Функция уровень надежности в excel


Дадим определение терминам уровень надежности и уровень значимости. Покажем, как и где они используется в

MS

EXCEL

.


Уровень значимости

(Level of significance) используется в

процедуре проверки гипотез

и при

построении доверительных интервалов

.


СОВЕТ

: Для понимания терминов

Уровень значимости и

Уровень надежности

потребуется знание следующих понятий:

  • выборочное распределение среднего

    ;

  • стандартное отклонение

    ;

  • проверка гипотез

    ;

  • нормальное распределение

    .


Уровень значимости

статистического теста – это вероятность отклонить

нулевую гипотезу

, когда на самом деле она верна. Другими словами, это допустимая для данной задачи вероятность

ошибки первого рода

(type I error).


Уровень значимости

обычно обозначают греческой буквой α (

альфа

). Чаще всего для

уровня значимости

используют значения 0,001; 0,01; 0,05; 0,10.

Например, при построении

доверительного интервала для оценки среднего значения распределения

, его ширину рассчитывают таким образом, чтобы вероятность события «

выборочное среднее (Х

ср

) находится за пределами доверительного интервала

» было равно

уровню значимости

. Реализация этого события считается маловероятным (практически невозможным) и служит основанием для отклонения нулевой гипотезы о

равенстве среднего заданному значению

.


Ошибка первого рода

часто называется риском производителя. Это осознанный риск, на который идет производитель продукции, т.к. он определяет вероятность того, что годная продукция может быть забракована, хотя на самом деле она таковой не является. Величина

ошибки первого рода

задается перед

проверкой гипотезы

, таким образом, она контролируется исследователем напрямую и может быть задана в соответствии с условиями решаемой задачи.

Чрезмерное уменьшение

уровня значимости α

(т.е. вероятности

ошибки первого рода

) может привести к увеличению вероятности

ошибки второго рода

, то есть вероятности принять

нулевую гипотезу

, когда на самом деле она не верна. Подробнее об

ошибке второго рода

см. статью

Ошибка второго рода и Кривая оперативной характеристики

.


Уровень значимости

обычно указывается в аргументах

обратных функций MS EXCEL

для вычисления

квантилей

соответствующего распределения:

НОРМ.СТ.ОБР()

,

ХИ2.ОБР()

,

СТЬЮДЕНТ.ОБР()

и др. Примеры использования этих функций приведены в статьях про

проверку гипотез

и про построение

доверительных интервалов

.

Уровень надежности


Уровень

доверия

(этот термин более распространен в отечественной литературе, чем

Уровень надежности

) — означает вероятность того, что

доверительный интервал

содержит истинное значение оцениваемого параметра распределения.


Уровень

доверия

равен

1-α,

где α –

уровень значимости

.

Термин

Уровень надежности

имеет синонимы:

уровень доверия, коэффициент доверия, доверительный уровень

и

доверительная вероятность (англ.

Confidence

Level

,

Confidence

Coefficient

).

В математической статистике обычно используют значения

уровня доверия

90%; 95%; 99%, реже 99,9% и т.д.

Например,

Уровень

доверия

95% означает, что событие, вероятность которого 1-0,95=5% исследователь считать маловероятным или невозможным. Разумеется, выбор

уровня доверия

полностью зависит от исследователя. Так, степень доверия авиапассажира к надежности самолета, несомненно, должна быть выше степени доверия покупателя к надежности электрической лампочки.


Примечание

: Стоит отметить, что математически не корректно говорить, что

Уровень

доверия

является вероятностью, того что оцениваемый параметр распределения принадлежит

доверительному интервалу

, вычисленному на основе

выборки

. Поскольку, считается, что в математической статистике отсутствуют априорные сведения о параметре распределения. Математически правильно говорить, что

доверительный интервал

, с вероятностью равной

Уровню

доверия,

накроет истинное значение оцениваемого параметра распределения.

Уровень надежности в MS EXCEL

В MS EXCEL

Уровень надежности

упоминается в

надстройке Пакет анализа

. После вызова надстройки, в диалоговом окне необходимо выбрать инструмент

Описательная статистика

.

После нажатия кнопки

ОК

будет выведено другое диалоговое окно.

В этом окне задается

Уровень надежности,

т.е.значениевероятности в процентах. После нажатия кнопки

ОК

в

выходном интервале

выводится значение равное

половине ширины

доверительного интервала

. Этот

доверительный интервал

используется для оценки

среднего значения распределения, когда дисперсия не известна

(подробнее см.

статью про доверительный интервал

).

Необходимо учитывать, что данный

доверительный интервал

рассчитывается при условии, что

выборка

берется из

нормального распределения

. Но, на практике обычно принимается, что при достаточно большой

выборке

(n>30),

доверительный интервал

будет построен приблизительно правильно и для распределения, не являющегося

нормальным

(если при этом это распределение не будет иметь

сильной асимметрии

).


Примечание

: Понять, что в диалоговом окне речь идет именно об оценке

среднего значения распределения

, достаточно сложно. Хотя в английской версии диалогового окна это указано прямо:

Confidence

Level

for

Mean

.

Если

Уровень надежности

задан 95%, то

надстройка Пакет анализа

использует следующую формулу (выводится не сама формула, а лишь ее результат):

=СТАНДОТКЛОН.В(Выборка)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(Выборка)) *СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(1-0,95;СЧЁТ(Выборка)-1)

или эквивалентную ей

=СТАНДОТКЛОН.В(Выборка)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(Выборка)) *СТЬЮДЕНТ.ОБР((1+0,95)/2;СЧЁТ(Выборка)-1)

где

=СТАНДОТКЛОН.В(Выборка)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(Выборка))

– является

стандартной ошибкой среднего

(формулы приведены в

файле примера

).

или


=ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(1-0,95; СТАНДОТКЛОН.В(Выборка); СЧЁТ(Выборка))

Подробнее см. в

статьях про доверительный интервал

.

Источник

history 23 ноября 2016 г.
    Группы статей

  • Статистический вывод

Дадим определение терминам уровень надежности и уровень значимости. Покажем, как и где они используется в MS EXCEL .

СОВЕТ : Для понимания терминов Уровень значимости и Уровень надежности потребуется знание следующих понятий:

Уровень значимости статистического теста – это вероятность отклонить нулевую гипотезу , когда на самом деле она верна. Другими словами, это допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода (type I error).

Уровень значимости обычно обозначают греческой буквой α ( альфа ). Чаще всего для уровня значимости используют значения 0,001; 0,01; 0,05; 0,10.

Например, при построении доверительного интервала для оценки среднего значения распределения , его ширину рассчитывают таким образом, чтобы вероятность события « выборочное среднее (Х ср ) находится за пределами доверительного интервала » было равно уровню значимости . Реализация этого события считается маловероятным (практически невозможным) и служит основанием для отклонения нулевой гипотезы о равенстве среднего заданному значению .

Ошибка первого рода часто называется риском производителя. Это осознанный риск, на который идет производитель продукции, т.к. он определяет вероятность того, что годная продукция может быть забракована, хотя на самом деле она таковой не является. Величина ошибки первого рода задается перед проверкой гипотезы , таким образом, она контролируется исследователем напрямую и может быть задана в соответствии с условиями решаемой задачи.

Чрезмерное уменьшение уровня значимости α (т.е. вероятности ошибки первого рода ) может привести к увеличению вероятности ошибки второго рода , то есть вероятности принять нулевую гипотезу , когда на самом деле она не верна. Подробнее об ошибке второго рода см. статью Ошибка второго рода и Кривая оперативной характеристики .

