По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Конспект урока по теме «Формулы сокращенного умножения»
Возраст учащихся: 7 класс (13-14 лет).Тема урока: «Формулы сокращенного умножения».Форма: турнир знатоков.Цели:Образовательные:- повторить и систематизировать изученный материал.- продолжить работу по…
СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ АВТОМАТИКИ И ТЕЛЕМЕХАНИКИ В УСЛОВИЯХ СОКРАЩЕНИЯ ЭНЕРГОПОТРЕБЛЕНИЯ В.В. Меликова ,Ю.Ю.Штенгель
Статья участник конференции…
СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ АВТОМАТИКИ И ТЕЛЕМЕХАНИКИ В УСЛОВИЯХ СОКРАЩЕНИЯ ЭНЕРГОПОТРЕБЛЕНИЯ В.В. Меликова ,Ю.Ю.Штенгель
Статья участник конференции…
Презентация к итоговому уроку по теме «Упражнения в составлении полных и сокращенных уравнений реакций»
Данную презентацию можно использовать для проведения итогового урока по теме «Реакции ионного обмена». Она содержит вопросы для актуализации знаний, вопросы проверки знаний техники безопасно…
«Формулы сокращённого умножения»
Интерактивный плакат поможет заинтересовать обучающихся. Материал будет полезен как для преподавателей, так и для обучающихся при изучении темы «Формулы сокращённого умножения»…
презентация к уроку латинский язык, важнейшие рецептурные сокращения
Тема: Важнейшие рецептурные сокращения является темой, которая регламентируется приказами Министерства здравоохранения. Необходимым условием для успешной практической деятельности медицинс…
Дополнительные сведенья по теме : Рецепт. Рецептурные сокращения.
Дополнительные сведенья- содержат детали выписывания рецептов, на которые студенты не обращают внимания, из-за чего делают много ошибок….
967 результатов для ‘формулы сокращенного умножения’
Формулы сокращенного умножения
Сопоставить
от Redcatschool
Формулы сокращенного умножения
Правда или ложь
от Elena206
Формулы сокращенного умножения
Случайные карты
от U4ilki
Формулы сокращенного умножения
Совпадающие пары
от Evgenija11
Формулы сокращенного умножения
Групповая сортировка
от Dashulechka09
Формулы сокращенного умножения
Откройте поле
от Seredkinav09
Формулы сокращенного умножения
Случайное колесо
от S1801lana
Формулы сокращенного умножения
Сопоставить
от Minervatanya53
7-й класс
Средняя школа
Математика
Формулы сокращенного умножения
Сопоставить
от Ssonyashi
Формулы сокращенного умножения
Викторина
от Janipko
7 класс
Формулы сокращенного умножения, сопоставить
Сопоставить
от Valeevavika
7-й класс
алгебра
Формулы сокращенного умножения, мемо
Совпадающие пары
от Viktoriyaamirovna
7-й класс
алгебра
Математика
Формулы сокращенного умножения
Совпадающие пары
от Cvetzak
7-й класс
Средняя школа
Математика
Формулы сокращенного умножения
Найди пару
от Gurueva64
Формулы сокращенного умножения
Случайное колесо
от Ssonyashi
Формулы сокращенного умножения
Сопоставить
от Pivengax54
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ.
Правда или ложь
от Bolshakovainnad
Формулы сокращенного умножения (применение).
Викторина
от Melikzadeali201
7-й класс
Математика
Формулы сокращенного умножения
Сопоставить
от Letunovaelena08
формулы сокращенного умножения. фомулировка
Сопоставить
от Mamikon04
Формулы сокращенного умножения
Групповая сортировка
от U89753939
7-й класс
Формулы сокращенного умножения кубы
Викторина
от U89753939
7-й класс
Формулы сокращенного умножения
Самолет
от Juliasokollova
Формулы сокращенного умножения
Сопоставить
от Nataliya94
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ, правда или ложь
Правда или ложь
от Viktoriyaamirovna
7-й класс
Средняя школа
Формулы сокращенного умножения
Сопоставить
от Mathx62
Формулы сокращенного умножения, с кубми
Сопоставить
от Viktoriyaamirovna
7-й класс
Средняя школа
7 класс Формулы сокращенного умножения
Сопоставить
от Wwwnata0582
Примеры на раскрытие скобок + формулы сокращенного умножения
Случайное колесо
от Msp99
Пройдите тест, чтобы оценить насколько хорошо вы знаете формулы сокращенного умножения
Викторина
от Kriginatu
7-й класс
Формула сокращенного умножения
Откройте поле
от Shenbelana
Формулы сокращённого умножения
Найди пару
от Tingaewavera
Применение формул сокращенного умножения, разложение многочлена на множители.
