Для вычисления производной в excel

Нахождение интеграла и производной при помощи Excel

Раскрыть первое сообщение

Кроме форматирования элементов поля ячеек, строк и столбцов часто бывает полезно использовать несколько рабочих листов Excel. Для систематизации и поиска информации в книге удобно присваивать названиям листов собственные имена, отражающие их смысловое содержание. Например, «исходные данные», «результаты расчетов», «графики» и т. п. Это удобно сделать, воспользовавшись контекстным меню. Нажать правую кнопку мышки на ярлычке листа, Переименовать лист и нажать <Enter >.

Для добавления одного или нескольких новых листов в меню Вставка выбрать команду Лист. Чтобы вставить сразу несколько листов нужно выделить ярлычки необходимого числа листов, удерживая <Shift >, затем из меню Вставка выполнить команду Лист. Обратная операция по удалению листов проводится аналогично. Через контекстное меню, где выбирается команда Удалить.

Полезная операция по перемещению листов – левой кнопкой мыши захватить ярлычок листа и переместить его в нужное место. Если при этом нажать <Ctrl>, произойдет перемещение копии листа, а к имени листа добавится число 2 .

Задача 7. Измените формат всей ячейки В2 на: шрифт – Arial 11; расположение – в центре, по нижнему краю; одно слово в строке; формат числа –“0,00”; граница ячейки – двойная линия

2.3. Встроенные функции

Программа Excel содержит более 150 встроенных функций для упрощения расчетов и обработки данных. Пример содержимого ячейки с функцией: =В2+SIN(C7), где В2 и С7— адреса ячеек, содержащих числа, а SIN( ) – имя функции. Наиболее используемые функции Excel:

SQRT(25) = 5 – вычисляет квадратный корень из числа (25) РАДИАНЫ(30) = 0,5 — преобразует 30 градусов в радианы ЦЕЛОЕ(8,7) = 8 – округляет до ближайшего меньшего целого ОСТАТ(-3;2) = 1 – оставляет остаток от деления числа(-3) на

делитель(2). Результат имеет знак делителя. ЕСЛИ(E4>0,2;”доп”;”ошиб”) – если число в ячейке Е4 меньше 0,2,

тогда Excel возвращают “доп” (истина), в противном случае – “ошиб”(ложь).

В формуле функции могут быть вложенными друг в друга, но не более 8 раз.

11

При использовании функции главным является определение самой функции и ее аргумента. В качестве аргумента, как правило, указывается адрес ячейки, в которой записана информация.

Определить функцию можно, набрав текст (значки, числа и т.п.) в нужную ячейку, либо воспользоваться Мастером функций. Здесь для удобства поиска все функции разбиты на категории: математические, статистические, логические и другие. Внутри каждой категории они отсортированы в алфавитном порядке.

Мастер функций вызывается командой меню Вставка, Функция

или нажатием пиктограммы ( fx ). В первом появившемся окне Мастера функций (рис.4) определяем Категорию и название конкретной функции, нажимаем <OK>. Во втором окне (рис.5) необходимо определить Аргументы функции. Для этого щелчком кнопки справа от первого диапазона ячеек (Число 1) “прикрываем” окно. Выделяем ячейки, на основе которых будет проводиться вычисление. После этого выделенные ячейки будут занесены в окно первого диапазона . Еще раз нажимаем правую клавишу . Если аргументом является несколько диапазонов ячеек, то действие повторяем. Затем для завершения работы нажимаем <OK>. В исходной ячейке окажется результат вычисления.

Рис. 4. Вид окна Мастер функций

Рис. 5. Окно для задания аргументов выбранной функции

12

Задача 8. Найти среднее значение ряда чисел: 2,5; 2,9; 1,8; 3,4; 6,1;

1,0; 4,4.

Решение. Вводим числа в ячейки, например, С2:С8. Выделяем ячейку С9, в которую записываем функцию =СРЗНАЧ(С2:С8), нажимаем <Enter>, в С9 получаем среднее значение указанных чисел – 3,15.

Задача 9. Применяя условную логическую функцию ЕСЛИ, составить формулу переименования нечетных числе в «осень», четных — «весна».

Решение. Выбираем столбец для ввода исходных данных – четных (нечетных) чисел, например, A. В ячейку B3 запишем формулу =ЕСЛИ(ОСТАТ(A3;2)=0;»вес»;»осе»). Копируя ячейку B3 вдоль столбца В, получаем результаты анализа записанных в столбце А чисел. Результаты решения задачи представлены на рис. 6.

Рис. 6. Решение задачи № 9

Задача 10. Вычислить значение функции y = x3 + sinx – 4ex для x = 1,58.

Решение. Разместим данные в ячейки А2 – х, В2 –у. Решение задачи показано на рис.7 в числовом виде слева и формульном – справа. При решении данной задачи следует обратить внимание на вызов функций SIN и экспоненты для ввода аргумента (см. рис.8).

