Асимметрия в excel график - Word и Excel - помощь в работе с программами

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

Асимметрия — это мера асимметрии набора данных или распределения. Это значение может быть положительным или отрицательным. Это полезно знать, потому что это помогает нам понять форму распределения.

Отрицательная асимметрия указывает на то, что хвост находится в левой части распределения, которая простирается в сторону более отрицательных значений.

Положительная асимметрия указывает на то, что хвост находится на правой стороне распределения, которая простирается в сторону более положительных значений.

Нулевое значение указывает на то, что в распределении вообще нет асимметрии, что означает, что распределение совершенно симметрично. Это необычно и редко встречается на практике.

Как рассчитать асимметрию в Excel

Excel предлагает следующую встроенную функцию для вычисления асимметрии распределения:

=СКОС(массив значений)

Эта функция использует следующую формулу для вычисления асимметрии:

Асимметрия = [n/(n-1)(n-2)] * Σ[(x i – x )/s] 3

куда:

n = размер выборки

Σ = причудливый символ, означающий «сумма»

x i = значение i -го значения в наборе данных

х = среднее

с = стандартное отклонение

Формула немного сложна, но, к счастью, Excel выполняет этот расчет за вас, так что вам не нужно делать это вручную.

Пример: расчет асимметрии в Excel

Предположим, у нас есть следующий набор данных, содержащий экзаменационные оценки 20 студентов:

Мы можем рассчитать асимметрию распределения, используя =SKEW(A2:A21)

Это говорит нам о том, что асимметрия этого набора данных составляет -0,1849.Поскольку это значение отрицательное, мы знаем, что хвост распределения простирается влево.

Техническое примечание:

Функция SKEW() вернет ошибку #DIV/0! в следующих двух сценариях:

Если имеется менее трех точек данных
Если стандартное отклонение выборки равно нулю

Дополнительный ресурс: Калькулятор асимметрии и эксцесса

Вы также можете рассчитать асимметрию для заданного набора данных с помощью статистического калькулятора асимметрии и эксцесса, который автоматически вычисляет как асимметрию, так и эксцесс для заданного набора данных. Вы просто вводите необработанные значения данных для своего набора данных в поле ввода, затем нажимаете «Рассчитать».

Например, вот как рассчитать асимметрию для набора данных из приведенного выше примера:

Обратите внимание, что значение асимметрии из калькулятора совпадает со значением асимметрии, которое мы нашли в Excel.

Источник

Функция СКОС в Excel предназначена для определения коэффициента асимметрии для последовательности числовых данных и возвращает соответствующее числовое значение.

Расчет коэффициента асимметрии распределения чисел в Excel

Коэффициент асимметрии показывает степень несимметричности распределения числовых данных относительно среднего значения. Может принимать следующие значения:

Из диапазона отрицательных чисел – отклонение в сторону отрицательных значений (отрицательные величины преобладают).
Из диапазона положительных чисел – отклонение в сторону положительных значений (преобладание положительных величин).
0 – асимметрия отсутствует (например, для последовательности 1, 2, 3, -1, -2, -3 асимметрический коэффициент равен нулю – 0).

Для определения коэффициента асимметрии используется уравнение:

Пример 1. В таблице Excel содержатся два ряда числовых данных. Определить, какой из числовых рядов характеризуется наименьшим коэффициентом асимметрии.

Вид таблицы данных:

Для решения используем следующую формулу:

С помощью функции ЕСЛИ выполняем проверку коэффициента симметрии («имеет ли второй ряд большее значение скоса?») и возвращаем соответствующее значение с пояснением.

Результат вычислений:

Проверим значения для каждого ряда по отдельности с помощью функций:

=ОКРУГЛ(СКОС(A2:A10);3)

=ОКРУГЛ(СКОС(B2:B10);3)

Полученные результаты:

Обе последовательности имеют отклонения в отрицательную сторону, но у ряда 1 это выражено в большей степени.

Коэффициент асимметрии и аппроксимация нормальным распределением в Excel

Пример 2. Имеем последовательность чисел. Необходимо проанализировать данную последовательность и сделать вывод о возможности аппроксимации нормальным распределением.

Вид таблицы данных:

Для проверки нормального распределения величины применяют довольно сложные статистические критерии. Однако, в простейшем случае можно определить две величины (коэффициент асимметрии и эксцесс), чтобы сделать определенные выводы. Если они близки к нулю, аппроксимация нормальным распределением допустима.

Определим значения асимметрии и эксцесса следующими функциями:

=СКОС(A2:A20)

=ЭКСЦЕСС(A2:A20)

Результаты:

Отклонения от 0 значительны, поэтому аппроксимация невозможна. Чтобы автоматизировать подобные расчеты введем некоторые условия:

В данном случае принято допущение о том, что максимальное допустимое отклонение модулей асимметрии и эксцесса составляет 0,1

Результат:

Правила использования функции СКОС в Excel

Функция имеет следующую синтаксическую запись:

=СКОС(число1;[число2];…)

Описание аргументов:

число1 – обязательный, принимает первое значение числовой последовательности или ссылку на диапазон ячеек с числовыми данными.
[число2];… — второй и последующие необязательные аргументы, принимающие числовые значения второго и последующих чисел исследуемого ряда.

