Формула чисел фибоначчи для excel

As with all basic math operations in Excel, if you wish to add two or more numbers, create a formula. Formulas offer a quick way to find the sum of a few digits.

Excel Formula Syntax

Some important points to remember about Excel formulas:

• Formulas in Excel begin with an equal sign.
• The equal sign is typed into the cell where the answer will appear.
• The addition sign in Excel is the plus symbol.
• Formulas are completed by pressing the Enter key.

Use Cell References in Addition Formulas

In the example data shown below, rows 2 through 4 use a formula that is located in column C to add the data in columns A and B. In row 2, the result is computed using an addition formula, =5+5.

Rows 3 and 4 show how it is better to first enter the data into worksheet cells and then use the addresses, or references, of those cells in the formula. For example, =A3+B3.

One advantage of using cell references rather than the actual data in a formula is that if you want to change the data, you’ll replace the data in the cell rather than rewrite the entire formula. The results of the formula update automatically when the data changes.

Enter Cell References With Point and Click

Although it is possible to type the above formula into cell C3 and have the correct answer appear, it’s easier to use point and click to add the cell references to formulas. This approach reduces the possibility of errors created by typing the wrong cell reference.

Point and click involves selecting the cell containing the data to add the cell reference to the formula instead of manually typing it into the cell.

Use the Addition Formula in Excel

Creating the example shown below in cell C3 is simple when you use a formula to add the values of cells A3 and B3.

Here’s how to create an addition formula:

1. Select cell C3 and type an equal sign to begin the formula.

2. Select cell A3 to add that cell reference to the formula after the equal sign.

3. Type the plus sign into the formula after A3.

4. Select cell B3 to add that cell reference to the formula after the addition sign.

5. Press Enter to complete the formula.

6. The answer 20 appears in cell C3.

Change the Formula

To change or correct a formula, select one of two options:

• Double-click the formula in the worksheet to place Excel in Edit mode and then make changes to the formula.
• Select the cell containing the formula and recreate the entire formula.

Create More Complex Formulas

To write more complex formulas that include other mathematical operators, use the steps listed above to get started and then continue to add the correct mathematical operators followed by the cell references containing the new data.

Create a Fibonacci Sequence

A Fibonacci sequence, created by the 12th-century Italian mathematician Leonardo Pisano, forms a continuous series of increasing numbers. These series are used to explain, mathematically, different patterns found in nature such as:

• The spiral shape of seashells.
• The arrangement of leaves on a tree branch.
• The reproduction pattern of bees.

After two starting numbers, each additional number in the series is the sum of the two preceding numbers. The simplest Fibonacci sequence, shown in the image above, begins with the numbers zero and one.

Since a Fibonacci series involves addition, it can be created with an addition formula in Excel, as shown in the image above.

The steps below detail how to create a simple Fibonacci sequence using a formula. The steps involve creating the first formula in cell A3 and then copying that formula to the remaining cells using the fill handle. Each iteration, or copy, of the formula adds together the previous two numbers in the sequence.

To create the Fibonacci series shown in the example:

1. In cell A1, type 0 (a zero) and press Enter.

2. In cell A2, type 1 and press Enter.

3. In cell A3, type the formula =A1+A2 and press Enter.

4. Select cell A3 to make it the active cell.

5. Place the mouse pointer over the fill handle (it’s the dot in the bottom right corner of cell A3). The pointer changes to a black plus sign when it is over the fill handle.

6. Drag the fill handle down to cell A19.

7. Cell A19 contains the number 2584.

Thanks for letting us know!

ТРЕНИНГИ

   Быстрый старт
   Расширенный Excel
   Мастер Формул
   Прогнозирование
   Визуализация
   Макросы на VBA

КНИГИ

   Готовые решения
   Мастер Формул
   Скульптор данных

ВИДЕОУРОКИ

ОНЛАЙН-КУРСЫ

ФОРУМ

   Excel
   Работа
   PLEX

© Николай Павлов, Planetaexcel, 2006-2022
info@planetaexcel.ru

Использование любых материалов сайта допускается строго с указанием прямой ссылки на источник, упоминанием названия сайта, имени автора и неизменности исходного текста и иллюстраций.

Техническая поддержка сайта

Использование
условных операторов и операторы цикла
при вычислении чисел Фибоначчи.

Любая
более или менее серьёзная программа
подразумевает использование управляющих
инструкций, среди которых особое место
занимают условные операторы и операторы
циклов. Рассмотрим особенности применения
таких операторов.

Общий
принцип действия условного оператора
заключается в следующем: проверяется
условие, и если оно истинно — выполняется
последовательность операций (цикл с
предусловием). Также можно определить
последовательность действий в случае
если условие ложно (цикл с постусловием,
выполняется до истинности условия).

