Численные методы решения задач excel - Word и Excel - помощь в работе с программами

ТЕМА: «Численные
методы решения математических задач средствами Microsoft Excel»

ФИО
ПРЕПОДАВАТЕЛЯ: Шашкова Юлия Николаевна,
преподаватель информатики

ТИП УРОКА:
Занятие комплексного применения знаний и умений

ВИД УРОКА: Практическая
работа

ДИСЦИПЛИНА:
«Компьютерное моделирование»

ЦЕЛЬ и ЗАДАЧИ:

—
формирование навыков решения системы линейных уравнений методом Крамера
средствами Microsoft Excel;

—
усвоение приемов работы с матрицами, и матричного способа решения систем
линейных уравнений средствами Microsoft Excel;

—
формирование навыков решения уравнения методом половинного деления с точностью
ε и методом оптимизации.

—
развитие навыков мыслительной деятельности, включая каждого студента в
учебно-познавательный процесс и создавая условия для работы каждого в
индивидуальном темпе;

—
воспитание положительной мотивации к изучению темы занятия, необходимой для
будущей специальности;

—
воспитание внимательности, аккуратности, добросовестности.

ЛИТЕРАТУРА

1) Могилев,
А.В. Информатика: учебное пособие для студ. Пед.вузов/ А.В. Могилев, Н.И. Пак,
Е.К. Хеннер. – М.: Академия, 2008. – 848 с

2)
Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel: Практикум. М.:
Питер, 2003. – 240с

План занятия
1. Проверка знаний студентов – их теоретической подготовленности к занятию (устный опрос)	5
2. Инструктаж по выполнению практического задания: — цель работы; — комментарии по программному обеспечению; — порядок выполнения заданий;	10
3. Демонстрация выполнения задания преподавателем с устными по-шаговыми инструкциями	10
4. Самостоятельная работа студентов за компьютером	25
5. Физкультминутка для глаз, рук и тела	5
6. Самостоятельная работа студентов за компьютером	30
7. Анализ и оценка выполненных работ и степени овладения студентами запланированными умениями	5

ПРАКТИЧЕСКАЯ
РАБОТА

«Численные
методы решения математических задач средствами Microsoft
Excel»

Цель: формирование навыков решения
систем линейных уравнений и уравнений с одной неизвестной численными методами в
табличном редакторе Microsoft Excel.

Численные методы
решения различных видов уравнений – это алгоритмы нахождения приближённых
(а иногда и точных) значений искомого решения. Решение алгебраических
уравнений при этом получаются в виде значений аргументов, вычисленных с
определённой степенью точности. Численные методы можно применять только к
корректно поставленным задачам.

Упражнение 1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ

Цель упражнения: сформировать
навыки решения систем линейных уравнений средствами Microsoft Excel
матричным способом.

Многие прикладные задачи в технике, экономике и других
областях сводятся к решению системы линейных уравнений, поэтому особенно важно
уметь их решать.

Пусть дана линейная система n уравнений
с n
неизвестными, где — произвольные числа,
называемые коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы называется такая совокупность n чисел, при
подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений совместна, если она имеет хотя бы одно решение.

Данную систему уравнений можно записать в виде
матричного уравнения:

где А – матрица коэффициентов при переменных;

Х – матрица-столбец (вектор) неизвестных;

В – матрица-столбец (вектор) свободных членов.

В развернутом виде систему можно представить
следующим образом:

Существует ряд методов решения системы: методы
Крамера, Гаусса и т.д. Предполагая использование компьютера для проведения
вычислений, наиболее целесообразно рассмотреть решение системы методом обратной
матрицы.

Таким образом, для решения системы необходимо
найти обратную матрицу коэффициентов и умножить ее справа на вектор свободных
членов.

Задание 1. Необходимо
решить систему уравнений

Решение.

1. На Лист1 введите матрицу А в диапазон
А1:В2. И вектор В=(7 40) в диапазон С1:С2.

2. Найдите обратную матрицу А^-1.
Для этого:

·
Выделите
блок А3:В4 под обратную матрицу;

·
На
закладке ФОРМУЛЫ выберите пункт МАТЕМАТИЧЕСКИЕ. В выпадающем списке выберите
функцию МОБР;

·
Появившееся
диалоговое окно МОБР мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы и введите
диапазон исходной матрицы А1:В2 в рабочее поле Массив (указателем мыши
принажатой левой кнопке). После чего нажмите сочетание CTRL+SHIFT+ENTER

·
В
результате в диапазоне А3:В4 появиться обратная матрица

3. Умножением обратной матрицы А^-1
на вектор В найдите вектор Х. Для этого:

·
Выделите
блок С3:С4 под результирующую матрицу (вектор Х);

·
На
закладке ФОРМУЛЫ выберите пункт МАТЕМАТИЧЕСКИЕ. В выпадающем списке выберите функцию
МУМНОЖ;

·
Появившееся
диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы и введите
диапазон обратной матрицы А3:В4 в поле Массив1 и диапазон С1:С2 в
рабочее поле Массив2. После чего нажмите сочетание CTRL+SHIFT+ENTER;

·
В
результате в диапазоне С3:С4 появился вектор Х. Причем х=5, у=-4.

4. Можно осуществить проверку найденного решения.
Для этого найденный вектор Х необходимо подставить в исходное матричное
уравнение .

Задание 2. Самостоятельно
решите следующие системы уравнений

а.

б.

в.

Упражнение
2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА

Цель упражнения: сформировать
навыки решения системы линейных уравнений методом Крамера средствами Microsoft Excel.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных
систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной
матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

Задание 3. Решить систему линейных уравнений методом
Крамера.

Решение:

1. Введите на Листе2 матрицу А (размером 3х3) в
диапазон ячеек В1:D3, столбец свободных членов b в диапазон B5:B7.

2. В ячейку В9 посчитайте определитель основной
матрицы с помощью функции МОПРЕД(массив). После чего нажмите сочетание CTRL+SHIFT+ENTER.

3. Введите матрицу D1
(размером 3х3) в диапазон ячеек В11:D13, в ячейку G12 введите определитель матрицы D1 с
помощью функции МОПРЕД(массив), где матрица D1составлена из элементов матрицы А, в которой первый столбец заменен
столбцом свободных членов.

4. Введите матрицу D2
(размером 3х3) в диапазон ячеек В15:D17, в ячейку G16 введите определитель матрицы D2 с
помощью функции МОПРЕД(массив), где матрица D2 составлена из элементов матрицы А, в которой второй столбец заменен
столбцом свободных членов.