Примечания:

Функция принимает в качестве аргументов числа или данные, которые могут быть преобразованы к числовым данным, а также ссылки на ячейки с числами или преобразуемыми к числам данными. Иначе СКОС будет возвращать код ошибки #ЗНАЧ!
Не преобразуемые к числам значения, содержащиеся в ячейках, в расчете не учитываются. Логические ИСТИНА и ЛОЖЬ также игнорируются рассматриваемой функцией.
Если исследуемый ряд значений содержит менее трех числовых значений, функция СКОС вернет код ошибки # ЧИСЛО!

Источник

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции СКОС в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает асимметрию распределения. Асимметрия характеризует степень несимметричности распределения относительно его среднего. Положительная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону положительных значений. Отрицательная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону отрицательных значений.

Синтаксис

СКОС(число1;[число2];…)

Аргументы функции СКОС описаны ниже.

Число1; число2… Аргумент «число1» является обязательным, последующие числа необязательные. От 1 до 255 аргументов, для которых вычисляется асимметрия. Вместо аргументов, разделенных точкой с запятой, можно использовать один массив или ссылку на массив.

Замечания

Аргументы могут быть либо числами, либо содержащими числа именами, массивами или ссылками.
Учитываются логические значения и текстовые представления чисел, которые непосредственно введены в список аргументов.
Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, то такие значения пропускаются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.
Аргументы, которые представляют собой значения ошибок или текст, не преобразуемый в числа, приводят к возникновению ошибки.
Если имеется менее трех точек данных или стандартное отклонение выборки имеет нулевое значение, то СКОС возвращает значение #DIV/0! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Уравнение для асимметрии имеет следующий вид:

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные
3
4
5
2
3
4
5
6
4
7
Формула	Описание	Результат
=СКОС(A2:A11)	Асимметрия распределения набора данных в диапазоне A2:A11.	0,359543

Нужна дополнительная помощь?

Источник

Содержание

Асимметрия выборки формула excel
Коэффициент асимметрии Пирсона в Excel (шаг за шагом)
Шаг 1: Создайте набор данных
Шаг 2. Рассчитайте коэффициент асимметрии Пирсона (используя режим)
Шаг 3: Рассчитайте коэффициент асимметрии Пирсона (используя медиану)
Как интерпретировать асимметрию
Дополнительные ресурсы
Как рассчитать асимметрию в Excel
Как рассчитать асимметрию в Excel
Пример: расчет асимметрии в Excel
Дополнительный ресурс: Калькулятор асимметрии и эксцесса
Функция СКОС
Описание
Синтаксис
Замечания
Пример
Вычисление асимметрии и эксцесса эмпирического распределения в Excel

Асимметрия выборки формула excel

По численным значениям асимметрии и эксцесса можно приближенно оценить нормальность распределения результатов испытаний. А и Е рассчитывают так:

В Excel А и Е можно рассчитать при помощи статистических функций СКОС (для А) и ЭКСЦЕСС (для Е).

Дисперсии А и Е рассчитывают так:

Если , то результаты испытаний считают распределёнными нормально.

Пример 14.1. Проверить гипотезу нормальности распределения результатов испытаний: 32,30 31,60 31,70 32,36 32,92 32,61 32,48 32,47 32,46 32,74 32,63 32,68 31,74 32,17 32,25 32,28 32,26 32,29 32,28 31,73.

Возможный вариант расчёта по примеру 14.1 показан на рис 14.1.

Рис.14.1. Вариант расчёта по примеру 14.1.

Вводим в лист MS Excel номера результатов (хотя бы до 1000 – для возможности пересчёта при других данных). Вводим результаты испытаний и сортируем их в вариационный ряд (хотя в данном случае это не обязательно). Рассчитываем объём испытаний n (в Excel функция СЧЁТ), асимметрию (функция СКОС), эксцесс (ЭКСЦЕСС), модуль асимметрии и эксцесса (с использованием функции ABS), дисперсию асимметрии и эксцесса, а также . Далее выводим сообщение о соответствии или несоответствии распределения нормальному. Для этого используем функцию ЕСЛИ. В строку Логическое_выражение диалогового этой функции вводим неравенство . После этого в эту же строку вводим функцию И. В открывшемся окне в строку Логическое значение 1 вводим неравенство . Затем устанавливаем курсор в строке формул на слово ЕСЛИ. В результате этого возвращаемся в окно функции ЕСЛИ. В этом окне в строке Значение_если_истина вводим «Распределение нормальное», а в строку Значение_если_ложь – «Распределение не нормальное». В результате формула будет выглядеть, как показано на рис. 14.1

Задание.
Выполнить расчёты по примеру 14.1.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Далее &nbsp &nbsp Содержание

Источник

Коэффициент асимметрии Пирсона в Excel (шаг за шагом)

Разработанный биостатистиком Карлом Пирсоном , коэффициент асимметрии Пирсона — это способ измерения асимметрии в наборе выборочных данных.

На самом деле есть два метода, которые можно использовать для расчета коэффициента асимметрии Пирсона:

Способ 1: использование режима

Асимметрия = (среднее значение – мода) / стандартное отклонение выборки

Метод 2: использование медианы

Асимметрия = 3 (среднее значение — медиана) / стандартное отклонение выборки

В общем, второй метод предпочтительнее, потому что мода не всегда является хорошим показателем того, где находится «центральное» значение набора данных, и в данном наборе данных может быть более одной моды.

В следующем пошаговом примере показано, как рассчитать обе версии коэффициента асимметрии Пирсона для заданного набора данных в Excel.

Шаг 1: Создайте набор данных

Во-первых, давайте создадим следующий набор данных в Excel:

Шаг 2. Рассчитайте коэффициент асимметрии Пирсона (используя режим)

Затем мы можем использовать следующую формулу для расчета коэффициента асимметрии Пирсона с использованием режима:

Асимметрия оказывается равной 1,295 .

Шаг 3: Рассчитайте коэффициент асимметрии Пирсона (используя медиану)

Мы также можем использовать следующую формулу для расчета коэффициента асимметрии Пирсона с использованием медианы:

Асимметрия оказывается равной 0,569 .

Как интерпретировать асимметрию

Мы интерпретируем коэффициент асимметрии Пирсона следующим образом:

Значение 0 указывает на отсутствие асимметрии. Если бы мы создали гистограмму для визуализации распределения значений в наборе данных, она была бы идеально симметричной.
Положительное значение указывает на положительный перекос или «правильный» перекос. Гистограмма покажет «хвост» в правой части распределения.
Отрицательное значение указывает на отрицательный перекос или «левый» перекос. Гистограмма покажет «хвост» в левой части распределения.

В нашем предыдущем примере асимметрия была положительной, что указывает на то, что распределение значений данных было положительно или «правильно» асимметричным.

Дополнительные ресурсы

Ознакомьтесь с этой статьей для хорошего объяснения левостороннего и правостороннего распределения.

Источник

Как рассчитать асимметрию в Excel

Excel предлагает следующую встроенную функцию для вычисления асимметрии распределения:

=СКОС(массив значений)

Эта функция использует следующую формулу для вычисления асимметрии:

Асимметрия = [n/(n-1)(n-2)] * Σ[(x i – x )/s] 3

n = размер выборки

Σ = причудливый символ, означающий «сумма»

x i = значение i -го значения в наборе данных

с = стандартное отклонение

Пример: расчет асимметрии в Excel

Предположим, у нас есть следующий набор данных, содержащий экзаменационные оценки 20 студентов:

Мы можем рассчитать асимметрию распределения, используя =SKEW(A2:A21)

Техническое примечание:

Функция SKEW() вернет ошибку #DIV/0! в следующих двух сценариях:

Если имеется менее трех точек данных
Если стандартное отклонение выборки равно нулю

Дополнительный ресурс: Калькулятор асимметрии и эксцесса

Например, вот как рассчитать асимметрию для набора данных из приведенного выше примера:

Источник

Функция СКОС

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции СКОС в Microsoft Excel.

Описание

Синтаксис

Аргументы функции СКОС описаны ниже.

Число1; число2. Аргумент «число1» является обязательным, последующие числа необязательные. От 1 до 255 аргументов, для которых вычисляется асимметрия. Вместо аргументов, разделенных точкой с запятой, можно использовать один массив или ссылку на массив.

Замечания

Аргументы могут быть либо числами, либо содержащими числа именами, массивами или ссылками.

Учитываются логические значения и текстовые представления чисел, которые непосредственно введены в список аргументов.

Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, то такие значения пропускаются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.

Аргументы, которые представляют собой значения ошибок или текст, не преобразуемый в числа, приводят к возникновению ошибки.

Если имеется менее трех точек данных или стандартное отклонение выборки имеет нулевое значение, то СКОС возвращает значение #DIV/0! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Уравнение для асимметрии имеет следующий вид:

Пример

Источник

Вычисление асимметрии и эксцесса эмпирического распределения в Excel

Асимметрия вычисляется функцией СКОС. Ее аргументом является интервал ячеек с данными, например, =СКОС(А1:А100), если данные содержатся в интервале ячеек от А1 до А100.

Эксцесс вычисляется функцией ЭКСЦЕСС, аргументом которой являются числовые данные, заданные, как правило, в виде интервала ячеек, например: =ЭКСЦЕСС(А1:А100).

§2.3. Инструмент анализа Описательная статистика

В Excel имеется возможность вычислить сразу все точечные характеристики выборки с помощью инструмента анализа Описательная статистика, который содержится в Пакете анализа.

Описательная статистика создает таблицу основных статистических характеристик для совокупности данных. В этой таблице будут содержаться следующие характеристики: среднее, стандартная ошибка, дисперсия, стандартное отклонение, мода, медиана, размах варьирования интервала, максимальное и минимальное значения, асимметрия, эксцесс, объем совокупности, сумма всех элементов совокупности, доверительный интервал (уровень надежности). Инструмент Описательная статистика существенно упрощает статистический анализ тем, что отпадает необходимость вызывать каждую функцию для расчета статистических характеристик отдельно.

Для того, чтобы вызвать Описательную статистику, следует:

1) в меню Сервис выбрать команду Анализ данных;

2) в списке Инструменты анализа диалогового окна Анализ данных выбрать инструмент Описательная статистика и нажать ОК.

В окне Описательная статистика необходимо:

· в группе Входные данные в поле Входной интервал указать интервал ячеек, содержащих данные;

· если первая строка во входном диапазоне содержит заголовок столбца, то в поле Метки в первой строке следует поставить галочку;

· в группе Параметры вывода активизировать переключатель (поставить галочку) Итоговая статистика, если нужен полный список характеристик;

· активизировать переключатель Уровень надежности и указать надежность в %, если необходимо вычислить доверительный интервал (по умолчанию надежность равна 95%). Нажать ОК.

В результате появится таблица с вычисленными значениями указанных выше статистических характеристик. Сразу, не сбрасывая выделения этой таблицы, выполните команду Формат®Столбец®Автоподбор ширины.

Вид диалогового окна Описательная статистика:

Практические задания

2.1. Вычисление основных точечных статистических характеристик с помощью стандартных функции Excel

Одним и тем же вольтметром было измерено 25 раз напряжение на участке цепи. В результате опытов получены следующие значения напряжения в вольтах:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

Найти среднюю, выборочные и исправленные дисперсию, стандартное отклонение, размах варьирования, моду, медиану. Проверить отклонение от нормального распределения, вычислив асимметрию и эксцесс.

Для выполнения этого задания проделайте следующие пункты.

1. Наберите результаты эксперимента в столбец А.

2. В ячейку В1 наберите «Среднее», в В2 – «Выборочная дисперсия», в В3 – «Стандартное отклонение», в В4 – «Исправленная дисперсия», в В5 – «Исправленное стандартное отклонение», в В6 – «Максимум», в В7 – «Минимум», в В8 – «Размах варьирования», в В9 – «Мода», в В10 – «Медиана», в В11 – «Асимметрия», в В12 – «Эксцесс».

3. Выровняйте ширину этого столбца с помощью Автоподбора ширины.

4. Выделите ячейку С1 и нажмите на кнопку со знаком «=» в строке формул. С помощью Мастера функций в категории Статистические найдите функцию СРЗНАЧ, затем выделите интервал ячеек с данными и нажмите ОК.

5. Выделите ячейку С2 и нажмите на знак =в строке формул. С помощью Мастера функций в категории Статистические найдите функцию ДИСПР, затем выделите интервал ячеек с данными и нажмите ОК.

6. Проделайте самостоятельно аналогичные действия для вычисления остальных характеристик.

7. Для вычисления размаха варьирования в ячейку С8 следует ввести формулу: =C6-C7.

8. Добавьте перед вашей таблицей одну строку, в которую наберите заголовки соответствующих столбцов: «Наименование характеристик» и «Численные значения».

9. В результате выполнения всего задания вы должны получить следующую таблицу:

Наименование характеристик	Численные значения
Среднее	34,04
Выборочная дисперсия	7,3984
Стандартное отклонение	2,72
Исправленная дисперсия	7,706667
Исправленное стандартное отклонение	2,776088
Максимум
Минимум
Размах варьирования
Мода
Медиана
Асимметрия	-0,14648
Эксцесс	-0,4282

Воспользуйтесь поиском по сайту:

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2023 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с) .

Источник

Adblock
detector

Источник

Рассмотрим инструмент Описательная статистика, входящий в надстройку Пакет Анализа. Рассчитаем показатели выборки: среднее, медиана, мода, дисперсия, стандартное отклонение и др.

Задача

описательной статистики

(descriptive statistics) заключается в том, чтобы с использованием математических инструментов свести сотни значений

выборки

к нескольким итоговым показателям, которые дают представление о

выборке

.В качестве таких статистических показателей используются:

среднее

медиана

мода

дисперсия, стандартное отклонение

и др.

Опишем набор числовых данных с помощью определенных показателей. Для чего нужны эти показатели? Эти показатели позволят сделать определенные

статистические выводы о распределении

, из которого была взята

выборка

. Например, если у нас есть

выборка

значений толщины трубы, которая изготавливается на определенном оборудовании, то на основании анализа этой

выборки

мы сможем сделать, с некой определенной вероятностью, заключение о состоянии процесса изготовления.

Содержание статьи:

Надстройка Пакет анализа;
Среднее выборки

;
Медиана выборки

;
Мода выборки

;
Мода и среднее значение

;
Дисперсия выборки

;
Стандартное отклонение выборки

;
Стандартная ошибка

;
Ассиметричность

;
Эксцесс выборки

;
Уровень надежности

.

Надстройка Пакет анализа

Для вычисления статистических показателей одномерных

выборок

, используем

надстройку Пакет анализа

. Затем, все показатели рассчитанные надстройкой, вычислим с помощью встроенных функций MS EXCEL.

СОВЕТ

: Подробнее о других инструментах надстройки

Пакет анализа

и ее подключении – читайте в статье

Надстройка Пакет анализа MS EXCEL

Выборку

разместим на

листе

Пример

в файле примера

в диапазоне

А6:А55

(50 значений).

Примечание

: Для удобства написания формул для диапазона

А6:А55

создан

Именованный диапазон

Выборка.

В диалоговом окне

Анализ данных

выберите инструмент

Описательная статистика

.

После нажатия кнопки

ОК

будет выведено другое диалоговое окно,

в котором нужно указать:

входной интервал

(Input Range) – это диапазон ячеек, в котором содержится массив данных. Если в указанный диапазон входит текстовый заголовок набора данных, то нужно поставить галочку в поле

Метки в первой строке (

Labels

in

first

row

).

В этом случае заголовок будет выведен в

Выходном интервале.

Пустые ячейки будут проигнорированы, поэтому нулевые значения необходимо обязательно указывать в ячейках, а не оставлять их пустыми;
выходной интервал

(Output Range). Здесь укажите адрес верхней левой ячейки диапазона, в который будут выведены статистические показатели;
Итоговая статистика (

Summary

Statistics

)

. Поставьте галочку напротив этого поля – будут выведены основные показатели выборки:

среднее, медиана, мода, стандартное отклонение

и др.;
Также можно поставить галочки напротив полей

Уровень надежности (

Confidence

Level

for

Mean

)

,

К-й наименьший

(Kth Largest) и

К-й наибольший

(Kth Smallest).

В результате будут выведены следующие статистические показатели:

Все показатели выведены в виде значений, а не формул. Если массив данных изменился, то необходимо перезапустить расчет.

Если во

входном интервале

указать ссылку на несколько столбцов данных, то будет рассчитано соответствующее количество наборов показателей. Такой подход позволяет сравнить несколько наборов данных. При сравнении нескольких наборов данных используйте заголовки (включите их во

Входной интервал

и установите галочку в поле

Метки в первой строке

). Если наборы данных разной длины, то это не проблема — пустые ячейки будут проигнорированы.

Зеленым цветом на картинке выше и в

файле примера

выделены показатели, которые не требуют особого пояснения. Для большинства из них имеется специализированная функция:

Интервал

(Range) — разница между максимальным и минимальным значениями;
Минимум

(Minimum) – минимальное значение в диапазоне ячеек, указанном во

Входном интервале

(см.

статью про функцию

МИН()

);
Максимум

(Maximum)– максимальное значение (см.

статью про функцию

МАКС()

);
Сумма

(Sum) – сумма всех значений (см.

статью про функцию

СУММ()

);
Счет

(Count) – количество значений во

Входном интервале

(пустые ячейки игнорируются, см.

статью про функцию

СЧЁТ()

);
Наибольший

(Kth Largest) – выводится К-й наибольший. Например, 1-й наибольший – это максимальное значение (см.

статью про функцию

НАИБОЛЬШИЙ()

);
Наименьший

(Kth Smallest) – выводится К-й наименьший. Например, 1-й наименьший – это минимальное значение (см.

статью про функцию

НАИМЕНЬШИЙ()

).

Ниже даны подробные описания остальных показателей.

Среднее выборки

Среднее

(mean, average) или

выборочное среднее

или

среднее выборки

(sample average) представляет собой

арифметическое среднее

всех значений массива. В MS EXCEL для вычисления среднего выборки используется функция

СРЗНАЧ()

.

Выборочное среднее

является «хорошей» (несмещенной и эффективной) оценкой

математического ожидания

случайной величины (подробнее см. статью

Среднее и Математическое ожидание в MS EXCEL

Медиана выборки

Медиана

(Median) – это число, которое является серединой множества чисел (в данном случае выборки): половина чисел множества больше, чем

медиана

, а половина чисел меньше, чем

медиана

. Для определения

медианы

необходимо сначала

отсортировать множество чисел

. Например,

медианой

для чисел 2, 3, 3,

4

, 5, 7, 10 будет 4.

Если множество содержит четное количество чисел, то вычисляется

среднее

для двух чисел, находящихся в середине множества. Например,

медианой

для чисел 2, 3,

3

,

5

, 7, 10 будет 4, т.к. (3+5)/2.

Если имеется длинный хвост распределения, то

Медиана

лучше, чем

среднее значение

, отражает «типичное» или «центральное» значение. Например, рассмотрим несправедливое распределение зарплат в компании, в которой руководство получает существенно больше, чем основная масса сотрудников.

Очевидно, что средняя зарплата (71 тыс. руб.) не отражает тот факт, что 86% сотрудников получает не более 30 тыс. руб. (т.е. 86% сотрудников получает зарплату в более, чем в 2 раза меньше средней!). В то же время медиана (15 тыс. руб.) показывает, что

как минимум

у 50% сотрудников зарплата меньше или равна 15 тыс. руб.

Для определения

медианы

в MS EXCEL существует одноименная функция

МЕДИАНА()

, английский вариант — MEDIAN().

Медиану

также можно вычислить с помощью формул

=КВАРТИЛЬ.ВКЛ(Выборка;2) =ПРОЦЕНТИЛЬ.ВКЛ(Выборка;0,5).

Подробнее о

медиане

см. специальную статью

Медиана в MS EXCEL

СОВЕТ

: Подробнее про

квартили

см. статью, про

перцентили (процентили)

см. статью.

Мода выборки

Мода

(Mode) – это наиболее часто встречающееся (повторяющееся) значение в

выборке

. Например, в массиве (1; 1;

2

;

2

;

2

; 3; 4; 5) число 2 встречается чаще всего – 3 раза. Значит, число 2 – это

мода

. Для вычисления

моды

используется функция

МОДА()

, английский вариант MODE().

Примечание

: Если в массиве нет повторяющихся значений, то функция вернет значение ошибки #Н/Д. Это свойство использовано в статье

Есть ли повторы в списке?

Начиная с

MS EXCEL 2010

вместо функции

МОДА()

рекомендуется использовать функцию

МОДА.ОДН()

, которая является ее полным аналогом. Кроме того, в MS EXCEL 2010 появилась новая функция

МОДА.НСК()

, которая возвращает несколько наиболее часто повторяющихся значений (если количество их повторов совпадает). НСК – это сокращение от слова НеСКолько.

Например, в массиве (1; 1;

2

;

2

;

2

; 3;

4

;

4

;

4

; 5) числа 2 и 4 встречаются наиболее часто – по 3 раза. Значит, оба числа являются

модами

. Функции

МОДА.ОДН()

и

МОДА()

вернут значение 2, т.к. 2 встречается первым, среди наиболее повторяющихся значений (см.

файл примера

, лист

Мода

).

Чтобы исправить эту несправедливость и была введена функция

МОДА.НСК()

, которая выводит все

моды

. Для этого ее нужно ввести как

формулу массива

Как видно из картинки выше, функция

МОДА.НСК()

вернула все три

моды

из массива чисел в диапазоне

A2:A11

: 1; 3 и 7. Для этого, выделите диапазон

C6:C9

, в

Строку формул

введите формулу

=МОДА.НСК(A2:A11)

и нажмите

CTRL+SHIFT+ENTER

. Диапазон

C

6:

C

9

охватывает 4 ячейки, т.е. количество выделяемых ячеек должно быть больше или равно количеству

мод

. Если ячеек больше чем м

о

д, то избыточные ячейки будут заполнены значениями ошибки #Н/Д. Если

мода

только одна, то все выделенные ячейки будут заполнены значением этой

моды

.

Теперь вспомним, что мы определили

моду

для выборки, т.е. для конечного множества значений, взятых из

генеральной совокупности

. Для

непрерывных случайных величин

вполне может оказаться, что выборка состоит из массива на подобие этого (0,935; 1,211; 2,430; 3,668; 3,874; …), в котором может не оказаться повторов и функция

МОДА()

вернет ошибку.

Даже в нашем массиве с

модой

, которая была определена с помощью

надстройки Пакет анализа

, творится, что-то не то. Действительно,

модой

нашего массива значений является число 477, т.к. оно встречается 2 раза, остальные значения не повторяются. Но, если мы посмотрим на

гистограмму распределения

, построенную для нашего массива, то увидим, что 477 не принадлежит интервалу наиболее часто встречающихся значений (от 150 до 250).

Проблема в том, что мы определили

моду

как наиболее часто встречающееся значение, а не как наиболее вероятное. Поэтому,

моду

в учебниках статистики часто определяют не для выборки (массива), а для функции распределения. Например, для

логнормального распределения

мода

(наиболее вероятное значение непрерывной случайной величины х), вычисляется как

exp

(

m

—

s
²
)

, где m и s параметры этого распределения.

Понятно, что для нашего массива число 477, хотя и является наиболее часто повторяющимся значением, но все же является плохой оценкой для

моды

распределения, из которого взята

выборка

(наиболее вероятного значения или для которого плотность вероятности распределения максимальна).

Для того, чтобы получить оценку

моды

распределения, из

генеральной совокупности

которого взята

выборка

, можно, например, построить

гистограмму

. Оценкой для

моды

может служить интервал наиболее часто встречающихся значений (самого высокого столбца). Как было сказано выше, в нашем случае это интервал от 150 до 250.

Вывод

: Значение

моды

для

выборки

, рассчитанное с помощью функции

МОДА()

, может ввести в заблуждение, особенно для небольших выборок. Эта функция эффективна, когда случайная величина может принимать лишь несколько дискретных значений, а размер

выборки

существенно превышает количество этих значений.

Например, в рассмотренном примере о распределении заработных плат (см. раздел статьи выше, о Медиане),

модой

является число 15 (17 значений из 51, т.е. 33%). В этом случае функция

МОДА()

дает хорошую оценку «наиболее вероятного» значения зарплаты.

Примечание

: Строго говоря, в примере с зарплатой мы имеем дело скорее с

генеральной совокупностью

, чем с

выборкой

. Т.к. других зарплат в компании просто нет.

О вычислении

моды

для распределения

непрерывной случайной величины

читайте статью

Мода в MS EXCEL

Мода и среднее значение

Не смотря на то, что

мода

– это наиболее вероятное значение случайной величины (вероятность выбрать это значение из

Генеральной совокупности

максимальна), не следует ожидать, что

среднее значение

обязательно будет близко к

моде

.

Примечание

:

Мода

и

среднее

симметричных распределений совпадает (имеется ввиду симметричность

плотности распределения

Представим, что мы бросаем некий «неправильный» кубик, у которого на гранях имеются значения (1; 2; 3; 4; 6; 6), т.е. значения 5 нет, а есть вторая 6.

Модой

является 6, а среднее значение – 3,6666.

Другой пример. Для

Логнормального распределения

LnN(0;1)

мода

равна =EXP(m-s2)= EXP(0-1*1)=0,368, а

среднее значение

1,649.

Дисперсия выборки

Дисперсия выборки

или

выборочная дисперсия (

sample

variance

) характеризует разброс значений в массиве, отклонение от

среднего

.

Из формулы №1 видно, что

дисперсия выборки

это сумма квадратов отклонений каждого значения в массиве

от среднего

, деленная на размер выборки минус 1.

В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления

дисперсии выборки

используется функция

ДИСП()

. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог — функцию

ДИСП.В()

.

Дисперсию

можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см.

файл примера

):

=КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1) =(СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1)

– обычная формула

=СУММ((Выборка -СРЗНАЧ(Выборка))^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1)

–

формула массива

Дисперсия выборки

равна 0, только в том случае, если все значения равны между собой и, соответственно, равны

среднему значению

.

Чем больше величина

дисперсии

, тем больше разброс значений в массиве относительно

среднего

.

Размерность

дисперсии

соответствует квадрату единицы измерения исходных значений. Например, если значения в выборке представляют собой измерения веса детали (в кг), то размерность

дисперсии

будет кг
²
. Это бывает сложно интерпретировать, поэтому для характеристики разброса значений чаще используют величину равную квадратному корню из

дисперсии – стандартное отклонение

.

Подробнее о

дисперсии

см. статью

Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL

Стандартное отклонение выборки

Стандартное отклонение выборки

(Standard Deviation), как и

дисперсия

, — это мера того, насколько широко разбросаны значения в выборке

относительно их среднего

.

По определению,

стандартное отклонение

равно квадратному корню из

дисперсии

:

Стандартное отклонение

не учитывает величину значений в

выборке

, а только степень рассеивания значений вокруг их

среднего

. Чтобы проиллюстрировать это приведем пример.

Вычислим стандартное отклонение для 2-х

выборок

: (1; 5; 9) и (1001; 1005; 1009). В обоих случаях, s=4. Очевидно, что отношение величины стандартного отклонения к значениям массива у

выборок

существенно отличается.

В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления

Стандартного отклонения выборки

используется функция

СТАНДОТКЛОН()

. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог

СТАНДОТКЛОН.В()

.

Стандартное отклонение

можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см.

файл примера

):

=КОРЕНЬ(КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1)) =КОРЕНЬ((СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/(СЧЁТ(Выборка)-1))

Подробнее о

стандартном отклонении

см. статью

Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL

Стандартная ошибка

В

Пакете анализа

под термином

стандартная ошибка

имеется ввиду

Стандартная ошибка среднего

(Standard Error of the Mean, SEM).

Стандартная ошибка среднего

— это оценка

стандартного отклонения

распределения

выборочного среднего

Примечание

: Чтобы разобраться с понятием

Стандартная ошибка среднего

необходимо прочитать о

выборочном распределении

(см. статью

Статистики, их выборочные распределения и точечные оценки параметров распределений в MS EXCEL

) и статью про

Центральную предельную теорему

.

Стандартное отклонение распределения выборочного среднего

вычисляется по формуле σ/√n, где n — объём

выборки, σ — стандартное отклонение исходного

распределения, из которого взята

выборка

. Т.к. обычно

стандартное отклонение

исходного распределения неизвестно, то в расчетах вместо

σ

используют ее оценку

s

—

стандартное отклонение выборки

. А соответствующая величина s/√n имеет специальное название —

Стандартная ошибка среднего.

Именно эта величина вычисляется в

Пакете анализа.

В MS EXCEL

стандартную ошибку среднего

можно также вычислить по формуле

=СТАНДОТКЛОН.В(Выборка)/ КОРЕНЬ(СЧЁТ(Выборка))

Асимметричность

Асимметричность

или

коэффициент асимметрии

(skewness) характеризует степень несимметричности распределения (

плотности распределения

) относительно его

среднего

.

Положительное значение

коэффициента асимметрии

указывает, что размер правого «хвоста» распределения больше, чем левого (относительно среднего). Отрицательная асимметрия, наоборот, указывает на то, что левый хвост распределения больше правого.

Коэффициент асимметрии

идеально симметричного распределения или выборки равно 0.

Примечание

:

Асимметрия выборки

может отличаться расчетного значения асимметрии теоретического распределения. Например,

Нормальное распределение

является симметричным распределением (

плотность его распределения

симметрична относительно

среднего

) и, поэтому имеет асимметрию равную 0. Понятно, что при этом значения в

выборке

из соответствующей

генеральной совокупности

не обязательно должны располагаться совершенно симметрично относительно

среднего

. Поэтому,

асимметрия выборки

, являющейся оценкой

асимметрии распределения

, может отличаться от 0.

Функция

СКОС()

, английский вариант SKEW(), возвращает коэффициент

асимметрии выборки

, являющейся оценкой

асимметрии

соответствующего распределения, и определяется следующим образом:

где n – размер

выборки

, s –

стандартное отклонение выборки

.

В

файле примера на листе СКОС

приведен расчет коэффициента

асимметрии

на примере случайной выборки из

распределения Вейбулла

, которое имеет значительную положительную

асимметрию

при параметрах распределения W(1,5; 1).

Эксцесс выборки

Эксцесс

показывает относительный вес «хвостов» распределения относительно его центральной части.

Для того чтобы определить, что относится к хвостам распределения, а что к его центральной части, можно использовать границы μ +/-

σ

.

Примечание

: Не смотря на старания профессиональных статистиков, в литературе еще попадается определение

Эксцесса

как меры «остроконечности» (peakedness) или сглаженности распределения. Но, на самом деле, значение

Эксцесса

ничего не говорит о форме пика распределения.

Согласно определения,

Эксцесс

равен четвертому

стандартизированному моменту:

Для

нормального распределения

четвертый момент равен 3*σ
⁴
, следовательно,

Эксцесс

равен 3. Многие компьютерные программы используют для расчетов не сам

Эксцесс

, а так называемый Kurtosis excess, который меньше на 3. Т.е. для

нормального распределения

Kurtosis excess равен 0. Необходимо быть внимательным, т.к. часто не очевидно, какая формула лежит в основе расчетов.

Примечание

: Еще большую путаницу вносит перевод этих терминов на русский язык. Термин Kurtosis происходит от греческого слова «изогнутый», «имеющий арку». Так сложилось, что на русский язык оба термина Kurtosis и Kurtosis excess переводятся как

Эксцесс

(от англ. excess — «излишек»). Например, функция MS EXCEL

ЭКСЦЕСС()

на самом деле вычисляет Kurtosis excess.

Функция

ЭКСЦЕСС()

, английский вариант KURT(), вычисляет на основе значений выборки несмещенную оценку

эксцесса распределения

случайной величины и определяется следующим образом:

Как видно из формулы MS EXCEL использует именно Kurtosis excess, т.е. для выборки из

нормального распределения

формула вернет близкое к 0 значение.

Если задано менее четырех точек данных, то функция

ЭКСЦЕСС()

возвращает значение ошибки #ДЕЛ/0!

Вернемся к

распределениям случайной величины

.