Уровень значимости обычно указывается в аргументах обратных функций MS EXCEL для вычисления квантилей соответствующего распределения: НОРМ.СТ.ОБР() , ХИ2.ОБР() , СТЬЮДЕНТ.ОБР() и др. Примеры использования этих функций приведены в статьях про проверку гипотез и про построение доверительных интервалов .

Уровень надежности

Уровень доверия (этот термин более распространен в отечественной литературе, чем Уровень надежности ) — означает вероятность того, что доверительный интервал содержит истинное значение оцениваемого параметра распределения.

Уровень доверия равен 1-α, где α – уровень значимости .

Термин Уровень надежности имеет синонимы: уровень доверия, коэффициент доверия, доверительный уровень и доверительная вероятность (англ. Confidence Level , Confidence Coefficient ).

В математической статистике обычно используют значения уровня доверия 90%; 95%; 99%, реже 99,9% и т.д.

Например, Уровень доверия 95% означает, что событие, вероятность которого 1-0,95=5% исследователь считать маловероятным или невозможным. Разумеется, выбор уровня доверия полностью зависит от исследователя. Так, степень доверия авиапассажира к надежности самолета, несомненно, должна быть выше степени доверия покупателя к надежности электрической лампочки.

Примечание : Стоит отметить, что математически не корректно говорить, что Уровень доверия является вероятностью, того что оцениваемый параметр распределения принадлежит доверительному интервалу , вычисленному на основе выборки . Поскольку, считается, что в математической статистике отсутствуют априорные сведения о параметре распределения. Математически правильно говорить, что доверительный интервал , с вероятностью равной Уровню доверия, накроет истинное значение оцениваемого параметра распределения.

Уровень надежности в MS EXCEL

В MS EXCEL Уровень надежности упоминается в надстройке Пакет анализа . После вызова надстройки, в диалоговом окне необходимо выбрать инструмент Описательная статистика .

После нажатия кнопки ОК будет выведено другое диалоговое окно.

В этом окне задается Уровень надежности, т.е.значениевероятности в процентах. После нажатия кнопки ОК в выходном интервале выводится значение равное половине ширины доверительного интервала . Этот доверительный интервал используется для оценки среднего значения распределения, когда дисперсия не известна (подробнее см. статью про доверительный интервал ).

Необходимо учитывать, что данный доверительный интервал рассчитывается при условии, что выборка берется из нормального распределения . Но, на практике обычно принимается, что при достаточно большой выборке (n>30), доверительный интервал будет построен приблизительно правильно и для распределения, не являющегося нормальным (если при этом это распределение не будет иметь сильной асимметрии ).

Примечание : Понять, что в диалоговом окне речь идет именно об оценке среднего значения распределения , достаточно сложно. Хотя в английской версии диалогового окна это указано прямо: Confidence Level for Mean .

Если Уровень надежности задан 95%, то надстройка Пакет анализа использует следующую формулу (выводится не сама формула, а лишь ее результат):

или эквивалентную ей

где =СТАНДОТКЛОН.В(Выборка)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(Выборка)) – является стандартной ошибкой среднего (формулы приведены в файле примера ).

=ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(1-0,95; СТАНДОТКЛОН.В(Выборка); СЧЁТ(Выборка))

Решение задач описательной статистики средствами пакета анализа Microsoft Excel Текст научной статьи по специальности « Компьютерные и информационные науки»

CC BY

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Трущелёв Сергей Андреевич

Представлено определение описательной статистики , изложены методика вычисления основных ее показателей, а также пошаговая процедура статистического анализа. Сообщение содержит обучающий компонент.

Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — Трущелёв Сергей Андреевич

Descriptive statistics using the Data Analysis Toolpak in Microsoft Excel

The paper presents a definition of descriptive statistics , and its main indicators. The necessity of their calculation is set out step by step in the procedure of statistical analysis. The message is a training component with.

Текст научной работы на тему «Решение задач описательной статистики средствами пакета анализа Microsoft Excel»

МЕТОДОЛОГИЯ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Уважаемые читатели, коллеги!

В связи с возрастающими требованиями к качеству публикаций результатов научно-исследовательских работ в «Российском психиатрическом журнале» открыта новая рубрика «Методология научно-исследовательской деятельности». Планируется публикация обучающих и информационно-разъяснительных материалов по разным разделам науковедения, организации научной работы, биоинформатике, биостатистике, биоэтике и т.д. Приглашаем ученых и исследователей поделиться опытом в этой области. Надеемся, что наша инициатива будет поддержана не только в научном сообществе, но и воспринята в среде практикующих специалистов.

© С.А. Трущелёв, 2013 Для корреспонденции

УДК 311:004 Трущелёв Сергей Андреевич — кандидат медицинских наук,

доцент, ведущий научный сотрудник ФГБУ «Московский научно-исследовательский институт психиатрии Минздрава России»

Адрес: 107076, г. Москва, ул. Потешная, д. 3 Телефон: (495) 963-25-31 E-mail: sat-geo@mail.ru

Решение задач описательной статистики средствами пакета анализа Microsoft Excel

Descriptive statistics using the Data Analysis Toolpak in Microsoft Excel

The paper presents a definition of descriptive statistics, and its main indicators. The necessity of their calculation is set out step by step in the procedure of statistical analysis. The message is a training component with. Key words: science of science, biostatistics, descriptive statistics, data analysis toolpak, Excel

ФГБУ «Московский научно-исследовательский институт психиатрии Минздрава России»

Moscow Research Institute of Psychiatry

Представлено определение описательной статистики, изложены методика вычисления основных ее показателей, а также пошаговая процедура статистического анализа. Сообщение содержит обучающий компонент.

Ключевые слова: науковедение, биостатистика, описательная статистика, пакет анализа, Excel

Каждое явление (предмет исследования) определяется многими факторами. В научном исследовании полностью учесть все факторы и обеспечить их стабильность удается редко. Следовательно, явление, определяемое этими факторами, не поддается точному предсказанию — оно приобретает вероятностные черты, т.е. ведет себя случайным образом. Этому подвержены многие явления, поэтому они определяются случайной величиной, которая принимает в результате опыта или наблюдения одно из множества значений. Случайные величины могут быть дискретными (прерывными) и непрерывными. Немаловажно их распределение — правило, которое устанавливает связь между значениями случайной величины и вероятностями (частотами) их появления.

Наглядное представление о распределении случайных величин дает разброс песчинок, образующих кучу при высыпании (рассеивании) из некоторого точечного источника. Его проекция является параметром положения и соответствует математическому ожиданию распределения, если куча симметрична. Разброс песчинок (параметр рассеяния) характеризуется радиусом кучи на высоте примерно 2/3. Такой параметр рассеяния соответствует так называемому стандартному (среднеквадратичному) отклонению случайных величин в распределении. Горизонтальные расстояния песчинок от проекции источника (математического ожидания) моделируют рассеяние случайной величины. Поверхность кучи (ее высоты) соответствует частоте случайных величин на разных расстояниях от центра. Вершина кучи, расположенная под источником, отвечает максимуму частоты. На периферии высота кучи уменьшается до нуля, что соответствует уменьшению частот больших отклонений от центра рассеяния. Статистическая обработка совокупности данных состоит в некоторых осредняющих вычислительных процедурах, погашающих сугубо индивидуальные особенности — отклонения от общей закономерности и подчеркивающих типичные (популяцион-ные) свойства явления в целом. Начальный раздел математической статистики — описательная статистика — занимается характеристикой (описанием) картины случайного рассеяния по совокупности данных. В соответствии с законом распределения данных решаются вопросы выбора и вычислений надлежащих показателей. Описательная статистика включает методы организации, суммирования и описания данных. Дескриптивные (от англ. descriptive — описательный) показатели позволяют быстро обобщать данные. К описательным методам относят частотные распределения, меры централь-

ной тенденции и меры относительного положения [4, с. 95].

