Численный интеграл в excel

history 20 ноября 2022 г.

Группы статей

Вычислим в MS EXCEL определенный интеграл методом трапеций (англ. Trapezoidal Rule). Оценим ошибку интегрирования, построим график функции.

В интернете есть много сайтов по автоматическому вычислению интегралов аналитическими и численными методами. Но, как правило, про использованный метод численного интегрирования ничего не говорится, а корректность вычислений проверить невозможно. В данном примере все вычисления прозрачны и можно задать необходимое количество интервалов разбиения. Правда, данный метод имеет относительно невысокую точность по сравнению с другими методами (если сравнивать его с методом Симпсона и методом интерполяционного полинома Лагранжа).

Немного теории

Так как функция, стоящая под знаком интеграла в общем случае может быть любая, то значение интеграла не всегда можно вычислить аналитически. Однако, можно воспользоваться тем фактом, что согласно теории, значение интеграла численно равно площади фигуры образованной графиком функции и осью Х (фигура выделена цветом).

Таким образом, задача нахождения интеграла сводится к нахождению площади этой фигуры. Площадь фигуры в общем случае можно найти численными методами, разбивая ее на простые однотипные фигуры, например трапеции. Т.к. площадь каждой трапеции найти легко, то простым суммированием площадей можно найти и интеграл. Платой за универсальность является ошибка интегрирования, которую впрочем можно оценить (будет показано далее).

Фактически метод трапеций основан на линейной интерполяции, т.е. график функции y = f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (x_i, y_i) прямыми линиями.

Площадь каждой трапеции можно найти следующим образом (см. рисунок ниже).

Фактически задача по нахождению интеграла сводится в основном к построению таблицы значений функции y=f(x) для заданных Х и нахождению их суммы. Интеграл можно найти с помощью вот такой простой формулы:

Построение модели

Для определенности вычислим интеграл для функции-многочлена f(𝑥)=𝑥³−5𝑥²+6𝑥+1. График этой функции в диапазоне от 0 до 4 выглядит следующим образом (см. файл примера).

Примечание: про тонкости построения графика функции можно прочитать в этой статье https://excel2.ru/articles/grafik-vs-tochechnaya-diagramma-v-ms-excel.

В файле примера построим таблицу значений функции для 41 точки (от 0 до 40), что составляет 40 интервалов.

Напомним, что Интеграл методом трапеций можно найти с помощью вот такой простой формулы:

В MS EXCEL формула также будет очень простой =E13/2*СУММ(D20:D59).

Примечание: При вводе функции в столбец С нужно быть очень внимательным — ошибиться очень легко, т.к. формула будет выглядеть как месиво символов =B19^3-5*B19^2+6*B19+1.

Вычисленное приближенное значение интеграла для данной функции в интервале [0;4] равно 9,340, а точное 9,333, т.е. ошибка составляет менее 0,1%. Ниже показано как ее оценить.

В файле примера на листе «настраиваемый интервал» сделана форма для работы с разными количествами интервалов разбиения. При изменении количества интервалов график перестраивается автоматически, формулы для вычисления интеграла не нужно переписывать (как, впрочем, и расширять/ убавлять таблицу значений).

Ошибка вычисления

На рисунке ниже показано откуда появляется ошибка интегрирования. Для первых 2-х трапеций (образованы красными линиями) площадь меньше чем у истинной функции (синяя линия). Для следующих 2-х — площадь больше. Из этого следует, что метод трапеций хорошо работает для осциллирующих функций, когда ошибки компенсируют друг друга.

Простой многочлен был выбран в качестве демонстрационной функции, чтобы можно было вычислить интеграл точно и потом найти истинную ошибку, чтобы иметь возможность сравнить ее с оценкой.

К сожалению, для нахождения оценки ошибки потребуется вычислить первую производную. Сделать это чаще всего не сложно, но автоматизировать это в EXCEL не получится. Поэтому при изменении подинтегральной функции приходится вносить изменения в несколько формул на листе, а точнее — в 2 ячейки С19 и G31 (в файле примера они выделены красным). После ввода формул их нужно скопировать вниз.

