисный минор матрицы А4 стоит в первых трех столбцах и первых трех строках, . Следовательно, r(A)=3.   

Рисунок 7. Общий вид листа вычисления

Рисунок 8. Для проверки формул

Уровень 2.

Задание 2. Найти первую норму матрицы А.

1. Введите матрицу (рис.11)

Рисунок 11

1. Далее нужно взять по модулю все значения матрицы. Для вычисления модуля в Excel используется функция ABS. Запишем результат в матрицу A1. Для этого в ячейку В5 внесите формулу =ABS(B1) и скопируйте ее в диапазон B5:C7 (рис.12)

Рисунок 12.

1. Далее нужно вычислить сумму по столбцам. В ячейку B8 введите формулу =СУММ(B5:B7). Скопируйте ее в ячейку C8. В результате вы найдете сумму по двум столбцам (рис.13)

Рисунок 13. Сумма по столбцам

1. Далее необходимо найти максимальный элемент из полученных. Для этого в ячейку B9  введите формулу =МАКС(B8:C8). Результат: норма матрицы = 19 (рис.14).

Рисунок 14. Результат
Задание 3: исправляя на листе вычислений, найдите норму матрицы А (рис.15)

Рисунок 15.
Ответ: норма равная 15.

Уровень 3.

Задание 4. Самостоятельно в Excel выполнить вычисления второй и третьей нормы матрицы А (рис.11).
Подсказка: для вычисления корня квадратного используется
Задание 5. Самостоятельно выполнить вычисление ранга матрицы А:

Рисунок 9. Матрица А
Самопроверка: Ответ: ранг матрицы равен 4.

Составитель: Салий Н.А.

Рассмотрим
применение табличного процессора EXCEL
для работы с матрицами.

Процессор EXCEL
работает с числовыми матрицами и может
осуществлять следующие операции:

1. сложение (вычитание)
   матриц, умножение матриц на число,

2. преобразования
   матрицы с целью получения нулей,

3. вычисление
   определителя матрицы,

4. транспонирование
   матрицы,

5. нахождение обратной
   матрицы.

Сложение матриц,
умножение матрицы на число, преобразование
матрицы осуществляются с помощью строки
формул. Для нахождения определителя
матрицы, транспонированной матрицы,
обратной матрицы, а также для умножения
матриц следует пользоваться соответствующими
встроенными функциями: МОПРЕД; ТРАНСП;
МОБР; МУМНОЖ. К сожалению, нет встроенной
функции для определения ранга матрицы.
Ранг придется находить переходом к
эквивалентной матрице. Такой же переход
полезен и для исследования линейных
систем.

Сложение матриц.

Рис.3

В ячейки
введена матрица.

В ячейки
введена матрица.

В ячейку
введена формулаи скопирована в диапазон.

Умножение матрицы
на число.

Рис.4

В ячейки
введена матрица,

В ячейку
введено число.

В ячейку
введена формулаи скопирована в диапазон.

Вычисление
определителя, транспонирование,
нахождение обратной матрицы.

Перечисленные
операции проводятся с помощью
соответствующих встроенных функций.
При выполнении операций транспонирования,
умножения матриц, нахождения обратной
матрицы необходимо предварительно
выделить диапазон ячеек для записи
результата. Результат получается
нажатием клавиш
(ввод
массива).

Рис.5

В ячейки
введена матрица,
в ячейки— матрица.

В ячейку
введем формулу=МОПРЕД,
заполним поле значений аргумента,
получаем значение определителя матрицы.

Пример 16.
Вычислить обратную матрицу для
.

Выделим диапазон
ячеек
для записи обратной матрицы. Теперь
надо вызвать Мастер функций, выбрать
имя функции МОБР, ввести в поле значений
аргумента функциии нажать клавиши(ввод
массива).

Пример 17.
Умножить матрицы
и.

Определим размерность
матрицы
(результата
умножения):,
и выделим диапазондля записи этой матрицы.

Для умножения
надо вызвать Мастер функций, выбрать
имя функции МУМНОЖ, ввести в поле значений
1 аргумента функции первую матрицу, в
поле 2 – вторую матрицу, и нажать клавиши
(ввод
массива). В ячейках− результат умножения.

Вычисление ранга
матрицы.

Будем последовательно
получать нули в первом, втором и т.д.
столбцах ниже диагональных элементов.

Рис.6

В ячейки
введем матрицу (пример 11).

Получим нули в
первом столбце матрицы
.
Для этого в ячейкувведем формулуи скопируем ее в ячейки,
в ячейкувведем формулуи скопируем ее в ячейки.