К основным показателям описательной статистики относятся среднее значение (среднее арифметическое, медиана, мода), усредненное значение, разброс (диапазон разброса данных), дисперсия, стандартное среднеквадратное отклонение (СКО), квартили, доверительный интервал [2, с. 28].

Статистическая обработка результатов исследований и получение показателей описательной статистики в недалеком прошлом обычно занимали много времени, однако с внедрением средств компьютерной техники многое изменилось — вычислительные процессы стали происходить очень быстро. Для проведения статистических расчетов в электронной таблице Microsoft Excel имеется пакет анализа. Надстройка «Анализ данных» располагается во вкладке «Данные», в крайне правом блоке ленты (рис. 1).

Для демонстрации вычислений будем использовать гипотетический набор данных. Далее приведем пошаговую инструкцию по созданию описательной статистики признака (показателя систолического давления), измеренного до лечения и после него, в группе наблюдения (n=60).

Для проведения вычисления обратитесь к ленте: Данные ^ Анализ данных ^ Описательная статистика ^ ОК. Затем, перейдя в окно инструмента, выберите входной интервал, группирование (по столбцам), поставьте галочку, если в первой строке выделены метки; в параметрах вывода на поле электронной страницы выберите ячейку вывода результатов, установите галочку рядом с итоговой статистикой. Потом нажмите кнопку ОК. После этого вы получите результаты описательной статистики выбранных признаков (рис. 2 и 3).

[й1 A «ï- V m И^ЭгшИ Главная Ш I» 1 Описательная статистика — Microsoft Excel □ 0 й Вставка Разметка страницы Формулы Данные Рецензирование Вид Разработчик Надстройки MetaXL Л □ S3

П внец m 1олучение jних данныхт ч [^Подключения ^Свойства Обновить все т && Изменить связи Подключения A I AIЯ I Я + Я 1А1 Я| Сортировка Со pi ч Ш ^ Очистить ^ Повторить Фильтр ™ № Дополнительно ировка и фильтр S Ii ы» вш а в Текст по Удалить ,—, столбцам дубликаты » Работа сданными Ф Фор» орма Jbi ssprfa ф ^ ^Анализданных Поиск решения Стр^И^ра Анализ

А в с D Е F G У 1 J К 1 L _

1 Номер_исс Признак_1 Признак_2 у

3 2 178 143 Анализ данным lia

Инструменты анализа У _ 1 о, 1

4 3 320 188 Двухфакторный дисперсионный^нализ без повторений Корреляция Л* 3 J d Отмена |

6 5 159 161 Экспоненциальное сглаживание Двухвыборочный Р-тест для дисперсии Анализ Фурье Гистограмма Скользящее среднее 1 Генерация случайных чисел_| Справка

Рис. 1. Пошаговый выбор инструмента анализа данных

Рис. 2. Окно инструмента описательной статистики

Среднее (арифметическое; М; х ) — одна из наиболее распространенных мер центральной тенденции, представляющая собой сумму всех значений, деленную на их количество. Если значения интересующего нас признака у большинства объектов близки к их среднему и с равной вероятностью отклоняются от него в большую или меньшую сторону, лучшими характеристиками совокупности будут само среднее значение и стандартное отклонение. Напротив, когда значения признака распределены несимметрично относительно среднего, совокупность лучше описать с помощью медианы и процен-тилей [1, с. 27].

Стандартная ошибка (т) — показатель надежности расчетного параметра; стандартное отклонение оценок, которые будут получены при многократной случайной выборке данного размера из одной и той же совокупности. Стандартная ошибка — это убывающая функция объема выборки: чем меньше стандартная ошибка, тем более достоверной является оценка параметра. Весьма часто для описания непрерывных количественных данных используют стандартную ошибку, которая (в отличие от СКО) является не характеристикой, описывающей распределение наблюдений исследуемой выборки по области значений, а только мерой точности оценки популяционного среднего и, следовательно, не характеризует дисперсию (разброс) в анализируемой выборке. Однако часто именно стандартную ошибку среднего приводят в качестве параметра описательной статистики, пытаясь продемонстрировать тем самым малую вариабельность своих данных, так как всегда (по определению) т Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

60 Среднее 161,77 Среднее 134,03

61 Стандартная ошибка 12,46 Стандартная ошибка 6.59

62 Медиана 167 Медиана 121,5

63 Мода 72 Мода 141

64 Стандартное отклонение 96.54 Стандартное отклонение 51,03

65 Дисперсия выборки 9320.59 Дисперсия выборки 2604.34

66 Эксцесс 0.89 Эксцесс 2.75

67 Асимметричность 0.96 Асимметричность 1,43

68 Интервал 420 Интервал 254

69 Минимум 50 Минимум 55

70 Максимум 470 Максимум 309

71 Сумма 9706 Сумма 8042

72 Счет 60 Счет 60

73 74 Уровень надежности(95.0%) 24.94 Уровень надежности(95.0%) 13,18

Коэффициент вариации 60% Коэффициент вариации 38%

Рис. 3. Результаты описательной статистики двух признаков

Медиану и интерквартильный размах рекомендуется применять для описания распределения, не являющегося нормальным (а это большинство распределений медико-биологических параметров) [1, с. 34]. Интерквартильный размах указывают в виде процентилей. Рекомендуется указывать уровни 25 и 75%, которые соответствуют верхней границе 1-го и нижней границе 4-го квартилей. Пример описания: Me (25%; 75%) = 60 (23; 78).

Мода (Мо) — значение, которое встречается наиболее часто во множестве. Иногда в совокупности встречается более одной моды. Тогда говорят, что совокупность мультимодальна — свидетельство того, что набор данных не подчиняется нормальному распределению. Мода как средняя величина употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Например, в группе пациентов наибольшая частота тяжести болезни будет равна моде. При экспертной оценке с помощью этого показателя определяют предпочтения участников исследования. Недостаток — показатель не учитывает поведение распределения в других точках.

Стандартное отклонение (синонимы: среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение; стандартный разброс; СКО; в; о) — в теории вероятностей и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Измеряется в единицах случайной величины. Равно корню квадратному из дисперсии случайной величины. Стандартное отклонение используют при расчете стандартной ошибки среднего арифметического, построении доверительных интервалов, статистической проверке гипотез, измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами. Большое значение СО показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения во множестве сгруппированы вокруг среднего. Если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратичного отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

Дисперсия (D; о2) — мера разброса случайной величины, т.е. ее отклонения от математического ожидания. Квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением. Дисперсия измеряется в квадратах единицы измерения. Однако в самостоятельном виде (как, например, средняя арифметическая) дисперсия используется редко. Это скорее вспомогательный и промежуточный показатель, который применяют в других методах статистического анализа.

Эксцесс — скалярная характеристика островершинности графика плотности вероятности унимо-

дального распределения, которую используют в качестве некоторой меры отклонения рассматриваемого распределения от нормального. Если коэффициент эксцесса равен нулю или близок к нему, то плотность вероятности распределения имеет нормальный эксцесс. Если коэффициент эксцесса сильно больше нуля, то плотность вероятности имеет положительный эксцесс. Это, как правило, соответствует тому, что график плотности рассматриваемого распределения в окрестности моды имеет более острую и более высокую вершину, чем нормальная кривая. Когда коэффициент эксцесса сильно больше нуля, говорят об отрицательном эксцессе плотности, при этом плотность вероятности имеет в окрестности моды более низкую и плоскую вершину, чем плотность нормального закона. Для генеральных совокупностей больших объемов его малыми значениями можно пренебречь.

Асимметричность (коэффициент асимметрии или скоса) — величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины. Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого, и отрицателен в альтернативном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.

Интервал — размах показателей, т.е. разность между максимумом и минимумом значений вариант.

Максимум — наибольшее значение вариант.

Минимум — наименьшее значение вариант.

Сумма — сумма значений вариант.

Счет — количество вариант.

Уровень надежности — свойство объекта сохранять в установленных пределах значения всех параметров. Показывает величину доверительного интервала для математического ожидания согласно заданному уровню надежности или доверия. По умолчанию уровень надежности принят равным 95%.

Коэффициент вариации случайной величины -мера относительного разброса случайной величины. Показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс. Исчисляется в процентах. Вычисляется только для количественных данных. В отличие от стандартного отклонения, он измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности. В Excel нет готовой функции для расчета коэффициента вариации. Расчет можно провести простым делением стандартного отклонения на среднее значение. Эти значения имеются в таблице описательной статистики. Для вычисления этого важного показателя в ячейке ниже надписи Уровень надежности пишем Коэффициент вариации, затем в ячейке справа делаем запись: =G64/G60. То же необходимо по-

вторить для вычисления коэффициента вариации для другого измерения.

Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейку с формулой можно обрамить процентным форматом. Нужная кнопка находится на панели инструментов в закладке «Главная». Коэффициент вариации, в отличие от других показателей разброса значений, используется как самостоятельный и весьма информативный индикатор вариации данных. В статистике принято считать, что совокупность данных является однородной, если коэффициент вариации менее 33%, неоднородной — если более 33%. Эта информация может быть полезна для предварительного описания данных и определения возможностей проведения дальнейшего анализа. Кроме того, коэффициент вариации, измеряемый в процентах, позволяет сравнивать степень разброса различных данных независимо от их масштаба и единиц измерений.

Анализ показателей описательной статистики

При сравнении значений среднего, медианы, моды в каждом измерении следует отметить, что эти показатели сильно отличаются друг от друга.

Коэффициенты эксцесса и асимметрии значимо отличаются от установленных границ, коэффициенты вариации больше критического (предельного) значения. Следовательно, распределение данных в обеих группах измерений отлично от нормального. В последующем необходимо применять непараметрические методы статистического анализа. Для быстрой сравнительной оценки можно использовать показатели доверительных интервалов.

Для представления результатов сравнения обычно используют формат в виде М (95% ДИ) — значение среднего и указание 95% доверительного интервала. В тексте публикации запись может выглядеть следующим образом: Средний уровень систолического давления в группе пациентов до лечения составил 161,77 мм рт. ст. (95% ДИ от 136,83 до 186,71 мм рт. ст.), после лечения -134,03 мм рт. ст. (95% ДИ от 120,85 до 147,21 мм рт. ст.). Указанные доверительные интервалы имеют зону совмещения, следовательно, существенного различия в изменении признака нет. Исходя из этого с большой долей вероятности можно утверждать, что для данной группы пациентов лекарственный препарат, примененный для снижения уровня систолического артериального давления, был не эффективен.

1. Гланц С. Медико-биологическая статистика / Пер. с англ. -М., Практика, 1998. — 459 с.

2. Ланг Т.А., Сесик М. Как описывать статистику в медицине. Аннотированное руководство для авторов, редакторов и рецензентов / Пер. с англ. под ред. В.П. Леонова. -М.: Практическая медицина, 2011. — 480 с.

3. Леонов В.П. Ошибки статистического анализа биомедицинских данных // Междунар. журн. мед. практики. — 2007. -№ 2. — С. 19-35.

4. Трущелев С.А. Медицинская диссертация: руководство: 3-е изд. / Под ред. проф. И.Н. Денисова. — М.: ГЭОТАР-Медиа, 2009. — 416 с.

Источник

Сводка

В этой статье описана функция ДОВЕРИТ в Microsoft Office Excel 2003 и Microsoft Office Excel 2007, а также сравнивает результаты функции для Excel 2003 и Excel 2007 с результатами функции ДОВЕРИТ в более ранних версиях Excel.

Значение доверительных интервалов часто неправильно интерпретировано, и мы стараемся предоставить объяснение допустимой и недопустимой выписки, которые могут быть сделаны после определения доверительного значения на основе данных.

Дополнительные сведения

Функция ДОВЕРИТ(альфа; сигма, n) возвращает значение, которое можно использовать для построения доверительный интервал для многая населения. Доверительный интервал — это диапазон значений, вы центр на основе известного значения выборки. Предполагается, что результаты наблюдений в выборке взяты из нормального распределения с известным стандартным отклонением, сигмой, а количество наблюдений в выборке — n.

Синтаксис

CONFIDENCE(alpha,sigma,n)

Параметры: альфа — вероятность и 0 < альфа < 1. Сигма — это положительное число, а n — положительное integer, соответствующее размеру выборки.

Обычно альфа — это небольшая вероятность, например 0,05.

Пример использования

Предположим, что оценки коэффициента аналитики следуют за обычным распределением со стандартным отклонением 15. Вы тестировали IQ-тест для 50 учащихся в вашем учебном замещаемом учебном замещаке и получили пример средней 105. Необходимо вычислить доверительный интервал в 95 % для математических вычислений. Доверительный интервал 95 % или 0,95 соответствует альфа = 1 – 0,95 = 0,05.

Чтобы проиллюстрировать функцию ДОВЕРИТ, создайте пустой Excel, скопируйте таблицу ниже и выберите ячейку A1 на Excel листе. В меню Правка выберите команду Вставить.

Примечание: В Excel 2007 нажмите кнопку Вировать в группе Буфер обмена на вкладке Главная.

Элементы в таблице ниже заполняют ячейки A1:B7 на вашем компьютере.

Альфа

0,05

Stdev

15

м

50

выборка «вехи»

105

=ДОВЕРИТ(B1;B2;B3)

=НОРМСИНВ(1 — B1/2)*B2/SQRT(B3)

После вжатия этой таблицы на новый Excel нажмите кнопку Параметры вжатия и выберите пункт Найти формат назначения.

Вы можете выбрать в меню Формат пункт Столбец, а затем выбрать пункт Авто подбор по столбцу.

Примечание: В Excel 2007 г. с выбранным диапазоном ячеек нажмите кнопку Формат в группе Ячейки на вкладке Главная, а затем выберите Авто ширина столбца.

Ячейка A6 отображает значение ДОВЕРИТ. Ячейка A7 имеет то же значение, так как звонок на значение ДОВЕРИТ(альфа; сигма, n) возвращает результат вычисления:

NORMSINV(1 – alpha/2) * sigma / SQRT(n)

Непосредственно в доверии не внося изменений, но в Microsoft Excel 2002 г. была улучшена норм.В.ВОСЬМ, а затем в Excel 2002 и Excel 2007 г. были внесены дополнительные улучшения. Поэтому в этих более поздних версиях стандарта ДОВЕРИТ могут возвращаться другие (и улучшенные Excel) результаты, так как доверит их на основе нормСИНВ.

Это не означает, что в более ранних версиях Excel доверие к доверию. Неточности в нормОЛИНВ обычно связаны со значениями аргумента, близкими к 0 или очень близко к 1. На практике альфа обычно имеет 0,05, 0,01 или, возможно, 0,001. Значения альфа-значения должны быть намного меньше, чем это, например 0,0000001, прежде чем ошибки округления в НОРМСИНВ, скорее всего, будут заметили.

Примечание: В этой статье на сайте НОРМ.В.ВН можно узнать о различиях в вычислениях в нормСИНХНОВ.

Для получения дополнительных сведений щелкните номер следующей статьи, чтобы просмотреть статью в базе знаний Майкрософт:

826772 Excel статистические функции: НОРМСИНВ

Интерпретация результатов проверки доверия

Файл Excel справки для confidence был перезаписан в Excel 2003 и Excel 2007, так как все более ранние версии файла справки вводили в заблуждение при интерпретации результатов. В примере говорится: «Предположим, что в нашем примере из 50 сотрудников в пути средняя продолжительность поездки на работу составляет 30 минут со стандартным отклонением в 2,5. Мы можем быть уверены в том, что значение «0,692951» находится в интервале 30 +/- 0,692951″, где значение 0,692951 — это значение, возвращаемого значением ДОВЕРИТ(0,05, 2,5, 50).

В этом же примере в заключение говорится, что средняя продолжительность поездки на работу равна 30 ± 0,692951 минуты или от 29,3 до 30,7 минуты. Это также утверждение о том, что численность населения находится в интервале [30 –0,692951, 30 + 0,692951] с вероятностью 0,95.

Перед проведением эксперимента, который дает данные в данном примере, статистический статистик (в отличие от байеса) не может делать никаких заявлений о распределении вероятности распределения по численности населения. Вместо этого статистический статистик в классической версии имеет дело с проверкой гипотез.

Например, классическому статистику может потребоваться провести двухбоговую проверку гипотезы на основе гипотезы на основе гипотезы о нормальном распределении с известным стандартным отклонением (например, 2,5), заранее выбранным значением μ0 и предопределенным уровнем значимости (например, 0,05). Результат проверки будет основан на значении наблюдаемого значения выборки (например, 30), а гипотеза null о том, что это μ0, будет отклонена на уровне значимости 0,05, если наблюдаемое значение имеет значение слишком далеко от μ0 в любом направлении. Если гипотеза NULL отклонена, то интерпретация состоит в том, что выборка означает, что выборка означает, что гораздо больше μ0 может возникнуть менее 5 % времени при позиции, что μ0 — это истинное подмногление численности населения. После проведения этого теста статистический статистик по-прежнему не может сделать никаких заявлений о распределении вероятностей для распределения по численности населения.

С другой стороны, байесский статистический статистик начинается с предполагается распределение вероятности для распределения по численности населения (априори), собирает экспериментальные признаки так же, как и статистический статистик, и использует его для изменения его распределения вероятности для многубного распределения по численности населения и тем самым получения задняя часть распределения. Excel не предусмотрены статистические функции, которые помогли бы байесам в этом случае. Excel статистические функции классической статистики.

Доверительный интервал связан с проверкой гипотез. Учитывая экспериментальные признаки, доверительный интервал делает краткое утверждение о значениях среднего среднего гипотезы μ0, которое позволит принять нулевую гипотезу о том, что это μ0, и значения μ0, которые подавят отклонение гипотезы null о том, что это значение имеет значение μ0. Статистический статистик не может сделать ни одного заявления о вероятности того, что оно попадает в определенный интервал, так как он никогда не делает предопределенные предположения относительно этого распределения вероятности, и такие предположения потребуются, если они будут использовать экспериментальные признаки для их изменения.

Изучение связи между проверками гипотез и доверитными интервалами с помощью примера в начале этого раздела. Связь между доверим и НОРМСИНХОV, которая была заверяема в последнем разделе, имеется:

CONFIDENCE(0.05, 2.5, 50) = NORMSINV(1 – 0.05/2) * 2.5 / SQRT(50) = 0.692951

Так как выборка имеет 30-е, доверительный интервал составляет 30 +/- 0,692951.

Теперь рассмотрим двухбудную проверку гипотезы с уровнем значимости 0,05, как описано выше, в котором предполагается нормальное распределение со стандартным отклонением 2,5, выборку размером 50 и определенным гипотезой о среднего распределения ( μ0). Если это истинное решение по численности населения, то выборка будет взята из нормального распределения со стандартным отклонением μ0 и стандартным отклонением 2,5/SQRT(50). Это распределение симметрично о μ0, и вы хотите отклонить гипотезу null, если abS(выборка μ0) > некого конечного значения. Конечное значение будет таким, что если μ0 — это истинное значение по численности населения, значение выборки — μ0 больше, чем это обрезка, или значение μ0 — выборочная величина выше, чем это обрезка будет возникать с вероятностью 0,05/2. Это вырезание

NORMSINV(1 – 0.05/2) * 2.5/SQRT(50) = CONFIDENCE(0.05, 2.5, 50) = 0. 692951

Отклонить нулевую гипотезу (о численности населения = μ0), если одно из следующих заявлений истинно:

выборка «mean» — μ0 > 0. 692951
0 — пример > 0. 692951

Так как в нашем примере примере выборка » = 30″, эти две выписки становятся следующими:

30 — μ0 > 0. 692951
μ0 –30 > 0. 692951

При переописи слева отображается только μ0, что приводит к следующим утверждениям:

μ0 < 30-0. 692951
μ0 > 30 + 0. 692951

Это точно те значения μ0, которые не находятся в доверительный интервал [30 – 0,692951, 30 + 0,692951]. Поэтому доверительный интервал [30 –0,692951, 30 + 0,692951] содержит значения μ0, где null-гипотеза о том, что это μ0, не будет отклонена с учетом примеров признаков. Для значений μ0 вне этого интервала гипотеза null о том, что это μ0, будет отклонена с учетом примеров признаков.

Выводы

Неточности в более ранних версиях Excel обычно возникают при очень небольших или очень больших значениях p в нормУРОВН(p). Доверит оценивается с помощью вызовов НОРМ.СТ.ВВ(p), поэтому точность НОРМСИНВ является потенциальной проблемой для пользователей ДОВЕРИТ. Однако значения p, которые используются на практике, вряд ли являются достаточно крайними, чтобы вызывать существенные ошибки округленного округления в нормУРОВН, и производительность доверит пользователям любой версии Excel.

В большинстве статей основное внимание уделялось анализу результатов проверки доверить. Другими словами, мы спросили: «В чем смысл доверительный интервал?» Доверительный интервал часто неправильно понимается. К сожалению, Excel этой теме были Excel справки во всех версиях Excel 2003. Улучшен Excel 2003.

Источник

Содержание

  1. Уровень значимости и уровень надежности в EXCEL
  2. Уровень надежности
  3. Уровень надежности в MS EXCEL
  4. Проверка статистических гипотез в EXCEL о равенстве среднего значения распределения (дисперсия известна)
  5. Z-тест
  6. Функция Z.ТЕСТ()

Уровень значимости и уровень надежности в EXCEL

history 23 ноября 2016 г.

Дадим определение терминам уровень надежности и уровень значимости. Покажем, как и где они используется в MS EXCEL .

СОВЕТ : Для понимания терминов Уровень значимости и Уровень надежности потребуется знание следующих понятий:

Уровень значимости статистического теста – это вероятность отклонить нулевую гипотезу , когда на самом деле она верна. Другими словами, это допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода (type I error).

Уровень значимости обычно обозначают греческой буквой α ( альфа ). Чаще всего для уровня значимости используют значения 0,001; 0,01; 0,05; 0,10.