В наем случае полученная оценка ошибки совпала с истинной ошибкой, что говорит о том что мы не ошиблись при вычислении производной и вводе формул на лист.

Совет: всегда оценивайте ошибку интегрирования.

1Постановка физической задачина расчёт определённого интеграла

Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (единицы измерений – микрозиверт в час, мкЗв/ч). Возможно, Вас это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек попадает под радиоактивное излучение, превышающее фоновый уровень до 10 раз и даже больше. Но воздействие это кратковременное, и поэтому не столь опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время – Мощность дозы.

Необходимо посчитать суммарную накопленную за время полёта дозу.

2Геометрический смыслопределённого интеграла

Как мы помним из курса школьной алгебры, определённый интеграл – это площадь под графиком измеряемой величины. Чтобы определить накопленную дозу радиации в рассматриваемом примере, нужно определить площадь фигуры под графиком таблично заданной мощности дозы. Накопленная доза радиации равна площади фигуры под графиком мощности дозы

3Методика вычисленияопределённого интеграла

Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.

Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: S_трап = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.

4Согласованиеединиц измерения

В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час, а шкала времени – с точностью до минут. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, для величины, измеряемой в часах. Поэтому необходимо перевести мкЗв/час в мкЗв/мин.

Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на количество минут в часе, т.е. на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации это столбец «D». В столбце «D» в строке 2 вписываем =С2/60 А потом с помощью маркера заполнения распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце «D», (т.е. тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки). Таким образом, в столбце «D» у нас появятся значения мощности дозы радиации, измеряемые в микрозивертах в минуту для каждой минуты перелёта.

5Вычисление площадей отдельных трапеций

Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце «E» будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций.
Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца «D». Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).

Получаем формулу в ячейке «E3»: =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что «×1» в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца «Е» посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.

Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:
=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)).

Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:
=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).
Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.

5Определение площадипод графиком функции

Осталось найти сумму вычисленных площадей трапеций. Можно в ячейке «F2» написать формулу: =СУММ(E:E) Это и будет сумма всех значений в столбце «E», т.е. численное значение искомого определённого интеграла. Но давайте сделаем вот что: определим накопленную дозу в разные моменты полёта. Для этого в ячейку «F4» впишем формулу =СУММ(E$3:E4) и маркером заполнения распространим на весь столбец «F».

Обозначение E$3 говорит программе Excel, что увеличивать индекс ячейки «3» в столбце «E» при переносе формулы на следующие строки не нужно. Т.е. в строке 4 формула будет определять сумму в ячейках с «Е3» по «Е4», в строке 5 – сумму с «Е3» по «Е5», в строке 6 – с «Е3» по «Е6» и т.д.

Построим график по столбцам «F» и «A». Это график изменения накопленной дозы радиации во времени. Наглядно видно монотонное увеличение накопленной дозы радиации за время полёта. Это говорит о том, что мы правильно рассчитали интеграл. И окончательное значение накопленной за двухчасовой полёт дозы радиации, которое получается в последней ячейке этого столбца, равно примерно 4,5 микрозиверт.

Таким образом, мы только что нашли определённый интеграл таблично заданной функции в программе Excel на реальном физическом примере. В качестве приложения к статье – файл Excel с нашим примером.

Опубликовано 10 Авг 2015
Рубрика: Справочник Excel | 13 комментариев

При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.

Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.

Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.

Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.

Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.

Например:

Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.

Признак (значение функции) – высота фигуры.

Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.

Функция – описание зависимости высоты от ширины.

Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.

Теория.

Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.

Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.

Площадь под кривой y = f (x) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y=f (x). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x₁ до x_n – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.

Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.

Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.

Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.

Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.

Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.

1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!

2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!

Практика вычисления интегралов в Excel.

Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.

Определение тепловой энергии.

Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания  воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.

Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Многим, я думаю, это будет интересно.

Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.

Заполним таблицу.

1. В столбец B вписываем время проведения измерения τ_i.

2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t_2i, измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.

3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t_1i, поступающего на вход коллекторов.