Викторина «Игровое шоу»
от Melikzadeali201
7-й класс
Математика
Применение формул сокращенного умножения,. разложение многочлена на множители.
Викторина
от Melikzadeali201
7-й класс
Математика
Вспоминаем таблицу умножения и порядок действий. 3 класс
Групповая сортировка
от Uchnaotlichno
2-й класс
3 класс
4-й класс
Математика
Порядок действий
Таблица умножения
Формулы
Групповая сортировка
от Dolgovad
Формулы
Привести в порядок
от U96235512
Формулы
Сопоставить
от Rjevs
3 класс
Начальная школа / начальная
Формулы
Совпадающие пары
от Sleptsova1
8 класс
Формулы
Сопоставить
от Isashakaz
Формулы
Самолет
от Rozhkovskaya
3 класс
Математика
формулы
Сбить воздушный шар
от Petrovafiz
7-й класс
Средняя школа
физика
ФОРМУЛЫ
Сопоставить
от Budanovanata101
Формулы
Сопоставить
от Bobkillerboss
Формулы
Сопоставить
от Superkozhina
Формулы
Сопоставить
от Georgnov97
Формулы
Найди пару
от Tamaragass
Формулы
Случайное колесо
от Svetozarovna
Формулы
Сопоставить
от Uzhvea
Формулы
Групповая сортировка
от Sleptsova1
8 класс
Формулы
Викторина
от Abc65
6 класс
Средняя школа
Математика
ФОРМУЛЫ
Случайное колесо
от Abc65
6 класс
Средняя школа
Математика
Формулы
Найди пару
от Natabest22
Формулы
Сопоставить
от Laurajamesess
Формулы сокращенного умножения
Сопоставить
от Elenakosuhina19
Формулы
Сопоставить
от Ata1610
5-й класс
Математика
Умножения
Сопоставить
от Simonyan1
Викторина «Таблица деления на 4»
Викторина «Игровое шоу»
от Mariateacher2020
Математика
Таблица умножения
Д — Т
Групповая сортировка
от Yanajan
таблица умножения 9
Формулы площадей
Сопоставить
от Evgenija11
Математика
Зачем и кому нужны формулы
Конечно, не все функции текстового редактора нужны каждому пользователю. Их очень много, и вряд ли кто-то из нас владеет всеми. Мне, например, редко приходится делать сноски внизу документа, но если вы пишете книгу, то без них не обойтись.
Работа с формулами нужна не только студентам и тем, кто пишет научные работы по математике, физике или химии. На самом деле иногда нужно поставить значок градуса, добавить верхний или нижний индекс в самом простом тексте для широкого круга читателей. Можно обойтись без стандартных функций программы, набрать текст вручную, но выглядеть это будет некрасиво и непрофессионально.
Многие простые и не очень задачи решаются при помощи вставки формул в документ, поэтому, я думаю, эта опция полезна для всех.
С клавиатуры
Сделать дробь без использования формулы можно при помощи дополнительной секции клавиатуры. Достаточно в ходе набора текста нажать специальную клавишу и добавится знак деления – slash «/». И тогда дробное число будет выглядеть вот так 2/3.
Обыкновенная дробь
Вставить обыкновенную дробь можно с помощью сочетания клавиш, зная код знака. В нашем случае пишем код знака 215B и удерживая Alt нажимаем на X (английская).
Расположение и название функций отличаются в разных версиях программы. У меня недавно появился Office 2020, и я буду показывать все действия на его примере. Если у вас более ранние выпуски текстового редактора, то повторяйте за мной, но будьте внимательны, названия и внешний вид пунктов меню могут немного отличаться. Я об этом еще скажу.
Чтобы добавить формулу, установите курсор в нужное место документа и отправляйтесь во вкладку “Вставка” или “Вставить” основного меню.
Теперь справа в панели инструментов находим опцию “Символы”, нажимаем на нее и выбираем раздел “Уравнение”.
Примечание: в Word 2007 и 2010 эта функция называется “Формула”, а в выпусках 2013, 2020 и 2020 годов – “Уравнение”.
После этого появится специальная рамка для ввода математического выражения, и мы окажемся в новой вкладке “Конструктор”, где отображаются все доступные шаблоны для работы с формулами в Word.
Давайте рассмотрим простой и довольно распространенный пример. Мне нужно написать площадь помещения в квадратных метрах. Чтобы сократить единицы измерения, нам понадобится верхний индекс.
