Численное решение дифференциальных уравнений на excel

Обзор методов решения в Excel

Введение

Уравнение называется обыкновенным дифференциальным n-го порядка, если F определена и непрерывна в некоторой области и, во всяком случае, зависит от . Его решением является любая функция u(x), которая этому уравнению удовлетворяет при всех x в определённом конечном или бесконечном интервале. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной имеет вид

Решением этого уравнения на интервале I=[a,b] называется функция u(x).

Решить дифференциальное уравнение у / =f(x,y) численным методом — это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂,…, у_n, что у_i=F(x_i)(i=1,2,…, n) и F(x₀)=y₀.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции y=F(x) (3) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений используется для решений многих задач естествознания в качестве математической модели. Например задачи электродинамики системы взаимодействующих тел (в модели материальных точек), задачи химической кинетики, электрических цепей. Ряд важных уравнений в частных производных в случаях, допускающих разделение переменных, приводит к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений – это, как правило, краевые задачи (задачи о собственных колебаниях упругих балок и пластин, определение спектра собственных значений энергии частицы в сферически симметричных полях и многое другое)

Обзор методов решения в Excel

1.1 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка

Идея Рунге-Кута состоит в том, чтобы использовать метод неопределённых коэффициентов. Наиболее употребительным методом Рунге-Кутта решения уравнения первого порядка y’ = F(x,y) (1) является метод четвертого порядка, в котором вычисления производятся по формуле:

yk+1 = yk +(k1 +2k2 +2k3 +k4 )/6, (2)

k₁ = Fk h = F(xk , yk )h

Рассмотрим задачу Коши для уравнений первого порядка на отрезке [a,b]:

, (4)

Разобьём промежуток [a,b] на N частей . Обозначим , где u(x) –точное решение задачи Коши, и через значения приближенного решения в точках . Существует 2 типа численных схем :

1. явные: ) (5)

2. неявные: (6)

Здесь F некоторая функция, связывающая приближения. В явных схемах приближенное значение в точке определяется через некоторое число k уже определённых приближенных значений. В неявных схемах определяется не рекурентным способом, как в явных схемах, а для его определения возникает уравнение, поскольку равенство (6) представляет из себя именно уравнение на . Явные схемы проще, однако зачастую неявные схемы предпочтительнее

1.3 Метод Эйлера

Решить дифференциальное уравнение у / =f(x,y) численным методом — это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂,…, у_n, что

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (7) с начальным условием

Требуется найти решение уравнения (7) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀, х₁, х₂,…, х_n, где x_i=x₀+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i)»y_i вычисляются последовательно по формулам у_i+hf(x_i, y_i) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М₀(х₀, у₀), заменяется ломаной М₀М₁М₂… с вершинами М_i(x_i, y_i) (i=0,1,2,…); каждое звено М_iM_i+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (7), которая проходит через точку М_i. Если правая часть уравнения (7) в некотором прямоугольнике R<|x-x₀|£a, |y-y₀|£b>удовлетворяет условиям:

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

где у(х_n)-значение точного решения уравнения (7) при х=х_n, а у_n— приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (13) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения у_n * оценивается формулой

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

1.4 Модифицированный метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение (7) y / =f(x,y) с начальным условием y(x₀)=y₀. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участ интегральную кривую заменим прямой линией.

Рисунок 1 Метод Эйлера в графическом виде

Получаем точку М_к(х_к,у_к). Через М_к проводим касательную:

Получаем точку N_k / . В этой точке строим следующую касательную:

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом α_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Х_к1. Получаем точку М_к / . В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к / . Тогда:

(14)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции у_к+1/2 в точках х_к+1/2, затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y / _k+1/2=f(x_k+1/2, y_k+1/2) и определяют у_к+1.

Для оценки погрешности в точке х_к проводят вычисления у_к с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y // =f(y / ,y,x) c начальными условиями y / (x₀)=y / ₀, y(x₀)=y₀, выполняется замена

Тем самым преобразуются начальные условия

1.5 Практическая часть

Здесь решается уравнение dy/dx = 2x-y+x 2 на интервале [0,2], начальное значение y(0)=0, для оценки точности задано также точное решение в виде функции u(x)=x 2 . Оценка погрешности делается в нормеL₁, как и принято в данном случае

Численное решение дифференциальных уравнений в excel

Pers.narod.ru. Обучение. Excel: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши)

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — популярный раздел численных методов, немного теории можно почитать здесь.

В приведённом примере решается задача Коши, то есть, ищется решение дифференциального уравнения первого порядка вида dy/dx = f(x,y) на интервале x ∈ [x₀,x_n] при условии y(x₀)=y₀ и равномерном шаге сетки по x .

Решение выполняется методами Эйлера, «предиктор-корректор» (он же модифицированный метод Эйлера) и методом Рунге-Кутта 4 порядка точности. Пример может служить образцом для Ваших решений, правда, функцию придётся перепрограммировать несколько раз при различных значениях аргумента — поскольку без применения макросов на VBA Excel не позволяет создать полноценную функцию, которую было бы удобно вызывать с разными значениями аргументов.

Здесь решается уравнение dy/dx = 2x-y+x 2 на интервале [0,2] , начальное значение y(0)=0 , для оценки точности задано также точное решение в виде функции u(x)=x 2 . Оценка погрешности делается в норме L₁ , как и принято в данном случае.

Скачать пример в Excel XP/2003 (28 Кб)

Рунге-Кутта VBA EXCEL

Решение дифференциальных уравнений первого порядка
методом Рунге-Кутта.

Данный проект VBA позволяет решать дифференциальные уравнения первого порядка одним из численных методов, а именно, методом Рунге-Кутта.

Исходные данные:

• границы интервала a и b;
• шаг интегрирования h;
• начальное значение для решения y(a), позволяющее правильно определить константу…

вводятся в соответствующие ячейки столбца «J».

И самое главное (самая ответственная часть) необходимо без ошибок ввести формулу в ячейку «D3». Эта формула получается из заданного уравнения и представляет функцию, являющуюся производной от решения. Ее параметрами может быть как только х (т.е. ячейка «D4»), так и х совместно с у (т.е. ячейкой «D5»). На рисунке показан пример ввода формулы для заданного уравнения…
В ячейки «D4» и «D5» вводить ничего не нужно… Туда значения будет подставлять макрос…

Если не удалось запустить видео, воспользуйтесь этой ссылкой . видео на YouTube

После этого остается нажать кнопку «Решить» и … если Вы не забыли включить макросы, то увидите, быстро меняющиеся текущие значения в ячейках столбца «D», а после окончания цикла расчета значений у, произойдет изменение графиков.

Графики должны быть построены на заданном Вами интервале (на рисунке от -0,4 до 1,25)…
В каждой точке, где производная (график синего цвета) пересекает ось 0У, функция решения(красная) должна иметь экстремум (максимум или минимум)…
Если терпением Вы не отличаетесь, то не задавайте очень длинный интервал и/или очень мелкий шаг…

Подсказка:
Собственно, процедура заполнения массивов х и у по методу Рунге-Кутта будет выглядеть так:
(при этом глобальная переменная D3formula предварительно инициализируется: D3formula = Range(«D3»).Formula)

Private Function func(x As Double, y As Double) As Double ‘производная
Dim f As String
‘функция вычисляется по формуле, введенной пользователем в ячейку D3 (гед D4 — это x, D5 — это y)
f = Replace(D3formula, «D4», CStr(x))
f = Replace(f, «D5», CStr(y))
Range(«D3»).FormulaLocal = f
func = Range(«D3»)
End Function

Sub MethodRungeKutta()
‘вспомогательные переменные
Dim k1 As Double, k2 As Double, k3 As Double, k4 As Double
Dim i As Integer

For i = 1 To n ‘нулевые значения уже есть

x(i) = x(0) + i * h
k1 = func(x(i — 1), y(i — 1))
k2 = func(x(i — 1) + h / 2, y(i — 1) + k1 * h / 2)
k3 = func(x(i — 1) + h / 2, y(i — 1) + k2 * h / 2)
k4 = func(x(i), y(i — 1) + k3 * h)

y(i) = y(i — 1) + h / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) ‘значения вычисляются
p(i — 1) = k1 ‘сохранение в массив для графика

Чтобы на диаграмме отобразились рассчитанные графики, производится заполнение соответствующих диапазонов в столбцах «AA-AB-AC»… Можете сравнить результаты с этим табличным вариантом.