5. Введите матрицу D3
(размером 3х3) в диапазон ячеек В19:D21, в ячейку G20 введите определитель матрицы D2 с
помощью функции МОПРЕД(массив), где матрица D2 составлена из элементов матрицы А, в которой третий столбец заменен
столбцом свободных членов.

6. Вычислить искомые неизвестные, в диапазоне
В23:В25

Задание 4. Решить систему линейных уравнений методом
Крамера.

а.

б.

в.

Упражнение 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

МЕТОДОМ ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

Цель упражнения: сформировать навыки решения уравнения методом половинного деления
с точностью ε.

Пусть на отрезке [a,b]
расположен один корень уравнения , который необходимо
уточнить с погрешностью ε.

Процедура уточнения положения корня
заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков,
каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина
текущего интервала неопределенности:

В качестве следующего интервала неопределенности из
двух возможных выбирается тот, на концах которых функция имеет разные знаки.
Точность будет достигнута, если:

Корень уравнения вычисляется по формуле

Задание 5. Уточнить
корни уравнения методом половинного
деления с точностью до 0,00001.

Решение.

1. На Лист3 заполнить ячейки А1:H1 последовательностью следующим образом: a, b, c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c), |b—a|<=2*e, e

2. Ввести в ячейку A2 число 5, в ячейку B2 —
число 6.

3. В ячейку B2 ввести формулу: =(A2+B2)/2.

4. В ячейку D2 ввести формулу: =cos(2*A2)+A2-5,
скопировать эту формулу в ячейки E2:F2.

5. Ввести в ячейку G2 формулу:
=ЕСЛИ(ABS(B2-A2)<=2*$H$2;C2;»-«).

6. Ввести в ячейку H2 число 0,00001.

7. В ячейку A3 ввести формулу:
=ЕСЛИ(D2*F2<0;A2;C2).

8. В ячейку B3 ввести формулу:
=ЕСЛИ(D2*F2<0;C2;B2).

9. Диапазон ячеек C2:G2 скопировать в диапазон
ячеек C3:G3.

10. Выделить диапазон ячеек A3:G3 и с помощью
маркера заполнения заполнить все нижестоящие ячейки до получения результата в
одной из ячеек столбца G (это ячейки A3:G23).

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32977.

Упражнение
4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
СРЕДСТВАМИ ОПТИМИЗАЦИИ

Цель упражнения: сформировать
навыки решения уравнения методом оптимизации.

Одним из приложений задач оптимизации является
численные решение системы уравнений с одни неизвестным или несколькими
неизвестными вида .

Нахождение корней уравнений
данного вида даже в случае алгебраических уравнений выше третьей степени
представляется достаточно сложную задачу. В этих случаях единственным путем
является получение приближенных решений, выбором неизвестных значений так,
чтобы они давали минимум ошибки некоторой целевой функции (как правило,
квадратичной). Обычно используются итерационные методы, когда вначале выбирают
некоторое начальное приближение, а затем вычисляют последовательность
приближений.

Итерационные методы
обеспечивают сходимость таких приближений к искомому значению х.

Задание 5. Найти решение уравнения

Решение. Уравнение имеет два корня. Решение начинаем
с нахождения первого корня.

1.
На Листе4
заносим в ячейку А1 ориентировочное значение первого корня, например, 3.

2.
Заносим в
ячейку В1 левую часть уравнения, используя в качестве независимой переменной
ссылку на ячейку А1. Соответствующая формула будет иметь вид =A1^2-3*A1+2

3.
Вызываем
функцию ПОДБОР ПАРАМЕТРОВ (Закладка Данные, Кнопка Анализ «что-если»)

4.
В поле
Установить в ячейке указываем В1, в поле Значение задаем 0 (правая часть
уравнения), в поле Изменяя значение ячейки указываем А1.

5.
Щелкаем по
кнопке ОК и получаем результат подбора, таким образом получаем в ячейке А1
приближенное значение х₁=2,000048. При этом точность решения
указана в ячейке В1, получаем 2е-5.

6.
Повторяем
расчет для второго корня, задавая в ячейке А1 другое начальное значение,
например, -3. Аналогично получаем значение второго корн уравнения х₂=0,9996.

7.
Подставляя
значения (округленные) в ячейку А1 –выполнить проверку.

8.
Записываем
ответ

Вопросы:

1.
Назовите
функции Microsoft Excel, которые можно использовать при выполнении операций с
матрицами.

2. Укажите способ решения уравнения, систем
линейных уравнений, реализуемый в Excel.

Источник

Московская
Государственная Академия Тонкой
Химической Технологии

им.М.В.Ломоносова

Методическое
пособие по дисциплине

“Применение
информационных технологий

в
химии и химической технологии”

под
редакцией профессора В.Ф.Корнюшко

Москва

1999
г.

ББК
32.97

УДК
681.3

БУРЛЯЕВ
В.В.

Численные
методы в примерах на EXCEL.

Методическое
пособие по дисциплине “Применение
информационных технологий в химии и
химической технологии”, 2 изд., испр. и
доп., МИТХТ, 1999, с.63.

Под
редакцией проф. Корнюшко В.Ф.

Рецензент
— д.т.н., профессор Бахвалов Л.А.

Пособие
предназначено для самостоятельного
изучения раздела дисциплины “Применение
информационных технологий в химии и
химической технологии”, изучаемой в
МИТХТ на втором году обучения для всех
направлений бакалавриата, при подготовке
к выполнению лабораторных работ. Оно
должно дать студенту основные понятия
о численных методах вычислительной
математики с использованием современных
компьютеров и доступных программных
средств.

Основное
внимание уделено тщательно подобранным
примерам, позволяющим наиболее ярко
проиллюстрировать те или иные особенности
каждого метода. Все примеры выполнены
на одном из самых мощных современных
программных средств — табличном процессоре
EXCEL, входящим в состав широко
распространенного пакета MICROSOFT OFFICE.

Пособие
охватывает все темы раздела учебной
программы указанной дисциплины. Кроме
методов, входящих в учебную программу,
в пособии описаны алгоритмы и вычислительные
процедуры встроенных в EXCEL специальных
подпрограмм и функций, позволяющих
реализовать те или иные численные
методы, например, матричные вычисления,
линейный регрессионный анализ, метод
сопряженных градиентов, линейное
программирование и т.п.

По
сравнению с первым изданием 1997 г.
содержание пособия приведено в
соответствие с Государственным
образовательным стандартом, исправлены
опечатки и стилистические неточности.