Я пишу текст, затем иду во вкладку “Вставка”, “Символы”, “Уравнение”, выбираю опцию “Индекс” и кликаю по соответствующему моей задаче варианту. Затем ввожу букву “м” и верхний индекс “2” в появившееся на экране поле.
Еще одна популярная задача – это корректное отображение значка градусов, когда мы пишем температуру воздуха или чего-то еще. Снова идем в меню “Вставка”, “Символы”, “Уравнение”. Чтобы написать нужный текст, нам понадобится перечень встроенных математических символов.
Находим нужный нам значок и кликаем по нему.
Как отключить автозамену знака «Деления»
Чтобы текстовый редактор Ворд не делал автозамену при вводе дробного числа, нужно отключить данную функцию в настройках. Выполните следующие действия:
- Зайти в «Файл» — далее в «Параметры»;
- Выбрать вкладку «Правописание» — далее в разделе «Параметры автозамены» нажать на кнопку «Параметры автозамены»;
- В новом окне перейти в раздел «Автоформат при вводе» и снять галочку в подразделе «Заменять при вводе» перед строкой «дроби (1/2) соответствующими знаками».
- Сохранить все изменения кнопкой «ОК».
Основные возможности редактора формул
Мы рассмотрели с вами самые простые примеры использования редактора уравнений. Давайте теперь подробнее остановимся на доступных опциях. Добавляем новую формулу и смотрим на меню вкладки “Конструктор”.
Слева есть вкладка “Уравнение”, в ней собраны стандартные математические выражения и дополнительные материалы с сайта office.com. Просмотрите их, возможно, какие-то шаблоны вам пригодятся, и не надо будет набирать их вручную.
В том же левом углу есть опция, которая позволяет написать выражение вручную, как в тетради, а редактор сделает из нашей “писанины” печатные символы. Классная функция, но пока не до конца доработана, так что будьте внимательны. Если требуется строгое оформление документа, лучше все-таки набрать уравнение с использованием встроенных операторов или подправить его при необходимости.
С доступными математическими символами мы уже знакомились, тут есть весь необходимый набор: от сложения и умножения до знака бесконечности и оператора “не равно”.
Чтобы раскрыть полный перечень и выбрать соответствующую категорию букв и знаков, нажмите сначала на стрелочку вниз, а затем на надпись “Основные математические символы”.
Идем дальше вправо по панели инструментов. Теперь посмотрим, какие типичные выражения встроены в программу:
- простые дроби;
- значения с одинарными и двойными индексами, что позволяет легко сделать не только математическую или физическую, но и химическую формулу;
- кубические, квадратные и любые другие корни;
- обычные, двойные, тройные и контурные интегралы (о последних я, к счастью, мало что знаю, а вы?);
- операторы суммы, произведения и пересечения (последний, насколько я понимаю, применяется для множеств);
- всевозможные скобки, которые позволяют, например, записывать системы уравнений;
- тригонометрические функции;
- диакритические знаки, которые могут быть вам знакомы, если вы изучали логику или дискретный анализ в институте;
- логарифмы и пределы;
- различные операторы, отличные от стандартных “умножить”, “сложить”, “равно”;
- матрицы – моя любимая тема из высшей математики.
Все эти шаблоны собраны в подразделе “Структуры”.
ТОП формул из нашей базы:
сокращенного умножения, дискриминанта, тригонометрические, арифметическая прогрессия, приведения, площади треугольника, геометрическая прогрессия, соляная кислота, площади трапеции, производных, площади прямоугольника, мощности, спирта, разности квадратов, глюкоза, Герона, тригонометрии, сила тока, длина окружности, объем цилиндра, логарифмов, сопротивление, уксусная кислота, соли, скорости, объема шара, объема, площади, суммы арифметической прогрессии, площади круга, серная кислота, напряжение, корней квадратного уравнения, Пика, мела, работы, давления, площади квадрата, крахмала, этанол Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Создание своих шаблонов
Если вы часто набираете одни и те же математические выражения, то их можно внести в библиотеку вашего текстового редактора Word и в нужный момент вставить в документ за несколько секунд.
Для этого нажмите на треугольник рядом с готовой формулой и выберите пункт “Сохранить как новое уравнение”.
Дополните описание, если хотите, и подтвердите действие.
Теперь, чтобы ввести это выражение в другом месте текста, нажмите на слово “Уравнение” в левом углу панели инструментов, пролистайте вниз и найдите свой шаблон.
Способ 2: Semestr
Сайт Semestr предназначен для оформления формул в Word, однако подойдет и для других целей, поскольку разработчики не ставят ограничений на загрузку файла на компьютер, предлагая дополнительно и поддержку перевода в LaTeX.
Перейти к онлайн-сервису Semestr
- Все доступные составляющие формул располагаются на панели, разделенной на блоки. Соответственно, там, где вы видите пустые квадраты, должны присутствовать числа, вписываемые вручную.
- При нажатии по конкретной кнопке ее содержимое сразу же добавляется в блок формулы. Добавляйте другие числа и редактируйте присутствующие по необходимости.
- Что касается степеней, то сначала нужно написать само число, а затем уже возводить его в квадрат или куб.
- Есть в Semestr и весь греческий алфавит, буквы которого тоже могут понадобиться при составлении формул. Разверните блок с ним, чтобы использовать конкретный символ.
- Нажимайте по кнопке с плюсом для добавления новых формул в список. Они будут независимы друг от друга, однако сохранятся как один файл, который в будущем можно вставить в любую программу или использовать для других целей.
- При надобности перевести содержимое в LaTeX кликните по соответствующей зеленой кнопке, а встроенный в Semestr алгоритм выполнит весь процесс автоматически.
- После перевода скопируйте полученную формулу или скачайте ее.
- Перед загрузкой выбирайте формат, в котором хотите получить файл, нажав по подходящей кнопке.
- Ожидайте завершения загрузки, а затем переходите к дальнейшему взаимодействию с формулами.
Как редактировать и перемещать готовые формулы
С созданием уравнений мы разобрались, переходим к редактированию. Чтобы изменить формулу, кликните по ней левой кнопкой мыши. Изменить параметры можно просто вручную, а если нужно воспользоваться встроенными функциями, то перейдите во вкладку “Конструктор”.
Чтобы изменить шрифт, выделить цветом формулу или внести другие изменения в ее внешний вид, используйте стандартный набор функций Word. Выделите объект и выберите подходящий инструмент во вкладке меню “Главная” на панели “Шрифт”.
Чтобы переместить готовое математическое выражение, есть 2 пути. Кликните по нему левой кнопкой мыши, затем, удерживая ее на 3 точках в левом углу, перетяните объект по документу. Следите за темной черной полосой, это курсор. Где он находится, там и появится формула, когда мы отпустим кнопку мыши.
Я чаще пользуюсь другим способом. Выделяю формулу и нажимаю “Ctrl + X”, чтобы вырезать ее. Затем перемещаю курсор в то место, куда нужно переместить уравнение, и использую комбинацию клавиш “Ctrl + V”.
Этот способ особенно хорош, если “тащить” выражение нужно далеко.
Ручной ввод
Встроенный инструментарий ворда позволяет вручную ввести нужные знаки и элементы уравнения тем самым вы имеете возможность создать свою формулу.
Необходимо зайти во вкладку «Вставка» и кликнуть по кнопке «Уравнение». Разница с прошлым способом будет лишь в том, что здесь нам необходима сама кнопка, а не маленькая стрелочка рядом с ней.
Панель сверху позволит вам добавлять различные элементы вашей формулы. Например, логарифмы, интегралы, скобки, корни, дроби и так далее.
Для того чтобы сохранить формулу в шаблоны (например, если в вашей курсовой работе она используется часто, а вводить каждый раз будет не самым рациональным решением) необходимо выделить ее, нажав на три точки в левом верхнем углу.
После этого переходите на вкладку «Вставка», нажимайте на маленькую стрелочку возле кнопки «Уравнение» и в самом конце раскрывшегося списка нажимаем «Сохранить выделенный фрагмент в коллекцию уравнений».
После нажатия появится окно, в котором вы сможете ввести название вашей формулы, выбрать коллекцию и категорию. После выбора всех параметров нажимайте «ОК» и сможете увидеть ее уже в общем списке с остальными встроенными шаблонами.
Как работать с формулами в таблицах
В текстовом редакторе можно делать и некоторые вычисления. Для этого мы создаем таблицу и заполняем ее данными. Затем идем во вкладку “Макет” и вставляем в нужную ячейку формулу.
Теперь выбираем функцию из предложенного стандартного набора. Я, например, хочу посчитать сумму элементов в столбце. Выглядеть формула будет так.
Какие действия доступны в таблицах Word:
- ABS – абсолютное значение числа;
- AND – проверка истинности выражения;
- AVERAGE – вычисление среднего арифметического значения;
- COUNT – подсчет количества элементов в диапазоне;
- DEFINED – показывает, правильно ли составлено выражение в скобках;
- FALSE – функция всегда возвращает 0;
- IF – проверка истинности условия;
- INT – округление до ближайшего целого числа;
- MAX – поиск наибольшего значения из заданных;
- MIN – определение минимального значения;
- MOD – нахождение остатка от деления;
- NOT – еще один оператор для проверки истинности выражения;
- OR – проверка на истинность хотя бы одного из двух условий;
- PRODUCT – произведение элементов;
- ROUND – округление с заданной точностью;
- SUM – сумма;
- SIGN – определяем, является ли число положительным или отрицательным;
- TRUE – проверка истинности выражения.
Установка программы
Так как Microsoft Equation является частью программы MS Word, то и установка его осуществляется при установке данной программы. В свою очередь, MS Word устанавливается при инсталляции MS Office. Если после установки последнего невозможно найти редактор формул, значит, в установщике по умолчанию снята галочка на его установку. Для того чтобы установить Microsoft Equation, необходимо зайти в «Панель управления», там выбрать «Установка и удаление программ», найти Microsoft Office, щелкнуть по кнопке «Изменить» или «Изменить/Удалить». В появившемся окне выбрать «Средства Office» и развернуть их, нажав на плюсик слева. В результате этого развернется список, в котором находим редактор формул, напротив которого ставим галочку.
Настройка интервалов
По подобию настройки интервалов в меню «Абзац» и меню «Шрифт» в редакторе формул также можно изменять интервалы между элементами. Для этого в меню «Формат» выбираем пункт «Интервал». В открывшемся окне интервалы определяются в процентах. Они определяются по отношению к обычному размеру шрифта, который был выбран в одноименном окне. Здесь так же, как и в окне размеров шрифтов, имеется просмотр справа. Изменение интервала будет наглядно представлено в этом просмотре.
В случае если все введенное не понравилось, можно все восстановить, нажав кнопку «По умолчанию».
Исправление формул
Если вводятся похожие формулы, необходимость их постоянного ввода может отпасть, если один раз скопировать введенную формулу, а затем ее вставлять и править. Правка осуществляется в редакторе формул Microsoft Equation. При этом происходит двойной клик на формуле. В результате происходит включение данной программы, формула становится доступной для редактирования. После того как формула будет поправлена, нужно кликнуть мышкой за ее пределами, в результате чего введенная формула станет рисунком и появится обычное меню MS Word.
Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто формулы фсу позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.
В данной статье мы кратко перечислим основные формулы сокращенного умножения по алгебре, сгруппируем их в правильную таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.
Формулы сокращенного умножения. Таблица
Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул, которые придется изучать и запоминать.
- формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
- квадратная формула разности: a-b2=a2-2ab+b2
- формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
- формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
- формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
- формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
- формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2
Английскими буквами a, b, c во всех формулах сокращенного умножения (в выражениях) могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул или уравнений наизусть. Чтобы вам было проще учить, сведем их в таблицу сокращенного умножения и приведем ниже, обведя рамкой. Это будет ваш своеобразный онлайн гайд, важный и нужный.
Первые четыре формулы сокращенного умножения на математическом языке позволяют правильно вычислять соответственно квадрат суммы или кубическую сумму, или разности двух выражений.
Пятая формула скор умножения вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.
Шестая и седьмая формулы сокращенного умн. — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.
Формулу сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.
Чтобы решить практические примеры, часто в качестве помощи используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.
Также есть формулы сокращенного умножения под корнем.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Не будем ограничиваться курсом 7 класса уроков по алгебре и математике и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.
Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.
a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+..+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn
Здесь Cnk — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:
Cnk=n!k!·(n-k)!=n(n-1)(n-2)..(n-(k-1))k!
Другими словами, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.
Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
a1+a2+..+an2=a12+a22+..+an2+2a1a2+2a1a3+..+2a1an+2a2a3+2a2a4+..+2a2an+2an-1an
Как читается эта формула? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Еще одна формула, которая может пригодиться — формула разности n-ых степеней двух слагаемых.
an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+..+a2bn-2+bn-1
Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.
Для четных показателей 2m:
a2m-b2m=a2-b2a2m-2+a2m-4b2+a2m-6b4+..+b2m-2
Для нечетных показателей 2m+1:
a2m+1-b2m+1=a2-b2a2m+a2m-1b+a2m-2b2+..+b2m
Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n=2 и n=3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на -b.
Как читать формулы сокращенного умножения?
Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере формулы сокращенного умножения. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.
a+b2=a2+2ab+b2.
Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.
Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a-b2=a2-2ab+b2 запишем:
квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.
Прочитаем формулу a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.
Переходим к чтению формулы для разности кубов a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.
