Как находить корни кубического уравнения в excel - Word и Excel

На клавиатуре нет кнопок с написанием квадратного или другого корня, поэтому в Excel создана специальная функция, вводит и вычисляет квадратный корень. Как ей воспользоваться, а также как извлечь корни разных степеней в Excel? Рассмотрим несколько примеров.

Важно! Функции в Excel вводятся в ячейках русскими буквами без пробелов, перед названием функции ставится знак равно =

За квадратный корень отвечает функция КОРЕНЬ(значение). Чтобы воспользоваться ей, нужно в ячейке написать =КОРЕНЬ и без пробелов внутри скобки написать значение, от которого нужно найти квадратный корень.

Для квадратного корня есть своя функция — КОРЕНЬ — а как быть с другими с другими корнями?

Из курса математики известно, что извлечение корня N —степени равно возведению числа в степень 1/ N .

Этой формулой и нужно пользоваться для вычисления корней разных степеней в Excel. Для возведения степени использовать функцию СТЕПЕНЬ(аргумент) или галочку ^ (на английской раскладке SHIFT + 6). Саму дробную степень писать в скобках.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Понравился материал?
Хотите прочитать позже?
Сохраните на своей стене и
поделитесь с друзьями

Ошибка в тексте? Мы очень сожалеем,
что допустили ее. Пожалуйста, выделите ее
и нажмите на клавиатуре CTRL + ENTER.

2007-2022 «Педагогическое сообщество Екатерины Пашковой — PEDSOVET.SU».
12+ Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-41726 от 20.08.2010 г. Выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций.
Адрес редакции: 603111, г. Нижний Новгород, ул. Раевского 15-45
Адрес учредителя: 603111, г. Нижний Новгород, ул. Раевского 15-45
Учредитель, главный редактор: Пашкова Екатерина Ивановна
Контакты: +7-920-0-777-397, info@pedsovet.su
Домен: https://pedsovet.su/
Копирование материалов сайта строго запрещено, регулярно отслеживается и преследуется по закону.

Отправляя материал на сайт, автор безвозмездно, без требования авторского вознаграждения, передает редакции права на использование материалов в коммерческих или некоммерческих целях, в частности, право на воспроизведение, публичный показ, перевод и переработку произведения, доведение до всеобщего сведения — в соотв. с ГК РФ. (ст. 1270 и др.). См. также Правила публикации конкретного типа материала. Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Для подтверждения подлинности выданных сайтом документов сделайте запрос в редакцию.

Опубликовать урок
Опубликовать статью
Дать объявление
Подписаться на новости
Частые вопросы
сервис вебинаров —>

О работе с сайтом

Мы используем cookie.

Публикуя материалы на сайте (комментарии, статьи, разработки и др.), пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьми лицами.

При этом редакция сайта готова оказывать всяческую поддержку как в публикации, так и других вопросах.

Если вы обнаружили, что на нашем сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору — материалы будут удалены.

Как найти корни кубического уравнения в эксель

Если в ячейку Excel введена формула, содержащая ссылку на эту же самую ячейку (может быть и не напрямую, а опосредованно — через цепочку других ссылок), то говорят, что имеет место циклическая ссылка (цикл). На практике к циклическим ссылкам прибегают, когда речь идет о реализации итерационного процесса, вычислениях по рекуррентным соотношениям. В обычном режиме Excel обнаруживает цикл и выдает сообщение о возникшей ситуации, требуя ее устранения. Excel не может провести вычисления, так как циклические ссылки порождают бесконечное количество вычислений. Есть два выхода из этой ситуации: устранить циклические ссылки или допустить вычисления по формулам с циклическими ссылками (в последнем случае число повторений цикла должно быть конечным).

Рассмотрим задачу нахождения корня уравнения методом Ньютона с использованием циклических ссылок. Возьмем для примера квадратное уравнение: х 2 — 5х + 6=0, графическое представление которого приведено на рис. 8. Найти корень этого (и любого другого) уравнения можно, используя всего одну ячейку Excel.

Для включения режима циклических вычислений в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления включаем флажок Итерации, при необходимости изменяем число повторений цикла в поле Предельное число итераций и точность вычислений в поле Относительная погрешность (по умолчанию их значения равны 100 и 0,0001 соответственно). Кроме этих установок выбираем вариант ведения вычислений: автоматически или вручную. При автоматическом вычислении Excel выдает сразу конечный результат, при вычислениях, производимых вручную, можно наблюдать результат каждой итерации.

Рис. 8. График функции

Выберем произвольную ячейку, присвоим ей новое имя, скажем — Х, и введем в нее рекуррентную формулу, задающую вычисления по методу Ньютона:

где F и F1 задают соответственно выражения для вычисления значений функции и ее производной. Для нашего квадратного уравнения после ввода формулы в ячейке появится значение 2, соответствующее одному из корней уравнения (рис. 8). В нашем случае начальное приближение не задавалось, итерационный вычислительный процесс начинался со значения, по умолчанию хранимого в ячейке Х и равного нулю. А как получить второй корень? Обычно это можно сделать изменением начального приближения. Решать проблему задания начальных установок в каждом случае можно по-разному. Мы продемонстрируем один прием, основанный на использовании функции ЕСЛИ. С целью повышения наглядности вычислений ячейкам были присвоены содержательные имена (рис. 9).

В ячейку Хнач (В4) заносим начальное приближение — 5.
В ячейку Хтекущ (С4) записываем формулу:
=ЕСЛИ(Хтекущ=0;Хнач; Хтекущ-(Хтекущ^2-5*Хтекущ+6)/(2*Хтекущ-5)).
В ячейку D4 помещаем формулу, задающую вычисление значения функции в точке Хтекущ, что позволит следить за процессом решения.
Заметьте, что на первом шаге вычислений в ячейку Хтекущ будет помещено начальное значение, а затем уже начнется счет по формуле на последующих шагах.

