Численный расчет баллистической траектории в excel

Мастер-класс
по теме
«Использование электронных таблиц Excel для
иллюстрации процессов движения в механике»

Янченко Владимир Владимирович

учитель физики и информатики

МОУ лицей № 4
г. Данков Липецкой области

Место
проведения:Липецкий институт развития образования

Тема: Баллистическое движение.

Вид: Урок — практическая работа с использованием компьютера.

Цель: Исследование движения тела, движущегося под
углом к горизонту

Задачи:  

·        
Рассмотреть формулы,
описывающие движение тела, брошенного под углом к горизонту

·        
Используя электронную таблицу
смоделировать движение тела, брошенного под углом к горизонту.

·        
Развитие исследовательской,
творческой, познавательной деятельности учащихся.

Методы обучения:

наглядный, исследовательский, практический.

Формы обучения:

индивидуальная,
коллективная.

Оборудование и демонстрации:

·       
Компьютер;

·       
локальная сеть;

·       
 проектор;

·       
 баллистический пистолет.

Программное обеспечение:

·       
операционная система Windows;

·       
 Microsoft Excel из пакета Microsoft
Office;

·       
пакет программ пакет «Физика
7-11 класс Библиотека наглядных пособий 1С:Образование».

План:

              
I.     Немного о себе.

               II.    Изучение
движения тела в поле сил тяготения.

               III.   Исследование
движения тела движущегося под углом к горизонту.     Практическая работа.

               IV.   Анализ
выполнения работы.

               V.    Подведение
итогов.

Ход мастер -класса.

I. Немного о себе.

Я,
Янченко Владимир Владимирович — учитель физики и информатики высшей категории.
В 1987 году окончил физико – математический факультет Липецкого
государственного педагогического института по специальности «математика и
физика».

27
лет работаю в МОУ лицей №4 г. Данкова Липецкой области.

Более
5 лет являюсь руководителем  методического объединения учителей физики
Данковского района.

В
своей работе с 1990 года использую компьютеры. Обучение на основе компьютерных
технологий создает условия для эффективного проявления фундаментальных
закономерностей мышления, оптимизирует познавательный процесс. Фактором,
позволяющим это сделать, является визуализация основных математических и
физических понятий, процессов и явлений при помощи компьютера.

Информационные
технологии являются современным средством обучения и открывают поистине
необозримые возможности для решения широкого круга задач.

На
уроках использую мультимедийные учебники по физике, компьютерные тестирование и
демонстрации, лабораторно – компьютерные практикумы, компьютерное моделирование
физических процессов. Это вызывает интерес к физике  у учащихся, позволяют
сделать урок  продуктивным  и дает положительные результаты в обучении.

Вашему
вниманию представляется использование электронных таблиц для иллюстрации
процессов движения в механике – движение тела под углом к горизонту.

Данный
материал входит в образовательный стандарт. В учебнике «Физика 10» автора С.В.
Громова §23 стр. 69-73, в учебнике «Физика 10» В.А. Касьянова §17 стр.63, в учебнике «Физика 10» Г.Я. Мякишева,
Б.Б. Буховцева, Н.Н. Сотского  §18 стр. 43-45.

II.  Изучение движения
тела в поле сил тяготения.

Повторение в виде фронтальной беседы.

Рассмотрим случай, когда
снаряд движется по вертикали.

1.  Как
движется снаряд? (Ответ: по вертикали вверх).

2.  Какая
сила действует на снаряд? (Ответ: сила тяжести).

3.  По
какой линии движется снаряд? (Ответ: снаряд движется по прямой).

4.
 Под каким углом движется снаряд? (Ответ: под углом 90°)

Рассмотрим
случай, когда снаряд движется под углом к горизонту: (запуск снаряда под углом
к горизонту).

5.
Какая сила действует на снаряд? (Ответ: сила тяжести).

6. Что является причиной искривления траектории
движения тела? (Ответ: изменение угла, под которым движется тело).

7. Как найти траекторию движения тела? (Ответ:
найти траекторию — это значит найти аналитическое уравнение кривой, по которой
движется тело в пространстве).

Рассмотрим основные параметры тела, движущегося с
начальной скоростью, направленной под углом к горизонту. Применяем пакет «Физика
7-11 класс Библиотека наглядных пособий 1С :Образование».

