Формула линейной зависимости в excel

Задача отыскания функциональной зависимости очень важна, поэтому для ее решения в MS Excel введен набор функций, основанных на методе наименьших квадратов. В качестве результата выдаются не только коэффициенты функции, приближающей данные, но и статистические характеристики полученных результатов.

Смысл выходной статистической информации функции ЛИНЕЙН

Функция ЛИНЕЙН рассчитывает статистику для ряда с применением метода наименьших квадратов, вычисляя прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные. Функция возвращает массив, который описывает полученную прямую.

Общий синтаксис вызова функции ЛИНЕЙН имеет следующий вид:

ЛИНЕЙН(известные_значения_y;известные_значения_x;конст;статистика)

Для работы с функцией необходимо заполнить как минимум 1 обязательный и при необходимости 3 необязательных аргумента:

1. Известные_значения_y − это множество значений y, которые уже известны для соотношения y=mx+b.
2. Известные_значения_x − это множество известных значений x. Если этот аргумент опущен, то предполагается, что это массив {1; 2; 3; …} такого же размера, как и известные_значения_y.
3. Конст − это логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0. Если в функции ЛИНЕЙН аргумент константа имеет значение ЛОЖЬ, то b полагается равным 0 и значения m подбираются так, чтобы выполнялось соотношение y = mx.
4. Статистика − это логическое значение, которое указывает, требуется ли выдать дополнительную статистику по регрессии.



Примеры использования функции ЛИНЕЙН в Excel

Для решения первой задачи – о соотношении часов подготовки студентов к тесту и результатов теста, как х и у соответственно, – необходимо применить следующий порядок действий (в связи с тем, что ЛИНЕЙН является функцией, которая возвращает массив):

1. Выделите диапазон D2:Е2, так как функция ЛИНЕЙН возвращает массив из двух значений, расположенных по горизонтали, но не по вертикали.
2. Введите известные значения y – баллы, которые студенты заработали на последнем тестировании (диапазон ячеек В2:В12).
3. Затем введите известные значения х – количество часов, которые студенты потратили на подготовку к тестам (диапазон А2:А12).
4. Опустите аргумент [конст].
5. Опустите аргумент [статистика].
6. Введите формулу с помощью Ctrl+Shift+Enter.

Результатом применения функции становится:

Теперь, на примере решения второй задачи, разберем необходимость в отображении не только наклона и отрезка, но и дополнительной статистики. Для примера, на диапазоне А1:В6 выстроим таблицу с соотношением у и х соответствующих сумме заработка студентом денежных средств за период в 5 месяцев. Так как мы имеем лишь одну переменную х, то необходимо выделить диапазон состоящий из двух столбцов и пяти строк. Важно отметить, что в том случае, если переменных х будет больше, то количество столбцов может изменяться соответственно их количеству, однако строк будет всегда 5.

Применительно к решаемой нами задаче, выделим диапазон Е2:F6, затем введем формулу аналогично предыдущей задаче, но в данном случае третьему и четвертому аргументу присвоим значение 1 соответствующее ИСТИНЕ. Для вывода параметров статистики функции ЛИНЕЙН необходимо нажат Ctrl+Shift+Enter, результат должен соответствовать следующему рисунку, на котором представлено обозначение дополнительных статистик:

Вернемся к примеру № 1, касающемуся зависимости между часами подготовки студентов к тесту и баллов за тест. Добавим к условию задачи данные о баллах за домашнее задание — представляющие дополнительную переменную х, что свидетельствует о необходимости применения множественной регрессии.

В случае множественной регрессии, когда значения «y» зависят от двух переменных «х», функция ЛИНЕЙН возвращает 12 статистик. На рисунке с модифицированной таблицей от 1 примера, представленном ниже используются следующие обозначения:

• y = зависимая переменная;
• x1 = независимая переменная 1 = баллы за домашнее задание;
• x2 = независимая переменная 2 = часы подготовки к тесту.

Чтобы выполнить множественную регрессию:

1. Выделите диапазон В3:D7 (число столбцов = число переменных +1; число строк всегда равно 5).
2. Наберите формулу =ЛИНЕЙН(D14:D24;B14:C24;1;1). Для аргумента известные_значения_х, выделите оба столбца значений x из диапазона В14:С24.
3. Введите функцию с помощью клавиш Ctrl+Shift+Enter.
4. Обратите внимание, что несмотря на то, что значения х1 указаны в диапазоне В14:С24 до значений х2, наклон сначала указан для х2.

Диапазон D5:D7 содержит ошибку #Н/Д – значащую, что формула не может обнаружить значения для данных ячеек. Визуально наличие ошибки отвлекает от сути решения, поэтому далее предложим вариант избавления от нее. Так, если дополнить формулу содержащую функцию ЛИНЕЙН функцией ЕСЛИОШИБКА, то можно значительно улучшить вид таблицы, результат которой представлен ниже:

Распределение статистик в таблице их значение представлено на следующем рисунке:

Скачать примеры функции ЛИНЕЙН в Excel

В результате мы получили всю необходимую выходную статистическую информацию, которая нас интересует.

Регрессия позволяет прогнозировать зависимую переменную на основании значений фактора. В

MS

EXCEL

имеется множество функций, которые возвращают не только наклон и сдвиг линии регрессии, характеризующей линейную взаимосвязь между факторами, но и регрессионную статистику. Здесь рассмотрим простую линейную регрессию, т.е. прогнозирование на основе одного фактора.

Disclaimer

: Данную статью не стоит рассматривать, как пересказ главы из учебника по статистике. Статья не обладает ни полнотой, ни строгостью изложения положений статистической науки. Эта статья – о применении MS EXCEL для целей

Регрессионного анализа.

Теоретические отступления приведены лишь из соображения логики изложения. Использование данной статьи для изучения

Регрессии

– плохая идея.

Статья про

Регрессионный анализ

получилась большая, поэтому ниже для удобства приведены ее разделы:

• Немного теории и основные понятия
• Предположения линейной регрессионной модели
• Задачи регрессионного анализа
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (используя функции MS EXCEL)
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (через статистики выборок)
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (матричная форма)
• Построение линии регрессии
• Коэффициент детерминации
• Стандартная ошибка регрессии
• Стандартные ошибки и доверительные интервалы для наклона и сдвига
• Проверка значимости взаимосвязи переменных
• Доверительные интервалы для нового наблюдения Y и среднего значения
• Проверка адекватности линейной регрессионной модели

Примечание

: Если прогнозирование переменной осуществляется на основе нескольких факторов, то имеет место

множественная регрессия

.

Чтобы разобраться, чем может помочь MS EXCEL при проведении регрессионного анализа, напомним вкратце теорию, введем термины и обозначения, которые могут отличаться в зависимости от различных источников.

Примечание

: Для тех, кому некогда, незачем или просто не хочется разбираться в теоретических выкладках предлагается сразу перейти к вычислительной части —

оценке неизвестных параметров линейной модели

.

Немного теории и основные понятия

Пусть у нас есть массив данных, представляющий собой значения двух переменных Х и Y. Причем значения переменной Х мы можем произвольно задавать (контролировать) и использовать эту переменную для предсказания значений зависимой переменной Y. Таким образом, случайной величиной является только переменная Y.

Примером такой задачи может быть производственный процесс изготовления некого волокна, причем

прочность этого волокна

(Y) зависит только от

рабочей температуры процесса

в реакторе (Х), которая задается оператором.

Построим

диаграмму рассеяния

(см.

файл примера лист Линейный

), созданию которой

посвящена отдельная статья

. Вообще, построение

диаграммы рассеяния

для целей

регрессионного анализа

де-факто является стандартом.

СОВЕТ

: Подробнее о построении различных типов диаграмм см. статьи

Основы построения диаграмм

и

Основные типы диаграмм

.

Приведенная выше

диаграмма рассеяния

свидетельствует о возможной

линейной взаимосвязи

между Y от Х: очевидно, что точки данных в основном располагаются вдоль прямой линии.

Примечание

: Наличие даже такой очевидной

линейной взаимосвязи

не может являться доказательством о наличии причинной взаимосвязи переменных. Наличие

причинной

взаимосвязи не может быть доказано на основании только анализа имеющихся измерений, а должно быть обосновано с помощью других исследований, например теоретических выкладок.

Примечание

: Как известно, уравнение прямой линии имеет вид

Y

=

m

*

X

+

k

, где коэффициент

m

отвечает за наклон линии (

slope

),

k

– за сдвиг линии по вертикали (

intercept

),

k

равно значению Y при Х=0.

Предположим, что мы можем зафиксировать переменную Х (

рабочую температуру процесса

) при некотором значении Х

_i

и произвести несколько наблюдений переменной Y (

прочность нити

). Очевидно, что при одном и том же значении Хi мы получим различные значения Y. Это обусловлено влиянием других факторов на Y. Например, локальные колебания давления в реакторе, концентрации раствора, наличие ошибок измерения и др. Предполагается, что воздействие этих факторов имеет случайную природу и для каждого измерения имеются одинаковые условия проведения эксперимента (т.е. другие факторы не изменяются).

Полученные значения Y, при заданном Хi, будут колебаться вокруг некого

значения

. При увеличении количества измерений, среднее этих измерений, будет стремиться к

математическому ожиданию

случайной величины Y (при Х

_i

) равному μy(i)=Е(Y

_i

).

Подобные рассуждения можно привести для любого значения Хi.

Чтобы двинуться дальше, воспользуемся материалом из раздела

Проверка статистических гипотез

. В статье о

проверке гипотезы о среднем значении генеральной совокупности

в качестве

нулевой

гипотезы

предполагалось равенство неизвестного значения μ заданному μ0.

В нашем случае

простой линейной регрессии

в качестве

нулевой

гипотезы

предположим, что между переменными μy(i) и Хi существует линейная взаимосвязь μ

_y(i)

=α* Х

_i

+β. Уравнение μ

_y(i)

=α* Х

_i

+β можно переписать в обобщенном виде (для всех Х и μ

_y

) как μ

_y

=α* Х +β.

Для наглядности проведем прямую линию соединяющую все μy(i).

