Как найти корни функции по графику в excel

Функция КОРЕНЬ принадлежит к категории Математических функций в Excel и возвращает положительное значение квадратного корня из числа.

Примеры использования функции КОРЕНЬ для математических расчетов в Excel

Пример 1. С помощью секундомера и небольшого предмета (например, камня), можно определить высоту здания (отпустить камень в свободное падение и засечь на секундомере моменты между началом движения и соприкосновения с поверхностью земли). Однако, зная высоту, можно рассчитать время, которое потребуется предмету на свободное падение. Для этого можно использовать следующую формулу: t=√(2H/g).

.

Где:

  • t – искомая величина времени падения;
  • H – высота, с которой предмет запущен в свободное падения;
  • g – ускорение свободного падения (пример равным 9,81).

Рассчитаем, сколько будет падать предмет с высоты 200 м (сопротивлением воздуха пренебрежем).

Внесем исходные данные в таблицу:

.

Для расчета используем следующую формулу:

=КОРЕНЬ(2*B2/B3)

.

В качестве параметра функция принимает выражение 2*B2/B3, где:

  • B2 – ячейка с данными о высоте, с которой запущен предмет;
  • B3 – ячейка, содержащая данные об ускорении свободного падения.

В результате получим:

.

То есть, время падения составит примерно 6,4 с.



Как построить график функции в Excel?

Пример 2. Функцию КОРЕНЬ удобно использовать для построения графика следующего типа:

.

Рассмотрим на примере, как построить график данной функции в Excel.

Заполним таблицу данных:

.

Для расчета значения функции y используем следующую формулу:

=КОРЕНЬ(A3)

A3 – соответствующее значение аргумента x. Аналогичным способом рассчитаем значение функции y в ячейке B4, а затем заполним таблицу следующим способом: выделим ячейки B3 и B4, поместим курсор мыши в правый нижний угол области выделения до появления знака «+».

Нажмем правую кнопку мыши и перетащим область выделения вниз до последней ячейки таблицы:

.

Так Excel по аналогии произведет расчет остальных значений функции с использованием функции КОРЕНЬ, принимающей аргументы из соответствующих ячеек.

В меню Вставка находим график с маркерами и вставляем его на лист Excel. В качестве данных для осей указываем значения аргументов x и функции y:

график с маркерами.

Как найти квадратный корень из дискриминанта в Excel?

Пример 3. Для решения квадратных уравнений зачастую используют метод нахождения дискриминанта числа. Для нахождения квадратного корня из дискриминанта будет использована функция КОРЕНЬ. Создадим форму для расчета значений x1 и x2 (корней уравнения).

Для примера найдем корни уравнения 2×2+3x+c=0.

Таблица имеет следующий вид:

Таблица.

Рассмотрим формулу, введенную в ячейку B5:

Рассмотрим формулу.

С помощью формулы ЕСЛИ выполняется проверка наличия данных в ячейках A3, B3 и C3, которые содержат значения коэффициентов a, b и с. Если они пустые, в ячейке B5 отобразится текстовая строка «Значения не введены». Если A3 содержит значение, не равное нулю, производится расчет дискриминанта по известной формуле. Иначе будет выведена текстовая строка «NaN», то есть, уравнение не является квадратным, вычислить значение дискриминанта невозможно.

Ячейка B6 содержит следующую формулу:

содержит формулу.

Формула ЕСЛИ выполняет проверку условия ввода данных (если не введены, будет выведено значение 0). Следующая функция ЕСЛИ проверяет ячейку B5 на наличие значения «NaN». Если содержится «NaN», мы имеем дело с обычным линейным уравнением типа bx+c=0, единственный корень которого будет отображен в ячейке B6. Далее выполняется проверка дискриминанта на принадлежность к диапазону отрицательных чисел. Если дискриминант больше или равен нулю, производится расчет первого корня уравнения по известной формуле, иначе будет выведена текстовая строка «Решений нет».

Формула в ячейке B7 имеет лишь 2 отличия:

корни уравнения.

Во избежание дублирования результата в случае единственного решения уравнения, будет отображен текст «Единственный корень отображен выше». Также изменена формула расчета второго корня уравнения.

То есть, данное уравнение имеет два корня: -0,5 и -1.

Функция КОРЕНЬ в Excel и особенности ее синтаксической записи

Данная функция используется наряду с прочими математическими функциями Excel, такими как ЗНАК, КОРЕНЬПИ, ДВФАКТР и другими. Она имеет следующий синтаксис:

=КОРЕНЬ(число)

Функция принимает единственный параметр число, который принимает данные в виде числа, квадратный корень из которого требуется вычислить. Параметр обязателен для заполнения.

Примечания:

  1. В качестве параметра может быть передана ссылка на ячейку, содержащую числовые данные, либо указано определенное значение непосредственно в записи функции (например, КОРЕНЬ(A2) или КОРЕНЬ(144)).
  2. Если в качестве параметра функции КОРЕНЬ была передана ссылка на ячейку, не содержащую данных, результатом работы функции КОРЕНЬ будет 0 (нуль).
  3. Если в качестве параметра число были передано число из диапазона отрицательных чисел, функция КОРЕНЬ вернет код ошибки #ЧИСЛО!. При необходимости получения корня из отрицательного числа можно воспользоваться функцией ABS, которая возвращает модуль данного числа (абсолютное, то есть положительное значение). Например, результатом выполнения функции =КОРЕНЬ(ABS(-169)) будет число 13.
  4. Для расчета квадратного корня из числа можно использовать функцию =СТЕПЕНЬ(число;степень), где смысл параметра число эквивалентен смыслу одноименного параметра функции КОРЕНЬ, а в качестве параметра степень необходимо ввести число 0,5 (с точки зрения математики, корень квадратный из числа соответствует возведению данного числа в степень ½ или 0,5 в десятичной записи дроби).
  5. Также в Excel можно использовать математический символ «^» (Shift+6). Это означает, что еще одним эквивалентом записи «=КОРЕНЬ(A1)» является «=A1^0,5».

Тип урока: Обобщение, закрепление
пройденного материала и объяснение нового.

Цели и задачи урока:

  • повторение изученных графиков функций;
  • повторение и закрепление графического
    способа решения уравнений;
  • закрепление навыков записи и
    копирования формул, построения графиков
    функций в электронных таблицах Excel 2007;
  • формирование и первичное закрепление
    знаний о решении уравнений с
    использованием возможностей электронных
    таблиц Excel 2007;
  • формирование мышления, направленного на
    выбор оптимального решения;
  • формирование информационной культуры
    школьников.

Оборудование: персональные
компьютеры, мультимедиапроектор,
проекционный экран.

Материалы к уроку: презентация Power Point
на компьютере учителя (Приложение 1).

Ход урока

Организационный момент.

Слайд 1 из Приложения1 ( далее
ссылки на слайды идут без указания
Приложения1).

Объявление темы урока.

1. Устная работа (актуализация
знаний).

Слайд 2 — Соотнесите перечисленные
ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):

у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3)2; у = -(х — 4)2;
.

Рис. 1.

Слайд 3 Графический способ решения
уравнений вида f(x)=0.

Корнями уравнения f(x)=0 являются
значения х1, х2,точек
пересечения графика функции y=f(x) с осью
абсцисс (Рис. 2).

Рис. 2.

Слайд 4

Найдите корни уравнения х2-2х-3=0,
используя графический способ решения
уравнений (Рис.3).

Ответ: -1; 3.

Рис. 3.

Слайд 5 Графический способ решения
уравнений вида f (x)=g (x).

Корнями уравнения f(x)=g(x) являются
значения х1, х2,точек
пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x).
(Рис. 4):

Рис. 4.

Слайд 6 Найдите корни уравнения ,
используя графический способ решения
уравнений (Рис. 5).

Ответ: 4.

Рис. 5.

2. Объяснение нового материала.
Практическая работа.

Решение уравнений графическим способом
требует больших временных затрат на
построение графиков функций и в
большинстве случаев дает грубо
приближенные решения. При использовании
электронных таблиц, в данном случае – Microsoft
Excel 2007, существенно экономится время на
построение графиков функций, и появляются
дополнительные возможности нахождения
корней уравнения с заданной точностью (метод
Подбор параметра).

I. Графический способ решения
уравнений вида f(x)=0 в Excel.


Дальнейшая работа выполняется учителем в
Excel одновременно с учениками с подробными (при
необходимости) инструкциями и выводом
результатов на проекционный экран. Слайды
Приложения 1 используются для формулировки
задач и подведения промежуточных итогов.

Слайд 7


Пример1: Используя средства построения
диаграмм в Excel, решить графическим способом
уравнение —х2+5х-4=0.

Для этого: построить график функции у=-х2+5х-4
на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения
графика функции с осью абсцисс.

Выполнение задания можно разбить на этапы:

1 этап: Представление функции в
табличной форме
(рис. 6):

Рис. 6.

