Как исследовать функцию в excel

Электронные таблицы EXCEL можно использовать при
изучении многих разделов физики, математики и
других предметов. Одной из данных тем является
математическая тема: “Анализ элементарных
функций”. Данная работа посвящена использованию
электронных таблиц EXCEL в анализе элементарных
функций.

Рис. 1 (см. Приложение 2)

На рис.1 представлена некоторая функция,
заданная с помощью таблицы, построение которой
приведено в Приложении 1.

Особенность анализа функций с помощью
электронных таблиц заключается в том, что анализ
проводится на дискретной информации.
Действительно, количество значений исследуемой
функции конечно и дано (как правило) с некоторым
постоянным шагом по аргументу.

При анализе исходной функции необходимо решить
следующие задачи:

1. определение максимума (минимума) данной функции
   на заданном интервале,
2. определение возрастания и/или убывания функции
   на заданном интервале,
3. определение четности заданной функции,
4. определение периодичности заданной функции,
5. определение значения первой производной данной
   функции и наличия экстремумов.

Для решения этих задач потребуется построить
таблицы ВводаИсходнойИнформации, таблицы
ВыводаРезультатов, Расчетной таблицы для
обработки информации и дополнительно построим
Вспомогательную таблицу. Таблицу
ВводаИсходнойИнформации и основу Расчетной
таблицу построены при введении значений
исследуемой функции в Приложении 1 и показанной
на рис.1. Построим решения задач анализа.

Приложение 1

Задача 1.
Для заданной функции на заданном интервале
аргумента определить ее минимальное и
максимальное значения.

Решение.
Для решения этой задачи построим таблицу
ВыводаРезультатов в виде

	D	E
1	комментарии	Значения
2	Макс f(X)	<формула>
3	Мин f(X)	<формула>

В мастере функций Excel имеются функции МАКС(…) и
МИН(…), позволяющие решить нашу задачу. Для этого
необходимо в ячейки Е2 и Е3 ввести соответственно
формулы:

E2 => [=МАКС(с10:с50)]
и
E3 => [=МИН(с10:с50)]

Примечание. Если “протяжка” велась до
другой строки, то в интервале ссылок указать
соответствующий номер строки.

ЗАДАЧА РЕШЕНА.

Задача 2.
Определение возрастания и/или убывания функции
на заданном интервале.

Решение.
Для решения данной задачи в расчетной таблице
необходимо построить столбец D, в котором знак
будет указывать на возрастание или убывание
функции в данной точке. Для этого в ячейку D11
введем формулу

D11 => [=ЕСЛИ(a11<>””;ЗНАК(D11-D10);””)]
и “протянем” ее до строки №50.

И там, где знак положительный, функция
возрастает, а там, где знак отрицательный,
функция – убывает.

Далее построим вспомогательную таблицу, в
которой определим количество признаков
возрастания и убывания функции

	F	G
1	КОММЕНТАРИИ	ЗНАЧЕНИЯ
2	Признак возрастания	<формула>
3	Признак убывания	<формула>

Для этого в ячейки g2 и g3 соответственно вводим
формулы:

G2 => [=СуммЕсли(d11:d50;”>0”)]
G3 => [=СуммЕсли(d11:d50;”<0”)]

Таблицу ВыводаРезультатов дополним строкой

	D	E
1	комментарии	значения
2	Макс f(X)	=МАКС(с10:с50)
3	Мин f(X)	=МИН(с10:с50)
4	Возрастание/Убывание	<формула>

И для определения характера изменения заданной
функции остается ввести в ячейку Е4 формулу:

E4 => [=ЕСЛИ(g2>0; ЕСЛИ(g3<0;”и то и
другое”;”возрастает”);”убывает”)

ЗАДАЧА РЕШЕНА.

Задача 3.
Определение четности данной.

Решение.
Для решения данной задачи необходимо знание
аналитического представления исходной функции,
так как признаком четности функции является
равенство f(X) = f(-X).

Для решения данной задачи в расчетной таблице
построим дополнительный столбец. В ячейку Е10
введем формулу

E10 => [=f(b10) – f(-b10)]
и “протянуть” ее до строки №50.

Таблицу ВыводаРезультатов дополним строкой

	D	E
1	комментарии	значения
2	Макс f(X)	=МАКС(с10:с50)
3	Мин f(X)	=МИН(с10:с50)
4	Возрастание/Убывание	[=ЕСЛИ(g2>0; ЕСЛИ(g3<0;”и то и другое”;”возрастает”);”убывает”)
5	четность	<формула>

В ячейку Е4 таблицы ВыводаРезультатов вводим
формулу.

E4 => [ЕСЛИ(ABS(СУММ(E10:E50))<0,000001; “ЧЕТНАЯ”;
“НЕЧЕТНАЯ”)

ЗАДАЧА РЕШЕНА.

Задача 4.
Определить является ли введенный период
периодом заданной функции.

Решение.
Для решения данной задачи необходимо знание
аналитического представления исходной функции,
так как признаком периодичности функции
является равенство f(Х) = f(X+<период>).

Для данной задачи добавим в таблице
ВводаИсходнойИнформации строку №6, в которой
введем численное значение предполагаемого
периода.

	А	В
1	КОММЕНТАРИИ	ЗНАЧЕНИЯ
2	Xn	<значение>
3	Xk	<значение>
4	Shag	<значение>
5	N	<формула>
6	период	<значение>

В ячейку В6 вводится число – предполагаемый
период заданной функции.

Далее для решения данной задачи построим
дополнительный столбец в расчетной таблице, для
этого в ячейку F11 введем формулу

F10 => [=ЕСЛИ(a10<>””;f(b10)-f(b10+$b$6);””)]

и “потягиваем” эту формулу до строки №50.

В таблице ВыводаРезультатов добавим строчку.

	D	E
1	комментарии	значения
2	Макс f(X)	=МАКС(с10:с50)
3	Мин f(X)	=МИН(с10:с50)
4	четность	=ЕСЛИ(g2>0; ЕСЛИ(g3<0;”и то и другое”;”возрастает”);”убывает”)
5	период	<формула>

В ячейке Е5 необходимо ввести формулу

Е5 => [=ЕСЛИ(СУММ(f10:f50)<0,01;”период”;”не
период”)]

Если данное значение предполагаемого периода
не подходит, то его можно изменить.

ЗАДАЧА РЕШЕНА.

Задача 5.
Для заданной функции определить:

• значения первой производной данной функции,
• наличия и количество экстремумов.

Решение.
Для решения первой части задачи, то есть
определения первой производной воспользуемся ее
разностным определение.

Построим столбец. Для этого в ячейку G11 вводим
формулу:

G11 => [= ЕСЛИ(a11<>””; ABS((c11-c10)/(b11-b10));””)]

и “протягиваем ее до строки с №50.

В результате получаем разностные приближенные
значения первой производной заданной функции в
заданных точках.

Для решения второй части задачи, то есть
определения наличия и количества экстремумов на
заданной функции в таблицу ВыводаРезультатов
дополнить строкой.

	D	E
1	комментарии	значения
2	Макс f(X)	=МАКС(с10:с50)
3	Мин f(X)	=МИН(с10:с50)
4	четность	=ЕСЛИ(g2>0; ЕСЛИ(g3<0;”и то и другое”;”возрастает”);”убывает”)
5	период	[=ЕСЛИ(СУММ(f10:f50)<0,01;”период”; ”не период”)]
6	Количество Экстремумов.	<формула>

В ячейке Е6 необходимо ввести формулу

E6 => [=СчетЕсли(g11:g50;”<0,05”)]

ЗАДАЧА РЕШЕНА.

Рис 2, см. Приложение 3

На рис.2 приведена построенная таблица
решения задач.

Предложенные в данной работе задачи можно
использовать на интегрированных уроках
информатика-математика, на уроках информатики
при изучении электронных таблиц, в частности, в
теме: “Мастер функций”.

Автор: Пенский Владимир Константинович

Предмет: алгебра, информатика.

Тема урока: Построение и исследование графика функции в MS EXCEL.

Класс: 9.

Продолжительность: 45 минут.

Цель урока: применение электронных таблиц для построения графика и изучения основных свойств квадратичной функции.

Задачи урока:

Образовательные:

• систематизация знаний о свойствах квадратичной функции;

• закрепить умение строить графики квадратичной функции и по графику определять ее основные свойства;

• закрепление умения работать с электронными таблицами.

Развивающие:

• формирование умения сравнивать, обобщать изучаемые факты;

• повышение уровня учебной мотивации с использованием компьютерных технологий, развитие логического мышления;

• развитие умения грамотно излагать свои мысли, обосновывать свои действия.

Воспитательные:

• развитие коммуникативных умений, формирование адекватной оценки собственной деятельности;

• развитие чувства товарищества, взаимопомощи, деликатности, дисциплинированности.

Оборудование: компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Постановка цели урока.

Сегодня на уроке мы повторим свойства квадратичной функции и научимся строить соответствующие графики функций с помощью прикладного программного обеспечения компьютера и, используя полученный график, определим свойства этой функции.

3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос.

Вспомним определение и основные свойства квадратичной функции. Для этого ответьте на вопросы.

1. Как называется функция вида у = aх² + bx + c (а ≠ 0), где а, b, c – действительные числа?

2. Что является графиком квадратичной функции?

3. При каких значениях х квадратичная функция у = х² возрастает? убывает?

4. Как называются значения переменной х, при которых значение функции равно нулю.

5. При а 0 ветви параболы у = ах² направлены … .

6. Если а х у = ах² принимает …(положительные, отрицательные) значения.

3. Повторение изученного материала.

1. Обоснуйте, что областью определения функции у = aх² + bx + c является множество всех действительных чисел.

2. Выясните, какие из следующих квадратичных функций являются: чётными; нечётными; не являются ни чётными, ни нечётными.

а) y = x²; б) y = 3 − 2x + x².

3. Найдите нули квадратичной функции:

а) y = 2x² + x − 3; б) y = x² − 8x + 15.

4. Найдите координаты вершины параболы у = х² – 4х + 4.

5. Укажите наибольшее (наименьшее) значение функции:

а) y = x²; б) y = 3x² + 1.

4. Изложение нового материала.

Можно ли, не проводя аналитических рассуждений определить свойства квадратичной функции? Действительно, по графику квадратичной функции можно определить все ее основные свойства.

Как построить график квадратичной функции? На помощь приходят современные компьютерные технологии. Сегодня существует множество программ, которые позволяют строить графики различных функций. Одним из простейших способов построения графика (в нашем случае графика квадратичной функции) является использование электронных таблиц Microsoft Excel.

Вспомним, каким образом можно построить график функции в данной программе.

Построим, например, график квадратичной функции у = х² + 2х – 3 и исследуем ее свойства.

1) Составим таблицу значений зависимости переменной у от х:

– в ячейку А1 введите заголовок столбца «х»;

– в ячейку А2 введите значение –5, а в ячейку А3 – –4,5;

– выделите содержимое ячеек А2 и А3, далее с помощью функции автозаполнения скопируйте до ячейки А18 (получим соответствующие значения х от –5 до 3);

– в ячейку В1 введите заголовок столбца у = х² + 2х – 3;

– в ячейку В2 введите формулу = В1^2 + 2*B1 – 3;

– скопируйте формулу из ячейки В2 (используя функцию автозаполнения) до ячейки В19.

2) Построение графика с помощью мастера диаграмм:

– выделите подготовленные данные, начиная с заголовка В1:В18.

– вызовите мастер диаграмм (Вставка – график – график);

– при задании параметров название диаграммы оставить;

– нажмите «ОК» и график автоматически вставится.

3) Работа с графиком:

– вставьте названия осей (Макет – названия осей – название основной горизонтальной оси – название под осью; Макет – названия осей – название основной вертикальной оси – горизонтальное название) и перенесите (х справа от оси, у выше оси);

– щелчком мыши в готовой диаграмме по каждой из осей, вызовите контекстное меню и установите: «горизонтальная ось пересекает значение оси 0», «вертикальная ось пересекает в категории с номером 11»;

– добавьте сетку (Макет – сетка – вертикальные линии сетки по основной оси – основные линии сетки).

Задание. С помощью построенного графика квадратичной функции у = х² + 2х – 3 определите:

а) четность-нечетность функции;

б) нули функции;

в) промежутки монотонности;

г) наибольшее и наименьшее значение функции.

5. Проверка усвоения нового материала.

Класс делится на две группы. Каждой группе предлагается решить определенное задание. После того как все обучающиеся в группе решили это задание, происходит взаимопроверка полученных решений.

1 группа.

1. Найдите координаты точек пересечения параболы у = х² + х – 12 с осями координат.

2. Постройте график квадратичной функции y = −3x² в программе Microsoft Excel и определите по графику значения этой функции в точках x₁ = 5, x₂ = −3.

2 группа.

1. Найдите значения квадратичной функции y = −3x² в точках x₁ = 5, x₂ = −3.

2. Постройте график квадратичной функции у = х² + х – 12 в программе Microsoft Excel и по графику определите координаты точек пересечения параболы с осями координат.

6. Подведение итогов.

Итак, мы повторили материал, касающийся свойств квадратичной функции, решали задачи.

Что нового вы узнали сегодня?

Довольны ли вы своей работой?

7. Домашнее задание.

Задайте аналитически квадратичную функцию, которая:

а) имеет два нуля −3 и 0;

б) имеет только один нуль −3;

в) не имеет нулей.

Однозначно ли можно выполнить задание во всех случаях?

Список использованной литературы:

1. Алгебра: учебник для 9 класса / Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Терре А.И. и др. – М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 272 с.

2. Семакин И.Г. Информатика и ИКТ: учебник для 9 класса / И.Г. Семакин, Л.А. Залогова, и др. – М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. – 341 с.

3. Социальная сеть работников образования «Наша сеть». – Режим доступа: http://nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/2013/11/02/integrirovannyy-urok-po-algebre-i-informatike

Белорусская
Государственная сельскохозяйственная
академия

кафедра информационных
технологий, Стрелков Г.В

Лабораторная работа № Тема: Исследование функции

Цель работысостоит в освоении
следующих приемов работы в среде

MS EXCEL.

1. Табулирование аналитически заданной
   функции.

2. Построение графика типа Точечная
   (подтип «С выравниваем»).

3. Условное форматирование.

4. Использование встроенного сервиса
   Подбор параметра.

5. Применение надстройки Поиск решения.

При изучении ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Вам
приходилось решать подобную задачу.
Часто это для Вас было сделать весьма
не просто. Почему? Не огорчайтесь, не
только Вы, но и многие гораздо более
продвинутые специалисты в разных
областях знаний не в состоянии провести
подобный анализ. Причины – да они могут
быть разные: или функция сложная и
простые приемы исследования решения
функции или не пригодны, или о них не
знает или даже не подозревает конкретный
человек (личность), , или …и т.п.

Но, поймите, что абсолютная точность
для реального применения результата
вычислений зачастую не нужна.

Задолго до создания ЭВМ были разработаны
методы нахождения приблизительного
решения не решаемых аналитически задач
– численные методы. Приблизительного,
но с необходимой степенью точности,
которая зависит от выполняемых для
достижения требуемого результата объема
вычислений. Трудность достижения
требуемой точности была существенна
при «ручном» методе вычислений. Сейчас
эта далеко прежде не простая задача
может быть поручена компьютеру. И точно
так же, как Вы не затрудняете себя
изучением таблицы умножения (а зачем,
ведь есть калькулятор), в реальной жизни
теперь многие задачи решают не
аналитически, а применяют численные
методы нахождения приблизительного
результата. МЫ поступим подобным образом
и для решения нашей эадачи.

Обоснование метода

Из курса ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Вы должны
знать, что (при соблюдениии определенных
условий) если функция F(x)
меняет знак (значение с + на – или на
оборот с – на +), то на данном отрезке
имеется хотя бы одно решение уравненияF(x)=0

Если первая производная меняет знак,
то на данном отрезке наличествует
экстремум функции F(x),
если с + на – , то максимум, иначе –
минимум.

Если вторая производная меняет знак,
то на данном отрезке присутствует точка
перегиба (выпуклая становится вогнутой
или наоборот) функции F(x)

Почитай, если хочешь.

В практике довольно
часто встречаются задачи, приводящие
к необходимости решения алгебраических
и трансцендентных уравнений.

Известно, что
уравнение f(x)=0
является
алгебраическим,
если функция f(x)
представляет
собой алгебраический многочлен порядка
n.
Уравнение имеет n
корней,
которые могут быть действительными и
(или) комплексными. Поскольку в электронной
таблице Excel
не предусмотрено применение арифметики
комплексных корней мы будем отыскивать
лишь действительные корни таких
уравнений.

Трансцендентные
уравнения,
в отличие от алгебраических, не позволяют
столь однозначно судить о количестве
своих действительных корней. (Заметим
попутно, что транцендентным будем
называть уравнение, содержащее
тригонометрические и другие специальные
функции).

Для решения уравнений
требуется знание довольно узкого
интервала (а, b)
на оси OX
, содержащего
корень уравнения. К сожалению, четких
рекомендаций по выбору таких интервалов
не существует, и в этом случае не последнюю
роль играет интуиция и опыт исследователя.
Если функция f(x)
достаточно проста, то уравнение может
быть решено аналитически. Это имеет
место, например, в случаях f(x)=ах+b,
f(x)=ах²+bx+c
и некоторых
других. Если нет аналитических методов
решения уравнения, то используют
численные методы.

Уравнение f(x)=0 может
иметь не один корень. В связи с этим
задачу отыскания корней в численных
методах обычно делят на две:

1.Отделение корней;
2.Уточнение корней.

.Говорят, что корень
отделён, если указан промежуток, внутри
которого находится только один корень.
Из курса анализа известна теорема
Вейерштрасса: Если функция F(x) непрерывна
на отрезке [a;b] и на концах его имеет
значения разных знаков, т.е. F(a)*F(b)<0, то
внутри промежутка найдётся хотя бы одна
точка с, в которой F(c)=0. Иными словами, в
промежутке [a;b] содержится хотя бы один
корень уравнения F(x)=0.

В отдельных случаях
для гарантии правильности результата
надо провести полное исследование
функции (интервалы монотонности,
стационарные точки и т.д.).

Соседние файлы в папке лабы

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1 ответ:

Читайте также

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ
ПОЛИТИКИ

ЧУВАШСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГАПОУ
«Чебоксарский техникум ТрансСтройТех»

Минобразования
Чувашии

ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ

«Исследование
функции и построение графиков в EXCEL»

Методическая разработка занятия по дисциплине

математика и информатика

Чебоксары — 2019

Николаева Светлана Ивановна, Методическая разработка занятия по дисциплине  математика и
информатика «Исследование функции
и построение графиков в EXCEL», ГАПОУ 
« Чебоксарский техникум ТрансСтройТех» Минобразования Чувашии, 2019 г.

Рецензент: Фирсова Надежда Александровна,
преподаватель математики высшей квалификационной категории  ГАПОУ ЧР
«Алатырский технологический колледж» Минобразования Чувашии.

Методическая
разработка составлена для проведения интегрированного урока по математике и
информатике со студентами 1 курса технического профиля. В методической
разработке  представлено подробное описание всех этапов урока. Рекомендована 
преподавателям математики, информатики.

Оглавление

Пояснительная
записка

План
урока:

Технологическая
карта урока «Исследование функции и построение графиков в EXCEL»

Источники
и литература

Приложение
1

Приложение
2

Приложение
3

Приложение
4

Пояснительная записка

Автор:   Николаева Светлана
Ивановна

Предмет:
математика, информатика

Тема
урока: «Исследование
функции и построение графиков в EXCEL»

Курс
1

Тип
урока: урок систематизации и обобщения знаний,
умений, навыков.

Вид
урока: Практикум.

            Учебник:

1.     
Информатика и информационные
технологии 10-11 кл. Н. Угринович — Москва. Бином. Лаборатория знаний, 2008.

2.     
Алгебра и начала анализа 11
кл. С.М.Никольский и др. – Москва, Просвещение, 2008.

Оборудование:
компьютерный класс,  интерактивная доска.

Компьютерные
технологии: презентация, видеоролик.

Раздаточный
материал: карточки с заданиями, материалы 
самостоятельной работы для проведения текущего контроля,
листы  взаимоконтроля  и самоконтроля, карточки  рефлексии.

Программное
обеспечение:

· Персональные компьютеры;

· ОС Windows XP, электронные таблицы Microsoft Excel.

· Проектор

План урока:

Цели
урока:

·                   
обобщение полученных знаний и
навыков исследования функций с помощью производной

·                   
построение графиков функций по
результатам исследования

·                   
использование электронных
таблиц Excel для построения и анализа графиков функций;

·                   
закрепление навыков работы с
мастером диаграмм.

Задачи
урока:

·                   
Образовательные:

o       
закрепить методы и навыки
исследования функций с помощью производной

o       
закрепить основные приемы
построения графиков функций в электронных таблицах MS Excel;

·                   
Развивающие:

o       
формирование у учащихся
логического и алгоритмического мышления;

o       
развитие познавательного
интереса к математике и информатике;

o       
развитие умения оперировать
ранее полученными знаниями;

o       
формирование теоретического,
творческого, операционного мышления

·                   
Воспитательные:

o       
воспитание умения
самостоятельно мыслить, ответственности за выполняемую работу, аккуратности при
выполнении работы

Методы: Устный, наглядный, практический.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оборудование: 12 компьютеров.

Планируемые 
результаты:

Предметные:
знать алгоритм исследования функции; уметь
строить графики с использованием программы EXCEL.

Личностные: 
формирование ответственного отношения к успешной учебной деятельности.

Метапредметные:

регулятивные
—  уметь ставить цели, планировать свою
деятельность, осуществлять самоконтроль и самооценку, прогнозировать результат,
работать по правилу, алгоритму, аналогии;

коммуникативные
—  уметь
вести диалог, слушать, аргументировано высказывать свои суждения,
взаимодействовать с одноклассниками в деловой ситуации;

познавательные
— уметь
осознанно читать задания, анализировать имеющиеся знания, переводить информацию
с наглядно-интуитивного уровня на рабочий уровень восприятия.

Этапы урока:

1.
Организационный момент

Сообщение
темы, целей и плана урока.

2.
Алгоритм построения графиков функций в электронных таблицах MS Excel

Студенты
совместно с преподавателем повторяют основные этапы построения графиков функций
в электронных таблицах MS Excel.

3. Работа в параллели (Приложение 1,2)

Половина
студентов выполняет практическое задание: Построить график функции  в
электронных таблицах MS Excel на разных интервалах.
Остальные описывают свойства функции по ее графику устно. 
 Сравнительный анализ результатов выполнения практического задания № 1

Результаты выполнения студентами
 практического задания (построить график функции  в
электронных таблицах MS Excel) выводятся на экран. И в связи с тем, что внешний
вид графиков функций отличается количеством экстремумов, учащиеся делают вывод
о необходимости исследования данной функции на экстремумы аналитически.

4. Исследование функции  на
экстремумы

выводится на
экран под комментирование учащихся и делается вывод о варианте верно
построенного графика.

5.
Компьютерное тестирование по теме «Производная»

Затем
проводится компьютерное тестирование учащихся по теме «Производная»  и «EXCEL» индивидуально, за
персональным компьютером с выводом результатов на экран монитора. Работа
каждого оценивается.

6. Физкультминутка

7.
Алгоритм исследования функций с помощью производной

Преподаватель
при содействии студентов напоминает этапы исследования функций с помощью
производной.

8. Парная
работа

Учащимся
раздаются карточки с заданиями для работы на уроке (Приложение 3).

Учащиеся в
два этапа выполняют разноуровневое  задание, самостоятельно
выбирая уровень сложности.