СОДЕРЖАНИ

1.
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ с одним
неизвестным. 5

1.1
Отделение корней. 5

Пример
1.1. 5

1.2
Уточнение корней: метод итераций. 6

Пример
1.2 7

1.3
Уточнение корней: метод Ньютона. 8

Пример
1.3. 9

1.4.
Уточнение корней: метод бисекции (
деления отрезка пополам ). 10

Пример
1.4. 10

1.5
Уточнение коней: подпрограмма EXCEL “Подбор
параметра”. 12

2.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ. 13

2.1.
Матричный метод. 13

Пример
2.1. 14

2.2.
Метод приближенных вычислений. 15

Пример
2.2. 16

2.3.
Метод Гаусса – Зайделя. 18

Пример
2.3. 18

3.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 20

3.1.
Выбор начальных приближений. 20

Пример
3.1. 20

3.2
Метод Ньютона. 21

Пример
3.2. 22

3.3.
Метод итераций. 23

Пример
3.3. 24

4.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ. 25

4.1.
Метод дихотомии. 25

Пример
4.1. 26

4.2.
Метод золотого сечения. 27

Пример
4.2. 28

4.3.
Встроенная подпрограмма EXCEL “Поиск
решения”. 29

5.
МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ. 30

5.1.
Безусловная оптимизация: метод
покоординатного спуска. 30

Пример
5.1. 31

5.2.
Безусловная оптимизация: метод
наискорейшего спуска. 32

Пример
5.2. 33

5.3.
Безусловная оптимизация: подпрограмма
EXCEL “Поиск решения”. 35

5.4.
Условная оптимизация: метод штрафных
функций. 35

Пример
5.3. 37

5.5.
Условная оптимизация: подпрограмма
EXCEL “Поиск решения”. 38

5.6.
Условная оптимизация: линейное
программирование. 39

Пример
5.4. 39

6.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. 43

Пример
6.1. 44

Пример
6.2. 45

7.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. 48

Пример
7.1. 49

8.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 51

8.1.
Метод Эйлера. 51

Пример
8.1. 51

8.2.
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка. 52

Пример
8.2. 53

8.3.
Метод прогноза и коррекции: метод
Адамса. 53

Пример
8.3. 54

9.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ. 55

9.1.
Задача Коши. 55

Пример
9.1. 56

9.2.
Краевая задача: метод стрельбы. 57

Пример
9.2. 57

9.3.
Краевая задача: метод прогонки. 57

Пример
9.3. 58

10.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ 60

Пример
10.1. 61

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
#
#
12.02.201522.02 Кб175.doc
#
#
#
#
#
#
15.03.2015133.12 Кб456.doc

Источник

В этом разделе приведены примеры решенных задач разных разделов вычислительной математики, выполненные в пакете электронных таблиц Excel.

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Примеры решений по численным методам в Эксель

Задача 1. Найти стационарные точки, проверить их на экстремальность, а также найти все локальные и глобальные максимумы и минимумы.

Задача 2. Решить приближенно уравнение $2x^3+3x-9=0$

Задача 3. Уплотнить часть $[a; b]$ таблицы заданной функции с шагом $H$, пользуясь интерполяционными формулами Ньютона. Составить таблицу конечных разностей. В каждом столбце, начиная с четвертого, будет на одно число меньше, чем в предыдущем. Результаты вычислений значений функции в промежуточных точках расположить в таблице.
Интерполяционные формулы Ньютона дают хороший результат в случае, когда $tin[0; 1]$. Если внутри отрезка $[a; b]$, на котором требуется уплотнить таблицу, находится узловая точка $x_i$, то на каждом из отрезков $[a; x_i]$ и $[_i; b]$ вычисления выполняются отдельно. Все задания выполнить в Excel

Задача 4. Решить систему методами Ньютона, Брауна, итераций.

Задача 5. Решить систему Ax=b методом Гаусса (схема частичного выбора). Вычислить определитель и обратную матрицу для данной матрицы на основе метода Гаусса.

Задача 6. Функция y=y(x) задана таблицей своих значений. Построить многочлены нулевой и первой степени, приближающие функцию по методу наименьших квадратов. Вычислить величину среднеквадратичного отклонения.
Построить на одном чертеже точечный график функции и графики многочленов.

Задача 7. Вычислить интеграл от заданной функции f(x) на отрезке [a,b] по формулам трапеций и Симпсона при делении отрезка на 12 равных частей. Повторить вычисления при делении отрезка на 6 равных частей. Записать ответ каждого метода, сохранив только верные цифры.

Решаем численно задачи в программе Excel на заказ

Источник

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Лабораторный практикум по численным методам

Настоящий лабораторный практикум подготовлен по дисциплине «Численные методы». Целью лабораторного практикума является усвоение и закрепление теоретического материала, приобретение практических навы…

Лекция «Численные методы решения уравнений»

Лекция по разделу «Численные методы».Рассматриваются следующие методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений: 1) метод дихотомии (метод деления отрезка пополам),2) метод хор…

Источник

1 Численный метод решения нелинейных уравнений

1.1 Область локализации корней

В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так , при этом корнем (решением) называется такое значение x*, что оказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня. Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения f ( x ), с осью абсцисс.

Например , для уравнения выполним преобразование и приведем его к виду f(x)= 0 т.е. . График этой функции представлен на рисунке 1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2].

Рисунок 1. График функции

Таким образом, можно приблизительно определять область локализации корней уравнения. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.

Некоторые виды уравнений допускают аналитическое решение. Например, степенные алгебраические уравнения степени n при n ≤ 4. Однако, в общем виде, аналитическое решение, как правило, отсутствует. В этом случае, применяются численные методы. Все численные методы решения уравнений представляют собой итерационные алгоритмы последовательного приближения к корню уравнения. То есть, выбирается начальное приближение к корню x ₀ и затем с помощью итерационной формулы генерируется последовательность x ₁, x ₂, …, x_k сходящаяся к корню уравнения .

1.2 Критерии сходимости при решении уравнений

Ø Абсолютная погрешность — абсолютное изменение приближения на соседних шагах итерации

Ø Относительная погрешность — относительное изменение приближения на соседних шагах итерации

Ø Близость к нулю вычисленного значения левой части уравнения (иногда это значение называют невязкой уравнения, так как для корня невязка равна нулю)

1.3 Метод половинного деления (метод дихотомии)

Метод половинного деления основан на последовательном делении отрезка локализации корня пополам.

Для этого выбирается начальное приближение к отрезку [ a , b ], такое, что f ( a ) × f ( b ) — середине отрезка [ a , b ]. Если он противоположен знаку функции в точке a, то корень локализован на отрезке [ a , c ], если же нет – то на отрезке [ c , b ]. Схема метода дихотомии приведен на рис у нке 2.

Рисунок 2. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню

Алгоритм метода дихотомии можно записать так:

1. представить решаемое уравнение в виде

2. выбрать a, b и вычислить

3. если f(a) × f( с ) то a=a; b = c иначе a = c; b=b

4. если критерий сходимости не выполнен, то перейти к п. 2

Пример решения уравнения методом дихотомии

Найти решение заданного уравнения методом дихотомии с точностью до 10 -5 .

Пример создания расчетной схемы на основе метода дихотомии на примере уравнения: на отрезке [1, 2]

Данный метод заключается в проверке на каждой итерации условия:

если f ( a ) × f (с) и выбор соответствующего отрезка для следующей итерации.

Рисунок 3. Последовательность итераций метода дихотомии при поиске корня уравнения на отрезке [1, 2]

a ) схема расчета (зависимые ячейки); b) режим отображения формул;

Для нашего примера итерационная последовательность для нахождения решения принимает вид:

Точность до пятой значащей цифры достигается за 20 итераций.

Скорость сходимости этого метода является линейной.

При выполнении начального условия он сходится к решению всегда.

Метод половинного деления удобен при решении физически реальных уравнений, когда заранее известен отрезок локализации решения уравнения.

2 Решение уравнений , используя “Подбор параметра ”

Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения вида f(x)=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;

2. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;

3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка П родолжить — для возврата в обычный режим подбора параметра.

2.1 Пример решения уравнения, используя “Подбор параметра”

Например , найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].

Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–3; 3] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.

Рисунок 4. Поиск приближенных значений корней уравнения

Выполните команду меню Сервис/Параметры, во вкладке Вычисления установите относительную погрешность вычислений E=0,00001, а число итераций N=1000, установите флажок Итерации.

Выполните команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 9) заполните следующие поля:

þ Установить в ячейке : в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

þ Значение : в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

þ Изменяя значение : в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

Рисунок 5. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня

После щелчка на ОК получим значение первого корня -1,65793685 .

Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101 .

3 Решение уравнений и систем уравнений, используя надстройку “Поиск решения”

Для решения уравнений можно также использовать команду Поиск решения, доступ к которой реализуется через пункт меню Сервис/Поиск решения.

Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Найти приближенное значение корня уравнения

2. Открыть диалог Поиск решения и установить следующие параметры (рисунок 10):

þ в поле У становить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу (левую часть уравнения);

þ установить переключатель в положение ‘ значению’ и ввести значение 0 (правая часть уравнения);

þ в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргумента x целевой функции,;

þ в поле Ограничения с помощью кнопки Д обавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска (область поиска корня уравнения);

þ для запуска процесса поиска решения нажать кнопку В ыполнить.

þ Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель С охранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения.

Рисунок 6. Диалоговое окно Поиск решения

Полученное решение зависит от выбора начального приближения. Поиск начальных приближений рассмотрен выше.

Рассмотрим некоторые Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Параметры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения):

þ Максимальное время — ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача большой размерности, то время необходимо увеличить).

þ Относительная погрешность — задает точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до 1).

þ Неотрицательные значения — этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.

þ Показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.

þ Метод поиска — служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Рисунок 7. Вкладка Параметры окна Поиск решения

3.1 Пример решения уравнения, используя надстройку “Поиск решения”

Например , найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3]. Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–3;3] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня. На рисунке 12 представлен пример заполнения окна Поиск решения для нахождения первого корня на отрезке [-2; -1].

Рисунок 8. Пример решения уравнения при помощи надстройки Поиск решения

Задание 1. Решение уравнений численным методом

На листе 1 (название листа: Численные методы) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания ) реализовать итерационные расчетные схемы методов, указанных в Таблице 1 для нахождения хотя бы одного корня на заданном интервале. Количество итераций просчитать, оценивая , .

Задания 2. Решение уравнений встроенными средствами “Подбор параметра” и “Поиск решения”

На листе 2 (название листа: Подбор Поиск) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания) на заданном интервале и с некоторым шагом (шаг выбрать самостоятельно) построить таблицу значений функции f(x) и определить количество корней уравнения и выделить интервалы, на которых находятся корни. Построить график функции. Уточнить на заданных интервалах с точностью до 10 -6 корни уравнения с помощью встроенных средств: Подбор параметра, Поиск решения

Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel

Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений», применяя возможности MS Excel по решению алгебраических и трансцендентных уравнений. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Задачи урока:

Образовательные – совершенствование умений студентов при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; абстрактное мышление: создать ситуацию предъявления материала от общего к частному и от частного к общему, стимулировать самостоятельное обобщение материала сильными студентами;творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия;ответственность перед самим собой.

Тип урока: комбинированный урок.

Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.

Оборудование урока:

Компьютеры с OS MS Windows;
Программа Microsoft Excel;
Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Структура урока:

1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;

1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач с использованием ЭВМ;

1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами;

1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.

2.Применение знаний, формирование умений и навыков:

2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;

2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания различными методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

2.3.Подведение итога урока.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.

ХОД УРОКА

1. Актуализация знаний

Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.

На прошлых уроках мы с вами рассмотрели алгебраические и трансцендентные уравнения, выделили методы их решения и решали данные уравнения ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

Поэтому нам необходимо вспомнить и повторить знания, которые потребуются на этом уроке. В чем заключается процесс решения задачи с использованием ЭВМ?

В общем случае процесс решения задачи с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:

1.Постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);
2.Выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);
3.Запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);
4.Отладка и использования программы на ЭВМ (этап реализации);
5.Анализ полученных результатов (этап интерпретации).

— В чем заключается постановка задачи?

— Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) — интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.

— В чем заключается общая постановка задачи?

— Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения f(x) =0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция.

— Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические)

— В чем заключается задача численного нахождения корней уравнения?

— Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение (локализация) корня;

2. Приближенное вычисление корня до заданной точности(уточнение корней)

— Какая задача называется уточнения корня?

-Уточнение корня. Если искомый корень уравнения f(x)=0, отделен, т.е. определен отрезок [a,b], на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближенное значение коня с заданной точностью.

— Какими методами можно производить уточнения корня?

— Уточнения корня можно производить различными методами:

1) Метод половинного деления (бисекции);

2) Метод итераций;

3) Метод хорд (секущих);

4) Метод касательных (Ньютона);

5) Комбинированные методы.

— Объясните алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами.

Применение знаний, формирование умений и навыков:

Практическое задание «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel»

Ознакомиться с теоретической частью задания;
Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
- постановку задачи;
- алгоритм расчета;
- таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
- результат расчета и его анализ.

Индивидуальное расчетное задание

Дано: x 3 + 8x + 10 = 0

Найти: Отделить корень заданного уравнения, пользуясь графическим методом, и по методам вычислите один корень с точностью 0,001 при помощи программы на ПК

Графический метод: Для отделения корней уравнения естественно применять графический метод. График функции у = f (х) с учетом свойств функции дает много информации для определения числа корней уравнения f (х) = 0.

До настоящего времени графический метод предлагалось применять для нахождения грубого значения корня или интервала, содержащего корень, затем применять итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений для уточнения значения корня. С появлением математических пакетов и электронных таблиц стало возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью.

Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма:

если функция f(x) на концах отрезка [а,b] значения разных принимает значения разных знаков то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз);
повторим действия предыдущего пункта для полученного отрезка.

Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.

Задания для студентов первой группы

Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
Представьте графически поставленную задачу в среде Microsoft Excel;

Метод половинного деления:Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) — интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.

Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов.

Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия — сопоставленность или противопоставленность двух частей целого). Метод основан на той идее, что корень лежит либо на середине интервала (a, b), либо справа от середины, либо — слева, что следует из существования единственного корня на интервале (a, b).

Алгоритм для программной реализации:

а:=левая граница b:= правая граница
m:= (a+b)/2 середина
определяем f(a) и f(m)
если f(a)*f(m) e повторяем, начиная с пункта 2
m — искомый корень.

Задания для студентов второй группы

Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
Расчет уравнения по методу половинного деления в среде Microsoft Excel.

Метод простой итерации: Смысл метода простой итерации состоит в том, что мы представляем уравнение f(x) в виде ) и по формуле будем строить итерации, которые сходятся к искомому корню с интересующей степенью точности, но тут есть проблемы: возможно f(x) очень сложно представить в таком виде, да и не факт, что любая будет строить сходящиеся итерации, поэтому алгорим сводится к тому, чтобы оптимально найти .

Подготовка:

1. Ищем числа m и M такие, что на (a, b);

2. Представляем , где ;

Алгоритм:

1. Выбираем х₀ из (a, b);

2. Вычисляем ;
3. Проверяем условие , где q=(M-m)/(M+m);

4. Если оно ложно, то переходим к пункту 7;

6. Переходим к пункту 2;

7. х₁ – искомый корень.

Задания для студентов третьей группы

Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
Расчет уравнения по методу простой итерации в среде Microsoft Excel.

Метод хорд: Метод хорд заключается в замене кривой у = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (а, f(a)) и (b, f(b)). Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение.

Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая у к нулю, найдем х:

Алгоритм метода хорд:

2) Вычислим следующий номер итерации: k = k + 1.

Найдем очередное k-e приближение по формуле: x_k = a — f(a)(b — a)/(f(b) — f(a)). Вычислим f(xk);

3) Если f(x_k)= 0 (корень найден), то переходим к п. 5.

4) Если |x_k – x_k–1| > ε, то переходим к п. 2;

5) Выводим значение корня x_k;

Задания для студентов четвертой группы

Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
Расчет уравнения по методу хорд в среде Microsoft Excel.
Метод касательных: В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных:

Теорема. Пусть на отрезке [а, b]выполняются условия:

1) функция f(x)и ее производные f'(х)и f»(x) непрерывны;

2) производные f'(x) и f»(x)отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;

3) f(a)× f(b) 0, то итерационная последовательность сходится монотонно

Задания для студентов пятой группы

Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
Расчет уравнения по методу касательных в среде Microsoft Excel.

Студенты выполняют задания в группах и показывают полученное решение у доски (один представитель от группы), делают выводы о проделанной работе.

В данном уроке мы познакомились с решением алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

Уточнения корня производилось различными методами:

1) методом бисекции;

2) методом итераций;

3) методом секущих;

4) методом Ньютона;

1. Самый простейший из методов уточнения корня является метод половинного деления и используется во многих стандартных программных средствах.

2. Метод хорд в отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения. Он требует , чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень был не подвижен. Берется один из концов отрезка. Метод является двухточечным, его сходимость монотонная и односторонняя. Метод хорд использует пропорциональное деление интервала.

3. В методе касательных в отличие от методов дихотомии и хорд задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение .

4. У метода хорд и у метода Ньютона имеется общий недостаток: на каждом шаге проверяется точность значения.

Решение уравнений численными методами в ms excel

ВВЕДЕНИЕ

Современное развитие науки, техники и технологий тесно связано с использованием математических методов, программного обеспечения и мощных ЭВМ, ставшим рабочим инструментом учёного, инженера, конструктора. Все это позволяет строить и исследовать математические модели сложных устройств, систем и процессов, при этом резко сократить время и стоимость инженерных разработок.

Широкое использование ЭВМ способствовало развитию вычислительной математики (прикладной математики). Как и любая наука, вычислительная математика представляет собой сплав «классической» (теоретической) науки и прикладной науки, в роли последней выступает область вычислительных методов.

Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. Последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в дальнейшем данная тенденция сохранится. Решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений. При этом актуальным является использование ЭВМ и специального программного обеспечения при решении линейных и нелинейных уравнений и их систем.

Одна из основных целей изучения школьного курса математики заключается в овладении способами решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В школьном курсе изучаются формулы корней квадратных уравнений, методы аналитического решения показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений. При этом многие математические задачи, например, решение неравенств и их систем, нахождение области допустимых решений функции и т. п., включают в себя этап решения уравнений.

Цель работы: Освоение приемов численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel.

Задачи:

1) Ознакомиться с историей развития аналитических и численных методов решения уравнений.

2). Изучить особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов.

3). Ознакомиться с вычислительными возможностями ЭТ MS Excel и изучить средства уточнения действительных корней нелинейных уравнений.

4) Освоить приемы отделения и уточнения действительных корней нелинейных уравнений в среде ЭТ MS Excel.

5) Решить задачи численного нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel.

Объект исследования: нелинейные уравнения с одной переменной.

Предмет исследования: возможности ЭТ MS Excel для численного решения нелинейные уравнения с одной переменной.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Краткая история развития численных методов

Вычислительная математика начала свое развитие достаточно давно и в своем развитии прошла три этапа:

I. Первый этап начался 3-4 тысячи лет назад. Жители Вавилона в 2000 г. до н.э. уже умели решать квадратные уравнения и составлять таблицы для решения кубических уравнений путем приведения общего кубического многочлена к нормальному виду. В VII в. индийцы развили последовательную алгебраическую теорию уравнений первой и второй степени. Итальянский математик Ш. Ферро (1465-1526) нашел способ решения кубических уравнений специального вида [1]. Этот научный результат стал отправным пунктом для развития алгебры и математики вообще. Другим итальянским математиком, инженером, медиком и астрологом Дж. Кардано (1506-1576) было найдено решение приведенного кубического уравнения и опубликовано в 1545 г. в его научном труде «Великое искусство». В 1591 году великий французский математик Ф. Виет (1540-1603) впервые ввел символическое обозначение не только для неизвестных, но и для коэффициентов уравнений; указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Вычислительные средства этого этапа – палочки, пальцы, камешки и как вершина – счеты (абак).

II. Второй период начался с И. Ньютона (1642-1727). В этот период решались задачи астрономии, геодезии, баллистики и расчета механических конструкций, сводящиеся либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных. В 1669 г. Ньютон предложил метод касательных для приближенного решения алгебраических уравнений, а в 1676 г. – способ приближенного вычисления определенных интегралов. Вычислительные средства – таблицы элементарных функций, арифмометры и логарифмические линейки.

III. Третий период начался примерно с 1940 года. Толчком к развитию прикладной математики послужили военные задачи, требующие высокой скорости решения задач. Появились электронные вычислительные машины. Например, Colossus («Колосс») – секретный британский компьютер, спроектированный и построенный в ходе Второй мировой войны в 1943 году для расшифровки перехваченных немецких радиосообщений, зашифрованных с помощью электронно-механического устройства «Энигма» (по-гречески – загадка). Спецификацию компьютера разработали английский математик, криптоаналитик профессор Макс Ньюман (Max Newman 1897- 1984) и его коллеги. Компьютер состоял из 1500 электронных ламп (2500 в новой версии Colossus Mark II), что делало Colossus самым мощным компьютером того времени. Его ближайший конкурент имел всего 150 ламп. Это позволило сократить время расшифровки перехваченных немецких сообщений с нескольких недель до нескольких часов. Модернизация Colossus Mark II считается первым программируемым компьютером в истории ЭВМ.

2. Особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов

С помощью математического моделирования решение научной задачи сводится к решению математической задачи, являющейся её моделью. Для решения математических задач используются две основные группы методов: аналитические и численные.

Аналитические методы, как правило, позволяют получить решение задачи в виде формул. В частности, если математическая задача состоит в решении нелинейных уравнений, то использование известных из курса средней школы приемов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это бывает достаточно редко. Например, если задача свелась к решению уравнения с одной переменной:

то при всей тривиальности этой задачи выразить корни уравнения путем аналитических преобразований не удается. Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Доказательство этого факта связано с именами математиков Абеля (1802-1829) и Галуа (1811-1832).

Аналогичные проблемы возникают также и при решении других математических задач. В частности, при вычислении определенных интегралов также часто не удается выразить первообразную через элементарные функции.

Для решения таких задач разрабатываются и применяются методы приближенных вычислений или численные методы, позволяющие свести решение математической задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами. Таким образом, численные методы позволяют найти решение в виде числа или таблицы значений, найденных с заданной точностью.

Важным отличием и преимуществом аналитических методов перед численными является то, что они позволяют получить общее решение задачи в виде формулы, по которой можно изучать качественные особенности решения, а также исследовать влияние начальных условий и параметров задачи на характер решения. Численные же методы позволяют найти только частное решение задачи с конкретными значениями параметров и исходных данных, при этом численные методы обладают большей общностью.

3. Численное решение уравнений с одной переменной

Нелинейное уравнение с одной переменной в общем случае может быть записано в виде

где функция F(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале a . lg x– 1 = 0. (3)

Решение. Уравнение (3) перепишем в виде равенства lg x=.

Отсюда ясно, что корни уравнения (3) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые (см. рис. 1), приближенно найдем единственный корень уравнения (3) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Рис. 1 – Графическое отделение корней (пример 1)

Убедимся, что отрезок [2, 3] содержит один и только один корень уравнения (3).

Перепишем уравнение в виде F(x) = 0, где .

Тогда F(2) = 2 . lg(2) – 1 = 2 . 0.30103–1=0.60206 –1= –0.39794 0, т.е. на концах отрезка функция F(x) принимает значения разных знаков.

Найдем первую производную функции:

Следовательно, первая производная сохраняют свой знак на отрезке, а на концах отрезка функция F(x) принимает значения разных знаков, значит отрезок [2, 3] – отрезок изоляции искомого корня ξ.

После этого выполняется этап уточнения отделенных корней нелинейного уравнения. На каждом из найденных интервалов для поиска корня используются численные методы уточнения корня до заданной точности ε. К данным методам относятся: метод половинного деления (бисекций), метод хорд, метод касательных (Ньютона), метод последовательных приближений (итераций) и т.п.

4. Средства уточнения корней электронных таблиц Microsoft Excel

Электронные таблицы MS Excel входят в стандартный пакет формирования и обработки информации MS Office и установлены практически на каждом современном компьютере. Применение электронных таблиц упрощает работу с данными и позволяет получать результаты без проведения расчетов вручную или специального программирования. Наиболее широкое применение электронные таблицы нашли в экономических и бухгалтерских расчетах, но не все знают, что и в научно-технических задачах электронные таблицы можно использовать достаточно эффективно. Вычислительную мощь Excel обеспечивают встроенные функции, средства анализа и надстройки.

Надстройки – специальные средства, расширяющие возможности программы MS Excel. Именно надстройки делают ее удобной для использования в научно-технической работе. Хотя эти средства считаются внешними, дополнительными, доступ к ним осуществляется при помощи обычных команд командной строки (обычно через меню команд Сервис или Данные). При этом открываются специальные диалоговые окна, оформленные как стандартные диалоговые окна MS Excel.

Подключить или отключить установленные надстройки Excel можно с помощью Настройки панели быстрого доступа. Подключение надстроек увеличивает нагрузку на вычислительную систему, поэтому обычно рекомендуют подключать только те надстройки, которые реально используются.

Для уточнения корней с помощью ЭТ MS Excel можно использовать средство Подбор параметра (команда Данные → Анализ «что если») или надстройку Поиск решения.

Приведем лист MS Excel (см. рис. 2) с иллюстрацией применения средства Подбор параметра для уточнения корня уравнения (3), изолированного на отрезке [2, 3].

Рис. 2 – Графическое отделение корней уравнения двумя способами и подготовка к этапу уточнения

При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке, в нашем случае N32, до тех пор, пока вычисления по формуле в ячейке О32, ссылающейся на ячейку N32, не дадут нужного результата, а именно нуля функции (см. рис. 3).

Рис. 3 – Окно диалога средства Подбор параметра

После нажатия на кнопку OК MS Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра (см. рис. 4). Если подобранное значение корня необходимо сохранить, то нажмите на ОК, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки, в нашем случае – ячейка N32.

Рис. 4 – Окно диалога Результат подбора параметра

Таким образом, искомое значение корня, уточненное средством Подбор параметра, составит ξ = 2,50617208. При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс, при этом количество итераций и точность может устанавливаться пользователем.

Рассмотрим теперь, как воспользоваться надстройкой Поиск решения на примере нахождения корней алгебраического уравнения х 3 – 10 . х + 2 = 0. На следующем листе MS Excel приведен этап графического отделения корней (см. рис. 5).

Рис. 5 – Этап графического отделения корней уравнения х 3 – 10 . х + 2 = 0

Анализ графика функции показывает, что решаемое уравнение имеет три действительных корня, определены отрезки изоляции искомых корней.

Для уточнения отделенных корней сформируем вторую таблицу, в которую занесем середины отрезков изоляции, которые будут взяты за начальные приближения к искомым корням. Кроме этого, таблица содержит столбец вычисленных значений функции F(x) = х 3 – 10 . х + 2. Далее из команды главного меню Данные следует вызвать надстройку Поиск решения. При этом откроется диалоговое окно, представленное на рис. 6.

Рис. 6 – Диалоговое окно надстройки Поиск решения

Для уточнения первого корня в поле Оптимизировать целевую функцию указываем адрес ячейки D23. Поскольку необходимо найти решение уравнения F(x) = 0, то в переключателе До: записываем значение правой части уравнения (т. е. 0). В поле Изменяя ячейки переменных: заносится абсолютный адрес ячейки С23. Для запуска процесса решения задачи следует щелкнуть по кнопке Найти решение. На экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения с информацией о том, найдено или нет искомое решение (см. рис. 7). Если решение найдено, то далее следует выбрать один из следующих возможных вариантов:

• сохранить найденное решение, т. е. заменить исходные значения в изменяемых ячейках на значения, полученные в результате решения задачи;

• восстановить исходные значения в изменяемых ячейках.

Рис. 7 – Диалоговое окно Результаты поиска решения

Таким образом, искомое значение первого корня, уточненное надстройкой Поиск решения, составит ξ₁ = -3,257896991. Аналогично находится второй корень ξ₂ = 0,200809757. Третий корень найдем с помощью средства Подбор параметра. Результаты решения представлены на рис. 8.

Рис. 8 – Результаты уточнения третьего корня

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения данной научно-исследовательской работы достигнута цель исследования – я освоил приемы численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel. При этом я ознакомился с историей развития аналитических и численных методов решения уравнений и систем уравнений, изучил особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов. Кроме этого, я ознакомился с вычислительными возможностями ЭТ MS Excel и изучил такие средства уточнения действительных корней нелинейных уравнений, как средство Подбор параметра и надстройка Поиск решения. Оба эти инструмента позволяют подобрать значение искомого корня, при котором функция F(ξ) обращается в ноль. На практике в среде ЭТ MS Excel были графически отделены и уточнены корни трансцендентного уравнения x. lg x – 1 = 0 и алгебраического х 3 – 10 . х + 2 = 0.

Надеюсь, что полученные знания и навыки помогут мне успешно сдать ОГЭ по дисциплинам математика и информатика и ИТК.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Библиографический справочник. – Киев: Наукова думка, 1983. – 638 с.

2. Б.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 664 с.

3. Дж. Уокенбах. Microsoft Office Excel 2007. Библия пользователя. – М.: Диалектика, 2008. – 816 с.

4. П. Дж. Бернс, Дж. Р. Николсон. Секреты Excel для Windows 95. – К.: Диалектика, 1996. – 576 с.

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/674330

http://school-science.ru/5/4/35307

Источник

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Растеряев А.Н. 1

1МБОУ СОШ № 3 им. атамана М.И. Платова

Кожушкова Т.Ю. 1

1МБОУ СОШ № 3 им. атамана М.И. Платова

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Задачи:

1) Ознакомиться с историей развития аналитических и численных методов решения уравнений.

2). Изучить особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов.

4) Освоить приемы отделения и уточнения действительных корней нелинейных уравнений в среде ЭТ MS Excel.

Объект исследования: нелинейные уравнения с одной переменной.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Краткая история развития численных методов

Вычислительная математика начала свое развитие достаточно давно и в своем развитии прошла три этапа:

2. Особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов

3. Численное решение уравнений с одной переменной

Нелинейное уравнение с одной переменной в общем случае может быть записано в виде

F(x) = 0, (1)

где функция F(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале a < x < b.

Всякое значение [a, b], обращающее функцию F(x) в нуль, т.е. когда F() = 0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции F(x).

Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцендентные.Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Как было сказано выше, методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

аналитические (точные) методы;

численные (приближенные) методы.

Задача численного нахождения действительных корней нелинейного уравнения (1) обычно состоит из двух этапов [2]:

отделения корней, т.е. нахождения достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится один и только один искомый корень;

уточнения отделенных на первом этапе корней, т.е. их нахождение численным методом с заданной степенью точности.

В связи с этим рассмотрим вначале задачу отделения корней, а затем возможности численных методов их уточнения.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень. Одним из самых распространенных и не очень точных является графический метод.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) – это точки пересечения графика функции F(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции F(x) и отметить точки пересечения графикас осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив исходное уравнение (1) равносильным ему уравнением:

F₁(x)= F₂(x), (2)

где функцииF₁(x) и F₂(x) – более простые, чем исходная функцияF(x). Тогда, построив графики функций у =F₁(x) и у = F₂(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Покажем теперь, что найденные графически отрезки содержат один и только один корень решаемого уравнения. Предположим, что найден отрезок [a, b] такой, что

функцияF(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе с производной первого порядка;

значения F(x) на концах отрезка имеют разные знаки (F(a)F(b) < 0);

первая производная F (x) сохраняет определенный знак на всем отрезке.

Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что F(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным. Такой интервал называют интервалом изоляции искомого корня ξ.

Пример 1. Графически отделить корни уравнения

x^.lg x– 1 = 0. (3)

Решение. Уравнение (3) перепишем в виде равенства lg x=.

Отсюда ясно, что корни уравнения (3) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые (см. рис. 1), приближенно найдем единственный корень уравнения (3) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Рис. 1 – Графическое отделение корней (пример 1)

Убедимся, что отрезок [2, 3] содержит один и только один корень уравнения (3).

Перепишем уравнение в виде F(x) = 0, где .

Тогда F(2) = 2^.lg(2) – 1 = 2^.0.30103–1=0.60206 –1= –0.39794 0, т.е. на концах отрезка функция F(x) принимает значения разных знаков.

Найдем первую производную функции:

Следовательно, первая производная сохраняют свой знак на отрезке, а на концах отрезка функция F(x) принимает значения разных знаков, значит отрезок [2, 3] – отрезок изоляции искомого корня ξ.

После этого выполняется этап уточнения отделенных корней нелинейного уравнения. На каждом из найденных интервалов для поиска корня используются численные методы уточнения корня до заданной точности ε. К данным методам относятся: метод половинного деления (бисекций), метод хорд, метод касательных (Ньютона), метод последовательных приближений (итераций) и т.п.

4. Средства уточнения корней электронных таблиц Microsoft Excel

Электронные таблицы MS Excel входят в стандартный пакет формирования и обработки информации MS Office и установлены практически на каждом современном компьютере. Применение электронных таблиц упрощает работу с данными и позволяет получать результаты без проведения расчетов вручную или специального программирования. Наиболее широкое применение электронные таблицы нашли в экономических и бухгалтерских расчетах, но не все знают, что и в научно-технических задачах электронные таблицы можно использовать достаточно эффективно. Вычислительную мощь Excel обеспечивают встроенные функции, средства анализа и надстройки.

Надстройки – специальные средства, расширяющие возможности программы MS Excel. Именно надстройки делают ее удобной для использования в научно-технической работе. Хотя эти средства считаются внешними, дополнительными, доступ к ним осуществляется при помощи обычных команд командной строки (обычно через меню команд Сервис или Данные). При этом открываются специальные диалоговые окна, оформленные как стандартные диалоговые окна MS Excel.

Подключить или отключить установленные надстройки Excel можно с помощью Настройки панели быстрого доступа. Подключение надстроек увеличивает нагрузку на вычислительную систему, поэтому обычно рекомендуют подключать только те надстройки, которые реально используются.

Для уточнения корней с помощью ЭТ MS Excel можно использовать средство Подбор параметра (команда Данные → Анализ «что если») или надстройку Поиск решения.

Приведем лист MS Excel (см. рис. 2) с иллюстрацией применения средства Подбор параметра для уточнения корня уравнения (3), изолированного на отрезке [2, 3].

Рис. 2 – Графическое отделение корней уравнения двумя способами и подготовка к этапу уточнения

При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке, в нашем случае N32, до тех пор, пока вычисления по формуле в ячейке О32, ссылающейся на ячейку N32, не дадут нужного результата, а именно нуля функции (см. рис. 3).

Рис. 3 – Окно диалога средства Подбор параметра

После нажатия на кнопку OК MS Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра (см. рис. 4). Если подобранное значение корня необходимо сохранить, то нажмите на ОК, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки, в нашем случае – ячейка N32.

Рис. 4 – Окно диалога Результат подбора параметра

Таким образом, искомое значение корня, уточненное средством Подбор параметра, составит ξ = 2,50617208. При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс, при этом количество итераций и точность может устанавливаться пользователем.

Рассмотрим теперь, как воспользоваться надстройкой Поиск решения на примере нахождения корней алгебраического уравнения х³ – 10^.х + 2 = 0. На следующем листе MS Excel приведен этап графического отделения корней (см. рис. 5).

Рис. 5 – Этап графического отделения корней уравнения х³ – 10^.х + 2 = 0

Анализ графика функции показывает, что решаемое уравнение имеет три действительных корня, определены отрезки изоляции искомых корней.

Для уточнения отделенных корней сформируем вторую таблицу, в которую занесем середины отрезков изоляции, которые будут взяты за начальные приближения к искомым корням. Кроме этого, таблица содержит столбец вычисленных значений функции F(x) = х³ – 10^.х + 2. Далее из команды главного меню Данные следует вызвать надстройку Поиск решения. При этом откроется диалоговое окно, представленное на рис. 6.

Рис. 6 – Диалоговое окно надстройки Поиск решения

Для уточнения первого корня в поле Оптимизировать целевую функцию указываем адрес ячейки D23. Поскольку необходимо найти решение уравнения F(x) = 0, то в переключателе До: записываем значение правой части уравнения (т. е. 0). В поле Изменяя ячейки переменных: заносится абсолютный адрес ячейки С23. Для запуска процесса решения задачи следует щелкнуть по кнопке Найти решение. На экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения с информацией о том, найдено или нет искомое решение (см. рис. 7). Если решение найдено, то далее следует выбрать один из следующих возможных вариантов:

• сохранить найденное решение, т. е. заменить исходные значения в изменяемых ячейках на значения, полученные в результате решения задачи;

• восстановить исходные значения в изменяемых ячейках.

Рис. 7 – Диалоговое окно Результаты поиска решения

Таким образом, искомое значение первого корня, уточненное надстройкой Поиск решения, составит ξ₁ = -3,257896991. Аналогично находится второй корень ξ₂ = 0,200809757. Третий корень найдем с помощью средства Подбор параметра. Результаты решения представлены на рис. 8.

Рис. 8 – Результаты уточнения третьего корня

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения данной научно-исследовательской работы достигнута цель исследования – я освоил приемы численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel. При этом я ознакомился с историей развития аналитических и численных методов решения уравнений и систем уравнений, изучил особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов. Кроме этого, я ознакомился с вычислительными возможностями ЭТ MS Excel и изучил такие средства уточнения действительных корней нелинейных уравнений, как средство Подбор параметра и надстройка Поиск решения. Оба эти инструмента позволяют подобрать значение искомого корня, при котором функция F(ξ) обращается в ноль. На практике в среде ЭТ MS Excel были графически отделены и уточнены корни трансцендентного уравнения x. lg x – 1 = 0 и алгебраического х³ – 10^.х + 2 = 0.

Надеюсь, что полученные знания и навыки помогут мне успешно сдать ОГЭ по дисциплинам математика и информатика и ИТК.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Библиографический справочник. – Киев: Наукова думка, 1983. – 638 с.

2. Б.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 664 с.

3. Дж. Уокенбах. Microsoft Office Excel 2007. Библия пользователя. – М.: Диалектика, 2008. – 816 с.

4. П. Дж. Бернс, Дж. Р. Николсон. Секреты Excel для Windows 95. – К.: Диалектика, 1996. – 576 с.

Просмотров работы: 1863

Источник