Iterative calculations can help find the solution to mathematical problems by running calculations over and over using previous results. This is made possible by computers that can run calculations repeatedly to find the likelihood of possible answers by getting closer to the results from different angles.
In Excel, you can reference a cell that contains a formula and use its result in an identical formula in a different cell. For this, you would need to copy the formula and references as many times as you want to repeat the process. This can work if your model is relatively simple, but doing so in more complicated workbooks might prove much more challenging, if not downright impossible to do.
An alternative and better approach is to use the Excel iterative calculation feature. You can create a formula that refers to the cell containing the formula. The formula can use the result of the previous calculations, thus automatically calculating the same thing over multiple iterations.
As easy as it sounds, there are a few things you need to consider. First of all, the number of iterations should be limited. Even though a higher iteration count usually means more accurate results, this also means longer calculations times – and sometimes crashes. Another thing to note is that when iterative calculations are disabled, Excel will show a warning as circular references are usually considered user errors unless you know what you’re doing.
To learn more about circular references please see: How to Handle Circular References in Excel
Enabling Excel Iterative Calculations
To activate and use circular references, you must first activate them by checking Enable iterative calculations option under the File menu.
Go to File > Options > Formulas > Calculation options section in Excel 2016, Excel 2013 and Excel 2010.
In Excel 2007, go to Office button > Excel options > Formulas > Iteration area.
In Excel 2003 and earlier, go to Menu > Tools > Options > Calculation.
Enabling iterative calculations will bring up two additional inputs in the same menu:
- Maximum Iterations determines how many times Excel is to recalculate the workbook,
- Maximum Change determines the maximum difference between values of iterative formulas. Note that entering a smaller number here means more accurate results.
Iterative calculations stop when one of the conditions defined (iterations count or change value) are matched. For example, let’s assume that Maximum Iterations is set to 100 and Maximum Change to 0.001. This means that Excel will stop calculating either after 100 calculations, or when there’s less than 0.001 difference between the results.
Use Cases
Calculating Future Value of an Investment
Let’s assume that we have $10,000 and want to invest this money in a cash deposit (CD) account. We’re going to assume a monthly interest rate of 1.25%. You can download the sample workbook for this use case . To calculate the total value at the end of the 21st month, we’re going to calculate the principal for each month, and add the interest to the previous month.
Begin by entering the starting cash, interest, and the total value function like below.
=value * ( 1 + interest rate)
Then, select the cell with the initial cash value and add the reference of the total value function.
This will give a circular reference warning if iterative calculations are not enabled. If you haven’t done so already, enable this option and set the Maximum Iterations to 20 to find the interest for the 21st month. See the previous section Enabling Iterative Calculations to enable this feature.
Automatic Timestamp
Circular references can also be used to add time stamps into cells. You can download the sample workbook for this use case . Let’s assume we want to add time stamps to the orders entered in the table below.
We can use circular references to add a time stamp when a new order information is entered. To do this, begin by adding a new column into the table where you’d like to print the timestamps. Type in the formula,
=IF(A2<>””,IF(I2<>””,I2,NOW()),””)
This formula will check whether there’s data in Order Number (cell A2). If it’s not blank and the timestamp cell is empty, the formula will return the NOW() function.
Note that pressing the Enter key will give a circular reference warning if iterative calculations are not enabled. See the previous section Enabling Iterative Calculations to enable this feature. This time Maximum Iterations or Maximum Change numbers don’t mean much, because we only need a single iteration, so you can leave these two inputs in their default values.
Now, every time we enter a new order and create a new row, a timestamp will be automatically printed on the Timestamp column.
Скорее всего вы сталкивались с ситуацией, когда строишь в Excel расчетную модель, делаешь все логично и вроде по методике. И тут – раз – и выпадает сообщение о циклической ссылке. Основных причин может быть две. Первая причина – просто ошибка (например, не туда сослались). В таком случае ничего особо не посоветуешь. Нужно исправлять формулу. Вторая причина циклической ссылки — это когда методика расчетов не совпадает с логикой формул Excel. А это интересно. И как раз об этом статья.
Итак, обсудим, что делать, если логика вычислений требует добавлять в формулы взаимные ссылки. Спойлер: в Excel есть галочка, которая все исправит.
Рассмотрим ситуацию на простом примере с плановой калькуляцией доходов и расходов. Дано:
- Сумма расходов по статьям 25 150 ₽
- Плановая рентабельность продаж 20%.
Требуется:
- на основе расходов и рентабельности рассчитать прибыль;
- получившуюся прибыль прибавить к расходам и найти сумму выручки.
Да, формулировка «рассчитать прибыль на основе расходов и рентабельности» может показаться странной. Мы привыкли, что прибыль — это разница между доходами и расходами. На самом деле все ok.
Это при расчете фактической прибыли мы из выручки вычитаем расходы. А при построении плана (особенно, затратным методом) достаточно часто мы берем за основу именно расходы и оцениваем, какая должна быть выручка, чтобы обеспечить заданный уровень прибыли и рентабельности. Поэтому в нашем примере сначала считаем прибыль, затем прибавляем ее к расходам и получаем выручку.
Первая мысль, как найти прибыль показана на рисунке 1. Нужно расходы умножить на Рентабельность:
Прибыль = 25 150 ₽ • 20% = 5 030 ₽
Получившуюся прибыль прибавим к расходам, получим выручку, и задача вроде выполнена.
Выручка = 25 150 ₽ + 5 030 ₽ = 30 180 ₽
Рисунок 1. Расходы на Рентабельность продаж умножать нельзя.
Вообще-то нет, не выполнена… Если проверить, какая получится Рентабельность продаж, увидим, что это не 20%.
Проверка рентабельности = 5 030 ₽ / 30 180 ₽ = 17%
Потому что нельзя просто так взять Рентабельность продаж и умножить на расходы. Так делают с наценкой. Чтобы расчет получился верным, нужно изменить формулу расчета прибыли. От 100% отнять Рентабельность 20%, взять обратную величину, так мы получим коэффициент Выручки относительно расходов. А чтобы получить коэффициент прибыли придется отнять еще 100%.
Доля прибыли относительно расходов = 1 / ( 100% — 20% ) — 100% = 25%
Умножаем на расходы:
Прибыль = 25 150 ₽ • 25% = 6 287 ₽
Получаем выручку:
Выручка = 25 150 ₽ + 6 287 ₽ = 31 437 ₽
Проверяем:
Проверка рентабельности = 6 287 ₽ / 31 437 ₽ = 20% – Результат правильный.
Но! Согласитесь, весь предыдущий абзац в целом непонятен и такие «упражнения» с коэффициентами на большой расчетной модели реализовать сложно, а иногда невозможно. Или они получатся такими, что из-за сложности потом их не поменяешь. Что делать?
Все просто — напишите формулу, как есть, как этого требует методика расчета. То есть формулу Прибыли запишите, как произведение Выручки на Рентабельность. А формулу Выручки — как сумму Прибыли и Расходов. Вроде все логично и правильно, только у вас присутствуют взаимные ссылки на ячейки. И после таких действий появится сообщение о циклической ссылке, см. рисунок 2.
Рисунок 2. Пишите формулу, как требует методология, даже если появится сообщение о циклической ссылке.
Не проблема! Переходим Файл → Параметры → Формулы → Включить итеративные вычисления.
Рисунок 3. Включите итеративные вычисления.
После этого добрый Excel подберет правильные суммы и сам подставит необходимые значения, чтобы всё сходилось и считалось правильно.
Рисунок 4. Включите итеративные вычисления
Плановая калькуляция доходов и расходов – это самый простой для понимания пример, где можно использовать итеративные вычисления. Их можно также подключать для оценки запасов и переходящих остатков незавершенного производства. В финансовом моделировании.
Однако, используя эту галочку, помните, что итерации могут нагружать компьютер и отнимать ресурсы. И еще помните, что циклическая ссылка часто появляется из-за того, что просто не туда сослался. В таком случае нужно исправлять именно ошибки, а не включать итерации в формулах 😊
Ранее я описал, как найти и исправить циклическую ссылку. Напомню, что циклическая ссылка появляется, если в ячейку Excel введена формула, содержащая ссылку на саму эту ячейку (напрямую или через цепочку других ссылок). Например (рис. 1), в ячейке С2 находится формула, ссылающаяся на саму ячейку С2.
Рис. 1. Пример циклической ссылки
Но!.. Не всегда циклическая ссылка является бедствием. Циклическую ссылку можно использовать для решения уравнений итерационным способом. Для начала нужно позволить Excel вести вычисления, даже при наличии циклической ссылки. В обычном режиме Excel, обнаружив циклическую ссылку, выдаст сообщение об ошибке, и потребует ее устранения. В обычном режиме Excel не может провести вычисления, так как циклическая ссылка порождает бесконечный цикл вычислений. Можно, либо устранить циклическую ссылку, либо допустить вычисления по формуле с циклической ссылкой, но ограничив число повторений цикла. Для реализации второй возможности щелкните на кнопке «Office» (в левом верхнем углу), а затем на «Параметры Excel» (рис. 2).
Скачать заметку в формате Word, примеры в формате Excel
Рис. 2. Параметры Excel
В открывшемся окне «Параметры Excel» перейдите на вкладку Формулы и отметьте «Включить итеративные вычисления» (рис. 3). Помните, что эта опция включается для приложения Excel в целом (а не для одного файла), и будет действовать, пока вы ее не отключите.
Рис. 3. Включить итеративные вычисления
На этой же вкладе, можно выбрать, как будут вестись вычисления: автоматически или вручную. При автоматическом вычислении Excel сразу рассчитает конечный результат, при вычислениях, вручную, можно будет наблюдать результат каждой итерации (простым нажатием F9 запуская каждый новый цикл вычисления).
Решим уравнение третьей степени: х3 – 4х2 – 4х + 5 = 0 (рис. 4). Для решения этого уравнения (и любого другого уравнения совершенно произвольного вида) понадобится всего одна ячейка Excel.
Рис. 4. График функции f(x)
Для решения уравнения нам понадобится рекуррентная формула (то есть, формула, выражающая каждый член последовательности через один или несколько предыдущих членов):
(1) x = x – f(x)/f’(x), где
х – переменная;
f(x) – функция, задающая уравнение, корни которого мы ищем; f(x) = х3 – 4х2 – 4х + 5
f’(x) – производная нашей функции f(x); f’(x) = 3х2 – 8х – 4; производные основных элементарных функций можно посмотреть здесь.
Если вы заинтересовались, откуда взялась формула (1), можете почитать, например, здесь.
Итоговая рекуррентная формула имеет вид:
(2) х = x – (х3 – 4х2 – 4х + 5)/(3х2 – 8х – 4)
Выберем любую ячейку на листе Excel (рис. 5; в нашем примере это ячейка G19), присвоим ей имя х, и введем в нее формулу:
(3) =x-(x^3-4*x^2-4x+5)/(3*x^2-8*x-4)
Можно вместо х использовать адрес ячейки… но согласитесь, что имя х, смотрится привлекательнее; следующую формулу я ввел в ячейку G20:
(4) =G20-(G20^3-4*G20^2-4*G20+5)/(3*G20^2-8*G20-4)
Рис. 5. Рекуррентная формула: (а) для поименованной ячейки; (б) для обычного адреса ячейки
Как только мы введем формулу и нажмем Enter, в ячейке сразу же появится ответ – значение 0,77. Это значение соответствует одному из корней уравнения, а именно второму (см. график функции f(x) на рис. 4). Поскольку начальное приближение не задавалось, итерационный вычислительный процесс начинался со значения, по умолчанию хранимого в ячейке х и равного нулю. Как же получить остальные корни уравнения?
Для изменения стартового значения, с которого рекуррентная формула начинает свои итерации, предлагается использовать функцию ЕСЛИ: [1]
(5) =ЕСЛИ(x=0;-5;x-(x^3-4*x^2-4*x+5)/(3*x^2-8*x-4))
Здесь значение «-5» – начальное значение для рекуррентной формулы. Изменяя его, можно выйти на все корни уравнения:
| Начальное значение | Корень уравнения |
| 1 | 0,77 |
| -5 | -1,40 |
| 8 | 4,63 |
[1] Идея подсмотрена здесь
В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.
Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.
Решение уравнений методом подбора параметров Excel
Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.
Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».
Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:
- Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
- Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
- После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».
Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».
Как решить систему уравнений матричным методом в Excel
Дана система уравнений:
- Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
- Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
- Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
- Умножим обратную матрицу Ах-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
- Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.
Получены корни уравнений.
Решение системы уравнений методом Крамера в Excel
Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:
Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.
Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.
Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).
Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (Dx / |A|).
Для расчета Х1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:
Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel
Для примера возьмем простейшую систему уравнений:
3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9
Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.
Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.
- Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
- Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
- Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
- Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.
- В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.
Примеры решения уравнений методом итераций в Excel
Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:
Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:
Хn+1 = Xn– F (Xn) / M, n = 0, 1, 2, … .
M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:
f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.
Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х3 – 1. М = 11.
В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).
В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.
Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:
Скачать решения уравнений в Excel
Корень на заданном промежутке один.
25.10.2013 Полезные советы
Среди пользователей Excel широко распространено мнение, что циклическая ссылка в excel является разновидностью ошибки, и от нее нужно непременно избавляться.
Между тем, именно циклические ссылки в excel способны облегчить нам решение некоторых практических экономических задач и финансовом моделировании.
Эта заметка как раз и будет призвана дать ответ на вопрос: а всегда ли циклические ссылки – это плохо? И как с ними правильно работать, чтобы максимально использовать их вычислительный потенциал.
Для начала разберемся, что такое циклические ссылки в excel 2010.
Циклические ссылки возникают, когда формула, в какой либо ячейке через посредство других ячеек ссылается сама на себя.
Например, ячейка С4 = Е 7, Е7 = С11, С11 = С4. В итоге, С4 ссылается на С4.
Наглядно это выглядит так:
На практике, зачастую, не такая примитивная связь, а более сложная, когда результаты вычисления одной формулы, порою весьма замысловатые, влияют на результат вычисления другой формулы, которая в свою очередь влияет на результаты первой. Возникает циклическая ссылка.
Предупреждение о циклической ссылке
Появление циклических ссылок очень легко определить. При их возникновении или наличии в уже созданной книге excel сразу же появляется предупреждение о циклической ссылке, которое по большому счету и описывает суть явления.
При нажатии на кнопку ОК, сообщение будет закрыто, а в ячейке содержащей циклическую ссылку в большинстве случаев появиться 0.
Предупреждение, как правило, появляется при первоначальном создании циклической ссылки, или открытии книги содержащей циклические ссылки. Если предупреждение принято, то при дальнейшем возникновении циклических ссылок оно может не появляться.
Как найти циклическую ссылку
Циклические ссылки в excel могут создаваться преднамеренно, для решения тех или иных задач финансового моделирования, а могут возникать случайно, в виде технических ошибок и ошибок в логике построения модели.
В первом случае мы знаем об их наличии, так как сами их предварительно создали, и знаем, зачем они нам нужны.
Во втором случае, мы можем вообще не знать где они находятся, например, при открытии чужого файла и появлении сообщения о наличии циклических ссылок.
Найти циклическую ссылку можно несколькими способами. Например, чисто визуально формулы и ячейки участвующие в образовании циклических ссылок в excel отмечаются синими стрелками, как показано на первом рисунке.
Если циклическая ссылка одна на листе, то в строке состояния будет выведено сообщение о наличии циклических ссылок с адресом ячейки.
Если циклические ссылки есть еще на других листах кроме активного, то будет выведено сообщение без указания ячейки.
Если или на активном листе их более одной, то будет выведено сообщение с указанием ячейки, где циклическая ссылка появляется в первый раз, после ее удаления – ячейка, содержащая следующую циклическую ссылку и т.д.
Найти циклическую ссылку можно также при помощи инструмента поиска ошибок.
На вкладке Формулы в группе Зависимости формул выберите элемент Поиск ошибок и в раскрывающемся списке пункт Циклические ссылки.
Вы увидите адрес ячейки с первой встречающейся циклической ссылкой. После ее корректировки или удаления – со второй и т.д.
Теперь, после того как мы выяснили как найти и убрать циклическую ссылку, рассмотрим ситуации, когда делать этого не нужно. То есть когда циклическая ссылка в excel приносит нам определенную пользу.
Использование циклических ссылок
Рассмотрим пример использования циклических ссылок в финансовом моделировании. Он поможет нам понять общий механизм итеративных вычислений и дать толчок для дальнейшего творчества.
В финансовом моделировании не часто, но все же возникает ситуация, когда нам необходимо рассчитать уровень затрат по статье бюджета, зависящей от финансовый результата, на который эта статья влияет. Это может быть, например статья расходов на дополнительное премирование персонала отдела продаж, зависящая от прибыли от продаж.
После введения всех формул, у нас появляется циклическая ссылка:
Однако, ситуация не безнадежная. Нам достаточно изменить некоторые параметры Excel и расчет будет осуществлен корректно.
Еще одна ситуация когда могут быть востребованы циклические ссылки – это метод взаимных или обратных распределений косвенных затрат между непроизводственными подразделениями.
Подобные распределения делаются при помощи системы линейных уравнений, и могут быть реализованы в Excel с применением циклических ссылок.
На тему методов распределения затрат в ближайшее время появиться отдельная статья.
Пока же нас интересует сама возможность таких вычислений.
Итеративные вычисления
Для того чтобы корректный расчет был возможен, мы должны включить итеративные вычисления в параметрах Excel.
Итеративные вычисления – это вычисления повторяемые множество раз, пока не будет достигнут результат соответствующий заданным условиям (условию точности или условию количества осуществленных итераций).
Включить итеративные вычисления можно через вкладку Файл → раздел Параметры → пункт Формулы. Устанавливаем флажок «Включить итеративные вычисления».
Как правило, установленных по умолчанию предельного числа итераций и относительной погрешности достаточно для наших вычислительных целей.
Следует иметь ввиду, что слишком большое количество вычислений может существенно загружать систему и снижать производительность.
Также, говоря об итеративных вычислениях, следует отметить, что возможны три варианта развития событий.
Решение сходится, что означает получение надежного конечного результата.
Решение расходится, т. е. при каждой последующей итерации разность между текущим и предыдущим результатами увеличивается.
Решение колеблется между двумя значениями, например, после первой итерации получается значение 1, после второй — значение 10, после третьей — снова 1 и т. д.