Оператор
цикла позволяет выполнять последовательности
однотипных действий.

1)
Создадим с помощью оператора цикла FOR
макрос, который заполняет ячейки
документа числами Фибоначчи

(по
имени средневекового математика Леонардо
Пизанского, известного как Фибоначчи):

1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Числами
Фибоначчи называют последовательность
натуральных чисел, первые два из которых
равны 1, а каждое последующее равно сумме
двух предыдущих.

Примечание
3: Оказывается,
эта последовательность имеет множество
интересных с точки зрения математики
свойств. Вот пример: вы можете разделить
линию на два сегмента, так что соотношение
между большим и меньшим сегментом будет
пропорционально соотношению между всей
линией и большим сегментом. Этот
коэффицент пропорциональности,
приблизительно равный 1,618, известен как
золотое
сечение. В
эпоху Возрождения считалось, что именно
эта пропорция, соблюденная в архитектурных
сооружениях, больше всего радует глаз.
Если вы возьмете последовательные пары
из ряда Фибоначчи и будете делить большее
число из каждой пары на меньшее, ваш
результат будет постепенно приближаться
к золотому сечению. Другую интересную
информацию о числах Фибоначчи можно
найти в Интернете: http://elementy.ru/trefil/21136;
http://ru.wikipedia.org
и др..

Также,
в оператор For
добавим условный оператор, с помощью
которого обеспечим необходимость того,
чтобы числами ячейки заполнялись только
в том случае, если в активную ячейку
введено число большее 2. В VBA
существует условный оператор If….
Then….Else,
который реализует означенный алгоритм.
Программный код данного макроса приведен
в листинге 18:

Листинг 18: Программный код макроса Fibon ( )

Public Sub Fibon ( )

Dim N As Integer

Dim i As Integer

Dim a As Integer

Dim b As Integer

N = ActiveCell.Value

If N<2 Then

MsgBox Prompt: =
“Указано неверное значение!”, Title:
= “Ошибка!”

E
lse

a = 1

ActiveCell.Offset(1,-1).Value = 1

ActiveCell.Offset(1,0).Value = a

b = 1

For i = 2 To N

ActiveCell.Offset(i,-1).Value = i

ActiveCell.Offset(i,0).Value = b

b = b + a

a = b – a

Next i

End If

End Sub

Рис.
26.
Результат выполнения задания 6, п. 1.

В
ячейку А4
введите слова: «Числа
Фибоначчи в количестве N
= »,
в ячейку В4
введите число 12 (сколько чисел Фибоначчи
будет выведено с помощью макроса), далее
выделите ячейку B4
со значением 12 (ячейка B4
станет активной) и далее запустите
макрос на выполнение. Результат выполнения
макроса будет выглядеть как на рис. 27.
Внизу, под ячейкой B4
(в ячейках B5:В16)
будут выведены 12 чисел Фибоначчи.
Поэкспериментируйте сами, с выполнением
данного макроса, задавая для вычисления
разное число чисел Фибоначчи в ячейке
B4.

Если
в ячейку В4
будет введено число меньшее 2, то результат
будет иным, см. рис. 27:

Рис.
27. Результат
работы макроса при неверно указанном
значении ячейки.

Данный
макрос Fibon имеет
недостатки, в частности не может вывести
одно число Фибоначчи, когда значение

в
активной ячейке равно 1, а также не может
обработать случай, когда в ячейка В4
содержит нечисловое значение.

Приведённый
ниже макрос Fibon2
решает
эти проблемы (см. листинг 19):

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Циклические вычисления чисел Фибоначчи

Эта задача интересна тем, что она отчетливо демонстрирует ситуацию, когда начальный отрезок ряда чисел вычисляется по «своим» формулам и лишь, начиная с третьего числа, идут вычисления по рекуррентным соотношениям. Для того чтобы в каждый момент иметь не весь ряд вычисленных чисел, а только последние полученные значения, нам потребуются три ячейки таблицы Excel. Заметьте, двумя ячейками не обойтись. Формулы в двух первых ячейках используют конструкцию IF, позволяющую на первом шаге вычислений задать соответствующую константу, а затем перейти к рекуррентному соотношению. Третья ячейка необходима, как дополнительная память при пересылке значений. Для реализации задачи я выполнил следующие действия:

• В ячейку Fprev занес IF — формулу: » =ЕСЛИ(Fprev=0; 1; Fib) «
• В ячейку Fib занес IF — формулу: » =ЕСЛИ(Fib=0; 1; Fnext) «
• В ячейку Fnext ввел формулу: » =Fprev + Fib «
• Эти формулы порождают на первом шаге вычислений тройку чисел (1,1,2), на втором — (2,3,5) и т.д.
• Напомним, что важен порядок расположения этих формул на рабочем листе. Они должны идти сверху вниз, слева направо.