Для этого:

  • в ячейку А1 ввести текст Х, в
    ячейку A2Y;
  • в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1
    – число 0,25;
  • выделить ячейки В1:С1, подвести
    указатель мыши к маркеру выделения, и в
    тот момент, когда указатель мыши примет
    форму черного крестика, протянуть маркер
    выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).

Рис. 7.

  • в ячейку B2 ввести формулу =-(B1^2)+5*B1-4;

При вводе формулы можно
вводить адрес ячейки с клавиатуры (не
забыть переключиться на латиницу), а
можно просто щелкнуть мышью на ячейке с
нужным адресом.

После ввода формулы в ячейке
окажется результат вычисления по
формуле, а в поле ввода строки формул —
сама формула (Рис. 8):

Рис. 8.

  • скопировать содержимое ячейки B2 в
    ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь
    ряд выделенных ячеек заполнится
    содержимым первой ячейки. При этом ссылки
    на ячейки в формулах изменятся
    относительно смещения самой формулы.

2 этап: Построение диаграммы типа График.

Для этого:

  • выделить диапазон ячеек B2:V2;
  • на вкладке Вставка|Диаграммы|График
    выбрать вид График;
  • на вкладке Конструктор|Выбрать данные
    (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор
    источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить
    в поле Подписи горизонтальной оси
    откроется окно «Подписи оси». Выделить в
    таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения
    переменной х). В обоих окнах щелкнуть
    по кнопкам ОК;

Рис. 9.

  • на вкладке Макет|Оси|Основная
    горизонтальная ось|Дополнительные
    параметры основной горизонтальной оси
    выбрать:

Интервал между делениями: 4;

Интервал между подписями: Единица
измерения интервала:
4;

Положение оси: по делениям;

Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки
Тип
линии и Цвет линии)
;

  • самостоятельно изменить ширину и цвет
    линии для вертикальной оси;
  • на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные
    линии сетки по основной оси
    выбрать Основные
    линии сетки
    .

Примерный результат работы приведен на
рис. 10:

Рис. 10.

3 этап: Определение корней уравнения.

График функции у=-х2+5х-4
пересекает ось абсцисс в двух точках и,
следовательно, уравнение 2+5х-4=0 имеет
два корня: х1=1; х2=4.

II. Графический способ решения уравнений
вида f(x)=g(x) в Excel.

Слайд 8


Пример 2: Решить графическим способом
уравнение .

Для этого: в одной системе координат
построить графики функций у1=
и у2=1-х
на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки
пересечения графиков функций.

1 этап: Представление функций в
табличной форме (рис. 1):


  • Перейти на Лист2.
  • Аналогично Примеру 1, применив
    приемы копирования, заполнить таблицу.
    При табулировании функции у1=
    воспользоваться встроенной функцией Корень
    (Рис. 11).

Рис. 11.

2 этап: Построение диаграммы типа График.


  • Выделить диапазон ячеек (А2:V3);
  • Аналогично Примеру 1 вставить и
    отформатировать диаграмму типа График,
    выбрав дополнительно в настройках
    горизонтальной оси: вертикальная ось
    пересекает в категории с номером 5.

Примерный результат работы приведен на
Рис. 12:

Рис. 12.

3 этап: Определение корней уравнения.

Графики функций у1=
и у2=1-х пересекаются в одной
точке (0;1) и, следовательно, уравнение
имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.

III. Метод Подбор параметра.


Слайд 9

Графический способ решения уравнений
красив, но далеко не всегда точки
пересечения могут быть такими «хорошими»,
как в специально подобранных примерах 1 и 2.

Возможности электронных таблиц
позволяют находить приближенные значения
коней уравнения с заданной точностью. Для
этого используется метод Подбор
параметра
.

Слайд 10


Пример 3: Разберем метод Подбор
параметра
на примере решения уравнения —х2+5х-3=0.

1 этап: Построение диаграммы типа График
для приближенного определения корней
уравнения.

Построить график функции у=х2+5х-3,
отредактировав полученные в Примере 1
формулы.

Для этого:

  • выполнить двойной щелчок по ячейке B2,
    внести необходимые изменения;
  • с помощью маркера выделения
    скопировать формулу во все ячейки
    диапазона C2:V2.

Все изменения сразу отобразятся на
графике.

Примерный результат работы приведен на
Рис. 13:

Рис. 13.

2 этап: Определение приближенных
значений корней уравнения.

График функции у=-х2+5х-3
пересекает ось абсцисс в двух точках и,
следовательно, уравнение 2+5х-4=0 имеет
два корня.