Рис.7. Решение задачи № 10

Рис.8. Окна для ввода аргумента функции SIN и EXP

13

Задача 11. Составьте в Excel математическую модель задачи для расчета функции y= 1/ ((x- 3) · (x+ 4)), при значениях x= 3 и у= -4 выводить на экран «неопределена», численные значения функции – в остальных случаях.

Задача 12. Составьте в Excel математическую модель задачи: 12.1. для вычисления с корнями

а)√ x3· y2· z / √ x·z ; b) (z · √ z )2 ; c) 3√ x2 · 3√x ; d) √ 5·x5·3-1 / √ 20·x·3-1

12.2. для геометрических вычислений а) определить углы прямоугольного треугольника, если известны х – катет, у – гипотенуза ;

b) определить расстояние между двумя точками в декартовой системе координатах XYZ по формуле

d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

с) определить расстояние от точки (x0,y0) до прямой a x + b y + c = 0 по формуле

d = a x0+b y0+c / √ (a2+b2)

d) определить площадь треугольника по координатам вершин по формуле

S = 12 [(x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]

3. Решение задач с применением формул и функций

Задач, которые можно успешно решать с использованием формул и функций Excel, на самом деле много. Рассмотрим задачи, которые в практике наиболее часто решаются с применением электронных таблиц: линейные уравнения и их системы, вычисление численных значений производных и определенных интегралов.

Производной функции y = f(x) называется отношения ее приращения ∆y к соответствующему приращению ∆x аргумента, когда

∆x→ 0

y = f ( x + x) − f ( x)

x x

(1).

Задача.13. Найти производную функции y = 2x3 + x2 в точке x=3.

14

Решение. Производная, вычисленная аналитическим методом, равна 60. Вычисление производной в Excel проведем по формуле (1). Для этого выполним последовательность действий:

· Проведем обозначения столбцов: Х – аргументы функции, У – значения функции, У ` – производная функции (рис.9).

·Табулируем функцию в окрестности точки х= 3 с малым шагом, например, 0,001 результаты заносим в столбец Х.

Рис. 9. Таблица вычисления производной функции

·В ячейку В2 введем формулу вычисления функции =2*A2^3+A2^2.

·Скопируем формулу до строки 7, получим значения функции в точках табуляции аргумента.

·В ячейку С2 введем формулу вычисления производной =(B3-B2)/ (A3-A2).

·Скопируем формулу до строки 6, получим значения производных в точках табуляции аргумента.

Для значения х= 3 производная функции равна значению 60,019, что близко к значению, вычисленному аналитически.

метод трапеций. В методе трапеций область интегрирования разбивается на отрезки с некоторым шагом и площадь под графиком функции на каждом отрезке считается равной площади трапеции. Тогда расчетная формула принимает следующий вид

15

где h= (b- a)/ N – шаг разбиения; N – количество точек разбиения.

Для повышения точности количество точек разбиения удваивается, повторно выполняется расчет интеграла. Дробление исходного интервала прекращают, когда достигнута требуемая точность:

интеграла выполним следующие действия:

– выберем N= 5, в ячейке F2 рассчитаем h- шаг разбиения (рис. 10);

Рис. 10. Вычисление определенного интеграла

·В первом столбце А записываем номер интервала i ;

·В ячейке B2 запишем формулу =3*(2+F2*A2)^2 для расчета первого слагаемого формулы (2);

·В ячейке С2 запишем формулу =3*(2+F2*(A2+1))^2 для расчета второго слагаемого;

·“Протянем” ячейки с формулами на 4 строки вниз по столбцам;

·В ячейку С7 запишем формулу и вычислим сумму слагаемых ,

·В ячейке С8 запишем формулу и вычислим SN искомое значение определенного интеграла 19,02 (значение SN полученное аналитически

19).

Задача. 15. Вычислить определенный интеграл:

3.2. Решение линейных уравнений

Линейные уравнения в Excel можно решить, используя функцию Подбор параметра. При подборе параметра значение влияющей ячейки (параметра) изменяется до тех пор, пока формула, зависящая от этой ячейки, не возвратит заданное значение.

Рассмотрим процедуру поиска параметра на простом примере решения линейного уравнения с одним неизвестны.

Задача 16. Решить уравнение 10· x — 10 / x = 15.

Решение. Для искомого значение параметра – x выберем ячейку A3. Введем в эту ячейку любое число, лежащее в области определения функции (в нашем примере это число не может быть равно нулю). Пусть это будет 3. Это значение будет использовано в качестве начального. В ячейку, например, B3 в соответствии с приведенным уравнением введем формулу =10*A3-10/A3. В результате серии расчетов по данной формуле будет отобрано искомое значение параметра. Теперь в меню Сервис, выбрав команду Подбор параметра, запустим функцию поиска параметра (рис.11, а). Введем параметры поиска:

·В поле Установить в ячейке введем абсолютную ссылку на ячейку $В$3, содержащую формулу.

·В поле Значение введем искомый результат 15.

·В поле Изменяя значение ячейки введем ссылку на ячейку А3, содержащую подбираемое значение, и нажмем <OK>.

По окончании работы функции Подбор параметра на экране появится окно Результат подбора параметра, в котором будут отображены результаты поиска. Найденный параметр 2,000025 появится в ячейке А3, которая была для него зарезервирована.

Обратите внимание на тот факт, что в нашем примере уравнение имеет два решения, а параметр подобран только один. Это происходит потому, что параметр изменяется только до тех пор, пока требуемое значение не будет возвращено. Первый найденный таким образом аргумент и возвращается к нам в качестве результата поиска. Если в качестве

17

начального значения в нашем примере указать -3, тогда будет найдено второе решение уравнения: -0,5.

а) б)

Рис.11. Решение уравнения: а— ввод данных, б— результат решения

способами: подстановки, сложения и вычитания уравнений, с использованием матриц. Рассмотрим способ решения канонической системы линейных уравнений (3) с использованием матриц.

a1 x + a2 y + b1= 0

(3)

a3 x + a4 y + b2 =0

Известно, что система линейных уравнений в матричном представлении записывается в виде:

A X = B,

где А – матрица коэффициентов, X– вектор — столбец неизвестных,

В– вектор-столбец свободных членов. Решение такой системы

записывается в виде

X = A-1 B,

где A-1 –матрица, обратная по отношению к А. Это вытекает из того, что при решении матричных уравнений при X должна остаться единичная матрица Е. Умножая слева обе части уравнения АХ = В на А-1, получаем решение линейной системы уравнений.

Задача 18. Решить систему линейных уравнений

2x + y = 3

4x + 5y = 2

18

Решение. Для данной системы линейных уравнений значения соответствующих матрицы и вектора-столбца имеют вид:

Для решения задачи выполним действия:

·Выделим блок ячеек, например, А2:В3 и запишем в него элементы матрицы А.

·Выделим блок ячеек, например, С2:С3 и запишем в него элементы матрицы В.

·Выделим блок ячеек, например, D2:D3 для помещения результата решения системы уравнений.

·в ячейку D2 введем формулу = МУМНОЖ(МОБР( А2:В3);С2:С3).

Библиотека Excel в разделе математических функций содержит функции для выполнения операций над матрицами. В частности, это функции:

Параметрами данных функций могут быть адресные ссылки на массивы, содержащие значения матриц или имена диапазонов и выражения.

Например, МОБР (А1: B2) или МОПР (матрица_1).

· Укажем Excel, что выполняется операция над массивами, для этого нажмем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>, в ячейках D2 и D3 будет получен результат х = 2,16667; y= — 1,33333.

4. Решение задач оптимизации

Многие проблемы прогнозирования, проектирования и производства сводятся к широкому классу задач оптимизации. Такими задачами являются, например: максимизация выпуска товаров при ограничениях на сырье для производства этих товаров; составление штатного расписания для достижения наилучших результатов при наименьших расходах; минимизация затрат на транспортировку товаров; достижение заданного качества сплава; определение размеров некоторой емкости с учетом стоимости материала для достижения максимального объема; различные

19

задачи, в которые входят случайные величины, и другие задачи оптимального распределения ресурсов и оптимального проектирования.

Решение задач такого вида может быть осуществлено EXCEL с помощью инструмента Поиск решения, который расположен в меню Сервис. Формулировка таких задач может представлять собой систему уравнений с несколькими неизвестными и набор ограничений на решения. Поэтому решение задачи надо начинать с построения соответствующей модели. Познакомимся с этими командами на примере.

Задача 20. Предположим, что мы решили производить два вида объективов А и В. Объектив вида А состоит из 3-х линзовых компонентов, вид В – из 4-х . За неделю можно изготовить не более 1800 линз. На сборку объектива вида А требуется – 15 минут, вида В – 30 минут. Рабочая неделя для 4 сотрудников составляет 160 часов. Сколько объективов А и В надо изготовить, чтобы получить максимальную прибыль, если объектив вида А стоит 3500 рублей, вида В – 4800 рублей.

Решение. Для решения этой задачи необходимо составить и заполнить таблицу в соответствии с рис. 12:

·Переименуем ячейку В2 в x, количество объективов вида А.

·Аналогично переименуем ячейку В3 в y.

· Целевую функцию Прибыль = 3500*x+4800*y введем в ячейку B5. · Затраты на комплектацию равны =3*x+4*y введем в ячейку B7.

· Затраты по времени равны =0,25*x+0,5*y введем в ячейку B8.

Рис.12. Заполнение таблицы исходными данными

·Выделим ячейку В5 и выберем меню Данные, после чего активизируем команду Поиск решения. Заполним ячейки этого окна в соответствии с рис.13.

·Нажмем <Выполнить>; если все сделано правильно, то решение будет таким, как указано ниже.

20