Информатика уравнения в excel

Практическое занятие

Математические задачи. Решение уравнений и систем уравнений.

Пояснения к работе

Excel включает
большое число надстроек – откомпилированных программ, добавляющих табличному
процессору новые функциональные возможности. К таким надстройкам относятся
«Подбор параметра», «Поиск решения».

«Подбор параметра» помогает
находить в общем случае приближенные решения уравнений вида f(x)
= 0. Решим простое уравнение:

f(x) = x² — 5x + 6 = 0

Для решения этого уравнения
подготовим рабочий лист. Ячейка B4 будет содержать значение неизвестной x, а
ячейка B5 – значение функции f(x).
Для этого в B5
поместим формулу = B4* B4 — 5* B4+6, как показано на рис. 1

Рис. 1. Подготовка к решению уравнения

Выберем команду. Сервис/Подбор
параметра. Excel отобразит диалоговое окно Подбор
параметра, приведенное на рисунке 2.В этом окне заполним все три окна в
соответствии с результатом, который мы хотим получить. В поле Установить в
ячейке введем адрес формулы (B5),
результаты которой будут подобраны. В поле Значение введем желаемый
результат вычисления формулы (0). Наконец, используя поле Изменяя значения
ячейки, определим адрес ячейки, которая содержит значение, которое нужно
изменить.

Рис. 2. Заполнение окна Подбор
параметра

После щелчка кнопкой Ok Excel выполнит необходимые вычисления и
выведет диалоговое окно Результат подбора параметра.

Рис. 3. Результат Подбора параметра

Ячейка B4 будет содержать найденный корень
уравнения.

Примечание. В нашем случае уравнение имеет
два корня x₁ =2 и x₂ = 3. Excel всегда дает только один корень в
зависимости от начального значения изменяемой ячейки.

Примечание. Решение уравнений можно выполнить,
представив функцию в табличном виде. Построив график функции на некотором
отрезке с заданным шагом изменения аргумента, грубо приближенно можно
определить корень уравнения. Затем, используя метод Подбора параметра,
уточнить корень уравнения.

Решение систем уравнений.

Для решения систем уравнений с несколькими
неизвестными используется надстройка «Поиск решения». Пусть требуется решить
систему уравнений

x² + 5y = 29

5x + y² = 31

Подготовим рабочий лист так, как показано
на рис. 4. Ячейки D4 и D5
содержат формулы, выражающие левые части уравнений, ячейки E1 и E2 – значения неизвестных x и y
(изменяемые ячейки).

Рис. 4. Подготовка к решению системы
уравнений

Выполним команду Сервис/Поиск решения, на
экране откроется диалоговое окно Поиск решения (рис.5).

Рис. 5. Поиск решения. Надстройки

Установим в поле Установить целевую ячейку
адрес первой формулы D4, в поле Равной значению – число 29 (правая
часть первого уравнения), а в поле Изменяя ячейки диапазон E1:E2 (рис.
6)

Рис. 6. Поиск решения

Второе уравнение мы запишем как ограниченное в поле Ограничения.
Для этого нажмите кнопку Добавить в открывшемся диалоговом окне Добавить
ограничения. Заполним соответствующие поля как показано на рис. 7

Рис. 7. Результат поиска решения

После нажатия кнопки ОК произойдет возврат в окно Поиск
решения. Нам остается только щелкнуть по кнопке Выполнить.

Результат поиска решения показан на рис. 7. Полученные
результаты можно сохранить, нажав кнопку ОК.

Чтобы решить систему из более, чем двух уравнений,
надо одно из них, например первое, выбрать как целевое, т.е. адрес
соответствующей формулы внести в поле Установить целевую ячейку, а
остальные как ограничения.

Надстройка «Поиск решения» как и «Выбор параметра»
позволяет находить только одно решение системы.

Надстройка «Поиск решения» помогает решать довольно
сложные задачи на экстремумы функций нескольких переменных при наличии
ограничений на эти переменные.

Варианты заданий

Задание 1

На плоскости заданы координаты точек.
Определить, сколько точек попадает в заданную фигуру, рис. 1а.

Результат определения принадлежности точек и подсчет
количества точек, принадлежащих заданной фигуре, представлен на рис. 2. В
ячейку C4 помещена формула для определения принадлежности
точек фигуре.

Рис. 2. Подсчет количества точек

Количество точек
находим с помощью автосуммы.

Задание 2. Решить
уравнения и системы уравнений

1.    
x³ – x² + 4 cos πx/2 = 0

2.    
x = log x + 5

3.    
x² + xy = 7 –y²

x + 5y² = 9 –x/3

4.    
2x² + 3y
= 10

—x
+ 6y² =4

5.      
3x
-4y = 3

6.      
x³ – sinx – 0,5 = 0

7.      
x² –sinx + 0,1 = 0

8.      
x³ + x²
-12x = 0

9.      
x³ -19 x – 30 = 0

10. 
x³ – x² +
3x – 10 = 0

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х² + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.