Уравнение
траектории тела, или зависимость у(х) можно получить, исключая из системы
уравнений время. Для этого из (5) найдем время и подставим в (6). Получим
уравнение траектории движения тела

Графиком этой квадратичной функции является парабола.
Парабола проходит через начало координат, так как у = 0 при х = 0. Ветви
параболы направлены вниз, так как коэффициент –

Чтобы построить график зависимости у(х) нужно взять множество
точек.

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8
x
y

Создание проблемной ситуации: невозможность быстро и точно
построить график движения тела, т.к. для этого нужно взять множество точек, а
это требует большой затраты времени.

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с
моделированием. Прототипом моделирования может быть объект, процесс или
система. В процессе моделирования мы приходим к некоторой формализации.
Определение цели моделирования позволяет четко установить, какие данные
являются исходными и наиболее существенными, а какие — несущественны в процессе
моделирования и что требуется получить на выходе.

Для задачи исследование движения тела, движущегося под
углом к горизонту, нам нужно разработать информационную модель и провести компьютерный
эксперимент.

Для компьютерного эксперимента воспользуемся средой электронной
таблицы, программой Microsoft Excel из пакета Microsoft Office.

В этой программе мы можем по исходным данным и
произведенным расчетам построить график или диаграмму. Вот этой возможностью мы
сегодня и воспользуемся для того, чтобы проследить движение тела, брошенного
под углом к горизонту. Разберем, какие исходные данные мы занесли в таблицу,
проследим, расчет каких величин производится, и построим график.

Технология заполнения:

1. Заполнение области исходных данных:

2.
Заполнение области промежуточных расчетов:

3.
Построение графика:

·       
Выделить в столбцах: С и В
диапазон ячеек, начиная с 12 строки;

·       
 Выбрать ВСТАВКА ð ДИАГРАММА ð ТИП диаграммы: ГРАФИКð произвести необходимые установки: заголовки, оси, и др.; ð ГОТОВО.

·       
Увеличить размер диаграммы.

·       
При необходимости
отформатировать.

 

·       
Расположить на экране монитора,
так, чтобы можно было менять исходные данные и одновременно видеть изменения на
графике.

III. Выполнение
практической работы:
 «Исследование графика движения тела, движущегося под углом к горизонту».

При работе класс можно разделить на группы. Группам
раздаются карточки с дополнительными заданиями к решаемой задаче.

Необходимо получить
результаты при изменении:

·       
начальной скорости;

·       
угла полета.

Необходимо, меняя исходные данные, построить график и
проследить по графику изменение траектории движения тела, заполнить таблицы и
на основании полученных результатов сделать выводы: как изменяется движение тела
при увеличении начальной скорости и угла бросания тела.

Результаты работы групп можно представить в виде таблиц:
Таблица №1

№ эксперимента	Угол	Начальная скорость м/с	Координаты при t=1 с	Высота подъема	Дальность полета
х	y
1	60	30
2	60	40
3	60	50
Выводы:		При увеличении начальной скорости …	Координаты тела в некоторый фиксированный момент времени …	Координаты тела в некоторый фиксированный момент времени …	Высота подъема …	Дальность полета …

Таблица №2

№ эксперимента	Угол	Начальная скорость м/с	Координаты при t=0,1 с	Высота подъема	Дальность полета
х	y
1	5	40
2	25	40
3	45	40
4	65	40
5	85	40
Выводы:		При увеличении начальной скорости …	Координаты тела в некоторый фиксированный момент времени …	Координаты тела в некоторый фиксированный момент времени …	Высота подъема …	Дальность полета …

IV. Анализ выполнения работы.

Его можно провести следующим образом. От каждой группы выбирается докладчик, который рассказывает
о проделанной работе и полученных результатах. Первая  группа учеников
отмечает, что построить график с максимальной точностью достаточно сложно, но
зависимость между скоростью и дальностью полета и высотой подъема можно
проследить. Вторая группа учеников может показать с помощью проектора на экране
таблицы значений и графики.

Ученики приходят к выводу, что для моделирования движения
тела, движущегося под углом к горизонту, можно использовать информационные
технологии, т.к. с помощью них можно наиболее точно построить график и наглядно
проследить его изменение при изменении исходных данных.

V. Подведение итогов.

Какова практическая направленность изучаемого материала?

Примерные ответы учеников:

·             
при выведении космического
корабля на орбиту и при стыковке космических кораблей, конструкторам нужно
рассчитывать расчетную траекторию.

·             
в военном деле при стрельбе из
любого вида оружия нужно не только знать траекторию движения, но и учитывать
сопротивление воздуха, которое изменяет эту траекторию.

·             
на уроках физкультуры тоже
применяются знания, полученные на уроках физики: при метании диска, при
бросании гранаты, во время игры в баскетбол.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту!

Опубликовано 22 Апр 2014
Рубрика: О жизни | 9 комментариев

До конца финального матча баскетбольного турнира Олимпиады в Мюнхене 1972-ого года оставалось 3 секунды. Американцы – сборная США — уже во всю праздновали победу! Наша команда – сборная СССР – выигрывала около 10-и очков у великой dream Team…

…за несколько минут до окончания матча. Но, растеряв в концовке все преимущество, уже уступала одно очко 49:50. Дальше произошло невероятное! Иван Едешко бросает мяч из-за лицевой линии через всю площадку под кольцо американцев, где наш центровой Александр Белов принимает мяч в окружении двух соперников и вкладывает его в корзину. 51:50 – мы олимпийские чемпионы!!!

Я, будучи тогда ребенком, испытал сильнейшие эмоции – сначала разочарование и обиду, затем сумасшедший восторг! Эмоциональная память об этом эпизоде врезалась в мое сознание на всю жизнь! Посмотрите видео в Интернете по запросу «золотой бросок Александра Белова», не пожалеете.

Американцы тогда не признали поражения и отказались от получения серебряных медалей. Возможно ли за три секунды сделать то, что совершили наши игроки? Вспомним физику!

В этой статье мы рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту, составим в Excel программу решения этой задачи при различных сочетаниях исходных данных и попытаемся ответить на поставленный выше вопрос.

Это достаточно широко известная задача в физике. В нашем случае тело, брошенное под углом к горизонту – это баскетбольный мяч. Мы рассчитаем начальную скорость, время и траекторию полета мяча, брошенного через всю площадку Иваном Едешко и попавшего в руки Александра Белова.

Математика и физика полета баскетбольного мяча.

Представленные ниже формулы и расчет в excel являются универсальными для широкого круга задач о телах, брошенных под углом к горизонту и летящих по параболической траектории без учета влияния трения о воздух.

Расчетная схема представлена на рисунке, расположенном ниже. Запускаем программу MS Excel или OOo Calc.

Исходные данные:

1. Так как мы находимся на планете Земля и рассматриваем баллистическую задачу – движение тел в поле тяжести Земли, то первым делом запишем основную характеристику гравитационного поля – ускорение свободного падения  g в м/с²

в ячейку D3: 9,81

2. Размеры баскетбольной площадки – 28 метров длина и 15 метров ширина. Расстояние полета мяча почти через всю площадку до кольца от противоположной лицевой линии по горизонтали x в метрах впишем

в ячейку D4: 27,000

3. Если принять, что бросок Едешко совершил с высоты около двух метров, а Белов поймал мяч как раз где-то на уровне кольца, то при высоте баскетбольного кольца 3,05 метра расстояние между точками вылета и прилета мяча составит по вертикали 1 метр. Запишем вертикальное перемещение y в метрах

в ячейку D5: 1,000

4. По моим замерам на видеозаписи угол вылета мяча α₀ из рук Едешко не превышал 20°. Введем это значение

в ячейку D6: 20,000

Результаты расчетов:

Основные уравнения, описывающие движение тела, брошенного под углом к горизонту без учета сопротивления воздуха:

x=v₀*cosα₀*t

y=v₀*sinα₀*t—g*t²/2

5. Выразим время t из первого уравнения, подставим во второе и вычислим начальную скорость полета мяча v₀ в м/с

в ячейке D8: =(D3*D4^2/2/COS (РАДИАНЫ(D6))^2/(D4*TAN (РАДИАНЫ (D6)) -D5))^0,5 =21,418

v₀=(g*x²/(2*(cosα₀)²*(x*tgα₀—y))^0,5

6. Время полета мяча от рук Едешко до рук Белова t в секундах рассчитаем, зная теперь v₀, из первого уравнения

в ячейке D9: =D4/D8/COS (РАДИАНЫ(D6)) =1,342

t=x/(v₀*cosα₀)

7. Найдем угол направления скорости полета мяча α_i в интересующей нас точке траектории. Для этого исходную пару уравнений запишем в следующем виде:

y=x*tgα₀—g*x²/(2*v₀²*(cosα₀)²)

Это уравнение параболы – траектории полета.

Нам необходимо найти угол наклона касательной к параболе в интересующей нас точке – это и будет угол α_i. Для этого возьмем производную, которая представляет собой тангенс угла наклона касательной:

y’=tgα₀—g*x/(v₀²*(cosα₀)²)

Рассчитаем угол прилета мяча в руки Белова α_i в градусах

в ячейке D10: =ATAN (TAN (РАДИАНЫ(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (РАДИАНЫ (D6))^2)/ПИ()*180 =-16,167

α_i= arctg y’=arctg(tgα₀— g*x/(v₀²*(cosα₀)²))

Расчет в excel, в принципе, закончен.

Иные варианты расчетов:

Используя написанную программу, можно быстро и просто при других сочетаниях исходных данных произвести вычисления.

Пусть, даны горизонтальная x=27 метров, вертикальная y=1 метр дальности полета и начальная скорость v₀=25 м/с.

Требуется найти время полета t и углы вылета α₀ и прилета α_i

Воспользуемся сервисом MS Excel «Подбор параметра». Я неоднократно в нескольких статьях блога подробно рассказывал, как им пользоваться. Детальнее об использовании этого сервиса можно почитать здесь.

Устанавливаем в ячейке D8 значение 25,000 за счет изменения подбором значения в ячейке D6. Результат на рисунке внизу.

Исходные данные в этом варианте расчета в excel (как, впрочем, и в предыдущем) выделены синими рамками, а результаты обведены красными прямоугольными рамками!

Устанавливая в таблице Excel некоторое интересующее значение в одной из ячеек со светло-желтой заливкой за счет подбора измененного значения в одной из ячеек со светло-бирюзовой заливкой, можно получить в общем случае десять различных вариантов решения задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту при десяти разных наборах исходных данных!!!

Ответ на вопрос:

Ответим на вопрос, поставленный в начале статьи. Мяч, посланный Иваном Едешко, долетел до Белова по нашим расчетам за 1,342с. Александр Белов поймал мяч, приземлился, подпрыгнул и бросил. На все это у него было «море» времени – 1,658с! Это действительно достаточное с запасом количество времени! Детальный просмотр по кадрам видеозаписи подтверждает вышесказанное. Нашим игрокам хватило трех секунд, чтобы доставить мяч от своей лицевой линии до щита соперников и забросить его в кольцо, вписав золотом свои имена в историю баскетбола!

Ссылка на скачивание файла: dvizheniye-tela-broshennogo-pod-uglom-k-gorizontu (xls 18,0KB).

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Цель урока: исследование зависимости
дальности полета тела, брошенного под углом к
горизонту, от угла бросания через построение
модели в электронной таблице.

Задачи урока:

• Методическая: показать методику
  практической реализации межпредметных связей.
• Образовательная: повторение учащимися
  темы «Баллистическое движение»; отработка
  учащимися практических навыков работы в
  электронных таблицах при выполнении
  лабораторного практикума по физике.
• Развивающая: развивать
  самостоятельность при выполнении
  исследовательской работы; укрепить навыки
  моделирования при реализации практически
  значимых задач; способствовать развитию
  творческих способностей учащихся.
• Воспитательная: содействовать
  воспитанию активности, уверенности,
  целенаправленности, любознательности, умению
  вести диалог, трудолюбию, патриотизма и
  национальной гордости; бережного отношения к
  своему здоровью через реализацию здоровье
  сберегающих технологий.

Тип урока: урок повторения, обобщения и
систематизации ЗУНов и применение их на
практике.

Вид урока: лабораторный практикум.

Особенность урока: бинарный урок.

Методы урока: рассказ, беседа, фронтальный
опрос, компьютерное и математическое
моделирование, самостоятельная работа,
исследование, анализ.

Оборудование: компьютеры с установленной
ОС Windows или Linux, интерактивная доска, проектор,
раздаточный материал для учащихся.

Ход урока

1. Организация начала урока.

2. Вводная беседа.

Учитель формулирует тему и цель урока: темой
и целью сегодняшнего урока является
моделирование баллистического движения.

3. Повторение этапов процесса моделирования
(фронтальный опрос).

На электронной доске учащиеся заполняют схему
этапов моделирования (Приложение 1),
составленную в презентации на слайде № 3
(Приложение 2).

4. Повторение физических основ баллистического
движения (теория).

Слайд-презентация (Приложение 2)

В многочисленных войнах на протяжении всей
истории человечества, враждующие стороны,
доказывая свое превосходство, использовали
сначала камни, копья и стрелы, а затем ядра, пули,
снаряды и бомбы.

Успех сражения во многом определялся точностью
попадания в цель. При этом точный бросок камня,
поражение противника летящим копьем или стрелой
фиксировались воином визуально. Это позволяло
(при соответствующей тренировке) повторять свой
успех в следующем сражении.

Значительно возросшая с развитием техники
скорость (и соответственно дальность полета)
снарядов и пуль сделали возможными
дистанционные сражения. Однако навыка воина,
разрешающей способности его глаза было
недостаточно для точного попадания в цель.
Желание побеждать — стимулировало появление
баллистики (от греч. Ballo — бросаю).

Огромное значение разработок в области
баллистики явилось создание реактивного
миномета «БМ-13», более известного под названием
«Катюша», в годы Второй мировой войны. Вы знаете,
что применение «Катюши» решило исход многих
сражений. И сейчас нельзя недооценивать работу
советских ученых в этой области.

Пули, снаряды и бомбы, так же как и теннисный и
футбольный мячи, и ядро легкоатлета, при полете
движутся по баллистической траектории. Для
описания баллистического движения в качестве
первого приближения удобно ввести
идеализированную модель, рассматривая тело как
материальную точку, движущуюся с постоянным
ускорением свободного падения . При этом
пренебрегаем изменением с высотой подъема тела,
сопротивлением воздуха, кривизной поверхности
Земли и ее вращением вокруг собственной оси. Это
приближение существенно облегчает расчет
траектории тел. Однако такое рассмотрение имеет
определенные границы применимости. Например, при
полете межконтинентальной баллистической
ракеты нельзя пренебрегать кривизной
поверхности Земли. При свободном падении тел
нельзя не учитывать сопротивление воздуха.

Итак, мы отбросили менее значимые факторы и
теперь приступаем к поиску математического
описания.

Рассмотрим основные параметры траектории
снаряда, вылетающего с начальной скоростью из
орудия, направленного под углом ? к горизонту:

Движение снаряда происходит в вертикальной
плоскости XY . Выберем начало отсчета в точке
вылета снаряда.

В евклидовом физическом пространстве
перемещение тела по координатным осям X и Y можно
рассматривать независимо.

Ускорение свободного падения направлено
вертикально вниз, поэтому по оси Х движение будем
считать равномерным. Это означает, что проекция
скорости V_х остается постоянной, равной ее
значению в начальный момент времени V_0х. По
оси Y движение является равнопеременным, так как
вектор ускорения свободного падения постоянен.
Следовательно, баллистическое движение тела
можно рассматривать как результат сложения двух
прямолинейных движений: равномерного движения
по оси Х и равнопеременного движения по оси Y.

Выведем математический закон баллистического
движения в координатной форме.

Закон равномерного движения снаряда по оси Х
имеет вид:

х = х₀ +V_0хt (1)

Закон равнопеременного движения по оси Y можно
представить в виде:

y = y₀ + V_0yt + а_y t² / 2 (2)

В выбранной системе координат

x₀ = 0; y₀ = 0; V_0х = V₀ cos;V_0y =V₀ sin .

Ускорение свободного падения направленно
противоположно оси Y, поэтому

a_y = -g.

Подставляя x₀, y₀, V_0х, V_0y
формулы (1) и (2), получаем закон баллистического
движения в координатной форме:

x = (V₀ cos ) t; y = (V₀
sin ) t — g t²/ 2.

5. Моделирование баллистического движения.

Практическая часть урока выполняется на
компьютере в ОС Windows или Linux с заранее
подготовленной средой Microsoft Excel или OpenOffice Calc. (Приложение 3)

Ход выполнения работы. (Приложение 4)

6. Анализ результатов.

Учащиеся анализируют результаты и определяют,
что при угле бросания 45⁰ (при постоянной
начальной скорости) дальность полета будет
наибольшая. Учитель сообщает, что при движении
тела в воздухе максимальная дальность полета
достигается при угле вылета 30⁰— 40⁰ .

7. Подведение итогов урока.

Подводятся итоги урока.

8. Домашнее задание.

Заполнить бланк отчета (Приложение 5).

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)