Аналогично получаем
нули во втором столбце. В ячейку
введем формулуи скопируем ее в ячейку.
В ячейкувведем формулуи скопируем ее в ячейки.

Дальше получаем
нули в третьем столбце. В ячейку
введем формулуи скопируем ее в ячейку.
В ячейкувведем формулуи скопируем ее в ячейки.

Получили полностью
нулевые строки. Ниже копированием
значений (специальная вставка) записана
преобразованная матрица (нули ниже
диагонали опущены). Следовательно, ранг
матрицы равен трем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Функция

РАНГ(

)

, английский вариант RANK(),

возвращает

ранг числа в списке чисел. Ранг числа — это его величина относительно других значений в списке. Например, в массиве {10;20;5} число 5 будет иметь ранг 1, т.к. это наименьшее число, число 10 — ранг 2, а 20 — ранг 3 (это ранг по возрастанию, когда наименьшему значению присваивается ранг 1). Если список отсортировать, то ранг числа будет его позицией (если нет повторов).

Синтаксис

РАНГ

(

число

;

ссылка

;порядок)

Число

— число, для которого определяется ранг.

Ссылка

— ссылка на список чисел (диапазон ячеек с числами). Напрямую массив задать нельзя, формула =РАНГ(10;{10:50:30:40:50}) работать не будет. Но, если ввести формулу

=РАНГ(B7;$A$7:$A$11)

, то она будет работать (хотя ячейка

B7

— вне списка с числами). Если в

B7

содержится число вне списка с числами, то формула вернет ошибку #Н/Д.

Нечисловые значения в ссылке игнорируются. Числам, сохраненным в текстовом формате, ранг также не присваивается, функция воспринимает их как текст.

Порядок

— число, определяющее способ упорядочения.

• Если порядок равен 0 (нулю) или опущен, то MS EXCEL присваивает ранг=1 максимальному числу, меньшим значениям присваиваются б
  
  о
  
  льшие ранги.
• Если порядок — любое ненулевое число, то то MS EXCEL присваивает ранг=1 минимальному числу, б
  
  о
  
  льшим значениям присваиваются б
  
  о
  
  льшие ранги.

Примечание

: Начиная с MS EXCEL 2010 для вычисления ранга также используются функции

РАНГ.СР()

и

РАНГ.РВ()

. Последняя функция аналогична

РАНГ()

.

Определяем ранг в списке без повторов

Если список чисел находится в диапазоне

A7:A11

, то формула

=РАНГ(A7;$A$7:$A$11)

определит ранг числа из ячейки

А7

(см.

файл примера

).

Т.к. аргумент

порядок

опущен, то MS EXCEL присвоил ранг=1 максимальному числу (50), а максимальный ранг (5 = количеству значений в списке) — минимальному (10).

Альтернативный вариант:

=СЧЁТЕСЛИ($A$7:$A$11;»>»&A7)+1

В столбце

С

приведена формула

=РАНГ(A7;$A$7:$A$11;1)

с рангом по возрастанию, ранг=1 присвоен минимальному числу. Альтернативный вариант:

=СЧЁТЕСЛИ($A$7:$A$11;»<«&A7)+1

Если исходный список

отсортировать

, то ранг числа будет его позицией в списке.

Ранг по условию

Если список состоит из значений, относящихся к разным группам (например, к разным маркам машин), то ранг можно вычислить не только относительно всей совокупности данных, но и относительно данных каждой отдельной группы.

В

файле примера

ранг по условию (условием является принадлежность значения к групп) вычислен с помощью формулы:

=СЧЁТЕСЛИМН($A$3:$A$22;A3;$B$3:$B$22;»>»&B3)+1

В столбце А содержатся названия группы, в столбце В — значения.

Связь функций

НАИБОЛЬШИЙ()

/

НАИМЕНЬШИЙ()

и

РАНГ()

Функции

НАИБОЛЬШИЙ()

и

РАНГ()

являются взаимодополняющими в том смысле, что записав формулу

=НАИБОЛЬШИЙ($A$7:$A$11;РАНГ(A7;$A$7:$A$11))

мы получим тот же исходный массив

A7:A11

.

Определяем ранг в списке с повторами

Если список содержит

повторы

, то повторяющимся значениям (выделено цветом) будет присвоен одинаковый ранг (максимальный, если использована функция

РАНГ()

или

РАНГ.РВ()

) или среднее значение, если

РАНГ.СР()

). Наличие повторяющихся чисел влияет на ранги последующих чисел. Например, если в списке целых чисел, отсортированных по возрастанию, дважды встречается число 10, имеющее ранг 5, число 11 будет иметь ранг 7 (ни одно из чисел не будет иметь ранга 6).