2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.



3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».



Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

1. Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.



2. Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.



3. Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.



4. Умножим обратную матрицу Ах^-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.



5. Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.



2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.



3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.



4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.



5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х³ + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Х_n+1 = X_n– F (X_n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х³ – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

Помогла ли Вам статья?

Возможно вы слышали о нобелевском лауреате, психологе и исследователе по имени Дэниель Канеман. Канеман занимался наукой, которую называют термином «поведенческая экономика», т.е. изучал реакции, поведение и суждения людей в типовых жизненных (и экономических) ситуациях и условиях неопределенности.

В его книге, которая называется «Думай медленно — решай быстро» (очень рекомендую, кстати) в качестве одного из примеров когнитивных искажений — несознательной автоматической реакции — приводится следующая задача:

Бейсбольная бита и мяч стоят вместе 1 доллар 10 центов.
Бита дороже мяча на 1 доллар.
Сколько стоит мяч?

Подозреваю, что вашей первой рефлекторной мыслью, скорее всего, будет «10 центов!»  Но весьма скоро, я уверен, вы сообразите, что на самом деле всё не так примитивно и для получения ответа нужно решить простую систему уравнений (здесь b — это бита, а m — это мяч):

Конечно можно «тряхнуть стариной» и решить всё вручную на бумажке через подстановку переменных — как-то так:

Но, во-первых, на практике уравнения могут быть сложнее и переменных может оказаться сильно больше двух и, во-вторых, у нас с вами есть Microsoft Excel — универсальный мега-инструмент, величайшее изобретение человечества. Так что давайте-ка лучше разберём как решить нашу задачу с его помощью.

Способ 1. Матричные функции МУМНОЖ и МОБР

Само собой, изобретать велосипед тут не надо — прогрессивное человечество в лице математиков давным-давно придумало кучу способов для решения подобных задач. В частности, если уравнения в нашей системе линейные (т.е. не используют степени, логарифмы, тригонометрические функции типа sin, cos и т.д.), то можно использовать метод Крамера.

Сначала записываем числовые коэффициенты, стоящие перед нашими переменными в виде матрицы (в нашем случае — размером 2х2, в общем случае — может быть и больше).

Затем находим для неё так называемую обратную матрицу , т.е. матрицу, при умножении которой на исходную матрицу коэффициентов получается единица. В Excel это легко сделать с помощью стандартной математической функции МОБР (MINVERSE):

Здесь важно отметить, что если у вас свежая версия Excel 2021 или Excel 365, то достаточно ввести эту функцию обычным образом в первую ячейку (G7) — сразу получится динамический массив с обратной матрицей 2х2. Если же у вас более старая версия Excel, то эту функцию нужно обязательно вводить как формулу массива, а именно:

1. Выделить диапазон для результатов — G7:H8
2. Ввести функцию =МОБР(B7:C8) в строку формул
3. Нажать на клавиатуре сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter

Замечательное свойство обратной матрицы состоит в том, что если умножить её на значения правых частей наших уравнений (свободные члены), то мы получим значения переменных, при которых левые и правые части уравнений будут равны, т.е. решения нашей задачи. Выполнить такое матричное умножение можно с помощью ещё одной стандартной экселевской функции МУМНОЖ (MMULT):

Если у вас старая версия Excel, то не забудьте также ввести её в режиме формулы массива, т.е. сначала выделить диапазон K7:K8, а после ввода функции нажать сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Само собой, уравнений и переменных может быть больше, да и посчитать всё можно сразу в одной формуле, вложив используемые функции одна в другую:

Не так уж и сложно, правда? Однако надо понимать, что этот метод подходит только для решения систем линейных уравнений. Если у вас в уравнениях используются функции посложнее четырех базовых математических действий, то зачастую проще будет пойти другим путем — через подбор.

Способ 2. Подбор надстройкой «Поиск решения» (Solver)

Принципиально другой способ решения подобных задач — это итерационные методы, т.е. последовательный подбор значений переменных, чтобы после подстановки их в наши уравнения мы получили верные равенства. Само собой, подбор имеется ввиду не тупой и долгий (брутфорс), а умный и быстрый, благо математики, опять же, давным-давно придумали кучу различных методов для решения таких задач буквально за несколько итераций.

В Microsoft Excel некоторые из этих методов реализованы в стандартной надстройке Поиск решения (Solver). Её можно подключить через Файл — Параметры — Надстройки — Перейти (File — Options — Add-ins — Go to) или на вкладке Разработчик — Надстройки (Developer — Add-ins). 

Давайте рассмотрим её использование на следующей задаче. Предположим, что нам с вами нужно решить вот такую систему из двух нелинейных уравнений:

Подготавливаем основу для оптимизации в Excel:

Здесь:

• В жёлтых ячейках C9:C10 лежат текущие значения наших переменных, которые и будут подбираться в процессе оптимизации. В качестве стартовых можно взять любые значения, например, нули или единицы — роли не играет. Для удобства, кстати, этим ячейкам можно дать имена, назвав их именами переменных x и y, — для этого выделите диапазон C9:C10 и выберите команду Формулы — Создать из выделенного — Слева (Formulas — Create from selection — Left column). 
• В зелёных ячейках E9:E10 введены наши уравнения с использованием либо прямых ссылок на жёлтые ячейки переменных, либо созданных имён (так нагляднее). В результате мы видим, чему равны наши уравнения при текущих значениях переменных.
• В синих ячейках F9:F10 введены значения правых частей наших уравнений, к которым мы должны стремиться.

Теперь запускаем нашу надстройку на вкладке Данные — Поиск решения (Data — Solver) и вводим в появившемся диалоговом окне следующие параметры:

• Оптимизировать целевую функцию (Set target cell) — любая из двух наших зелёных ячеек с уравнениями, например E9.
• Изменяя ячейки переменных (By changing cells) — жёлтые ячейки с текущими значениями переменных, которыми мы «играем».
• Добавляем ограничение с помощью кнопки Добавить (Add) и задаём равенство левой и правой части наших уравнений, т.е. зелёного и голубого диапазонов.
• В качестве метода решения выбираем Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ, т.к. уравнения у нас нелинейные. Для линейных можно смело выбирать симплекс-метод.

Обратите внимание, что поскольку мы здесь используем итерационные, а не аналитические методы, то зеленые ячейки не совсем равны голубым, т.е. найденное решение не абсолютно точно. На практике, конечно же, такой точности вполне достаточно для большинства задач, и если необходимо, её можно настроить, вернувшись в окно Поиск решения и нажав кнопку Параметры (Options).

1. Решение уравнений в среде MS EXCEL

Одна из наиболее актуальных проблем компьютерного обучения – проблема отбора и использования педагогически целесообразных обучающих программ.

При изучении отдельных тем и решении некоторых задач на уроках математики в старших классах громоздкие вычисления как, например, при решении уравнений методом деления отрезка пополам или методом последовательных приближений, затмевают существо математической задачи, не дают увидеть красоту, рациональность применяемого метода решения.

В данной статье я представила те задачи, решение которых с помощью MS EXCEL позволяет получить наглядное, доступное для понимания учащимися решение, показать его логику, рациональность. Попутно учащиеся получают устойчивые навыки работы с программой.

1. Нахождение корней уравнения с помощью подбора параметра

Пример 1.

Пусть известно, что в штате больницы состоит 6 санитарок, 8 медсестер, 10 врачей, 3 заведующих отделениями, главный врач, заведующий аптекой, заведующая хозяйством и заведующий больницей. Общий месячный фонд зарплаты составляет 1000 000 условных единиц. Необходимо определить, какими должны быть оклады сотрудников больницы.

Решение такой задачи можно искать методом перебора. Однако в лучшем случае на это уходит много времени. Можно предложить другой способ решения. В EXCEL он реализован как поиск значения параметра формулы, удовлетворяющего ее конкретному значению.

Построим модель решения этой задачи. За основу возьмем оклад санитарки, а остальные оклады будем вычислять, исходя из него: во столько-то раз или на столько-то больше. Говоря математическим языком, каждый оклад является линейной функцией от оклада санитарки: Ai*С+Вi, где С — оклад санитарки; Аi и Вi — коэффициенты, которые для каждой должности определяют следующим образом:

• медсестра получает в 1,5 раза больше санитарки (А2=1,5; В2=0);
• врач — в 3 раза больше санитарки (А3=3; В3=0);
• заведующий отделением — на 30 y.e. больше, чем врач (А4=3; B4=30);
• заведующий аптекой — в 2 раза больше санитарки (А5=2; В5=0);
• заведующий хозяйством — на 40 y.e. больше медсестры (А6=1,5; В6=40);
• заведующий больницей — на 20 y.e. больше главного врача (А8=4; В8=20);
• главный врач — в 4 раза больше санитарки (А7=4; В7=0);

Зная количество человек на каждой должности, нашу модель можно

 записать как уравнение: N1*(A1*C+B1)+N2*(A2*C+B2)+…+N8*(A8*C+B8) = 1000000,

где N1 — число санитарок, N2 — число медсестер и т.д.

В этом уравнении нам известны A1…A8, B1…B8 и N1…N8, а С неизвестно. Анализ уравнения показывает, что задача вычисления заработной платы свелась к решению линейного уравнения относительно С. Предположим, что зарплата у санитарки 150,00 y.e.

Введите исходные данные в рабочий лист электронной таблицы, как показано ниже.

В столбце D вычислите заработную плату для каждой должности. Например, для ячейки D4 формула расчета имеет вид =B4*$D$3+C4.

В столбце F вычислите заработную плату всех работников данной должности. Например, для ячейки F3 формула расчета имеет вид =D3*E3.

В ячейке F11вычислите суммарный фонд заработной платы больницы. Рабочий лист электронной таблицы будет выглядеть, как показано ниже.

Чтобы определите оклад санитарки так, чтобы расчетный фонд был равен заданному надо:

1. Активизировать команду Подбор параметра во вкладке Данные / Работа с данными /Анализ «Что, если»;
2. В поле «Установить в ячейке» появившегося окна ввести ссылку на ячейку F11, содержащую формулу;
3. В поле «Значение» набрать искомый результат 1000000;
4. В поле «Изменяя значение ячейки» ввести ссылку на изменяемую ячейку D3 и щелкните на кнопке ОК.

Анализ задачи показывает, что с помощью Excel можно решать линейные уравнения. Конечно, такое уравнение может решить любой школьник. Однако, благодаря этому простому примеру стало, очевидным, что поиск значения параметра формулы, удовлетворяющего ее конкретному значению, – это не что иное, как численное решение уравнений. Другими словами, используя Excel, можно решать любые уравнения с одной переменной.

Приложение 1

Задание для учащихся:

Составить несколько вариантов штатного расписания с использованием функции Подбор параметра и оформить их в виде таблицы:

• Изменить количество сотрудников на различных должностях;
• Подобрать зарплату санитарки в новых условиях;
• Составить таблицу нескольких вариантов штатного расписания.

Рассмотрим еще один пример нахождения корней уравнения с помощью подбора параметра. При решении этого уравнения используется также метод последовательных приближений. Учащиеся в классах с углубленным изучением математики знакомы с этим методом. Поэтому, чтобы этот пример был доступен для других учащихся, предлагаю краткую теорию этого метода.

Пусть дано уравнение, записанное в виде x=F(x). Выбирают некоторое начальное приближение x1 и подставляют его вместо x в F(x). Полученное значение x2=F(x1) этой функции считают вторым приближением. Далее находят третье приближение по формуле x3=F(x2) и так далее. Таким образом, получаем последовательность x1, x2, x3,…, xn,… чисел, имеющая предел α. Тогда если функция F(x) непрерывна, из равенства x n+1=F(xn) получаем α=F(α). Это означает, что α является решением уравнения x=F(x).

Пример 2.

Пусть нам дан многочлен третьей степени:

x³-0,01x²-0,7044x+0,139104=0.

Так как мы ищем корни полинома третьей степени, то имеются не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их первоначально надо локализовать, то есть найти интервалы, на которых они существуют. Такими интервалами локализации корней могут служить промежутки, на концах которых функция имеет противоположный знак. С целью нахождения интервалов, на концах которых функция изменяет знак, необходимо построить ее график или протабулировать ее. Составим таблицу значений функции на интервале [-1;1] с шагом 0,2. Для этого необходимо:

1. Ввести  в ячейку A2 значение -1, а в ячейку A3 значение -0,8.
2. Выбрать диапазон A2:A3, расположить указатель мыши на маркере заполнения этого диапазона и протянуть его на диапазон A4:A12, аргумент протабулирован.
3. В ячейку B2 ввести формулу:

=A2^3-0,01*A2^2-0,7044*A2+0,139104

1. Выбрать ячейку B2. Расположить указатель мыши на маркере заполнения этой ячейки и протянуть его на диапазон B3:B12. Функция также протабулирована.

Из таблицы видно, что полином меняет знак на интервалах [-1; -0,8], [0,2; 0,4] и [0,6; 0,8], и поэтому на каждом из этих интервалов имеется свой корень. Так как полином третьей степени имеет не более трех корней, то они все локализованы.

Прежде чем приступить к нахождению корней при помощи подбора параметра, необходимо выполнить некоторую подготовительную работу:

• Установить точность, с которой находится корень. Корень при помощи подбора параметра находится методом последовательных приближений. Для этого в Настройке панели быстрого доступа / Другие команды, и на вкладке Формулы диалогового окна Параметры Exel задайте в Параметрах вычислений относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,00001 и 1000, соответственно.
• Отвести на рабочем листе ячейку, например С2, под искомый корень. Эта ячейка будет играть двойную роль. До применения подбора параметра в ней находится начальное приближение к корню уравнения, а после применения – найденное приближенное значение корня.
• Корень при помощи подбора параметра находим методом последовательных приближений. Поэтому в ячейку C2 надо ввести значение, являющееся приближением к искомому корню. В нашем случае, первым отрезком локализации корня является [-1;-0,8]. Следовательно, за начальное приближение к корню разумно взять среднюю точку этого отрезка -0,9.
• Отвести ячейку, например D2, под функцию, для которой ведется поиск корня, причем вместо неизвестной у этой функции должна указываться ссылку на ячейку, отведенную под искомый корень. Таким образом, в ячейку D2 введите формулу:

=C2^3-0,01*C2^2-0,7044*C2+0,139104

Аналогично надо поступить с двумя другими искомыми корнями:

• Отвести ячейку C8 под второй корень, ввести в нее начальное приближение 0,3, а в ячейку D8 ввести следующую формулу:

=C8^3-0,01*C8^2-0,7044*C8+0,139104

• Отвести ячейку C10 под второй корень, ввести в нее начальное приближение 0,7, а в ячейку D10  ввести следующую формулу:

=C10^3-0,01*C10^2-0,7044*C10+0,139104

Результаты выполненных действий приведены в таблице.

Теперь можно переходить к нахождению первого корня уравнения:

Выберете команду Подбор параметра. На экране отобразится диалоговое окно Подбор параметра.

1. В поле Установить в ячейке введите ссылку на ячейку D2. В этом поле дается ссылка на ячейку, в которой введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. Для нахождения корня с помощью подбора параметра уравнение надо представить в таком виде, чтобы его правая часть не содержала переменную.
2. В поле Значение введите 0. Здесь указывается значение из правой части уравнения.
3. В поле Изменяя значение ячейки введите C2. В данном поле приводится ссылка на ячейку, отведенную под переменную.
4. Нажмите кнопку OK.

На экране отображается окно Результат подбора параметра с результатами работы команды Подбор параметра. Кроме того, рассматриваемое средство помещает найденное приближенное значение корня в ячейку C2. В данном случае оно равно -0,920. Аналогично в ячейках C8 и C10 находятся два оставшихся корня. Они равны 0,210 и 0,721.

Приложение 2

Задание для учащихся:

 Найти все корни уравнений

1. Х3-2,92Х2+1,4355Х+0,791136=0

2. Х3-2,56Х2-1,3251Х+4,395006=0

3. Х3+2,84Х2-5,6064Х-14,766336=0

1.  Нахождение корней уравнения методом деления отрезка пополам

 Краткая теория метода. Пусть непрерывная функция F(x) имеет значения разных знаков на концах отрезка [a;b], то есть F(a)F(b)<0.Тогда уравнение  F(x)=0 имеет корень внутри этого отрезка. Отрезок [a;b] отрезком локализации корня. Пусть c=(a+b)/2 — середина отрезка [a;b]. Если F(a)F(c)<=0, то корень находится на отрезке [a;c], который берем за новый отрезок локализации корня. Если F(a)F(c)>0, то за новый отрезок локализации корня берем [c;b].Отметим, что новый отрезок локализации корня в два раза меньше первоначального. Процесс деления отрезка для локализации корня продолжаем до тех пор, пока его длина не станет меньше ε, точности нахождения корня. В этом случае любая точка отрезка локализации отличается от корня не более чем на ε/2.

Найдем корни уравнения x²–2=0 с точностью до 0,001 методом деления отрезка пополам. За первоначальный отрезок локализации корня выбран [0;2]. Для реализации этого метода введите в ячейки рабочего листа формулы либо значения, приведенные ниже в таблице:

Теперь осталось только выбрать диапазон A4:F4, расположить указатель мыши на маркере его заполнения и пробуксировать его вниз до тех пор, пока в столбце F не появится сообщение о том, что корень найден. В данном случае сообщение появится в ячейке F14, а значение корня с точностью до 0,001 равно 1,415.

Число шагов можно определить заранее и скопировать формулы в диапазон из необходимого числа строк. Число шагов до нахождения корня определяется по формуле: [log2((b-a)/(2*t))]+1 (1), где [x] есть целая часть числа х, t — заданная точность.

В заключение отмечу, что в рассмотренном примере использовались:

• Операция конкатенации строк, которая объединяет несколько строк в одну (обозначается символом амперсанта &). При объединении двух строк вторая строка добавляется непосредственно в конец первой строки.
• Функция рабочего листа из категории функций по работе с текстом ТЕКСТ (TEXT). Данная функция преобразует значение в текст в заданном числовом формате.

Приложение 3

Задание для учащихся:

Вычислить корень уравнения Cosx=x на отрезке [0;2] с точностью до 0,001. Число шагов для определения корня вычислить при помощи формулы (1).

Использование MS EXEL значительно расширяет круг задач, которые можно использовать в обучении. Это обусловлено возможностью передачи трудоемких операций компьютеру, например, при решении уравнений методами итераций и деления отрезка пополам.

Литература

1. Информатика в школе / Под ред. Макаровой Н. В. – СПб: Питер Ком, 1999.
2. Символоков  Л. В. Решение бизнес задач в Microsoft Office – М.: ЗАО «Издательство БИНОМ», 2001.
3. Шохолович В. Ф. Информационные технологии обучения. Информатика и образование. 1998. – №2.
4. Игнекова Г. С. Методические аспекты подготовки учителя информатики. Информатика и образование. 1998. – №3.

Тип урока: Обобщение, закрепление
пройденного материала и объяснение нового.

Цели и задачи урока:

• повторение изученных графиков функций;
• повторение и закрепление графического
  способа решения уравнений;
• закрепление навыков записи и
  копирования формул, построения графиков
  функций в электронных таблицах Excel 2007;
• формирование и первичное закрепление
  знаний о решении уравнений с
  использованием возможностей электронных
  таблиц Excel 2007;
• формирование мышления, направленного на
  выбор оптимального решения;
• формирование информационной культуры
  школьников.

Оборудование: персональные
компьютеры, мультимедиапроектор,
проекционный экран.

Материалы к уроку: презентация Power Point
на компьютере учителя (Приложение 1).

Организационный момент.

Слайд 1 из Приложения1 ( далее
ссылки на слайды идут без указания
Приложения1).

Объявление темы урока.

1. Устная работа (актуализация
знаний).

Слайд 2 — Соотнесите перечисленные
ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):

Рис. 1.

Слайд 3 Графический способ решения
уравнений вида f(x)=0.

Корнями уравнения f(x)=0 являются
значения х₁, х₂, … точек
пересечения графика функции y=f(x) с осью
абсцисс (Рис. 2).

Рис. 2.

Найдите корни уравнения х²-2х-3=0,
используя графический способ решения
уравнений (Рис.3).

Ответ: -1; 3.

Рис. 3.

Слайд 5 Графический способ решения
уравнений вида f (x)=g (x).

Корнями уравнения f(x)=g(x) являются
значения х₁, х₂, … точек
пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x).
(Рис. 4):

Рис. 4.

Слайд 6 Найдите корни уравнения ,
используя графический способ решения
уравнений (Рис. 5).

Ответ: 4.

Рис. 5.

2. Объяснение нового материала.
Практическая работа.

Решение уравнений графическим способом
требует больших временных затрат на
построение графиков функций и в
большинстве случаев дает грубо
приближенные решения. При использовании
электронных таблиц, в данном случае – Microsoft
Excel 2007, существенно экономится время на
построение графиков функций, и появляются
дополнительные возможности нахождения
корней уравнения с заданной точностью (метод
Подбор параметра).

I. Графический способ решения
уравнений вида f(x)=0 в Excel.

Пример1: Используя средства построения
диаграмм в Excel, решить графическим способом
уравнение —х²+5х-4=0.

Для этого: построить график функции у=-х²+5х-4
на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения
графика функции с осью абсцисс.

Выполнение задания можно разбить на этапы:

1 этап: Представление функции в
табличной форме (рис. 6):

Рис. 6.

Для этого:

• в ячейку А1 ввести текст Х, в
  ячейку A2 — Y;
• в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1
  – число 0,25;
• выделить ячейки В1:С1, подвести
  указатель мыши к маркеру выделения, и в
  тот момент, когда указатель мыши примет
  форму черного крестика, протянуть маркер
  выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).

Рис. 7.

• в ячейку B2 ввести формулу =-(B1^2)+5*B1-4;

При вводе формулы можно
вводить адрес ячейки с клавиатуры (не
забыть переключиться на латиницу), а
можно просто щелкнуть мышью на ячейке с
нужным адресом.

После ввода формулы в ячейке
окажется результат вычисления по
формуле, а в поле ввода строки формул —
сама формула (Рис. 8):

Рис. 8.

• скопировать содержимое ячейки B2 в
  ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь
  ряд выделенных ячеек заполнится
  содержимым первой ячейки. При этом ссылки
  на ячейки в формулах изменятся
  относительно смещения самой формулы.

Для этого:

• выделить диапазон ячеек B2:V2;
• на вкладке Вставка|Диаграммы|График
  выбрать вид График;
• на вкладке Конструктор|Выбрать данные
  (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор
  источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить
  в поле Подписи горизонтальной оси —
  откроется окно «Подписи оси». Выделить в
  таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения
  переменной х). В обоих окнах щелкнуть
  по кнопкам ОК;

Рис. 9.

• на вкладке Макет|Оси|Основная
  горизонтальная ось|Дополнительные
  параметры основной горизонтальной оси
  выбрать:

Интервал между делениями: 4;

Интервал между подписями: Единица
измерения интервала: 4;

Положение оси: по делениям;

Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки
Тип
линии и Цвет линии);

• самостоятельно изменить ширину и цвет
  линии для вертикальной оси;
• на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные
  линии сетки по основной оси выбрать Основные
  линии сетки.

Примерный результат работы приведен на
рис. 10:

Рис. 10.

График функции у=-х²+5х-4
пересекает ось абсцисс в двух точках и,
следовательно, уравнение -х²+5х-4=0 имеет
два корня: х₁=1; х₂=4.

Пример 2: Решить графическим способом
уравнение .

Для этого: в одной системе координат
построить графики функций у₁=
и у₂=1-х
на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки
пересечения графиков функций.

• Перейти на Лист2.
• Аналогично Примеру 1, применив
  приемы копирования, заполнить таблицу.
  При табулировании функции у₁=
  воспользоваться встроенной функцией Корень
  (Рис. 11).

Рис. 11.

• Выделить диапазон ячеек (А2:V3);
• Аналогично Примеру 1 вставить и
  отформатировать диаграмму типа График,
  выбрав дополнительно в настройках
  горизонтальной оси: вертикальная ось
  пересекает в категории с номером 5.

Примерный результат работы приведен на
Рис. 12:

Рис. 12.

Графики функций у₁=
и у₂=1-х пересекаются в одной
точке (0;1) и, следовательно, уравнение
имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.

III. Метод Подбор параметра.

Графический способ решения уравнений
красив, но далеко не всегда точки
пересечения могут быть такими «хорошими»,
как в специально подобранных примерах 1 и 2.

Возможности электронных таблиц
позволяют находить приближенные значения
коней уравнения с заданной точностью. Для
этого используется метод Подбор
параметра.

Пример 3: Разберем метод Подбор
параметра на примере решения уравнения —х²+5х-3=0.

1 этап: Построение диаграммы типа График
для приближенного определения корней
уравнения.

Построить график функции у=—х²+5х-3,
отредактировав полученные в Примере 1
формулы.

Для этого:

• выполнить двойной щелчок по ячейке B2,
  внести необходимые изменения;
• с помощью маркера выделения
  скопировать формулу во все ячейки
  диапазона C2:V2.

Все изменения сразу отобразятся на
графике.

Примерный результат работы приведен на
Рис. 13:

Рис. 13.

График функции у=-х²+5х-3
пересекает ось абсцисс в двух точках и,
следовательно, уравнение -х²+5х-4=0 имеет
два корня.

По графику приближенно можно
определить, что х₁≈0,7; х₂≈4,3.

1) Начать с поиска более точного
значения меньшего корня.

По графику видно, что ближайший
аргумент к точке пересечения графика с
осью абсцисс равен 0,75. В таблице
значений функции этот аргумент
размещается в ячейке E1.

• Выделить ячейку Е2;
• перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор
  параметра…;

В открывшемся диалоговом окне Подбор
параметра (Рис. 14) в поле Значение
ввести требуемое значение функции: 0.

В поле Изменяя значение ячейки:
ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).

Щелкнуть по кнопке ОК.

Рис. 14.

Рис. 15.

• В окне Результат подбора (Рис. 15)
  выводится информация о величине
  подбираемого и подобранного значения
  функции:
• В ячейке E1 выводится подобранное
  значение аргумента 0,6972 с требуемой
  точностью (0,0001).

Установить точность можно путем
установки в ячейках таблицы точности
представления чисел – числа знаков
после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).

Итак, первый корень уравнения
определен с заданной точностью: х₁≈0,6972.

2) Самостоятельно найти значение
большего корня с той же точностью. (х₂≈4,3029).

IV. Метод Подбор параметра для
решения уравнений вида f(x)=g(x).

При использовании метода Подбор
параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x)
вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x)
и находят с требуемой точностью значения х
точек пересечения графика функции y(x) с
осью абсцисс.

3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная
работа.

Задание: Используя метода Подбор
параметров, найти корни уравнения
с точностью до 0,001.

Для этого:

• ввести функцию у=
  и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с
  шагом 0,25 (Рис. 16):

Рис. 16.

• найти приближенное значение х
  точки пересечения графика функции с
  осью абсцисс (х≈1,4);
• найти приближенное решение уравнения с
  точностью до 0,001 методом Подбор
  параметра (х≈1,438).

4. Итог урока.

Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной
работы.

Слайд 13 Повторение графического
способа решения уравнения вида f(x)=0.

Слайд 14 Повторение графического
способа решения уравнения вида f(x)=g(x).

Выставление оценок.

5. Домашнее задание.

Слайд 15 .

Используя средства построения диаграмм
в Excel и метод Подбор параметра, определите
корни уравнения х²-5х+2=0 с
точностью до 0,01.

Многие задачи математики и статистики приходится решать электронно. В этом уроке мы подробно разберем, как без сложностей решить систему уравнений в Excel. Используя предложенные методики, вы сможете быстро и правильно справится даже с самыми сложными уравнениями.

Метод Гаусса для простых уравнений

Для простых уравнений, где три или меньше неизвестных, можно воспользоваться методом Гаусса. Вы можете решить одно уравнение или несколько одновременно. Будем решать по следующим данным:
2x+3y=12
3x−y=7.

1. Вставим наши уравнения в ячейки (желательно их оформить у самого края электронной книги).

1. Чуть ниже на этой странице делаем две небольшие таблицы, куда будут вноситься коэффициенты и свободные члены. Для этого оформим несколько ячеек со значением А (для коэффициентов) и несколько с шапкой В (для свободных членов)

1. Теперь занимаемся первым уравнением. Для этого скопируем первую матрицу вместе со значением после знака равно. Размещаем ее ниже наших табличек на одну строчку.

1. Далее в ячейку ниже вводим подготовленную формулу: =B8:E8-$B7:7:E7∗(B8/7*(B8/B$7). Затем нажимаете комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. Во всей строке проставятся точные значения.

1. Далее вам нужно скопировать эту строку и продублировать ее на ячейку ниже. Теперь скопируем две первые строчки после пустующей строки. Для этого выделим их и нажмем комбинацию CTRL+C или при помощи встроенного инструмента «Копировать» на панели управления.

1. Отступаем одну строчку и на следующей делаем выделение пустой ячейки курсором мыши. Затем вызываем выпадающий список путем нажатия на правую кнопку мыши. Теперь выбираем пункт «Специальная вставка», появится дополнительный список, в котором необходимо отметить «Вставить значения».

1. Как видим, в нашем случае высвечивается ошибка о запрете деления на «0». В вашем случае, это будут другие значения.

1. В дальнейшем вам необходимо сделать обратную прогонку. Для этого отступим три пустые строки на странице, а в четвертую вставим формулу: =B17:E17/D17. Затем выделяем строчку и жмем все ту же комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате, при проведении правильных расчетов вы должны получить ответы на буквенные символы. Однако, этот метод требует внимательности и точного ввода формул, с чем не каждый пользователь справляется, поэтому рассмотрим другой вариант для решения.

Решение квадратного уравнения с подбором параметров

Предположим, есть буквенное выражение 5×2 + 3x + 7 = 0. Чтобы его решить вручную, придется тратить время на каждое действие. При помощи Excel, а именно подбора параметров, сделать это можно в считанные минуты.

1. Открываем новый лист Excel и вносим уравнение в первую ячейку. Отступим одну строку вниз и пропишем значение для Х=0. Далее будем высчитывать его через строку формул F(х), обязательно прописываем выражение в отдельной ячейке.

1. После этого заносим следующую формулу после знака равно в строке формул. Обязательно учитывайте, что ваши значения будут другими. Делайте на примере нашего выражения. Итак, вставляем =5x^2+3 x+7, при этом вместо значения X вы должны вставить адрес ячейки, в которой обозначено, за какое число принято неизвестное, то есть «0». Затем нажимаем кнопку ENTER.

1. В ячейке, отвечающей за значение в строке формулы, вы получаете конкретное число. Теперь заходим во вкладку «Данные», переходим к пункту «Анализ «что, если»». Нажимаем на него и открываем дополнительный список, в котором кликаем по записи «Подбор параметра».

1. Перед вами открывается окно с ячейками для заполнения. Нам необходимо прописать значения во всех трех ячейках. Давайте сделаем все по порядку. В поле «Установить в ячейке» прописываем адрес ячейки с найденным числом. Следующее поле «Значение» ставим «0», а в ячейке «Изменяя значение», указываем адрес значения X, то есть ту графу, где прописан «0». После проделанных манипуляций нажимаем кнопку «Ок».

Теперь в появившемся окне нажимаем кнопку «ОК» для сохранения. Мы видим, что программа нашла ответ на наше уравнение, это будет «-1». Таким образом мы разобрали самые простые способы решения уравнений, с которыми разберётся даже начинающий пользователь офисной программы Microsoft Excel.