Функция стьюдрасп в excel

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции СТЬЮДРАСП в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает процентные точки (вероятность) для t-распределения Стьюдента, где числовое значение (x) — вычисляемое значение t, для которого должны быть вычислены вероятности. T-распределение используется для проверки гипотез при малом объеме выборки. Данную функцию можно использовать вместо таблицы критических значений t-распределения.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.

Дополнительные сведения о новых функциях см. в разделах Функция СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х и Функция СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ.

Синтаксис

СТЬЮДРАСП(x;степени_свободы;хвосты)

Аргументы функции СТЬЮДРАСП описаны ниже.

• X     Обязательный. Числовое значение, для которого требуется вычислить распределение.

• Степени_свободы     Обязательный. Целое, указывающее число степеней свободы.

• Хвосты     Обязательный. Определяет количество возвращаемых хвостов распределения. Если значение «хвосты» = 1, функция СТЬЮДРАСП возвращает одностороннее распределение. Если значение «хвосты» = 2, функция СТЬЮДРАСП возвращает двустороннее распределение.

Замечания

• Если какой-либо из аргументов не является числом, то ДДИСТ возвращает #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если Deg_freedom < 1, то ДДИСТ возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Аргументы «степени_свободы» и «хвосты» усекаются до целых значений.

• Если значение «хвосты» является любым значением, кроме 1 или 2, возвращается значение #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если x < 0, то ДДИСТ возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если значение аргумента «хвосты» = 1, функция СТЬЮДРАСП вычисляется как СТЬЮДРАСП = P(X > x), где X — случайная переменная, соответствующая t-распределению. Если значение аргумента «хвосты» = 2, функция СТЬЮДРАСП вычисляется как СТЬЮДРАСП = P(|X| > x) = P(X > x или X < -x).

• Поскольку значения x < 0 не поддерживаются, то, используя функцию СТЬЮДРАСП при x < 0, следует помнить, что СТЬЮДРАСП(-x,df,1) = 1 – СТЬЮДРАСП(x,df,1) = P(X > -x), а СТЬЮДРАСП(-x,df,2) = СТЬЮДРАСП(x df,2) = P(|X| > x).

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные	Описание
1,959999998	Значение, для которого вычисляется распределение
60	Степени свободы
Формула	Описание (результат)	Результат
=СТЬЮДРАСП(A2;A3;2)	Двустороннее распределение (0,054644930 или 5,46 процента)	5,46%
=СТЬЮДРАСП(A2;A3;1)	Одностороннее распределение (0,027322465 или 2,73 процента)	2,73%

К началу страницы

Функция СТЬЮДРАСП устаревшая с 2010-й версии Excel, оставлена для обратной совместимости с 2007 и более ранними версиями, рекомендуется воспользоваться функциями СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х и СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ.

Описание функции

Возвращает процентные точки (вероятность) для t-распределения Стьюдента, где числовое значение (x) — вычисляемое значение t, для которого должны быть вычислены вероятности. T-распределение используется для проверки гипотез при малом объеме выборки. Данную функцию можно использовать вместо таблицы критических значений t-распределения.

Синтаксис

=СТЬЮДРАСП(x; степени_свободы; хвосты)

Аргументы

Замечания

• Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция СТЬЮДРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
• Если значение «степени_свободы» < 1, функция СТЬЮДРАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
• Аргументы «степени_свободы» и «хвосты» усекаются до целых значений.
• Если аргумент «хвосты» имеет любое значение, отличное от 1 и 2, функция СТЬЮДРАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
  Если x < 0, то функция СТЬЮДРАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
• Если значение аргумента «хвосты» = 1, функция СТЬЮДРАСП вычисляется как СТЬЮДРАСП = P(X > x), где X — случайная переменная, соответствующая t-распределению. Если значение аргумента «хвосты» = 2, функция СТЬЮДРАСП вычисляется как СТЬЮДРАСП = P(|X| > x) = P(X > x или X < -x).
• Поскольку значения x < 0 не поддерживаются, то, используя функцию СТЬЮДРАСП при x < 0, следует помнить, что СТЬЮДРАСП(-x,df,1) = 1 – СТЬЮДРАСП(x,df,1) = P(X > -x), а СТЬЮДРАСП(-x,df,2) = СТЬЮДРАСП(x df,2) = P(|X| > x).

Пример

Рассмотрим Распределение Стьюдента (t-распределение). С помощью функции MS EXCEL

СТЬЮДЕНТ.РАСП()

построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.

Распределение Стьюдента

(также называется

t

-распределением

) применяется в различных методах математической статистики:

• при построении

  доверительных интервалов для среднего

  (используется функция
  
  ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ()
  
  );

• для

  оценки различия двух выборочных средних

  (используется функция
  
  СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ()
  
  );

• при

  проверке гипотез (выборка небольшого размера, стандартное отклонение не известно)

  ,

• в линейном регрессионном анализе (при проверке гипотез на значимость отдельных регрессионных коэффициентов).

Определение

: Если случайная величина Z распределена по

стандартному нормальному закону

N(0;1) и случайная величина U имеет

распределение ХИ-квадрат

с ν степенями свободы, то случайная величина T=Z/√(U/v) имеет

t-распределение

.

Плотность распределения

Стьюдента

выражается формулой:

при −∞ < t < ∞

СОВЕТ

: Подробнее о

Функции распределения

и

Плотности вероятности

см. статью

Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL

.

Распределение

Стьюдента

(англ.

Student

’

s

t

—

distribution

)

зависит от одного параметра, который называется

степенью свободы

(

df

,

degrees

of

freedom

). Например, при

построении доверительного интервала для среднего

число степеней свободы

равно df=n-1, где n – размер

выборки

. При увеличении

числа степеней свободы

это распределение стремится к

стандартному нормальному распределению

.

В центральной части распределения (около 0) при df=25, относительная разница со

стандартным нормальным распределением

составляет порядка 1%, а при df=100 разница составляет 0,25%.

По аналогии со

стандартным нормальным распределением

,

t

-распределение

часто называется «стандартизированным», т.к. у него нет параметра отвечающего за положение (

среднее

всегда равно 0).

Дисперсию

t

-распределения

можно вычислить по формуле =df/(df-2)

Графики функций

В

файле примера на листе График

приведены

графики плотности распределения

вероятности и

интегральной функции распределения

.

График

плотности распределения Стьюдента

, как и

стандартного

нормального распределения

, является симметричным и колоколообразным, но с более тяжелыми хвостами.

Ниже для сравнения приведены графики

плотности стандартного нормального распределения

и

распределения Стьюдента.

Примечание

: Для построения

функции распределения

и

плотности вероятности

можно использовать диаграмму типа

График

или

Точечная

(со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью

Основные типы диаграмм

.

t-распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для

t-распределения

имеется функция

СТЬЮДЕНТ.РАСП()

, английское название — T.DIST(), которая позволяет вычислить

плотность вероятности

(см. формулу выше) и

интегральную функцию распределения

(вероятность, что случайная величина Х, имеющая

распределение Стьюдента

, примет значение меньше или равное х, P(X <= x)).

Примечание

: В

файле примера на листе Функции

приведены основные функции MS EXCEL, связанные с этим распределением.

Кроме этой функции в MS EXCEL имеется еще довольно много других функций, относящихся к данному распределению, но по большому счету их функционал покрывается функцией

СТЬЮДЕНТ.РАСП()

.

Кроме того,

СТЬЮДЕНТ.РАСП()

является единственной функцией, которая возвращает

плотность вероятности

(третий аргумент должен быть равным ЛОЖЬ). Остальные функции возвращают

интегральную функцию распределения

, т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение из указанного диапазона: P(X <= x), P(X > x) или даже P(|X| > x).

Очевидно, что справедливо равенство

=СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(x;n)+СТЬЮДЕНТ.РАСП(x;n;ИСТИНА)=1

т.к. первое слагаемое вычисляет вероятность P(X > x), а второе P(X <= x).

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция

СТЬЮДРАСП()

, которая позволяет вычислить

функцию распределения

(точнее — правостороннюю вероятность, т.е. P(X>x)) и объединяет возможности нескольких новых функций MS EXCEL 2010:

СТЬЮДЕНТ.РАСП(x; n; ЛОЖЬ)

,

СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ()

,

СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х()

. Функция

СТЬЮДРАСП()

оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

• Если значение аргумента «хвосты» = 1, функция
  
  СТЬЮДРАСП()
  
  вычисляет правостороннюю вероятность P(X > x), где X — случайная переменная, соответствующая t-распределению. Под термином «хвост» подразумевается «хвост» распределения, в данном случае правый. На графике
  
  плотности вероятности
  
  этому «хвосту» будет соответствовать площадь фигуры под графиком (выделена синим), которая ограничена слева вертикальной линией X = x.

• Если значение аргумента «хвосты» = 2, функция
  
  СТЬЮДРАСП()
  
  вычисляет вероятность P(|X| > x) или другими словами P(X > x или X < -x). Т.е. формула
  
  =СТЬЮДРАСП(x;n;2)
  
  эквивалентна
  
  =СТЬЮДРАСП(x;n;1)*2
  
• Функцией
  
  СТЬЮДРАСП()
  
  значения x < 0 не поддерживаются и нельзя записать
  
  СТЬЮДРАСП(-x;n;1)
  
  . Чтобы вычислить вероятность P(X <= x), в том числе и для отрицательных х, используйте формулу
  
  =ЕСЛИ(x>0;СТЬЮДРАСП(x;n;1);1-СТЬЮДРАСП(-x;n;1))
  
  .

Примеры

Найдем вероятность, что случайная величина Х примет значение меньше или равное заданного

x

: P(X <=

x

). Это можно сделать несколькими функциями:

• 
  =СТЬЮДЕНТ.РАСП(x; n; ИСТИНА)
  
  или
  
  =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(-x; n; ИСТИНА)
  
  , используется свойство симметричности плотности распределения относительно оси Х.
• 
  =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(x;n)
  
  или
  
  =СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(-x;n)
  
  , функция
  
  СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ()
  
  возвращает вероятность P(X > x), так называемую правостороннюю вероятность, поэтому, чтобы найти P(X <= x), необходимо вычесть ее результат от 1 или воспользоваться свойством t-распределения t(-х)=1-t(x).
• 
  =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х(x;n)/2
  
  или
  
  =1-СТЬЮДРАСП(x;n;2)/2
  
  , в этой формуле
  
  х
  
  может принимать только положительные значения (подробнее об этой функции см. ниже);
• 
  =1-СТЬЮДРАСП(x; n; 1)
  
  , в этой формуле
  
  х
  
  может принимать только положительные значения, функция
  
  СТЬЮДРАСП()
  
  , как и
  
  СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ()
  
  , возвращает «правостороннюю вероятность», т.е. P(X > x).

Аналогичные вычисления для P(X > x) и P(|X| > x) приведены в

файле примера на листе Функции

, в том числе и для x<0.

Обратная функция t-распределения

Обратная функция используется для вычисления

альфа

—

квантилей

, т.е. для вычисления значений

x

при заданной вероятности

альфа

, причем

х

должен удовлетворять выражению P{X<=x}=

альфа

.

Функция

СТЬЮДЕНТ.ОБР()

используется для вычисления как двухсторонних, так и

односторонних доверительных интервалов

. А функции

СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х()

и

СТЬЮДРАСПОБР()

созданы специально для вычисления

квантилей

, необходимых для расчета двусторонних

доверительных интервалов:

в качестве аргумента нужно указывать

уровень значимости

альфа

, а не

альфа/2

, как для

СТЬЮДЕНТ.ОБР()

.

Вышеуказанные функции можно взаимозаменять, т.к. нижеуказанные формулы возвращают одинаковый результат:

=СТЬЮДЕНТ.ОБР(альфа;n) =-СТЬЮДРАСПОБР(альфа*2;n) =-СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(альфа*2;n)

Некоторые примеры расчетов приведены в

файле примера на листе Функции

.

Примечание

: Ниже приведено соответствие русских и английских названий функций:

СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ()

— англ. название T.DIST.RT, т.е. T-DISTribution Right Tail, the right-tailed Student’s t-distribution

СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х()

— англ. название T.DIST.2T, т.е. T-DISTribution 2 Tails

СТЬЮДЕНТ.ОБР()

— англ. название T.INV, т.е. T-distribution INVerse

СТЬЮДРАСП()

— англ. название TDIST, т.е. T-DISTribution

СТЬЮДРАСПОБР()

— англ. название TINV, т.е. T-distribution INVerse (the right-tailed inverse of the Student’s t-distribution)

СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х()

— англ. название T.INV.2T

Функции MS EXCEL, использующие t-распределение

Как было сказано выше, при

построении доверительных интервалов

используется функция

ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ()

— англ. название CONFIDENCE.T.

Например, формула

=ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(альфа;СТАНДОТКЛОН.В(B20:B79); СЧЁТ(B20:B79))

эквивалентна классической формуле для вычисления доверительного интервала

=СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-альфа/2; СЧЁТ(B20:B79)-1)* СТАНДОТКЛОН.В(B20:B79)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B20:B79))

где предполагается, что

выборка

находится в диапазоне

B20:B79

.

Как видим, особых преимуществ в использовании

ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ()

нет.

Другая функция —

СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ()

— англ. название T.TEST, используется для

оценки различия двух выборочных средних

.

Оценка параметров распределения

Т.к. обычно

t-распределение

используется для целей математической статистики (вычисление

доверительных интервалов,

проверки гипотез и др.),

и практически никогда для построения моделей реальных величин, то для этого распределения обсуждение оценки параметров распределения здесь не производится.

СОВЕТ

: О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.

Функция СТЬЮДРАСП возвращает t-распределение Стьюдента. Стьюдентное распределение часто используется при проверке гипотез на небольших выборочных наборах данных.

Примечание: Функция СТЬЮДРАСП была заменена на Т.РАСП.2T и T.DIST.RT. Хотя функция СТЬЮДРАСП по-прежнему доступна в текущих версиях Excel, с этого момента следует рассмотреть возможность использования новой функции, поскольку функция СТЬЮДРАСП может быть недоступна в будущих версиях Excel.

---

Синтаксис

=TDIST(x, deg_freedom, tails)

---

аргументы

• х (обязательно): Значение, при котором вы хотите рассчитать распределение. Примечание: х должно быть ≥ 0.
• степень_свободы (обязательно): Целое число, указывающее количество степеней свободы. Примечание: степень_свободы должно быть ≥ 1.
• хвосты (обязательно): Количество возвращаемых хвостов распределения. Это должно быть либо:
  • 1, чтобы вернуть одностороннее распределение;
  • 2, чтобы вернуть двустороннее распределение.

---

Возвращаемое значение

Функция СТЬЮДРАСП возвращает числовое значение.

---

Примечания к функциям

• If степень_свободы и фрак не являются целыми числами, они будут усечены.
• СТЬЮДРАСП возвращает #СТОИМОСТЬ! ошибка, если какой-либо аргумент не является числовым.
• СТЬЮДРАСП возвращает #NUM! ошибка, если:
  • х <0;
  • степени_свободы < 1;
  • фрак любое значение кроме 1 or 2.
• Поскольку TDIST не допускает аргумент x быть меньше 0, чтобы вычислить распределение Стьюдента для значений x которые меньше 0, используйте отношения, как показано ниже:
  • СТЬЮДРАСП(-x, степень_свободы, 1) = 1 — СТЬЮДРАСП(x, степень_свободы, 1)
  • СТЬЮДРАСП(-x, степень_свободы, 2) = СТЬЮДРАСП(x, степень_свободы, 2)

---

Пример

Чтобы рассчитать одно- и двустороннее распределения при 7 с 2 степенями свободы, скопируйте или введите приведенные ниже формулы в соответствующие ячейки результатов и нажмите Enter чтобы получить результаты.

=СТЬЮДРАСП(B7,B10,1)

=СТЬЮДРАСП(B7,B10,2)

Кроме того, вы можете ввести фактическое x и степень_свободы значения в формулах, как показано ниже.

=СТЬЮДРАСП(7,2,1)

=СТЬЮДРАСП(7,2,1)

---

Связанные функции

Функция Excel T.DIST.RT

Функция T.DIST.RT возвращает правостороннее t-распределение Стьюдента. Стьюдентное распределение часто используется для проверки гипотез на небольших наборах выборочных данных.

Функция Excel T.DIST.2T

Функция T.DIST.2T возвращает двустороннее t-распределение Стьюдента. Стьюдентное распределение часто используется при проверке гипотез на небольших выборочных наборах данных.

Функция Excel T.DIST

Функция T.DIST возвращает левостороннее t-распределение Стьюдента. Стьюдентное распределение часто используется для проверки гипотез на небольших наборах выборочных данных.

Функция Excel T.ОБР.2T

Функция T.ОБР.2T возвращает обратное двустороннее распределение Стьюдента. Стьюдентное распределение часто используется для проверки гипотез на небольших наборах выборочных данных.

Функция Excel Т.ОБР

Функция T.ОБР возвращает обратное левостороннее t-распределение Стьюдента. Стьюдентное распределение часто используется для проверки гипотез на небольших наборах выборочных данных.

---

Лучшие инструменты для работы в офисе

Kutools for Excel — Помогает вам выделиться из толпы

Хотите быстро и качественно выполнять свою повседневную работу? Kutools for Excel предлагает 300 мощных расширенных функций (объединение книг, суммирование по цвету, разделение содержимого ячеек, преобразование даты и т. д.) и экономит для вас 80 % времени.

• Разработан для 1500 рабочих сценариев, помогает решить 80% проблем с Excel.
• Уменьшите количество нажатий на клавиатуру и мышь каждый день, избавьтесь от усталости глаз и рук.
• Станьте экспертом по Excel за 3 минуты. Больше не нужно запоминать какие-либо болезненные формулы и коды VBA.
• 30-дневная неограниченная бесплатная пробная версия. 60-дневная гарантия возврата денег. Бесплатное обновление и поддержка 2 года.

---

Вкладка Office — включение чтения и редактирования с вкладками в Microsoft Office (включая Excel)

• Одна секунда для переключения между десятками открытых документов!
• Уменьшите количество щелчков мышью на сотни каждый день, попрощайтесь с рукой мыши.
• Повышает вашу продуктивность на 50% при просмотре и редактировании нескольких документов.
• Добавляет эффективные вкладки в Office (включая Excel), точно так же, как Chrome, Firefox и новый Internet Explorer.

Комментарии (0)

Оценок пока нет. Оцените первым!

Описание:Возвращает процентные точки (вероятность)
для t-распределения Стьюдента, где
числовое значение (x) — вычисляемое
значение t, для которого должны быть
вычислены вероятности. T-распределение
используется для проверки гипотез при
малом объеме выборки. Данную функцию
можно использовать вместо таблицы
критических значений t-распределения.

Синтаксис:

СТЬЮДРАСП(x;степени_свободы;хвосты)

x— числовое значение, для которого
требуется вычислить распределение.

Степени_свободы— целое, указывающее число степеней
свободы.

Хвосты— число возвращаемых хвостов распределения.
Если хвосты = 1, функция СТЬЮДРАСП
возвращает одностороннее распределение.
Если хвосты = 2, функция СТЬЮДРАСП
возвращает двустороннее распределение.

Замечания:

—
Если какой-либо из аргументов не является
числом, то функция СТЬЮДРАСП возвращает
значение ошибки #ЗНАЧ!.

—
Если степени_свободы < 1, то функция
СТЬЮДРАСП возвращает значение ошибки
#ЧИСЛО!.

—
Аргументы «степени_свободы» и «хвосты»
усекаются до целых значений.

—
Если аргумент «хвосты» принимает любое
значение, отличное от 1 и 2, то функция
СТЬЮДРАСП возвращает значение ошибки
#ЧИСЛО!.

—
Если x < 0, то функция СТЬЮДРАСП возвращает
значение ошибки #ЧИСЛО!.

—
Если хвосты = 1, то функция СТЬЮДРАСП
вычисляется как СТЬЮДРАСП = P(X>x), где
X — случайная величина, соответствующая
t-распределению. Если хвосты = 2, то функция
СТЬЮДРАСП вычисляется как СТЬЮДРАСП =
P(|X| > x) = P(X > x или X < -x).

—
Поскольку значения x < 0 не поддерживаются,
то, используя функцию СТЬЮДРАСП при x <
0, следует помнить, что СТЬЮДРАСП(-x,df,1)
= 1 – СТЬЮДРАСП(x,df,1) = P(X > -x) и
СТЬЮДРАСП(-x,df,2) = СТЬЮДРАСП(x df,2) = P(|X| >
x).

64. Функция стьюдраспобр

Описание:Возвращает t-значение распределения
Стьюдента как функцию вероятности и
числа степеней свободы.

Синтаксис:

СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы)

Вероятность— вероятность, соответствующая
двустороннему распределению Стьюдента.

Степени_свободы— число степеней свободы, характеризующее
распределение.

Замечания:

—
Если любой из аргументов не является
числом, то функция СТЬЮДРАСПОБР возвращает
значение ошибки #ЗНАЧ!.

—
Если вероятность < 0 или
вероятность > 1, то функция
СТЬЮДРАСПОБР возвращает значение ошибки
#ЧИСЛО!.

—
Если значение аргумента «степени_свободы»
не является целым числом, оно усекается.

—
Если степени_свободы < 1, то функция
СТЬЮДРАСПОБР возвращает значение ошибки
#ЧИСЛО!.

—
Функция СТЬЮДРАСПОБР возвращает значение
t, для которого P(|X| > t) = вероятность,
где X — случайная величина, соответствующая
t-распределению, и P(|X| > t) = P(X < -t или X
> t).

—
Одностороннее t-значение может быть
получено при замене аргумента «вероятность»
на 2*вероятность. Для вероятности 0,05 и
10 степеней свободы двустороннее значение
вычисляется по формуле СТЬЮДРАСПОБР(0,05;10)
и равно 2,28139. Одностороннее значение
для той же вероятности и числа степеней
свободы может быть вычислено по формуле
СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05;10), возвращающей
значение 1,812462.

 ПРИМЕЧАНИЕ. В некоторых таблицах вероятность описана
как (1-p).

Если
задано значение вероятности, то функция
СТЬЮДРАСПОБР ищет значение x, для которого
функция СТЬЮДРАСП(x, степени_свободы,
2) = вероятность. Однако точность функции
СТЬЮДРАСПОБР зависит от точности
СТЬЮДРАСП. В функции СТЬЮДРАСПОБР для
поиска применяется метод итераций. Если
поиск не закончился после 100 итераций,
функция возвращает значение ошибки
#Н/Д.

65. Функция СЧЁТ

Описание:
Функция СЧЁТ подсчитывает
количество ячеек, содержащих числа, и
количество чисел в списке аргументов.
Функция используется для получения
количества числовых ячеек в диапазонах
или массивах ячеек. Например, для
вычисления количества чисел в диапазоне
A1:A20 можно ввести следующую формулу:

=СЧЁТ(A1:A20)

В
данном примере, если пять ячеек из
диапазона содержат числа, то результатом
будет значение 5.

Соседние файлы в папке Лабораторная работа_1

• #
• #
• #

Этапы статистического вывода (statistic inference)

1. Первый из них – это вопрос, который мы хотим изучить с помощью статистических методов. То есть первый этап: что изучаем? И какие у нас есть предположения относительно результата? Этот этап называется этап статистических гипотез.
2. Второй этап – нужно определиться с тем, какие у нас есть в реальности данные для того, чтобы ответить на первый вопрос. Этот этап – тип данных.
3. Третий этап состоит в том, чтобы выбрать корректный для применения в данной ситуации статистический критерий.
4. Четвертый этап это логичный этап применения интерпретации любой формулы, какие результаты мы получили.
5. Пятый этап это создание, синтез выводов относительно первого, второго, третьего, четвертого, пятого этапа, то есть что же получили и что же это в реальности значит.

Пример использования т-критерия Стьюдента

А пример будет достаточно простой: мне интересно, стали ли люди выше за последние 100 лет. Для этого нужно подобрать некоторые данные. Я обнаружил интересную информацию в достаточно известной статье The Guardian (Tall story’s men and women have grown taller over last century, Study Shows (The Guardian, July 2016), которая сравнивает средний возраст человека в разных странах в 1914 году и в аналогичных странах в 2014 году.

Там приведены данные практически по всем государствам. Однако, я взял лишь 5 стран для простоты вычислений: это Россия, Германия, Китай, США и ЮАР, соответственно 1914 год и 2014 год.

Общее количество наблюдений – 5 в 1914 году в группе 1914 года и общее значение также 5 в 2014 году. Будем думать опять же для простоты, что эти данные сопоставимы, и с ними можно работать.

Дальше нужно выбрать критерии – критерии, по которым мы будем давать ответ. Равны ли средние по росту в 1914 году x̅₁₉₁₄ и в 2014 году x̅₂₀₁₄. Я считаю, что нет. Поэтому моя гипотеза это то, что они не равны (x̅₁₉₁₄≠x̅₂₀₁₄). Соответственно альтернативная гипотеза моему предположению, так называемая нулевая гипотеза (нулевая гипотеза консервативна, обратная вашей, часто говорит об отсутствии статистически значимых связей/зависимостей) будет говорить о том, что они между собой на самом деле равны (x̅₁₉₁₄=x̅₂₀₁₄), то есть о том, что все эти находки случайны, и я, по сути, не прав.

Для чего используется t-критерий Стьюдента?

t-критерий Стьюдента используется для определения статистической значимости различий средних величин. Может применяться как в случаях сравнения независимых выборок (например, группы больных сахарным диабетом и группы здоровых), так и при сравнении связанных совокупностей (например, средняя частота пульса у одних и тех же пациентов до и после приема антиаритмического препарата). В последнем случае рассчитывается парный t-критерий Стьюдента

В каких случаях можно использовать t-критерий Стьюдента?

Для применения t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. Также имеет значение равенство дисперсий (распределения) сравниваемых групп (гомоскедастичность). При неравных дисперсиях применяется t-критерий в модификации Уэлча (Welch’s t).

При отсутствии нормального распределения сравниваемых выборок вместо t-критерия Стьюдента используются аналогичные методы непараметрической статистики, среди которых наиболее известными является U-критерий Манна — Уитни.

Как интерпретировать значение t-критерия Стьюдента?

Полученное значение t-критерия Стьюдента необходимо правильно интерпретировать. Для этого нам необходимо знать количество исследуемых в каждой группе (n₁ и n₂). Находим число степеней свободы f по следующей формуле:

f = (n₁ + n₂) – 2

После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например, p=0,05) и при данном числе степеней свободы f по таблице (см. ниже).

Сравниваем критическое и рассчитанное значения критерия:

• Если рассчитанное значение t-критерия Стьюдента равно или больше критического, найденного по таблице, делаем вывод о статистической значимости различий между сравниваемыми величинами.
• Если значение рассчитанного t-критерия Стьюдента меньше табличного, значит различия сравниваемых величин статистически не значимы.

Внесите исходные данные группы

Вы можете внести данные для расчета критерия Т-Стьюдента поочередно вручную или скопировать их из вашего Excel файла.

Внесите исходные данные группы

Вы можете внести данные поочередно вручную или скопировать их из вашего Excel файла.

Критические точки распределения Стьюдента

Число степеней свободы k	Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)
0.10	0.05	0.02	0.01	0.002	0.001
1	6.31	12.7	31.82	63.7	318.3	637.0
2	2.92	4.30	6.97	9.92	22.33	31.6
3	2.35	3.18	4.54	5.84	10.22	12.9
4	2.13	2.78	3.75	4.60	7.17	8.61
5	2.01	2.57	3.37	4.03	5.89	6.86
6	1.94	2.45	3.14	3.71	5.21	5.96
7	1.89	2.36	3.00	3.50	4.79	5.40
8	1.86	2.31	2.90	3.36	4.50	5.04
9	1.83	2.26	2.82	3.25	4.30	4.78
10	1.81	2.23	2.76	3.17	4.14	4.59
11	1.80	2.20	2.72	3.11	4.03	4.44
12	1.78	2.18	2.68	3.05	3.93	4.32
13	1.77	2.16	2.65	3.01	3.85	4.22
14	1.76	2.14	2.62	2.98	3.79	4.14
15	1.75	2.13	2.60	2.95	3.73	4.07
16	1.75	2.12	2.58	2.92	3.69	4.01
17	1.74	2.11	2.57	2.90	3.65	3.95
18	1.73	2.10	2.55	2.88	3.61	3.92
19	1.73	2.09	2.54	2.86	3.58	3.88
20	1.73	2.09	2.53	2.85	3.55	3.85
21	1.72	2.08	2.52	2.83	3.53	3.82
22	1.72	2.07	2.51	2.82	3.51	3.79
23	1.71	2.07	2.50	2.81	3.59	3.77
24	1.71	2.06	2.49	2.80	3.47	3.74
25	1.71	2.06	2.49	2.79	3.45	3.72
26	1.71	2.06	2.48	2.78	3.44	3.71
27	1.71	2.05	2.47	2.77	3.42	3.69
28	1.70	2.05	2.46	2.76	3.40	3.66
29	1.70	2.05	2.46	2.76	3.40	3.66
30	1.70	2.04	2.46	2.75	3.39	3.65
40	1.68	2.02	2.42	2.70	3.31	3.55
60	1.67	2.00	2.39	2.66	3.23	3.46
120	1.66	1.98	2.36	2.62	3.17	3.37
∞	1.64	1.96	2.33	2.58	3.09	3.29
	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001	0.0005
	Уровень значимости α (односторонняя критическая область)

Условия применения t-критерия Стьюдента

Несмотря на то, что открытие Стьюдента в свое время совершило переворот в статистике, t-критерий все же довольно сильно ограничен в возможностях применения, т.к. сам по себе происходит из предположения о нормальном распределении исходных данных. Если данные не являются нормальными (что обычно и бывает), то и t-критерий уже не будет иметь распределения Стьюдента. Однако в силу действия центральной предельной теоремы средняя даже у ненормальных данных быстро приобретает колоколообразную форму распределения.

Рассмотрим, для примера, данные, имеющие выраженный скос вправо, как у распределения хи-квадрат с 5-ю степенями свободы.

Теперь создадим 20 тысяч выборок и будет наблюдать, как меняется распределение средних в зависимости от их объема.

Отличие довольно заметно в малых выборках до 15-20-ти наблюдений. Но дальше оно стремительно исчезает. Таким образом, ненормальность распределения – это, конечно, нехорошо, но некритично.

Больше всего t-критерий «боится» выбросов, т.е. аномальных отклонений. Возьмем 20 тыс. нормальных выборок по 15 наблюдений и в часть из них добавим по одному случайном выбросу.

Картина получается нерадостная. Фактические частоты средних сильно отличаются от теоретических. Использование t-распределения в такой ситуации становится весьма рискованной затеей.

Итак, в не очень малых выборках (от 15-ти наблюдений) t-критерий относительно устойчив к ненормальному распределению исходных данных. А вот выбросы в данных сильно искажают распределение t-критерия, что, в свою очередь, может привести к ошибкам статистического вывода, поэтому от аномальных наблюдений следует избавиться. Часто из выборки удаляют все значения, выходящие за пределы ±2 стандартных отклонения от средней.

Пример проверки гипотезы о математическом ожидании с помощью t- критерия Стьюдента в MS Excel

В Excel есть несколько функций, связанных с t-распределением. Рассмотрим их.

СТЬЮДЕНТ.РАСП – «классическое» левостороннее t-распределение Стьюдента. На вход подается значение t-критерия, количество степеней свободы и опция (0 или 1), определяющая, что нужно рассчитать: плотность или значение функции. На выходе получаем, соответственно, плотность или вероятность того, что случайная величина окажется меньше указанного в аргументе t-критерия, т.е. левосторонний p-value.

СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х – двухсторонне распределение. В качестве аргумента подается абсолютное значение (по модулю) t-критерия и количество степеней свободы. На выходе получаем вероятность получить такое или еще больше значение t-критерия (по модулю), т.е. фактический уровень значимости (p-value).

СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ – правостороннее t-распределение. Так, 1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(2;5;1) = СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(2;5) = 0,05097. Если t-критерий положительный, то полученная вероятность – это p-value.

СТЬЮДЕНТ.ОБР – используется для расчета левостороннего обратного значения t-распределения. В качестве аргумента подается вероятность и количество степеней свободы. На выходе получаем соответствующее этой вероятности значение t-критерия. Отсчет вероятности идет слева. Поэтому для левого хвоста нужен сам уровень значимости α, а для правого 1 — α.

СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х – обратное значение для двухстороннего распределения Стьюдента, т.е. значение t-критерия (по модулю). Также на вход подается уровень значимости α. Только на этот раз отсчет ведется с двух сторон одновременно, поэтому вероятность распределяется на два хвоста. Так, СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-0,025;5) = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;5) = 2,57058

СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ – функция для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий в двух выборках. Заменяет кучу расчетов, т.к. достаточно указать лишь два диапазона с данными и еще пару параметров. На выходе получим p-value.

ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ – расчет доверительного интервала средней с учетом t-распределения.

Рассмотрим такой учебный пример. На предприятии фасуют цемент в мешки по 50кг. В силу случайности в отдельно взятом мешке допускается некоторое отклонение от ожидаемой массы, но генеральная средняя должна оставаться 50кг. В отделе контроля качества случайным образом взвесили 9 мешков и получили следующие результаты: средняя масса (X̅) составила 50,3кг, среднеквадратичное отклонение (s) – 0,5кг.

Согласуется ли полученный результат с нулевой гипотезой о том, что генеральная средняя равна 50кг? Другими словами, можно ли получить такой результат по чистой случайности, если оборудование работает исправно и выдает среднее наполнение 50 кг? Если гипотеза не будет отклонена, то полученное различие вписывается в диапазон случайных колебаний, если же гипотеза будет отклонена, то, скорее всего, в настройках аппарата, заполняющего мешки, произошел сбой. Требуется его проверка и настройка.

Краткое условие в обще принятых обозначениях выглядит так.

H₀: μ = 50 кг

H_a: μ ≠ 50 кг

Есть основания предположить, что распределение заполняемости мешков подчиняются нормальному распределению (или не сильно от него отличается). Значит, для проверки гипотезы о математическом ожидании можно использовать t-критерий Стьюдента. Случайные отклонения могут происходить в любую сторону, значит нужен двусторонний t-критерий.

Вначале применим допотопные средства: ручной расчет t-критерия и сравнение его с критическим табличным значением. Расчетный t-критерий:

Теперь определим, выходит ли полученное число за критический уровень при уровне значимости α = 0,05. Воспользуемся таблицей для критерия Стьюдента (есть в любом учебнике по статистике).

По столбцам идет вероятность правой части распределения, по строкам – число степеней свободы. Нас интересует двусторонний t-критерий с уровнем значимости 0,05, что равносильно t-значению для половины уровня значимости справа: 1 — 0,05/2 = 0,975. Количество степеней свободы – это объем выборки минус 1, т.е. 9 — 1 = 8. На пересечении находим табличное значение t-критерия – 2,306. Если бы мы использовали стандартное нормальное распределение, то критической точкой было бы значение 1,96, а тут она больше, т.к. t-распределение на небольших выборках имеет более приплюснутый вид.

Сравниваем фактическое (1,8) и табличное значение (2.306). Расчетный критерий оказался меньше табличного. Следовательно, имеющиеся данные не противоречат гипотезе H₀ о том, что генеральная средняя равна 50 кг (но и не доказывают ее). Это все, что мы можем узнать, используя таблицы. Можно, конечно, еще p-value попробовать найти, но он будет приближенным. А, как правило, именно p-value используется для проверки гипотез. Поэтому далее переходим в Excel.

Готовой функции для расчета t-критерия в Excel нет. Но это и не страшно, ведь формула t-критерия Стьюдента довольно проста и ее можно легко соорудить прямо в ячейке Excel.

Получили те же 1,8. Найдем вначале критическое значение. Альфа берем 0,05, критерий двусторонний. Нужна функция обратного значения t-распределения для двухсторонней гипотезы СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х.

Полученное значение отсекает критическую область. Наблюдаемый t-критерий в нее не попадает, поэтому гипотеза не отклоняется.

Однако это тот же способ проверки гипотезы с помощью табличного значения. Более информативно будет рассчитать p-value, т.е. вероятность получить наблюдаемое или еще большее отклонение от средней 50кг, если эта гипотеза верна. Потребуется функция распределения Стьюдента для двухсторонней гипотезы СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х.

P-value равен 0,1096, что больше допустимого уровня значимости 0,05 – гипотезу не отклоняем. Но теперь можно судить о степени доказательства. P-value оказался довольно близок к тому уровню, когда гипотеза отклоняется, а это наводит на разные мысли. Например, что выборка оказалась слишком мала для обнаружения значимого отклонения.

Пусть через некоторое время отдел контроля снова решил проверить, как выдерживается стандарт заполняемости мешков. На этот раз для большей надежности было отобрано не 9, а 25 мешков. Интуитивно понятно, что разброс средней уменьшится, а, значит, и шансов найти сбой в системе становится больше.

Допустим, были получены те же значения средней и стандартного отклонения по выборке, что и в первый раз (50,3 и 0,5 соответственно). Рассчитаем t-критерий.

Критическое значение для 24-х степеней свободы и α = 0,05 составляет 2,064. На картинке ниже видно, что t-критерий попадает в область отклонения гипотезы.

Можно сделать вывод о том, что с доверительной вероятностью более 95% генеральная средняя отличается от 50кг. Для большей убедительности посмотрим на p-value (последняя строка в таблице). Вероятность получить среднюю с таким или еще большим отклонением от 50, если гипотеза верна, составляет 0,0062, или 0,62%, что при однократном измерении практически невозможно. В общем, гипотезу отклоняем, как маловероятную.

Функция СТЮДРАСПОБР предназначена для расчета значения квантиля уровня, соответствующего известной вероятности (указывается в качестве первого аргумента), распределения Стьюдента для известных степеней свободы и возвращает обратное t-распределение.

Распределение Стьюдента и нормальное распределение в Excel

Рассматриваемая функция возвращает значение t, соответствующее условию P(|x|>t)=p. Здесь x является значением некоторой случайной величины с распределением Стьюдента, у которого число степеней свобод соответствует k (второй аргумент функции СТЮДРАСПОБР).

Примечания:

1. Распределение Стьюдента является одним из видов распределения случайной величины, близкое к нормальному распределению с характерным отличием – сниженная концентрацией отклонений в средней части распределения. Иное название – t-распределение.
2. Квантилем считается некоторое значение, которое с определенной вероятностью (фиксированной) не будет превышено случайной величиной.
3. Функция СТЮДРАСПОБР считается устаревшей начиная с версии MS Office 2010. Она оставлена для обеспечения совместимости с другими табличными редакторами и документами, созданными в более старых версиях табличного редактора. В новых версиях следует использовать усовершенствованные аналоги: СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х или СТЬЮДЕНТ.ОБР.

Подробнее о нормальном распределении читайте: НОРМСТРАСП функция стандартного нормального распределения в Excel.

Ниже рассмотрим примеры использования функции СТЮДРАСПОБР в Excel.



Определение одностороннего и двустороннего t распределение Стьюдента

Пример 1. Определить односторонне и двустороннее t-значения для распределения Стьюдента, характеризующееся вероятностью 0,17 и числом степени свобод 16.

Вид таблицы данных:

Для расчета двустороннего t-значения используем функцию:

=СТЬЮДРАСПОБР(B2;B1)

Результат вычислений:

Для двустороннего t используем удвоенное значение вероятности:

=СТЬЮДРАСПОБР(2*B2;B1)

В результате получим:

Число степеней свободы в распределении Стьюдента

Пример 2. Сгенерировать 8 случайных чисел с использованием функции СЛЧИС, для которых распределение Стьюдента имеет 4 степени свободы.

Поскольку вероятность того, что случайна величина примет как отрицательное, так и положительное значение является одинаковой и равна 0,5 (распределение Стьюдента симметрично относительно вертикальной оси графика), используем функцию ЕСЛИ для проверки значений.

Выделим 8 ячеек и запишем следующую функцию (вводить как формулу массива CTRL+SHIFT+Enter):

То есть, если случайное значение вероятности, сгенерированное функцией СЛЧИС меньше 0,5, будет сгенерировано отрицательное t-значение, иначе – положительное.

Результат вычислений:

Как пользоваться функцией распределения Стьюдента СТЮДРАСПОБР В EXCEL

Функция имеет следующий синтаксис:

=СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы)

Описание аргументов:

• вероятность – обязательный для заполнения, принимает числовое значение вероятности для двустороннего распределения Стьюдента из диапазона от 0 (не включительно) до 1.
• степени_свободы – обязательный для заполнения, принимает числовое значение степеней свободы, которые определяют исследуемое распределение.

Примечания:

1. Если один из аргументов функции указан в виде значения нечислового типа данных, результатом выполнения рассматриваемой функции будет код ошибки #ЗНАЧ!. Логические значения, имена и текстовые строки, преобразуемые в числа, не приводят к возникновению ошибки. Например, функция =СТЮДРАСПОБР(“0,4”;ИСТИНА) вернет значение 1,32638.
2. Если аргумент вероятность задан числом, не находящимся в промежутке от 0 (не включительно) до 1, функция СТЮДРАСПОБР вернет код ошибки #ЧИСЛО!. Аналогичная ошибка возникает, если аргумент степени_свободы задан числом, которое меньше 1.
3. Для расчета односторонней t-величины следует в качестве аргумента вероятность указать значение удвоенной вероятности.

Для эмпирической случайной величины, заданной эмпирическим законом распределения, можно записать и построить выборочную функцию распределения.

Функция распределения случайной величины задана на всей числовой оси и определяется равенством: F (x) = P (ξ < x), т.е. функция распределения равна вероятности того, что случайная величина примет значение меньше х.

При x ≤ 1 событие ξ20< 1 невозможно, т.к. нет значений ξ20 меньше 1, а вероятность невозможного события равна нулю, следовательно,

F (x) = P (ξ20< 1) = 0.

На промежутке 1 < x ≤ 2 событие ξ20< 2 состоит в том, что ξ20 принимает значение 1, соответственно вероятность такого события равна 0,1, т.е.

F (x) = P (ξ20< 2) = 0,1.

На промежутке 2 < x ≤ 4 событие ξ20< 4 состоит в том, что ξ20 принимает значение 1 или 2, соответственно вероятность такого события равна , т.е.

F (x) = P (ξ20< 4) = 0,3.

На промежутке 4 < x ≤ 5 событие ξ20< 5 состоит в том, что ξ20 принимает значение или 1, или 2, или 4. Соответственно вероятность такого события равна , т.е.

F (x) = P (ξ20< 5) = 0,65.

На промежутке 5 < x ≤ 6 событие ξ20< 6 состоит в том, что ξ20 принимает значение или 1, или 2, или 4, или 5. Соответственно вероятность такого события равна , т.е.

F (x) = P (ξ20< 6) = 0,75.

И.т.д.

Таким образом, выборочная функция распределения имеет вид:

Определив значения функции распределения на всей числовой оси, можно построить ее график (Рис.1).

Рис.1.

График выборочной функции распределения имеет ступенчатый вид и строится в виде отрезков: левее наименьшего значения (х = 1) значение функции равно 0 (т.е. график совпадает с горизонтальной осью); в каждой следующей точке xi происходит скачек на величину вероятности νi..

Например, в точке х1 = 1 скачек равен ν1 =.0,1(см. эмпирический закон распределения); в точке х2 = 2 скачек равен ν2 = 0,2; в точке х3 = 4 скачек равен ν3 = 0,2; и т.д. Правее наибольшего значения (х8 = 13) функция равна единице.

Стрелки и точки на концах отрезков показывают, что функция определена на полуинтервалах.

Частотная табуляция

При большом объеме выборки ее элементы группируют. Для этого интервал, содержащий все значения выборки (от xmin до xmax), разбивают на т непересекающихся интервалов.

При этом считается, что правая граница интервала принадлежит следующему интервалу (последний интервал содержит обе свои границы).

Число интервалов т можно выбрать произвольно или найти по формуле Стерджесса:

где п – объем выборки.

Тогда длина каждого интервала равна , где w – размах выборки.

После этого подсчитывают частоты nj – количество элементов выборки, попавших в j-й интервал, и накопленные частоты. Результаты сводят в таблицу частот группированной выборки. Процесс формирования такой таблицы называется частотной табуляцией.

Проведем частотную табуляцию выборки из нашего примера.

Определим число интервалов по формуле Стерджесса:

Число т должно быть целым, т.е. либо 5, либо 6. Т.к. размах выборки равен , то удобнее взять т = 6, т.к. в этом случае длина одного интервала . Если мы возьмем т = 5, то , что не очень удобно, т.к. значения выборки целые.

Таким образом, разбиваем интервал значений выборки (от 1 до 13) на интервалов с шагом . Результаты заносим в таблицу (Таблица 1).

• В первом столбце таблицы записываем номер интервала от 1 до 6. Затем, используя статистический ряд выборки, определяем границы интервалов и записываем их во втором столбце:
• 1) наименьшее значение выборки равно 1, значит, начинаем построение с 1:
• от 1 → 1 + 2 = 3 → до 3;
• 2) от 3 → 3 + 2 = 5 → до 5;
• 3) от 5 → 5 + 2 = 7 → до 7;
• 4) от 7 → 7 + 2 = 9 → до 9;
• 5) от 9 → 9 + 2 = 11 → до 11;
• 6) от 11 → 11 + 2 = 13 → до 13.
• Наибольшее значение выборки равно 13, значит, интервалы определены верно.

В третьем столбце запишем середины полученных интервалов. Середину интервала (а; b) можно найти по формуле: , например: для 1-го интервала ; для 2-го интервала и т.д.

Таблица 1

№ интервала	Границы интервала	Середина интервала	Частота	Накопленная частота
[1; 3)
[3; 5)
[5; 7)
[7; 9)
[9; 11)
[11;13]

В четвертом столбце записываем интервальные частоты, т.е. частоты попадания элементов выборки в данный интервал, например:

в 1-й интервал попадают значения 1 и 2, при этом значение 1 встречается 2 раза (п1 = 2)[15], значение 2 встречается 4 раза (п2 = 4), поэтому первая интервальная частота равна ; в первой строке записываем 6;

во 2-й интервал попадают значения 3 и 4, при этом значение 3 вообще не встречается в выборке, значение 4 встречается 7 раз (п3 = 7), поэтому вторая интервальная частота равна ; во второй строке записываем 7;

в 3-й интервал попадают значения 5 и 6, при этом значение 5 встречается 2 раза (п4 = 2), значение 6 встречается также 2 раза (п4 = 2), поэтому третья интервальная частота равна ; в третьей строке записываем 4 и т.д.

В пятом столбце Таблицы 1 записываем накопленные частоты по принципу: j-я частотанакопл. =. (j – 1)-я частотанакопл+ j-я частотаинт. Например:

1-я накопленная частота равна 6, т.к. предыдущая накопленная частота равна 0 (ее нет), а 1-я интервальная частота равна 6 (см. 4-й столбец): 0 + 6 = 6;

2-я накопленная частота равна 13, т.к. предыдущая (1-я) накопленная частота равна 6, а 2-я интервальная частота равна 7 (см. 4-й столбец): 6 + 7 = 13;

3-я накопленная частота равна 17, т.к. предыдущая (2-я) накопленная частота равна 13, а 3-я интервальная частота равна 4 (см. 4-й столбец): 13 + 4 = =17 и т.д.

На этом частотная табуляция выборки заканчивается.

Вариационный ряд можно представить и графически, построив полигон и гистограмму частот выборки. Графическое изображение выборки позволяет визуально оценить плотность вероятности распределения генеральной совокупности.

Для построения полигона и гистограммы выборки в рассмотренном примере воспользуемся данными данным Таблицы 1.

На координатной плоскости по горизонтальной оси откладываем значения выборки (xi), по вертикальной оси – частоты (ni) (Рис.2). Единичные отрезки по осям могут быть различны (их размер выбирают, руководствуясь принципом наглядности).

Рис. 2

Гистограмма. На отрезках, равных интервалам Таблицы 1 (2-й столбец), строятся прямоугольники, высота которых равна соответствующим интервальным частотам (4-й столбец Таблицы 1). Полученный набор прямоугольников называется гистограммой выборки.

Полигон. Соединим отрезками середины верхних сторон прямоугольников гистограммы. Полученная ломаная линия называется полигоном выборки (на Рис.2 она обозначена красным цветом).

Проверка гипотезы о законе распределения

Рассмотрим процесс проверки гипотезы о законе распределения на примере из предыдущего раздела.

Пример. Книгу «Винни-Пух и все-все-все» открывали на случайной странице, где выбирали случайное слово. При этом фиксировали длину этого слова. В результате 20 опытов получена следующая выборка:

1. 4, 1, 4, 5, 1, 13, 4, 10, 2, 4, 7, 2, 2, 4, 6, 4, 5, 6, 2, 4.
2. Требуется:
3. 1) Вычислить выборочные характеристики: среднее выборочное, выборочную дисперсию, несмещенную оценку дисперсии.

2) При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что длина слов распределена по нормальному закону. Параметры распределения оцениваются по выборке: математическое ожидание – по среднему выборочному, среднее квадратическое отклонение – по квадратному корню из несмещенной оценки дисперсии.

• Выборочные характеристики
• Выборочное среднее может быть найдено по формуле
• где k – число различных элементов выборки,
• п – объем выборки.
• Выборочная дисперсия:
• Несмещенная оценка дисперсии:
• .
• Обычно процесс вычисления выборочных характеристик оформляют в виде таблицы (Таблица 2).

В нашем примере k = 8, п = 20, значения xi и ni приведены в статистическом ряде выборки. Заполнение расчетной таблицы начинаем с заполнения столбцов xi и ni, записывая в них данные статистического ряда.

Затем вычисляем произведения xi · ni и результаты заносим в третий столбец. В последней строке суммируем данные, получили 90. Теперь вычисляем среднее выборочное, поделив получившуюся сумму на объем выборки, т.е.

на 20.

1. Теперь, вычислив среднее выборочное, заполняем четвертый столбец, записывая в него соответствующие разности , например:
2. Записываем в первой строке -3,5;

Записываем во второй строке -2,5 и т.д.

Таблица 2

xi	ni	xi · ni
-3,5	12,25	24,50
-2,5	6,25	25,00
-0,5	0,25	1,75
0,5	0,25	0,50
1,5	2,25	4,50
2,5	6,25	6,25
5,5	30,25	30,25
8,5	72,25	72,25
Σ	165,00

В пятом столбце записываем квадраты значений предыдущего столбца, например:

Записываем в первой строке 12,25;

Записываем во второй строке 6,25 и т.д.

Далее умножаем полученные значения пятого столбца на соответствующие частоты (из второго столбца) и результат записываем в последнем столбце, например:

Записываем в первой строке 24,50;

Записываем во второй строке 25,00 и т.д.

• В последней строке суммируем данные последнего столбца, получили 165,00. Теперь вычислим выборочную дисперсию:
• Несмещенную оценку дисперсии найдем, зная выборочную дисперсию:
• .

Источник: https://infopedia.su/14×127.html

Эмпирическая функция распределения, свойства

Вариационный ряд. Полигон и гистограмма.

• Ряд распределения — представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.
• В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:
• § Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационными.
• Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов:

В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются . Дискретная варианта — выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд. Во втором столбце содержится количество конкретных вариант, выраженное через частоты или частости:

Частоты — это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают . Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.

Частости( ) — это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

1. Графическое изображение рядов распределения
2. Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.
3. Ряды распределения изображаются в виде:
4. § Полигона
5. § Гистограммы
6. § Кумуляты
7. § Огивы
8. Полигон
9. При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) — частоты или частости.

1. Полигон на рис. 6.1 построен по данным микропереписи населения России в 1994 г.

Домохозяйства, состоящие из:	одного человека	двух человек	трех человек	5 или более	всего
Число домохозяйств в %	19,2	26,2	22,6	20,5	100,0

Гистограмма

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

На рис. 6.2. изображена гистограмма распределения населения России в 1997 г. по возрастным группам.

Все население	В том числе в возрасте
до 10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70 и старше	Всего
Численность населения	12,1	15,7	13,6	16,1	15,3	10,1	9,8	7,3	100,0

Рис.1. Распределение населения России по возрастным группам

Эмпирическая функция распределения, свойства.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x и через n – общее число наблюдений. Очевидно, относительная частота события X

Источник: https://megaobuchalka.ru/10/17556.html

Распределение Стьюдента (t-распределение). Распределения математической статистики в EXCEL

Рассмотрим Распределение Стьюдента (t-распределение). С помощью функции MS EXCEL СТЬЮДЕНТ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.

• Распределение Стьюдента (также называется t -распределением ) применяется в различных методах математической статистики:
• Определение : Если случайная величина Z распределена по стандартному нормальному закону N(0;1) и случайная величина U имеет распределение ХИ-квадрат с ν степенями свободы, то случайная величина T=Z/√(U/v) имеет t-распределение .
• Плотность распределения Стьюдента выражается формулой:
• при −∞ < t < ∞

СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .

Распределение Стьюдента (англ. Student ’ s t — distribution ) зависит от одного параметра, который называется степенью свободы ( df , degrees of freedom ).

Например, при построении доверительного интервала для среднего число степеней свободы равно df=n-1, где n – размер выборки . При увеличении числа степеней свободы это распределение стремится к стандартному нормальному распределению .

В центральной части распределения (около 0) при df=25, относительная разница со стандартным нормальным распределением составляет порядка 1%, а при df=100 разница составляет 0,25%.

По аналогии со стандартным нормальным распределением , t -распределение часто называется «стандартизированным», т.к. у него нет параметра отвечающего за положение ( среднее всегда равно 0).

Дисперсию t -распределения можно вычислить по формуле =df/(df-2)

Графики функций

1. В файле примера на листе График приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .
2. График плотности распределения Стьюдента , как и стандартного нормального распределения , является симметричным и колоколообразным, но с более тяжелыми хвостами.
3. Ниже для сравнения приведены графики плотности стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента.

Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

t-распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для t-распределения имеется функция СТЬЮДЕНТ.РАСП() , английское название — T.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина Х, имеющая распределение Стьюдента , примет значение меньше или равное х, P(X

Примечание : В файле примера на листе Функции приведены основные функции MS EXCEL, связанные с этим распределением.

Кроме этой функции в MS EXCEL имеется еще довольно много других функций, относящихся к данному распределению, но по большому счету их функционал покрывается функцией СТЬЮДЕНТ.РАСП() .

Кроме того, СТЬЮДЕНТ.РАСП() является единственной функцией, которая возвращает плотность вероятности (третий аргумент должен быть равным ЛОЖЬ). Остальные функции возвращают интегральную функцию распределения , т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение из указанного диапазона: P(X x) или даже P(|X| > x).

Очевидно, что справедливо равенство

=СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(x;n)+СТЬЮДЕНТ.РАСП(x;n;ИСТИНА)=1 т.к. первое слагаемое вычисляет вероятность P(X > x), а второе P(X

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция СТЬЮДРАСП() , которая позволяет вычислить функцию распределения (точнее — правостороннюю вероятность, т.е. P(X>x)) и объединяет возможности нескольких новых функций MS EXCEL 2010: СТЬЮДЕНТ.РАСП(x; n; ЛОЖЬ) , СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ() , СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х() . Функция СТЬЮДРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

• Если значение аргумента «хвосты» = 1, функция СТЬЮДРАСП() вычисляет правостороннюю вероятность P(X > x), где X — случайная переменная, соответствующая t-распределению. Под термином «хвост» подразумевается «хвост» распределения, в данном случае правый. На графике плотности вероятности этому «хвосту» будет соответствовать площадь фигуры под графиком (выделена синим), которая ограничена слева вертикальной линией X = x.

• Если значение аргумента «хвосты» = 2, функция СТЬЮДРАСП() вычисляет вероятность P(|X| > x) или другими словами P(X > x или X < -x). Т.е. формула =СТЬЮДРАСП(x;n;2) эквивалентна =СТЬЮДРАСП(x;n;1)*2
• Функцией СТЬЮДРАСП() значения x < 0 не поддерживаются и нельзя записать СТЬЮДРАСП(-x;n;1) . Чтобы вычислить вероятность P(X =ЕСЛИ(x>0;СТЬЮДРАСП(x;n;1);1-СТЬЮДРАСП(-x;n;1)) .

