Использовать excel для линейных уравнений

Помогла ли Вам статья?

Решение СЛАУ в MS EXCEL

С системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) часто приходится сталкиваться не только в курсе математики. Их решение пригодится в других науках, например, физике или химии.

Систему из двух уравнений часто можно решить способом подстановки. Системы трех и более уравнений приходится решать другими способами. К ним относятся:

• метод обратной матрицы;
• метод Крамера;
• метод Гаусса.

В общем виде систему линейных уравнений можно представить в виде:
A⋅X=BAcdot X = B,

где AA – матрица коэффициентов;

XX – вектор-столбец неизвестных;

BB – вектор-столбец свободных коэффициентов.

Мы рассмотрим решение одной и той же простой системы уравнений первыми двумя способами, чтобы сравнить результаты. Если при решении разными способами ответы будут совпадать, значит СЛАУ решена верно.

Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы (матричный метод) используется для квадратных матрицы, чей определитель равен нулю.

Для того чтобы найти корни уравнения этим способом, в первую очередь находят обратную матрицу, которую перемножают на свободные коэффициенты. Рассмотрим, как это будет выглядеть в MS Excel.

Возьмем для примера матрицу (рис.1):

Рисунок 1

Запишем нашу систему уравнений в следующем виде (рис.2):

Рисунок 2

Скопируем матрицу коэффициентов и таблицу свободных коэффициентов в Excel (рис.3):

Рисунок 3

Для нахождения обратной матрицы выделяем нужные ячейки, в которых будет новая матрица, в строке формул пишем функцию «=мобр» и указываем в скобках массив матрицы, для которой мы и находим обратную матрицу. В нашем случае это будет «=мобр(C2:E4)». После этого нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter (рис.4):

Рисунок 4

После этого в каждой ячейке формула будет записана в фигурных скобках.

Для нахождения неизвестных необходимо перемножить обратную матрицу и свободные коэффициенты. Делается это так же, как и нахождение обратной матрицы: выделяем ячейки, куда будут записаны ответы, в строке формул записываем функцию «=мумнож», в скобках указываем массив матрицы и вектор свободных коэффициентов. В нашем случае это будет выглядеть «=мумнож(C7:E9;F2:F4)»:

Рисунок 5

Для тренировки можно скачать файл с данным примером и подставить другие значения. Таким же способом решают СЛАУ из 4, 5 и более уравнений.

Если тема осталась для вас непонятной, изучайте подробно матрицы и методы работы с ними в этой статье с пошаговым разбором.

Метод Крамера

Метод Крамера несколько отличается от предыдущего. Для этого нам нужно найти определитель основной матрицы, после чего в матрице коэффициентов каждый столбец заменить на вектор свободных коэффициентов и для полученных таблиц найти определитель. Рассмотрим наглядно это на рисунке 6:

Рисунок 6

Для каждой матрицы находим определитель с помощью функции «МОПРЕД». Корнями системы уравнений будут частные определителя основной и новых матриц (рис.7):

Рисунок 7

Такими простыми способами можно решать системы линейных квадратных уравнений.

Тест по теме «Решение СЛАУ в MS Excel»

The equation having the highest degree is 1 is known as a linear equation. If we plot the graph for a linear equation, it always comes out to be a straight line. There are different forms of linear equations such as linear equations in one variable, and linear equations in two variables.

1. Linear equations in one variable: standard form of this equation is ‘ax + b = 0’, where a and b are real numbers and x is a variable.
2. Linear equation in two variables: standard form or this equation is, ‘ax + by = c’, where a, b and c are real numbers, and x is a variable.

Graph a linear equation using Excel

Graph of Linear equation (one variable)

In only one variable, the value of only one variable is needed to be found. Therefore, the equation can be solved directly. Let’s take one linear equation in one variable i.e 2x + 3 = 9.

Step 1: Solve the linear equation

2x + 3 = 9

2x = 9 – 3

2x = 6

x = 6/2

x = 3

Step 2: Plot the graph

For a linear equation in one variable, the graph will always have a line parallel to any axis.

For x = 3, the graph will be a line parallel to the y-axis which intersects the x-axis at 3, because for any value of y, the value of x is 3. Below table data can be used to plot the graph,

Co-ordinates taken is (3, 0), (3, 5), (3, 10), (3, 15), (3, -5), (3, -10), (3, -15).

Plot the graph using the following steps

Step 1: Select the data

Step 2: Click on the ‘Insert’ tab and select scatter with marker chart.

Output

Graph of Linear equation (two variables)

Let’s take one linear equation in one variable i.e 2x + 3y = 6. In order to get the data points for plotting the graph, assume some value of x and find the corresponding y value.

For example, If x = 0

Substitute value of x in given equation,

2(0) + 3y = 6

3y = 6

y = 2

Then, the data point is (0, 2). Similarly, we can get different coordinates, those are (3, 0), (-3, 4), and (6, -2).

Plot the graph using the following steps

Step 1: Select the data

Step 2: Click on the ‘Insert’ tab and select scatter with marker chart.

Output

Н. В. КОЛДАЕВА

Использование табличного процессора MS Excel для численного решения систем линейных уравнений и вычисления определенного интеграла

Учебно-методическое пособие
для самостоятельной работы студентов
по дисциплине «Информатика и ИКТ»

Кстово 2015

Аннотация

Учебно-методическое пособие Использование табличного процессора MS Excel для численного решения систем линейных уравнений и вычисления определенного интеграла разработано для организации самостоятельной работы студентов и соответствует действующей программе по курсу дисциплины «Информатика и ИКТ» для темы «Возможности динамических (электронных) таблиц. Математическая обработка числовых данных» раздела «Технология создания и преобразования информационных объектов».

Кротко изложены основы технологии работы с табличным процессором MS Excel и основы численных методов решения математических задач для систем линейных уравнений и вычисления определенного интеграла. Приведена пошаговая реализация нахождения неизвестных для системы линейных уравнений и вычисления значения определенного интеграла на конкретных примерах с использованием MS Excel. Представлены индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов.

Учебное пособие предназначено для студентов ГБОУ СПО «Кстовский нефтяной техникум им. Б.И. Корнилова», изучающих дисциплину «Информатика и ИКТ», а также для реализации математических моделей с помощью компьютера при выполнении расчетно-графических, курсовых и дипломных работ.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение        

1. Табличный процессор Excel и технология работы в нем        

1.1. Структура документа MS Excel        

1.2. Основной принцип работы электронных таблиц        

1.3. Ввод информации в ячейки        

1.4. Форматирование таблиц        

1.5. Основные правила создания формул и функций        

1.6. Способы и методы формирования в формулах ссылок на ячейки        

2. Математическая постановка задач        

2.1. Метод Крамера решения систем линейных уравнений        

2.2. Приближенные методы вычисления определенного интеграла        

3. Реализация решения математических задач в MS Excel        

3.1. Решение систем линейных уравнений с использованием табличного процессора MS Excel        

3.2. Нахождение значений определенного интеграла с использованием табличного процессора MS Excel        

4. Методические указания по выполнению самостоятельной работы        

5. Варианты заданий для самостоятельной работы        

5.1. Варианты заданий систем линейных уравнений        

5.2. Варианты заданий определенного интеграла        

Список литературы        

Введение

Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов разработано в соответствии с действующей программой по курсу дисциплины «Информатика и ИКТ» для темы «Возможности динамических (электронных) таблиц. Математическая обработка числовых данных» раздела «Технология создания и преобразования информационных объектов».

Учебно-методическое пособие содержит теоретический материал по технологии использования табличного процессора MS Excel и математическим методам решения систем линейных уравнений и приближенному вычислению определенного интеграла, который является основой для практического использования решения математических задач с помощью компьютерных технологий. В разделе «Реализация решения математических задач в MS Excel» приведены подробные пошаговые решения примеров решения системы линейных уравнений и приближенного вычисления интеграла, которые могут быть воспроизведены студентом самостоятельно. Для закрепления полученных навыков в соответствии предлагаемыми методическими указаниями студент должен выполнить индивидуальные задания и представить их на проверку преподавателю.

Содержание учебно-методического пособия отражает практическую направленность использования компьютера для решения профессиональных задач, так как большинство инженерных задач использующих математические методы требуют сложных длительных вычислений, которые существенно упрощаются и сокращаются при использовании компьютерных технологий. Полученные студентом знания и умения, в первую очередь, могут быть использованы при выполнении расчетно-графических, курсовых работ и. конечно, при выполнении дипломной работы.

1. Табличный процессор Excel и технология работы в нем

1.1. Структура документа MS Excel

MS Excel – это прикладная программа управления электронными таблицами, которая используется для выполнения вычислений, организации данных, анализа результатов и поиска оптимальных решений.

Базовыми понятиями в Excel являются: книга, лист, таблица, ячейка.

Структуру книги можно представить следующим образом (см. Рис.1).

                    .   .   .     . . .          

Рис. 1

Книга в Excel представляет собой файл с расширением xls. Имя книги (файла) задается при ее сохранении и должно напоминать о ее содержании. Каждая книга может состоять из нескольких поименованных листов (до 255, а по умолчанию – 3). Имя листа указано на ярлычке (внизу листа) и может быть изменено, чтобы напоминать о его содержании. Для перехода на другой лист надо щелкнуть ЛКМ (ЩЛКМ) по его ярлычку. Листы можно добавлять, удалять, копировать или переименовывать (ЩПКМ – щелчок правой кнопкой мыши по ярлычку и появится контекстное меню). Лист – это место для ввода, хранения и обработки данных. Лист Excel состоит из ячеек, каждая из которых имеет свой адрес. Ячейки образуют строки (до 65536) и столбцы (до 256). Строки имеют номера, а столбцы по умолчанию –  буквенные имена (если стиль ссылок А1), или номера, если установлен стиль ссылок R1C1 (R – строка, а С – столбец). Стили ссылок задаются параметрами при работе с опциями меню «Сервис». Как правило, используется стиль А1.

1.2. Основной принцип работы электронных таблиц

Каждая ячейка листа может содержать текст, числовое значение или формулу и быть отформатирована.

Основной принцип работы электронных таблиц заключается в том, что одни ячейки рабочего листа используются как независимые переменные (влияющие ячейки), которым задаются значения из вне (например, пользователем), а другие ячейки используются как зависимые переменные (зависимые ячейки), которые содержат формулы, ссылающиеся на независимые переменные. Пользователь вводит исходные данные (текст или числа) во влияющие ячейки и формулы в зависимые ячейки, далее автоматически (или, в зависимости от настройки, по команде) производятся вычисления по формулам, и пользователь видит готовый результат в зависимых ячейках. Если же установить режим показа формул («Сервис Параметры»), то в зависимых ячейках будут видны только формулы.

Если же режим показа формул не установлен, то в ячейке Е2 сразу появится результат (=4,5).

На листе может быть создана одна или несколько таблиц.

Таблица – это совокупность ячеек, связанных между собой по смыслу или с помощью формул в соответствии с задачей пользователя.

Ячейки таблиц, размещенных на разных листах книги или в разных книгах, также могут быть взаимосвязаны посредством формул. На основе таблицы (для наглядности при анализе исходных данных и результатов вычислений) может создаваться диаграмма, которую можно разместить на листе вместе с таблицей или на отдельном листе.

1.3. Ввод информации в ячейки

Как правило, построение таблицы начинается с заполнения заголовков столбцов (а, если необходимо, и строк, как на Рис.1), поясняющих содержание основных ячеек таблицы, в которых находятся исходные данные и формулы. Перед вводом информации в ячейку ее надо выделить с помощью ЩЛКМ по ячейке или с помощью клавиш перемещения курсора.

Существуют следующие основные способы ввода информации в ячейки:

1) Неавтоматизированный способ, при котором каждый символ вводится с клавиатуры. Он занимает много времени и имеет большую вероятность ошибок, но необходим тогда, когда в таблице нет повторяющейся, либо закономерно изменяющейся информации, что бывает очень редко.

Ввод информации должен быть зафиксирован. Это достигается либо нажатием клавиши ENTER или нажатием клавиш управления курсором на клавиатуре (стрелки ↑,←,↓,→). Для изменения (редактирования) информации в ячейке надо сначала 2 раза ЩЛКМ по ней. Например, на Рис. 1 в ячейках А2 и D4 записана информация, изменяющейся не закономерно, поэтому ее невозможно вводить иначе, чем в ручную с клавиатуры.

 Полезно запомнить, что:

– при вводе в ячейку длинного предложения для перехода на новую строку (в той же ячейке) надо нажать ALT+ENTER.

– если при вводе обнаружена ошибка, то следует нажать на панели инструментов (ПИ) кнопку ОТМЕНИТЬ .

2) Автоматизированный способ, который может быть реализован двумя методами:

• копирования в буфер ранее заполненной ячейки (или группы ячеек), которые предварительно должны быть выделены, и последующей вставки из буфера в нужную область таблицы, предварительно выделив левую верхнюю ячейку этой области. Для выделения группы смежных ячеек надо выделить первую ячейку диапазона, затем нажать и удерживая SHIFT выделить последнюю ячейку диапазона.
• автозаполнение рядов. Ряд – это группа смежных ячеек, принадлежащая одному столбцу или строке и содержащая одинаковую или закономерно изменяющуюся информацию.

Перед автозаполнением надо записать в начальную ячейку текст, число, дату, формулу и т.п., затем выделить эту ячейку и установить указатель мыши над маркером заполнения (маленького черного квадрата в правом нижнем углу выделенной  ячейки). При этом вид указателя мыши меняется на знак +, означающий, что автозаполнение разрешено. Затем, нажав ЛКМ, перетащить указатель по ячейкам, которые нужно заполнить информацией и отпустить ЛКМ. При перемещении указателя вниз или вправо, автозаполнение создает в отмечаемых ячейках возрастающие значения, при перемещении указателя вверх или влево отмечаемые ячейки заполняются убывающими значениями.

Если в первоначально выделенной ячейке не распознается закономерность для возрастания или убывания, то ячейки просто дублируются.

Так, например, если в первой ячейке была запись «Блок1», то при перемещении указателя вниз, в последующих ячейках автоматически появятся записи «Блок2», «Блок3» и т.д. В то же время, если в первой ячейке было записано слово «Блок», то в последующих ячейках это слово просто дублируется.

В нашем примере, ячейку Е3 (Рис. 1) целесообразно заполнять с помощью метода автозаполнение рядов, т.е. не вводить в нее формулу, а распространив автозаполнением в нее содержимое ячейки Е2. При этом содержимое формулы Е3 (аргументы функции СРЗНАЧ()) будут отличаться от аргументов этой же функции для ячейки Е2 по условию автозаполнения:

для Е2: =СРЗНАЧ(С2:D2);

для Е3: =СРЗНАЧ(С3:D3).

Существует и другая возможность автозаполнения рядов – через главное меню: для копирования одной ячейки в несколько смежных или для настройки закономерности автозаполнения можно воспользоваться командой «ПРАВКА ЗАПОЛНИТЬ …».

1.4. Форматирование таблиц

Форматирование в MS Excel осуществляется почти так же, как и в других приложениях MS Office.

Для облегчения визуального поиска в таблице требуемой информации целесообразно заголовки столбцов и строк таблицы выделять цветом, отличительным (от другого текста) шрифтом, заливкой, граничной линией и т.п. В некоторых случаях, для более полного восприятия заголовка, целесообразно объединять ячейки.

Для выполнения вышеуказанных действий используется операция форматирования.

Объектом форматирования могут быть отдельные ячейки или группа ячеек (диапазон), которые предварительно должны быть выделены. ЩПКМ по выделенному объекту приводит к вызову контекстного меню, в котором следует выбрать пункт «формат ячеек».

Для изменения ширины столбцов или высоты строк таблицы надо поместить указатель мыши (УМ) между соответствующими именами столбцов или номерами строк листа и, удерживая ЛКМ, передвинуть УМ на нужное расстояние.

Если новая таблица содержит компоненты уже существующей таблицы, то целесообразно скопировать созданную таблицу в другую область листа или на другой лист (книгу) и отредактировать ее под условия создаваемой новой таблицы: удалить (или добавить) столбцы, строки или некоторые ячейки. Для работы с этими объектами их надо выделить.

Чтобы выделить целиком строку надо ЩЛКМ по ее номеру, а для столбца – по его имени. После этого ЩПКМ по выделенному объекту вызвать контекстное меню, из которого затеем выбрать, в соответствие с операцией, пункты «Удалить» или «Добавить ячейки». (Для вставки строки надо выделить строку ниже, а для столбца – выделить столбец правее вставляемого).

1.5. Основные правила создания формул и функций

Каждая формула начинается со знака равенства «=». Знак равенства указывает процессору MS Excel на то, что следующий за ним текст является формулой. В формулах могут присутствовать арифметические операторы для выполнения действий над константами или числами, которые могут вводиться непосредственно с клавиатуры, либо содержаться в других ячейках. В последнем случае в формуле указываются адреса этих ячеек, т.е. ссылки на них. Если в формуле присутствуют несколько арифметических операторов, то в нее можно включить скобки для определения порядка вычислений. В формулах применяют стандартные арифметические операции и соответствующие операторы: сложение (+), вычитание (-), умножение (*), деление (/), возведение в степень (^), (последовательность выполнения операций такая же, как и в арифметике). Также в формулах могут применяться функции из набора встроенных в Excel функций. Большое количество функций (около 500) в значительной степени определяет область использования Excel. Из набора этих функций, которые сгруппированы по категориям, мы будем использовать следующие: Математические, Статистические, Ссылки и массивы, Логические. В логических функциях для обозначения операций сравнения двух чисел используются операции и соответствующие операторы сравнения: равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (>=), меньше или равно (<=), не равно (<>), логическое сложение «ИЛИ» (+), логическое умножение «И» (*). Результатом выполнения операции сравнения является логическое значение ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Формула является основным средством для анализа данных. С помощью формул можно складывать, умножать и сравнивать данные, осуществлять их поиск и т.п. Формулы могут ссылаться на ячейки текущего листа, листов той же книги или других книг.

В следующем примере «=(В4+25)/СУММ(D5:F5)» складывается значение ячейки B4 с константой 25. Полученный результат делится на сумму значений в диапазоне ячеек D5:F5, т.е. на результат операции D5+E5+F5.

В данном примере выражение «СУММ(…)» является функцией, т.е. стандартной формулой.

При решении конкретной задачи для создания функции целесообразно использовать так называемый Мастер функций и действовать в следующем порядке:

1. Выделить ячейку, в которую будет вставляться функция.
2. Запустить МАСТЕР ФУНКЦИЙ (на панели инструментов значок , либо «ГЛАВНОЕ МЕНЮ/ВСТАВКА/ФУНКЦИЯ»).
3. Задать в нужную категорию функции (это определяется интуицией или методом перебора).
4. выделить требуемую функцию, прочитать пояснения внизу окна.
5. Если все понятно, то нажать — «ОК».
6. На появившейся панели формул, ввести требуемую информацию в соответствующие окна аргументов.

Ввод информации в окна, как правило, осуществляется так:

• установить курсор в окно (в первое окно он устанавливается автоматически);
• выделить нужные ячейки мышью, установить курсор в другое окно и т.д.

Если нужные ячейки не видны, то надо свернуть панель формул, нажав на красную кнопку  в правой части окна ввода, затем выделить ячейки и развернуть панель формул, снова нажав на красную кнопку  в правой части окна. Если же пояснений в этом окне недостаточно, то следует закрыть окно МАСТЕРА ФУНКЦИЙ и использовать справочную систему, для чего надо:

1. ЩЛКМ по знаку вопроса  в Горизонтальном меню и выполнить команду: «ВЫЗОВ СПРАВКИ / ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ / (ввести фразу «функции») / ОБЗОР / (нажать кнопку «Вывести») / (выбрать нужную категорию (раздел), например, «Статистические функции») / (нажать кнопку «Вывести») / (выбрать нужную функцию, например, «СРЗНАЧ») / (прочитать подробное ее описание и рассмотреть примеры). Выписать наиболее общий пример в тетрадь, закрыть справочную систему.
2. По аналогии с примером, используя МАСТЕР ФУНКЦИЙ, создать нужную функцию и, изменяя исходные данные, проверить ее корректность.

В Excel можно создавать так называемые вложенные функции, т.е. функции, аргументами которых являются другие функции. Возможно до 7 уровней вложения. В этом случае для вставки аргумента-функции, после того как будет открыта панель исходной функции, надо открыть левое окно строки формул (щелкнув по «стрелке вниз»), выбрать нужную функцию и далее действовать, как и с обычной функцией.

Как правило, формулы используются для определения их значений в зависимости от параметров (исходных данных), т.е. констант и переменных. Однако в Excel есть возможность решать и обратные задачи («какой должна быть переменная, чтобы формула приняла заданное значение?»), т.е. определять значение переменной, причем только одной, если задать значение результата вычисления формулы. Для этого надо выделить ячейку для искомой переменной и задать ей ориентировочное значение, а затем выполнить команду «СЕРВИС / ПОДБОР ПАРАМЕТРА» и, в появившемся окне, указать запрашиваемые данные.

В формулах для обращения к ячейкам, в зависимости от решаемой задачи, применяются различные способы и методы ссылок на ячейки.

1.6. Способы и методы формирования в формулах ссылок на ячейки

Ссылкой однозначно определяется ячейка или группа (диапазон) ячеек листа, используемых в формуле. С помощью ссылок можно использовать в формуле данные, находящиеся в различных местах листа, а также использовать значение одной и той же ячейки в нескольких формулах. Кроме того, можно ссылаться на ячейки, находящиеся на других листах книги или в другой книге, или на данные другого приложения.

Ссылки на ячейки других книг называются внешними ссылками. Ссылки на данные других приложений называются удаленными ссылками.

В Excel можно выделить три способа формирования ссылок: координатный относительно листа книги, координатный относительно таблицы и именной.

При координатном способе адрес ячейки определяется местом пересечения столбца и строки листа книги или таблицы.

При именном способе адрес ячейки определяется текстовым именем ячейки (или диапазона ячеек), которое напоминает о содержании ячеек.

1. Координатный способ формирования ссылок относительно листа книги

До настоящего момента мы уже использовали именно такой способ, но к вышесказанному необходимо добавить следующее:

• Чтобы создать ссылку на диапазон ячеек, надо активизировать ячейку левого верхнего угла диапазона, поставить двоеточие (:), а затем — активизировать ячейку правого нижнего угла диапазона. Например, в формуле =СУММ(A1:В2) определяется сумма чисел, записанных в четырех ячейках: А1, А2, В1, В2.
• В формулах Excel используется два метода ссылок на ячейки:

1. относительные ссылки, которые ссылаются на ячейки относительно позиции формулы (т.е. если формулу с относительными ссылками скопировать, например, через буфер, в другую ячейку, то ссылки в ней изменятся на количество строк и столбцов относительно ее исходного расположения);
2. абсолютные ссылки, которые всегда ссылаются на одни и те же ячейки независимо от изменения места расположения формулы после копирования. Для задания абсолютной ссылки в формуле надо перед именем столбца и номером строки ячейки добавить знак $. Пример: $А$2 (если в формуле указана ссылка А2 – то это относительная ссылка).

1. Координатный способ формирования ссылок относительно таблицы

Для ссылок в формулах на ячейки можно использовать заголовки столбцов и строк таблицы, что делает формулу более наглядной.

Например, если в столбце с заголовком «Физика» содержатся средние баллы экзаменационных оценок по физике полученных соответствующим курсом, а заголовками строк являются «Курс11», «Курс21», «Курс31», то, создав формулу «    =Физика Курс31» в любом месте листа, можно определить средний балл по физике полученный курсом №31. Пробел между заголовками является оператором пересечения диапазонов, который предписывает формуле вернуть значения из ячейки, находящейся в пересечении строки «Курс31» и столбца «Физика».

1. Именной способ формирования ссылок

Использование имен может упростить понимание формулы. Например, формула «=X*SIN(X)» более привычна, чем «=А1*SIN(A1)» или формула «=МАКС(Возраст)» проще для понимания, чем формула «=МАКС(C20:C30)». В этом примере имя «Возраст» представляет группу ячеек «C20:C30». Имена можно использовать на любом листе книги.

Чтобы присвоить имя ячейке или группе ячеек нужно:

1. Выделить ячейку или диапазон ячеек, которому необходимо присвоить имя.

2. Щелкнуть ЛКМ по окну имени, которое находится слева в строке формул (это строка, расположенная над заголовками столбцов).

3. Ввести имя ячейки.

4. Нажать клавишу ENTER.

Другой способ:

• выделить диапазон ячеек;
• выполнить команду «ВТАВКА / ИМЯ / ПРИСВОИТЬ». Появится окно, в котором можно присвоить, изменить или удалить имя.

По умолчанию имена являются абсолютными ссылками.

2. Математическая постановка задач

2.1. Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим метод Крамера решения систем линейных уравнений для системы из трех уравнений с тремя неизвестными x1, x2 и x3, которая имеет вид:

Необходимо найти значение главного определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных, т.е. , а также еще трех определителей, получаемых из главного путем замены первого, второго и третьего столбца на столбец свободных членов в исходной системе уравнений, т.е. ,  и .

Тогда исходная система будет равносильна системе вида:

Если все четыре определителя отличны от нуля, то система имеет единственное решение. Значение неизвестных определяются в виде:

;  и .

Метод Крамера может быть использован для решения систем линейных уравнений, состоящих из четырех и более уравнений, содержащих, соответственно, четыре и более неизвестных. Однако, для вычисления определителей четвертого и выше порядков следует использовать специальные приемы, которые требуют значительных временных затрат и особого внимания при выполнении вычислений. Выполнение вычислений с помощью MS Excel существенного упрощает решение подобных задач.

2.2. Приближенные методы вычисления определенного интеграла

Значение определенного интеграла  численно равно площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной кривой, определяемой подынтегральной функцией y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ox.

Приближенные методы вычисления определенного интеграла сводятся к замене площади вышеуказанной криволинейной трапеции ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников или прямолинейных трапеций.

Площадь криволинейной трапеции разбивают на n прямоугольников, высоты которых равны y0, y1, y2, …, yn-1 и основания .

Если суммировать площади прямоугольников, которые покрывают площадь криволинейной трапеции с недостатком, то значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле: .

Если суммировать площади прямоугольников, которые покрывают площадь криволинейной трапеции с избытком (рис. 10.6, б), то значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле: .

Значения y0, …, yn находят из равенства yk=f(a+kΔx), k=0, 1, …, n. Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближенный результат. С увеличением n результат становится более точным.

Геометрический смысл следующего способа приближенного вычисления интеграла состоит в том, что нахождение площади криволинейной трапеции заменяется нахождением площади приблизительно равновеликой «прямоугольной» трапеции.

Пусть необходимо вычислить площадь A1AmBB1 криволинейной трапеции, выражаемую формулой .

Заменим дугу AmB хордой АВ и вместо площади криволинейной трапеции A1AmBB1 вычислим площадь трапеции A1ABB1: , где АА1 и ВВ1 – основание трапеции, а А1В1 – ее высота.

Обозначим f(a)=A1A, f(b)=B1B. Высота трапеции A1B1=b—a, площадь . Следовательно,  или . Это так называемая малая формула трапеций.

Для получения более точного результата необходимо разбить площадь криволинейной трапеции на n площадей ординатами, отстоящими друг от друга на расстоянии Δx. Суммируем площади получившихся трапеций: S=S1+S2+S3+ … +Sn, где по малой формуле трапеций ; ; ; …, .

Сложив, получим  или .

Так как  и , то можно записать так называемую большую формулу трапеций: , где y0, y1, y2, …, yn – значения подынтегральной функции при значениях аргумента, соответственно, a; a+Δx; a+2Δx; a+(n-1)Δx; b.

3. Реализация решения математических задач в MS Excel

3.1. Решение систем линейных уравнений с использованием табличного процессора MS Excel

В качестве примера рассмотрим систему уравнений:

1. Оформить заголовок в строке 1 на листе 1 «Решение системы линейных уравнений».
2. В области B3:F6 ввести исходные данные, как показано на рисунке 2.
3. Ввести в ячейку A8 текст заголовка «Метод Крамера».
4. В ячейку A11 ввести текст «Δ=» (выравнивание по правому краю).
5. Скопировать исходные данные C4:E6 в область В10:D12. Это главный определитель системы.
6. Скопировать содержимое ячейки A11 в ячейку F11.
7. В ячейку G11 ввести формулу «=МОПРЕД(B10:D12)». Получаем значение главного определителя системы.
8. Скопировать исходные данные C4:E6 в область В14:D16. Скопировать исходные данные F4:F6 в область В14:B16. Это определитель для первого неизвестного x1.
9. В ячейку A15 ввести текст «Δx1=» (выравнивание по правому краю).
10. Скопировать содержимое ячейки A15 в ячейку F15.
11. В ячейку G15 ввести формулу «=МОПРЕД(B14:D16)». Получаем значение определителя для первого неизвестного x1.
12. Скопировать исходные данные C4:E6 в область В18:D20. Скопировать исходные данные F4:F6 в область C18:C20. Это определитель для второго неизвестного x2.
13. В ячейку A19 ввести текст «Δx2=» (выравнивание по правому краю).
14. Скопировать содержимое ячейки A19 в ячейку F19.
15. В ячейку G19 ввести формулу «=МОПРЕД(B18:D20)». Получаем значение определителя для второго неизвестного x2.
16. Скопировать исходные данные C4:E6 в область В22:D24. Скопировать исходные данные F4:F6 в область D22:D24. Это определитель для третьего неизвестного x3.
17. В ячейку A23 ввести текст «Δx3=» (выравнивание по правому краю).
18. Скопировать содержимое ячейки A23 в ячейку F23.
19. В ячейку G23 ввести формулу «=МОПРЕД(B22:D24)». Получаем значение определителя для третьего неизвестного x3.
20. В ячейки H15, H19 и H23 ввести соответственно текст «x1=», «x2=» и «x2=» (выравнивание по правому краю).
21. В ячейку I15 ввести формулу «=G15/$G$11» (выравнивание по левому краю). Получаем значение первого неизвестного x1.
22. Скопировать содержимое ячейки I15 в ячейку I19. Получаем значение второго неизвестного x2.
23. Скопировать содержимое ячейки I15 в ячейку I23. Получаем значение третьего неизвестного x3.

Рис. 2

3.2. Нахождение значений определенного интеграла с использованием табличного процессора MS Excel

В качестве примера рассмотрим нахождение значения определенного интеграла  при числе разбиения интервала интегрирования n=10. Следует отметить, что точное значение данного интеграла может быть получено аналитическим методом (метод замены переменной) и оно равно 2.

1. Оформить заголовок в строке 1 на листе 2 «Нахождение значения определенного интеграла».
2. В ячейку A3 с помощью редактора формул вставим вид вычисляемого интеграла как показано на рисунке 3.
3. В ячейки E3, E4, E5 и E6 соответственно введем текст: «нижний предел интегрирования», «верхний предел интегрирования», «число разбиений отрезка интегрирования» и «шаг интегрирования».
4. В ячейки D3, D4, D5 введем исходные данные, определяющие пределы интегрирования и число разбиений отрезка интегрирования (в нашем примере это числа: 0, 5, 10) (выравнивание по центру).
5. В ячейку D6 введем формулу для определения шага интегрирования «=(D4-D3)/D5» (выравнивание по центру).
6. Оформим заголовок таблицы для численного вычисления подынтегральной функции в узлах интегрирования: в ячейку A8 вводим текст «x», в ячейку B8 вводим текст «f(x)» (выравнивание по центру).
7. В ячейку A9 вводим формулу «=D3».
8. В ячейку A10 вводим формулу «=A9+$D$6».
9. Копируем формулу из ячейки A10 в диапазон A11:A19 (используем прием растягивания). Получаем значения узлов интегрирования.
10. В ячейку B9 вводим формулу, определяющую значение подынтегральной функции в первом узле интегрирования. В нашем примере она будет: «=1/КОРЕНЬ(A9+4)».
11. Копируем формулу из ячейки B9 в диапазон B10:B19 (используем прием растягивания). Получаем значения подынтегральной функции в узлах интегрирования.
12. В ячейку D8 введем текст «Приближенное значение интеграла:».
13. В ячейку D10 введем текст «по формуле прямоугольников:».
14. В ячейку G10 введем формулу «=СУММ(B9:B18)*D6», которая позволяет вычислить значение определенного интеграла по формуле прямоугольников. Получаем приближенное значение вычисляемого определенного интеграла.
15. В ячейку D12 введем текст «по формуле трапеций:».
16. В ячейку G12 введем формулу «=(2*СУММ(B10:B18)+B9+B19)*D6/2», которая позволяет вычислить значение определенного интеграла по формуле трапеций. Получаем второе приближенное значение вычисляемого определенного интеграла.

Замечание: оба приближенных значения определенного интеграла близки к его точному значению.

1. В диапазоне A21:H36 с помощью Мастера диаграмм построить график подынтегральной функции на основе диаграммы точечного вида:

1. Выделить диапазон A8:B19;
2. Меню Вставка ⇨ Команда Диаграмма…;
3. На 1-ом шаге выбрать тип диаграммы: Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями и нажать кнопку «Далее»;
4. На 2-ом шаге ничего не изменяем и нажимаем кнопку «Далее»;
5. На 3-ем шаге на вкладке «Заголовки» в окно «Ось Х (категорий) заносим текст «x», а на вкладке «Легенда» снимаем флажок в позиции «Добавить легенду» и нажимаем кнопку «Далее»;
6. На 4-ом шаге нажимаем кнопку «Готово».

1. Переносим построенную диаграмму в диапазон A21:H36, сжимая (растягивая) до заданных размеров. Форматируем Ось категорий и Ось значений, переносим подписи осей, форматируем Область построения диаграммы (см. Рис. 3).

Рис. 3

4. Методические указания по выполнению самостоятельной работы

1. Повторить материал по теме «Возможности динамических (электронных) таблиц. Математическая обработка числовых данных», прочитав раздел учебно-методического пособия «Табличный процессор Excel и технология работы в нем».
2. Повторить материал по дисциплине «Математика» по решению систем линейных уравнений методом Крамера и приближенному вычислению определенных интегралов, прочитав раздел учебно-методического пособия «Математическая постановка задач».
3. Решить на компьютере с использованием табличного процессора MS Excel систему линейных уравнений из раздела «Реализация решения математических задач в MS Excel».
4. Вычислить на компьютере с использованием табличного процессора MS Excel значение определенного интеграла из раздела «Реализация решения математических задач в MS Excel».
5. Решить на компьютере с использованием табличного процессора MS Excel систему линейных уравнений , применив метод Крамера. Коэффициенты при неизвестных и свободные члены задаются по вариантам, указанным в разделе «Варианты заданий для самостоятельной работы». Результаты решения предоставить преподавателю в виде аналогичном Рис 2.
6. Вычислить на компьютере с использованием табличного процессора MS Excel значение определенного интеграла , применив формулу прямоугольников и формулу трапеций. Построить график подынтегральной функции. Вид подынтегральной функции f(x), нижний предел интегрирования a, верхний предел интегрирования b задаются по вариантам, указанным в разделе «Варианты заданий для самостоятельной работы». Число разбиений отрезка интегрирования n равно 10 для всех вариантов. Результаты работы предоставить преподавателю в виде аналогичном Рис 3.

5. Варианты заданий для самостоятельной работы

5.1. Варианты заданий систем линейных уравнений

5.2. Варианты заданий определенного интеграла

Список литературы

1. Гохберг  Г.С., Зафиевский А.В., Короткин А.А. Информационные технологии: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. – 7-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 208 с.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. – М.: ФОЛРУМ: ИНФРА-М, 2003. – 552 с. – (Серия «Профессиональное образование»).
3. Цветкова М.С., Великович Л.С. Информатика и ИКТ: учебник для нач. и сред. проф. образования. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 352 с., [8] л. цв. ил.

Перейти к содержанию

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

​Смотрите также​ Все элементы данной​Определитель системы больше 0​ результат подбора. Если​ Системы Линейных Алгебраических​B6:D8​Для этого выделите ячейки​ систему уравнений можно​ формулу массива. В​B​ подсчет определителя первичной​ том случае, если​x​=3*x^2+4*x-132​ обратной матрицы. Для​ мыши и выделяем​

​ порядку с учетом​Умение решать системы уравнений​

Варианты решений

​ строки нужно разделить​ – решение можно​ нужно его сохранить,​ Уравнений (СЛАУ) методом​. Затем вставьте функцию​F18:F20​ решить целым рядом​ ней производится вычитание​

Способ 1: матричный метод

​. Но на этот​ матрицы. Процедура происходит​ все определители будут​.​Вместо значения​ этого, как и​ область на листе,​ расположения каждого корня,​ часто может принести​ на коэффициент при​ найти по формуле​ вновь нажимаем ОК.​


​ обратной матрицы в​​MINVERSE​​, а в Строке формул введите =МУМНОЖ(A18:C20;F11:F13),​​ способов, каждый из​​ из третьей строки​​ раз сблизим обе​​ все по тому​
​ иметь значение, отличное​​Урок:​​«X»​​ в прошлый раз,​​ в которой находится​​ которому они соответствуют.​​ пользу не только​​ с. Введем в​​ Крамера (D​
​ В противном случае​​ MS EXCEL.​​(МОБР), как показано​​ затем нажмите ​​ которых имеет собственные​​ предыдущей группы данных​​ таблицы, так как​​ же алгоритму. Как​​ от нуля. Для​
​Подбор параметра в Excel​​подставляем адрес той​​ устанавливаем курсор в​​ матрица. Как видим,​​ Если в каком-то​​ в учебе, но​​ строку формулу массива:​​x​​ – «Отмена».​


1. ​Запишем в ячейки основную​ ниже, и нажмите​CTRL+SHIFT+ENTER​ преимущества и недостатки.​ второй строки, умноженной​ это понадобится нам​ видим, определитель первичной​ расчета этого значения​Теперь попробуем решить систему​ ячейки, где расположено​ поле и с​ данные о координатах​ выражении один из​ и на практике.​ {=B12:E12/D12}.​/ |A|).​Для подбора параметра программа​ матрицу системы и​​Ctrl+Shift+Enter​​.​ Но все эти​​ на отношение второго​​ для работы в​

   

2. ​ таблицы тоже отличный​ в Экселе опять​ уравнений методом Крамера.​ число​​ зажатой левой кнопкой​​ размещения автоматически заносятся​

   

3. ​ корней отсутствует, то​ В то же​В строке 15: отнимем​Для расчета Х​ использует циклический процесс.​ столбец свободных членов. ​.​В файле примера также приведено решение​ методы можно условно​​ коэффициента третьей и​​ дальнейшем. Важным условием​ от нуля, а​

   ​ имеется отдельная функция​

   ​ Для примера возьмем​​0​​ мыши выделяем курсором​ в поле окна.​

   ​ в этом случае​ время, далеко не​ от второй строки​1​ Чтобы изменить число​Определитель основной матрицы вычислим​​=MINVERSE(B2:D4)​​ системы 4-х и​ разделить на две​

   

4. ​ второй строки. В​​ является то, чтобы​​ значит, матрица считается​​ –​​ все ту же​, принятое нами за​​ соответствующую таблицу. Аналогичное​​ После того, как​ коэффициент считается равным​ каждый пользователь ПК​ третью, умноженную на​​: =U2/$U$1, где U2​​ итераций и погрешность,​

   

5. ​ с помощью формулы =МОПРЕД(A11:C13)​​=МОБР(B2:D4)​​ 5-и уравнений.​ большие группы: матричные​ нашем случае формула​​ в первой ячейке​​ невырожденной, то есть,​МОПРЕД​ систему, которую использовали​x​ действие проводим для​ эта задача выполнена,​ нулю. Если коэффициент​ знает, что в​ коэффициент при с​ – D1. Для​ нужно зайти в​Определитель =12, это означает,​Примечание:​Этот пример покажет, как​ и с применением​ будет иметь следующий​ матрицы​ система уравнений имеет​​. Синтаксис данного оператора​​ в​.​ внесения координат в​ наиболее очевидным было​ не обозначен в​ Экселе существует собственные​​ второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}).​​ расчета Х​ параметры Excel. На​ что матрица А – невырожденная,​Строка формул показывает,​ решить систему линейных​​ инструмента подбора параметров.​​ вид:​A​​ решения.​​ следующий:​

   

6. ​Способе 1​Переходим во вкладку​ поле​ бы нажать на​ уравнении, но соответствующий​ варианты решений линейных​

   

7. ​ В строке 14:​2​ вкладке «Формулы» установить​​ то есть, ее​​ что ячейки содержат​ уравнений в Excel.​ В некоторых случаях​​=B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)​​значение было отличным​Теперь пора найти корни​=МОПРЕД(массив)​:​«Данные»​​«Массив2»​​ кнопку​ корень имеется, то​

   ​ уравнений. Давайте узнаем,​

   ​ от первой строки​: =U3/$U$1. И т.д.​ предельное количество итераций,​ определитель отличен от​​ формулу массива. Это​​ К примеру, у​​ не всегда матричные​​После ввода формулы выделяем​

   

8. ​ от нуля. В​​ уравнения. Корень уравнения​​Таким образом, как и​​14​​. Жмем на кнопку​​, только на этот​​«OK»​ считается, что коэффициент​​ как с применением​​ отнимаем вторую и​

   

9. ​ Получим корни уравнений:​​ относительную погрешность. Поставить​​ нуля. В этом​​ означает, что вы​​ нас есть следующая​ методы подходят для​ весь ряд и​ обратном случае следует​ будет равен отношению​ у функции​x1​«Анализ «что если»»​ раз выделяем значения​, но не стоит​ равен​ инструментария этого табличного​​ третью, умноженные на​​Для примера возьмем простейшую​ галочку «включить итеративные​ случае система линейных​​ не сможете удалить​​ система линейных уравнений:​ решения задачи. В​ применяем сочетание клавиш​ переставить строки местами.​​ определителя соответствующей преобразованной​​МОБР​​+2​​. Эта кнопка размещена​ колонки​​ торопиться. Дело в​​1​

   

10. ​ процессора выполнить данную​ соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}).​ систему уравнений:​​ вычисления».​​ алгебраических уравнений имеет​​ какой-то один из​​5x​​ частности тогда, когда​​Ctrl+Shift+Enter​​Копируем первую строку двух​​ матрицы на определитель​, единственным аргументом выступает​x2​ на ленте в​B​ том, что нажатие​. Обозначаем полученную таблицу,​ задачу различными способами.​ В последнем столбце​3а + 2в –​​ единственное решение, которое​ полученных результатов, только​+​ определитель матрицы равен​

​.​​ соединенных матриц в​

Способ 2: подбор параметров

​ первичной таблицы. Таким​ ссылка на обрабатываемую​+8​ блоке инструментов​. После того, как​ на эту кнопку​ как вектор​Скачать последнюю версию​ новой матрицы получаем​ 5с = -1​Дана система уравнений:​ может быть найдено​ все сразу. Чтобы​

​1y​

1. ​ нулю. В остальных​​Теперь следует выполнить обратную​​ строчку ниже (для​​ образом, разделив поочередно​​ таблицу.​x4​​«Работа с данными»​​ вышеуказанные действия проведены,​

   ​ является равнозначным применению​

   ​A​​ Excel​​ корни уравнения.​2а – в​Значения элементов введем в​​ методом Крамера.​​ удалить все результаты,​​+​​ же случаях пользователь​

   

2. ​ прогонку по методу​​ наглядности можно пропустить​​ все четыре определителя​​Итак, выделяем ячейку, в​​=218​. Открывается выпадающий список.​ опять не спешим​​ команды​​.​Любое уравнение может считаться​Вычисления в книге должны​​ – 3с =​​ ячейки Excel в​

   

3. ​Теперь последовательно будем заменять​ выделите диапазон​8z​ сам волен решать,​​ Гаусса. Пропускаем три​​ одну строку). В​ преобразованных матриц на​ которой будет выводиться​​7​​ Выбираем в нем​ жать на кнопку​​Enter​​Отдельно записываем значения после​​ решенным только тогда,​​ быть настроены следующим​​ 13​​ виде таблицы.​ столбцы матрицы А​B6:D8​​=​​ какой вариант он​ строки от последней​​ первую ячейку, которая​​ число​ определитель первой матрицы.​x1​​ позицию​​«OK»​

   

4. ​. Но при работе​ знака «равно». Обозначаем​ когда будут отысканы​ образом:​а + 2в​Найдем обратную матрицу. Выделим​ на столбец свободных​​и нажмите клавишу​​46​

   

5. ​ считает более удобным​ записи. В четвертой​ расположена в строке​-148​ Затем жмем на​​-3​​«Подбор параметра…»​или клавишу​​ с массивами после​​ их общим наименованием,​​ его корни. В​​Делается это на вкладке​

​ – с =​ диапазон, куда впоследствии​ членов и вычислять​Delete​​4x​​ для себя.​

​ строке вводим формулу​​ ещё ниже предыдущей,​

Способ 3: метод Крамера

​, которое является определителем​ знакомую по предыдущим​x2​.​Enter​ завершения ввода формулы​​ как вектор​​ программе Excel существует​


​ «Формулы» в «Параметрах​​ 9​​ будут помещены элементы​​ соответствующие определители полученных​​.​​—​​Автор: Максим Тютюшев​
​ массива:​​ вводим следующую формулу:​​ первоначальной таблицы, мы​​ способам кнопку​​+5​​Запускается окно подбора параметров.​​, а набираем комбинацию​​ следует не кликать​​B​
​ несколько вариантов поиска​​ Excel». Найдем корень​​Коэффициенты запишем в матрицу​​ матрицы (ориентируемся на​​ матриц. Отношение определителей​​Используйте функцию​​2y​​Решим Систему Линейных Алгебраических​​=B17:E17/D17​
​=B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)​​ получим четыре корня.​​«Вставить функцию»​​x3​​ Как видим, оно​​ клавиш​​ по кнопке​​.​​ корней. Давайте рассмотрим​


1. ​ уравнения х –​ А. Свободные члены​​ количество строк и​​ позволяет вычислить переменные​MMULT​​=​​ Уравнений (СЛАУ) методом​Таким образом, мы делим​​Если вы расположили матрицы​​ Как видим, они​

   

2. ​.​+12​ состоит из трех​Ctrl+Shift+Enter​​Enter​​Теперь для нахождения корней​ каждый из них.​ х3 + 1​ – в матрицу​​ столбцов в исходной​​ х.​(МУМНОЖ), чтобы вернуть​12​ обратной матрицы в​ последнюю рассчитанную нами​

   

3. ​ по-другому, то и​ равны значениям​Активируется окно​x4​ полей. В поле​.​, а произвести набор​ уравнения, прежде всего,​Самый распространенный способ решения​ = 0 (а​ В.​ матрице). Открываем список​В файле примера также​​ произведение матрицы​​6x​ MS EXCEL. В​

   ​ строку на её​

   ​ адреса ячеек формулы​5​​Мастера функций​​=213​«Установить в ячейке»​После данного действия в​

   ​ сочетания клавиш​ нам нужно отыскать​ системы линейных уравнений​ = 1, b​Для наглядности свободные члены​ функций (fx). В​​ приведено решение системы​​A-1​

   

4. ​+​​ этой статье нет​​ же третий коэффициент.​​ у вас будут​​,​. Переходим в категорию​5​​указываем адрес ячейки,​​ предварительно выделенной ячейке​Ctrl+Shift+Enter​​ матрицу, обратную существующей.​​ инструментами Excel –​

   

5. ​ = 2) методом​​ выделим заливкой. Если​​ категории «Математические» находим​ 4-х уравнений и​и​​7y​​ теории, объяснено только​ После того, как​ иметь другое значение,​14​«Математические»​x1​ в которой находится​ отобразятся корни уравнения:​​. Выполняем эту операцию.​​ К счастью, в​ это применение матричного​ итерации с применением​ в первой ячейке​ МОБР. Аргумент –​ прямая проверка решения.​B​​+​​ как выполнить расчеты,​

   

6. ​ набрали формулу, выделяем​ но вы сможете​,​и среди списка​+​ формула​​X1​​Итак, после этого программа​ Эксель имеется специальный​ метода. Он заключается​

   

7. ​ циклических ссылок. Формула:​ матрицы А оказался​ массив ячеек с​

   

8. ​В программе Excel имеется​. Сперва выделите диапазон​4z​ используя MS EXCEL.​ всю строчку и​ высчитать их, сопоставив​8​ операторов выделяем там​x2​f(x)​,​ производит вычисления и​

   

9. ​ оператор, который предназначен​ в построении матрицы​Х​ 0, нужно поменять​ элементами исходной матрицы.​ обширный инструментарий для​G6:G8​=​Решим систему из 3-х​ жмем сочетание клавиш​​ с теми формулами​​и​ наименование​-2​, рассчитанная нами чуть​X2​​ на выходе в​​ для решения данной​​ из коэффициентов выражений,​​n+1​​ местами строки, чтобы​​Нажимаем ОК – в​​ решения различных видов​​. Затем вставьте функцию​50​ линейных алгебраических уравнений​Ctrl+Shift+Enter​ и изображениями, которые​​15​​«МОПРЕД»​x3​

Способ 4: метод Гаусса

​ ранее. В поле​,​ предварительно выделенной области​ задачи. Называется он​ а затем в​= X​


​ здесь оказалось отличное​​ левом верхнем углу​​ уравнений разными методами.​​MMULT​​В матричном представлении ее​​ с помощью обратной​​.​
​ приводятся здесь.​​. Таким образом, они​​. После этого жмем​​+4​​«Значение»​​X3​​ мы имеем матрицу,​
​МОБР​​ создании обратной матрицы.​​n​​ от 0 значение.​​ диапазона появляется значение.​​Рассмотрим на примерах некоторые​​(МУМНОЖ), которая показана​


1. ​ можно записать в​ матрицы (матричным методом). ​​Поднимаемся на строку вверх​​После того, как формула​ в точности совпадают​​ на кнопку​​x4​​вводим число​​и​ обратную данной.​. Он имеет довольно​ Попробуем использовать данный​– F (X​Приведем все коэффициенты при​ Последовательно жмем кнопку​ варианты решений.​ ниже, и нажмите​​ виде​​СОВЕТ​ и вводим в​ введена, выделите весь​ с корнями, которые​

   

2. ​«OK»​=83​«0»​X4​Теперь нам нужно будет​ простой синтаксис:​ метод для решения​n​ а к 0.​

   ​ F2 и сочетание​

   ​Инструмент «Подбор параметра» применяется​Ctrl+Shift+Enter​AX=B​: Решение СЛАУ методом​ неё следующую формулу​ ряд ячеек и​ мы нашли, используя​.​6​. В поле​

   ​. Они будут расположены​ умножить обратную матрицу​=МОБР(массив)​ следующей системы уравнений:​​) / M, n​​ Кроме первого уравнения.​ клавиш Ctrl +​ в ситуации, когда​.​.​ Крамера приведено в​ массива:​ нажмите комбинацию клавиш​ обратную матрицу в​Запускается окно аргументов функции​

   

3. ​x1​«Изменяя значения»​ последовательно. Таким образом,​ на матрицу​

   

4. ​Аргумент​14​ = 0, 1,​​ Скопируем значения в​​ Shift + Enter.​ известен результат, но​​=MMULT(B6:D8,G2:G4)​​5​

   

5. ​ статье Решение Системы Линейных​=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16​Ctrl+Shift+Enter​способе 1​МОПРЕД​+2​указываем адрес ячейки,​ можно сказать, что​​B​​«Массив»​x1​​ 2, … .​​ первой строке двух​

   

6. ​Умножим обратную матрицу Ах-1х​ неизвестны аргументы. Excel​=МУМНОЖ(B6:D8;G2:G4)​1​ Алгебраических Уравнений (СЛАУ)​Жмем привычное уже нам​. К ряду будет​, что подтверждает правильность​. Как видим, оно​x2​ в которой расположено​ мы решили данную​

   ​, которая состоит из​

   ​— это, собственно,​+2​M – максимальное значение​​ матриц в ячейки​​ на матрицу В​

   

7. ​ подбирает значения до​Соедините результаты. Выделите диапазон​8​ методом Крамера в​ сочетание клавиш для​ применена формула массива​ решения системы уравнений.​

   ​ имеет только одно​

   ​+​ значение​ систему. Для того,​ одного столбца значений,​ адрес исходной таблицы.​x2​ производной по модулю.​ В6:Е6. В ячейку​​ (именно в таком​​ тех пор, пока​

   

8. ​G6:G8​x​ MS EXCEL.​ применения формулы массива.​

   ​ и он будет​

   ​Решить систему уравнений можно​ поле –​x3​

   

9. ​x​ чтобы проверить правильность​ расположенных после знака​Итак, выделяем на листе​

   ​+8​

   ​ Чтобы найти М,​ В7 введем формулу:​ порядке следования множителей!).​​ вычисление не даст​​. Вставьте обобщенную формулу​

   

10. ​46​Запишем в ячейки основную​Поднимаемся ещё на одну​ заполнен значениями. Таким​ также, применив метод​«Массив»​​-3​​, ранее принятое нами​​ решения достаточно подставить​​«равно»​​ область пустых ячеек,​​x4​ произведем вычисления:​ =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон​ Выделяем диапазон, где​ нужный итог.​​ (показана ниже) и​​При А=​​ матрицу системы и​​ строку выше. В​​ образом мы произвели​​ Гаусса. Для примера​

​. В это поле​x4​ за​ в исходную систему​в выражениях. Для​ которая по размеру​=218​f’ (1) = -2​ В7:Е7. Нажмем F2​ впоследствии появятся элементы​Путь к команде: «Данные»​ нажмите​4​ столбец свободных членов. ​ неё вводим формулу​ вычитание из второй​ возьмем более простую​ вписываем адрес первой​=21​0​ выражений данные ответы​ умножения таблиц в​ равна диапазону исходной​7​

​ * f’ (2)​

lumpics.ru

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы в MS EXCEL

​ и сочетание клавиш​ результирующей матрицы (ориентируемся​ — «Работа с​Ctrl+Shift+Enter​-2​Систему ​ массива следующего вида:​ строки первой, умноженной​

​ систему уравнений из​ преобразованной матрицы. Для​Как и в первом​. После выполнения данных​

​ вместо соответствующих корней.​​ Экселе также имеется​ матрицы. Щелкаем по​x1​ = -11.​ Ctrl + Shift​ на число строк​

​ данными» — «Анализ​.​0​

​n ​​=(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15​​ на отношение первых​​ трех неизвестных:​​ этого устанавливаем курсор​ способе, составляем матрицу​ действий жмем на​ Если равенство будет​ отдельная функция, которая​ кнопке​-3​Полученное значение меньше 0.​ + Enter. Мы​ и столбцов матрицы​ «что-если»» — «Подбор​

​=MMULT(MINVERSE(B2:D4),G2:G4)​,​линейных алгебраических уравнений с ​

​Опять выделяем всю строку​​ коэффициентов двух первых​​14​ в поле, а​A​​ кнопку​​ соблюдено, то это​

​ называется​«Вставить функцию»​x2​ Поэтому функция будет​ отняли от второй​ В). Открываем диалоговое​

​ параметра».​​=МУМНОЖ(МОБР(B2:D4);G2:G4)​​X=​n​​ и применяем сочетание​​ выражений системы.​

​x1​ затем выделяем матричный​из коэффициентов уравнений​

excel2.ru

Система линейных уравнений в Excel

​«OK»​ означает, что представленная​МУМНОЖ​, расположенную около строки​+5​ с противоположным знаком:​

​ квадратного уравнения х2​ командой сайта office-guru.ru​,​​ методом только тогда,​​Ctrl+Shift+Enter​

​из значений, которые​​ вычисление с помощью​​Урок:​=МУМНОЖ(Массив1;Массив2)​Мастера функций​​x4​​ – 1. М​​ первого уравнения.​​ Второй – матрица​ 2 = 0.​Перевела: Ольга Гелих​12​

1. ​ матрицы системы отличен​​Теперь смотрим на числа,​​ ниже.​x3​​. Данная функция выводит​​ стоят после знака​​ подбора параметра. Об​​Обратная матрица в Excel​​Выделяем диапазон, в нашем​​. Переходим в категорию​=213​​ = 11.​​Копируем введенную формулу на​

   ​ В.​
​ Порядок нахождения корня​

   

​Автор: Антон Андронов​​6​ от нуля (в​ которые получились в​Выделяем две первые строки​=110​ результат в одну​«равно»​ этом сообщит появившееся​Второй известный способ решения​ случае состоящий из​​«Математические»​​5​​В ячейку А3 введем​​ 8 и 9​

1. ​Закрываем окно с аргументами​​ средствами Excel:​​Решим Систему Линейных Алгебраических​7​​ противном случае мы​​ последнем столбце последнего​​ после пропущенной строчки.​​7​​ ячейку, а не​​.​​ информационное окно. В​​ системы уравнений в​ четырех ячеек. Далее​​. В представившемся списке​​x1​

   ​ значение: а =​
​ строки. Так мы​

   

2. ​ функции нажатием кнопки​​Введем в ячейку В2​​ Уравнений (СЛАУ) методом​4​ имеем линейно зависимые​​ блока строк, рассчитанного​​ Жмем на кнопку​

   ​x1​
​ массивом, поэтому для​

   

​Далее делаем ещё четыре​ нем следует нажать​
​ Экселе – это​
​ опять запускаем​

​ ищем наименование​

office-guru.ru

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Крамера в MS EXCEL

​+​ 1. Точность –​ избавились от коэффициентов​ ОК. Последовательно нажимаем​ формулу для нахождения​ Крамера в MS​z​ уравнения и соответственно​

​ нами ранее. Именно​«Копировать»​-3​ получения расчета не​ таблицы. Каждая из​ на кнопку​ применение метода подбора​Мастер функций​

​«МОБР»​x2​

​ три знака после​​ перед а. Сохранили​ кнопку F2 и​ значения функции. В​ EXCEL. В этой​50​ решение систем не​ эти числа (​

​, которая расположена на​x2​ нужно прибегать к​

​ них является копией​«OK»​

​ параметров. Суть данного​, нажав значок​. После того, как​-2​ запятой. Для расчета​ только первое уравнение.​ комбинацию Ctrl +​ качестве аргумента применим​ статье нет теории,​Если​

​ единственное). В нашем​4​ ленте во вкладке​+5​ нажатию комбинации клавиш​ матрицы​.​ метода заключается в​

​«Вставить функцию»​ оно отыскано, выделяем​x3​ текущего значения х​

excel2.ru

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

​Приведем к 0 коэффициенты​ Shift + Enter.​ ссылку на ячейку​ объяснено только как​

​А-1​ случае определитель =12.​

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

​,​«Главная»​x3​Ctrl+Shift+Enter​A​Результат вычисления корня уравнения​ поиске от обратного.​.​

​ его и жмем​+4​ в соседнюю ячейку​ перед в в​Получены корни уравнений.​

​ В1.​ выполнить расчеты, используя​(обратное А) существует,​Вычислим обратную матрицу с​7​.​

1. ​=32​.​, только у этих​ будет находиться в​ То есть, основываясь​В категории​
2. ​ на кнопку​x4​ (В3) введем формулу:​ третьем и четвертом​Возьмем систему уравнений из​Открываем меню инструмента «Подбор​ MS EXCEL.​ мы можем умножить​ помощью формулы массива​и​Пропускаем строку после последней​5​Функция производит подсчет результата​ копий поочередно один​
3. ​ той ячейке, которую​ на известном результате,​«Математические»​«OK»​=83​ =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).​

​ уравнении. Копируем строки​ предыдущего примера:​ параметра». В графе​Метод Крамера применяется для​ обе части на​ МОБР().​5​ записи на листе.​x1​ и выводит его​ столбец заменен на​

​ мы назначили в​

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

​ мы производим поиск​

1. ​, запустившегося​.​6​
2. ​В ячейке С3 проконтролируем​ 6 и 7​Для их решения методом​ «Установить в ячейку»​ решения систем линейных​А-1​Для этого выделите ячейки ​) будут являться корнями​ Выделяем первую ячейку​+​ в заранее выделенную​ таблицу​
3. ​ поле​ неизвестного аргумента. Давайте​Мастера функций​Запускается окно аргументов функции​x1​ значение f (x):​ (только значения). Переносим​
4. ​ Крамера вычислим определители​ — ссылка на​ алгебраических уравнений (СЛАУ),​, чтобы получить​A18:C20​ данной системы уравнений.​ в следующей строке.​x2​ ячейку. Как видим,​B​«Изменяя значения»​ для примера используем​, выделяем наименование​МОБР​+2​
5. ​ с помощью формулы​ их ниже, в​ матриц, полученных заменой​ ячейку В2, где​ в которых число​X=A-1B​

​, а в Строке​

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

​ Проверить это можно,​ Кликаем правой кнопкой​

​-2​ в нашем случае​. У первой таблицы​. В нашем случае,​ квадратное уравнение​«МУМНОЖ»​

​. Оно по числу​x2​ =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.​ строки 10 и​

​ одного столбца в​ находится формула. В​ неизвестных переменных равно​

​. Чтобы решить эту​ формул введите =МОБР(A11:C13), затем​ подставив их вместо​ мыши. В открывшемся​_​x3​​ определитель равен​

​ – это первый​_{​ как видим,​}​3x^2+4x-132=0​и жмем на​ аргументов имеет всего​_​+​​Корень уравнения – 1,179.​ 11. Эти данные​

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

​ матрице А на​ поле «Значение» вводим​

​ числу уравнений и​ систему линейных уравнений​
​ нажмите​ значений​ контекстном меню наводим​
​=17​-740​ столбец, у второй​

​x​Принимаем значение​ кнопку​ одно поле –​

​x3​ Введем в ячейку​ должны остаться неизменными.​ столбец-матрицу В.​ 0. Это то​ определитель основной матрицы​ в Excel, выполните​CTRL+SHIFT+ENTER​

1. ​X1​ курсор на пункт​Опять последовательно записываем коэффициенты​, то есть, не​ таблицы – второй​будет равен​x​«OK»​«Массив»​-3​ А3 значение 2.​ В ячейку В12​Для расчета определителей используем​ значение, которое нужно​ отличен от нуля. ​ следующие действия:​.​,​
2. ​«Специальная вставка»​ в таблицу​ является равным нулю,​ и т.д.​6​за равное​
3. ​.​. Тут нужно указать​x4​ Получим тот же​ вводим формулу массива.​ функцию МОПРЕД. Аргумент​ получить. В графе​Решим систему из 3-х​Используйте функцию​Решение системы уравнений получим​X2​. В запустившемся дополнительном​
4. ​A​ что нам подходит.​Теперь нам нужно высчитать​.​0​Активируется окно аргументов функции​ адрес нашей таблицы.​=21​ результат:​Прямую прогонку по методу​ – диапазон с​
5. ​ «Изменяя значение ячейки»​ уравнений.​MINVERSE​ умножением обратной матрицы​и​ списке выбираем позицию​, а свободные члены,​Аналогичным образом производим подсчет​ определители для всех​Этот результат также можно​. Высчитываем соответствующее для​МУМНОЖ​ Для этих целей​

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

​Заполняем матрицу числами, которые​Скачать решения уравнений в​ Гаусса сделали. В​

​ соответствующей матрицей.​ — В1. Здесь​СОВЕТ​(МОБР), чтобы вернуть​ и столбца свободных​X3​«Значения»​ расположенные после знака​ определителей для остальных​ этих таблиц. Система​

​ проверить, подставив данное​_{​ него значение​}​. В поле​_{​ устанавливаем курсор в​}​ являются коэффициентами уравнения.​_{​ Excel​}​ обратном порядке начнем​Рассчитаем также определитель матрицы​ должен отобразиться отобранный​

​: Решение СЛАУ методом​ обратную матрицу​ членов. Перемножить матрицы​в выражения.​

​.​«равно»​ трех таблиц.​

​ уравнений будет иметь​ значение в решаемое​f(x)​«Массив1»​ это поле. Затем​ Данные числа должны​Корень на заданном промежутке​

​ прогонять с последней​ А (массив –​ параметр.​ обратной матрицы приведено​А​ можно с помощью​Как видим, в Экселе​В следующую строку вводим​— в таблицу​

​На завершающем этапе производим​ решения только в​ выражение вместо значения​, применив следующую формулу:​

​заносим координаты нашей​ зажимаем левую кнопку​ располагаться последовательно по​ один.​ строки полученной матрицы.​

​ диапазон матрицы А).​После нажатия ОК отобразится​

​ в статье Решение​. Сначала выделите диапазон​

exceltable.com

​ формулы массива =МУМНОЖ().​