4. В столбце E вычисляем разности температур dt_i на выходе и входе

dt_i=t_2i—t_1i

5. Зная удельную теплоемкость воздуха c=1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G=0,02031 кг/с, определяем мощность установки N_i в КВт в каждый из моментов времени в столбце F

N_i=c*G*dt_i

На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.

Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.

6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день

Q_i=(N_i+1+N_i)*(τ_i+1—τ_i)/2

Q=ΣQ_i=10,395 КВт*час

7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона

Q_j=(N_i+4*N_i+1+N_i+2)*(τ_i+1—τ_i)/3

Q=ΣQ_j=10,395 КВт*час

Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!

Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.

По методу трапеций: Q=10,220 КВт*час (-1,684%)

По методу Симпсона: Q=10,309 КВт*час (-0,827%)

Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.

Общие выводы.

Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.

Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.

Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!

Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Введение.

Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа.

Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.

Также понятие определенного интеграла широко используется в физике.

Если же говорить о программе Excel, которая является одной из наиболее известных в обработке электронных таблиц, то без преувеличения можно утверждать, что ее возможности практически неисчерпаемы.

Обработка  текста, управление базами данных —  программа настолько мощна, что во многих случаях превосходит специализированные программы — редакторы или программы баз данных. Такое многообразие функций может  поначалу  запутать, нежели заставить  применять   их  на  практике. Но по мере приобретения опыта начинаешь по достоинству ценить то, что границ  возможностей Excel тяжело достичь.

За всю историю табличных  расчетов  с  применением  персональных компьютеров требования  пользователей к подобным  программам  существенно изменились. В начале основной акцент в такой программе, как, например, Visi Calc, ставился на счетные  функции.  Сегодня,  положение другое. Наряду с инженерными и бухгалтерскими расчетами  организация  и  графическое изображение  данных  приобретают  все  возрастающее  значение. Кроме того, многообразие функций, предлагаемое такой расчетной и графической программой, не должно осложнять работу пользователя. Программы для Windows создают для этого идеальные предпосылки.

Ряд технологических задач требует увязки в математическое описание всей информации о процессе. Например, для математических моделей химико-технологических процессов одними из основных параметров, характеризующих процессы, являются концентрации реагирующих веществ, температура процесса и др. Как правило, большинство балансовых уравнений в химической технологии представлены системой интегральных и дифференциальных уравнений, в результате решения которых могут быть получены зависимости, характеризующие протекание процесса.

Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. В этих случаях применяют приближенные методы численного интегрирования.

Постановка задачи

Вычислить определенный интеграл

при условии, что а и b конечны и F(х) является непрерывной функцией х на всем интервале х[a,b]. Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Однако этой формулой часто нельзя воспользоваться по следующим причинам:

• первообразная функция f(x) слишком сложна и ее нельзя выразить в элементарных функциях;
• функция f(x) задана в виде таблицы, что особенно часто встречается в задачах химической технологии при обработке экспериментальных данных.

В этих случаях используются методы численного интегрирования.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям.

Общий подход к решению задачи будет следующим. Определенный интеграл I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью х и переменными х=а и х=b. Необходимо вычислить интеграл, разбивая интервал [a,b] на множество меньших интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски и суммируя их.

В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол, сплайнов и др.).

Все методы будут рассматриваться на примере вычисления следующего интеграла:

Метод прямоугольников.

Существует несколько видов формул прямоугольников:

Формула левых прямоугольников.

В общем виде формула левых прямоугольников на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:

Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:

 В данной формуле x0=a, xn=b.

Формула средних прямоугольников.

В общем виде формула средних прямоугольников на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:

где xi=xi-1+h.

 В данной формуле, как и в предыдущих, требуется h умножать сумму значений функции f(x), но уже не просто подставляя соответствующие значения x0,x1,…,xn-1 в функцию f(x), а прибавляя к каждому из этих значений h/2 (x0+h/2, x1+h/2,…, xn-1+h/2), а затем только подставляя их в заданную функцию.

 На практике данные способы реализуются следующим образом:

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле левых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

 Ввести в ячейку A1 текст a=.