а)
Исследование функции с помощью производной и построение ее графика в
тетрадях. 
б) Контроль правильности решения с помощью электронных таблиц MS Excel.

Работа
оценивается по математике и информатике.
После завершения всеми учащимися работы над практическим заданием №2 можно
осуществить контроль правильности построения графиков по чертежам,
выведенным на экран.

9.
Обобщения и выводы

Анализируя
свою работу на уроке, учащиеся делают выводы:

1.      
Использование электронных
таблиц, несомненно, ускоряет процесс построения графиков

2.      
Для получения достоверного
характера поведения функции необходимо уметь исследовать функцию аналитически

3.      
Только комплексный подход к
данной проблеме может дать быстрый и правильный результат.

10. Подведение итогов и выставление оценок с использованием оценочного листа, заполняемого учителем на
соответствующем этапе урока.

11. Рефлексия

12.Домашнее
задание разноуровневого
характера выдается на карточках (Приложение 4) .

Технологическая карта
урока «Исследование функции и построение графиков в EXCEL»

Тип урока: урок
систематизации, обобщения знаний, умений и навыков

Технология проведения	Деятельность учителя	Задания для учащихся.	Деятельность учеников	Планируемые результаты
предметные	универсальные учебные действия
1	2	3	4	5	6
1.Организационный момент. Цели: создать деловой настрой для занятия; информировать о подготовке к уроку.	Приветствует студентов, отмечает устно их готовность к проведению урока.	Концентрация внимания на необходимых действиях.	Слушают учителя, отвечают на вопросы.	Уметь сосредоточить-ся  на определенном вопросе.	Регулятивные: уметь ориентироваться в требованиях к уроку.
2.Актуализация учебной деятельности. Цели: актуализировать требования к студенту с позиций учебной деятельности; уточнить тип урока и наметить шаги учебной деятельности.	Создаёт условия для формирования внутренней потребности учеников во включении в учебную деятельность. Задает вопросы, поправляет ответы. Устанавливает тематические рамки. (Использует презентацию).	Ответить устно на вопросы преподавателя	Слушают учителя. Отвечают на вопросы.	Знать основные понятия по теме.	Коммуникатив-ные: уметь высказывать мысли на заданную тему, оформлять свои высказывания устно.
3. Работа в параллели Цель: закрепить знания по теме: Построение графиков в EXCEL, свойства функции.	Организует работу  в параллели.	Приложение 1,2	Работают в параллели	Знать правила построения графиков в EXCEL, свойства функций.	Регулятивные:  уметь планировать свою деятельность; уметь, оценивать правильность выполнения действий.
3.                  Исследование функции на экстремумы. Цель: закрепить знания по теме: исследование функции на экстремум.	Выдает задание.	Приложение 3	Исследуют функцию на экстремумы, записывают в тетради	Уметь выполнять исследование функции на экстремум	Коммуникатив-ные: уметь организовать сотрудничество, уметь выражать мысли в  устной форме, аргументировать свое мнение и позицию.
5.Компьютерное тестирование. Цель: организовать работу проверке знаний по теме «Производная».	Координирует работу учащихся на компьютерах, следит за правильностью выполнения заданий.	Тест на компьютере	Выполняют на ПК  тестирование по теме «Производная»	Уметь соотносить задания с ответами.	Регулятивные: уметь анализировать свои действия, делать выводы. уметь планировать свою деятельность, осуществлять самоконтроль и самооценку.
6.Физкультминутка Цель: избежать перегрузки обучающихся.	Дает задания для снятия  напряженности.	Видеоролик физкультминутки	Выполняют зарядку.
7. Алгоритм исследования функций с помощью производной Цель: закрепить знания по теме: исследование функции с помощью производной.	Задает вопросы, поправляет ответы.	Презентация	Отвечают на вопросы, формулируют алгоритм исследования функции	Знать основные понятия по теме.	Коммуникатив-ные: уметь выражать мысли в  устной форме, аргументировать свое мнение и позицию.
8. Парная работа Цель: закрепить знания по теме: исследование функции с помощью производной.	Организует работу в парах	Карточки- задания	Работают в парах, записывают в тетради.	Знать основные понятия по теме.	Регулятивные:  уметь планировать свою деятельность; уметь, оценивать правильность выполнения действий.
9. Обобщения и выводы Цель: сделать выводы по теме.	Организует формулировку выводов по построению графиков с помощью EXCEL и исследованию функций.	Презентация, тетрадь студента.	Формулируют выводы.	Знать основные понятия по теме.	Личностные:  формирование ответственного отношения к успешной учебной деятельности.
10.Рефлексия учебной деятельности Цели: зафиксировать содержание урока; организовать рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности.	Организует рефлексию, самооценку учебной деятельности.	Ответить на вопросы: — Достигнуты  ли поставленные цели на уроке? -Что удалось, что нет, почему?	Ученики поднимают  карточку  зеленого цвета – все понятно и интересно было, синего цвета – остались вопросы, красного цвета — ничего непонятно и не интересно было.	Уметь использовать учебный материал, полученный на уроках математики и информатики. Анализировать собственную учебную деятельность.	Регулятивные: уметь, оценивать правильность выполнения действий. Личностные: уметь  осуществлять самооценку.
11.Подведение итогов учебной деятельности, домашнее задание Цели: выставить оценки по итогам урока; сформулировать домашнее задание.	Выставляет оценки с комментарием  успешных и неуспешных действий  учащихся.	Домашнее задание разноуровневого характера.	Слушают учителя, записывают домашнее задание, задают возникшие в ходе занятия вопросы.	Уметь выявлять аналогию предметных действий.	Регулятивные: уметь прогнозировать ситуацию.

Источники и
литература

1.     
Информатика и информационные
технологии 10-11 кл. Н. Угринович — Москва. Бином. Лаборатория знаний, 2018.

2.     
Алгебра и начала анализа 11
кл. С.М.Никольский и др. – Москва, Просвещение, 2018.

3.      
https://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/633908/

4.      https://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/576581/

5.      https://infourok.ru/integrirovanniy-urok-matematiki-i-informatiki-po-teme-postroenie-i-issledovanie-grafikov-funkciy-klass-1966015.html

Приложение 1

Дайте определение понятия и опишите
свойства функции по ее графику

Вопросы:

1.  Критические точки функции

2. Точки, в которых производная равна нулю

3. Точки экстремума функции

4. Экстремумы функции

Дополнительные вопросы:

1.       Дайте
определение понятия «Критические точки функции».

2.      Что
вы можете сказать о значении производной в точке х = 2?

3.      Дайте
определение понятия

«Точки экстремума
функции».

4.      Почему
точка х=0 не является точкой    экстремума?

5.      Дайте
определение понятия

«Экстремум
функции».

Дайте определение понятия и  опишите
свойства функции по ее графику

        Вопросы:

1.  Критические точки функции

2. Точки, в которых производная равна нулю

3. Точки экстремума функции

4. Экстремумы функции

   Дополнительные вопросы:

1.      Дайте
определение понятий

«Область
определения и область значений  функции».

2.      Дайте
определение понятия

«функции.
возрастающей на заданном промежутке».

3.      Дайте
определение понятия

« Асимптота
графика  функции».

Назовите виды
асимптот.

Приложение 2

Карточка 1

Практическое задание № 1

Построить график функции  f(x) =  x3-15x2  в электронных таблицах MS Excel  при х € [-50; 50]

Карточка 2

Практическое задание № 1

Построить график функции  f(x) =   f(x) =  x3-15x2  в электронных таблицах MS Excel  при х € [-50;500]

Приложение 3

а) Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график б) Проверьте правильность решения  с помощью электронных таблиц  MS Excel;
1  вариант	2  вариант
1.   f(x) = 3x — x3	3.   f(x) = (1 – x)
2.   f(x)= 4x2—  x4	4.   f(x) = 3x5— 5x3— 2
Повышенный         уровень
5.   f(x)=	6.   f(x) =

Дополнительное задание Исследуйте функцию на наличие асимптот
1вариант                                       2 вариант
f(x)=	f(x)=

Приложение 4

Домашнее задание  (выполнить одно по выбору) Исследуйте функцию и постройте ее график

1.          f(x)=  —  3x 2.          f(x)= 3.          f(x)=

«Районная научно-практическая конференция

«От исследования — к научному поиску»

Учреждение: МБОУ «Многопрофильная гимназия г. Лагани»

Секция: Естественно-научная

Тема работы:

«Построение и исследование графиков

 функций при помощи электронных

Таблиц Excel.»

Автор работы: Белкин Алексей Васильевич,

ученик 10 класса МБОУ «Многопрофильная гимназия г. Лагани»

Научный руководитель: Никифоров Евгений Алексеевич,

учитель математики МБОУ «Многопрофильная гимназия г. Лагани»

г. Лагань — 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение	2
Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft  Excel.	3-5
1.2. Полярная система координат	5-6
1.3. Инструкция по построению кривых  в полярных координатах с помощью программы Microsoft  Excel	6-10
1.4.  Построение кусочно-заданной  функции на примере построения эскиза национального орнамента	11-12
Заключение	13 — 14
Список литературы	15

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. При изучении, темы преобразования графиков функций возникла необходимость построения графиков элементарных функций и уравнений выше второй степени. Для изучения свойств этих функций Microsoft Excel предлагает широкие возможности, которые  в школьных учебниках по информатике  не оговариваются.

Вопрос (мотивация): Как построить график с изменяющимся параметром, для дальнейшего его изучения?

Проблема: необходимо найти удобный (сравнительно простой, наглядный, доступный) способ построения графиков элементарных функций и  уравнений степеней выше второй с двумя переменными.

Гипотеза: для решения поставленной проблемы, возможно использовать инструменты  прикладной программы Microsoft Excel, а для построения графиков уравнений высших порядков ввести новые переменные, или новую систему координат, или и то и другое одновременно.

Поэтому, объект нашего исследования — прикладная программа Microsoft Excel, ее возможности для построений графиков функций и исследования их.

Исходя из этого, предметом нашего исследования стали уравнения элементарных функций  и кривых высших порядков.

Цель  работы – показать алгоритм  построение графиков функций в Excel, принцип построения линий высших порядков в полярной системе координат с помощью формул перехода от декартовых координат к полярным координатам. Результаты исследования: в процессе работы я:

• Научился строить графики  функций, с дальнейшей возможностью изучения их свойств
• изучил переход от декартовой системы координат к полярной и обратно;
• исследовал изменения вида графиков функций и кривых, в зависимости от параметров входящих в её уравнение;
• познакомились с некоторыми замечательными кривыми известных математиков.

Планы и перспективы: продолжить изучение плоских кривых.

1. Инструкция по построению кривых с помощью программы

Microsoft  Excel.

Пусть задана функция y= f(x), где х – независимая переменная , а y – переменная зависящая от х.

Для начала нам необходимо задать значения независимой переменной с заданным шагом (шаг лучше выбрать дробным значением). Чем меньше шаг вычисления независимой переменной тем точнее построенный график.

Задаем формулу по которой определяется зависимая переменная. Вычисляем для каждого значения независимой переменной ее соответствующее значение  функции.

По построенным   данным строим график функции.

Следовательно, математическая модель у нас уже есть. Рассмотрим пример построения уравнения графика и ее исследования

. Рассмотрим в качестве примера тригонометрическую функцию 

Построим компьютерную модель исследования.

Для дальнейших исследований будем одновременно строить график исходной элементарной функции y= sinx и преобразованной функции и сравнивать полученные результаты.

Формулы будут записаны в терминах электронных таблиц следующим образом:

А3= -7 А4 =А3+0,1 (шаг можно уменьшить например до 0,001) B3 =sin(a3) у меня независимая переменна изменяется  на интервале (-7;7), что примерно соответствует  интервалу ()

d3= -7 d4 =d3+0,1 E3 =sin($f$1*d3) В ячейке F1 будем задавать значение параметра k, и рассматривать полученные изменения графика функции

Фрагмент произведенных расчетов из электронной таблицы приведен ниже

В приложенном к  работе файле  Microsoft Excel работа графики можно увидеть полные вычисления и полученные результаты

Для детального изучения преобразований графики построил в одной системе координат, что дает возможность сравнить полученные результаты.

Для дальнейших исследований достаточно теперь изменить значение в ячейке f1, и получим иную картину. Например f1=-4

Как видно значения функции автоматически пересчитаны, и построен уже другой график. Данные возможности мною были продемонстрированы одноклассникам на уроке математики. В дальнейшем мои товарищи на уроки изучили свойства полученных графиков функций и наглядно изучили преобразования графиков следующих функций

( и др.)

1.2.  Полярная система координат.

Мои исследования, на этом не закончились, возник вопрос в построении более сложных графиков. В качестве примера мною рассмотрено уравнение

В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом R и углом , образуемым полярным радиусом с полярной осью. Следовательно, полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел . Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Если в декартовой системе координат предельно простое выражение  определяет прямую линию, то это же выражение, переписанное в форме , уже превращается в спираль. Фигуры в полярных координатах образуются как след конца бегающего по кругу полярного радиуса переменной длины. Длина полярного радиуса определяется величиной угла, который в данный момент времени он образует с полярной осью. Координата  берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида, которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных . Для полюса , угол  произвольный.

Связь между полярной и декартовой системами координат.

Точка О — полярный полюс,  луч ОЕ будем называть полярной осью, отрезок ОМ — называют длиной полярного радиуса R, положительный угол от луча ОЕ до луча F — полярный угол.

Если известны полярные координаты R и , точки М, то можно уставить связь с её декартовыми координатами.

Построим прямоугольный ОМЕ. В этом треугольнике гипотенуза ОМ=R, ЕОМ = , катет ЕМ = у, катет ОЕ = х координаты точки М.

Для того, чтобы перейти от полярных координат к декартовой системе, используют формулы: , , . Обратно, чтобы, имея прямоугольные координаты, получить расстояние нужное для задания полярных координат, надо воспользоваться теоремой Пифагора: , затем , .

Некоторые замечательные кривые. На протяжении многих лет ученые собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список таких названий внушителен: спираль Архимеда, Ферма, Галлилея, Фибоначчи,  кардиоида, овалы Кассини,  лемниската Бернулли, фигуры Лиссажу, розы Гвидо Гранди, кривые Маклорена, верзьера (локон Марии Аньези)  и т.д.

1.3. Инструкция по построению кривых

в полярных координатахс помощью программы Microsoft  Excel.

Если уравнение задано в декартовых координатах, то следует перевести его в полярные, используя формулы: X=R*COS(F), Y=R*SIN(F). Следовательно, математическая модель у нас уже есть. Рассмотрим пример построения кривой.

Задача. Построить кривую, заданную уравнением .

Решение. Найдем уравнение данной линии в полярных координатах.

Для программы Microsoft  Excel:  R=4*COS(3*F)

Предположим, что угол F изменяется в интервалах от 0 до 2. Для того, чтобы построить эту кривую наиболее точно, с малым шагом изменения угла F, как мы это делали при построении тригонометрических функций, мы выберем шаг изменения 0,1.

Построим компьютерную модель исследования.

Формулы будут записаны в терминах электронных таблиц следующим образом:

А2 0,1                      А3 =А2+0,1                             B2 =4*COS(3*F)
C2 =SIN(А2)           D2 =COS(А2)                         E2 =B2*D2             F2 =В2*C2

Тогда получаем следующее распределение по столбцам электронной таблицы:

f	r	sin(f)	cos(f)	x	y
0,1	3,821346	0,099833	0,995004	3,802255	0,381498
0,2	3,301342	0,198669	0,980067	3,235535	0,655875
0,3	2,48644	0,29552	0,955336	2,375387	0,734793
0,4	1,449431	0,389418	0,921061	1,335014	0,564435
0,5	0,282949	0,479426	0,877583	0,248311	0,135653
0,6	-0,90881	0,564642	0,825336	-0,75007	-0,51315
0,7	-2,01938	0,644218	0,764842	-1,54451	-1,30092
0,8	-2,94957	0,717356	0,696707	-2,05499	-2,1159
0,9	-3,61629	0,783327	0,62161	-2,24792	-2,83274
1	-3,95997	0,841471	0,540302	-2,13958	-3,3322
1,1	-3,94992	0,891207	0,453596	-1,79167	-3,5202

и т. д.

Для построения графика выделим информационный блок E2..F64, так как аргумент F, будем изменять от 0,1 до 6,3 радиана. Возможно изменение и до 9,42, 12,56, и т. д.  Получим следующий график.

Исследование формы кривой, в зависимости от изменения значений входящих в её уравнение. Внося изменения в ячейку H27 , не меняя более ничего, мы можем получать различные виды уравнения

Еще примеры …

Обратимся к исследованию формы роз. Поскольку правая часть уравнения не может превышать величины a, то и вся роза, очевидно, уменьшается внутри круга радиусом a. Количество же лепестков розы зависит от величины модуля k:

1. Если модуль k – целое число, то роза состоит из k лепестков, при нечетном k, и из 2k лепестков при k четном.

2.Если модуль k – рациональное число, равное   то роза состоит из m лепестков в случае, когда оба числа  m и n  нечетные, и из 2m лепестков, если одно из этих чисел является четным.

При этом, в отличие от первого случая каждый следующий лепесток будет частично перекрывать предыдущий.

3.Если модуль k – иррациональное число, то роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Математическим исследованием формы цветов и листьев занимался также Хабеннихт – геометр 19 столетия. Им был получен целый ряд уравнений, которые с весьма хорошим приближением выражали аналитически формы листьев клена, щавеля, ивы и т. д. Вот некоторые из этих кривых:

В полярных координатах можно описать при помощи косинусов кратных дуг линии, которые обрисовывают контуры листьев некоторых растений: 

• кувшинки:   (рис. а);
• кислицы:  (рис. б);
• настурции:  (рис. в);

• стрелолиста:  (рис. г).

Рис. А                                    Рис. Б                        Рис. В                          Рис. Г

1.4.  Построение кусочно-заданной функции на примере построения эскиза национального орнамента

Свои исследования я продолжил, возник вопрос в построении графиков функций состоящих из нескольких кривых на заданном интервале. В качестве примера мною рассмотрено построение эскиза калмыцкого орнамента (геометрического) в Excel.

Если рассмотреть любой геометрический орнамент, то с математической точки он представляет собой набор прямых или кривых на заданном интервале, иногда на одном интервале может быть задано несколько различных линий. Совокупность этих линий и кривых образует рисунок который и будем считать орнаментом.

Также можно заметить, что орнамент представляет собой периодическую функцию (рисунок повторяется, через заданный интервал). Для того, чтобы построить заданный орнамент мы его построим на определенном интервале, а затем перенесем все вычисления на заданный шаг и т. д.

Приведенный ниже орнамент представляет собой семейство прямых заданных на отрезках, причем прямые параллельны одной из осей координат т.е. их уравнения принимают вид у =a или х =а.

Построим эти прямые.

Примеры таблиц вычислений:

x y 0 0 0,1 0 0,2 0 0,3 0 0,4 0 0,5 0 0,6 0 0,7 0 0,8 0 0,9 0 1 0

1,1 0 1,2 0 1,3 0 1,4 0 1,5 0 1,6 0 1,7 0 1,8 0 1,9 0 2 0

2 0 2 0,1 2 0,2 2 0,3 2 0,4 2 0,5 2 0,6 2 0,7 2 0,8 2 0,9 2 1

(Полные вычисления можно увидеть в файле приложении1)

График функции приведен ниже:

Заключение

Проделав данную исследовательскую работу я пришел к следующим выводам: Microsoft  Excel предоставляет большие возможности для построения и исследования графиков функций.

Использование компьютерных программ для построения графиков функций, изучение их свойств и закономерностей, дает возможность рассмотреть большое количество примеров  с минимальными усилиями. Данная работа предназначена в помощь учителям при изучении функции, а также ученикам с целью заинтересовать их математикой, информатикой, показав возможности использования информационных технологий на уроках математики.

В классе котором я обучаюсь, мною была дана обзорная лекция с практическим ознакомлением, на которой  одноклассников я ознакомил учащихся с принципами построения графиков функций на примере тригонометрических функций, был предложен вариант построения графика функции с параметром. Построение графиков с параметром позволяет рассмотреть особенности графика в зависимости от параметра, изучить свойства функции, научиться строить графики функций путем преобразований исходной. В какой то мере благодаря этой работе мои одноклассники разобрались на отлично с темой построение графиков тригонометрических функций и их преобразований.

Мне удалось добиться поставленных целей работы. Был проработан алгоритм построения графиков элементарных функций, для построения кривых высших порядков мною был изучен дополнительный материал: построение кривых высших порядков в полярных координатах, где основополагающим является угол преобразования и радиус вектор. Был проработан алгоритм решения данной задачи: при помощи формул перехода от полярных координат к декартовым и обратно.

Изучая кривые линии высших порядков, ведь используя Microsoft excel, это не составляет труда, мне представился удивительный мир графиков различных функций. Оказывается таким образом можно построить, меняя параметры в данных уравнениях графики, которые напоминают листья растений и деревьев (например: кувшинки или лотоса). Оказывается математика  — живая наука.

Опыт, приобретенный мною в процессе выполнения работы, несомненно, пригодится мне в дальнейшей жизни. Так, например, умея строить графики уравнений с параметрами можно найти корни уравнений и их  зависимость от введенного параметра, что даст наглядную картину решения данного уравнения. Это позволяет решать задания ЕГЭ по математике части С5.

Также данные навыки будут необходимы при построении графиков и диаграмм в дальнейшей профессиональной деятельности, так excel прикладная программа применимая во многих сферах деятельности человека, например бухгалтерии, дизайн, аналитика, инженерия и другие.

Строя график функции на примере орнамента у меня возник вопрос, который остался не разрешенным. Как вы видели, я строил график по интервалам, что конечно занимает некоторое время. Возникает вопрос, как упростить данные построения. У меня есть три способа решения данной проблемы: 1) попытаться найти оптимальное уравнение функции, которое позволить заменить одновременно несколько этапов построения. Для решения этого вопроса нужно провести поиск в математических источниках.

2) найти возможности программы Excel для решения этой задачи. Как я говорил, в данной программе, много возможностей, многие из них, я еще не изучил.

3) найти другие программы построения графиков, которые позволят построить график данных функций. Такие программы существуют, например Adgrapher или DPlot и др. Данные программы, я планирую изучить в дальнейшем. Оптимальным решением, конечно же, будет создание своей программы, используя языки программирования.

Список используемой литературы

1. Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, Москва, Наука, 1969 г.
2. Дороднов А.М. Краткие сведения о построении графиков в полярной системе координат. Москва, 1972 г.
3. И.М. Гельфанд и др. Метод координат. Москва, Наука, 1973 г.
4. И.И. Привалов. Аналитическая геометрия, Москва, Высшая школа, 1966 г.
5. Н.В. Ефимов. Краткий курс аналитической геометрии. Москва, Высшая школа, 1972
6. Г.И. Запорожец. Руководство к решению задач по математическому анализу. Москва, Высшая школа, 1974 г.
7. Егерев В.К. Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций. Москва, 1970 г.
8. Линии: определение, исследование и построение: Метод. рекомендации / Краснояр. гос. ун-т; Сост. А.П. Ляпин. Красноярск, 2001

Сайты и ссылки

1. http://ru.wikipedia.org

2. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cassini.html 

подробная биография Кассини

   3. http://www.2dcurves.com/higher/highercc.html прекрасная страничка для любителей красивых кривых, из нее мы узнали об овалах с тремя и более фокусами.

   4. http://arbuz.uz/x_stati.html

   5. http://otherreferats.allbest.ru/mathematics/00125991_0.html — Построение кривых высшего порядка