Пятая формула a2-b2=a-ba+b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.
Выражения типа a2+ab+b2 и a2-ab+b2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом их разности.
С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитывать нужно так:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.
Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.
a-b2=a2-2ab+b2.
Чтобы возвести выражение во вторую степень, нужно это выражение умножить само на себя.
a-b2=a-ba-b.
Раскроем скобки:
a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.
Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.
Где можно применять ФСУ на примерах
Цель использования формул сокращенного умнож-я — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, когда нужно раскладывать многочлены на множители. Приведем примеры.
Сделаем выражение упрощенным 9y-(1+3y)2.
Применим формулу суммы квадратов по правилу и получим следующую форму:
9y-(1+3y)2=9y-(1+6y+9y2)=9y-1-6y-9y2=3y-1-9y2
Сократим дробь 8×3-z64x2-z4.
Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.
8×3-z64x2-z4=2x-z(4×2+2xz+z4)2x-z2x+z.
Сокращаем и получаем:
8×3-z64x2-z4=(4×2+2xz+z4)2x+z
Также ФСУ помогают быстрым способом вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.
Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений, запишем:
79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.
Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием метода математических формул умножения, приведенных сокращенно, и таблицы умножения.
Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4×2+4x-3 можно преобразовать в вид 2×2+2·2·x·1+12-4=2x+12-4. Такие преобразования широко используются в интегрировании.
Зачем нужны формулы сокращенного умножения?
Формулы сокращенного умножения (ФСУ) используются для упрощения многочленов в алгебре. Они позволяют уменьшить количество слагаемых в многочлене и представить его в более компактной форме. Например, с использованием формулы сокращенного умножения можно умножить (x + 2)(x + 3) и получить x2 + 5x + 6 вместо (x2 + 5x + 6) + (x2 + x + 6).
ФСУ позволяют решать такие задачи, как:
- Умножение многочленов.
- Решение уравнений и неравенств многочленов.
- Решение геометрических задач.
- Расчет коэффициентов многочленов.
- Решение задач в математической статистике.
Также ФСУ могут применяться и в других областях математики, таких как линейная алгебра, комбинаторика, математическая физика и т.д.
Кроме того, ФСУ могут быть полезны в ряде случаев и для обычного человека:
- Решение домашних заданий. Например, для выполнения заданий по математике, когда нужно решать задачи по многочленам.
- Решение жизненных задач. Например, для расчета площади и объема тел с использованием многочленов.
- Решение кроссвордов и головоломок. Например, для ответов на вопросы и решения головоломок, которые связаны с математикой.
- Решение задач в свободное время. Формулы сокращенного умножения могут быть интересным развлечением. Например, в свободное время вы можете решать те же математические головоломки или развивать математические навыки.
Начало формы
В целом, знание формул сокращенного умножения позволяет человеку не только справляться с математическими заданиями, но и развивать свой интеллект и поддерживать в тонусе мозг, что помогает продлить его здоровье и предупредить возникновение различных возрастных изменений, в том числе и очень опасных.
Какие есть формулы сокращенного умножения?
Вообще, есть несколько основных ФСУ и ряд дополнительных. Основные используются чаще всего, а выделить среди них можно следующие:
- Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²
- Квадрат разности: (a – b)² = a² – 2ab + b²
- Разность квадратов: (a – b)(a + b) = a² – b²
- Сумма кубов: (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³
- Разность кубов: (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³
- Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- Куб разности: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Кстати, если поменять местами левую и правую части формул, мы получим формулы разложения на множители, а именно:
- Квадрат суммы: a² + 2ab + b² = (a + b)²
- Квадрат разности: a² – 2ab + b² = (a – b)²
- Разность квадратов: a² – b² = (a – b)(a + b)
- Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
- Разность кубов: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
- Куб суммы: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
- Куб разности: a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³
Эта обратная запись ФСУ отлично годится, чтобы раскладывать на множители многочлены, сокращать алгебраические дроби и решать самые разные примеры.
И при всем этом очень важно раз и навсегда запомнить, что:
- (a + b)2 ≠ a2 + b2
- (a – b)2 ≠ a2 – b2
Эта ошибка (когда люди ставят знак равенства между данными частями уравнений) встречается очень часто и приводит к многочисленным неправильным решениям.
Что же касается непосредственно ФСУ, то обычно в школе учителя просят учеников все эти формулы запомнить, однако их достаточно легко получить. Для этого нужно просто раскрыть скобки с помощью закона распределения (распределительного закона).
Распределительный закон
Распределительный закон в математике – это формальное определение для свойства алгебраических операций, которое говорит о том, что произведение двух скобок равно сумме произведений каждого элемента в первой скобке с каждым элементом во второй скобке. Если проще, то можно умножать на число либо всю сумму, либо отдельно каждое слагаемое, и результат будет один и тот же.
Распределительный закон может быть описан формулой:
(a+b)c = ac + bc
А еще можете запомнить другие формулы распределительного закона:
- ab + ac = a(b + c)
- a(b + c) = ab + ac
- ab – ac = a(b – c)
- ab + ac + ad + … = a (b + c + d + …)
Давайте посмотрим на действие этого закона на примере.
Как мы помним, распределительный закон можно применить к следующему выражению:
a(b + c) = ab + ac
Здесь мы распределяем множитель «а» над слагаемыми «b» и «c» внутри скобок. Это означает, что мы умножаем «а» на «b» и «а» на «c» и получаем ab и ac соответственно. Например:
3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27
Также можно использовать распределительный закон наоборот, т.е. (a + b)c = ac + bc, и тогда мы получим:
(3 + 2)5 = 3 × 5 + 2 × 5 = 15 + 10 = 25
В обоих случаях результат совпадает, даже если мы распределили умножение до или после сложения.
Распределительный закон может быть применен и к сложным выражениям с несколькими скобками и сложными множителями. Например:
a(b + c + d) – e(f + g) = a(b + c + d) – ef – eg = ab + ac + ad – ef – eg
Здесь мы распределяем множитель «а» над слагаемыми «b», «c» и «d» внутри первых скобок, а множитель «e» над слагаемыми «f» и «g» внутри вторых скобок. Это означает, что мы умножаем «a» Начало формы
на «b», «a» на «c» и «a» на «d» и получаем ab, ac и ad соответственно. Также мы умножаем «e» на «f» и «e» на «g» и получаем ef и eg соответственно. Например:
2(3 + 4 + 5) – 3(2 + 1) = 2 × 3 + 2 × 4 + 2 × 5 – 3 × 2 – 3 × 1 = 6 + 8 + 10 – 6 – 3 = 15
В этом примере сначала мы раскрываем скобки и применяем распределительный закон, а затем складываем и вычитаем соответствующие члены, получая результат.
Важно отметить, что применение распределительного закона может помочь упростить и ускорить решение математических задач, но необходимо быть внимательными и тщательно проверять правильность решения, особенно в сложных выражениях.
Как запомнить формулы сокращенного умножения?
Самый простой способ запомнить ФСУ – это выучить их названия. Например, у нас есть формула (a + b)2, т.е. квадрат скобок, а в скобках у нас сумма, и это значит, что данное выражение называется квадратом суммы (точно так же, как квадрат разности, если в скобках стоит знак «–»). По аналогии, (a + b)3 и (a – b)3 будут называться кубом суммы и кубом разности.
Если же мы имеем выражение a2 – b2, где оба выражения в квадрате, это будет разностью квадратов. И точно так же можно запомнить, что такое разность и сумма кубов и т.д.
Но как же запомнить сами формулы? Здесь на помощь приходят механическая память и несколько секретов запоминания. Например, нам нужно запомнить квадрат суммы (a + b)² = a² + 2ab + b². Смотреть на формулу и стараться ее «сфотографировать» – не очень эффективная стратегия. Лучше всего выучить формулу в ее словесной формулировке, а звучит она так:
- Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Словесные формулировки многократно улучшают запоминание ФСУ и пригождаются в самых разных ситуациях, когда приходится эти самые формулы вспоминать. Поэтому запомните и формулировки других формул:
- Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
- Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.
- Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
- Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.
- Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
- Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.
Запомнить эти формулировки при должном усердии достаточно просто. Но не возникло ли у вас сомнений в том, что все эти формулы верны? Если сомнения возникли, это вполне нормальное явление, ведь сомневаться всегда полезно. И несмотря на то, что данные ФСУ используются людьми уже много лет, давайте все же посмотрим на их доказательство.
Доказательство формул сокращенного умножения
Доказательство ФСУ мы рассмотрим на примере формулы разности квадратов.
Как мы помним, разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы, т.е. a2 – b2 = (a – b)(a + b).
Говоря другими словами, произведение суммы a и b на их разность равно разности их квадратов, т.е. (a – b )(a + b) = a2 – b2.
При этом важно помнить, что разность квадратов не равна квадрату разности, т.е. a2 – b2 ≠ (a – b)2.
Поэтому давайте докажем, что a2 – b2 = (a – b)(a + b).