Чтобы сменить начальное приближение, недостаточно изменить содержимое ячейки Хнач и запустить процесс вычислений. В этом случае вычисления будут продолжены, начиная с последнего вычисленного

Рис. 9. Определение начальных установок

значения. Чтобы обнулить значение, хранящееся в ячейке Хтекущ, нужно заново записать туда формулу. Для этого достаточно для редактирования выбрать ячейку, содержащую формулу, дважды щелкнув мышью на ней (при этом содержимое ячейки отобразится в строке формул). Щелчок по кнопке (нажатие клавиши) Enter запустит вычисления с новым начальным приближением.

2.2. Подбор параметра

Когда желаемый результат вычислений по формуле известен, но неизвестны значения, необходимые для получения этого результата, можно воспользоваться средством Подбор параметра, выбрав команду Подбор параметра в меню Сервис. При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не дадут нужного результата.

Возьмем в качестве примера все то же квадратное уравнение х 2 -5х+6=0. Для нахождения корней уравнения выполним следующие действия:

В ячейку С3 (рис. 10) введем формулу для вычисления значения функции,

Рис. 10. Окно диалога Подбор параметра

стоящей в уравнении слева от знака равенства. В качестве аргумента используем ссылку на ячейку С2, т.е. =С2^2-5*C2+6.

В окне диалога Подбор параметра (рис. 10) в поле Установить в ячейке введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение — ожидаемый результат, в поле Изменяя значения ячейки — ссылку на ячейку, в которой будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).
После нажатия на кнопку Ok Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра. Если подобранное значение необходимо сохранить, то нажмите на Оk, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки. Для восстановления значения, которое было в ячейке С2 до использования команды Подбор параметра, нажмите кнопку Отмена.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка Продолжить — для возврата в обычный режим подбора параметра.

Вернемся к примеру. Опять возникает вопрос: как получить второй корень? Как и в предыдущем случае необходимо задать начальное приближение. Это можно сделать следующим образом (рис. 11,а):

В ячейку Х (С2) вводим начальное приближение.
В ячейку Х_i (С3) вводим формулу для вычисления очередного приближения к корню, т.е.
=X-(X^2-5*X+6)/(2*X-5).
В ячейку С4 поместим формулу, задающую вычисление значения функции, стоящей в левой части исходного уравнения, в точке Х_i.
После этого выбираем команду Подбор параметра, где в качестве изменяемой ячейки принимаем ячейку С2. Результат вычислений изображен на рис. 11,б (в ячейке С2 — конечное значение, а в ячейке С3 — предыдущее).

Однако все это можно сделать и несколько проще. Для того чтобы найти второй корень, достаточно в качестве начального приближения (рис. 10) в ячейку C2 поместить константу 5 и после этого запустить процесс Подбор параметра.

2.3. Поиск решения

Команда Подбор параметра является удобной для решения задач поиска определенного целевого значения, зависящего от одного неизвестного параметра. Для более сложных задач следует использовать команду Поиск решения (Решатель), доступ к которой реализован через пункт меню Сервис/Поиск решения.

Задачи, которые можно решать с помощью Поиска решения, в общей постановке формулируются так:

Искомые переменные — ячейки рабочего листа Excel — называются регулируемыми ячейками. Целевая функция F(х₁, х₂, … , х_n), называемая иногда просто целью, должна задаваться в виде формулы в ячейке рабочего листа. Эта формула может содержать функции, определенные пользователем, и должна зависеть (ссылаться) от регулируемых ячеек. В момент постановки задачи определяется, что делать с целевой функцией. Возможен выбор одного из вариантов:

найти максимум целевой функции F(х₁, х₂, … , х_n);
найти минимум целевой функции F(х₁, х₂, … , х_n);
добиться того, чтобы целевая функция F(х₁, х₂, … , х_n) имела фиксированное значение: F(х₁, х₂, … , х_n) = a.

Функции G(х₁, х₂, … , х_n) называются ограничениями. Их можно задать как в виде равенств, так и неравенств. На регулируемые ячейки можно наложить дополнительные ограничения: неотрицательности и/или целочисленности, тогда искомое решение ищется в области положительных и/или целых чисел.

Под эту постановку попадает самый широкий круг задач оптимизации, в том числе решение различных уравнений и систем уравнений, задачи линейного и нелинейного программирования. Такие задачи обычно проще сформулировать, чем решать. И тогда для решения конкретной оптимизационной задачи требуется специально для нее сконструированный метод. Решатель имеет в своем арсенале мощные средства решения подобных задач: метод обобщенного градиента, симплекс-метод, метод ветвей и границ.

Выше для нахождения корней квадратного уравнения был применен метод Ньютона (п. 1.4) с использованием циклических ссылок (п. 2.1) и средство Подбор параметра (п. 2.2). Рассмотрим, как воспользоваться Поиском решения на примере того же квадратного уравнения.

Рис. 12. Окно диалога Поиск решения

После открытия диалога Поиск решения (рис. 12) необходимо выполнить следующие действия:

в поле Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу для вычисления значений оптимизируемой функции, в нашем примере целевая ячейка — это С4, а формула в ней имеет вид: = C3^2 — 5*C3 + 6;
для максимизации значения целевой ячейки, установить переключатель максимальному значению в положение 8 , для минимизации используется переключатель минимальному значению, в нашем случае устанавливаем переключатель в положение значению и вводим значение 0;
в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргументов целевой функции (С3), разделяя их знаком «;» (или щелкая мышью при нажатой клавише Сtrl на соответствующих ячейках), для автоматического поиска всех влияющих на решение ячеек используется кнопка Предположить;
в поле Ограничения с помощью кнопки Добавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска: для нашего примера ограничений задавать не нужно;
для запуска процесса поиска решения нажать кнопку Выполнить.

Рис. 13. Результаты поиска

Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель Сохранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения. После чего рабочий лист примет вид, представленный на рис. 13. Полученное решение зависит от выбора начального приближения, которое задается в ячейке С4 (аргумент функции). Если в качестве начального приближения в ячейку С4 ввести значение, равное 1,0, то с помощью Поиска решения найдем второй корень, равный 2,0.

Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Параметры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения), следующие (рис. 14):

Рис. 14. Настройка параметров Решателя

Максимальное время — ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача большой размерности, то время необходимо увеличить).
Предельное число итераций — еще один способ ограничения времени поиска путем задания максимального числа итераций. По умолчанию задано 100, и, чаще всего, если решение не получено за 100 итераций, то при увеличении их количества (в поле можно ввести время, не превышающее 32767 секунд) вероятность получить результат мала. Лучше попытаться изменить начальное приближение и запустить процесс поиска заново.
Относительная погрешность — задает точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до 1).
Допустимое отклонение — задается в % только для задач с целочисленными ограничениями. Поиск решения в таких задачах сначала находит оптимальное нецелочисленное решение, а потом пытается найти ближайшую целочисленную точку, решение в которой отличалось бы от оптимального не более, чем на указанное данным параметром количество процентов.
Сходимость — когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа (дробь из интервала от 0 до 1), указанного в данном параметре, поиск прекращается.
Линейная модель — этот флажок следует включать, когда целевая функция и ограничения — линейные функции. Это ускоряет процесс поиска решения.
Неотрицательные значения — этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.
Автоматическое масштабирование — этот флажок следует включать, когда масштаб значений входных переменных и целевой функции и ограничений отличается, возможно, на порядки. Например, переменные задаются в штуках, а целевая функция, определяющая максимальную прибыль, измеряется в миллиардах рублей.
Показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.
Оценки — эта группа служит для указания метода экстраполяции — линейная или квадратичная, — используемого для получения исходных оценок значений переменных в каждом одномерном поиске. Линейная служит для использования линейной экстраполяции вдоль касательного вектора. Квадратичная служит для использования квадратичной экстраполяции, которая дает лучшие результаты при решении нелинейных задач.
Разности (производные) — эта группа служит для указания метода численного дифференцирования, который используется для вычисления частных производных целевых и ограничивающих функций. Параметр Прямые используется в большинстве задач, где скорость изменения ограничений относительно невысока. Параметр Центральные используется для функций, имеющих разрывную производную. Данный способ требует больше вычислений, однако его применение может быть оправданным, если выдается сообщение о том, что получить более точное решение не удается.
Метод поиска — служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и необходимо экономить память, а также если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Сохранить модель поиска решения можно следующими способами:

при сохранении книги Excel после поиска решения все значения, введенные в окнах диалога Поиск решения, сохраняются вместе с данными рабочего листа. С каждым рабочим листом в рабочей книге можно сохранить один набор значений параметров Поиска решения;
если в пределах одного рабочего листа Excel необходимо рассмотреть несколько моделей оптимизации (например найти максимум и минимум одной функции, или максимальные значения нескольких функций), то удобнее сохранить эти модели, используя кнопку Параметры/Сохранить модель окна Поиск решения. Диапазон для сохраняемой модели содержит информацию о целевой ячейке, об изменяемых ячейках, о каждом из ограничений и все значения диалога Параметры. Выбор модели для решения конкретной оптимизационной задачи осуществляется с помощью кнопки Параметры/Загрузить модель диалога Поиск решения;
еще один способ сохранения параметров поиска — сохранение их в виде именованных сценариев. Для этого необходимо нажать на кнопку Сохранить сценарий диалогового окна Результаты поиска решений.

Кроме вставки оптимальных значений в изменяемые ячейки Поиск решения позволяет представлять результаты в виде трех отчетов: Результаты, Устойчивость и Пределы. Для генерации одного или нескольких отчетов необходимо выделить их названия в окне диалога Результаты поиска решения. Рассмотрим более подробно каждый из них.

Рис. 15. Отчет по устойчивости

Отчет по устойчивости (рис.15) содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот отчет имеет два раздела: один для изменяемых ячеек, а второй для ограничений. Правый столбец в каждом разделе содержит информацию о чувствительности. Каждая изменяемая ячейка и ограничения приводятся в отдельной строке. Раздел для изменяемых ячеек содержит значение нормированного градиента, которое показывает, как целая ячейка реагирует на увеличение значения в соответствующей изменяемой ячейке на одну единицу. Подобным образом, множитель Лагранжа в разделе для ограничений показывает, как целевая ячейка реагирует на увеличение соответствующего значения ограничения на одну единицу. При использовании целочисленных ограничений Excel выводит сообщение Отчеты устойчивость и Пределы не применимы для задач с целочисленными ограничениями. Если в окне диалога Параметры поиска решения установлен флажок Линейная модель, то отчет по устойчивости содержит несколько дополнительных столбцов информации.

Рис. 16. Отчет по результатам

Отчет по результатам (рис.16) содержит три таблицы: в первой приведены сведения о целевой функции до начала вычисления, во второй — значения искомых переменных, полученные в результате решения задачи, в третьей — результаты оптимального решения для ограничений. Этот отчет также содержит информацию о таких параметрах каждого ограничения, как статус и разница. Статус может принимать три состояния: связанное, несвязанное или невыполненное. Значение разницы — это разность между значением, выводимым в ячейке ограничения при получении решения, и числом, заданным в правой части формулы ограничения. Связанное ограничение — это ограничение, для которого значение разницы равно нулю. Несвязанное ограничение — это ограничение, которое было выполнено с ненулевым значением разницы.

Отчет по пределам содержит информацию о том, в каких пределах значения изменяемых ячеек могут быть увеличены или уменьшены без нарушения ограничений задачи. Для каждой изменяемой ячейки этот отчет содержит оптимальное значение, а также наименьшие значения, которые ячейка может принимать без нарушения ограничений.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Решение уравнений в excel — примеры решений

Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.

Первый метод

Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».

1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.

2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля

3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.

4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.

Второй метод

Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.

1. Создаете два диапазона.

На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.

2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.

3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.

Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.

4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.

Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.

Третий метод

Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.

1. Записываете произвольную систему уравнений.

2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.

3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.

4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.

Четвертый метод

Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.

Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.

1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.

2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).

Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.

3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.

4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.

5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу

=C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.

6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78

7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77

8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76

9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.

Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.

Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.

Жми «Нравится» и получай только лучшие посты в Facebook ↓

источники:

http://old.exponenta.ru/EDUCAT/systemat/pimonov/Equations/gl2.asp

http://mir-tehnologiy.ru/reshenie-uravnenij-v-excel-primery-reshenij/

Источник

Содержание | Назад

Рассмотрим пример нахождения всех корней уравнения

Отметим, что у полинома третьей степени имеется не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их предварительно надо локализовать. С этой целью необходимо полином протабулировать. Построим таблицу значений полинома на отрезке [—1,1] с шагом 0,2 и график полинома. Результат приведен на рис. 29, где в ячейку В2 введена формула

=A2^3 — 0,01*A2^2 — 0,7044*A2 + 0,139104.

На рис. 29 видно, что полином меняет знак на интервалах [—1,—0,8], [0,2, 0,4] и [0,6, 0,8]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома. Поскольку полином третьей степени имеет не более трех действительных корней, мы локализовали все его корни.

Найдем корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис / Подбор параметров. Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций задаются на вкладке Вычисления диалогового окна Параметры, открываемого командой Сервис / Параметры (рис. 30).

Зададим относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,00001 и 1000 соответственно. В качестве начальных приближений к корням можно взять любые точки из отрезков локализации корней. Возьмем в качестве начальных приближений их средние точки: —0.9, 0.3, 0,7 и введем их в диапазон ячеек С2:С4. В ячейку D2 введем формулу

=C2^3 — 0,01*C2^2 — 0,7044*C2 + 0,139104.

Выделим эту ячейку и с помощью маркера заполнения протащим введенную в нее формулу на диапазон D2:D4. В ячейках D2:D4 будут вычислены значения полинома при значениях аргумента, введенных в ячейки C2:C4.

Теперь выберем команду Сервис / Подбор параметров и заполним диалоговое окно Подбор параметров следующим образом (рис. 31).

В поле Установить в ячейке введем D2. В этом поле дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. В поле Значение введем 0 (в этом поле указывается правая часть уравнения). В поле Изменяя значение ячейки введем С2 (в этом поле дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную).

Вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке. При этом Excel автоматически будет превращать их в абсолютные ссылки (в нашем примере в $D$2 и $C$2).

После нажатия кнопки ОК средство подбора параметров находит приближенное значение корня, которое помещается в ячейку С2. В данном случае оно равно —0,920. Аналогично в ячейках С3 и С4 находим два оставшихся корня. Они равны 0,210 и 0,720.

Содержание | Назад

Источник

Microsoft Excel представляет собой приложение для работы с электронными таблицами. Одно из самых значительных его преимуществ – это возможность осуществления различных расчетов с использованием встроенных формул и функций.

Вам понадобится

— MS Excel.

Инструкция

Выполните решение нелинейного уравнения в Excel на примере следующего задания. Найти корни полинома x3 — 0,01×2 — 0,7044x + 0,139104 = 0. Для этого сначала выполните графическое решение уравнения. Известно, что для решения такого уравнения нужно найти точку пересечения графика функции f(x) и оси абсцисс, то есть необходимо узнать такое значение x, при котором функция обратится в ноль.

Проведите табулирование полинома на интервале, к примеру, от –1 до 1, возьмите для этого шаг 0,2. Введите в первую ячейку –1, в следующую –0,8, затем выделите обе, наведите курсор мыши на правый нижний угол, чтобы появился значок плюса, и протяните до тех пор, пока не появится значение 1.

Затем в ячейке справа от –1 введите формулу = A2^3 — 0,01*A2^2 — 0,7044*A2 + 0,139104. С помощью автозаполнения найдите y для всех значений x. Выполните построение графика функции по полученным расчетам. На графике найдите пересечения оси абсцисс и определите интервалы, на которых находятся корни полинома. В нашем случае это [-1,-0.8] и [0.2,0.4], а также [0.6,0.8].

Найдите корни уравнения с помощью последовательного приближения. Установите погрешность вычисления корней, а также предельное число с помощью меню «Сервис» и вкладки «Параметры». Введите начальные приближения и значения функции, затем вызовите меню «Сервис», пункт «Подбор параметра».

Заполните появившееся диалоговое окно таким образом: в поле «Установить в ячейке» введите B14 (ссылка на ячейку, которая отводится под искомую переменную), в поле «Значение» установите 0 (правая часть уравнения), а в поле «Изменяя значение ячейки» введите абсолютную ссылку на ячейку A14 (ячейка с формулой, по которой вычисляется значение левой половины уравнения). Удобнее вводить ссылки не вручную, а выбирая нужные ячейки левой кнопкой мыши. Щелкните «ОК». На экране отобразится результат подбора. Поиск двух оставшихся корней произведите аналогично.

Источники:

как в excel найти корень

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

67RUS

Пользователь

Сообщений: 47
Регистрация: 24.03.2016

Здравствуйте уважаемые участники форума. Прошу Вас оказать помощь или предложить готовое решение. Нужен шаблон для нахождения вещественного корня (комплексные не интересуют) в уравнении вида: AX^3+BX^2+CX+D=0 коэффициенты A, B, C, D известные величины. В результате должно получится: после подстановки значений A, B, C, D в выбранные для них ячейки в соответствующей ячейке должно появиться значение «Х», ну если возможно, можно еще и графиком украсить решение данного вопроса, для наглядного понимания распределения функции. Например зависимость частоты от температуры у кварцевого преобразователя температуры имеет вид: t=A0+A1*ΔF+A2*(ΔF^2)+A3*(ΔF^3), коэффициенты датчика следующие: А0=-369,105290542234; А1=1,18802441203752; А2=-0,00106081756060917; А3=5,22937693483128E-07. Постановка задачи: Получить значение ΔF при подстановке значения t, то есть вычислить какая теоретически должна быть частота на выходе преобразователя при каком то значении температуры. Прошу Вас помогите с составлением «программы».

vikttur Пользователь Сообщений: 47199 Регистрация: 15.09.2012

ту же закономерность мы наблюдали у нас в лаборатории с квантовыми синхрофазотронами, на больших амплитудах у нас sin(fi) бывало до 7 доходил!!!
коллега, а Вы поправку Глоуди-Брадкова учитывали или нет?

Программисты — это люди, решающие проблемы, о существовании которых Вы не подозревали, методами, которых Вы не понимаете!

Был бы у меня пример я бы наверное сюда не обратился, а то по ходу не пойму как реализовать обратную функцию. В примере от «

Ігор Гончаренко

» вычисляется значение f(x) то есть чему равен «У» при подстановке значения «х». В моем же случае все наоборот. У меня «у» и коэффициенты известны, нужно вычислить чему будет равен «х» при подставляемых значениях у, а0, а1, а2, а3.

Vik_tor Пользователь Сообщений: 1927 Регистрация: 19.09.2014	а подбор параметра не поможет? Прикрепленные файлы подбор.xlsm (13.07 КБ)

Маугли Пользователь Сообщений: 348 Регистрация: 22.12.2012	С графиком. Изменено: Маугли — 27.09.2017 11:53:25 (так лучше)

ruslik-haker,
в предыдущем примере можно было подставить ЛЮБЫЕ значения коэффициентов А0, А1, А2 и А3 и получить для них Х, при котором У = 0
теперь можно дополнительно в первой колонке написать желаемое У и получить Х при котором
А0 + А1х+ А2х^2 + A3x^3 = Y (не обязательно 0)

Вот два последних примера самое то, особенно последний, СПАСИБО ОГРОМНОЕ. Но для перспективы, хотелось бы разобраться в алгоритме решения, а не просто тупо скопировать готовый результат, конечноже ОГРОМНОЕ СПАСИБО ВСЕМ ОТКЛИКНУВШИМСЯ, а то ведь к этой теме придется вернуться еще не раз, в перспективе опыты еще с датчиками давления, влажности, может еще чего нибудь позже потребуется…, а то жму в клетку в которой отображается результат (значение «Х») а там вместо формулы число написано, сначала подумал что константа, а потом поменял коэффициенты, потом значение «у», увидел что цифра справа от клетки с «Х=» тоже меняется. Раскройте пожалуйста секрет, объясните пожалуйста начинающему, откуда там берется результат, если в той ячейке при втыкании в неё курсора нет выражения типа = а+б-в*г….?

см. сообщение #5 «подбор параметра» есть такое инструмент у Excel
только стандартный подбор параметра не пересчитывается каждый раз, когда изменились данные, от которых он фактически зависит и его нужно пнуть ногой чтобы пересчитался, а у меня в файле это происходит автоматически — любое изменение коэфф. полинома или значения функции, которое следует подобрать тут же включает подбор соотв. Х

ruslik-haker

Пользователь

Сообщений: 47
Регистрация: 24.03.2016

#10

27.09.2017 19:26:23

Цитата
Ігор Гончаренко написал: в предыдущем примере можно было подставить ЛЮБЫЕ значения коэффициентов А0, А1, А2 и А3 и получить для них Х, при котором У = 0

а в строке f(x) почему то не нуль.( в предпоследнем примере). Откройте пожалуйста тайну алгоритма хочу на его основе (методом переноса и перестановок) создать другой, для подбора коэффициентов А0 и А1. Понимаю, что это называется плагиат, но все же, если не жалко, поделитесь секретом. Случается иногда паспортные данные предоставленные продавцом датчиков чуть требуется подкорректировать для уменьшения погрешности показаний прибора, так например изменение значения свободного члена А0 может сдвигать характеристику влево, вправо применяется если погрешность во всем диапазоне измерений +/- одинакова и например с одним знаком, а коэфф А1 влияет на наклон характеристики. К примеру прибор врет на 1,5 градуса во всем диапазоне, подбираем (пока еще методом тыка, для этого и нужна эта программа) коэфф А0 и сдвигаем показания в право или влево, и добиваемся нужного результата. Вторым (самостоятельным) этапом станет «автоматизация» выделения требуемого значения А0, для подстановки под «требуемые» значения температуры и вычисленное значение частоты для этой t по предыдущему примеру. А третьим этапом будет более сложная задача, составление формулы для выведения требуемого значения козфф А1 (множитель при Х^1) влияющий на наклон характеристики, необходимо при неравномерно распределенной погрешности, когда сдвиг характеристики приводит к уменьшению погрешности на одних контрольных точках и к ее увеличению на других точках.

Кнопка цитирования не для ответа [МОДЕРАТОР]

Ігор Гончаренко, вот и хотелось бы разобраться как это происходит, ну не в смысле как реализована автоматизация, а в смысле алгоритма решения где дано: коэффициенты, найти: значение Х припри котором выполняется равенство.

Маугли

Пользователь

Сообщений: 348
Регистрация: 22.12.2012

#12

27.09.2017 20:12:58

Примерно так..

Скрытый текст

Андрей VG

Пользователь

Сообщений: 11878
Регистрация: 22.12.2012

Excel 2016, 365

#13

27.09.2017 20:13:27

Доброе время суток.

Цитата
ruslik-haker написал: а в смысле алгоритма решения где дано: коэффициенты, найти: значение Х припри котором выполняется равенство.

А в чём проблема?

Тут

хорошо алгоритм решения изложен, как прямого, так и приближениями.
Версия для одного корня, для случая ваших коэффициентов.
Успехов.
P. S. Как это в случае выключенного прибора получается такой свободный член? Он же даже в Фаренгейтах — сомнителен.

Прикрепленные файлы

X^3.xlsx (29.16 КБ)

ruslik-haker

Пользователь

Сообщений: 47
Регистрация: 24.03.2016

#14

27.09.2017 20:46:57

Цитата
Андрей VG написал: P. S. Как это в случае выключенного прибора получается такой свободный член? Он же даже в Фаренгейтах — сомнителен.

Включен прибор или выключен значения не имеет, после проверки, посчитали, на всех точках отняли от образцового поверяемый, получили разницу превышающую допуск….. далее математика и прибор можно выключать, пока не будет вычислено требуемое значение А0. Может я некорректно выразился, фаренгейты и пр. ед. физ. величины тут не причем, я имел ввиду слогаемое не умножаемое на «Х», т.е. тут: А0+А1Х+А2X^2+A3X^3=0 например я подразумевал что А0 сдвигает, а А1 изменяет наклон. Не знаю почему, но говоря о «свободном члене» я имел ввиду (из этого выр-я) А0, а для того чтобы увидеть его паспортное значение прибор не обязательно должен быть включен., ..я в школе плохо наверное учился, да и память уже не соотв. «системным требованиям», ааа, вспомнил, в 7-м классе 2 по контрольной получил… За примеры спасибо, буду вникать. Кажись начинаю догадываться, что это что то из VBA или макросов, в общем придется с нуля осваивать. СПАСИБО всем откликнувшимся!

Изменено: ruslik-haker — 27.09.2017 20:52:14

Андрей VG

Пользователь

Сообщений: 11878
Регистрация: 22.12.2012

Excel 2016, 365

#15

27.09.2017 21:14:38

Цитата
ruslik-haker написал: я имел ввиду (из этого выр-я) А0,

Я его и имел в виду. Величина слагаемого не зависит от Х — поэтому и свободный

Цитата
ruslik-haker написал: что это что то из VBA или макросов

И коллег, да, я делал сугубо на формулах.

ruslik-haker

Пользователь

Сообщений: 47
Регистрация: 24.03.2016

#16

27.09.2017 21:55:58

Цитата
Андрей VG написал: А в чём проблема? Тут хорошо алгоритм решения изложен

С примером с использованием формул похожих на Кордано Виета ознакомился, ход мысли понятен и доходчив с первого раза, а вот… .Как внедрить»

ТУТ

» в excel? Красиво блин получаются макросы поглядел примеры изложенные выше, но как уже писал самому хочица научица писать в икселе правильно. Теоритически примерно представляю, но на 90% где то ошибаюсь. для начала синтаксис конечно нужно было бы выучить, но… .Методом тыка скопировал программу из ссылки предложенной Вами

http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php

по пути: разработчик/ макросы/создать/ вставляю скопированную программу из ссылки указанной выше, и что с этим дальше делать не пойму. Все равно спасибо за помощь, буду разбираться, (с нуля все таки с VBA придется сталкиваться). Буду очень признателен если кто то откликнится и упростит этот процесс самообучения указав куда нужно жать и что делать потом, что бы минимизировать количество прочитанной теории. стал разбираться и заметил, что в примере из ссылки выше коэффициент при X^3 всегда равен «1» и соответственно его величина далее в теории не учтена, хотя в идеале должно былобы быть не X^3 a Ax^3, а уже коэффициент b должен быть при X^2… Там написано: Кубическое уравнение записывается в виде: x3+a*x2+b*x+c=0. хотя мне кажется должно быть ax^3+bx^2+cx+d=0. если только теоретически выражение не упрощено делением всех слагаемых на «а».

Изменено: ruslik-haker — 27.09.2017 22:08:28

однако…
а где же проблема? в чем она???
имеем 4 коэфф. кубуческого полинома А0 + А1х +А2х^2 + A3x^3 = 0 (1)
имеем механизм получения значения Х, при котором выраженеи (1) стоновится равным любому наперед заданному значению.
что не так??? что еще нужно?

Изменено: Ігор Гончаренко — 27.09.2017 22:15:34

vikttur

Пользователь

Сообщений: 47199
Регистрация: 15.09.2012

#18

27.09.2017 22:17:11

Цитата
Ігор Гончаренко написал: что еще нужно?

Вот недогадливый! Готовое решение нужно

Витя, а в #7 что тогда?
полный автомат, который находит Х при заданных А… и У
в #3 было аналогичное решение только для У = 0, а в #7 для любого У…
кто-то из нас двоих: или я, или автор темы — не понмает того, что нужно автору темы.

Ни чего больше не нужно, буду книжку читать про вижл бейсик и макросы, спасибо большое всем откликнувшимся. Просто хотел спросить что делать с программой из примера:

http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php

, и попутно подчеркнул, что там не четыре коэффициента а три. а четвертый не изменяемый а всегда равен 1, и далее в вычислениях нигде не фигурирует «буква умножаемая на X^3» а если там вместо 1 будет например 500 то на дальнейшую роспись теории это не влияет, да? и всего то.

Андрей VG

Пользователь

Сообщений: 11878
Регистрация: 22.12.2012

Excel 2016, 365

#21

27.09.2017 22:27:22

Цитата
ruslik-haker написал: а если там вместо 1 будет например 500

Просто разделить всё уравнение на коэффициент при X^3, это же очевидно и в файле у меня сделано Можно посмотреть. я не запрещаю.

	Андрей VG,во, я на правильном пути, сомневался только, но предположил верно см. последнюю строчку моего поста в #16

А3 = 1 — это частный случай, или выполненео тождественное преобразование выражения, при котором А3=1
но оба эти выражения описывают ОДНУ И ТУ ЖЕ кривую.

ruslik-haker

Пользователь

Сообщений: 47
Регистрация: 24.03.2016

#24

27.09.2017 22:47:01

Цитата
Ігор Гончаренко написал: в #7 что тогда? в #3 было аналогичное решение только для У = 0, а в #7 для любого У…

это я видел и отметил кстати благодарностью, первая строчка #8, просто ну не знаю как сформулировать мысль, ладно по научному не получается, попробую по колхозному: За готовые примеры огромное спасибо!!! Очень хотел понять где именно в готовом примере спрятан фокус и как реализован подсчет «Х», ну типа вижу клетку рядом с клеткой «Х=» в которой изменяется результат при изменении А…, У. Понимая что результат там прописывается какой то функцией или подпрограммой, ну типа отображать «результат» в ячейке (Х;У). А вот где спрятана эта программа.., ну хочецца глазами ее увидеть, не стороннюю программу с другого сайта, а именно секрет из автоматизированных примеров, чтоб увидеть как взаимодействуют между собой операнды, по какой команде результат прописывается именно там где он отображен, ну и т.д. Ну не обессудьте безграмотного недотепу, я не претендую на готовое 100% решение, я хочу в теории разобраться, ведь результат в клетке сам по себе не появляется, значит где то есть «алгоритм». Не ну если это коммерческая тайна, то никаких вопросов, буду сочинять из того что есть, просто уверен что например при копировании чего нибудь, обязательно утратятся связи с подпрограммой, вот для чего хотел узнать, где спрятан секрет, чтоб видеть и исправлять при необходимости ссылки на ячейки с операндами, и связи между ними.

Изменено: ruslik-haker — 27.09.2017 23:03:27

Андрей VG

Пользователь

Сообщений: 11878
Регистрация: 22.12.2012

Excel 2016, 365

#25

27.09.2017 22:53:22

Цитата
ruslik-haker написал: я хочу в теории разобраться, ведь результат в клетке сам по себе не появляется

Увы, тогда надо начинать с исправления

Цитата
ruslik-haker написал: ааа, вспомнил, в 7-м классе 2 по контрольной получил…

Ігор Гончаренко

Пользователь

Сообщений: 13746
Регистрация: 01.01.1970

#26

28.09.2017 00:46:06

Цитата
За готовые примеры огромное спасибо

это не готовый пример, это готовый инструмент, который решает Вашу задачу!
в математике известно много методов приближенных вычислений корней нелинейных алгебрагических уравнений. КАКОЙ из этих методов используется инструментом Excel «подбор параметра» мне лично не известно и более того мне это по-барабану — главное, что он работает.
но Вам, вижу нет! пишите Биллу Гейтсу, он перекинет Ваше письмо на программистов, писавших «подбор параметра», они Вам расскажут и будете спать спокойнее вооруженный знаниями об используемом методе.
во вложении нарисован график куб.параболы у = x^3 + 2x^2 — 64x + 3
из рисунка видно что парабола 3 раза пересекает ось Х: около -9, около 0 и около 8.
во вложении корень в районе 0 найден 2-мя разными способами: методом половинного деления и методом хорд или по другому секущих.
суть методов:
определяется точки Х1 и Х2, так, что бы f(x1) и f(x2) имели разные знаки.
затем в каждом методе своим способом между Х1 и Х2 вычисляется след.Х, в методе деления пополам определяется кого из Х1 и Х2 должен заменить Х.
вычисления повторяются, Х все плотнее приближается к искомому значению
как видите, методом деления пополам элементарно определяется каждое следующее значение Х, но потребовалось 20 итераций чтобы приблизиться к решению
а методом хорд уже на 5-й итерации был найден корень уравнения.

для примера, полагаю, достаточно)))
удачи!

Прикрепленные файлы

Полином3 (1).xlsm (23.53 КБ)

ruslik-haker

Пользователь

Сообщений: 47
Регистрация: 24.03.2016

#27

28.09.2017 07:22:48

Цитата
Ігор Гончаренко написал: ….используется инструментом Excel «подбор параметра» мне лично не известно….

Так вот оказывается в чем дело, а я то не допер сразу, что во всех примерах с «автоматическим» вычислением используется «подбор параметров»?! В одном посте видел эту фразу но почему то подумал, что это относилось только к одному примеру, описываемому в том посте, а оно оказывается все проще пареной репы, что и требовалось узнать. Не я реально думал что в остальных автопримерах написана огромная бейсик книга, а теперь все встало на свои места, СПАСИБО ОГРОМНОЕ за намек! С формулами пример тоже не хуже, там хоть видно откуда «цифры» растут. Остался один вопрос, в последнем примере обратил внимание на распределение ветвей кубической параболы и сразу осенило: бывает что прибор в середине диапазона (-20…..+20) укладывается в допуск, а на краях (-50…-20 ; +20…+50) чем ближе к краю тем больше погрешность и с противоположными знаками на противоположных концах, как раз как на графике. Вопрос: Какой из коэффициентов влияет на «длину прямолинейного участка характеристики» ?

Изменено: ruslik-haker — 28.09.2017 07:24:23

у кубической параболы нет прямолинейных участков (зависимость между Х и У не линейная а кубическая)
у параболы есть цетр симметрии, так вот чем дальше Х от центра, тем более прямолинейным выглядит график.
чем больше коэфф. у Х в кубе — тем более резкий перегиб будет в цетре и тем стремительнее и прямолинейнее будут увеличиваться У-и при увеличении Х
и в конце концов
1. Вы можете почитать что-то о куб. параболах в инете
2. Вы можете поэкспериментировать с графиком нарисованным в Полином3(1):
поставьте все коэфф. 1
последовательно каждый их них сделайте 100, 50, -50, -100 (а остальные в это время = 1) и смотрите как это влияет на форму графика.

	Понял, спасибо, с коэффициентами уже экспериментировал, разницу заметил не сразу, т.к. визуально график почти не менялся, а приглядевшись заметил изменение шага координатной сетки.Спасибо за ответы.

ruslik-haker Пользователь Сообщений: 47 Регистрация: 24.03.2016	#30 28.09.2017 20:33:39 Андрей VG, Здравствуйте. В примере X^3.xlsx #13 в столбце Н в формуле возможно недочет, может я не прав, поправьте меня: во второй строке в начале формулы в первом сравнении сравнивается значение величины R^2 со значением в ячейке В5, в последующих строках Значение В5 заменяется приращенным на +1 к предыдущему имени ячейки (В6, В7…и т.д.).Получается сравнение с пустыми ячейками. Возможно такое произошло при копировании и вставке формулы из одной ячейки в остальные и комп сделал автоприращение адреса, может просто там «доллара» не хватает, для обозначения неизменяемой связи с одной ячейкой, или в столбце В ниже пятой строки не хватает данных. Научите как правильно должно быть. С более «навороченными примерами с автоматизацией» пробовал разбираться, но видимо пока еще чуть недорос, спотыкаюсь на копировании, теряются связи при копировании в другой документ и при переносе на другой комп. Подробно не вникал, но заметил в некоторых (не во всех!) ячейках ссылку на место хранения файла откуда копировал, типа : C:Users1DesktopПОДБОР КОЭФФИЦИЭНТОВ ДАТЧИКОВПолином3.xlsm, хотя делал как учили в «школе», выделял от левого верхнего угла, до правого нижнего все что было «видимым» + еще 3 строки ниже и 3 столбца правее, жал правую кн, выбирал «копировать»….. «вставить».p.s. копировать ссылку и вставить ссылку точно не выбирал и не нажимал. Изменено: ruslik-haker — 30.09.2017 22:07:29

Источник

=A2^3 — 0,01*A2^2 — 0,7044*A2 + 0,139104.

=C2^3 — 0,01*C2^2 — 0,7044*C2 + 0,139104.

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: .
В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Квадратное уравнение в Excel

В этой статье вы узнаете как решить квадратное уравнение в Excel на конкретном примере. Подробно разберем решение несложно задачи с картинками.

Ход решения

Запустим программу Microsoft Office Excel. Я пользуюсь 2007 версией. Для начала объединим ячейки A1:A5 и запишем в них формулу квадратного уравнения в виде ax2+bx+c=0.Далее нам нужно возвести x в квадрат, для этого нужно сделать цифру 2 надстрочным интервалом. Выделим двойку и нажмем правой кнопкой мыши.

Получим формулу вида ax 2 +bx+c=0

В ячейке A2 введем текстовое значение a= , в ячейке A3 b= и в ячейке A4 с= соответственно. Эти значения будут вводиться с клавиатуры в следующих ячейках (B2,B3,B4).

Введем текст для значений, которые будут считаться. В ячейке C2 d=, C3 x₁= C4 x₂=. Подстрочный интервал для xсделаем аналогично надстрочному интервалу в x 2

Перейдем к вводу формул для решения

Дискриминант квадратного трехчлена равен b 2 -4ac

В ячейку D2 введем соответствующую формулу для возведения числа во вторую степень:

Квадратное уравнение имеет два корня, в случае если дискриминант больше нуля. В ячейку C3 введем формулу для x₁

Для расчета x2 введем похожую формулу, но со знаком плюс

Соответственно при введенных значениях a,b,c сначала считается дискриминант, если его значения меньше нуля выводится сообщение «Корней нет», иначе получаем значения x₁ и x₂.

Защита листа в Excel

Нам нужно защитить лист, на котором мы производили расчеты. Без защиты нужно оставить ячейки, в которые можно вводить значения a,b,c, то есть ячейки B2 B3 B4. Для этого выделим данный диапазон и зайдем в формат ячеек, перейдем во вкладку Рецензирования, Защитить лист и уберем флажок с позиции Защищаемая ячейка. Нажмем кнопку OK, подтвердив внесенные изменения.

Этот диапазон ячеек будет не защищен при защите листа. Выполним защиту листа, для этого перейдем на вкладку Рецензирование пункт Защита листа. Пароль наберем 1234. Нажмем OK.

Теперь мы сможем изменять значения ячеек B2,B3,B4. При попытке изменения других ячеек мы получим сообщение следующего содержания: «Ячейка или диаграмма защищена от изменений. А так же совет по снятию защиты.

Источник