Примеры

Найдем вероятность, что случайная величина Х примет значение меньше или равное заданного x : P(X x ). Это можно сделать несколькими функциями:

• =СТЬЮДЕНТ.РАСП(x; n; ИСТИНА) или =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(-x; n; ИСТИНА) , используется свойство симметричности плотности распределения относительно оси Х.
• =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(x;n) или =СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(-x;n) , функция СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ() возвращает вероятность P(X > x), так называемую правостороннюю вероятность, поэтому, чтобы найти P(X
• =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х(x;n)/2 или =1-СТЬЮДРАСП(x;n;2)/2 , в этой формуле х может принимать только положительные значения (подробнее об этой функции см. ниже);
• =1-СТЬЮДРАСП(x; n; 1) , в этой формуле х может принимать только положительные значения, функция СТЬЮДРАСП() , как и СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ() , возвращает «правостороннюю вероятность», т.е. P(X > x).

Аналогичные вычисления для P(X > x) и P(|X| > x) приведены в файле примера на листе Функции , в том числе и для x

Обратная функция используется для вычисления альфа — квантилей , т.е. для вычисления значений x при заданной вероятности альфа , причем х должен удовлетворять выражению P{X альфа .

Функция СТЬЮДЕНТ.ОБР() используется для вычисления как двухсторонних, так и односторонних доверительных интервалов . А функции СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х() и СТЬЮДРАСПОБР() созданы специально для вычисления квантилей , необходимых для расчета двусторонних доверительных интервалов: в качестве аргумента нужно указывать уровень значимости альфа , а не альфа/2 , как для СТЬЮДЕНТ.ОБР() .

Вышеуказанные функции можно взаимозаменять, т.к. нижеуказанные формулы возвращают одинаковый результат: =СТЬЮДЕНТ.ОБР(альфа;n) =-СТЬЮДРАСПОБР(альфа*2;n) =-СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(альфа*2;n)

Некоторые примеры расчетов приведены в файле примера на листе Функции .

Примечание : Ниже приведено соответствие русских и английских названий функций: СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ() — англ. название T.DIST.RT, т.е. T-DISTribution Right Tail, the right-tailed Student’s t-distribution СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х() — англ. название T.DIST.2T, т.е.

T-DISTribution 2 Tails СТЬЮДЕНТ.ОБР() — англ. название T.INV, т.е. T-distribution INVerse СТЬЮДРАСП() — англ. название TDIST, т.е. T-DISTribution СТЬЮДРАСПОБР() — англ. название TINV, т.е. T-distribution INVerse (the right-tailed inverse of the Student’s t-distribution) СТЬЮДЕНТ.ОБР.

2Х() — англ. название T.INV.2T

Функции MS EXCEL, использующие t-распределение

Как было сказано выше, при построении доверительных интервалов используется функция ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ() — англ. название CONFIDENCE.T.

Например, формула =ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(альфа;СТАНДОТКЛОН.В(B20:B79); СЧЁТ(B20:B79)) эквивалентна классической формуле для вычисления доверительного интервала =СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-альфа/2; СЧЁТ(B20:B79)-1)* СТАНДОТКЛОН.В(B20:B79)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B20:B79))

где предполагается, что выборка находится в диапазоне B20:B79 .

Как видим, особых преимуществ в использовании ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ() нет.

Другая функция — СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ() — англ. название T.TEST, используется для оценки различия двух выборочных средних .

Оценка параметров распределения

Т.к. обычно t-распределение используется для целей математической статистики (вычисление доверительных интервалов, проверки гипотез и др.), и практически никогда для построения моделей реальных величин, то для этого распределения обсуждение оценки параметров распределения здесь не производится.

• СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Источник: https://excel2.ru/articles/raspredelenie-styudenta-t-raspredelenie-raspredeleniya-matematicheskoy-statistiki-v-ms-excel

Нормальный закон распределения Лекция 18. План лекции Нормальный закон распределения. Свойства нормального закона распределения Функции нормального закона. — презентация

1 Нормальный закон распределения Лекция 18

2 План лекции Нормальный закон распределения. Свойства нормального закона распределения Функции нормального закона распределения. Асимметрия и эксцесс. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Доверительные вероятности, доверительный интервал.

3 Нормальный закон распределения случайных величин Нормальное распределение возникает тогда, когда на изменение случайной величины действует множество различных независимых факторов, каждый из которых в отдельности не имеет преобладающего значения.

4 Кривая нормального распределения (Гаусса)

5 ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: Параметр характеризует математическое ожидание (среднее арифметическое) случайной величины, являясь центром распределения и наиболее вероятным значением. Изменение математического ожидания не влияет на форму кривой, а только вызывает ее смещение вдоль оси x. Пример: Рост в группе 101-M(x)=170 см, σ=5 см 102-M(x)=175 см, σ=5 см

• 6 Пример:
• 7 ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: Параметр характеризует изменчивость случайной величины (меру растянутости кривой вдоль оси x): чем больше, тем больше кривая растянута. Пример: Рост в группе 101-M(x)=170 см, σ=5 см 102-M(x)=170 см, σ=10 см
• 8 Пример: σ=10 σ=5

9 ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: График нормальной кривой симметричен относительно прямой x= (одинаковые по абсолютной величине отрицательные и положительные отклонения случайной величины от центра равновероятны). По мере увеличения разности (x– ) значение f(x) убывает. Это значит, что большие отклонения менее вероятны, чем малые. При (x– ) значение f(x) стремится к нулю, но никогда его не достигает.

1. 10 Функции нормального закона: Функция плотности распределения вероятностей Функция распределения вероятностей
2. 11 Задача: Записать функции нормального закона для распределения студентов по росту: M(X)=170 см; σ=5 см
3. 12 Нормальное распределение с параметрами M(x)=0 и σ=1 называется нормированным Функция плотности распределения вероятностей Функция распределения вероятностей
4. 13 Характеристики кривой нормального распределения: Коэффициент асимметрии Показатель эксцесса
5. 14 КОЭФФИЦИЕНТ АСИММЕТРИИ А>0 — правоасимметричные, А
6. 15 ПОКАЗАТЕЛЬ ЭКСЦЕССА f(x) Х Для нормального распределения показатели А=0, и Е=0
7. 16 Нормированное отклонение: Нормированным отклонением называется отклонение случайной величины x,от её математического ожидания, выраженное в единицах σ
8. 17 Найти нормированное отклонение для x=166 см, если M(x)=170 см, σ=5 см. -0,8σ
9. 18 Вероятность попадания значения случайной величины в интервал от — до x: Функция F(x) не выражается через элементарные функции, но для нее составлены таблицы, которые называются таблицами нормального интеграла вероятности
10. 19 Вероятность попадания значения случайной величины в интервал от а до b: причем Ф(–t) = 1– Ф(t) =Ф(t 2 )-Ф(t 1 )
11. 20 Значение нормальной функции распределения Ф(t) tФ(t)t t 0,10 0,53980, , , , , , ,50 0,6915 0, , , , , , , , , ,90 0,8159 0, , , , , ,928212
12. 21 Задача: Найти вероятность попадания случайной величины в интервал от 155 см до 160 см если M(x)=170 см, σ=5 см. Ф(-2)-Ф(-3)=(1-Ф(2))-(1-Ф(3))=(1-0,9772)-(1-0,9986)= 0,0228-0,0014=0,0214=2%
13. 22 Интервальные оценки нормированное отклонение х – μ=σt 1σ – 68,3%; 2σ – 95,5%; 3σ – 99,7% всех вариант Закон 3 : в пределах 3σ находится 99,7% всех вариант
14. 23 Доверительные вероятности и доверительные интервалы Вероятности 0,95 и 0,99 (95% и 99%) – доверительные вероятности Δх=± t – доверительный интервал ВероятностиИнтервалы 0,95 1,96 0,99 2,58 0,999 3,03

24 Уровни значимости Определенным значениям доверительных вероятностей соответствуют так называемые уровни значимости ( ). Уровень значимости обозначает вероятность выхода случайной величины за пределы доверительного интервала. Если доверительную вероятность обозначить – Р, а уровень значимости –, то =1 – Р.

• 25 Доверительные вероятности Уровни значимости 0,950,05 0,990,01 0,9990,001
• 26 95% доверительный интервал
• 27 Задача: Найти доверительный интервал для роста студентов с вероятностью p=0,95 ( =0,05); M(x)=170 см, σ=5 см Δх=1, см Следовательно, рост студентов находится в интервале:

28 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М.

, ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г.

Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.

Источник: http://www.myshared.ru/slide/762391/