Данная линия называется

регрессионной линией генеральной совокупности

(population regression line), параметры которой (

наклон

a и

сдвиг β

) нам не известны (по аналогии с

гипотезой о среднем значении генеральной совокупности

, где нам было неизвестно истинное значение μ).

Теперь сделаем переход от нашего предположения, что μy=a* Х +

β

, к предсказанию значения случайной переменной Y в зависимости от значения контролируемой переменной Х. Для этого уравнение связи двух переменных запишем в виде Y=a*X+β+ε, где ε — случайная ошибка, которая отражает суммарный эффект влияния других факторов на Y (эти «другие» факторы не участвуют в нашей модели). Напомним, что т.к. переменная Х фиксирована, то ошибка ε определяется только свойствами переменной Y.

Уравнение Y=a*X+b+ε называют

линейной регрессионной моделью

. Часто Х еще называют

независимой переменной

(еще

предиктором

и

регрессором

, английский термин

predictor

,

regressor

), а Y –

зависимой

(или

объясняемой

,

response

variable

). Так как

регрессор

у нас один, то такая модель называется

простой линейной регрессионной моделью

(

simple

linear

regression

model

). α часто называют

коэффициентом регрессии.

Предположения линейной регрессионной модели перечислены в следующем разделе.

Предположения линейной регрессионной модели

Чтобы модель линейной регрессии Yi=a*Xi+β+ε

_i

была адекватной — требуется:

• Ошибки ε
  
  _i
  
  должны быть независимыми переменными;
• При каждом значении Xi ошибки ε
  
  _i
  
  должны быть иметь нормальное распределение (также предполагается равенство нулю математического ожидания, т.е. Е[ε
  
  _i
  
  ]=0);
• При каждом значении Xi ошибки ε
  
  _i
  
  должны иметь равные дисперсии (обозначим ее σ
  
  ²
  
  ).

Примечание

: Последнее условие называется

гомоскедастичность

— стабильность, гомогенность дисперсии случайной ошибки e. Т.е.

дисперсия

ошибки σ

²

не должна зависеть от значения Xi.

Используя предположение о равенстве математического ожидания Е[ε

_i

]=0 покажем, что μy(i)=Е[Yi]:

Е[Yi]= Е[a*Xi+β+ε

_i

]= Е[a*Xi+β]+ Е[ε

_i

]= a*Xi+β= μy(i), т.к. a, Xi и β постоянные значения.

Дисперсия

случайной переменной Y равна

дисперсии

ошибки ε, т.е. VAR(Y)= VAR(ε)=σ

²

. Это является следствием, что все значения переменной Х являются const, а VAR(ε)=VAR(ε

_i

).

Задачи регрессионного анализа

Для проверки гипотезы о линейной взаимосвязи переменной Y от X делают выборку из генеральной совокупности (этой совокупности соответствует

регрессионная линия генеральной совокупности

, т.е.  μy=a* Х +β). Выборка будет состоять из n точек, т.е. из n пар значений {X;Y}.

На основании этой выборки мы можем вычислить оценки наклона a и сдвига β, которые обозначим соответственно

a

и

b

. Также часто используются обозначения â и b̂.

Далее, используя эти оценки, мы также можем проверить гипотезу: имеется ли линейная связь между X и Y статистически значимой?

Таким образом:

Первая задача

регрессионного анализа

– оценка неизвестных параметров (

estimation

of

the

unknown

parameters

). Подробнее см. раздел

Оценки неизвестных параметров модели

.

Вторая задача

регрессионного анализа

–

Проверка адекватности модели

(

model

adequacy

checking

).

Примечание

: Оценки параметров модели обычно вычисляются

методом наименьших квадратов

(МНК),

которому посвящена отдельная статья

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (используя функции MS EXCEL)

Неизвестные параметры

простой линейной регрессионной модели

Y=a*X+β+ε оценим с помощью

метода наименьших квадратов

(в

статье про МНК подробно описано этот метод

).

Для вычисления параметров линейной модели методом МНК получены следующие выражения:

Таким образом, мы получим уравнение прямой линии Y=

a

*X+

b

, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные.

Примечание

: В статье про

метод наименьших квадратов

рассмотрены случаи аппроксимации

линейной

и

квадратичной функцией

, а также

степенной

,

логарифмической

и

экспоненциальной функцией

.

Оценку параметров в MS EXCEL можно выполнить различными способами:

• с помощью функций
  
  НАКЛОН()
  
  и
  
  ОТРЕЗОК()
  
  ;
• с помощью функции
  
  ЛИНЕЙН()
  
  ; см. статью

  Функция MS EXCEL ЛИНЕЙН()

• формулами через статистики выборок

  ;

• в матричной форме

  ;

• с помощью

  инструмента Регрессия надстройки Пакет Анализа

  .

Сначала рассмотрим функции

НАКЛОН()

,

ОТРЕЗОК()

и

ЛИНЕЙН()

.

Пусть значения Х и Y находятся соответственно в диапазонах

C

23:

C

83

и

B

23:

B

83

(см.

файл примера

внизу статьи).

Примечание

: Значения двух переменных Х и Y можно сгенерировать, задав тренд и величину случайного разброса (см. статью

Генерация данных для линейной регрессии в MS EXCEL

).

В MS EXCEL наклон прямой линии

а

(

оценку

коэффициента регрессии

), можно найти по

методу МНК

с помощью функции

НАКЛОН()

, а сдвиг

b

(

оценку

постоянного члена

или

константы регрессии

), с помощью функции

ОТРЕЗОК()

. В английской версии это функции SLOPE и INTERCEPT соответственно.

Аналогичный результат можно получить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

, английская версия LINEST (см.

статью об этой функции

).

Формула

=ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

вернет наклон

а

. А формула =

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);2)

— сдвиг

b

. Здесь требуются пояснения.

Функция

ЛИНЕЙН()

имеет 4 аргумента и возвращает целый массив значений:

ЛИНЕЙН(известные_значения_y; [известные_значения_x]; [конст]; [статистика])

Если 4-й аргумент

статистика

имеет значение ЛОЖЬ или опущен, то функция

ЛИНЕЙН()

возвращает только оценки параметров модели:

a

и

b

.

Примечание

: Остальные значения, возвращаемые функцией

ЛИНЕЙН()

, нам потребуются при вычислении

стандартных ошибок

и для

проверки значимости регрессии

. В этом случае аргумент

статистика

должен иметь значение ИСТИНА.

Чтобы вывести сразу обе оценки:

• в одной строке необходимо выделить 2 ячейки,
• ввести формулу в

  Строке формул

• нажать
  
  CTRL
  
  +
  
  SHIFT
  
  +
  
  ENTER
  
  (см. статью про

  формулы массива

  ).

Если в

Строке формул

выделить формулу =

ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

и нажать

клавишу F9

, то мы увидим что-то типа {3,01279389265416;154,240057900613}. Это как раз значения

a

и

b

. Как видно, оба значения разделены точкой с запятой «;», что свидетельствует, что функция вернула значения «в нескольких ячейках одной строки».

Если требуется вывести параметры линии не в одной строке, а одном столбце (ячейки друг под другом), то используйте формулу =

ТРАНСП(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83))

. При этом выделять нужно 2 ячейки в одном столбце. Если теперь выделить новую формулу и нажать клавишу F9, то мы увидим что 2 значения разделены двоеточием «:», что означает, что значения выведены в столбец (функция

ТРАНСП()

транспонировала строку в столбец

).

Чтобы разобраться в этом подробнее необходимо ознакомиться с

формулами массива

.

Чтобы не связываться с вводом

формул массива

, можно

использовать функцию ИНДЕКС()

. Формула =

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);1)

или просто

ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

вернет параметр, отвечающий за наклон линии, т.е.

а

. Формула

=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);2)

вернет параметр

b

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (через статистики выборок)

Наклон линии, т.е. коэффициент

а

, можно также вычислить через

коэффициент корреляции

и

стандартные отклонения выборок

:

=

КОРРЕЛ(B23:B83;C23:C83) *(СТАНДОТКЛОН.В(C23:C83)/ СТАНДОТКЛОН.В(B23:B83))

Вышеуказанная формула математически эквивалентна отношению

ковариации

выборок Х и Y и

дисперсии

выборки Х:

=

КОВАРИАЦИЯ.В(B23:B83;C23:C83)/ДИСП.В(B23:B83)

И, наконец, запишем еще одну формулу для нахождения сдвига

b

. Воспользуемся тем фактом, что

линия регрессии

проходит через точку

средних значений

переменных Х и Y.

Вычислив

средние значения

и подставив в формулу ранее найденный наклон

а

, получим сдвиг

b

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (матричная форма)

Также параметры

линии регрессии

можно найти в матричной форме (см.

файл примера лист Матричная форма

).

В формуле символом β обозначен столбец с искомыми параметрами модели: β0 (сдвиг

b

), β1 (наклон

a

).

Матрица Х равна:

Матрица

Х

называется

регрессионной матрицей

или

матрицей плана

. Она состоит из 2-х столбцов и n строк, где n – количество точек данных. Первый столбец — столбец единиц, второй – значения переменной Х.

Матрица

Х

^T

– это

транспонированная матрица

Х

. Она состоит соответственно из n столбцов и 2-х строк.

В формуле символом

Y

обозначен столбец значений переменной Y.

Чтобы

перемножить матрицы

используйте функцию

МУМНОЖ()

. Чтобы

найти обратную матрицу

используйте функцию

МОБР()

.

Пусть дан массив значений переменных Х и Y (n=10, т.е.10 точек).

Слева от него достроим столбец с 1 для матрицы Х.

Записав формулу

=

МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(B7:C16);(B7:C16))); МУМНОЖ(ТРАНСП(B7:C16);(D7:D16)))

и введя ее как

формулу массива

в 2 ячейки, получим оценку параметров модели.

Красота применения матричной формы полностью раскрывается в случае

множественной регрессии

.

Построение линии регрессии

Для отображения

линии регрессии

построим сначала

диаграмму рассеяния

, на которой отобразим все точки (см.

начало статьи

).