Иногда это не удобно и требуется, чтобы ранги не повторялись (например, при определении призовых мест, когда нельзя занимать нескольким людям одно место).

В этом нам поможет формула

=РАНГ(A37;A$37:A$44)+СЧЁТЕСЛИ(A$37:A37;A37)-1

Предполагается, что исходный список с числами находится в диапазоне

А37:А44

.

Примечание

. В

MS EXCEL 2010

добавилась функция

РАНГ.РВ(число;ссылка;[порядок])

Если несколько значений имеют одинаковый ранг, возвращается наивысший ранг этого набора значений (присваивает повторяющимся числам одинаковые значения ранга). В

файле примера

дается пояснение работы этой функции. Также добавилась функция

РАНГ.СР(число;ссылка;[порядок])

Если несколько значений имеют одинаковый ранг, возвращается среднее.

Массив рангов

Для построения некоторых сложных

формул массива

может потребоваться

массив

рангов, т.е. тот же набор рангов, но в одной ячейке.

Как видно из картинки выше, значения из диапазона

В60:В67

и в ячейке

D60

совпадают. Такой массив можно получить с помощью формулы

=РАНГ(A60:A67;A60:A67)

или с помощью формулы

=СЧЁТЕСЛИ(A60:A67;»>»&A60:A67)+1

Ранги по возрастанию можно получить с помощью формулы

=РАНГ(A60:A67;A60:A67;1)

или

=СЧЁТЕСЛИ(A60:A67;»<«&A60:A67)+1

.

Такой подход использется в статьях

Отбор уникальных значений с сортировкой в MS EXCEL

и

Динамическая сортировка таблицы в MS EXCEL

.

MihailM писал(а):

Решил подойти еще более современно, попросил чатгпт
И вот результат… Вроде работает

Спасибо, но не работает.
Я скопировал эту программу в Excel-модуль и в качестве теста выдумал такую таблицу (матрицу):

[math]begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 2 \ 0 & 3 & 0 & 1 \ 1 & 4 & 3 & 0 end{pmatrix}[/math]

Определитель матрицы равен [math]-4 ne 0,[/math] это значит, что матрица невырожденная, и ее ранг должен быть равен 4.
Моя программа выдает ответ ранг = 3, а приведенная вами программа выдает ноль, чего вообще не бывает.

Вот текст моей программы:

Function MRang(Matrix) As Integer
Dim X, N As Integer, i As Integer, j As Integer, k As Integer, Mat() As Single, Zeile() As Single, Z As Byte, S As Byte
N = 0
For Each X In Matrix
    N = N + 1
Next
N = Sqr(N)
ReDim Mat(1 To N, 1 To N) As Single, Zeile(N) As Single
k = 0
For Each X In Matrix    ' Инициирует матрицу-----
    k = k + 1
    i = Int((k - 0.5) / N)
    j = k - i * N
    Mat(i + 1, j) = X
Next
' ----------------------------------- Приведение к треугольному виду ---------------------
For k = 1 To N      ' Ведущая строка
    For i = k To N   ' текущая строка
        X = Mat(i, k)
'-------------------------------- Перестановка строк -------------------------------------
        If X = 0 And i < N Then     ' поиск строки с X<>0
                    For Z = i To N: Zeile(Z) = Mat(i, Z): Next Z        'запомнить строку номер i
                    Z = i
                    Do                      'поиск строки с X<>0
                        Z = Z + 1
                        X = Mat(Z, k)
                    Loop While X = 0 And Z < N
                    If Z < N Then
                            For S = i To N: Mat(i, S) = Mat(Z, S): Mat(Z, S) = Zeile(S): Next S            ' собственно перестановка
                    End If
        End If
'-------------------------------- конец перестановки -------------------------------------
        X = Mat(i, k)
        If X <> 0 And X <> 1 Then
                    For j = k To N
                        Mat(i, j) = Mat(i, j) / X       'Нормировка строк на первый ненулевой элемент
                    Next j
        End If
    Next i
        For i = k + 1 To N                                            ' Вычитаемая строка ( k-тая ), уменьшаемая строка (i-тая)
        If Mat(i, k) <> 0 Then
                    For j = k To N                                  ' элементы уменьшаемой строки
                        Mat(i, j) = Mat(i, j) - Mat(k, j)
                    Next j
        End If
    Next i
    Next k
'-----------------------  вычисление ранга = число ненулевых элементов (равных 1) на главной диагонали  --------------------
X = 0
For i = 1 To N
     If Mat(i, i) <> 0 Then X = X + 1
Next i
MRang = X
End Function