По графику приближенно можно
определить, что х1≈0,7; х2≈4,3.

3 этап: Поиск приближенного решения
уравнения с заданной точностью методом Подбор
параметра.

1) Начать с поиска более точного
значения меньшего корня.

По графику видно, что ближайший
аргумент к точке пересечения графика с
осью абсцисс равен 0,75. В таблице
значений функции этот аргумент
размещается в ячейке E1.

  • Выделить ячейку Е2;
  • перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор
    параметра…;

В открывшемся диалоговом окне Подбор
параметра
(Рис. 14) в поле Значение
ввести требуемое значение функции: 0.

В поле Изменяя значение ячейки:
ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).

Щелкнуть по кнопке ОК.

Рис. 14.

Рис. 15.

  • В окне Результат подбора (Рис. 15)
    выводится информация о величине
    подбираемого и подобранного значения
    функции:
  • В ячейке E1 выводится подобранное
    значение аргумента 0,6972 с требуемой
    точностью (0,0001).

Установить точность можно путем
установки в ячейках таблицы точности
представления чисел – числа знаков
после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).

Итак, первый корень уравнения
определен с заданной точностью: х1≈0,6972.

2) Самостоятельно найти значение
большего корня с той же точностью. 2≈4,3029).

IV. Метод Подбор параметра для
решения уравнений вида f(x)=g(x)
.

При использовании метода Подбор
параметров
для решения уравнений вида f(x)=g(x)
вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x)
и находят с требуемой точностью значения х
точек пересечения графика функции y(x) с
осью абсцисс.

3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная
работа.

Слайд 11


Задание: Используя метода Подбор
параметров,
найти корни уравнения
с точностью до 0,001.

Для этого:

  • ввести функцию у=
    и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с
    шагом 0,25 (Рис. 16):

Рис. 16.

  • найти приближенное значение х
    точки пересечения графика функции с
    осью абсцисс (х≈1,4);
  • найти приближенное решение уравнения с
    точностью до 0,001 методом Подбор
    параметра (х
    ≈1,438).

4. Итог урока.

Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной
работы
.

Слайд 13 Повторение графического
способа решения уравнения вида f(x)=0.

Слайд 14 Повторение графического
способа решения уравнения вида f(x)=g(x).

Выставление оценок.

5. Домашнее задание.

Слайд 15 .

Используя средства построения диаграмм
в Excel и метод Подбор параметра, определите
корни уравнения х2-5х+2=0 с
точностью до 0,01.

Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.

Цели и задачи урока:

  • повторение изученных графиков функций;
  • повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
  • закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
  • формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
  • формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
  • формирование информационной культуры школьников.

Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.

Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).

Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).

Объявление темы урока.

1. Устная работа (актуализация знаний).

Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):

у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; .

Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.

Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х1, х2, точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).

Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).

Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).

Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х1, х2, точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):

Слайд 6 Найдите корни уравнения , используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).

2. Объяснение нового материала. Практическая работа.

Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).

I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.

Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.

Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.

Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Выполнение задания можно разбить на этапы:

1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):

  • в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2Y;
  • в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;
  • выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).

При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.

После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):

  • скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.

2 этап: Построение диаграммы типа График.

  • выделить диапазон ячеек B2:V2;
  • на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;
  • на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;

  • на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:

Интервал между делениями: 4;

Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;

Положение оси: по делениям;

Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);

  • самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
  • на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.

Примерный результат работы приведен на рис. 10:

3 этап: Определение корней уравнения.

График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х1=1; х2=4.

II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.

Пример 2: Решить графическим способом уравнение .

Для этого: в одной системе координат построить графики функций у1= и у2=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.

1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):

  • Перейти на Лист2.
  • Аналогично Примеру 1, применив приемы копирования, заполнить таблицу. При табулировании функции у1=воспользоваться встроенной функцией Корень (Рис. 11).
  • 2 этап: Построение диаграммы типа График.

  • Выделить диапазон ячеек (А2:V3);
  • Аналогично Примеру 1 вставить и отформатировать диаграмму типа График, выбрав дополнительно в настройках горизонтальной оси: вертикальная ось пересекает в категории с номером 5.
  • Примерный результат работы приведен на Рис. 12:

    3 этап: Определение корней уравнения.

    Графики функций у1= и у2=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.

    III. Метод Подбор параметра.

    Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.

    Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.

    Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.

    1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.

    Построить график функции у=х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.

    • выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;
    • с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.

    Все изменения сразу отобразятся на графике.

    Примерный результат работы приведен на Рис. 13:

    2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.

    График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.

    По графику приближенно можно определить, что х1≈0,7; х2≈4,3.

    3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.

    1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.

    По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.

    • Выделить ячейку Е2;
    • перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;


    В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.

    В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).

    Щелкнуть по кнопке ОК.

    • В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:
    • В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).

    Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).

    Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х1≈0,6972.

    2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. 2≈4,3029).

    IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).

    При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.

    3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

    Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001.

    • ввести функцию у=и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):

    • найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);
    • найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).

    4. Итог урока.

    Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.

    Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.

    Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).

    5. Домашнее задание.

    Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2=0 с точностью до 0,01.

    Практическая работа «Графический метод решения уравнений в Excel»

    Найти графическим методом корень уравнения 10sin(x)-2x 2 +5=0.

    Построим таблицу значений функции. Заполним столбец x значениями от -10 до 10. Значения y будем вычислять по формуле: =10*SIN(A2)-2*A2*A2+5 (формула для ячейки B2).

    Построив график, найдем точки пересечения графика с осью OX. Это и есть приближенное решение.

    Приближенное решение уравнения: -0.5 и 2.5.

    Просмотр содержимого документа
    «Практическая работа «Графический метод решения уравнений в Excel»»

    Графический метод решения уравнений.

    Найти графическим методом корень уравнения 10sin(x)-2x 2 +5=0.

    Построим таблицу значений функции. Заполним столбец x значениями от -10 до 10. Значения y будем вычислять по формуле: =10*SIN(A2)-2*A2*A2+5 (формула для ячейки B2).

    Построив график, найдем точки пересечения графика с осью OX. Это и есть приближенное решение.

    Приближенное решение уравнения: -0.5 и 2.5.

    Исследование физических моделей

    Рассмотрим процесс решения задачи на конкретном примере: Тело брошено с некоторой высоты с начальной скоростью, направленной под углом к горизонту. Определить угол, при котором дальность полета будет максимальной.

    Содержательная постановка задачи. В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в мишень определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.

    1) Описательная модель. Сначала построим качественную описательную модель процесса движения тела с использованием физических объектов, понятий и законов, то есть в данном случае идеализированную модель движения объекта. Из условия задачи можно сформулировать следующие основные предположения:

    тело мало по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;

    изменение высоты тела не велико, поэтому ускорение свободного падения считать постоянной величиной g = 9,8 м/с 2 и движение по оси OY можно считать равноускоренным;

    скорость движения мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь.

    2) Формальная модель. Из курса физики известно, что описанное выше движение является равноускоренным. Координаты тела в любой момент времени можно найти по формулам:

    Для формализации модели используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения. При заданных начальной скорости и и угле бросания а значения координат дальности полета х и высоты у от времени можно описать следующими формулами:

    или

    или

    3) Компьютерная модель. Преобразуем формальную модель в компьютерную с использованием электронных таблиц. Выделим ячейки для ввода начальных данных: нач. скорость, нач. высота, угол. Построим таблицу для вычисления координат x и y.

    Координата x: =$B$1*COS($B$3*3,14/180)*A6 .

    Координата y: =$B$2+$B$1*SIN($B$3*3,14/180)*A6-9,8*A6*A6/2.

    Визуализируем модель построив график движения тела (зависимость y от x).

    4) Исследуем модель и определим искомый угол.

    Решение уравнений в excel — примеры решений

    Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.

    Первый метод

    Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».

    1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.

    2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля

    3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.

    4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.

    Второй метод

    Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.

    1. Создаете два диапазона.

    На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.

    2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.

    3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.

    Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.

    4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.

    Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.

    Третий метод

    Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.

    1. Записываете произвольную систему уравнений.

    2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.

    3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.

    4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.

    Четвертый метод

    Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.

    Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.

    1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.

    2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).

    Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.

    3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.

    4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.

    5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу

    =C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.

    6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78

    7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77

    8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76

    9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.

    Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.

    Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.

    Жми «Нравится» и получай только лучшие посты в Facebook ↓

    источники:

    http://multiurok.ru/files/praktichieskaia-rabota-grafichieskii-mietod-rieshieniia-uravnienii-v-excel.html

    http://mir-tehnologiy.ru/reshenie-uravnenij-v-excel-primery-reshenij/

    Нахождение корней уравнения и уточнение их значений средствами MS Excel.

    Работа 5.

