Формула arccos в excel

Функция ACOS

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ACOS в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает арккосинус числа. Арккосинус числа — это угол, косинус которого равен числу. Угол определяется в радианах в интервале от 0 до «пи».

Синтаксис

Аргументы функции ACOS описаны ниже.

Число — обязательный аргумент. Косинус искомого угла; значение должно находиться в диапазоне от -1 до 1.

Замечания

Если нужно преобразовать результат из радиан в градусы, умножьте его на 180/ПИ() или используйте функцию ГРАДУСЫ.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Арккосинус числа -0,5 в радианах, 2*ПИ/3 (2,094395)

Формулы тригонометрии – редкая и сложная задача для работы в Майкрософт Эксель. Тем не менее, здесь есть ряд встроенных функций, помогающих в геометрических расчетах. В этом посте мы рассмотрим основные из них, которые, в компании с учебниками и справочниками, могут решить многие математические задачи. Они участвуют в расчете площади, объема, угла наклона и т.д. Если Вы школьник, студент, или работаете, например, в сфере строительства, эта статья будет Вам очень полезна.

Для корректного расчета геометрических величин, Вам понадобятся познания в элементарных расчетах и некоторые из функций Excel. Так, функция КОРЕНЬ извлечет квадратный корень из заданного числа. Например, запишем: =КОРЕНЬ(121) , и получим результат «11». Хотя правильным решением будет «11» и «-11», программа возвращает только положительный результат в таких случаях.

Еще одна функция – ПИ() , не нуждается в аргументах и является зарезервированной константой. Ее результатом будет известное число 3,1415, описывающее соотношение длины окружности к ее диаметру. Эту функцию-константу можно активно применять в расчетах.

Радианы в градусы и градусы в радианы

Тригонометрические функции Excel, до которых мы еще доберемся, используют запись угла в радианах. Эта общепринятая практика часто бывает ненаглядной, ведь нам привычнее выражать угол в градусах. Чтобы устранить эту проблему, есть две функции преобразования величин:

• ГРУДУСЫ(Угол в радианах) – преобразует радиальные величины в градусы
• РАДИАНЫ(Угол вградусах) – наоборот, преобразует градусы в радианы.

Пользуясь этими функциями, Вы обеспечиваете совместимость и наглядность вычислений.

Прямые тригонометрические функции

Конечно, Вы знаете эти функции:

• COS(Угол в радианах) – косинус угла, соотношение между прилежащим катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника
• SIN(Угол в радианах) – синус угла, отношение противолежащего катета к гипотенузе

Для удобства чтения формул, можно использовать вложенную функцию РАДИАНЫ и задать угол в градусах. Например, формула =COS(РАДИАНЫ(180)) вернет результат «-1».

Производные тригонометрические функции

Еще две функции Вам так же знакомы – это тангенс и котангенс:

• TAN(Угол в радианах) – отношение длины противолежащего катета к прилежащему
• COT(Угол в радианах) – обратная величина – соотношение прилежащего угла к противолежащему.

Здесь так же рекомендую использовать функции преобразования величин РАДИАНЫ и ГРАДУСЫ.

Другие тригонометрические функции

Среди прочих тригонометрических функций можно выделить секанс и косеканс:

• SEC(Угол в радианах) – отношение гипотенузы к прилежащему катету
• CSC(Угол в радианах) – отношение гипотенузы к противолежащему катету

Легко заметить, что секанс – обратно-пропорциональная величина к косинусу, косеканс – к синусу.

Обратные тригонометрические функции

Такие функции выполняют обратный расчет по отношению к перечисленным выше:

• Арккосинус – это угол, который образуют прилежащий катет и гипотенуза с определенным косинусом. Чтобы посчитать эту величину, используйте функцию ACOS(Значение косинуса) .
• Арксинус – угол между противолежащим катетом и гипотенузой с определенным синусом, вычисляется так: ASIN(Значение синуса) .
• Арктангенс – угол между противолежащим и прилежащим катетами для заданного тангенса: ATAN(Значение тангенса) .
• Арккотангенс – угол, для которого справедливо заданное значение котангенса: ACOT(Значение котангенса).

Все перечисленные функции вернут угол в радианах. Естественно, для перевода его в градусы, используем функцию ГРАДУСЫ .

Знание и умелое применение перечисленных функций, конечно, не сделает Вас богом в тригонометрии, но все же позволит выполнить сложные расчеты, «стоимость» которых часто довольно высока. Научитесь комбинировать их с другими функциями, построением графиков, чтобы получить максимальный эффект от полученных знаний.

Это все о тригонометрических функциях, спасибо, что читаете мой блог и развиваетесь в своих знаниях. Следующую статью я напишу об округлении чисел и очень Вам рекомендую ее не пропустить!

Добавить комментарий Отменить ответ

5 комментариев

Максим :

ЦИТАТА: «Например, запишем: =КОРЕНЬ(121), и получим результат «11». Хотя правильным решением будет «11» и «-11»»

ЧЕГО?! Уж поразительные познания математики… Интересно, а дважды два будет пять?

Александр Томм :

Максим, укажите, что именно в цитируемой фразе вы считаете неправильным.

жжжженька :

Максим, никто не говорил, что функция КОРЕНЬ() возвращает именно арифметический корень; не арифметический корень может быть как положительным, так и отрицательным и равным нулю, главное, чтобы подкоренное выражение было положительное.

Vladimir :

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ACOS в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает арккосинус числа. Арккосинус числа — это угол, косинус которого равен числу. Угол определяется в радианах в интервале от 0 до «пи».

Синтаксис

Аргументы функции ACOS описаны ниже.

Число — обязательный аргумент. Косинус искомого угла; значение должно находиться в диапазоне от -1 до 1.

Замечания

Если нужно преобразовать результат из радиан в градусы, умножьте его на 180/ПИ() или используйте функцию ГРАДУСЫ.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Тригонометрия. Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям.

К ним обычно относят 6 функций:

• арксинус (обозначение: arcsin x; arcsin x — это угол, sin которого равен x),
• арккосинус (обозначение: arccos x; arccos x — это угол, косинус которого равняется x и так далее),
• арктангенс (обозначение: arctg x или arctan x),
• арккотангенс (обозначение: arcctg x или arccot x или arccotan x),
• арксеканс (обозначение: arcsec x),
• арккосеканс (обозначение: arccosec x или arccsc x).

Арксинус (y = arcsin x) – обратная функция к sin (x = sin y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его sin.

Арккосинус (y = arccos x) – обратная функция к cos (x = cos y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его cos.

Арктангенс (y = arctg x) – обратная функция к tg (x = tg y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его tg.

Арккотангенс (y = arcctg x) – обратная функция к ctg (x = ctg y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его ctg.

arcsec — арксеканс, возвращает угол по значению его секанса.

arccosec — арккосеканс, возвращает угол по значению его косеканса.

Когда обратная тригонометрическая функция не определяется в указанной точке, значит, ее значение не появится в итоговой таблице. Функции arcsec и arccosec не определяются на отрезке (-1,1), а arcsin и arccos определяются только на отрезке [-1,1].

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции прибавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции связывают с длиной дуги единичной окружности (либо углом, который стягивает эту дугу), которая соответствует тому либо другому отрезку.

Иногда в зарубежной литературе, как и в научных/инженерных калькуляторах, используют обозначениями вроде sin −1 , cos −1 для арксинуса, арккосинуса и тому подобное, — это считается не полностью точным, т.к. вероятна путаница с возведением функции в степень −1 (« −1 » (минус первая степень) определяет функцию x = f -1 (y), обратную функции y = f (x)).

Основные соотношения обратных тригонометрических функций.

Здесь важно обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.

Обозначим любое из значений обратных тригонометрических функций через Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x и сохраним обозначения: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x для их главных значений, тогда связь меж ними выражается такими соотношениями:

где k – всякое целое число. При k = 0 у нас есть главные значения.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: основные свойства

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа

• sin a r c sin a = a , a ∈ 1 ; — 1 ;
• cos a r c cos a = a , a ∈ 1 ; — 1 ;
• t g ( a r c t g a ) = a , a ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• c t g ( a r c c t g a ) = a , a ∈ — ∞ ; + ∞ .

Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа — это такой угол или число, синус которого равен числу a . При этом число a лежит в пределах от — 1 до + 1 включительно. В виде формулы определение запишется так:

sin ( a r c sin a ) = a

Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.

Пример 1. Свойства обратных тригонометрических функций

sin ( a r c sin ( 0 , 3 ) = 0 , 3 cos a r c cos — 3 2 = — 3 2 t g ( a r c t g ( 8 ) ) = 8 c t g ( a r c c t g ( 15 8 9 ) ) = 15 8 9

Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a . Так, при a , лежащем вне пределов отрезка — 1 , 1 , арксинус и арккосинус не определены и записи a r c sin a и a r c cos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса — от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos ( a r c cos ( 9 ) ) , так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи — ошибочно!

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел

Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.

arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

• a r c sin — a = — a r c sin a , a ∈ — 1 , 1 ;
• a r c cos — a = π — a r c cos a , a ∈ — 1 , 1 ;
• a r c t g — a = — a r c t g a , a ∈ — ∞ , + ∞ ;
• a r c c t g — a = π — a r c c t g a , a ∈ — ∞ , + ∞ .

Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При — 1 ≤ a ≤ 1 имеет место равенство a r c sin — a = — a r c sin a . Согласно дефиниции, a r c sin ( — a ) — это угол (число) в пределах от — π 2 до π 2 , синус которого равен — a . Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что — a r c sin a лежит в тех же пределах от — π 2 до π 2 , что и a r c sin ( — a ) . Также необходимо обосновать, что sin ( — a r c sin a ) = — a .

Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство — π 2 ≤ a r c sin a ≤ π 2 . Умножим каждую часть неравенства на — 1 и получим эквивалентное неравенство π 2 ≥ — a r c sin a ≥ — π 2 . Переписав его, получим — π 2 ≤ — a r c sin a ≤ π 2 .

Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin ( — a r c sin a ) = — a . Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin — a r c sin a = — sin a r c sin a . С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.

sin — a r c sin a = — sin a r c sin a = — a

Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.

Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

Для того, чтобы доказать, что a r c cos — a = π — a r c cos a при a ∈ — 1 , 1 необходимо во-первых показать, что число undefined.

Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножив каждую часть неравенства на — 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0 ≥ — a r c cos a ≥ — π . Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π . Получим π ≥ π — a r c cos a ≥ 0 , или 0 ≤ π — a r c cos a ≤ π .

Теперь покажем, что cos π — arccos a = — a . Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cos π — arccos a = — cos ( a r c cos a ) . Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.

cos π — arccos a = — cos ( a r c cos a ) = — a .

Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.

Основная польза данного свойства — возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:

a r c sin — 1 2 = — a r c sin 1 2 a r c cos — 5 5 7 = π — arccos 5 5 7 arctg — 1 = — arctg 1 arcctg ( — 3 ) = π — arcctg 3

Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.

Сумма arcsin и arccos

a r c sin a + a r c cos a = π 2 , a ∈ — 1 , 1

Соответственно, для арктангенса и арккотангенса

Сумма arctg и arcctg

a r c t g a + a r c c t g a = π 2 , a ∈ — ∞ , + ∞

Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде a r c sin a = π 2 — a r c cos a . Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус — это число (угол), лежащее в пределах от — π 2 до π 2 , синус которого равен a .

Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножим все его части на — 1 , а затем прибавим к каждой части π 2 . Получим:

0 ≤ a r c cos a ≤ π 0 ≥ — arccos a ≥ — π π 2 ≥ π 2 — arccos a ≥ — π 2 — π 2 ≤ π 2 — arccos a ≤ π 2

Завершая доказательство, покажем, что sin π 2 — a r c cos a = a . Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса.

sin π 2 — a r c cos a = cos a r c cos a = a

Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π 2 . По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса.

Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.

Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса

Известно, что a r c sin 6 — 2 2 = π 12 . Найдем арккосинус этого числа.

a r c sin 6 — 2 2 + a r c cos 6 — 2 2 = π 2 a r c cos 6 — 2 2 = π 2 — a r c sin 6 — 2 2 a r c cos 6 — 2 2 = π 2 — π 12 = 5 π 12

Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса

• a r c sin ( sin α ) = α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
• a r c cos ( cos α ) = α , 0 ≤ α ≤ π ;
• a r c t g ( t g α ) = α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
• a r c c t g ( c t g α ) = α , 0 ≤ α ≤ π .

Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что a r c sin ( sin α ) = α при — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Обозначим sin α через a . a — число, лежащее в интервале от — 1 до + 1 . Тогда равенство a r c sin ( sin α ) = α можно переписать в виде a r c sin a = α . Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что a r c sin ( sin α ) = α при — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Выражение a r c sin ( sin α ) имеет смысл не только при α , лежащем в пределах от — π 2 до π 2 . Однако, равенство a r c sin ( sin α ) = α выполняется только при соблюдении условия — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

К примеру, запись a r c sin ( sin 8 π 3 ) = 8 π 3 будет ошибочной, так как число 8 π 3 не удовлетворяет условиям неравенства.

Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.