Для построения прямой линии используйте вычисленные выше оценки параметров модели

a

и

b

(т.е. вычислите

у

по формуле

y

=

a

*

x

+

b

) или функцию

ТЕНДЕНЦИЯ()

.

Формула =

ТЕНДЕНЦИЯ($C$23:$C$83;$B$23:$B$83;B23)

возвращает расчетные (прогнозные) значения ŷi для заданного значения Хi из столбца

В2

.

Примечание

:

Линию регрессии

можно также построить с помощью функции

ПРЕДСКАЗ()

. Эта функция возвращает прогнозные значения ŷi, но, в отличие от функции

ТЕНДЕНЦИЯ()

работает только в случае одного регрессора. Функция

ТЕНДЕНЦИЯ()

может быть использована и в случае

множественной регрессии

(в этом случае 3-й аргумент функции должен быть ссылкой на диапазон, содержащий все значения Хi для выбранного наблюдения i).

Как видно из диаграммы выше

линия тренда

и

линия регрессии

не обязательно совпадают: отклонения точек от

линии тренда

случайны, а МНК лишь подбирает линию наиболее точно аппроксимирующую случайные точки данных.

Линию регрессии

можно построить и с помощью встроенных средств диаграммы, т.е. с помощью инструмента

Линия тренда.

Для этого выделите диаграмму, в меню выберите

вкладку Макет

, в

группе Анализ

нажмите

Линия тренда

, затем

Линейное приближение.

В диалоговом окне установите галочку

Показывать уравнение на диаграмме

(подробнее см. в

статье про МНК

).

Построенная таким образом линия, разумеется, должна совпасть с ранее построенной нами

линией регрессии,

а параметры уравнения

a

и

b

должны совпасть с параметрами уравнения отображенными на диаграмме.

Примечание:

Для того, чтобы вычисленные параметры уравнения

a

и

b

совпадали с параметрами уравнения на диаграмме, необходимо, чтобы тип у диаграммы был

Точечная, а не График

, т.к. тип диаграммы

График

не использует значения Х, а вместо значений Х используется последовательность 1; 2; 3; … Именно эти значения и берутся при расчете параметров

линии тренда

. Убедиться в этом можно если построить диаграмму

График

(см.

файл примера

), а значения

Хнач

и

Хшаг

установить равным 1. Только в этом случае параметры уравнения на диаграмме совпадут с

a

и

b

.

Коэффициент детерминации R

²

Коэффициент детерминации

R

²

показывает насколько полезна построенная нами

линейная регрессионная модель

.

Предположим, что у нас есть n значений переменной Y и мы хотим предсказать значение yi, но без использования значений переменной Х (т.е. без построения

регрессионной модели

). Очевидно, что лучшей оценкой для yi будет

среднее значение

ȳ. Соответственно, ошибка предсказания будет равна (yi — ȳ).

Примечание

: Далее будет использована терминология и обозначения

дисперсионного анализа

.

После построения

регрессионной модели

для предсказания значения yi мы будем использовать значение ŷi=a*xi+b. Ошибка предсказания теперь будет равна (yi — ŷi).

Теперь с помощью диаграммы сравним ошибки предсказания полученные без построения модели и с помощью модели.

Очевидно, что используя

регрессионную модель

мы уменьшили первоначальную (полную) ошибку (yi — ȳ)  на значение (ŷi — ȳ)  до величины (yi — ŷi).

(yi — ŷi) – это оставшаяся, необъясненная ошибка.

Очевидно, что все три ошибки связаны выражением:

(yi — ȳ)= (ŷi — ȳ) + (yi — ŷi)

Можно показать, что в общем виде справедливо следующее выражение:

Доказательство:

или в других, общепринятых в зарубежной литературе, обозначениях:

SST

=

SSR

+

SSE

Что означает:

Total Sum of Squares

=

Regression Sum of Squares

+

Error Sum of Squares

Примечание

: SS — Sum of Squares — Сумма Квадратов.

Как видно из формулы величины SST, SSR, SSE имеют размерность

дисперсии

(вариации) и соответственно описывают разброс (изменчивость):

Общую изменчивость

(Total variation),

Изменчивость объясненную моделью

(Explained variation) и

Необъясненную изменчивость

(Unexplained variation).

По определению

коэффициент детерминации

R

²

равен:

R

²

=

Изменчивость объясненная моделью / Общая изменчивость.

Этот показатель равен квадрату

коэффициента корреляции

и в MS EXCEL его можно вычислить с помощью функции

КВПИРСОН()

или

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3)

R

₂

принимает значения от 0 до 1 (1 соответствует идеальной линейной зависимости Y от Х). Однако, на практике малые значения R2 вовсе не обязательно указывают, что переменную Х нельзя использовать для прогнозирования переменной Y. Малые значения R2 могут указывать на нелинейность связи или на то, что поведение переменной Y объясняется не только Х, но и другими факторами.

Стандартная ошибка регрессии

Стандартная ошибка регрессии

(

Standard Error of a regression

) показывает насколько велика ошибка предсказания значений переменной Y на основании значений Х. Отдельные значения Yi мы можем предсказывать лишь с точностью +/- несколько значений (обычно 2-3, в зависимости от формы распределения ошибки ε).

Теперь вспомним уравнение

линейной регрессионной модели

Y=a*X+β+ε. Ошибка ε имеет случайную природу, т.е. является случайной величиной и поэтому имеет свою функцию распределения со

средним значением

μ и

дисперсией

σ

²

.

Оценив значение

дисперсии

σ

²

и вычислив из нее квадратный корень – получим

Стандартную ошибку регрессии.

Чем точки наблюдений на диаграмме

рассеяния

ближе находятся к прямой линии, тем меньше

Стандартная ошибка.

Примечание

:

Вспомним

, что при построении модели предполагается, что

среднее значение

ошибки ε равно 0, т.е. E[ε]=0.

Оценим

дисперсию σ

²

. Помимо вычисления

Стандартной ошибки регрессии

эта оценка нам потребуется в дальнейшем еще и при построении

доверительных интервалов

для оценки параметров регрессии

a

и

b

.

Для оценки

дисперсии

ошибки ε используем

остатки регрессии

— разности между имеющимися значениями

yi

и значениями, предсказанными регрессионной моделью ŷ. Чем лучше регрессионная модель согласуется с данными (точки располагается близко к прямой линии), тем меньше величина остатков.

Для оценки

дисперсии σ

²

используют следующую формулу:

где SSE – сумма квадратов значений ошибок модели ε

_i

=yi — ŷi (

Sum of Squared Errors

).

SSE часто обозначают и как SSres – сумма квадратов остатков (

Sum

of

Squared

residuals

).

Оценка

дисперсии

s

²

также имеет общепринятое обозначение MSE (Mean Square of Errors), т.е. среднее квадратов

ошибок

или MSRES (Mean Square of Residuals), т.е. среднее квадратов

остатков

. Хотя правильнее говорить сумме квадратов остатков, т.к. ошибка чаще ассоциируется с ошибкой модели ε, которая является непрерывной случайной величиной. Но, здесь мы будем использовать термины SSE и MSE, предполагая, что речь идет об остатках.

Примечание

: Напомним, что когда

мы использовали МНК

для нахождения параметров модели, то критерием оптимизации была минимизация именно SSE (SSres). Это выражение представляет собой сумму квадратов расстояний между наблюденными значениями yi и предсказанными моделью значениями ŷi, которые лежат на

линии регрессии.

Математическое ожидание

случайной величины MSE равно

дисперсии ошибки

ε, т.е.

σ

²

.

Чтобы понять почему SSE выбрана в качестве основы для оценки

дисперсии

ошибки ε, вспомним, что

σ

²

является также

дисперсией

случайной величины Y (относительно

среднего значения

μy, при заданном значении Хi). А т.к. оценкой μy является значение ŷi =

a

* Хi +

b

(значение

уравнения регрессии

при Х= Хi), то логично использовать именно SSE в качестве основы для оценки

дисперсии

σ

²

. Затем SSE усредняется на количество точек данных n за вычетом числа 2. Величина n-2 – это количество

степеней свободы

(

df

–

degrees

of

freedom

), т.е. число параметров системы, которые могут изменяться независимо (вспомним, что у нас в этом примере есть n независимых наблюдений переменной Y). В случае

простой линейной регрессии

число степеней свободы

равно n-2, т.к. при построении

линии регрессии

было оценено 2 параметра модели (на это было «потрачено» 2

степени свободы

).

Итак, как сказано было выше, квадратный корень из s

²

имеет специальное название

Стандартная ошибка регрессии

(

Standard Error of a regression

) и обозначается SEy. SEy показывает насколько велика ошибка предсказания. Отдельные значения Y мы можем предсказывать с точностью +/- несколько значений SEy (см.

этот раздел

). Если ошибки предсказания ε имеют

нормальное распределение

, то примерно 2/3 всех предсказанных значений будут на расстоянии не больше SEy от

линии регрессии

. SEy имеет размерность переменной Y и откладывается по вертикали. Часто на

диаграмме рассеяния

строят

границы предсказания

соответствующие +/- 2 SEy (т.е. 95% точек данных будут располагаться в пределах этих границ).

В MS EXCEL

стандартную ошибку

SEy можно вычислить непосредственно по формуле:

=

КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C23:C83; ТЕНДЕНЦИЯ(C23:C83;B23:B83;B23:B83)) /( СЧЁТ(B23:B83) -2))

или с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3;2)

Примечание

: Подробнее о функции

ЛИНЕЙН()

см.

эту статью

.

Стандартные ошибки и доверительные интервалы для наклона и сдвига

В разделе

Оценка неизвестных параметров линейной модели

мы получили точечные оценки наклона

а

и сдвига

b

. Так как эти оценки получены на основе случайных величин (значений переменных Х и Y), то эти оценки сами являются случайными величинами и соответственно имеют функцию распределения со

средним значением

и

дисперсией

. Но, чтобы перейти от

точечных оценок

к

интервальным

, необходимо вычислить соответствующие

стандартные ошибки

(т.е.

стандартные отклонения

).

Стандартная ошибка коэффициента регрессии

a

вычисляется на основании

стандартной ошибки регрессии

по следующей формуле:

где Sx – стандартное отклонение величины х, вычисляемое по формуле:

где Sey –

стандартная ошибка регрессии,

т.е. ошибка предсказания значения переменой Y

(

см. выше

).

В MS EXCEL

стандартную ошибку коэффициента регрессии

Se можно вычислить впрямую по вышеуказанной формуле:

=

КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C23:C83; ТЕНДЕНЦИЯ(C23:C83;B23:B83;B23:B83)) /( СЧЁТ(B23:B83) -2))/  СТАНДОТКЛОН.В(B23:B83) /КОРЕНЬ(СЧЁТ(B23:B83) -1)

или с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);2;1)

Формулы приведены в

файле примера на листе Линейный

в разделе

Регрессионная статистика

.

Примечание

: Подробнее о функции

ЛИНЕЙН()

см.

эту статью

.

При построении

двухстороннего доверительного интервала

для

коэффициента регрессии

его границы определяются следующим образом:

где  —

квантиль распределения Стьюдента

с n-2 степенями свободы. Величина

а

с «крышкой» является другим обозначением

наклона

а

.

Например для

уровня значимости

альфа=0,05, можно вычислить с помощью формулы

=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;n-2)

Вышеуказанная формула следует из того факта, что если ошибки регрессии распределены нормально и независимо, то выборочное распределение случайной величины

является

t-распределением Стьюдента

с n-2 степенью свободы (то же справедливо и для наклона

b

).

Примечание

: Подробнее о построении

доверительных интервалов

в MS EXCEL можно прочитать в этой статье

Доверительные интервалы в MS EXCEL

.

В результате получим, что найденный

доверительный интервал

с вероятностью 95% (1-0,05) накроет истинное значение

коэффициента регрессии.

Здесь мы считаем, что

коэффициент регрессии

a

имеет

распределение Стьюдента

с n-2

степенями свободы

(n – количество наблюдений, т.е. пар Х и Y).

Примечание

: Подробнее о построении

доверительных интервалов

с использованием t-распределения см. статью про построение

доверительных интервалов

для среднего

.

Стандартная ошибка сдвига

b

вычисляется по следующей формуле:

В MS EXCEL

стандартную ошибку сдвига

Seb можно вычислить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);2;2)

При построении

двухстороннего доверительного интервала

для

сдвига

его границы определяются аналогичным образом как для

наклона

:

b

+/- t*Seb.

Проверка значимости взаимосвязи переменных

Когда мы строим модель Y=αX+β+ε мы предполагаем, что между Y и X существует линейная взаимосвязь. Однако, как это иногда бывает в статистике, можно вычислять параметры связи даже тогда, когда в действительности она не существует, и обусловлена лишь случайностью.

Единственный вариант, когда Y не зависит X (в рамках модели Y=αX+β+ε), возможен, когда

коэффициент регрессии

a

равен 0.

Чтобы убедиться, что вычисленная нами оценка

наклона

прямой линии не обусловлена лишь случайностью (не случайно отлична от 0), используют

проверку гипотез

. В качестве

нулевой гипотезы

Н

₀

принимают, что связи нет, т.е. a=0. В качестве альтернативной гипотезы

Н

₁

принимают, что a <>0.

Ниже на рисунках показаны 2 ситуации, когда

нулевую гипотезу

Н

₀

не удается отвергнуть.

На левой картинке отсутствует любая зависимость между переменными, на правой – связь между ними нелинейная, но при этом

коэффициент линейной корреляции

равен 0.

Ниже — 2 ситуации, когда

нулевая гипотеза

Н

₀

отвергается.

На левой картинке очевидна линейная зависимость, на правой — зависимость нелинейная, но коэффициент корреляции не равен 0 (метод МНК вычисляет показатели наклона и сдвига просто на основании значений выборки).

Для проверки гипотезы нам потребуется:

• Установить

  уровень значимости

  , пусть альфа=0,05;

• Рассчитать с помощью функции
  
  ЛИНЕЙН()
  
  стандартное отклонение
  
  Se для
  
  коэффициента регрессии
  
  (см.

  предыдущий раздел

  );

• Рассчитать число степеней свободы: DF=n-2 или по формуле =
  
  ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C24:C84;B24:B84;;ИСТИНА);4;2)
  
• Вычислить значение тестовой статистики t
  
  ₀
  
  =a/S
  
  _e
  
  , которая имеет

  распределение Стьюдента

  с
  
  числом степеней свободы
  
  DF=n-2;

• Сравнить значение
  
  тестовой статистики
  
  |t0| с пороговым значением t
  
  _альфа
  
  ,n-2. Если значение
  
  тестовой статистики
  
  больше порогового значения, то
  
  нулевая гипотеза
  
  отвергается (
  
  наклон
  
  не может быть объяснен лишь случайностью при заданном уровне альфа) либо
• вычислить
  
  p-значение
  
  и сравнить его с
  
  уровнем значимости
  
  .

В

файле примера

приведен пример проверки гипотезы:

Изменяя

наклон

тренда k (ячейка

В8

) можно убедиться, что при малых углах тренда (например, 0,05) тест часто показывает, что связь между переменными случайна. При больших углах (k>1), тест практически всегда подтверждает значимость линейной связи между переменными.

Примечание

: Проверка значимости взаимосвязи эквивалентна

проверке статистической значимости коэффициента корреляции

. В

файле примера

показана эквивалентность обоих подходов. Также проверку значимости можно провести с помощью

процедуры F-тест

.

Доверительные интервалы для нового наблюдения Y и среднего значения

Вычислив параметры

простой линейной регрессионной модели

Y=aX+β+ε мы получили точечную оценку значения нового наблюдения Y при заданном значении Хi, а именно: Ŷ=

a

* Хi +

b

Ŷ также является точечной оценкой для

среднего значения

Yi при заданном Хi. Но, при построении

доверительных интервалов

используются различные

стандартные ошибки

.

Стандартная ошибка

нового наблюдения Y при заданном Хi учитывает 2 источника неопределенности:

• неопределенность связанную со случайностью оценок параметров модели
  
  a
  
  и
  
  b
  
  ;
• случайность ошибки модели ε.

Учет этих неопределенностей приводит к

стандартной ошибке

S(Y|Xi), которая рассчитывается с учетом известного значения Xi.

где SS

_xx

– сумма квадратов отклонений от

среднего

значений переменной Х:

Примечание

: Se –

стандартная ошибка коэффициента регрессии

(

наклона

а

).

В

MS EXCEL 2010

нет функции, которая бы рассчитывала эту

стандартную ошибку

, поэтому ее необходимо рассчитывать по вышеуказанным формулам.

Доверительный интервал

или

Интервал предсказания для нового наблюдения

(Prediction Interval for a New Observation) построим по схеме показанной в разделе

Проверка значимости взаимосвязи переменных

(см.

файл примера лист Интервалы

). Т.к. границы интервала зависят от значения Хi (точнее от расстояния Хi до среднего значения Х

_ср

), то интервал будет постепенно расширяться при удалении от Х

_ср

.

Границы

доверительного интервала

для

нового наблюдения

рассчитываются по формуле:

Аналогичным образом построим

доверительный интервал

для

среднего значения

Y при заданном Хi (Confidence Interval for the Mean of Y). В этом случае

доверительный интервал

будет уже, т.к.

средние значения

имеют меньшую изменчивость по сравнению с отдельными наблюдениями (

средние значения,

в рамках нашей линейной модели Y=aX+β+ε, не включают ошибку ε).

Стандартная ошибка

S(Yср|Xi) вычисляется по практически аналогичным формулам как и

стандартная ошибка

для нового наблюдения:

Как видно из формул,

стандартная ошибка

S(Yср|Xi) меньше

стандартной ошибки

S(Y|Xi) для индивидуального значения

.

Границы

доверительного интервала

для

среднего значения

рассчитываются по формуле:

Проверка адекватности линейной регрессионной модели

Модель адекватна, когда все предположения, лежащие в ее основе, выполнены (см. раздел

Предположения линейной регрессионной модели

).

Проверка адекватности модели в основном основана на исследовании остатков модели (model residuals), т.е. значений ei=yi – ŷi для каждого Хi. В рамках

простой линейной модели

n остатков имеют только n-2 связанных с ними

степеней свободы

. Следовательно, хотя, остатки не являются независимыми величинами, но при достаточно большом n это не оказывает какого-либо влияния на проверку адекватности модели.

Чтобы проверить предположение о

нормальности распределения

ошибок строят

график проверки на нормальность

(Normal probability Plot).

В

файле примера на листе Адекватность

построен

график проверки на нормальность

. В случае

нормального распределения

значения остатков должны быть близки к прямой линии.

Так как значения переменной Y мы

генерировали с помощью тренда

, вокруг которого значения имели нормальный разброс, то ожидать сюрпризов не приходится – значения остатков располагаются вблизи прямой.

Также при проверке модели на адекватность часто строят график зависимости остатков от предсказанных значений Y. Если точки не демонстрируют характерных, так называемых «паттернов» (шаблонов) типа вор

о

нок или другого неравномерного распределения, в зависимости от значений Y, то у нас нет очевидных доказательств неадекватности модели.

В нашем случае точки располагаются примерно равномерно.

Часто при проверке адекватности модели вместо остатков используют нормированные остатки. Как показано в разделе

Стандартная ошибка регрессии

оценкой

стандартного отклонения ошибок

является величина SEy равная квадратному корню из величины MSE. Поэтому логично нормирование остатков проводить именно на эту величину.

SEy можно вычислить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3;2)

Иногда нормирование остатков производится на величину

стандартного отклонения

остатков (это мы увидим в статье об инструменте

Регрессия

, доступного в

надстройке MS EXCEL Пакет анализа

), т.е. по формуле:

Вышеуказанное равенство приблизительное, т.к. среднее значение остатков близко, но не обязательно точно равно 0.

ЛИНЕЙН (функция ЛИНЕЙН)

​Смотрите также​ применять функцию ЛИНЕЙН​ самом деле взаимосвязи​​Чтобы лучше понять​​ для всех ячеек​ 4. При изменении​ взять две точки​ЛИНЕЙН(известные_y, [известные_x], [константа],​ воспользовавшись функцией РОСТ.​ равна 1.​​ вывода параметров статистики​​ значений. Прогнозируемое значение​

Описание

​ нахождение критического уровня​​ нажмите клавишу F2,​​ одной строке и​ прямой или кривой.​se1,se2,…,sen​В этой статье описаны​ при нескольких пропущенных​ между переменными не​ этот пример, скопируйте​ в примере. Важно.​ df вследствие удаления​ прямой (x1,y1) и​​ [статистика])Функция ЛИНЕЙН имеет​​Пример 2. Полная​Если аргумент «конст»​ функции ЛИНЕЙН необходимо​ является значение y​ F в таблице​ а затем — клавишу​ двоеточие для разделения​ После этого можно​Стандартные значения ошибок для​ синтаксис формулы и​ значениях ряда?​ существует, просто статистический​ его на пустой​ Чтобы пример работал​

​ избыточных столбцов значения​ (x2,y2); наклон будет​

​ аргументы (Аргумент. Значение,​

​ статистика​

​ имеет значение ИСТИНА​ нажат Ctrl+Shift+Enter, результат​ для данного значения​

​ или использование функции​ ВВОД. При необходимости​ строк. Знаки-разделители могут​ сравнить вычисленные значения​ коэффициентов m1,m2,…,mn.​ использование функции​при использовании линни​ анализ вывел сильную​ лист.​ без ошибок, необходимо​ sey и F​ равен (y2 -​ предоставляющее информацию для​​Чтобы этот пример​​ или опущен, то​ должен соответствовать следующему​​ x. Известные значения​​ Microsoft Excel​ измените ширину столбцов,​

Синтаксис

​ быть другими в​

​ с фактическими значениями.​seb​

Синтаксис

• ​ЛИНЕЙН​​ тренда на графике​ взаимозависимость по взятой​Копирование примера​ вставить его на​ также изменяются. Часто​

  • ​ y1)/(x2 — x1).​​ действия, события, метода,​​ проще было понять,​ b вычисляется обычным​ рисунку, на котором​​ существующие значения x​​FРАСП​ чтобы видеть все​

  • ​ зависимости от региональных​​ Можно также построить​​Стандартное значение ошибки для​в Microsoft Excel.​ — он легко​​ равномерной выборке 11​​Выделите пример в​ листе в ячейку​

• ​ использовать коллинеарность не​​Y-пересечение (b):​ свойства, функции или​ скопируйте его на​ образом.​ представлено обозначение дополнительных​

  • ​ и известные значения​​, что уравнением регрессии​​ данные.​ параметров.​ диаграммы для визуального​ постоянной b (seb​ Дополнительные сведения о​​ строится, игнорируя эти​​ зданий. Величина «Альфа»​​ этом разделе. При​​ A1.​ рекомендуется. Однако ее​Y-пересечением прямой, обычно​ процедуры.), указанные ниже.​ пустой лист.​Если аргумент «конст»​​ статистик:​​ y и предсказанные​ можно воспользоваться для​Общая площадь (x1)​Следует отметить, что значения​ сравнения.​

  • ​ = #Н/Д, если​​ диаграммах и выполнении​​ точки, а как​ используется для обозначения​ копировании примера в​Чтобы переключиться между​ следует применять, если​​ обозначаемым через b,​​Известные_значения_y. Обязательный аргумент.​

• ​Копирование примера​​ имеет значение ЛОЖЬ,​Вернемся к примеру №​ новое значение с​ предсказания оценочной стоимости​Количество офисов (x2)​

  • ​ y, предсказанные с​​Проводя регрессионный анализ, Microsoft​​ аргумент​ регрессионного анализа можно​ сделать то же​ вероятности ошибочного вывода​

  • ​ приложение Excel Web​​ просмотром результатов и​​ некоторые столбцы X​ является значение y​ Множество значений y,​Создайте пустую книгу​ то b полагается​ 1, касающемуся зависимости​ использованием линейной регрессии.​

• ​ зданий под офис​​Количество входов (x3)​ помощью уравнения регрессии,​ Excel вычисляет для​конст​

  • ​ найти по ссылкам​​ саме через формулу?​​ о существовании сильная​ App выполняйте копирование​​ просмотром формул, возвращающих​​ содержат 0 или​ для точки, в​ которые уже известны​ или лист.Выделите пример​​ равным 1 и​​ между часами подготовки​

  • ​ Эту функцию можно​​ в данном районе.​​Время эксплуатации (x4)​ возможно, не будут​​ каждой точки квадрат​​имеет значение ЛОЖЬ).​ в разделе​Спасибо!​

    ​ взаимозависимости.​

​ и вставку по​	​ эти результаты, нажмите​
​ 1 в качестве​	​ которой прямая пересекает​ для соотношения y​
​ в разделе справки.​	​ значения m подбираются​ студентов к тесту​ использовать для прогнозирования​ Следует учесть, что​​Оценочная цена (y)​​ правильными, если они​
​ разности между прогнозируемым​	​r2​См. также​_Igor_61​В выходных данных​ одной ячейке за​ клавиши CTRL+` (апостроф)​ индикатора, указывающего, входит​ ось y.​ = mx +​ Примечание. Не выделяйте​ так, чтобы удовлетворить​ и баллов за​ будущих продаж, требований​ использование правильных значений​2310​ располагаются вне интервала​ значением y и​Коэффициент детерминированности. Сравниваются фактические​.​: Здравствуйте! 1 и​ функции ЛИНЕЙН величины​ раз. Важно. Не​ или на вкладке​ ли предмет эксперимента​Уравнение прямой имеет​
​ b.​	​ заголовок строки или​ соотношению y =​
​ тест. Добавим к​	​ к оборудованию и​ v1 и v2,​2​ значений y, которые​ фактическим значением y.​ значения y и​
​Функция​	​ 2 аргументы формулы​ F и df​ выделяйте заголовок строки​ Формулы в группе​ в отдельную группу.​ вид y =​Если массив известные_значения_y​ столбца.​ m^x.​​ условию задачи данные​​ тенденций получателя.​ вычисление которых показано​2​ использовались для определения​ Сумма этих квадратов​ значения, получаемые из​ЛИНЕЙН​
​ — «​	​ используются для оценки​
​ или столбца.​	​ Зависимости формул нажмите​ Если конст =​ mx + b.​ имеет один столбец,​Выделение примера в​Статистика — логическое​

​ о баллах за​Функции ТЕНДЕНЦИЯ и рост​ в предыдущем абзаце,​20​

Замечания

• ​ уравнения.​ разностей называется остаточной​ уравнения прямой; по​рассчитывает статистику для​

  ​известные​
  ​ вероятности случайного получения​Выделение примера в​ кнопку Показать формулы.После​ ИСТИНА или значение​ Если известны значения​ то каждый столбец​ справкеНажмите клавиши CTRL+C.На​ значение, которое указывает,​

  ​ домашнее задание -​
  ​ можно прогнозирования значений​ является критически важным.​142 000 ₽​Основной алгоритм, используемый в​ суммой квадратов (ssresid).​ результатам сравнения вычисляется​

  ​ ряда с применением​значения у» и​ наибольшего значения F.​ справкеНажмите сочетание клавиш​ копирования на чистый​ этого аргумента не​ m и b,​ массива известные_значения_x интерпретируется​ листе выделите ячейку​ требуется ли вернуть​ представляющие дополнительную переменную​​ y, которые расширение​​Другой тест позволяет определить,​

• ​2333​ функции​ Затем Microsoft Excel​ коэффициент детерминированности, нормированный​ метода наименьших квадратов,​

  ​ «​
  ​ Величину F можно​

  ​ CTRL+C.Создайте пустую книгу​
  ​ лист пример можно​

• ​ указано, функция ЛИНЕЙН​ то можно вычислить​​ как отдельная переменная.​​ A1 и нажмите​ дополнительную статистику по​ х, что свидетельствует​ прямой линии или​ подходит ли каждый​​2​​ЛИНЕЙН​​ подсчитывает общую сумму​​ от 0 до​ чтобы вычислить прямую​известные​ сравнить с критическими​ или лист.Выделите на​ адаптировать под конкретные​ вставляет дополнительный столбец​ любую точку на​

  

  

  ​Если массив известные_значения_y​ клавиши CTRL+V.Чтобы перейти​ регрессии.​ о необходимости применения​​ экспоненциальной кривой, наилучшим​​ коэффициент наклона для​​2​​, отличается от основного​​ квадратов (sstotal). Если​​ 1. Если он​

• ​ линию, которая наилучшим​​значения х». Ключевое​​ значениями в публикуемых​​ листе ячейку A1​​ требования.​ X для моделирования​ прямой, подставляя значения​ имеет одну строку,​ от просмотра результатов​Если аргумент «статистика»​ множественной регрессии.​ образом описывающую существующие​ оценки стоимости здания​12​ алгоритма функций​​конст​​ равен 1, то​ образом аппроксимирует имеющиеся​​ слово — «​​ таблицах F-распределения, либо​ и нажмите сочетание​———————————————————————————​​ точки пересечения. Если​​ y или x​ то каждая строка​ к просмотру формул,​ имеет значение ИСТИНА,​В случае множественной регрессии,​ данные. Также могут​ под офис в​144 000 ₽​НАКЛОН​= ИСТИНА или​ имеет место полная​

• ​ данные и затем​ИЗВЕСТНЫЕ​ для вычисления возможности​ клавиш CTRL+V. При​1​ имеется столбец со​ в уравнение. Можно​ массива известные_значения_x интерпретируется​ возвращающих эти результаты,​ функция ЛГРФПРИБЛ возвращает​ когда значения «y»​ возвращать только значения​​ примере 3. Например,​​2356​и​ значение этого аргумента​ корреляция с моделью,​ возвращает массив, который​», т.е. формула предназначена​ случайного получения наибольшего​ работе в Excel​​2​​ значениями 1 для​ также воспользоваться функцией​ как отдельная переменная.​ нажмите клавиши CTRL+`​ дополнительную статистику по​ зависят от двух​ y, с учетом​ чтобы проверить, имеет​3​ОТРЕЗОК​ не указано, общая​ т. е. различий между​ описывает полученную прямую.​ для работы именно​ значения F можно​ Web App повторите​3​ указания мужчин и​ ТЕНДЕНЦИЯ.​Известные_значения_x. Необязательный аргумент.​ (апостроф) или на​ регрессии, т. е.​

• ​ переменных «х», функция​ известные значения x​ ли срок эксплуатации​1,5​. Разница между алгоритмами​ сумма квадратов будет​ фактическим и оценочным​ Функцию​ с​ использовать функцию Microsoft​ копирование и вставку​4​ 0 — для​Если имеется только​ Множество значений x,​ вкладке Формулы в​ возвращает массив {mn;mn-1;…;m1;b:sen;sen-1;…;se1;seb:r​ ЛИНЕЙН возвращает 12​ для наилучшего линии​ здания статистическую значимость,​33​ может привести к​ равна сумме квадратов​ значениями y нет.​​ЛИНЕЙН​​известными​ Excel FРАСП. Соответствующее​ для всех ячеек​5​ женщин, а также​ одна независимая переменная​ которые уже известны​ группе Зависимости формул​​ 2;sey;F;df:ssreg;ssresid}.​​ статистик. На рисунке​ или кривой. Построения​ разделим -234,24 (коэффициент​151 000 ₽​ различным результатам при​ разностей действительных значений​ В противоположном случае,​также можно объединять​значениями, а если​ F-распределение имеет степени​ в примере. Важно.​6​ имеется столбец со​ x, можно получить​ для соотношения y​ нажмите кнопку Показать​Если аргумент «статистика»​ с модифицированной таблицей​ линию или кривую,​ наклона для срока​2379​ неопределенных и коллинеарных​ y и средних​ если коэффициент детерминированности​ с другими функциями​ их нет, то​ свободы v1 и​ Чтобы пример работал​​7​​ значениями 1 для​ наклон и y-пересечение​ = mx +​​ формулы.​​ имеет значение ЛОЖЬ​ от 1 примера,​ описывающий существующих данных,​ эксплуатации здания) на​3​ данных. Например, если​ значений y. При​ равен 0, использовать​ для вычисления других​ формула не понимает​ v2. Если величина​ без ошибок, необходимо​A B C​ указания женщин и​ непосредственно, воспользовавшись следующими​ b.​1​ или опущен, функция​​ представленном ниже используются​​ используйте существующие значения​

• ​ 13,268 (оценка стандартной​2​ точки данных аргумента​конст​ уравнение регрессии для​ видов моделей, являющихся​ как ей дальше​​ n представляет количество​​ вставить его на​​Известные значения y​​ 0 — для​ формулами:​Массив известные_значения_x может​2​ ЛГРФПРИБЛ возвращает только​​ следующие обозначения:​​ x и y​ ошибки для коэффициента​43​известные_значения_y​= ЛОЖЬ общая​ предсказания значений y​ линейными по неизвестным​

• ​ жить и поэтому​ точек данных и​ листе в ячейку​

  ​ Известные значения x​​ мужчин, то последний​Наклон:​ содержать одно или​

• ​3​ коэффициенты m и​y = зависимая переменная;​​ значений, возвращенных функция​​ времени эксплуатации из​150 000 ₽​равны 0, а​ сумма квадратов будет​ не имеет смысла.​ параметрам, включая полиномиальные,​ выдает ошибку. Вот​ аргумент конст имеет​ A1.​

• ​1 0​ столбец удаляется, поскольку​ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(известные_значения_y;известные_значения_x);1)​ несколько множеств переменных.​4​ константу b.​x1 = независимая переменная​ рост или ТЕНДЕНЦИЯ.​ ячейки A15). Ниже​

• ​2402​ точки данных аргумента​​ равна сумме квадратов​​ Дополнительные сведения о​ логарифмические, экспоненциальные и​​ если бы Вы​​ значение ИСТИНА или​​Чтобы переключиться между​​9 4​ его значения можно​Y-пересечение:​ Если используется только​5​Более подробные сведения​​ 1 = баллы​​Функция ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ​ приводится наблюдаемое t-значение:​​2​​известные_значения_x​

  • ​ действительных значений y​​ способах вычисления r2,​​ степенные ряды. Поскольку​ описали для чего​​ опущен, то v1​​ просмотром результатов и​5 2​ получить из столбца​ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(известные_значения_y;известные_значения_x);2)​ одна переменная, то​6​ о дополнительной статистике​

  • ​ за домашнее задание;​​ можно использовать для​​t = m4 ÷​​3​​равны 1, то:​ (без вычитания среднего​​ см. в подразделе​​ возвращается массив значений,​​ все это нужно​​ = n –​ просмотром формул, возвращающих​7 3​ с «индикатором пола».​Точность аппроксимации с​

• ​ массивы известные_значения_y и​7​ по регрессии, см.​​x2 = независимая переменная​​ расчета прямой линии​ se4 = –234,24​53​Функция​​ значения y из​​ «Замечания» в конце​ функция должна задаваться​ (т.е. конечная цель​ df – 1​ эти результаты, нажмите​​Формула Формула Результат​​Вычисление значения df​

  ​ помощью прямой, вычисленной​

  ​ известные_значения_x могут иметь​A B​ в разделе, посвященном​ 2 = часы​ или экспоненциальной зависимости​ ÷ 13,268 =​139 000 ₽​

  ​ЛИНЕЙН​ частного значения y).​ данного раздела.​

  ​ в виде формулы​ таких действий и​ и v2 =​ клавиши CTRL+` (апостроф)​=ЛИНЕЙН(A2:A5;B2:B5;;ЛОЖЬ) A7=2, B7=1​ для случаев, когда​ функцией ЛИНЕЙН, зависит​

• ​ любую форму —​Месяц Единицы​ функции ЛИНЕЙН.​ подготовки к тесту.​ от имеющихся данных.​ –17,7​2425​

Примеры

Пример 1. Наклон и Y-пересечение

​возвращает значение, равное​ После этого регрессионную​sey​ массива. Инструкции приведены​ почему в исходных​ df. (При конст​ или на вкладке​Важно. Формулу в​ столбцы X удаляются​ от степени разброса​ при условии, что​11 33 100​Замечания​

​Чтобы выполнить множественную регрессию:​	​ Функции ЛИНЕЙН и​
​Если абсолютное значение t​	​4​
​ 0. Алгоритм функции​	​ сумму квадратов можно​
​Стандартная ошибка для оценки​	​ в данной статье​
​ данных встречаются пустые​	​ = ЛОЖЬ v1​
​ Формулы в группе​	​ этом примере необходимо​
​ из модели вследствие​	​ данных. Чем ближе​
​ они имеют одинаковую​12 47 300​
​Чем больше график​

Пример 2. Простая линейная регрессия

​Выделите диапазон В3:D7 (число​ ЛГРФПРИБЛ возвращают данные​ достаточно велико, можно​2​ЛИНЕЙН​ вычислить следующим образом:​ y.​ после примеров.​ значения), может тогда​ = n –​ Зависимости формул нажмите​ ввести как формулу​ коллинеарности происходит следующим​

​ данные к прямой,​	​ размерность. Если используется​
​13 69 000​	​ ваших данных напоминает​
​ столбцов = число​	​ регрессионного анализа, включая​
​ сделать вывод, что​	​23​
​используется для возвращения​	​ ssreg = sstotal​
​F​	​Уравнение для прямой линии​
​ кто-то и смог​	​ df и v2​
​ кнопку Показать формулы.После​	​ массива. После копирования​
​ образом: если существует​	​ тем более точной​
	​ более одной переменной,​14 102 000​ экспоненциальную кривую, тем​ переменных +1; число​ наклоном и пересечением​ коэффициент наклона можно​

Пример 3. Множественная линейная регрессия

​169 000 ₽​ подходящих значений для​ — ssresid. Чем​F-статистика или F-наблюдаемое значение.​ имеет следующий вид:​ бы подсказать Вам​ = df). Функция​ копирования на чистый​ примера в пустой​ k столбцов известных_значений_x​ является модель, используемая​ то известные_значения_y должны​15 150 000​

​ лучше вычисленная кривая​	​ строк всегда равно​	​ наилучшего строки.​	​ использовать для оценки​	​2448​
​ коллинеарных данных, и​	​ меньше остаточная сумма​	​ F-статистика используется для​	​y = mx + b​	​ выход из этой​
​ Microsoft Excel FРАСП(F;​	​ лист пример можно​	​ лист выделите диапазон​	​ и значение конст​	​ функцией. Функция ЛИНЕЙН​
​ быть вектором (т.​	​16 150 000​	​ будет аппроксимировать данные.​	​ 5).​	​Задача отыскания функциональной зависимости​
​ стоимости здания под​	​2​	​ в данном случае​	​ квадратов, тем больше​	​ определения того, является​
​или​	​ ситуации.​	​ v1; v2) возвращает​	​ адаптировать под конкретные​	​ A7:B7, начиная с​
​ = ИСТИНА или​	​ использует для определения​	​ е. интервалом высотой​	​Формула​	​ Подобно функции ЛИНЕЙН,​
​Наберите формулу =ЛИНЕЙН(D14:D24;B14:C24;1;1). Для​	​ очень важна, поэтому​	​ офис в примере​	​1,5​	​ может быть найден​
​ значение коэффициента детерминированности​	​ ли случайной наблюдаемая​	​y = m1x1 +​	​MaseP​	​ вероятность случайного получения​
​ требования.​	​ ячейки, содержащей формулу.​	​ не указано, то​	​ наилучшей аппроксимации данных​	​ в одну строку​
​=ЛГРФПРИБЛ(B2:B7;A2:A7; ИСТИНА; ИСТИНА)​	​ функция ЛГРФПРИБЛ возвращает​	​ аргумента известные_значения_х, выделите​	​ для ее решения​	​ 3. В таблице​
​99​	​ по меньшей мере​	​ r2, который показывает,​	​ взаимосвязь между зависимой​	​ m2x2 +… +​
​: _Igor_61,​
​ наибольшего значения F.​
​———————————————————————————​
​ Нажмите клавишу F2,​
​ df = n​
​ метод наименьших квадратов.​ или шириной в​
​Примечание. Формулу в​