    Рассмотрим пример нахождения всех вещественных корней уравнения в заданном интервале [-1;1] независимой переменной x

    Отметим, что у полинома третей степени имеется не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их предварительно нужно локализовать. С этой целью табулируем функцию в заданном интервале и построим график (рис. 1, табл.1) Например, на отрезке [-1;1]. Результат табуляции приведён на рис.1, где в ячейку С7 введена следующая формула:

    = B7^3-0.01*B7^2-0,7044*B7+0,139104

    Из рисунка видно, что полином меняет знак на интервалах [-1,-08], [0.2, 0.4] и [0.6, 0.8]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома. И, как видно из графика, эти корни приблизительно равны x0=-0.9, x1=0.2 и x3=0.7.

    Уточним значения корней, используя встроенную в MS Excel процедуру Подбор параметра.

    Предварительно построим отдельную таблицу для уточнения значения корней (рис.1, табл. 2).

    В клетку E8 введем приближенное значение 1-го корня -0,9. В клетку F8 введём формулу = E8^3-0,01*E8^2-0,7044*E8+0,139104

    Данные, Анализ «что-если», Подбор параметра, Установить в ячейке: F8, Значение: 0, Изменяя значение ячейки: $E$8, Ok.

    В диалоговом окне Подбора параметра просматриваем значение полинома при найденном значении корня и нажимаем Ok.

    Найденное значение корня MS Excel помещает в клетку E8.

    Аналогично можно уточнить взятые из графика значения других корней уравнения. В качестве начальных значений корней взяты х=0.3 и х=0.7

    Варианты индивидуальных заданий

    1. Построив график функции f(x), определите грубо интервал [a,b] расположения корней уравнения f(x) = 0;

    2. Используя приёмы, рассмотренные выше, найдите более точные значения корней с относительной погрешностью не более 0,0001.

    f(x) f(x)

    Ниже приведён пример вычисления уточненного значения корня уравнения sin(x)-acos(x)=0,

    при выбранном x0=0,7.

    Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

    Прямо сейчас студенты читают про:

    По способу восприятия сигналы подразделяются на видимые и звуковые Видимые сигналы выражаются: цветом, формой, положением и числом сигнальных показаний.
    Рационализм. Рене Декарт Решающая роль разума в процессе познания. Рационализм (от лат. rationalis — «разумный») в противовес.
    Столыпинская аграрная реформа: цели, основные направления, содержание, результаты, значение В российском обществе важнейшим вопросом всегда был аграрный. Крестьяне.
    Симметрия относительно плоскости Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости . План решения. 1. Находим уравнение прямой.
    Химическая посуда и другие принадлежности В каждой лаборатории необходима химическая посуда, которая может быть разделена на ряд групп.

    Источник

    Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

    Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.

    Цели и задачи урока:

    • повторение изученных графиков функций;
    • повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
    • закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
    • формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
    • формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
    • формирование информационной культуры школьников.

    Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.

    Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).

    Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).

    Объявление темы урока.

    1. Устная работа (актуализация знаний).

    Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):

    у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; .

    Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.

    Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х1, х2, точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).

    Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).

    Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).

    Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х1, х2, точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):

    Слайд 6 Найдите корни уравнения , используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).

    2. Объяснение нового материала. Практическая работа.

    Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).

    I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.

    Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.

    Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.

    Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

    Выполнение задания можно разбить на этапы:

    1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):

    • в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2Y;
    • в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;
    • выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).

    При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.

    После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):

    • скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.

    2 этап: Построение диаграммы типа График.

    • выделить диапазон ячеек B2:V2;
    • на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;
    • на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;

    • на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:

    Интервал между делениями: 4;

    Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;

    Положение оси: по делениям;

    Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);

    • самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
    • на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.

    Примерный результат работы приведен на рис. 10:

    3 этап: Определение корней уравнения.

    График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х1=1; х2=4.

    II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.

    Пример 2: Решить графическим способом уравнение .

    Для этого: в одной системе координат построить графики функций у1= и у2=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.

    1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):

  • Перейти на Лист2.
  • Аналогично Примеру 1, применив приемы копирования, заполнить таблицу. При табулировании функции у1=воспользоваться встроенной функцией Корень (Рис. 11).
  • 2 этап: Построение диаграммы типа График.

  • Выделить диапазон ячеек (А2:V3);
  • Аналогично Примеру 1 вставить и отформатировать диаграмму типа График, выбрав дополнительно в настройках горизонтальной оси: вертикальная ось пересекает в категории с номером 5.
  • Примерный результат работы приведен на Рис. 12:

    3 этап: Определение корней уравнения.

    Графики функций у1= и у2=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.

    III. Метод Подбор параметра.

    Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.

    Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.

    Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.

    1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.

    Построить график функции у=х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.

    • выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;
    • с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.

    Все изменения сразу отобразятся на графике.

    Примерный результат работы приведен на Рис. 13:

    2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.

    График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.

    По графику приближенно можно определить, что х1≈0,7; х2≈4,3.

    3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.

    1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.

    По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.

    • Выделить ячейку Е2;
    • перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;

    В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.

    В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).

    Щелкнуть по кнопке ОК.

    • В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:
    • В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).

    Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).

    Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х1≈0,6972.

    2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. 2≈4,3029).

    IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).

    При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.

    3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

    Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001.

    • ввести функцию у=и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):

    • найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);
    • найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).

    4. Итог урока.

    Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.

    Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.

    Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).

    5. Домашнее задание.

    Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2=0 с точностью до 0,01.

    Источник

    Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

    Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.

    Цели и задачи урока:

    • повторение изученных графиков функций;
    • повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
    • закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
    • формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
    • формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
    • формирование информационной культуры школьников.

    Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.

    Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).

    Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).

    Объявление темы урока.

    1. Устная работа (актуализация знаний).

    Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):

    у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; .

    Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.

    Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х1, х2, точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).

    Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).

    Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).

    Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х1, х2, точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):

    Слайд 6 Найдите корни уравнения , используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).

    2. Объяснение нового материала. Практическая работа.

    Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).

    I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.

    Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.

    Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.

    Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

    Выполнение задания можно разбить на этапы:

    1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):

    • в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2Y;
    • в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;
    • выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).

    При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.

    После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):

    • скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.

    2 этап: Построение диаграммы типа График.

    • выделить диапазон ячеек B2:V2;
    • на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;
    • на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;

    • на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:

    Интервал между делениями: 4;

    Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;

    Положение оси: по делениям;

    Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);

    • самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
    • на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.

    Примерный результат работы приведен на рис. 10:

    3 этап: Определение корней уравнения.

    График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х1=1; х2=4.

    II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.

    Пример 2: Решить графическим способом уравнение .

    Для этого: в одной системе координат построить графики функций у1= и у2=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.

    1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):

  • Перейти на Лист2.
  • Аналогично Примеру 1, применив приемы копирования, заполнить таблицу. При табулировании функции у1=воспользоваться встроенной функцией Корень (Рис. 11).
  • 2 этап: Построение диаграммы типа График.

  • Выделить диапазон ячеек (А2:V3);
  • Аналогично Примеру 1 вставить и отформатировать диаграмму типа График, выбрав дополнительно в настройках горизонтальной оси: вертикальная ось пересекает в категории с номером 5.
  • Примерный результат работы приведен на Рис. 12:

    3 этап: Определение корней уравнения.

    Графики функций у1= и у2=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.

    III. Метод Подбор параметра.

    Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.

    Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.

    Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.

    1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.

    Построить график функции у=х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.

    • выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;
    • с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.

    Все изменения сразу отобразятся на графике.

    Примерный результат работы приведен на Рис. 13:

    2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.

    График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.

    По графику приближенно можно определить, что х1≈0,7; х2≈4,3.

    3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.

    1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.

    По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.

    • Выделить ячейку Е2;
    • перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;

    В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.

    В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).

    Щелкнуть по кнопке ОК.

    • В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:
    • В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).

    Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).

    Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х1≈0,6972.

    2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. 2≈4,3029).

    IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).

    При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.

    3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

    Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001.

    • ввести функцию у=и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):

    • найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);
    • найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).

    4. Итог урока.

    Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.

    Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.

    Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).

    5. Домашнее задание.

    Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2=0 с точностью до 0,01.

    Графическое решение уравнений средствами Microsoft Excel

    Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

    Применение табличного процессора Microsoft Excel для графического решения уравнений n-ой степени

    Из курса математики известно, что корнями уравнения являются значения точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Если же мы решаем систему уравнений, то ее решениями будут координаты точек пересечения графиков функций. Этот метод нахождения корней уравнения называется графическим. Мы уже знаем, что с помощью EXCEL можно строить практически любые графики. Воспользуемся этими знаниями для нахождения корней системы уравнений:

    Преобразуем данную систему в приведенную:

    Для оценки решений воспользуемся диаграммой, на которой отобразим графики обеих функций. Сначала построим таблицу:

    Первая строка – строка заголовков.

    При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х = – 10, для автоматического заполнения всего столбца в ячейку А3 занести формулу “= А2 + 1” и скопировать ее до ячейки А22.

