Хи2 расп в excel

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ХИ2.РАСП в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает распределение хи-квадрат.

Функция распределения хи-квадрат обычно используется для изучения вариации в процентах какой-либо величины между выборками — например, части дня, которую люди проводят у телевизора.

Синтаксис

ХИ2.РАСП(x;степени_свободы;интегральная)

Аргументы функции ХИ2.РАСП описаны ниже.

• X     — обязательный аргумент. Значение, для которого требуется вычислить распределение.

• Степени_свободы     — обязательный аргумент. Число степеней свободы.

• Интегральная     — обязательный аргумент. Логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция ХИ2.РАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения.

Замечания

• Если какой-либо из аргументов не является числом, ХИ2. DIST возвращает #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если x имеет отрицательное отношение, ХИ2. DIST возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если значение степени_свободы не целое, оно усекается.

• Если deg_freedom < 1 или deg_freedom > 10^10, ХИ2. DIST возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула	Описание	Результат
=ХИ2.РАСП(0,5;1;ИСТИНА)	Распределение хи-квадрат для 0,5, возвращаемое как интегральная функция распределения с 1 степенью свободы.	0,52049988
=ХИ2.РАСП(2;3;ЛОЖЬ)	Распределение хи-квадрат для 2, возвращаемое как интегральная функция распределения с 3 степенями свободы.	0,20755375

Функция ХИ2.РАСП возвращает распределение хи-квадрат.

Описание функции ХИ2.РАСП

Возвращает распределение хи-квадрат. Функция распределения хи-квадрат обычно используется для изучения вариации в процентах какой-либо величины между выборками — например, части дня, которую люди проводят у телевизора.

Синтаксис

=ХИ2.РАСП(x; степени_свободы; интегральная)

Аргументы

Замечания

• Если какой-либо из аргументов не является числом, функция ХИ2.РАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
• Если значение x отрицательно, функция ХИ2.РАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
• Если значение степени_свободы не целое, оно усекается.
• Если степени_свободы < 1 или степени_свободы > 10^10, функция ХИ2.РАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.​

Пример

Рассмотрим Распределение ХИ-квадрат. С помощью функции MS EXCEL

ХИ2.РАСП()

построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.

Распределение ХИ-квадрат

(

Х

²

, ХИ2,

англ.

Chi

—

squared

distribution

)

применяется в различных методах математической статистики:

• при построении

  доверительных интервалов для дисперсии

  ;

• при

  проверке гипотез о дисперсии нормального распределения

  ;

• при

  проверке гипотез с помощью критерия согласия Пирсона

  (согласуются ли эмпирические данные с нашим предположением о теоретической функции распределения или нет, англ. Goodness-of-fit)

• при

  проверке гипотез с помощью критерия независимости хи-квадрат

  (используется для определения связи между двумя категориальными переменными, англ. Chi-square test of association).

Определение

: Если x

₁

, x

₂

, …, x

_n

независимые случайные величины, распределенные по

стандартному нормальному закону

N(0;1), то распределение случайной величины Y=x

₁

²

+ x

₂

²

+…+ x

_n

²

имеет

распределение

Х

²

с n степенями свободы.

Распределение

Х

²

зависит от одного параметра, который называется

степенью свободы

(

df

,

degrees

of

freedom

). Например, при построении

доверительных интервалов для оценки дисперсии

число степеней свободы

равно df=n-1, где n – размер

выборки

.

Плотность распределения

Х

²

выражается формулой:

при y>0

СОВЕТ

: Подробнее о

Функции распределения

и

Плотности вероятности

см. статью

Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL

.

Графики функций

Распределение

Х

²

имеет несимметричную форму,

среднее значение

равно n,

дисперсия

равна 2n.

В

файле примера на листе График

приведены

графики плотности распределения

вероятности и

интегральной функции распределения

.

Примечание

: Для построения

функции распределения

и

плотности вероятности

можно использовать диаграмму типа

График

или

Точечная

(со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью

Основные типы диаграмм

.

Полезное свойство

ХИ2-распределения

Пусть x

₁

, x

₂

, …, x

_n

независимые случайные величины, распределенные по

нормальному закону

с одинаковыми параметрами μ и σ, а

X

_cр

является

арифметическим средним

этих величин x. Тогда случайная величина

y

равная

Имеет

Х

²

-распределение

с n-1 степенью свободы. Используя определение

дисперсии выборки

вышеуказанное выражение можно переписать следующим образом:

Следовательно,

выборочное распределение

статистики y, при

выборке

из

нормального распределения

, имеет

Х

²

-распределение

с n-1 степенью свободы.

Это свойство нам потребуется при

построении доверительного интервала при оценке дисперсии распределения

. Т.к.

дисперсия

может быть только положительным числом, а

Х

²

-распределение

используется для его оценки, то

y

д.б. >0, как и указано в определении.

ХИ2-распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для

Х

²

-распределения

имеется специальная функция

ХИ2.РАСП()

, английское название – CHISQ.DIST(), которая позволяет вычислить

плотность вероятности

(см. формулу выше) и

интегральную функцию распределения

(вероятность, что случайная величина Х, имеющая

ХИ2

—

распределение

, примет значение меньше или равное х, P{X <= x}).

Примечание

: Т.к.

ХИ2-распределение

является частным случаем

гамма распределения

, то формула

=ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ИСТИНА)

для целого положительного n возвращает тот же результат, что и формула

=ХИ2.РАСП(x;n; ИСТИНА)

или

=1-ХИ2.РАСП.ПХ(x;n)

. А формула

=ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ЛОЖЬ)

возвращает тот же результат, что и формула

=ХИ2.РАСП(x;n; ЛОЖЬ)

, т.е.

плотность вероятности

ХИ2-распределения.

Функция

ХИ2.РАСП.ПХ()

возвращает

функцию распределения

, точнее — правостороннюю вероятность, т.е. P{X > x}. Очевидно, что справедливо равенство

=ХИ2.РАСП.ПХ(x;n)+ ХИ2.РАСП(x;n;ИСТИНА)=1

т.к. первое слагаемое вычисляет вероятность P{X > x}, а второе P{X <= x}.

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция

ХИ2РАСП()

, которая позволяет вычислить правостороннюю вероятность, т.е. P{X > x}. Возможности новых функций MS EXCEL 2010

ХИ2.РАСП()

и

ХИ2.РАСП.ПХ()

перекрывают возможности этой функции. Функция

ХИ2РАСП()

оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

ХИ2.РАСП()

является единственной функцией, которая возвращает

плотность вероятности ХИ2-распределения

(третий аргумент должен быть равным ЛОЖЬ). Остальные функции возвращают

интегральную функцию распределения

, т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение из указанного диапазона: P{X <= x}.

Вышеуказанные функции MS EXCEL приведены в

файле примера на листе Функции

.

Примеры

Найдем вероятность, что случайная величина Х примет значение меньше или равное заданного

x

: P{X <= x}. Это можно сделать несколькими функциями:

= ХИ2.РАСП(x; n; ИСТИНА) =1-ХИ2.РАСП.ПХ(x; n)=1-ХИ2РАСП(x; n)

Функция

ХИ2.РАСП.ПХ()

возвращает вероятность P{X > x}, так называемую правостороннюю вероятность, поэтому, чтобы найти P{X <= x}, необходимо вычесть ее результат от 1.

Найдем вероятность, что случайная величина Х примет значение больше заданного

x

: P{X > x}. Это можно сделать несколькими функциями:

= 1-ХИ2.РАСП(x; n; ИСТИНА) =ХИ2.РАСП.ПХ(x; n)=ХИ2РАСП(x; n)

Обратная функция ХИ2-распределения

Обратная функция используется для вычисления

альфа

—

квантилей

, т.е. для вычисления значений

x

при заданной вероятности

альфа

, причем

х

должен удовлетворять выражению P{X <= x}=

альфа

.

Функция

ХИ2.ОБР()

используется для вычисления

доверительных интервалов дисперсии нормального распределения

.

Функция

ХИ2.ОБР.ПХ()

используется для вычисления

верхнего квантиля

, т.е. если в качестве аргумента функции указан уровень значимости, например 0,05, то функция вернет такое значение случайной величины х, для которого P{X>x}=0,05. В качестве сравнения: функция

ХИ2.ОБР()

вернет такое значение случайной величины х, для которого P{X<=x}=0,05.

В MS EXCEL 2007 и ранее вместо

ХИ2.ОБР.ПХ()

использовалась функция

ХИ2ОБР()

.

Вышеуказанные функции можно взаимозаменять, т.к. следующие формулы возвращают один и тот же результат:

=ХИ.ОБР(альфа;n) =ХИ2.ОБР.ПХ(1-альфа;n) =ХИ2ОБР(1- альфа;n)

Некоторые примеры расчетов приведены в

файле примера на листе Функции

.

Функции MS EXCEL, использующие ХИ2-распределение

В MS EXCEL имеется еще одна функция, использующая для расчетов

ХИ2-распределение

– это

ХИ2.ТЕСТ()

. Ее более ранняя версия —

ХИ2ТЕСТ()

. Подробнее об использовании этой функции см.

статью про критерий независимости хи-квадрат

.

Ниже приведено соответствие русских и английских названий функций:

ХИ2.РАСП.ПХ()

— англ. название CHISQ.DIST.RT, т.е. CHI-SQuared DISTribution Right Tail, the right-tailed Chi-square(d) distribution

ХИ2.ОБР()

— англ. название CHISQ.INV, т.е. CHI-SQuared distribution INVerse

ХИ2.ПХ.ОБР()

— англ. название CHISQ.INV.RT, т.е. CHI-SQuared distribution INVerse Right Tail

ХИ2РАСП()

— англ. название CHIDIST, функция эквивалентна CHISQ.DIST.RT

ХИ2ОБР()

— англ. название CHIINV, т.е. CHI-SQuared distribution INVerse

Оценка параметров распределения

Т.к. обычно

ХИ2-распределение

используется для целей математической статистики (вычисление

доверительных интервалов,

проверки гипотез и др.),

и практически никогда для построения моделей реальных величин, то для этого распределения обсуждение оценки параметров распределения здесь не производится.

Приближение ХИ2-распределения нормальным распределением

При числе степеней свободы n>30

распределение Х

²

хорошо аппроксимируется

нормальным распределением

со

средним значением

μ=n и

дисперсией σ

=2*n (см.

файл примера лист Приближение

).

СОВЕТ

: О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.