Эксцесс

(Kurtosis excess) для

нормального распределения

всегда равен 0, т.е. не зависит от параметров распределения μ и σ. Для большинства других распределений

Эксцесс

зависит от параметров распределения: см., например,

распределение Вейбулла

или

распределение Пуассона

, для котрого

Эксцесс

= 1/λ.

Уровень надежности

Уровень

надежности

— означает вероятность того, что

доверительный интервал

содержит истинное значение оцениваемого параметра распределения.

Вместо термина

Уровень

надежности

часто используется термин

Уровень доверия

. Про

Уровень надежности

(Confidence Level for Mean) читайте статью

Уровень значимости и уровень надежности в MS EXCEL

Задав значение

Уровня

надежности

в окне

надстройки Пакет анализа

, MS EXCEL вычислит половину ширины

доверительного интервала для оценки среднего (дисперсия неизвестна)

Тот же результат можно получить по формуле (см.

файл примера

):

=ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(1-0,95;s;n)

s —

стандартное отклонение выборки

, n – объем

выборки

.

Подробнее см. статью про

построение доверительного интервала для оценки среднего (дисперсия неизвестна)

Источник

Расчет коэффициента асимметрии распределения чисел в Excel

Из диапазона отрицательных чисел – отклонение в сторону отрицательных значений (отрицательные величины преобладают).
Из диапазона положительных чисел – отклонение в сторону положительных значений (преобладание положительных величин).
0 – асимметрия отсутствует (например, для последовательности 1, 2, 3, -1, -2, -3 асимметрический коэффициент равен нулю – 0).

Для определения коэффициента асимметрии используется уравнение:

Вид таблицы данных:

Для решения используем следующую формулу:

Проверим значения для каждого ряда по отдельности с помощью функций:

Обе последовательности имеют отклонения в отрицательную сторону, но у ряда 1 это выражено в большей степени.

Коэффициент асимметрии и аппроксимация нормальным распределением в Excel

Вид таблицы данных:

Определим значения асимметрии и эксцесса следующими функциями:

Правила использования функции СКОС в Excel

Функция имеет следующую синтаксическую запись:

=СКОС( число1; [число2];. )

число1 – обязательный, принимает первое значение числовой последовательности или ссылку на диапазон ячеек с числовыми данными.
[число2];… — второй и последующие необязательные аргументы, принимающие числовые значения второго и последующих чисел исследуемого ряда.

Функция принимает в качестве аргументов числа или данные, которые могут быть преобразованы к числовым данным, а также ссылки на ячейки с числами или преобразуемыми к числам данными. Иначе СКОС будет возвращать код ошибки #ЗНАЧ!
Не преобразуемые к числам значения, содержащиеся в ячейках, в расчете не учитываются. Логические ИСТИНА и ЛОЖЬ также игнорируются рассматриваемой функцией.
Если исследуемый ряд значений содержит менее трех числовых значений, функция СКОС вернет код ошибки # ЧИСЛО!

Процедура «Описательные статистики » пакета «Анализ данных.

В процедуре автоматически вычисляются следующие числовые характеристики выборки:

Для того чтобы выполнить вычисления, вводим в поле «Водной интервал» адреса ячеек, в которых записаны выборочные значения;

помечаем «Выходной интервал» и вводим в поле адрес первой ячейки, начиная с которой в листе Excel будет отображён резгультат; помечаем «Итоговая статистика»:

Результаты вычислений процедуры представлены в виде таблицы:

В Excel А и Е можно рассчитать при помощи статистических функций СКОС (для А) и ЭКСЦЕСС (для Е).

Дисперсии А и Е рассчитывают так:

Если , то результаты испытаний считают распределёнными нормально.

Возможный вариант расчёта по примеру 14.1 показан на рис 14.1.

Рис.14.1. Вариант расчёта по примеру 14.1.

Задание.
Выполнить расчёты по примеру 14.1.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Далее &nbsp &nbsp Содержание

Источник

Developed by biostatistician Karl Pearson, Pearson’s coefficient of skewness is a way to measure the skewness in a sample dataset.

There are actually two methods that can be used to calculate Pearson’s coefficient of skewness:

Method 1: Using the Mode

Skewness = (Mean – Mode) / Sample standard deviation

Method 2: Using the Median

Skewness = 3(Mean – Median) / Sample standard deviation

In general, the second method is preferred because the mode is not always a good indication of where the “central” value of a dataset lies and there can be more than one mode in a given dataset.

The following step-by-step example shows how to calculate both versions of the Pearson’s coefficient of skewness for a given dataset in Excel.

Step 1: Create the Dataset

First, let’s create the following dataset in Excel:

Step 2: Calculate the Pearson Coefficient of Skewness (Using the Mode)

Next, we can use the following formula to calculate the Pearson Coefficient of Skewness using the mode:

The skewness turns out to be 1.295.

Step 3: Calculate the Pearson Coefficient of Skewness (Using the Median)

We can also use the following formula to calculate the Pearson Coefficient of Skewness using the median:

The skewness turns out to be 0.569.

How to Interpret Skewness

We interpret the Pearson coefficient of skewness in the following ways:

A value of 0 indicates no skewness. If we created a histogram to visualize the distribution of values in a dataset, it would be perfectly symmetrical.
A positive value indicates positive skew or “right” skew. A histogram would reveal a “tail” on the right side of the distribution.
A negative value indicates a negative skew or “left” skew. A histogram would reveal a “tail” on the left side of the distribution.

In our previous example, the skewness was positive which indicates that the distribution of data values was positively skewed or “right” skewed.

Additional Resources

Check out this article for a nice explanation of left skewed vs. right skewed distributions.

Источник