    При заполнении столбца В: в ячейку В2 заносится формула “= А2 * А2”, которая затем копируется до ячейки В22.

    При заполнении столбца С: в ячейку С2 заносится формула “ = 2 * А2 + 9”, и также копируется до С22

    С помощью Мастера диаграмм построим в одной координатной плоскости графики заданных функций для первоначальной оценки решений/

    На диаграмме видно, что оба графика имеют точки пересечения – координаты этих точек и есть решения системы. Так как шаг изменения аргумента достаточно велик, то мы получим приближенные значения решений.

    Уточним их, построив два графика в интервалах от – 3 до 0, где находится первое решение, и от 3 до 5, где находится второе решение. Составим новые таблицы. Для первого решения – рисунок 4, для второго – рисунок 5.

    Для более точного построения мы уменьшили шаг изменения аргумента. Решением нашей системы будут координаты точек пересечения графиков: Х 1 = – 2,2; Y 1 = 4,6; Х 2 = 4,2; Y 2 = 17,4. Как вы уже поняли, графическое решение системы дает приблизительные результаты.
    Это можно сделать, построив график и определив координаты точек его пересечения с осью OX, либо построив два графика: Y = X3;
    Y = 2X2 + 4X – 12 и определив точки их пересечения.

    Практическая работа «Графический метод решения уравнений в Excel»

    Найти графическим методом корень уравнения 10sin(x)-2x 2 +5=0.

    Построим таблицу значений функции. Заполним столбец x значениями от -10 до 10. Значения y будем вычислять по формуле: =10*SIN(A2)-2*A2*A2+5 (формула для ячейки B2).

    Построив график, найдем точки пересечения графика с осью OX. Это и есть приближенное решение.

    Приближенное решение уравнения: -0.5 и 2.5.

    Просмотр содержимого документа
    «Практическая работа «Графический метод решения уравнений в Excel»»

    Графический метод решения уравнений.

    Найти графическим методом корень уравнения 10sin(x)-2x 2 +5=0.

    Построим таблицу значений функции. Заполним столбец x значениями от -10 до 10. Значения y будем вычислять по формуле: =10*SIN(A2)-2*A2*A2+5 (формула для ячейки B2).

    Построив график, найдем точки пересечения графика с осью OX. Это и есть приближенное решение.

    Приближенное решение уравнения: -0.5 и 2.5.

    Исследование физических моделей

    Рассмотрим процесс решения задачи на конкретном примере: Тело брошено с некоторой высоты с начальной скоростью, направленной под углом к горизонту. Определить угол, при котором дальность полета будет максимальной.

    Содержательная постановка задачи. В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в мишень определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.

    1) Описательная модель. Сначала построим качественную описательную модель процесса движения тела с использованием физических объектов, понятий и законов, то есть в данном случае идеализированную модель движения объекта. Из условия задачи можно сформулировать следующие основные предположения:

    тело мало по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;

    изменение высоты тела не велико, поэтому ускорение свободного падения считать постоянной величиной g = 9,8 м/с 2 и движение по оси OY можно считать равноускоренным;

    скорость движения мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь.

    2) Формальная модель. Из курса физики известно, что описанное выше движение является равноускоренным. Координаты тела в любой момент времени можно найти по формулам:

    Для формализации модели используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения. При заданных начальной скорости и и угле бросания а значения координат дальности полета х и высоты у от времени можно описать следующими формулами:

    или

    или

    3) Компьютерная модель. Преобразуем формальную модель в компьютерную с использованием электронных таблиц. Выделим ячейки для ввода начальных данных: нач. скорость, нач. высота, угол. Построим таблицу для вычисления координат x и y.

    Координата x: =$B$1*COS($B$3*3,14/180)*A6 .

    Координата y: =$B$2+$B$1*SIN($B$3*3,14/180)*A6-9,8*A6*A6/2.

    Визуализируем модель построив график движения тела (зависимость y от x).

    4) Исследуем модель и определим искомый угол.

    источники:

    http://infourok.ru/graficheskoe-reshenie-uravneniy-sredstvami-microsoft-ecel-2404628.html

    http://multiurok.ru/files/praktichieskaia-rabota-grafichieskii-mietod-rieshieniia-uravnienii-v-excel.html

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти корни уравнения на отрезке в excel
  • Как найти корни уравнения в excel подбор параметра
  • Как найти корни уравнения в excel по графику
  • Как найти корни трансцендентного уравнения в excel
  • Как найти корни полинома в excel