Например, при построении доверительного интервала для оценки среднего значения распределения , его ширину рассчитывают таким образом, чтобы вероятность события « выборочное среднее (Х ср ) находится за пределами доверительного интервала » было равно уровню значимости . Реализация этого события считается маловероятным (практически невозможным) и служит основанием для отклонения нулевой гипотезы о равенстве среднего заданному значению .

Ошибка первого рода часто называется риском производителя. Это осознанный риск, на который идет производитель продукции, т.к. он определяет вероятность того, что годная продукция может быть забракована, хотя на самом деле она таковой не является. Величина ошибки первого рода задается перед проверкой гипотезы , таким образом, она контролируется исследователем напрямую и может быть задана в соответствии с условиями решаемой задачи.

Чрезмерное уменьшение уровня значимости α (т.е. вероятности ошибки первого рода ) может привести к увеличению вероятности ошибки второго рода , то есть вероятности принять нулевую гипотезу , когда на самом деле она не верна. Подробнее об ошибке второго рода см. статью Ошибка второго рода и Кривая оперативной характеристики .

Уровень значимости обычно указывается в аргументах обратных функций MS EXCEL для вычисления квантилей соответствующего распределения: НОРМ.СТ.ОБР() , ХИ2.ОБР() , СТЬЮДЕНТ.ОБР() и др. Примеры использования этих функций приведены в статьях про проверку гипотез и про построение доверительных интервалов .

Уровень надежности

Уровень доверия (этот термин более распространен в отечественной литературе, чем Уровень надежности ) — означает вероятность того, что доверительный интервал содержит истинное значение оцениваемого параметра распределения.

Уровень доверия равен 1-α, где α – уровень значимости .

Термин Уровень надежности имеет синонимы: уровень доверия, коэффициент доверия, доверительный уровень и доверительная вероятность (англ. Confidence Level , Confidence Coefficient ).

В математической статистике обычно используют значения уровня доверия 90%; 95%; 99%, реже 99,9% и т.д.

Например, Уровень доверия 95% означает, что событие, вероятность которого 1-0,95=5% исследователь считать маловероятным или невозможным. Разумеется, выбор уровня доверия полностью зависит от исследователя. Так, степень доверия авиапассажира к надежности самолета, несомненно, должна быть выше степени доверия покупателя к надежности электрической лампочки.

Примечание : Стоит отметить, что математически не корректно говорить, что Уровень доверия является вероятностью, того что оцениваемый параметр распределения принадлежит доверительному интервалу , вычисленному на основе выборки . Поскольку, считается, что в математической статистике отсутствуют априорные сведения о параметре распределения. Математически правильно говорить, что доверительный интервал , с вероятностью равной Уровню доверия, накроет истинное значение оцениваемого параметра распределения.

Уровень надежности в MS EXCEL

В MS EXCEL Уровень надежности упоминается в надстройке Пакет анализа . После вызова надстройки, в диалоговом окне необходимо выбрать инструмент Описательная статистика .

После нажатия кнопки ОК будет выведено другое диалоговое окно.

В этом окне задается Уровень надежности, т.е.значениевероятности в процентах. После нажатия кнопки ОК в выходном интервале выводится значение равное половине ширины доверительного интервала . Этот доверительный интервал используется для оценки среднего значения распределения, когда дисперсия не известна (подробнее см. статью про доверительный интервал ).

Необходимо учитывать, что данный доверительный интервал рассчитывается при условии, что выборка берется из нормального распределения . Но, на практике обычно принимается, что при достаточно большой выборке (n>30), доверительный интервал будет построен приблизительно правильно и для распределения, не являющегося нормальным (если при этом это распределение не будет иметь сильной асимметрии ).

Примечание : Понять, что в диалоговом окне речь идет именно об оценке среднего значения распределения , достаточно сложно. Хотя в английской версии диалогового окна это указано прямо: Confidence Level for Mean .

Если Уровень надежности задан 95%, то надстройка Пакет анализа использует следующую формулу (выводится не сама формула, а лишь ее результат):

или эквивалентную ей

где =СТАНДОТКЛОН.В(Выборка)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(Выборка)) – является стандартной ошибкой среднего (формулы приведены в файле примера ).

=ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(1-0,95; СТАНДОТКЛОН.В(Выборка); СЧЁТ(Выборка))

Источник

Проверка статистических гипотез в EXCEL о равенстве среднего значения распределения (дисперсия известна)

history 27 ноября 2016 г.

Рассмотрим использование MS EXCEL при проверке статистических гипотез о среднем значении распределения в случае известной дисперсии. Вычислим тестовую статистику Z 0 , рассмотрим процедуру «одновыборочный z-тест», вычислим Р-значение (Р- value ).

Проверка гипотез (Hypothesis testing) тесно связана с построением доверительных интервалов . При первом знакомстве с процедурой проверки гипотез рекомендуется начать с изучения построения соответствующего доверительного интервала .

СОВЕТ : Для проверки гипотез нам потребуется знание следующих понятий:

Формулировка задачи. Из генеральной совокупности имеющей нормальное распределение с неизвестным μ и известной дисперсией σ 2 взята выборка размера n. Необходимо проверить статистическую гипотезу о равенстве неизвестного μ заданному значению μ 0 (англ. Inference on the mean of a population, variance known).

Примечание : Требование о нормальности исходного распределения, из которого берется выборка , не является строгим. Н 0 , необходимо, чтобы были выполнены условия применения Центральной предельной теоремы .

Статистическая гипотеза – это некое утверждение о неизвестных параметрах распределения. Процедура проверки гипотез зависит от оцениваемого параметра распределения и условий задачи. Сначала рассмотрим общий подход при проверке гипотез , затем рассмотрим конкретный пример.

Обычно формулируют 2 гипотезы: нулевую Н 0 и альтернативную Н 1 . В нашем случае нулевой гипотезой будет равенство μ и μ 0 , а альтернативной гипотезой – их отличие. Нулевая гипотеза отвергается только в том случае, если на это достаточно оснований. В этом случае принимается альтернативная гипотеза .

Чтобы понять, достаточно ли у нас оснований для отклонения нулевой гипотезы , из распределения делают выборка.

Сначала проведем проверку гипотезы , используя доверительный интервал , а затем с помощью вышеуказанной процедуры z-тест . В конце вычислим Р-значение и также используем его для проверки гипотезы .

Итак, нулевая гипотеза Н 0 утверждает, что неизвестное среднее значение распределения μ равно μ 0 . Соответствующая альтернативная гипотеза Н 1 утверждает обратное: μ не равно μ 0 . Это пример двусторонней проверки , т.к. неизвестное значение может быть как больше, так и меньше μ 0 .

Если упрощенно, то проверка гипотезы заключается в сравнении 2-х величин: вычисленного на основании выборки среднего значения Х ср и заданного μ 0 . Если эти значения «отличаются больше, чем можно было бы ожидать исходя из случайности», то нулевую гипотезу отклоняют.

Поясним фразу «отличаются больше, чем можно было бы ожидать исходя из случайности». Для этого, вспомним, что распределение Выборочного среднего (статистика Х ср ) стремится к нормальному распределению со средним значением μ и стандартным отклонением равным σ/√n, где σ – стандартное отклонение распределения , из которого берется выборка (не обязательно нормальное ), а n – объем выборки (подробнее см. статью про ЦПТ ). В нашем случае стандартное отклонение σ известно.

В задачах проверки гипотез также задается уровень доверия (вероятность), который определяет порог между утверждением «мало вероятно» и «вполне вероятно» или «может быть обусловлено случайностью» и «не может быть обусловлено случайностью». Обычно используют значения уровня доверия 90%; 95%; 99%, реже 99,9% и т.д.

Примечание : Уровень доверия равен (1-α) , где α – уровень значимости . И наоборот, α=( 1-уровень доверия ) .

Таким образом, знание распределения статистики Х ср и заданного уровня доверия , позволяют нам формализовать с помощью математических выражений фразу «отличаются больше, чем можно было бы ожидать исходя из случайности». В этом нам поможет доверительный интервал (как строится доверительный интервал нам известно из этой статьи ).

Если среднее выборки попадает в доверительный интервал, построенный относительно μ 0 , то для отклонения нулевой гипотезы оснований нет.

Для визуализации процедуры проверки гипотез в файле примера на листе Сигма известна создана диаграмма .

Если μ 0 не попадает в доверительный интервал, то нулевая гипотеза отклоняется.

Теперь рассмотрим проверку гипотез с помощью процедуры z -тест .

Z-тест

Кроме доверительного интервала для проверки гипотез существует также и другой эквивалентный подход — z -тест:

  • На основе выборки вычисляют тестовую статистику . Выбор тестовой статистики делают в зависимости от оцениваемого параметра распределения и условий задачи. В нашем случае тестовой статистикой является случайная величина z= , где – среднее выборки (обозначим Х ср ). Значение, которое приняла z-статистика , обычно обозначают Z 0 ;
  • z-статистика , как и любая другая случайная величина, имеет свое распределение. В процедуре проверки гипотез это распределение называют « эталонным распределением », англ. Reference distribution. В нашем случае тестовая статистика имеет стандартное нормальное распределение ;
  • Также исследователь устанавливает требуемый уровень значимости – это допустимая для данной задачи ошибка первого рода , т.е. вероятность отклонить нулевую гипотезу , когда она верна ( уровень значимости обозначают буквой α и чаще всего выбирают равным 0,1; 0,05 или 0,01);
  • С помощью эталонного распределения для заданного уровня значимости вычисляют соответствующие квантили этого распределения . В нашем случае, при проверке двухсторонней гипотезы , необходимо будет вычислить верхний α/2-квантиль стандартногонормального распределения, т.е. такое значение случайной величины z, что P(z>=Z α/2 )=α/2 ;
  • И наконец, значение тестовой статистики Z 0 сравнивают с вычисленными на предыдущем шаге квантилями и делают статистический вывод : Имеются ли основания, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу ? В нашем случае проверки двусторонней гипотезы, Н 0 отвергается если: |Z 0 |>Z α/2 .

Примечание : Подробнее про квантили распределения можно прочитать в статье Квантили распределений MS EXCEL .

В MS EXCEL верхний α /2-квантиль стандартного нормального распределения вычисляется по формуле =НОРМ.СТ.ОБР(1-α/2)

Учитывая симметричность стандартного нормального распределения относительно оси ординат, верхний α /2-квантиль равен обычному α /2-квантилю со знаком минус: =-НОРМ.СТ.ОБР(α/2)

Примечание : Еще раз подчеркнем связь процедуры z -теста с построением доверительного интервала . Т.к. z -статистика распределена по стандартному нормальному закону, то можно ожидать, что 1-α значений z -статистики будет попадать в интервал между -Z α/2 и Z α/2 . Например, для уровня доверия 95% в интервал между -1,960 и 1,960 будет попадать примерно 95% значений Z 0 , вычисленных на основе выборки . Если Z 0 не попало в указанный интервал, то это считается маловероятным событием и нулевая гипотеза отвергается.

В случае односторонней гипотезы речь идет об отклонении μ только в одну сторону: либо больше либо меньше μ 0 . Если альтернативная гипотеза звучит как μ>μ 0 , то гипотеза Н 0 отвергается в случае Z 0 > Z α . Если альтернативная гипотеза звучит как μ μ 0 .

Напомним, что если Н 1 утверждает, что μ>μ 0 , то односторонняя гипотеза Н 0 отвергается в случае если Z 0 > Z α . Эти значения z -статистики имеют размерность анализируемой случайной величины, но их трудно интерпретировать. Преобразуем неравенство Z 0 > Z α так, чтобы его можно было проще интерпретировать.

Напомним, что Z α – это положительная величина и она равна верхнему α -квантилю стандартного нормального распределения (такому значению случайной величины z, что P(z>=Z α )=α). Неравенство Z 0 > Z α означает, что если Z 0 , вычисленное на основе выборки , будет слишком велико, т.е. больше Z α , то эта ситуация считается маловероятным событием и появляется основание для отклонения нулевой гипотезы .

Поэтому, логично вычислить вероятность события, что z -статистика примет значение z>=Z 0 и сравнить ее с вероятностью, что z=>Z α . Вероятность события z=>Z α (по определению верхнего квантиля ) – это просто α. Вероятность события, что z -статистика примет значение z>=Z 0 равна 1-Ф(Z 0 ), где Ф(z) – интегральная функция стандартного нормального распределения . В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле =1-НОРМ.СТ.РАСП(Z 0 ;ИСТИНА)

Примечание : В MS EXCEL для вычисления p-значения имеется специальная функция Z.TEСT() , которая эквивалентна выражению =1-НОРМ.СТ.РАСП(Z 0 ;ИСТИНА) . Про функцию Z.TEСT() см. ниже .

Таким образом, неравенство Z 0 > Z α эквивалентно неравенству P(z>= Z 0 ) СОВЕТ : Лучше понять вышесказанное помогут графики функции стандартного нормального распределения из статьи Квантили распределений MS EXCEL .

Теперь, если p-значение меньше чем заданный уровень значимости α , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза . И наоборот, если p-значение больше α, то нулевая гипотеза не отвергается. Другими словами, если p-значение меньше уровня значимости α, то это свидетельство того, что значение z -статистики , вычисленное на основе выборки при условии истинности нулевой гипотезы , приняло маловероятное значение Z 0 .

Для другой односторонней гипотезы (μ =НОРМ.СТ.РАСП(Z 0 ;ИСТИНА) . Соответственно, p-значение для односторонней гипотезы μ =1-Z.TEСT( выборка ; μ 0 ; σ) , где выборка – ссылка на диапазон, содержащий значения выборки .

В случае двусторонней гипотезы, p -значение вычисляется по формуле =2*(1-Ф(|Z 0 |)).

В качестве примера проверим гипотезу Н 0 : μ=μ 0 , при этом альтернативная односторонняя гипотеза Н 1 : μ Z 0 =(1,851-2,3)/(2/КОРЕНЬ(60))=-1,739 p-значение =НОРМ.СТ.РАСП(-1,739;ИСТИНА)=0,04 Нулевая гипотеза отклоняется, т.к. 0,04 файле примера : во всех случаях, когда z-тест дает заключение о необходимости отклонить нулевую гипотезу , Х ср не попадает в соответствующий доверительный интервал, а p -значение меньше уровня значимости.

Функция Z.ТЕСТ()

MS EXCEL для процедуры z-тест существует специальная функция Z.ТЕСТ() , которая на самом деле вычисляет p-значение в случае односторонней альтернативной гипотезы μ >μ 0 : =Z.TEСT( выборка ; μ 0 ; σ) , где выборка – ссылка на диапазон, содержащий n значений выборки, σ – известное стандартное отклонение распределения, из которого делается выборка .

Функция Z.ТЕСТ() эквивалентна формуле =1- НОРМ.СТ.РАСП((СРЗНАЧ( выборка )- μ 0 ) / (σ/√n);ИСТИНА)

Выражение (СРЗНАЧ( выборка )- μ 0 ) / (σ/√n) – это значение тестовой статистики , т.е. Z 0 .

Эту же функцию можно использовать для вычисления p -значения в случае проверки двусторонней гипотезы , записав формулу: =2 * МИН(Z.TEСT( выборка ; μ 0 ; σ); 1 — Z.TEСT( выборка ; μ 0 ; σ)

Для вычисления p -значения в случае односторонней альтернативной гипотезы μ =1-Z.TEСT( выборка ; μ 0 ; σ)

σ — третий аргумент функции Z.ТЕСТ() должен быть всегда указан, т.к. это соответствует вышерассмотренной процедуре z-теста .

Источник

Источник

Microsoft
Excel содержит большое число встроенных
функций категории Статистические,
а также
специализированные информационные
технологии статистического анализа,
реализуемые Пакетом анализа. «Пакет
анализа» – надстройка
Microsoft Excel, устанавливаемая с помощью
команды меню СервисНадстройка.

 После
установки
надстройки
Пакет
анализа в меню команды Сервис
появляется
новый пункт – Анализ
данных.

Для
анализа наиболее часто используется
описательная статистика данных,
статистические методы прогнозирования
значений.

Описательная статистика

Это самый
распространенный прием анализа данных,
с помощью которого вычисляются
статистические характеристики массива
значений экономических показателей:

  • Средние
    оценки, имеют ту же размерность, что и
    сама случайная величина, в том числе:

  • Средняя
    арифметическая – математическое
    ожидание случайной величины, соответствует
    встроенной функции СРЗНАЧ.

  • Средняя
    геометрическая – оценка средних темпов
    роста, поиск значения, равноудаленного
    от других значений, соответствует
    встроенной функции СРГЕОМ.

  • Средняя
    гармоническая – оценка средней суммы
    обратных величин, соответствует
    встроенной функции СРГАРМ.

Между средними
величинами существует соотношение:

  • Показатели
    вариации:

  • Общее
    число значений в массиве, соответствует
    встроенной функции СЧЕТ.

  • Сумма
    всех значений переменных в массиве,
    соответствует встроенной функции СУММ.

  • Дисперсия
    случайной величины, соответствует
    встроенной функции ДИСП
    (дисперсия по выборке) или ДИСПР
    (дисперсия
    по генеральной совокупности). Дисперсия
    имеет размерность в квадрате, характеризует
    рассеивание значений случайной величины
    относительно средней арифметической.

  • Стандартное
    отклонение, соответствует встроенной
    функции СТАНДОТКЛОН
    (стандартное
    отклонение по выборке), СТАНДОТКЛОНП
    (стандартное
    отклонение по генеральной совокупности).
    Стандартное отклонение имеет ту же
    размерность, что и случайная величина.

  • Средний
    модуль отклонений, который нивелирует
    знак отклонения от среднего и является
    показателем силы вариации, соответствует
    встроенной функции СРОТКЛ.

  • Уровень
    надежности (доверительный интервал)
    для среднего значения, соответствует
    встроенной функции ДОВЕРИТ.

  • Средняя
    квадратическая ошибка, вычисляется
    как отношение СТАНДОТКЛОН
    к корню квадратному из числа элементов
    выборки.

  • Минимальное
    значение случайной величины, соответствует
    встроенной функции МИН.

  • Максимальное
    значение случайной величины, соответствует
    встроенной функции МАКС.

  • Интервал
    – размах вариации, равный разности
    максимального и минимального значения
    переменной (МАКС–МИН).

  • Порядковое
    наибольшее значений, соответствует
    встроенной функции НАИБОЛЬШИЙ.

  • Порядковое
    наименьшее значение соответствует
    встроенной функции – функция НАИМЕНЬШИЙ.

  • Мера
    взаимного расположения данных в массиве
    значений, соответствует встроенным
    функциям: МОДА, КВАРТИЛЬ, МЕДИАНА,
    ПЕРСЕНТИЛЬ, ПРОЦЕНТРАНГ.

 Мода
– наиболее
вероятное значение случайной величины.
При симметричном распределении
относительно среднего мода совпадает
с математическим ожиданием. Мода может
отсутствовать, либо распределение может
быть многомодальным.

Квантили распределения
— величина
значения признака, делящая совокупность
на n равных
частей. Различают номера квантилей: 0 –
соответствует минимальному значению
величины; 1 — первая четверть (квартиль)
значений или (25-я персентиль; 2 – медиана
или 50-я персентиль; 3 — третья четверть
(квартиль) или 75-я персентиль; 4 –
максимальное значение величины.

  • Форма
    распределения случайной величины,
    соответствует встроенным функциям
    СКОС,
    ЭКСЦЕСС.

 Асимметрия
(скос) – безразмерная величина,
характеристика асимметричности случайной
величины
относительно ее математического
ожидания. Эксцесс
– безразмерный
коэффициент, характеристика формы
(островершинности или плосковершинности)
кривой распределения вероятности.
Эксцесс равен нулю для нормального
распределения, положителен для
островершинных и отрицателен для
плосковершинных кривых.

Пакет
анализа запускается командой меню
СервисАнализ
данных. В
диалоговом
окне Инструменты
анализа выбирается
Описательная
статистика. Исходные
данные для анализа располагаются в
ячейках строк или столбцов таблицы.

Описательная
статистика Пакета
анализа
вычисляет показатели:

  1. Среднее

  1. Стандартная
    ошибка

  1. Медиана

  1. Мода

  1. Стандартное
    отклонение

  1. Дисперсия
    выборки

  1. Эксцесс

  1. Асимметричность

  1. Интервал

  1. Минимум

  1. Максимум

  1. Сумма

  1. Счет

  1. K–й
    наибольший

  1. K–й
    наименьший

  1. Уровень
    надежности

Результаты
описательной статистики выводятся в
указанное место (текущий лист, другой
лист, новая книга).

Последовательность
действий (исходные данные для анализа
представлены на рабочем листе):

  1. Команда
    меню СервисАнализ
    данных, выбрать
    метод Описательная
    статистика.

  2. Указать
    параметры описательной статистики
    (рис. 16):

  • Входной
    интервал – блок ячеек, содержащий
    анализируемые значения. Можно одновременно
    выделить смежные столбцы исходных
    данных.

Рисунок
16

  • Группирование
    – по столбцам/строкам.

  • Флажок
    Метки в первой строке выбран/не выбран.

  • Выходной
    интервал – Новый рабочий лист/Новая
    книга/Определенная ячейка текущего
    листа.

  • Флажок
    Итоговая статистика – выбран/не выбран
    (выбор флажка обеспечивает вывод всей
    описательной статистики).

  • Уровень
    надежности – 95% (стандартно, но можно
    любой).

  • K-й
    наименьший – 2 (произвольно).

  • K-й
    наибольший – 2 (произвольно).

  • Нажать
    кнопку ОК.

Результаты
описательной статистики – табл. 14.

Таблица
14

Показатель

Массив
1

Массив
2

Среднее

13591,92

9564,75

Стандартная
ошибка

116,0136

127,61271

Медиана

13821

9547,5

Мода

#Н/Д

9540

Стандартное
отклонение

696,0820303

765,6762604

Дисперсия
выборки

484530,1929

586260,1357

Эксцесс

-0,341929136

-0,809054

Асимметричность

-0,823444644

0,016596

Интервал

2441

2587

Минимум

12054

8375

Максимум

14495

10962

Сумма

489309

344331

Счет

36

36

Наибольший(2)

14480

10932

Наименьший(2)

12063

8377

Уровень
надежности
(95,0%)

235,52

259,07
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Функция удаления символа excel
  • Функция уник в excel с какой версии
  • Функция удаления пробела в excel
  • Функция удаления лишних пробелов в excel
  • Функция удаления дубликатов в excel