Начало формы
С помощью искусственного метода прибавим и отнимем одно и тоже ab:
+ ab – ab = 0, т.е. a2 – b2 = a2 – b2 + ab – ab
Если сгруппировать другим образом, мы получим:
a2 – b2 + ab – ab = a2 – ab + ab – b2
Продолжая группировать, получаем:
a2 – ab – b2 + ab = (a2 – ab) + (ab – b2)
Теперь выносим общие множители за скобки и получаем:
(a2 – ab) + (ab – b2) = a(a – b) + b(a – b)
Выносим за скобки (a – b) и получаем:
a(a – b) + b(a – b) = (a – b)(a + b)
И результатом доказательства является:
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
А чтобы доказать формулу в обратную сторону, т.е. что (a – b)(a + b) = a2 – b2, раскрываем скобки и получаем:
(a – b)(a + b) = aa + ab – ba – bb = a2 – b2.
Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.
А еще вы наверняка помните, что мы говорили о дополнительных формулах сокращенного умножения. О них стоит сказать чуть подробнее.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Есть три основные дополнительные ФСУ – это бином Ньютона, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых, а также формула разности n-ых степеней двух слагаемых. Коротко о каждой из них.
Бином Ньютона
Бином Ньютона – это формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Выглядит она следующим образом:
Ck в степени n – это биноминальные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике Паскаля. Вычисляются эти коэффициенты по формуле:
Иначе говоря, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3 соответственно.
Однако может быть так, что слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. В таком случае подойдет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Как и было сказано, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых нужна, когда слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
Выглядит она так:
Читать и запоминать эту формулу нужно следующим образом: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
И последняя формула – это формула разности n-ых степеней двух слагаемых, выглядящая вот так:
Как правило, данную формулу разделяют на две отдельные: для четных и нечетных степеней.
Формула для четных показателей 2m:
Формула для нечетных показателей 2m + 1:
Несложно догадаться, что ФСУ разности квадратов и кубов являются частными случаями данной формулы при n=2 и n=3 соответственно. А для разности кубов b заменяется на –b.
Рассмотренные нами ФСУ и дополнительные ФСУ обязательно помогут вам быстрее справляться с математическими задачами и занимать свой мозг полезной деятельностью.
Вопросы и ответы
И напоследок несколько ответов на часто задаваемые вопросы.
Для чего нужны формулы сокращенного умножения?
Формулы сокращенного умножения нужны, чтобы упростить и ускорить вычисления, а также для улучшения наглядности и понимания математических выражений.
В настоящее время ФСУ широко используются в образовании и науке, а также в практической жизни. Они применяются в различных областях, таких как математика, физика, химия и инженерия, плюс могут применяться к решению различных задач, например, в области финансов, менеджмента и исследования данных.
Как появились формулы сокращенного умножения?
Формулы сокращенного умножения появились в результате исследований математиков в области алгебры и арифметики и основаны на использовании их свойств, таких как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.
Если обратиться к истории, можно узнать, что такими формулами пользовались еще в Древнем Вавилоне и Древнем Египте. Первым же, кто доказал математическую закономерность квадрата суммы, был древнегреческий ученый Евклид, живший в III веке до н.э. А на общепринятом языке математические формулы были обоснованы Исааком Ньютоном.
Сколько всего формул сокращенного умножения?
Не существует точного количества формул сокращенного умножения, т.к. их можно создавать неограниченное количество. Но в основном изучают и используют семь основных формул. Это квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов, куб суммы и куб разности. Также распространено применения трех дополнительных ФСУ, таких как бином Ньютона, формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых и формула разности n-ых степеней двух слагаемых.
Почему формулы сокращенного умножения изучают на алгебре в 7 классе?
Формулы сокращенного умножения изучаются на алгебре в 7 классе, потому что именно на этом этапе школьники знакомятся с понятием многочлена и действиям с ним. Кроме того, ФСУ являются важным и основным инструментом для решения математических задач и упрощения вычислений.
Формулы помогают ученикам развить навыки в решении простых задач, а также дают им навыки для решения более сложных задач в будущем, что в перспективе способно помочь молодым людям в их дальнейшем обучении и карьере.
Можно ли не использовать формулы сокращенного умножения?
Конечно, при решении математических задач можно и не использовать формулы сокращенного умножения. Однако без них процесс решения может оказаться очень трудоемким и долгим. ФСУ же заметно упрощают его и помогают справляться с заданиями намного быстрее.
Помимо прочего, ФСУ входят в обязательную школьную программу, вследствие чего преподаватели часто требуют от учеников, во-первых, знать эти формулы наизусть, а во-вторых, решать задания именно с их помощью.