Ввести в ячейку B1 число 0.

Ввести в ячейку A2 текст b=.

Ввести в ячейку B2 число 3,2.

Ввести в ячейку A3 текст n=.

Ввести в ячейку B3 число 10.

Ввести в ячейку A4 текст h=.

Ввести в ячейку B4 формулу =(B2-B1)/B3.

Вести в ячейку A6 текст i, в B6 — x, в C6 — y0,…,y(n-1).

Ввести в ячейку A7 число 0.

Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.

Ввести в ячейку B7 число 0.

Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.

Ввести в ячейку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек C8:C16.

Ввести в ячейку B18 текст сумма:.

Ввести в ячейку B19 текст интеграл=.

Ввести в ячейку C18 формулу =СУММ(C7:C16).

Ввести в ячейку C19 формулу =B4*C18.

Ввести в ячейку C20 текст левых.

В итоге получаем следующее:

Ответ: значение заданного интеграла равно 12,500377.

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формуле левых прямоугольников.

В ячейку D6 ввести текст y1,…,yn.

Ввести в ячейку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек D9:D17

Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D7:D17).

Ввести в ячейку D19 формулу =B4*D18.

Ввести в ячейку D20 текст правых.

В итоге получаем следующее:

Ответ: значение заданного интеграла равно 14,45905.

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формулам левых и правых прямоугольников.

В ячейку E6 ввести текст xi+h/2, а в F6 — f(xi+h/2).

Ввести в ячейку E7 формулу =B7+$B$4/2, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек E8:E16

Ввести в ячейку F7 формулу =КОРЕНЬ(E7^4-E7^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек F8:F16

Ввести в ячейку F18 формулу =СУММ(F7:F16).

Ввести в ячейку F19 формулу =B4*F18.

Ввести в ячейку F20 текст средних.

В итоге получаем следующее:

Ответ: значение заданного интеграла равно 13,40797.

Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что формула средних прямоугольников является наиболее точной, чем формулы правых и левых прямоугольников.

Метод трапеций.

В общем виде формула трапеций на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:

В данной формуле x0=a, xn=b, так как любой интеграл в общем виде выглядит:

h можно вычислить по следующей формуле: h=(b-a)/n (19).

y0, y1,…, yn — это значения соответствующей функции f(x) в точках x0, x1,…, xn (xi=xi-1+h)» [3].

На практике данный способ реализуется следующим образом:

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле трапеций в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

 Ввести в ячейку A1 текст n=.

 Ввести в ячейку B1 число 10.

 Ввести в ячейку A2 текст a=.

 Ввести в ячейку B2 число -1.

 Ввести в ячейку A3 текст b=.

 Ввести в ячейку B3 число 1.

 Ввести в ячейку A4 текст h=(b-a)/n.

 Ввести в ячейку B4 формулу =(B3-B2)/B1.

 Заполнить диапазон ячеек A6:D6 следующим образом:

 Ввести в ячейку A7 число 0.

 Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.

 Ввести в ячейку B7 число -1.

 Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.

Ввести в ячейку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), а в ячейку C17 формулу =КОРЕНЬ(B17^4-B17^3+8).

Ввести в ячейку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек D8:B16.

Ввести в ячейку B18 текст суммы:.

Ввести в ячейку C18 формулу =СУММ(C7;C17).

Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D8:D16).

Ввести в ячейку A19 текст интеграл=.

Ввести в ячейку B19 формулу =B4*(C18/2+D18).

Метод парабол или Симпсона.

Этот метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций, а поэтому наиболее широко известный и применяемый метод численного интегрирования.

Метод аналогичен рассмотренным ранее методам прямоугольников и трапеций: интервал интегрирования разбивается на множество более мелких отрезков; однако для вычисления площади под каждым из отрезков через три последовательных ординаты разбиения проводится квадратичная парабола.

Формулу Симпсона получаем, проводя параболу через три ординаты на концах двух соседних интервалов и складывая получившиеся при этом площади.

Поскольку в методе Симпсона парабола проводится через три ординаты на концах двух соседних интервалов, то при реализации этого метода необходимо требовать, чтобы «n» было четным числом.

На практике данный способ реализуется следующим образом:

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле Симпсона в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

 Ввести в ячейку A1 текст n=.

 Ввести в ячейку B1 число 10.

 Ввести в ячейку A2 текст a=.

 Ввести в ячейку B2 число 0.

 Ввести в ячейку A3 текст b=.

 Ввести в ячейку B3 число 3,2.

 Ввести в ячейку A4 текст h=.

 Ввести в ячейку B4 формулу =(B3-B2)/B1.

 Заполнить диапазон ячеек A6:D6 следующим образом:

Ввести в ячейку A7 число 0.

Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.

Ввести в ячейку B7 число 0.

Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.

Ввести в ячейку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), а в ячейку C17 формулу =КОРЕНЬ(B17^4-B17^3+8).

Заполнить нижеприведенные ячейки:

Ввести в ячейку C18 формулу =(C7-C17)/2.

Ввести в ячейку D18 формулу =2*D8+2*D10+2*D12+2*D14+2*D16.

Ввести в ячейку E18 формулу =E9+E11+E13+E15+E17.

Ввести в ячейку A19 текст интеграл=.

Ввести в ячейку B19 формулу =(2*B4/3)*(C18+D18+E18).

В итоге получаем следующее:

Заключение

Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.

Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл — это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.

Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.

Литература

1. Волков Е.А. Численные методы. М., Наука, 1988.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Интеграл-Пресс, 2004. Т. 1.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., Высшая школа, 1990.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по высшей математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука , 1981 . — 718 с.
5. Белецкий Я. Excel с графикой для персональных компьютеров перевод с польского Д.И.Юренкова. -М.: Машиностроение , 1991. — 320 с.
6. Самарский А.А, Гулин А.В. Численные методы.М.:Наука,1989. – 430 с.
7. http://tgspa.ru/info/education/faculties
8. http://www.machinelearning.ru/wiki

Рассмотрим подробно
шесть алгоритмов численного интегрирования
на примере интеграла:

.

Задание
1: Разобьем интервал интегрирования
[0, 3] на n частей.
Для этого в столбце А запишите
значения x_i
от 0 до 3 шагом, например 0,1
(вы можете выбрать и более мелкий шаг).
Потом организуйте таблицу следующего
содержания:

x	S1(л.п.)	S2(п.п)	S3(с.п.)	S4(тр.)	S5(симп.)	S6(3/8)
[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]

Здесь
S₁ – формула левых
прямоугольников, S₂
– формула правых прямоугольников, S₃
– формула средних прямоугольников, S₄
– формула трапеций, S₅
– формула Симпсона, S₆
– формула трех восьмых.

После того, как
заполните таблицу для всех значений
x_i,
значения интеграла найдите суммированием
значений, полученных в каждом столбце.
Значения сумм (приближенные значения
интегралов) выведите с точностью до 5
знаков после запятой, сравните, сделайте
выводы о точности используемых методов
для интегрирования данной функции.

Численное интегрирование в MathCad.

Интегрирование в
MathCAD реализовано в виде вычислительного
оператора. Допускается вычислять
интегралы от скалярных функций в пределах
интегрирования, которые также должны
быть скалярами. Несмотря на то, что
пределы интегрирования обязаны быть
действительными, подынтегральная
функция может иметь и комплексные
значения, поэтому и значение интеграла
может быть комплексным.

Чтобы вычислить
определенный интеграл, используют
панель инструментов Вычисления.
Можно вычислять интегралы с одним или
обоими бесконечными пределами. Для
этого на месте соответствующего предела
введите символ бесконечности,
воспользовавшись, например, той же самой
панелью Вычисления.

Задание
2: Вычислите данный определенный
интеграл. Сравните результат с тем, что
вы получили в Excel? Вычислите
этот же интеграл как неопределенный.

Результат численного
интегрирования — это не точное, а
приближенное значение интеграла,
определенное с погрешностью, которая
зависит от встроенной константы TOL. Чем
она меньше, тем с лучшей точностью будет
найден интеграл, но и тем больше времени
будет затрачено на расчеты. Напомню,
что по умолчанию TOL=0.001.

В программе MathCAD
пользователь имеет возможность выбирать
сам алгоритм численного интегрирования.
Для этого сделайте следующее:

1. Щелкните правой
кнопкой мыши в любом месте на левой
части вычисляемого интеграла.

2. В появившемся
контекстном меню выберите один из
четырех численных алгоритмов Обратите
внимание, что перед тем как один из
алгоритмов выбран впервые, флажок
проверки в контекстном меню установлен
возле пункта AutoSelect (Автоматический
выбор). Это означает, что алгоритм
определяется MathCAD, исходя из анализа
пределов интегрирования и особенностей
подынтегральной функции. Как только
один из алгоритмов выбран, этот флажок
сбрасывается, а избранный алгоритм
отмечается точкой.

Разработчиками
MathCAD запрограммированы четыре численных
метода интегрирования:

—
Romberg (Ромберга) — для большинства
функций, не содержащих особенностей;

—
Adaptive (Адаптивный) — для функций, быстро
меняющихся на интервале интегрирования;

—
Infinite Limit (Бесконечный предел) — для
интегралов с бесконечными пределами;

—
Singular Endpoint — для интегралов с сингулярностью
на конце, это модифицированный алгоритм
Ромберга для функций, не определенных
на одном или обоих концах интервала
интегрирования.

Обычно выбор
численного метода оставляют за MathCAD,
установив флажок AutoSelect (Автоматический
выбор) в контекстном меню. Попробовать
другой метод можно, например, чтобы
сравнить результаты расчетов в
специфических случаях, когда у вас
закрадываются сомнения в их правильности.

Основные идеи
итерационного алгоритма Ромберга
следующие: сначала строится несколько
интерполирующих полиномов, которые
заменяют на интервале интегрирования
подынтегральную функцию f (x). В ходе
первой итерации интервал интегрирования
разбивается на 1, 2 и 4 … интервала, то
есть сначала граничные точки интервала
интегрирования соединяют прямой линией,
потом квадратичной параболой и т. д.
Интеграл от каждого полинома с известными
коэффициентами легко вычисляется
аналитически. Таким образом, определяется
последовательность интегралов от
интерполирующих полиномов: J₁,
J₂, … Из-за
интерполяции по разному числу точек
вычисленные интегралы J₁,
J₂, … несколько
отличаются друг от друга. Причем чем
больше точек используется для интерполяции,
тем интеграл от интерполяционного
полинома ближе к искомому интегралу,
стремясь к нему в пределе бесконечного
числа точек. Чем больше количество точек
интерполяции, тем ближе очередное
приближение Ромберга к вычисляемому
интегралу и, соответственно, тем меньше
оно отличается от приближения предыдущей
итерации. Как только разница между двумя
последними итерациями |J_N-J_N-1|
становится меньше погрешности TOL,
итерации прерываются, и J_N появляется
на экране в качестве результата
интегрирования.

Задание
3: Вычислите исследуемый интеграл
разными методами. Сравните полученные
результаты.

Критерии
оценки полученных знаний, умений и
навыков:

студент
получает 4 балла при выполнении
лабораторной работы и ответе на
контрольные вопросы преподавателя,
поощрительный 1 балл студент получает
при своевременном (в день проведения
лабораторной работы) выполнении
лабораторной работы, дополнительные
5 баллов студент получает при реализации
одного из изученных алгоритмов на языке
программирования ПАСКАЛЬ. Таким образом,
максимальное количество баллов, которые
студент может получить за данную
лабораторную работу, равно 10.

Примерные
контрольные вопросы:

1. Чем
   определяется точность численного
   нахождения определенных интегралов?

2. Какие
   недостатки и достоинства имеют
   квадратурные формулы прямоугольников,
   формула Симпсона и формула трех восьмых?

3. Какие
   вы знаете способы вычисления определенных
   и неопределенных интегралов в программе
   MathCAD?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #