Опубликовано 13 Янв 2016
Рубрика: Справочник Excel | 3 комментария
Чем может помочь Excel при вычислении производной функции? Если функция задана уравнением, то после аналитического дифференцирования и получения формулы Excel поможет быстро рассчитать значения производной для любых интересующих пользователя значений аргумента.
Если функция получена практическими измерениями и задана табличными значениями, то Excel может оказать в этом случае более существенную помощь при выполнении численного дифференцирования и последующей обработке и анализе результатов.
На практике задача вычисления производной методом численного дифференцирования может возникнуть и в механике (при определении скорости и ускорения объекта по имеющимся замерам пути и времени) и в теплотехнике (при расчете теплопередачи во времени). Это также может быть необходимо, например, при бурении скважин для анализа плотности проходимого буром слоя грунта, при решении целого ряда баллистических задач, и т. д.
Похожая ситуация имеет место при «обратной» задаче расчета сложно нагруженных балок, когда по прогибам возникает желание найти значения действующих нагрузок.
Во второй части статьи на «живом» примере рассмотрим вычисление производной по приближенной формуле численного дифференцирования с применением выражений в конечных разностях и разберемся в вопросе – можно ли используя приближения производных конечными разностями по прогибам балки определять действующие в сечениях нагрузки?
Минимум теории.
Производная определяет скорость изменения функции, описывающей какой-либо процесс во времени или в пространстве.
Предел отношения изменения в точке функции к изменению переменной при стремлении изменения переменной к нулю называется производной непрерывной функции.
y’(x)=lim (Δy/Δx) при Δx→0
Геометрический смысл производной функции в точке – это тангенс угла наклона к оси x касательной к графику функции в этой точке.
tg (α)=Δy/Δx
Если функция дискретная (табличная), то приближенное значение ее производной в точке находят с помощью конечных разностей.
y’(x)i≈(Δy/Δx)i=(yi+1—yi-1)/(xi+1—xi-1)
Конечными разности называют потому, что они имеют конкретное, измеримое, конечное значение в отличие от величин, стремящихся к нулю или бесконечности.
В таблице ниже представлен ряд формул, которые пригодятся при численном дифференцировании табличных функций.
Центрально-разностные формулы дают, как правило, более точные результаты, но часто их нельзя применить на краях диапазонов значений. Для этих случаев пригодятся приближения левыми и правыми конечными разностями.
Вычисление производной второго порядка на примере расчета моментов в сечениях балки по известным прогибам.
Дано:
На балку длиной 8 метров с шарнирными опорами по краям изготовленную из двух спаренных стальных (Ст3) двутавров 30М опираются 7 прогонов с шагом 1 метр. К центральной части балки крепится площадка с оборудованием. Предположительно усилие от покрытия, передаваемое через прогоны на балку, во всех точках одинаково и равно F1. Подвесная площадка имеет вес 2*F2 и крепится к балке в двух точках.
Предполагается, что балка до приложения нагрузок была абсолютно прямой, а после нагружения находится в зоне упругих деформаций.
На рисунке ниже показана расчетная схема задачи и общий вид эпюр.
На следующем скриншоте представлены исходные данные.
Расчетные исходные данные:
3. Погонная масса двутавра 30М:
γ=50,2 кг/м
Сечение балки составлено из двух двутавров:
n=2
Удельный вес балки:
q=γ*n*g=50,2*2*9,81/1000=0,985 Н/мм
5. Момент инерции сечения двутавра 30М:
Ix1=95 000 000 мм4
Момент инерции составного сечения балки:
Ix=Ix1*n=95 000 000*2=190 000 000 мм4
10. Так как балка нагружена симметрично относительно своей середины, то реакции обеих опор одинаковы и равны каждая половине суммарной нагрузки:
R=(q*zmax+8*F1+2*F2)/2=(0,985*8000+8*9000+2*50000)/2=85 440 Н
В расчете учитывается собственный вес балки!
Задача:
Найти значения изгибающего момента Mxi в сечениях балки аналитически по формулам сопротивления материалов и методом численного дифференцирования расчетной линии прогибов. Сравнить и проанализировать полученные результаты.
Решение:
Первое, что мы сделаем, это выполним расчет в Excel поперечных сил Qy, изгибающих моментов Mx, углов поворота Ux оси балки и прогибов Vx по классическим формулам сопромата во всех сечениях с шагом h. (Хотя, в принципе, значения сил и углов нам в дальнейшем не понадобятся.)
Результаты вычислений находятся в ячейках I5-L54. На скриншоте ниже показана половина таблицы, так как значения во второй ее части зеркальны или аналогичны представленным значениям.
Использованные в расчетах формулы можно посмотреть здесь.
Ссылка для скачивания файла с рассмотренным в статье примером: vychisleniye-proizvodnoy (xls 250,0KB).
Итак, нам известны точные значения моментов и прогибов.
Из теории мы знаем, что:
Угол поворота – это первая производная прогиба U=V’.
Момент – это вторая производная прогиба M=V’’.
Сила – это третья производная прогиба Q=V’’’.
Предположим, что столбец точных значений прогибов получен не аналитическими расчетами, а замерами на реальной балке и у нас больше нет никаких других данных. Вычислим вторые производные от точных значений прогибов, используя формулу (6) из таблицы предыдущего раздела статьи, и найдем значения моментов методом численного дифференцирования.
Mxi=Vy’’≈((Vi+1-2*Vi+Vi-1)/h2)*E*Ix
Итог расчетов мы видим в ячейках M5-M54.
Точные значения моментов, рассчитанные по аналитическим формулам сопромата с учетом веса самой балки, отличаются от найденных по приближенным формулам вычисления производных незначительно. Моменты определены весьма точно, судя по относительным погрешностям, рассчитанным в процентах в ячейках N5-N54.
ε=(Mx—Vy’’)/Mx*100%
Поставленная задача решена. Мы выполнили вычисление производной второго порядка по приближенной формуле с использованием центральных конечных разностей и получили отличный результат.
Зная точные значения прогибов можно методом численного дифференцирования с высокой точностью найти действующие в сечениях моменты и определить степень нагруженности балки!
Однако…
Увы, не стоит думать, что на практике легко получить необходимые высокоточные результаты измерений прогибов сложно нагруженных балок!
Дело в том, что измерения прогибов требуется выполнять с точностью ~1 мкм и стараться максимально уменьшать шаг замеров h, «устремляя его к нулю», хотя и это может не помочь избежать ошибок.
Зачастую уменьшение шага замеров при значительных погрешностях измерений прогибов может привести к абсурдным результатам. Следует быть очень внимательными при численном дифференцировании, чтобы избежать фатальных ошибок.
Сегодня есть приборы — лазерные интерферометры, обеспечивающие высокую скорость, стабильность и точность измерений до 1 мкм, программно отсеивающие шум, и еще много чего программно умеющие, но их цена – более 300 000$…
Давайте посмотрим, что произойдет, если мы просто округлим точные значения прогибов из нашего примера до двух знаков после запятой – то есть до сотых долей миллиметра и заново по той же формуле вычисления производной пересчитаем моменты в сечениях.
Если раньше максимальная ошибка не превышала 0,7%, то сейчас (в сечении i=4) превышает 23%, хотя и остается приемлемой в наиболее опасном сечении (ε21=1,813%).
Кроме рассмотренного численного метода вычисления производных с помощью конечных разностей можно (а часто и нужно) применить другой способ — аппроксимировать замеры степенным многочленом и найти производные аналитически, а затем сверить результаты, полученные разными путями. Но следует понимать, что дифференцирование аппроксимационного степенного многочлена – это тоже в конечном итоге приближенный метод, существенно зависящий от степени точности аппроксимации.
Исходные данные – результаты измерений – в большинстве случаев перед использованием в расчетах следует обрабатывать, удаляя выбивающиеся из логического ряда значения.
Вычисление производной численными методами всегда необходимо выполнять очень осторожно!
Другие статьи автора блога
На главную
Статьи с близкой тематикой
Отзывы
Составим в MS EXCEL график погашения кредита дифференцированными платежами.
При расчете графика погашения кредита дифференцированными платежами сумма основного долга делится на равные части пропорционально сроку кредитования. Регулярно, в течение всего срока погашения кредита, заемщик выплачивает банку эти части основного долга плюс начисленные на его остаток проценты. Если кредитным договором период погашения установлен равным месяцу, то из месяца в месяц сумма основного долга пропорционально уменьшается. Поэтому при дифференцированных платежах основные расходы заемщик несет в начале кредитования, размеры ежемесячных платежей в этот период самые большие. Но постепенно, с уменьшением остатка ссудной задолженности, уменьшается и сумма начисленных процентов по кредиту. Выплаты по кредиту значительно сокращаются и становятся не такими обременительными для заемщика.
Примечание
. При расчете кредита дифференцированными платежами сумма переплаты по процентам будет ниже, чем при
аннуитетных платежах
. Не удивительно, что сегодня практически все российские банки применяют в расчетах аннуитетную схему погашения кредита. Сравнение двух графиков погашения кредита приведено в статье
Сравнение графиков погашения кредита дифференцированными аннуитетными платежами в MS EXCEL
.
График погашения кредита дифференцированными платежами
Задача
. Сумма кредита =150т.р. Срок кредита =2 года, Ставка по кредиту = 12%. Погашение кредита ежемесячное, в конце каждого периода (месяца).
Решение. Сначала вычислим часть (долю) основной суммы кредита, которую заемщик выплачивает за период: =150т.р./2/12, т.е. 6250р. (сумму кредита мы разделили на общее количество периодов выплат =2года*12 (мес. в году)). Каждый период заемщик выплачивает банку эту часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты. Расчет начисленных процентов на остаток долга приведен в таблице ниже – это и есть график платежей.
Для расчета начисленных процентов может быть использована функция ПРОЦПЛАТ(ставка;период;кпер;пс), где Ставка — процентная ставка
за период
;
Период
– номер периода, для которого требуется найти величину начисленных процентов;
Кпер
— общее число периодов начислений;
ПС
–
приведенная стоимость
на текущий момент (для кредита ПС — это сумма кредита, для вклада ПС – начальная сумма вклада).
Примечание
. Не смотря на то, что названия аргументов совпадают с названиями аргументов
функций аннуитета
–
ПРОЦПЛАТ()
не входит в группу этих функций (не может быть использована для расчета параметров аннуитета).
Примечание
. Английский вариант функции — ISPMT(rate, per, nper, pv)
Функция
ПРОЦПЛАТ()
предполагает начисление процентов
в начале каждого периода
(хотя в справке MS EXCEL это не сказано). Но, функцию можно использовать для расчета процентов, начисляемых и в конце периода для это нужно записать ее в виде ПРОЦПЛАТ(ставка;период-1;кпер;пс), т.е. «сдвинуть» вычисления на 1 период раньше (см.
файл примера
). Функция
ПРОЦПЛАТ()
начисленные проценты за пользование кредитом указывает с противоположным знаком, чтобы отличить денежные потоки (если выдача кредита – положительный денежный поток («в карман» заемщика), то регулярные выплаты – отрицательный поток «из кармана»).
Расчет суммарных процентов, уплаченных с даты выдачи кредита
Выведем формулу для нахождения суммы процентов, начисленных за определенное количество периодов с даты начала действия кредитного договора. Запишем суммы процентов начисленных в первых периодов (начисление и выплата в конце периода): ПС*ставка (ПС-ПС/кпер)*ставка (ПС-2*ПС/кпер)*ставка (ПС-3*ПС/кпер)*ставка … Просуммируем полученные выражения и, используя формулу суммы арифметической прогрессии, получим результат. =ПС*Ставка* период*(1 — (период-1)/2/кпер) Где, Ставка – это процентная ставка за период (=годовая ставка / число выплат в году), период – период, до которого требуется найти сумму процентов. Например, сумма процентов, выплаченных за первые полгода пользования кредитом (см. условия задачи выше) = 150000*(12%/12)*6*(1-(6-1)/2/(2*12))=8062,50р. За весь срок будет выплачено =ПС*Ставка*(кпер+1)/2=18750р. Через функцию
ПРОЦПЛАТ()
формула будет сложнее: =СУММПРОИЗВ(ПРОЦПЛАТ(ставка;СТРОКА(ДВССЫЛ(«1:»&кпер))-1;кпер;-ПС))
Обзор методов решения в Excel
Введение
Уравнение 
называется обыкновенным дифференциальным n-го порядка, если F определена и непрерывна в некоторой области 
и, во всяком случае, зависит от 
. Его решением является любая функция u(x), которая этому уравнению удовлетворяет при всех x в определённом конечном или бесконечном интервале. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной имеет вид 
Решением этого уравнения на интервале I=[a,b] называется функция u(x).
Решить дифференциальное уравнение у / =f(x,y) численным методом — это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции y=F(x) (3) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.
Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.
Метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений используется для решений многих задач естествознания в качестве математической модели. Например задачи электродинамики системы взаимодействующих тел (в модели материальных точек), задачи химической кинетики, электрических цепей. Ряд важных уравнений в частных производных в случаях, допускающих разделение переменных, приводит к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений – это, как правило, краевые задачи (задачи о собственных колебаниях упругих балок и пластин, определение спектра собственных значений энергии частицы в сферически симметричных полях и многое другое)
Обзор методов решения в Excel
1.1 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка
Идея Рунге-Кута состоит в том, чтобы использовать метод неопределённых коэффициентов. Наиболее употребительным методом Рунге-Кутта решения уравнения первого порядка y’ = F(x,y) (1) является метод четвертого порядка, в котором вычисления производятся по формуле:
yk+1 = yk +(k1 +2k2 +2k3 +k4 )/6, (2)
k1 = Fk h = F(xk , yk )h
Рассмотрим задачу Коши для уравнений первого порядка на отрезке [a,b]:
, 
(4)
Разобьём промежуток [a,b] на N частей 
. Обозначим , где u(x) –точное решение задачи Коши, и через 
значения приближенного решения в точках 
. Существует 2 типа численных схем :
1. явные: 
) (5)
2. неявные: 
(6)
Здесь F некоторая функция, связывающая приближения. В явных схемах приближенное значение 
в точке определяется через некоторое число k уже определённых приближенных значений. В неявных схемах определяется не рекурентным способом, как в явных схемах, а для его определения возникает уравнение, поскольку равенство (6) представляет из себя именно уравнение на . Явные схемы проще, однако зачастую неявные схемы предпочтительнее
1.3 Метод Эйлера
Решить дифференциальное уравнение у / =f(x,y) численным методом — это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.
Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (7) с начальным условием
Требуется найти решение уравнения (7) на отрезке [а,b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.
В методе Эйлера приближенные значения у(хi)»yi вычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).
При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (7), которая проходит через точку Мi. Если правая часть уравнения (7) в некотором прямоугольнике R<|x-x0|£a, |y-y0|£b>удовлетворяет условиям:
|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),
то имеет место следующая оценка погрешности:
где у(хn)-значение точного решения уравнения (7) при х=хn, а уn— приближенное значение, полученное на n-ом шаге.
Формула (13) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения уn * оценивается формулой
Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.
1.4 Модифицированный метод Эйлера
Рассмотрим дифференциальное уравнение (7) y / =f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участ интегральную кривую заменим прямой линией.
Рисунок 1 Метод Эйлера в графическом виде
Получаем точку Мк(хк,ук). Через Мк проводим касательную:
Получаем точку Nk / . В этой точке строим следующую касательную:
Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом αк и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк / . В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк / . Тогда:
(14)-рекурентные формулы метода Эйлера.
Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y / k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.
Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:
где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.
Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y // =f(y / ,y,x) c начальными условиями y / (x0)=y / 0, y(x0)=y0, выполняется замена
Тем самым преобразуются начальные условия
1.5 Практическая часть
Здесь решается уравнение dy/dx = 2x-y+x 2 на интервале [0,2], начальное значение y(0)=0, для оценки точности задано также точное решение в виде функции u(x)=x 2 . Оценка погрешности делается в нормеL1, как и принято в данном случае
Численное решение дифференциальных уравнений в excel
Pers.narod.ru. Обучение. Excel: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши)
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — популярный раздел численных методов, немного теории можно почитать здесь.
В приведённом примере решается задача Коши, то есть, ищется решение дифференциального уравнения первого порядка вида dy/dx = f(x,y) на интервале x ∈ [x0,xn] при условии y(x0)=y0 и равномерном шаге сетки по x .
Решение выполняется методами Эйлера, «предиктор-корректор» (он же модифицированный метод Эйлера) и методом Рунге-Кутта 4 порядка точности. Пример может служить образцом для Ваших решений, правда, функцию придётся перепрограммировать несколько раз при различных значениях аргумента — поскольку без применения макросов на VBA Excel не позволяет создать полноценную функцию, которую было бы удобно вызывать с разными значениями аргументов.
Здесь решается уравнение dy/dx = 2x-y+x 2 на интервале [0,2] , начальное значение y(0)=0 , для оценки точности задано также точное решение в виде функции u(x)=x 2 . Оценка погрешности делается в норме L1 , как и принято в данном случае.
Скачать пример в Excel XP/2003 (28 Кб)
Рунге-Кутта VBA EXCEL
Решение дифференциальных уравнений первого порядка
методом Рунге-Кутта.
Данный проект VBA позволяет решать дифференциальные уравнения первого порядка одним из численных методов, а именно, методом Рунге-Кутта.
Исходные данные:
- границы интервала a и b;
- шаг интегрирования h;
- начальное значение для решения y(a), позволяющее правильно определить константу…
вводятся в соответствующие ячейки столбца «J».
И самое главное (самая ответственная часть) необходимо без ошибок ввести формулу в ячейку «D3». Эта формула получается из заданного уравнения и представляет функцию, являющуюся производной от решения. Ее параметрами может быть как только х (т.е. ячейка «D4»), так и х совместно с у (т.е. ячейкой «D5»). На рисунке показан пример ввода формулы для заданного уравнения…
В ячейки «D4» и «D5» вводить ничего не нужно… Туда значения будет подставлять макрос…
Если не удалось запустить видео, воспользуйтесь этой ссылкой . видео на YouTube
После этого остается нажать кнопку «Решить» и … если Вы не забыли включить макросы, то увидите, быстро меняющиеся текущие значения в ячейках столбца «D», а после окончания цикла расчета значений у, произойдет изменение графиков.
Графики должны быть построены на заданном Вами интервале (на рисунке от -0,4 до 1,25)…
В каждой точке, где производная (график синего цвета) пересекает ось 0У, функция решения(красная) должна иметь экстремум (максимум или минимум)…
Если терпением Вы не отличаетесь, то не задавайте очень длинный интервал и/или очень мелкий шаг…
Подсказка:
Собственно, процедура заполнения массивов х и у по методу Рунге-Кутта будет выглядеть так:
(при этом глобальная переменная D3formula предварительно инициализируется: D3formula = Range(«D3»).Formula)
Private Function func(x As Double, y As Double) As Double ‘производная
Dim f As String
‘функция вычисляется по формуле, введенной пользователем в ячейку D3 (гед D4 — это x, D5 — это y)
f = Replace(D3formula, «D4», CStr(x))
f = Replace(f, «D5», CStr(y))
Range(«D3»).FormulaLocal = f
func = Range(«D3»)
End Function
Sub MethodRungeKutta()
‘вспомогательные переменные
Dim k1 As Double, k2 As Double, k3 As Double, k4 As Double
Dim i As Integer
For i = 1 To n ‘нулевые значения уже есть
x(i) = x(0) + i * h
k1 = func(x(i — 1), y(i — 1))
k2 = func(x(i — 1) + h / 2, y(i — 1) + k1 * h / 2)
k3 = func(x(i — 1) + h / 2, y(i — 1) + k2 * h / 2)
k4 = func(x(i), y(i — 1) + k3 * h)
y(i) = y(i — 1) + h / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) ‘значения вычисляются
p(i — 1) = k1 ‘сохранение в массив для графика
Чтобы на диаграмме отобразились рассчитанные графики, производится заполнение соответствующих диапазонов в столбцах «AA-AB-AC»… Можете сравнить результаты с этим табличным вариантом.
источники:
http://pers.narod.ru/study/excel_odu.html
http://orenstudent.ru/RungeKuttaVBA_change_formula.htm
Содержание
- — Можете ли вы проводить расчеты в Excel?
- — Что такое производная формула?
- — Что такое производный символ?
- — Как мне вставить Quadf в Excel?
- — Что такое производный пример?
- — Каковы четыре основных производных правила?
Введите «= (B2-B1) / $ D $ 1» в ячейку C1. Это уравнение находит производную для вашей формулы в каждой точке, используя определение производной «dy / dx»: разница между каждой строкой в столбце B составляет «dy», а значение, которое вы выбрали для D1, представляет «dx». Дважды щелкните маркер заполнения в C1, чтобы заполнить столбец.
Программа электронных таблиц Microsoft Excel содержит множество математических функций, но имеет нет включить исчисление в стандартную версию. … Эти пакеты расширяют математические возможности Excel, позволяя использовать вычисления в электронных таблицах. Некоторые из этих функций работают с уравнениями; другие выполняют вычисления на числовых данных.
Что такое производная формула?
Производная помогает нам узнать, как меняются отношения между двумя переменными. Математически формула производной полезна для определения наклона линии, для определения наклона кривой и для определения изменения одного измерения по сравнению с другим измерением. Формула производной: ddx. хп = п. xn − 1 d d x.
Что такое производный символ?
Таблица математических символов для расчетов и анализа
| Условное обозначение | Название символа | Пример |
|---|---|---|
| DИкс у | производная | |
| DИкс2у | вторая производная | |
| частная производная | ∂ (х2+ y2) / ∂x = 2x | |
| ∫ | интеграл |
Как мне вставить Quadf в Excel?
Например, чтобы интегрировать формулу, хранящуюся в A1, относительно X1 между 1 и 2, вы используете функцию QUADF в формуле, как это: = QUADF (A1, X1,1,2). Фактически, чтобы интегрировать простую формулу, вы можете передать ее прямо следующим образом: = КВАДФ (X1 * КОРЕНЬ (X1); X1,1,2) .
Что такое производный пример?
Производный инструмент — это инструмент, стоимость которого определяется стоимостью одного или нескольких базовых инструментов, которыми могут быть товары, драгоценные металлы, валюта, облигации, акции, фондовые индексы и т. Д. Четыре наиболее распространенных примера производных инструментов: Форварды, фьючерсы, опционы и свопы.
Каковы четыре основных производных правила?
Это включает правило констант, правило мощности, правило множественных постоянных, правило сумм и правило разностей.
Интересные материалы:
Какой IP-адрес лучше всего подходит для Xbox Live?
Какой IP-адрес по умолчанию у маршрутизатора Edimax?
Какой IP-адрес у HP LaserJet P1102w?
Какой iPad лучше всего подходит для студентов?
Какой iPad может использовать сотовые данные?
Какой IQ у Григория Перельмана?
Какой ISO позволит снимать в помещении без вспышки?
Какой источник бензина?
Какой источник трафика лучше всего на YouTube?
Какой из благородных газов чаще всего используется в неоновых вывесках?
5.1. Вычисление производной функции одного переменного
Известно, что численными приближенными методами производная функции в заданной точке может быть вычислена с использованием формулы конечных разностей. Выражение для вычисления производной функции одного переменного, записанное в конечных разностях, имеет вид:
При достаточно малых приращениях х, можно с приемлемой точностью получить величину производной Для вычисления производной в MS Excel будем использовать приведенную зависимость. Рассмотрим методику вычисления производной на примере упражнения.
Пример 17. Найти производную функции Y= 2x 3 + x 2 в точке x= 3. Производная, вычисленная аналитическим методом, равна 60.
Решение:
1. Ведите в ячейку рабочего листа формулу правой части заданной функцио-нальной зависимости, например в ячейку В2, как показано на рисунке 27 , делая ссылку на ячейку, где будет находиться значение х, например А2: = 2*А2^3+A2^2 2. Определите окрестность точки х=3 достаточно малого размера, например значение слева Х k = 2,9999999, а справа Хk+1 = 3,00000001 и введите эти зна-чения в ячейку А2 и А3 соответственно.
3. В ячейку С2 введите формулу вычисления производной (см рис. 27):
= (В3-В2)/(A3-A2).
Рисунок 27
В результате в ячейке С2 будет вычислено приближенное значение производной заданной функции в точке х=3, величина которой равна 60, что соответствует результату, полученному аналитически.
Как делать производные в Excel
Microsoft Excel не имеет возможности генерировать производное уравнение по заданной формуле, но вы все равно можете использовать программу для вычисления значений как для формулы, так и для ее производной и построения их на графике. Это позволяет сравнивать формулу с ее производной, даже если вы не знаете самой производной. Поскольку Excel берет на себя все вычисления, вы можете использовать этот метод, даже если вы не знаете исчисления.
Введите нижнюю границу горизонтального диапазона, который вы хотите построить, в ячейке A1. Например, чтобы построить график от -2 до 2, введите «-2» в A1 (опуская кавычки здесь и на всех этапах).
Введите расстояние между точками графика в ячейку D1. Чем меньше расстояние, тем точнее будет выглядеть ваш график, но использование слишком большого количества точек может замедлить обработку. Для этого примера введите «0,1», что даст 41 точку графика из -2 и 2. Если вы используете меньший или больший диапазон, измените расстояние соответственно, чтобы получить как минимум несколько десятков точек, но не более нескольких тысяч. .
Введите формулу «= A1 + $ D $ 1» в ячейку A2. Перетащите маркер заполнения в углу ячейки вниз, чтобы повторить формулу для такого количества точек, которое необходимо для достижения желаемого верхнего диапазона.
Поместите исходную формулу в ячейку B1, начиная со знака равенства и заменив переменную на «A1». Например, чтобы использовать уравнение «y = 2x ^ 2», введите «= 2 * A1 ^ 2». Обратите внимание, что Excel не умножает смежные члены автоматически, поэтому для умножения необходимо ввести звездочку.
Дважды щелкните маркер заполнения в ячейке B1, чтобы заполнить все необходимые ячейки в столбце B.
Введите «= (B2-B1) / $ D $ 1» в ячейку C1. Это уравнение находит производную для вашей формулы в каждой точке, используя определение производной «dy / dx»: разница между каждой строкой в столбце B составляет «dy», а значение, которое вы выбрали для D1, представляет «dx». Дважды щелкните маркер заполнения в C1, чтобы заполнить столбец.
Прокрутите вниз и удалите последнее число в столбце C, чтобы избежать неточного значения для последней производной.
Щелкните и перетащите от заголовка столбца A к заголовку C, чтобы выделить первые три столбца. Откройте вкладку «Вставка» на ленте и нажмите «Диаграммы», «Точечная диаграмма», а затем «Точечная диаграмма с плавными линиями» или другой тип диаграммы разброса, если необходимо. Excel отобразит исходную формулу как «Серия 1», а производную — как «Серия 2».
Нахождение интеграла и производной при помощи Excel
Раскрыть первое сообщение
Как вычислить интеграл в Excel?
Ниже приводится решение интегралов, а также нахождение производной в excel (численное интегрирование и дифференцирование)
Кому-то поможет на лабах
Нахождение производной
Нахождение интеграла
Скачать обе страницы в виде DJVU-файла (54 Кб): mat_task.djvu.zip
DySprozin (написано 12.11.2010 в 23:16)