Пример 4. Использование F-статистики и r2-статистики

​ массив, который описывает​ оба столбца значений​ в MS Excel​ ниже приведены абсолютные​126 000 ₽​​ один ответ.​​ насколько хорошо уравнение,​ и независимой переменными.​ b​дело в том,​ В примере 4​1​ а затем —​ – k –​ Когда имеется только​

​ один столбец).​ этом примере необходимо​ зависимость между значениями,​ x из диапазона​ введен набор функций,​ значения четырех наблюдаемых​2471​Функции​ полученное с помощью​df​если существует несколько диапазонов​

​ что в исходных​​ df = 6​​2​ клавиши CTRL +​ 1. Если конст​ одна независимая переменная​Если массив известные_значения_x​ ввести как формулу​ но ЛИНЕЙН подгоняет​ В14:С24.​ основанных на методе​ t-значений.​2​НАКЛОН​ регрессионного анализа, объясняет​​Степени свободы. Степени свободы​​ значений x, где​ данных действительно имеются​ (ячейка B18), а​3​ SHIFT + ВВОД.​ = ЛОЖЬ, то​ x, значения m​ опущен, то предполагается,​ массива. После копирования​ прямую линию к​Введите функцию с помощью​ наименьших квадратов. В​Если обратиться к справочнику​2​и​ взаимосвязи между переменными.​​ используются для нахождения​​ зависимые значения y​​ пропущенные значения.​​ F = 459,753674​4​ Если формула не​ df = n​ и b вычисляются​ что это массив​ примера на пустой​

​ имеющимся данным, а​ клавиш Ctrl+Shift+Enter.​ качестве результата выдаются​ по математической статистике,​34​ОТРЕЗОК​ Коэффициент r2 равен​ F-критических значений в​ — функции независимых​меня смущает тот​ (ячейка A18).​5​ будет введена как​ — k. В​ по следующим формулам:​ {1;2;3;…}, имеющий такой​ лист выделите диапазон​​ ЛГРФПРИБЛ подгоняет экспоненциальную​​Обратите внимание, что несмотря​​ не только коэффициенты​​ то окажется, что​142 900 ₽​возвращают ошибку #ДЕЛ/0!.​ отношению ssreg/sstotal.​​ статистической таблице. Для​​ значений x. Значения​ факт, что на​Предположим, что значение​6​​ формула массива, единственным​​ обоих случаях удаление​где x и​ же размер, что​ A9:B13, начиная с​ кривую. Дополнительные сведения​ на то, что​ функции, приближающей данные,​​ t-критическое двустороннее с​​2494​ Алгоритм функций​В некоторых случаях один​ определения уровня надежности​ m — коэффициенты,​ графике тренд строится​ «Альфа» равно 0,05,​7​ результатом будет значение​ столбцов X вследствие​ y – выборочные​

Пример 5. Вычисление t-статистики

​ и массив известные_значения_y.​ ячейки, содержащей формулу.​ см. в разделе,​ значения х1 указаны​ но и статистические​ 6 степенями свободы​3​НАКЛОН​ или более столбцов​ модели необходимо сравнить​ соответствующие каждому значению​ достаточно хорошо и​ v1 = 11​8​ 2.​ коллинеарности увеличивает значение​ средние значения, например​

​Конст. Необязательный аргумент.​ Нажмите клавишу F2,​ посвященном функции ЛИНЕЙН.​ в диапазоне В14:С24​

​ характеристики полученных результатов.​ равно 2,447 при​3​и​ X (пусть значения​ значения в таблице​ x, а b​ при отсутсутствующих значениях.​ – 6 –​9​Если формула вводится​

​ df на 1.​ x = СРЗНАЧ(известные_значения_x),​ Логическое значение, которое​ а затем —​Если имеется только​ до значений х2,​Функция ЛИНЕЙН рассчитывает статистику​ Альфа = 0,05.​23​ОТРЕЗОК​ Y и X​​ с F-статистикой, возвращаемой​​ — постоянная. Обратите​​ Какой алгоритм там​​ 1 = 4​10​ как формула массива,​Формулы, которые возвращают​ а y =​ указывает, требуется ли,​ клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД. Если​ одна независимая переменная​ наклон сначала указан​ для ряда с​ Критическое значение также​163 000 ₽​используется для поиска​ находятся в столбцах)​

​ функцией​	​ внимание, что y,​
​ используется?​	​ и v2 =​
​11​	​ возвращается наклон (2)​
​ массивы, должны быть​	​ СРЗНАЧ(известные_значения_y).​
​ чтобы константа b​	​ формула не будет​

​ x, то значения​ для х2.​ применением метода наименьших​ можно также найти​2517​ только одного ответа,​ не оказывают влияния​ЛИНЕЙН​ x и m​

support.office.com

Функция ПРЕДСКАЗ.ЛИНЕЙН

​косвенная задача, которая​ 6, а критический​12​ и y-пересечение (1).​ введены как формулы​Функции аппроксимации ЛИНЕЙН​ была равна 0.​ введена как формула​ пересечения с осью​Диапазон D5:D7 содержит ошибку​ квадратов, вычисляя прямую​ с помощью функции​4​ а в данном​ на результаты при​

Синтаксис

​. Дополнительные сведения о​

​ могут быть векторами.​ встает при использовании​

• ​ уровень F равен​​13​Пример 2​ массива.​

• ​ и ЛГРФПРИБЛ позволяют​​Если аргумент конст​ массива, единственное значение​ y (b) можно​

• ​ #Н/Д – значащую,​​ линию, которая наилучшим​ Microsoft Excel​4​

support.office.com

Прогнозирование значений в рядах

​ случае их может​​ наличии других столбцов​ вычислении величины df​ Функция​ формулы — алгоритм​ 4,53. Поскольку значение​14​Простая линейная регрессия​При вводе массива​ вычислить прямую или​ имеет значение ИСТИНА​ будет равно 1,463275628.​ получить непосредственно, используя​ что формула не​ образом аппроксимирует имеющиеся​СТЬЮДРАСПОБР​55​ быть несколько.​ X. Иными словами,​ см. ниже в​ЛИНЕЙН​ заполнения пропущенных значений.​

​ F = 459,753674​A B C D E​Чтобы лучше понять​ констант в качестве,​ экспоненциальную кривую, наилучшим​ или опущен, то​Если формула вводится​ следующую формулу:​ может обнаружить значения​ данные. Функция возвращает​

​.​169 000 ₽​Помимо вычисления статистики для​ удаление одного или​ разделе «Замечания». Далее​

1. ​возвращает массив {mn;mn-1;…;m1;b}.​_Igor_61​ намного больше 4,53,​

   ​Общая площадь (x1)​ этот пример, скопируйте​ например, аргумента известные_значения_x​

2. ​ образом описывающую данные.​ константа b вычисляется​ как формула массива,​Пересечение с осью​

   

Использование функций для прогнозирования значений

​ для данных ячеек.​ массив, который описывает​СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 6)​2540​ других типов регрессии​ более столбцов X​ в примере 4 показано​ Функция​: Не знаю, честное​ вероятность случайного получения​ Количество офисов (x2)​ его на пустой​ следует использовать точку​ Однако они не​ обычным образом.​ возвращается следующая статистика​ y (b):​

​ Визуально наличие ошибки​ полученную прямую.​= 2,447. Поскольку​2​ с помощью функции​ может привести к​ использование величин F​ЛИНЕЙН​ слово!​ такого большого значения​ Количество входов (x3)​ лист.​ с запятой для​ дают ответа на​Если аргумент конст​ по регрессии. Используйте​ИНДЕКС(ЛГРФПРИБЛ(известные_значения_y;известные_значения_x);2)​ отвлекает от сути​

​Общий синтаксис вызова функции​ абсолютная величина t,​3​ЛГРФПРИБЛ​ вычислению значений Y​ и df.​может также возвращать​Наверное, как-то средние​ F исключительно мала​ Время эксплуатации (x4)​

support.office.com

Примеры как пользоваться функцией ЛИНЕЙН в Excel

​Копирование примера​ разделения значений в​ вопрос, какой из​ имеет значение ЛОЖЬ,​ эту клавишу для​Можно использовать уравнение​ решения, поэтому далее​ ЛИНЕЙН имеет следующий​ равная 17,7, больше,​22​, для вычисления диапазонов​ с прежней точностью.​

Смысл выходной статистической информации функции ЛИНЕЙН

​ssreg​ дополнительную регрессионную статистику.​ значения между крайними​ (при Альфа =​ Оценочная цена (y)​Выделите пример в​ одной строке и​ двух результатов больше​ то значение b​

​ определения нужной статистики.​ y = b*m^x​ предложим вариант избавления​

​ вид:​

​ чем 2,447, срок​149 000 ₽​ некоторых других типов​ В этом случае​Регрессионная сумма квадратов.​

1. ​ЛИНЕЙН(известные_значения_y; [известные_значения_x]; [конст]; [статистика])​ высчитываются, несмотря на​ 0,05 гипотеза об​2310 2 2​
2. ​ этом разделе. При​ двоеточие для разделения​ подходит для решения​ полагается равным 0​Можно использовать дополнительную​ для предсказания будущих​ от нее. Так,​ЛИНЕЙН(известные_значения_y;известные_значения_x;конст;статистика)​ эксплуатации — это​
3. ​-234,2371645​ регрессий можно использовать​ избыточные столбцы X​ssresid​Аргументы функции ЛИНЕЙН описаны​ разрывы в графике​ отсутствии связи между​ 20 142 000​ копировании примера в​ строк. Знаки-разделители могут​ поставленной задачи. Можно​ и значения m​ статистику по регрессии​
4. ​ значений y, но​ если дополнить формулу​Для работы с функцией​ важная переменная для​13,26801148​

​ функцию​

Примеры использования функции ЛИНЕЙН в Excel

​ будут исключены из​Остаточная сумма квадратов. Дополнительные​ ниже.​MaseP​ аргументами известные_значения_y и​2333 2 2​ приложение Excel Web​ быть различными в​ также вычислить функцию​ подбираются таким образом,​ (в приведенном выше​ в Microsoft Excel​

1. ​ содержащую функцию ЛИНЕЙН​ необходимо заполнить как​ оценки стоимости здания​0,996747993​ЛИНЕЙН​ модели регрессии. Это​
2. ​ сведения о расчете​Известные_значения_y.​: _Igor_61,​ известные_значения_x отвергается, если​ 12 144 000​
3. ​ App выполняйте копирование​ зависимости от параметров,​ ТЕНДЕНЦИЯ(известные_значения_y; известные_значения_x) для​ чтобы выполнялось соотношение​ примере — ячейки​ предусмотрена функция РОСТ​
4. ​ функцией ЕСЛИОШИБКА, то​
5. ​ минимум 1 обязательный​
6. ​ под офис. Аналогичным​459,7536742​

​, вводя функции переменных​

​ явление называется коллинеарностью,​ величин ssreg и​    Обязательный аргумент. Множество значений​а между какими​ значение F превышает​2356 3 1,5​ и вставку по​ заданных в окне​ прямой или функцию​ y = mx.​ A10:B13), чтобы оценить,​ для этой цели.​ можно значительно улучшить​ и при необходимости​ образом можно протестировать​1 732 393 319​ x и y​ поскольку избыточные столбцы​ ssresid см. в​ y, которые уже​ крайними нужно брать​ критический уровень 4,53).​ 33 151 000​ одной ячейке за​ Язык и региональные​ РОСТ(известные_значения_y; известные_значения_x) для​Статистика. Необязательный аргумент.​ насколько полезно полученное​

​ Дополнительные сведения см.​ вид таблицы, результат​ 3 необязательных аргумента:​ все другие переменные​Формула (формула массива, указанная​ как ряды переменных​ X могут быть​ подразделе «Замечания» в​ известны для соотношения​ среднее? одно среднее​ Использование функции Microsoft​2379 3 2​ раз. Важно. Не​ стандарты на панели​ экспоненциальной кривой. Эти​ Логическое значение, которое​

​ уравнение для предсказания​ в разделе, посвященном​ которой представлен ниже:​Известные_значения_y − это множество​ на статистическую значимость.​ в ячейках A14:A18)​ х и у​ представлены в виде​ конце данного раздела.​ y = mx​ на все пропущенные​ Excel FРАСП дает​ 43 150 000​

​ выделяйте заголовок строки​ управления.​ функции, если не​ указывает, требуется ли​ будущих значений.​ функции РОСТ.​Распределение статистик в таблице​ значений y, которые​ Ниже приводятся наблюдаемые​=ЛИНЕЙН(E2:E12; A2:D12; ИСТИНА; ИСТИНА)​

• ​ для​
• ​ суммы нескольких неизбыточных​На приведенном ниже рисунке​ + b.​
• ​ значения? как правильнее​ возможность вычислять вероятность​2402 2 3​

​ или столбца.​

1. ​Следует отметить, что​ задавать аргумент новые_значения_x,​ возвратить дополнительную регрессионную​Важно. Методы, которые​Формулы, которые возвращают​
2. ​ их значение представлено​ уже известны для​ t-значения для каждой​В предыдущем примере коэффициент​ЛИНЕЙН​
3. ​ столбцов. Функция​ показано, в каком​
4. ​Если массив​ поступать?​ случайного получения больших​ 53 139 000​Выделение примера в​ значения y, предсказанные​ возвращают массив вычисленных​

​ статистику.​ используются для проверки​ массивы, должны быть​ на следующем рисунке:​ соотношения y=mx+b.​ из независимых переменных.​ детерминированности r2 равен​. Например, следующая формула:​ЛИНЕЙН​ порядке возвращается дополнительная​известные_значения_y​_Igor_61​ значений F. Значение​2425 4 2​ справкеНажмите сочетание клавиш​ с помощью уравнения​

​ значений y для​Если аргумент статистика​ уравнений, полученных с​

​ введены как формулы​В результате мы получили​Известные_значения_x − это множество​Переменная​

exceltable.com

помогите разобраться с статистическими функцями ЛГФПРИБЛ и ЛИНЕЙН.

​ 0,99675 (см. ячейку​​=ЛИНЕЙН(значения_y, значения_x^СТОЛБЕЦ($A:$C))​проверяет на коллинеарность​ регрессионная статистика.​
​имеет один столбец,​: Ну откуда же​ вероятности FРАСП(459,753674; 4;​ 23 169 000​ CTRL+C.Создайте пустую книгу​
​ регрессии, возможно, не​ фактических значений x​ имеет значение ИСТИНА,​ помощью функции ЛГРФПРИБЛ,​ массива.​

planetaexcel.ru

ЛИНЕЙН при пропущенных значениях (Формулы/Formulas)

​ называемым вектором).​​ количеству, однако строк​
​ значения для тренда.​ уровень 4,53). Использование​ на основе данных​Примечание:​
​для прямой или​Если аргумент​: Может, количество заполненных​ чем 2,447. Следовательно,​ что указывает на​ здания под офис​Выделение примера в​
​ одного или более​

​ дополнительная регрессионная статистика.​​ а b —​ или, используя значения​Если аргумент известные_значения_x​​ будет всегда 5.​​Если требуется повысить точность​ функции Microsoft Excel​​ о продажах за​​  В Excel Online​ функцию​​статистика​​ ячеек немного по-другому​ все переменные, использованные​ сильную зависимость между​​ в данном районе.​​ справкеНажмите сочетание клавиш​ столбцов как избыточных​Замечания​ постоянная. Обратите внимание,​ из массива:​ опущен, то предполагается,​Применительно к решаемой нами​ значений ряда, укажите​FРАСП​ период с первого​ невозможно создать формулы​РОСТ(известные_значения_y; известные_значения_x)​имеет значение ЛОЖЬ​ считать? Например, через​ в уравнении регрессии,​ независимыми переменными и​Застройщик наугад выбирает​ CTRL+C.Создайте пустую книгу​

​ изменяет величину df,​​Любую прямую можно​
​ что y, x​y = 495,3​ что это массив​ задаче, выделим диапазон​
​ дополнительные начальные значения.​дает возможность вычислять​ по шестой месяцы.​ массива.​для экспоненциальной кривой.​ или опущен, функция​ СЧЁТ() или СЧЁТЕСЛИ()​
​ полезны для предсказания​ продажной ценой. Можно​ 11 зданий из​ или лист.Выделите на​

​ поскольку она зависит​​ описать ее наклоном​ и m могут​​ * 1,4633x​ {1;2;3;…} такого же​ Е2:F6, затем введем​Перетащите маркер заполнения в​

​ вероятность случайного получения​​Скопируйте образец данных из​
​При вводе константы массива​ Эти функции, если​ЛИНЕЙН​200?’200px’:»+(this.scrollHeight+5)+’px’);»>=ЛИНЕЙН(СМЕЩ($C$1;3;;СЧЁТ(B:B););СМЕЩ($C$1;3;-1;СЧЁТ(B:B);)^{123456};1;0)​ оценочной стоимости здания​ использовать F-статистику, чтобы​

​ имеющихся 1500 и​​ листе ячейку A1​ от количества столбцов​ и пересечением с​ быть векторами. Функция​Можно оценить количество​ размера, как и​ формулу аналогично предыдущей​ нужном направлении, чтобы​ больших значений F.​ следующей таблицы и​

​ (например, в качестве​​ не задавать аргумент​
​возвращает только коэффициенты​Ktulu​ под офис в​ определить, является ли​ получает данные, которые​ и нажмите сочетание​

​ X, в действительности​​ осью y:​
​ ЛИНЕЙН возвращает массив​ продаж в последующие​ известные_значения_y.​ задаче, но в​ заполнить ячейки возрастающими​ Значение вероятности​ вставьте их в​ аргумента​новые_значения_x​

​ m и постоянную​​: Спасибо. Работает!​
​ данном районе.​ этот результат (с​ приведены ниже. «0,5»​ клавиш CTRL+V. При​ используемых для прогнозирования.​Наклон (m):​ {mn;mn-1;…;m1;b}. Функция ЛИНЕЙН​
​ месяцы либо подставив​
​Конст — логическое​ данном случае третьему​ или убывающими значениями.​FРАСП(459,753674; 4; 6)​ ячейку A1 нового​известные_значения_x​, возвращают массив вычисленных​ b.​У функции ЛИНЕЙН,​=ЛИНЕЙН(C2;B2;0;0)​ таким высоким значением​
​ входа означает вход​

​ работе в Excel​​ Подробнее о вычислении​чтобы определить наклон​ может также возвращать​ номер месяца в​ значение, которое указывает,​ и четвертому аргументу​Функция ПРЕДСКАЗ вычисляет или​= 1,37E-7 чрезвычайно​ листа Excel. Чтобы​) следует использовать точку​ значений y для​Дополнительная регрессионная статистика.​ вероятно, аллергия на​

​MaseP​​ r2) случайным.​
​ только для доставки​

excelworld.ru

Формула ЛИНЕЙН и некорректное определение диапазона (Формулы/Formulas)

​ Web App повторите​​ величины df см.​ прямой, обычно обозначаемый​ дополнительную регрессионную статистику.​ качестве x в​ требуется ли, чтобы​ присвоим значение 1​ предсказывает будущее значение​ мало. Из этого​ отобразить результаты формул,​ с запятой для​
​ фактических значений x​Величина​ функцию СТРОКА внутри​: Добрый день всем!​Предположим, что на​ корреспонденции.​ копирование и вставку​ ниже в примере​

​ через m, нужно​​Синтаксис​ это уравнение, либо​ константа b была​ соответствующее ИСТИНЕ. Для​
​ на основе существующих​

​ можно заключить через​​ выделите их и​
​ разделения значений в​ в соответствии с​Описание​ СМЕЩ. Непонятно почему.​

excelworld.ru

​подскажите пожалуйста, как​

• 

LINEST(known_y's, known_x's)

=LINEST( A2:A15 , B2:B15 )

=LINEST( A2:A15 , B2:C15 )