Исследование графиков функций с помощью excel - Word и Excel

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа села Синодское

Научно — исследовательская работа по математике

«Исследование графиков функций с помощью Excel»

Автор:
учащийся 7 класса

МБОУ
СОШ с.Синодское

Ворфоломеев
Евгений Юрьевич

Научный
руководитель:

учитель
математики

МБОУ
СОШ с.Синодское

Ромахина
Каринэ Петросовна

2016 г.

Оглавление

1.
Введение.
Цели и задачи..………………………………………. 3

2.
Теоретическая
часть…………………………………………….. 4-5

3.
Практическая
часть……………………………………………… 6-8

а) Исследование графика линейной
функции

б) Исследование системы линейных
уравнений с двумя

переменными

4.
Заключение
………………………………………………………….. 8

5.
Список
литературы ………………………………………………9

6.
Приложение
……………………………………………………..10-17

Введение

На уроках алгебры мы
изучаем функции и их свойства, строим графики функций, учимся решать уравнения
и системы уравнений. В своей работе я показал способы построения графиков
функций, исследовал свойства функций и графиков в зависимости от параметров, входящих
в ее уравнение, графический способ решения уравнений и системы уравнений с двумя
переменными – с
помощью программы Microsoft Excel.

Программа
MS Excel позволяет очень быстро создать любое количество графиков различных
функций, а также рассмотреть большое количество примеров изменения графиков в
зависимости от параметров.

Цели и задачи исследования:

исследовать изменение расположения
графика линейной функции, в зависимости от параметров входящих в её уравнение; показать
принцип построения графиков уравнений с помощью формул в электронных
таблицах; ознакомиться с методами решения линейных уравнений с двумя
переменными и систем уравнений с помощью электронной таблицы Microsoft Excel.

Выявить преимущества решения систем уравнений
графическим способом.

Гипотеза:

Использование программы Microsoft Excel наглядно иллюстрирует построение графиков элементарных и более сложных
функций, позволяет исследовать преобразование графиков, изменение графика
функции в зависимости от исходных данных.

I.
Теоретическая часть

Линейной функцией называется
функция, которую можно задать формулой вида y
= kx + b, где x — независимая переменная, k и b —
некоторые числа. Графиком линейной функции
является прямая. Прямая определяется двумя точками. Значит, для построения
графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика,
нанести полученные точки на координатную плоскость и через них провести прямую.
Пусть в формуле у = kх + b число k равно нулю. Тогда формульное
представление линейной функции получает вид у = 0 ∙ х + b,
т. е. у = b.
Функция, задаваемая формулой у = b,
при любом значении аргумента принимает одно и то же значение b. Пусть в формуле у = kх + b число b это нуль. Тогда формульное
представление линейной функции становится таким: у = kх. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать
формулой вида y = kx, где x —
независимая переменная, k — не равное нулю число. Графиком прямой пропорциональности
является прямая, проходящая через
начало координат.
Для построения графика прямой
пропорциональности достаточно отметить какую-либо точку графика, отличную от
начала координат и провести через эту точку и начало координат прямую. Графики
двух разных линейных функций вида у = kх + b: пересекаются,
если коэффициенты k разные; параллельны,
если коэффициенты k одинаковые.

Через
свойства линейной функции можно решать системы линейных уравнений. Причем это решение
изящно, а его графическая интерпретация помогает глубже вникнуть в смысл
математических понятий.

Уравнение вида ах + ву =
с — линейное уравнение с двумя переменным, где х и у переменные, а, в и с –
некоторые числа.
Если а = 0, то уравнение принимает вид 0· х + bу = с.
Если b = 0, то уравнение принимает вид ах + 0· у = с.

Если a=0, b = 0,
с = 0, то уравнение принимает вид 0· х+ 0·у= 0.

Если а = 0,
в = 0, с≠0, то уравнение принимает вид 0· х+ 0·у= с.

Графиком линейного
уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек
координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого
линейного уравнения. График представляет собой прямую линию. Поэтому
такие уравнения и называются линейными.

Уравнение вида ах + ву =
с — линейное уравнение с двумя переменным, где х и у переменные, а, в и с –
некоторые числа.
Если а = 0, то уравнение принимает вид 0· х +
bу = с.
Если b = 0, то уравнение принимает вид ах + 0· у = с.

Если a=0, b = 0,
с = 0, то уравнение принимает вид 0· х+ 0·у= 0.

Если а = 0,
в = 0, с≠0, то уравнение принимает вид 0· х+ 0·у= с.

Системой уравнений называется некоторое количество
уравнений, объединенных фигурной скобкой. Решением системы уравнений с двумя
переменными называется пара значений переменных, обращающих каждое уравнение
системы в верное равенство. Решить систему уравнений – это означает найти их
общие решения. Поиск общего решения нескольких уравнений называют решением
системы уравнений.

II. Практическая часть

Исследование графика
линейной функции.

1.Рассмотрим функцию y=kx+b такую, что k ≠ 0, b = 0.

Фyнкция вида y=kx (прямая пропорциональность).

В одной системе координат построим графики функций:

y=3x, y=x, y=-3x.
Вывод:
График линейной функции вида у=kх проходит через начало координат. (приложение
1)

2.Рассмотрим функцию y=kx+b такую, что k ≠ 0, b ≠ 0.

В одной системе координат построим графики функций:

y=2x+5, y=-2x+5
Вывод:
График линейной функции вида y = kx + b пересекает ось Оy в точке (0;b). (приложение 2)
3.Рассмотрим функцию y=kx+b, где k=0, b ≠ 0

y= b.

В одной системе координат построим графики функций:
y=5, y=-5.
Вывод:
График линейной функции вида y = b проходит параллельно оси Оx и пересекает ось Оy в точке (0;b). (приложение 3)
4.В одной системе координат построим графики функций, где k – одно и то же число.

y=2x, y=2x+5, y=2x-5.
Вывод:
Графики линейных функций вида y=kx+b параллельны, если коэффициенты при х
одинаковы.

(приложение 4)

5.В одной системе координат построим графики функций:

y=4x-5, y= -2x+7.
Вывод:
Графики двух линейных функций вида y=kx+b пересекаются, если коэффициенты при х
различны. (приложение 5)
Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y=kx+ b.
Вывод:

Если k<0 , то угол наклона графика к оси Оx тупой. Функция убывает.
Если k>0 , то угол наклона графика к оси Оx острый. Функция возрастает. (приложение 6).

Итак, исследуя расположение прямой, в
зависимости от изменения значения k можно сделать вывод, что внося изменения в одну ячейку электронной
таблицы, не меняя более ничего, мы можем получать различные расположения
прямой.

Исследование системы уравнений с
двумя переменными.

1.Решить систему уравнений y-2x=1

6x—y=7

Выразим y через x y=2x+1

y= 6x-7 и построим графики уравнений. (приложение 7)

Подводя курсор к точке пересечения
линий легко можно увидеть решение уравнения (2;5).

2.Решить систему уравнений

x-2y=6

3x+2y=-6

Выразим y через x y=x/2-3

y=-1,5x-3

Подводя курсор к точке пересечения
линий легко можно увидеть решение уравнения (3;-1,5).

Применяя известный алгоритм
построения графиков, получаем график. (приложение

Вывод:

Имея один шаблон для решения систем
уравнений, не применяя особых усилий можно за короткое время решить много
систем уравнений, а также использовать этот метод решения использовал для
проверки домашних заданий.

Заключение:

Проделав данную исследовательскую работу, я пришел к
следующим выводам: используя программу MS Excel на уроках математики можно получить
наглядное представление о свойствах функции, графиках функций, взаимном
расположении графиков, а также закрепить навыки и умения построения графиков
функций, проводить исследования.

Список литературы

1.Алгебра. Учебник для 7 класса
средней школы, под редакцией Теляковского С.А.

2.Д.В. Беклемишев. Курс аналитической
геометрии и линейной алгебры. Москва, Наука, 1980 г.

3.М.Я. Выгодский. Справочник по
высшей математике. Москва, 1977 г.

4. Математика. Учебное пособие под
редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж 1994г.

5.В.С. Шипачёв. Основы высшей математики. Москва,
Высшая школа, 1989 г.

Источник

«Районная научно-практическая конференция

«От исследования — к научному поиску»

Учреждение: МБОУ «Многопрофильная гимназия г. Лагани»

Секция: Естественно-научная

Тема работы:

«Построение и исследование графиков

функций при помощи электронных

Таблиц Excel.»

Автор работы: Белкин Алексей Васильевич,

ученик 10 класса МБОУ «Многопрофильная гимназия г. Лагани»

Научный руководитель: Никифоров Евгений Алексеевич,

учитель математики МБОУ «Многопрофильная гимназия г. Лагани»

г. Лагань — 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение	2
Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel.	3-5
1.2. Полярная система координат	5-6
1.3. Инструкция по построению кривых в полярных координатах с помощью программы Microsoft Excel	6-10
1.4. Построение кусочно-заданной функции на примере построения эскиза национального орнамента	11-12
Заключение	13 — 14
Список литературы	15

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. При изучении, темы преобразования графиков функций возникла необходимость построения графиков элементарных функций и уравнений выше второй степени. Для изучения свойств этих функций Microsoft Excel предлагает широкие возможности, которые в школьных учебниках по информатике не оговариваются.

Вопрос (мотивация): Как построить график с изменяющимся параметром, для дальнейшего его изучения?

Проблема: необходимо найти удобный (сравнительно простой, наглядный, доступный) способ построения графиков элементарных функций и уравнений степеней выше второй с двумя переменными.

Гипотеза: для решения поставленной проблемы, возможно использовать инструменты прикладной программы Microsoft Excel, а для построения графиков уравнений высших порядков ввести новые переменные, или новую систему координат, или и то и другое одновременно.

Поэтому, объект нашего исследования — прикладная программа Microsoft Excel, ее возможности для построений графиков функций и исследования их.

Исходя из этого, предметом нашего исследования стали уравнения элементарных функций и кривых высших порядков.

Цель работы – показать алгоритм построение графиков функций в Excel, принцип построения линий высших порядков в полярной системе координат с помощью формул перехода от декартовых координат к полярным координатам. Результаты исследования: в процессе работы я:

Научился строить графики функций, с дальнейшей возможностью изучения их свойств
изучил переход от декартовой системы координат к полярной и обратно;
исследовал изменения вида графиков функций и кривых, в зависимости от параметров входящих в её уравнение;
познакомились с некоторыми замечательными кривыми известных математиков.

Планы и перспективы: продолжить изучение плоских кривых.

Инструкция по построению кривых с помощью программы

Microsoft Excel.

Пусть задана функция y= f(x), где х – независимая переменная , а y – переменная зависящая от х.

Для начала нам необходимо задать значения независимой переменной с заданным шагом (шаг лучше выбрать дробным значением). Чем меньше шаг вычисления независимой переменной тем точнее построенный график.

Задаем формулу по которой определяется зависимая переменная. Вычисляем для каждого значения независимой переменной ее соответствующее значение функции.

По построенным данным строим график функции.

Следовательно, математическая модель у нас уже есть. Рассмотрим пример построения уравнения графика и ее исследования

. Рассмотрим в качестве примера тригонометрическую функцию

Построим компьютерную модель исследования.

Для дальнейших исследований будем одновременно строить график исходной элементарной функции y= sinx и преобразованной функции и сравнивать полученные результаты.

Формулы будут записаны в терминах электронных таблиц следующим образом:

А3= -7
А4 =А3+0,1 (шаг можно уменьшить например до 0,001)
B3 =sin(a3)
у меня независимая переменна изменяется на интервале (-7;7), что примерно соответствует интервалу ()

d3= -7

d4 =d3+0,1

E3 =sin($f$1*d3)

В ячейке F1 будем задавать значение параметра k, и рассматривать полученные изменения графика функции

Фрагмент произведенных расчетов из электронной таблицы приведен ниже

В приложенном к работе файле Microsoft Excel работа графики можно увидеть полные вычисления и полученные результаты

Для детального изучения преобразований графики построил в одной системе координат, что дает возможность сравнить полученные результаты.

Для дальнейших исследований достаточно теперь изменить значение в ячейке f1, и получим иную картину. Например f1=-4

Как видно значения функции автоматически пересчитаны, и построен уже другой график. Данные возможности мною были продемонстрированы одноклассникам на уроке математики. В дальнейшем мои товарищи на уроки изучили свойства полученных графиков функций и наглядно изучили преобразования графиков следующих функций

( и др.)

1.2. Полярная система координат.

Мои исследования, на этом не закончились, возник вопрос в построении более сложных графиков. В качестве примера мною рассмотрено уравнение

В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом R и углом , образуемым полярным радиусом с полярной осью. Следовательно, полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел . Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Если в декартовой системе координат предельно простое выражение определяет прямую линию, то это же выражение, переписанное в форме , уже превращается в спираль. Фигуры в полярных координатах образуются как след конца бегающего по кругу полярного радиуса переменной длины. Длина полярного радиуса определяется величиной угла, который в данный момент времени он образует с полярной осью. Координата берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида, которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных . Для полюса , угол произвольный.

Связь между полярной и декартовой системами координат.

Точка О — полярный полюс, луч ОЕ будем называть полярной осью, отрезок ОМ — называют длиной полярного радиуса R, положительный угол от луча ОЕ до луча F — полярный угол.

Если известны полярные координаты R и , точки М, то можно уставить связь с её декартовыми координатами.

Построим прямоугольный ОМЕ. В этом треугольнике гипотенуза ОМ=R, ЕОМ = , катет ЕМ = у, катет ОЕ = х координаты точки М.

Для того, чтобы перейти от полярных координат к декартовой системе, используют формулы: , , . Обратно, чтобы, имея прямоугольные координаты, получить расстояние нужное для задания полярных координат, надо воспользоваться теоремой Пифагора: , затем , .

Некоторые замечательные кривые. На протяжении многих лет ученые собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список таких названий внушителен: спираль Архимеда, Ферма, Галлилея, Фибоначчи, кардиоида, овалы Кассини, лемниската Бернулли, фигуры Лиссажу, розы Гвидо Гранди, кривые Маклорена, верзьера (локон Марии Аньези) и т.д.

1.3. Инструкция по построению кривых

в полярных координатахс помощью программы Microsoft Excel.

Если уравнение задано в декартовых координатах, то следует перевести его в полярные, используя формулы: X=R*COS(F), Y=R*SIN(F). Следовательно, математическая модель у нас уже есть. Рассмотрим пример построения кривой.

Задача. Построить кривую, заданную уравнением .

Решение. Найдем уравнение данной линии в полярных координатах.

Для программы Microsoft Excel: R=4*COS(3*F)

Предположим, что угол F изменяется в интервалах от 0 до 2. Для того, чтобы построить эту кривую наиболее точно, с малым шагом изменения угла F, как мы это делали при построении тригонометрических функций, мы выберем шаг изменения 0,1.

Построим компьютерную модель исследования.

Формулы будут записаны в терминах электронных таблиц следующим образом:

А2 0,1 А3 =А2+0,1 B2 =4*COS(3*F)
C2 =SIN(А2) D2 =COS(А2) E2 =B2*D2 F2 =В2*C2

Тогда получаем следующее распределение по столбцам электронной таблицы:

f	r	sin(f)	cos(f)	x	y
0,1	3,821346	0,099833	0,995004	3,802255	0,381498
0,2	3,301342	0,198669	0,980067	3,235535	0,655875
0,3	2,48644	0,29552	0,955336	2,375387	0,734793
0,4	1,449431	0,389418	0,921061	1,335014	0,564435
0,5	0,282949	0,479426	0,877583	0,248311	0,135653
0,6	-0,90881	0,564642	0,825336	-0,75007	-0,51315
0,7	-2,01938	0,644218	0,764842	-1,54451	-1,30092
0,8	-2,94957	0,717356	0,696707	-2,05499	-2,1159
0,9	-3,61629	0,783327	0,62161	-2,24792	-2,83274
1	-3,95997	0,841471	0,540302	-2,13958	-3,3322
1,1	-3,94992	0,891207	0,453596	-1,79167	-3,5202

и т. д.

Для построения графика выделим информационный блок E2..F64, так как аргумент F, будем изменять от 0,1 до 6,3 радиана. Возможно изменение и до 9,42, 12,56, и т. д. Получим следующий график.

Исследование формы кривой, в зависимости от изменения значений входящих в её уравнение. Внося изменения в ячейку H27 , не меняя более ничего, мы можем получать различные виды уравнения

Еще примеры …

Обратимся к исследованию формы роз. Поскольку правая часть уравнения не может превышать величины a, то и вся роза, очевидно, уменьшается внутри круга радиусом a. Количество же лепестков розы зависит от величины модуля k:

1. Если модуль k – целое число, то роза состоит из k лепестков, при нечетном k, и из 2k лепестков при k четном.

2.Если модуль k – рациональное число, равное то роза состоит из m лепестков в случае, когда оба числа m и n нечетные, и из 2m лепестков, если одно из этих чисел является четным.

При этом, в отличие от первого случая каждый следующий лепесток будет частично перекрывать предыдущий.

3.Если модуль k – иррациональное число, то роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Математическим исследованием формы цветов и листьев занимался также Хабеннихт – геометр 19 столетия. Им был получен целый ряд уравнений, которые с весьма хорошим приближением выражали аналитически формы листьев клена, щавеля, ивы и т. д. Вот некоторые из этих кривых:

В полярных координатах можно описать при помощи косинусов кратных дуг линии, которые обрисовывают контуры листьев некоторых растений:

• кувшинки: (рис. а);
• кислицы: (рис. б);
• настурции: (рис. в);

• стрелолиста: (рис. г).

Рис. А Рис. Б Рис. В Рис. Г

1.4. Построение кусочно-заданной функции на примере построения эскиза национального орнамента

Свои исследования я продолжил, возник вопрос в построении графиков функций состоящих из нескольких кривых на заданном интервале. В качестве примера мною рассмотрено построение эскиза калмыцкого орнамента (геометрического) в Excel.

Если рассмотреть любой геометрический орнамент, то с математической точки он представляет собой набор прямых или кривых на заданном интервале, иногда на одном интервале может быть задано несколько различных линий. Совокупность этих линий и кривых образует рисунок который и будем считать орнаментом.

Также можно заметить, что орнамент представляет собой периодическую функцию (рисунок повторяется, через заданный интервал). Для того, чтобы построить заданный орнамент мы его построим на определенном интервале, а затем перенесем все вычисления на заданный шаг и т. д.

Приведенный ниже орнамент представляет собой семейство прямых заданных на отрезках, причем прямые параллельны одной из осей координат т.е. их уравнения принимают вид у =a или х =а.

Построим эти прямые.

Примеры таблиц вычислений:

x	y
0	0
0,1	0
0,2	0
0,3	0
0,4	0
0,5	0
0,6	0
0,7	0
0,8	0
0,9	0
1	0

1,1	0
1,2	0
1,3	0
1,4	0
1,5	0
1,6	0
1,7	0
1,8	0
1,9	0
2	0

2	0
2	0,1
2	0,2
2	0,3
2	0,4
2	0,5
2	0,6
2	0,7
2	0,8
2	0,9
2	1

(Полные вычисления можно увидеть в файле приложении1)

График функции приведен ниже:

Заключение

Проделав данную исследовательскую работу я пришел к следующим выводам: Microsoft Excel предоставляет большие возможности для построения и исследования графиков функций.

Использование компьютерных программ для построения графиков функций, изучение их свойств и закономерностей, дает возможность рассмотреть большое количество примеров с минимальными усилиями. Данная работа предназначена в помощь учителям при изучении функции, а также ученикам с целью заинтересовать их математикой, информатикой, показав возможности использования информационных технологий на уроках математики.

В классе котором я обучаюсь, мною была дана обзорная лекция с практическим ознакомлением, на которой одноклассников я ознакомил учащихся с принципами построения графиков функций на примере тригонометрических функций, был предложен вариант построения графика функции с параметром. Построение графиков с параметром позволяет рассмотреть особенности графика в зависимости от параметра, изучить свойства функции, научиться строить графики функций путем преобразований исходной. В какой то мере благодаря этой работе мои одноклассники разобрались на отлично с темой построение графиков тригонометрических функций и их преобразований.

Мне удалось добиться поставленных целей работы. Был проработан алгоритм построения графиков элементарных функций, для построения кривых высших порядков мною был изучен дополнительный материал: построение кривых высших порядков в полярных координатах, где основополагающим является угол преобразования и радиус вектор. Был проработан алгоритм решения данной задачи: при помощи формул перехода от полярных координат к декартовым и обратно.

Изучая кривые линии высших порядков, ведь используя Microsoft excel, это не составляет труда, мне представился удивительный мир графиков различных функций. Оказывается таким образом можно построить, меняя параметры в данных уравнениях графики, которые напоминают листья растений и деревьев (например: кувшинки или лотоса). Оказывается математика — живая наука.

Опыт, приобретенный мною в процессе выполнения работы, несомненно, пригодится мне в дальнейшей жизни. Так, например, умея строить графики уравнений с параметрами можно найти корни уравнений и их зависимость от введенного параметра, что даст наглядную картину решения данного уравнения. Это позволяет решать задания ЕГЭ по математике части С5.

Также данные навыки будут необходимы при построении графиков и диаграмм в дальнейшей профессиональной деятельности, так excel прикладная программа применимая во многих сферах деятельности человека, например бухгалтерии, дизайн, аналитика, инженерия и другие.

Строя график функции на примере орнамента у меня возник вопрос, который остался не разрешенным. Как вы видели, я строил график по интервалам, что конечно занимает некоторое время. Возникает вопрос, как упростить данные построения. У меня есть три способа решения данной проблемы: 1) попытаться найти оптимальное уравнение функции, которое позволить заменить одновременно несколько этапов построения. Для решения этого вопроса нужно провести поиск в математических источниках.

2) найти возможности программы Excel для решения этой задачи. Как я говорил, в данной программе, много возможностей, многие из них, я еще не изучил.

3) найти другие программы построения графиков, которые позволят построить график данных функций. Такие программы существуют, например Adgrapher или DPlot и др. Данные программы, я планирую изучить в дальнейшем. Оптимальным решением, конечно же, будет создание своей программы, используя языки программирования.

Список используемой литературы

Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, Москва, Наука, 1969 г.
Дороднов А.М. Краткие сведения о построении графиков в полярной системе координат. Москва, 1972 г.
И.М. Гельфанд и др. Метод координат. Москва, Наука, 1973 г.
И.И. Привалов. Аналитическая геометрия, Москва, Высшая школа, 1966 г.
Н.В. Ефимов. Краткий курс аналитической геометрии. Москва, Высшая школа, 1972
Г.И. Запорожец. Руководство к решению задач по математическому анализу. Москва, Высшая школа, 1974 г.
Егерев В.К. Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций. Москва, 1970 г.
Линии: определение, исследование и построение: Метод. рекомендации / Краснояр. гос. ун-т; Сост. А.П. Ляпин. Красноярск, 2001

Сайты и ссылки

http://ru.wikipedia.org

2. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cassini.html

подробная биография Кассини

3. http://www.2dcurves.com/higher/highercc.html прекрасная страничка для любителей красивых кривых, из нее мы узнали об овалах с тремя и более фокусами.

4. http://arbuz.uz/x_stati.html

5. http://otherreferats.allbest.ru/mathematics/00125991_0.html — Построение кривых высшего порядка

Источник

Автор: Пенский Владимир Константинович

Предмет: алгебра, информатика.

Тема урока: Построение и исследование графика функции в MS EXCEL.

Класс: 9.

Продолжительность: 45 минут.

Цель урока: применение электронных таблиц для построения графика и изучения основных свойств квадратичной функции.

Задачи урока:

Образовательные:

систематизация знаний о свойствах квадратичной функции;
закрепить умение строить графики квадратичной функции и по графику определять ее основные свойства;
закрепление умения работать с электронными таблицами.

Развивающие:

формирование умения сравнивать, обобщать изучаемые факты;
повышение уровня учебной мотивации с использованием компьютерных технологий, развитие логического мышления;
развитие умения грамотно излагать свои мысли, обосновывать свои действия.

Воспитательные:

развитие коммуникативных умений, формирование адекватной оценки собственной деятельности;
развитие чувства товарищества, взаимопомощи, деликатности, дисциплинированности.

Оборудование: компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Постановка цели урока.

Сегодня на уроке мы повторим свойства квадратичной функции и научимся строить соответствующие графики функций с помощью прикладного программного обеспечения компьютера и, используя полученный график, определим свойства этой функции.

3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос.

Вспомним определение и основные свойства квадратичной функции. Для этого ответьте на вопросы.

Как называется функция вида у = aх²+ bx + c (а ≠ 0), где а, b, c – действительные числа?
Что является графиком квадратичной функции?
При каких значениях х квадратичная функция у = х²возрастает? убывает?
Как называются значения переменной х, при которых значение функции равно нулю.
При а 0 ветви параболы у = ах² направлены … .
Если а х у = ах² принимает …(положительные, отрицательные) значения.

3. Повторение изученного материала.

1. Обоснуйте, что областью определения функции у = aх²+ bx + c является множество всех действительных чисел.

2. Выясните, какие из следующих квадратичных функций являются: чётными; нечётными; не являются ни чётными, ни нечётными.

а) y = x²; б) y = 3 − 2x + x².

3. Найдите нули квадратичной функции:

а) y = 2x²+ x − 3; б) y = x² − 8x + 15.

4. Найдите координаты вершины параболы у = х²– 4х + 4.

5. Укажите наибольшее (наименьшее) значение функции:

а) y = x²; б) y = 3x² + 1.

4. Изложение нового материала.

Можно ли, не проводя аналитических рассуждений определить свойства квадратичной функции? Действительно, по графику квадратичной функции можно определить все ее основные свойства.

Как построить график квадратичной функции? На помощь приходят современные компьютерные технологии. Сегодня существует множество программ, которые позволяют строить графики различных функций. Одним из простейших способов построения графика (в нашем случае графика квадратичной функции) является использование электронных таблиц Microsoft Excel.

Вспомним, каким образом можно построить график функции в данной программе.

Построим, например, график квадратичной функции у = х²+ 2х – 3 и исследуем ее свойства.

1) Составим таблицу значений зависимости переменной у от х:

– в ячейку А1 введите заголовок столбца «х»;

– в ячейку А2 введите значение –5, а в ячейку А3 – –4,5;

– выделите содержимое ячеек А2 и А3, далее с помощью функции автозаполнения скопируйте до ячейки А18 (получим соответствующие значения х от –5 до 3);

– в ячейку В1 введите заголовок столбца у = х²+ 2х – 3;

– в ячейку В2 введите формулу = В1^2 + 2*B1 – 3;

– скопируйте формулу из ячейки В2 (используя функцию автозаполнения) до ячейки В19.

2) Построение графика с помощью мастера диаграмм:

– выделите подготовленные данные, начиная с заголовка В1:В18.

– вызовите мастер диаграмм (Вставка – график – график);

– при задании параметров название диаграммы оставить;

– нажмите «ОК» и график автоматически вставится.

3) Работа с графиком:

– вставьте названия осей (Макет – названия осей – название основной горизонтальной оси – название под осью; Макет – названия осей – название основной вертикальной оси – горизонтальное название) и перенесите (х справа от оси, у выше оси);

– щелчком мыши в готовой диаграмме по каждой из осей, вызовите контекстное меню и установите: «горизонтальная ось пересекает значение оси 0», «вертикальная ось пересекает в категории с номером 11»;

– добавьте сетку (Макет – сетка – вертикальные линии сетки по основной оси – основные линии сетки).

Задание. С помощью построенного графика квадратичной функции у = х²+ 2х – 3 определите:

а) четность-нечетность функции;

б) нули функции;

в) промежутки монотонности;

г) наибольшее и наименьшее значение функции.

5. Проверка усвоения нового материала.

Класс делится на две группы. Каждой группе предлагается решить определенное задание. После того как все обучающиеся в группе решили это задание, происходит взаимопроверка полученных решений.

1 группа.

1. Найдите координаты точек пересечения параболы у = х²+ х – 12 с осями координат.

2. Постройте график квадратичной функции y = −3x²в программе Microsoft Excel и определите по графику значения этой функции в точках x₁ = 5, x₂ = −3.

2 группа.

1. Найдите значения квадратичной функции y = −3x²в точках x₁ = 5, x₂ = −3.

2. Постройте график квадратичной функции у = х²+ х – 12 в программе Microsoft Excel и по графику определите координаты точек пересечения параболы с осями координат.

6. Подведение итогов.

Итак, мы повторили материал, касающийся свойств квадратичной функции, решали задачи.

Что нового вы узнали сегодня?

Довольны ли вы своей работой?

7. Домашнее задание.

Задайте аналитически квадратичную функцию, которая:

а) имеет два нуля −3 и 0;

б) имеет только один нуль −3;

в) не имеет нулей.

Однозначно ли можно выполнить задание во всех случаях?

Список использованной литературы:

Алгебра: учебник для 9 класса / Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Терре А.И. и др. – М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 272 с.
Семакин И.Г. Информатика и ИКТ: учебник для 9 класса / И.Г. Семакин, Л.А. Залогова, и др. – М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. – 341 с.
Социальная сеть работников образования «Наша сеть». – Режим доступа: http://nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/2013/11/02/integrirovannyy-urok-po-algebre-i-informatike

Источник

Пример 1

Дана функция:

Нужно построить ее график на промежутке [-5;5] с шагом равным 1.

Создание таблицы

Создадим таблицу, первый столбец назовем переменная x (ячейка А1), второй — переменная y (ячейка В1). Для удобства в ячейку В1 запишем саму функцию, чтобы было понятно, какой график будем строить. Введем значения -5, -4 в ячейки А2 и А3 соответственно, выделим обе ячейки и скопируем вниз. Получим последовательность от -5 до 5 с шагом 1.

Вычисление значений функции

Нужно вычислить значения функции в данных точках. Для этого в ячейке В2 создадим формулу, соответствующую заданной функции, только вместо x будем вводить значение переменной х, находящееся в ячейке слева (-5).

Важно: для возведения в степень используется знак ^, который можно получить с помощью комбинации клавиш Shift+6 на английской раскладке клавиатуры. Обязательно между коэффициентами и переменной нужно ставить знак умножения * (Shift+8).

Ввод формулы завершаем нажатием клавиши Enter. Мы получим значение функции в точке x=-5. Скопируем полученную формулу вниз.

Мы получили последовательность значений функции в точках на промежутке [-5;5] с шагом 1.

Построение графика

Выделим диапазон значений переменной x и функции y. Перейдем на вкладку Вставка и в группе Диаграммы выберем Точечная (можно выбрать любую из точечных диаграмм, но лучше использовать вид с гладкими кривыми).

Мы получили график данной функции. Используя вкладки Конструктор, Макет, Формат, можно изменить параметры графика.

Пример 2

Даны функции:

и y=50x+2. Нужно построить графики этих функций в одной системе координат.

Создание таблицы и вычисление значений функций

Таблицу для первой функции мы уже построили, добавим третий столбец — значения функции y=50x+2 на том же промежутке [-5;5]. Заполняем значения этой функции. Для этого в ячейку C2 вводим формулу, соответствующую функции, только вместо x берем значение -5, т.е. ячейку А2. Копируем формулу вниз.

Мы получили таблицу значений переменной х и обеих функций в этих точках.

Построение графиков

Для построения графиков выделяем значения трёх столбцов, на вкладке Вставка в группе Диаграммы выбираем Точечная.

Мы получили графики функций в одной системе координат. Используя вкладки Конструктор, Макет, Формат, можно изменить параметры графиков.

Последний пример удобно использовать, если нужно найти точки пересечения функций с помощью графиков. При этом можно изменить значения переменной x, выбрать другой промежуток или взять другой шаг (меньше или больше, чем 1). При этом столбцы В и С менять не нужно, диаграмму тоже. Все изменения произойдут сразу же после ввода других значений переменной x. Такая таблица является динамической.

Кратко об авторе:

Шамарина Татьяна Николаевна — учитель физики, информатики и ИКТ, МКОУ «СОШ», с. Саволенка Юхновского района Калужской области. Автор и преподаватель дистанционных курсов по основам компьютерной грамотности, офисным программам. Автор статей, видеоуроков и разработок.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Источник

Разделы:

Математика,

Информатика

Тип урока: урок-практикум.

Технология: проблемно-исследовательская.

Оборудование: Компьютерный класс,
проекционное оборудование.

Дополнительные материалы:

Четыре комплекта заданий (Приложение 1, 2 по
количеству групп).

Для ускорения оформления отчета раздается Приложение
3 (по количеству детей).

Клей (один на группу).

Цели урока:

Закрепить навыки учащихся в использовании
электронных таблиц и презентационного пакета Power
Point, создать условия для использования
возможностей ПО Excel в математических
исследованиях.

Задачи урока:

Воспитательная – развитие познавательного
интереса, воспитание информационной культуры,
развитие коммуникативных навыков.

Учебная – повторить и закрепить основные
навыки работы с электронными таблицами и
презентационным пакетом представить
возможности использования ПО Excel в
математических исследованиях.

Развивающая – развитие логического
мышления, расширение кругозора, формирование
исследовательских компетентностей школьников.

План урока

Сформулировать задание.
Разделить класс на четыре группы (4 человека),
каждая группа получает конверт со своим
заданием.
Обсудить задание в группах, сформировать
возможные изменения коэффициентов.
Провести исследование.
Подготовить презентацию с результатами
исследований.
Раздать каждому ученику материал (Приложение 3)
для заполнения.
Представить результаты исследований для других
групп.
Все результаты оформляются в тетрадь
(вклеиваются листы с заполненным. приложением 3).
Все презентации сдаются на проверку.

Оборудование

	Ход урока	Время (приблизительно)
Орг момент. Повторение.	Здравствуйте, садитесь. Сегодня мы с вами займемся исследованиями из области алгебры. Есть ряд графиков функций (написаны на доске) необходимо было бы установить как они себя поведут в зависимости от коэффициентов. Какое программное обеспечение для этого можно использовать? Excel Прекрасно, что именно вам пригодится? Знание как строить графики. Какой первый этап при построении графиков? Задаем диапазон X на котором находим значения функции. Дальше Помещаем коэффициенты в отдельные ячейки Следующий шаг Находим значение Y для каждого Х и строим график функции через Мастер диаграмм. Что необходимо сделать, чтоб при автозаполнении, адреса ячеек, где располагаются коэффициенты, не изменились? Сделать адрес на ячейку абсолютным Хорошо, а какой тип диаграмм вы будете использовать для построения графика? График или Точечный. Какой более удобен и почему? Точечный, так как отражает полностью четыре четверти координатной плоскости.	6
Орг. момент	На ваших местах находятся карточки с номером группы, в которой сегодня вы будете работать, разбейтесь, пожалуйста, по группам. Пока учащиеся рассаживаются по группам, учитель выдает задание на группу. Перед вами лежит файл, в котором: Сформулировано задание. План работы группы. Таблица с возможными вариациями коэффициентов. Ознакомьтесь, пожалуйста. Есть вопросы по регламенту?	4
Работа группы	Задача каждой группы провести исследование соответствующего графика функции в зависимости от значения коэффициентов, а так же посмотреть при всех ли значениях X можно построить график. Свои выводы оформить в презентационном пакете Power Point.	14
Зашита исследований	За пятнадцать минут до конца урока начинаются выступления представителей групп с результатами исследований.	13
Итог урока.	Что делали на уроке, каким программным обеспечением пользовались. Какой результат получили, где его можно использовать, на каком уроке.	3

Все приложения прилагаются для 1 группы, для
других групп в Приложении 1 меняется только
функция. Приложения 2 и Приложение 3 одинаковые
для всех участников процесса.

Функции, графики которых исследуются:

Приложения

1.03.2007

Источник