Взгляните, как выглядит на рабочем листе решение задач по нахождению корня уравнения и вычисления чисел Фибоначчи, использующее циклические вычисления.

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации

Циклические вычисления можно проводить и над массивами. В качестве примера такой задачи рассмотрим итеративный способ решения системы линейных уравнений AX = B. Если применить метод простой итерации, то вектор решений X определяется следующим рекуррентным соотношением:

XK+1 = XK -(AXK -B)		k= 1…N

Чтобы запустить процесс вычислений, нужно задать начальное приближение — вектор X₁. Для сходимости процесса необходимо, но не достаточно, чтобы норма матрицы А была меньше 1. Иногда достаточно соответствующим образом масштабировать матрицу А и вектор В. Но нас конечно интересуют другие вопросы,- как реализовать на Excel это итеративное соотношение над векторами и матрицами, не прибегая к программированию на VBA и используя циклические вычисления. Покажем, что решение получить ненамного сложнее, в сравнении с применением схемы Ньютона для одного уравнения. Я сделал следующее:

• Ввел матрицу А и вектор В, предварительно нормировав их. Заметим, что нужно правильно выбирать ориентацию векторов. В данном случае мне было удобнее представлять вектор В строкой. Вектор получил имя Veb.

• Затем определил вектор с именем Vxinit, задающий начальное приближение.

• Затем определил еще один вектор с именем Vxcur. Это вектор решений, его значения будут изменяться в цикле, пока не закончится итерационный процесс. Формула для вычислений будет определяться написанным выше рекуррентным соотношением, и представлять собой формулу над массивами. Учитывая то, что говорилось ранее о рекуррентных соотношениях, формула должна быть IF — функцией. Это позволит использовать на первом шаге начальное приближение, а потом уже вести вычисления по рекуррентной формуле. Приведем теперь саму формулу над массивами, вычисляющую рекуррентно вектор Vxcur:

  {=ЕСЛИ(Vxcur=0; Vxinit; Vxcur - Axhor + Veb)}

  Здесь, как и ранее, используются нулевые значения, как признак начала процесса. Заметим, что, конечно, было бы лучше, если бы существовала возможность явной инициализации переменных при циклических вычислениях, а так наши действия немного напоминают фокус. Вектор Axhor, введенный в формулу — это вспомогательный вектор, равный произведению матрицы А на текущий вектор Vxcur. Если процесс вычислений сходится, и Vxcur сходится к решению системы уравнений, то вектор Axhor будет сходиться к вектору Veb.

• Опишем подробнее формирование вспомогательного вектора Axhor. Содержательно, он представляет произведение матрицы на вектор. Но произведение матрицы на вектор дает вектор столбец, а в рекуррентном соотношении необходим вектор строка. По этой причине я формирую вначале вектор столбец Axver:

  Конечно, для умножения матрицы на вектор можно воспользоваться стандартной функцией, но я хочу показать, как это делается с использованием более простых средств. Для этого достаточно написать формулу, вычисляющую его первый элемент:

  и затем скопировать ее по столбцу. Обратите внимание, вектор, на который умножается матрица, должен быть строкой, а вектор — результат — столбцом. Строка матрицы задается в относительных адресах и при копировании меняется. Вектор, на который умножаются строки, задается своим именем, а значит абсолютным адресом, не изменяющимся при копировании. Каждая формула, задающая элемент вектора, является формулой над массивами.

• Получив вектор столбец Axver, задающий нужное произведение, можно перейти к получению строки — Axhor, представляющей результат транспонирования вектора Axver. Для транспонирования я использовал стандартную функцию Transpose. Сама задача транспонирования и эта функция подробно будет рассмотрена чуть позже. Формула над массивами, определяющая вектор Axhor имеет вид:

• Задав все вектора и все формулы, я получил решение системы линейных уравнений. Как ни странно, но даже столь плохой метод, как метод простой итерации сошелся к решению. Так, начав с начального приближения (1,1), я получил решение (1.6, 2.4) с заданной точностью.

• Заметим, предложенная схема носит общий характер и позволяет решать любую систему линейных уравнений, не ограничиваясь системой из двух уравнений, рассмотренную в примере. Однако никому не рекомендую применять метод простой итерации для нахождения решения системы уравнений, — для этого есть другие точные методы. Просто мне было важно продемонстрировать возможность циклических вычислений при действиях с матрицами, и нужен был достаточно простой пример.

В заключение темы о циклических вычислениях покажем, как выглядят построенное решение на рабочем листе Excel: