|
slesar85 Пользователь Сообщений: 5 |
Имеется график, построенный по точкам. Полиномом написать уравнение не получается, визуально видно, что график — это синусоида. Но стандартные линии тренда синус не содержат… Как быть? Может есть какие-нибудь плагины для этого? |
|
имхо, синусоида не имеет никакого отношения к аппроксимации |
|
|
слэн  Пользователь Сообщений: 5192 |
это почему же ? апроксимировать можно чем угодно |
|
slesar85 Пользователь Сообщений: 5 |
И мне кажется, что чем угодно. К тому же точно знаю, что в origin’e так можно делать, только там всё довольно сложно. |
|
слэн Пользователь Сообщений: 5192 |
так запишите формулу в виде: y=a*Sin(b*х+f)+c, a,b,f,c — задайте в отдельных ячейках затем подставьте известные хначения x, получив массив значений затем вычтя из вычисленных значений заданные y и взяв их в квадрат, просуммируйте. поиском решения попробуйте найти такие a,b,f,c , чтобы сумма была минимальна. |
|
слэн Пользователь Сообщений: 5192 |
начальные значения можно вычислить примерно: а=(макс(y)-мин(y))/2 |
|
слэн Пользователь Сообщений: 5192 |
или даже просто визуально.. |
|
slesar85 Пользователь Сообщений: 5 |
Спасибо, всё получилось!!! |
|
слэн Пользователь Сообщений: 5192 |
и как это получается у слесарей? поделитесь, что вы в конце концов выбрали? |
|
slesar85 Пользователь Сообщений: 5 |
Не всегда ник отображает реальность))) |
|
слэн Пользователь Сообщений: 5192 |
|
|
интересно, почуму экс ничего не знает про тригонометрические функции |
|
|
слэн Пользователь Сообщений: 5192 |
наверное невостребовано.. да, можно апроксимировать синус полиномом.. на одном периоде.. |
|
slesar85 Пользователь Сообщений: 5 |
А не на 3-х, как в моем случае. |
|
С.М.  Пользователь Сообщений: 936 |
ТригонометрическийРяд2 (Поиск решения): |
|
А какой тренд лучше подходит для этого графика? см.файл |
|
|
anvg  Пользователь Сообщений: 11878 Excel 2016, 365 |
По 5 гармонику, наиболее влияющая 3 гармоника, есть и линейный тренд |
|
anvg Пользователь Сообщений: 11878 Excel 2016, 365 |
Вариант над данными с убранным линейным трендом. По алгоритму С.М. последовательный подбор 3 гармоник. |
|
Спасибо. |
|
|
А так можно? |
|
|
anvg Пользователь Сообщений: 11878 Excel 2016, 365 |
Пимандр |
|
anvg Пользователь Сообщений: 11878 Excel 2016, 365 |
С учётом разницы во времени и началом работы форума могу ответить на предыдущие вопросы и выложить исправленный файл. 1. Классическую тригонометрическую интерполяцию рядами Фурье можно посмотреть здесь: http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F 2. Интерполяция (использована в файле ююю) тем же, но используя метод наименьших квадратов для определения коэффициентов, здесь: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=61&t=3678 3. Вариант по алгоритму С. М. интересен тем, что мы используем определённое «на глаз» число периодов и указываем границы диапазона этого числа, при использовании «поиска решения». Алгоритм применяется последовательно, исходя из того, что мы можем численно заданную функцию представить суммой аналитических функций f(x)=f1(x)+f2(x)…fn(x). Для поиска участвующих синусоид мы последовательно вычитаем из предыдущего вновь вычисленное значение. F1(x)=f(x)-f1(x) и по нему используем алгоритм (файл примера переделал, показав цветами что подаётся на вход следующему по номеру листу). |
|
Спасибо. Чувствую себя дибилом. Буду разбираться. Алгоритм понятен, но суть в тумане. Обмозгую и до чего не пру, спрошу снова. |
|
|
anvg Пользователь Сообщений: 11878 Excel 2016, 365 |
#25 02.10.2012 05:45:56 Пимандр Прикрепленные файлы
|
Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью тригонометрического полинома.
В
основной статье про МНК
было рассмотрено приближение линейной функцией. В этой статье рассмотрим аппроксимацию методом наименьших квадратов с помощью тригонометрических многочленов (англ. Discrete Least Squares Approximation by Trigonometric Polynomials).
Под тригонометрическим многочленом будем понимать многочлен вида:
Максимальный порядок этого полинома k ограничен значением n/2, где n – это количество имеющихся пар значений (х
i
; y
i
), т.е. k<n/2.
Чтобы вычислить значение вышеуказанного полинома k-го порядка, для каждого заданного xi необходимо найти его коэффициенты a
j
и b
j
, включая a
0
и a
k
.
Напомним, что
метод наименьших квадратов
заключается в подборе таких коэффициентов полинома, при которых выражение
принимает минимальное значение.
Вышеуказанное выражение примет минимальное значение при таких коэффициентах, при которых соответствующие частные производные функции
F
равны нулю (аналогично тому, как мы делали для случая
квадратичной зависимости
).
Сначала будем предполагать, что значения
х
i
равномерно распределены на интервале [-π; п) или [0; 2п). А в конце статьи покажем, как избавиться от этого ограничения.
Сложный вывод коэффициентов приводить не будем, а запишем сразу конечный результат.
В
файле примера
на листе Триногом приведен расчет коэффициентов тригонометрического полинома T
k
(х), а затем и значения этого полинома для всех x
i
.
В качестве примера возьмем функцию y=x
2
*sin(x) на интервале [-п; п) и построим для нее аппроксимирующий тригонометрический полином третьего порядка T
3
(х).
Покажем, что при увеличении порядка полинома k, точность аппроксимации увеличивается. Для этого построим T
4
(х) и T
5
(х).
Примечание
: Т.к. период функции T
k
(х) равен 2п, то при аппроксимации функции f(x) (соответствующих значений этой функции), для которой f(-п)≠f(п), у нас могут быть проблемы с приближением. Например, сравните результаты приближения функции f(х)=x
2
, для которой f(-п) = f(п) и функции f(х)=x
3
, для которой f(-п)≠f(п). Оба приближения сделаны полиномом 4-го порядка T
4
(х).
Выходом из этой ситуации может стать выбор такого диапазона изменения
х
, для которого f(x
1
) ≈ f(x
n
). Но, часто это означает, что нам необходимо использовать интервал, отличный от [-п; п) или [0; 2п). Ниже покажем, как аппроксимировать функцию тригонометрическим полиномом на произвольном интервале.
Возьмем ту же функцию y=x
2
*sin(x) на интервале (-20; 20). Предположим, что интервал аппроксимации равен (-15,8; 5,0) и выделим его цветом.
Границы интервала подобраны так, чтобы значения функции были примерно одинаковы в этих крайних точках.
Сначала вычислим значения аппроксимируемой функции y(x
j
).
Напомним, что ранее для вычисления значений коэффициентов a
j
и b
j
мы использовали значения y(x
j
) и значения x
j
из интервала [-п; п). Вроде бы, по аналогии, для мы должны поступить также: использовать y(x
j
) и значения x
j
из интервала (-15,8; 5,0). Но, в этом случае мы не получим приемлемой точности аппроксимации.
Трюк заключается в следующем: для вычисления значений коэффициентов a
j
и b
j
мы будем по прежнему использовать значения y(x
j
), а вместо значений x
j
из интервала (-15,8; 5,0) продолжим использовать x
j
из интервала [-п; п), но обозначим их как z
j
. Для расчета полинома T
k
также будем использовать значения z
j
.
В
файле примера
на листе Триногом2 приведен расчет значений тригонометрического полинома T
k
(z). Там же построен график для визуального сравнения значений исходной функции y=x
2
*sin(x) и приближающего полинома.
Содержание
- Выполнение аппроксимации
- Способ 1: линейное сглаживание
- Способ 2: экспоненциальная аппроксимация
- Способ 3: логарифмическое сглаживание
- Способ 4: полиномиальное сглаживание
- Способ 5: степенное сглаживание
- Вопросы и ответы
Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.
Выполнение аппроксимации
Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.
Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.
Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:
- Линейной;
- Экспоненциальной;
- Логарифмической;
- Полиномиальной;
- Степенной.
Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.
Урок: Как построить линию тренда в Excel
Способ 1: линейное сглаживание
Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.
Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.
- Для построения графика, прежде всего, выделяем столбцы «Себестоимость единицы продукции» и «Прибыль». После этого перемещаемся во вкладку «Вставка». Далее на ленте в блоке инструментов «Диаграммы» щелкаем по кнопке «Точечная». В открывшемся списке выбираем наименование «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Именно данный вид диаграмм наиболее подходит для работы с линией тренда, а значит, и для применения метода аппроксимации в Excel.
- График построен.
- Для добавления линии тренда выделяем его кликом правой кнопки мыши. Появляется контекстное меню. Выбираем в нем пункт «Добавить линию тренда…».
Существует ещё один вариант её добавления. В дополнительной группе вкладок на ленте «Работа с диаграммами» перемещаемся во вкладку «Макет». Далее в блоке инструментов «Анализ» щелкаем по кнопке «Линия тренда». Открывается список. Так как нам нужно применить линейную аппроксимацию, то из представленных позиций выбираем «Линейное приближение».
- Если же вы выбрали все-таки первый вариант действий с добавлением через контекстное меню, то откроется окно формата.
В блоке параметров «Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)» устанавливаем переключатель в позицию «Линейная».
При желании можно установить галочку около позиции «Показывать уравнение на диаграмме». После этого на диаграмме будет отображаться уравнение сглаживающей функции.Также в нашем случае для сравнения различных вариантов аппроксимации важно установить галочку около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации (R^2)». Данный показатель может варьироваться от 0 до 1. Чем он выше, тем аппроксимация качественнее (достовернее). Считается, что при величине данного показателя 0,85 и выше сглаживание можно считать достоверным, а если показатель ниже, то – нет.
После того, как провели все вышеуказанные настройки. Жмем на кнопку «Закрыть», размещенную в нижней части окна.
- Как видим, на графике линия тренда построена. При линейной аппроксимации она обозначается черной прямой полосой. Указанный вид сглаживания можно применять в наиболее простых случаях, когда данные изменяются довольно быстро и зависимость значения функции от аргумента очевидна.
Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:
y=ax+b
В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:
y=-0,1156x+72,255
Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418, что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.
Способ 2: экспоненциальная аппроксимация
Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.
- Для того, чтобы изменить тип линии тренда, выделяем её кликом правой кнопки мыши и в раскрывшемся меню выбираем пункт «Формат линии тренда…».
- После этого запускается уже знакомое нам окно формата. В блоке выбора типа аппроксимации устанавливаем переключатель в положение «Экспоненциальная». Остальные настройки оставим такими же, как и в первом случае. Щелкаем по кнопке «Закрыть».
- После этого линия тренда будет построена на графике. Как видим, при использовании данного метода она имеет несколько изогнутую форму. При этом уровень достоверности равен 0,9592, что выше, чем при использовании линейной аппроксимации. Экспоненциальный метод лучше всего использовать в том случае, когда сначала значения быстро изменяются, а потом принимают сбалансированную форму.
Общий вид функции сглаживания при этом такой:
y=be^x
где e – это основание натурального логарифма.
В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:
y=6282,7*e^(-0,012*x)
Способ 3: логарифмическое сглаживание
Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.
- Тем же способом, что и в предыдущий раз через контекстное меню запускаем окно формата линии тренда. Устанавливаем переключатель в позицию «Логарифмическая» и жмем на кнопку «Закрыть».
- Происходит процедура построения линии тренда с логарифмической аппроксимацией. Как и в предыдущем случае, такой вариант лучше использовать тогда, когда изначально данные быстро изменяются, а потом принимают сбалансированный вид. Как видим, уровень достоверности равен 0,946. Это выше, чем при использовании линейного метода, но ниже, чем качество линии тренда при экспоненциальном сглаживании.
В общем виде формула сглаживания выглядит так:
y=a*ln(x)+b
где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.
В нашем случае формула принимает следующий вид:
y=-62,81ln(x)+404,96
Способ 4: полиномиальное сглаживание
Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.
- Переходим в окно формата линии тренда, как уже делали не раз. В блоке «Построение линии тренда» устанавливаем переключатель в позицию «Полиномиальная». Справа от данного пункта расположено поле «Степень». При выборе значения «Полиномиальная» оно становится активным. Здесь можно указать любое степенное значение от 2 (установлено по умолчанию) до 6. Данный показатель определяет число максимумов и минимумов функции. При установке полинома второй степени описывается только один максимум, а при установке полинома шестой степени может быть описано до пяти максимумов. Для начала оставим настройки по умолчанию, то есть, укажем вторую степень. Остальные настройки оставляем такими же, какими мы выставляли их в предыдущих способах. Жмем на кнопку «Закрыть».
- Линия тренда с использованием данного метода построена. Как видим, она ещё более изогнута, чем при использовании экспоненциальной аппроксимации. Уровень достоверности выше, чем при любом из использованных ранее способов, и составляет 0,9724.
Данный метод наиболее успешно можно применять в том случае, если данные носят постоянно изменчивый характер. Функция, описывающая данный вид сглаживания, выглядит таким образом:
y=a1+a1*x+a2*x^2+…+an*x^nВ нашем случае формула приняла такой вид:
y=0,0015*x^2-1,7202*x+507,01 - Теперь давайте изменим степень полиномов, чтобы увидеть, будет ли отличаться результат. Возвращаемся в окно формата. Тип аппроксимации оставляем полиномиальным, но напротив него в окне степени устанавливаем максимально возможное значение – 6.
- Как видим, после этого наша линия тренда приняла форму ярко выраженной кривой, у которой число максимумов равно шести. Уровень достоверности повысился ещё больше, составив 0,9844.
Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:
y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09
Способ 5: степенное сглаживание
В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.
- Перемещаемся в окно «Формат линии тренда». Устанавливаем переключатель вида сглаживания в позицию «Степенная». Показ уравнения и уровня достоверности, как всегда, оставляем включенными. Жмем на кнопку «Закрыть».
- Программа формирует линию тренда. Как видим, в нашем случае она представляет собой линию с небольшим изгибом. Уровень достоверности равен 0,9618, что является довольно высоким показателем. Из всех вышеописанных способов уровень достоверности был выше только при использовании полиномиального метода.
Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.
Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:
y=bx^n
В конкретно нашем случае она выглядит так:
y = 6E+18x^(-6,512)
Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.
Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.
Как построить график синусоиды в Excel.
Допустим имеется функция синусоиды, заданной уравнением y=sin4*x. Формула в Excel имеет вид:
=SIN(4*C4)
Требуется построить график функции.
Функция в данном случае непрерывная, поэтому по оси x ограничим интервалом от 1 до -1, шаг возьмём 0,1.
В итоги у нас должна получится таблица вида:
| x | y=sin4*x |
| 1 | -0,75680 |
| 0,9 | -0,44252 |
| 0,8 | -0,05837 |
| 0,7 | 0,33499 |
| 0,6 | 0,67546 |
| 0,5 | 0,90930 |
| 0,4 | 0,99957 |
| 0,3 | 0,93204 |
| 0,2 | 0,71736 |
| 0,1 | 0,38942 |
| 0,00000 | |
| -0,1 | -0,38942 |
| -0,2 | -0,71736 |
| -0,3 | -0,93204 |
| -0,4 | -0,99957 |
| -0,5 | -0,90930 |
| -0,6 | -0,67546 |
| -0,7 | -0,33499 |
| -0,8 | 0,05837 |
| -0,9 | 0,44252 |
| -1 | 0,75680 |
Переходим на вкладку Вставка -> Точечная с гладкими кривыми и маркерами.
Появится область графика, кликаем на белую область правым указателем мыши, выскакивает меню, далее Выбрать данные, появляется окно Выбора источника данных, выбираем весь диапазон данных нашей синусоиды в ячейках, затем Ок.
В итоги у нас получается график вида.
Также вид графика тоже можно настроить через конструктор и дополнительные инструменты.
трюки • приёмы • решения
Использование диаграмм Excel — хороший способ отображения графиков математических и тригонометрических функций. В этой статье описываются два метода построения графика функции: с одной переменной с помощью точечной диаграммы и с двумя переменными с помощью 3D-диаграммы.
Построение графиков математических функций с одной переменной
Точечная диаграмма (известная как диаграмма XY в предыдущих версиях Excel) отображает точку (маркер) для каждой пары значений. Например, на рис. 140.1 показан график функции SIN. На диаграмму наносятся рассчитанные значения у для значений х (в радианах) от -5 до 5 с инкрементом (приращением) 0,5. Каждая пара значений х и у выступает в качестве точки данных в диаграмме, и эти точки связаны линиями.
Рис. 140.1. Диаграмма представляет собой график функции SIN(x)
Функция выражается в таком виде: у = SIN(x) .
Соответствующая формула в ячейке В2 (которая копируется в ячейки, расположенные ниже) будет следующей: =SIN(A2) .
Чтобы создать эту диаграмму, выполните следующие действия.
- Выделите диапазон А1:В22 .
- Выберите Вставка ► Диаграммы ► Точечная ► Точечная с прямыми отрезками и маркерами.
- Выберите макет диаграммы, который вам нравится, а затем настройте его.
Измените значения в столбце А для построения графика функции при различных значениях х. И, конечно, вы можете использовать любую формулу с одной переменной в столбце В. Вот несколько примеров, которые приводят к построению интересных графиков:
=SIN(ПИ()*A2)*(ПИ()*A2)
=SIN(A2)/A2
=SIN(A2^3)*COS(A2^2)
=НОРМ.РАСП(A2;0;1;ЛОЖЬ)
Чтобы получить более точную диаграмму, увеличьте количество значений для построения графика и сделайте приращение в столбце А меньше.
Вы можете использовать онлайн наш файл примера графиков математических функций с одной переменной, расположенной в Excel Web Apps при помощи Skydrive, и внести свои данные (изменения не будут сохраняться) или скачать себе на компьютер, для чего необходимо кликнуть по иконке Excel в правом нижнем углу. Это бесплатно 🙂
Построение графиков математических функций с двумя переменными
Вы также можете строить графики функций, которые используют две переменные. Например, следующая функция рассчитывает z для различных значений двух переменных (х и у): =SIN($A2)*COS($B1)
На рис. 140.2 приведена поверхностная диаграмма, которая рассчитывает значение z для 21 значения х в диапазоне от -3 до 0 и для 21 значения у в диапазоне от 2 до 5. Для х и у используется приращение 0,15.
Рис. 140.2. Использование трехмерной поверхностной диаграммы для построения графика функции с двумя переменными
Значения х находятся в диапазоне А2:А22 , а значения у — в диапазоне B1:V1 .
Формула в ячейке В2 копируется в другие ячейки таблицы и имеет следующий вид: =SIN($A2)*C0S(B$1) .
Чтобы создать диаграмму, выполните приведенные ниже действия.
- Выделите диапазон A1:V22 .
- Выберите Вставка ► Диаграммы ► Другие ► Поверхность.
- Выберите макет диаграммы, который вам нравится, а затем настройте его.
Пока значения х и у имеют равные приращения, вы можете задавать любую формулу с двумя переменными. Вам, возможно, потребуется настроить начальные значения и значение приращения для х и у. Для увеличения сглаживания используйте больше значений х и у при меньшем приращении. Вот другие формулы, которые вы можете попробовать:
=SIN(КОРЕНЬ($A2^2+B$1^2))
=SIN($A2)*COS($A2*B$1)
=COS($A2*B$1)
Функция SIN в Excel используется для вычисления синуса угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.
Функция SINH в Excel возвращает значение гиперболического синуса заданного вещественного числа.
Функция COS в Excel вычисляет косинус угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.
Функция COSH возвращает значение гиперболического косинуса заданного вещественного числа.
Примеры использования функций SIN, SINH, COS и COSH в Excel
Пример 1. Путешественник движется вверх на гору с уклоном в 17°. Скорость движения постоянная и составляет 4 км/ч. Определить, на какой высоте относительно начальной точке отсчета он окажется спустя 3 часа.
Для решения используем формулу:
- B2*B3 – произведение скорости на время пути, результатом которого является пройденное расстояние (гипотенуза прямоугольного треугольника);
- SIN(РАДИАНЫ(B1)) – синус угла уклона, выраженного в радианах с помощью функции РАДИАНЫ.
В результате расчетов мы получили величину малого катета прямоугольного треугольника, который характеризует высоту подъема путешественника.
Пример 2. Ранее в учебных заведениях широко использовались справочники тригонометрических функций. Как можно создать свой простой справочник с помощью Excel для косинусов углов от 0 до 90?
Заполним столбцы значениями углов в градусах:
Для заполнения используем функцию COS как формулу массива. Пример заполнения первого столбца:
Вычислим значения для всех значений углов. Полученный результат:
Примечание: известно, что cos(90°)=0, однако функция РАДИАНЫ(90) определяет значение радианов угла с некоторой погрешностью, поэтому для угла 90° было получено отличное от нуля значение.
Аналогичным способом создадим таблицу синусов в Excel:
Построение графика функций SINH и COSH в Excel
Пример 3. Построить графики функций sinh(x) и cosh(x) для одинаковых значений независимой переменной и сравнить их.
Формула для нахождения синусов гиперболических:
Формула для нахождения косинусов гиперболических:
Таблица полученных значений:
Построим графики обеих функций на основе имеющихся данных. Выделите диапазон ячеек A1:C12 и выберите инструмент «ВСТАВКА»-«Диаграммы»-«Вставь точечную (X,Y) или пузырьковую диаграмму»-«Точечная с гладкими кривыми и маркерами»:
Как видно, графики совпадают на промежутке (0;+∞), а в области отрицательных значений x части графиков являются зеркальными отражениями друг друга.
Особенности использования тригонометрических функций в Excel
Синтаксис функции SIN:
Синтаксис функции SINH:
Синтаксис функции COS:
Синтаксис функции COSH:
Каждая из приведенных выше функций принимает единственный аргумент число, который характеризует угол, заданный в радианах (для SIN и COS) или любое значение из диапазона вещественных чисел, для которого требуется определить гиперболические синус или косинус (для SINH и COSH соответственно).
- Если в качестве аргумента любой из рассматриваемых функций были переданы текстовые данные, которые не могут быть преобразованы в числовое значение, результатом выполнения функций будет код ошибки #ЗНАЧ!. Например, функция =SIN(“1”) вернет результат 0,8415, поскольку Excel выполняет преобразование данных там, где это возможно.
- В качестве аргументов рассматриваемых функций могут быть переданы логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ, которые будут интерпретированы как числовые значения 1 и 0 соответственно.
- Все рассматриваемые функции могут быть использованы в качестве формул массива.
- Синус гиперболический рассчитывается по формуле: sinh(x)=0,5*(ex-e-x).
- Формула расчета косинуса гиперболического имеет вид: cosh(x)=0,5*( ex+e-x).
- При расчетах синусов и косинусов углов с использованием формул SIN и COS необходимо использовать радианные меры углов. Если угол указан в градусах, для перевода в радианную меру угла можно использовать два способа:
- Функция РАДИАНЫ (например, =SIN(РАДИАНЫ(30)) вернет результат 0,5;
- Выражение ПИ()*угол_в_градусах/180.
Содержание
- 1 Выполнение аппроксимации
- 1.1 Способ 1: линейное сглаживание
- 1.2 Способ 2: экспоненциальная аппроксимация
- 1.3 Способ 3: логарифмическое сглаживание
- 1.4 Способ 4: полиномиальное сглаживание
- 1.5 Способ 5: степенное сглаживание
- 1.6 Помогла ли вам эта статья?
- 2 Аппроксимация в Excel статистических данных аналитической функцией.
- 3 Итоги.
- 4 P.S. (04.06.2017)
- 5 Высокоточная красивая замена табличных данных простым уравнением.
Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.
Выполнение аппроксимации
Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.
Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.
Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:
- Линейной;
- Экспоненциальной;
- Логарифмической;
- Полиномиальной;
- Степенной.
Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.
Урок: Как построить линию тренда в Excel
Способ 1: линейное сглаживание
Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.
Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.
- Для построения графика, прежде всего, выделяем столбцы «Себестоимость единицы продукции» и «Прибыль». После этого перемещаемся во вкладку «Вставка». Далее на ленте в блоке инструментов «Диаграммы» щелкаем по кнопке «Точечная». В открывшемся списке выбираем наименование «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Именно данный вид диаграмм наиболее подходит для работы с линией тренда, а значит, и для применения метода аппроксимации в Excel.
- График построен.
- Для добавления линии тренда выделяем его кликом правой кнопки мыши. Появляется контекстное меню. Выбираем в нем пункт «Добавить линию тренда…».
Существует ещё один вариант её добавления. В дополнительной группе вкладок на ленте «Работа с диаграммами» перемещаемся во вкладку «Макет». Далее в блоке инструментов «Анализ» щелкаем по кнопке «Линия тренда». Открывается список. Так как нам нужно применить линейную аппроксимацию, то из представленных позиций выбираем «Линейное приближение».
- Если же вы выбрали все-таки первый вариант действий с добавлением через контекстное меню, то откроется окно формата.
В блоке параметров «Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)» устанавливаем переключатель в позицию «Линейная».
При желании можно установить галочку около позиции «Показывать уравнение на диаграмме». После этого на диаграмме будет отображаться уравнение сглаживающей функции.Также в нашем случае для сравнения различных вариантов аппроксимации важно установить галочку около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации (R^2)». Данный показатель может варьироваться от 0 до 1. Чем он выше, тем аппроксимация качественнее (достовернее). Считается, что при величине данного показателя 0,85 и выше сглаживание можно считать достоверным, а если показатель ниже, то – нет.
После того, как провели все вышеуказанные настройки. Жмем на кнопку «Закрыть», размещенную в нижней части окна.
- Как видим, на графике линия тренда построена. При линейной аппроксимации она обозначается черной прямой полосой. Указанный вид сглаживания можно применять в наиболее простых случаях, когда данные изменяются довольно быстро и зависимость значения функции от аргумента очевидна.
Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:
y=ax+b
В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:
y=-0,1156x+72,255
Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418, что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.
Способ 2: экспоненциальная аппроксимация
Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.
- Для того, чтобы изменить тип линии тренда, выделяем её кликом правой кнопки мыши и в раскрывшемся меню выбираем пункт «Формат линии тренда…».
- После этого запускается уже знакомое нам окно формата. В блоке выбора типа аппроксимации устанавливаем переключатель в положение «Экспоненциальная». Остальные настройки оставим такими же, как и в первом случае. Щелкаем по кнопке «Закрыть».
- После этого линия тренда будет построена на графике. Как видим, при использовании данного метода она имеет несколько изогнутую форму. При этом уровень достоверности равен 0,9592, что выше, чем при использовании линейной аппроксимации. Экспоненциальный метод лучше всего использовать в том случае, когда сначала значения быстро изменяются, а потом принимают сбалансированную форму.
Общий вид функции сглаживания при этом такой:
y=be^x
где e – это основание натурального логарифма.
В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:
y=6282,7*e^(-0,012*x)
Способ 3: логарифмическое сглаживание
Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.
- Тем же способом, что и в предыдущий раз через контекстное меню запускаем окно формата линии тренда. Устанавливаем переключатель в позицию «Логарифмическая» и жмем на кнопку «Закрыть».
- Происходит процедура построения линии тренда с логарифмической аппроксимацией. Как и в предыдущем случае, такой вариант лучше использовать тогда, когда изначально данные быстро изменяются, а потом принимают сбалансированный вид. Как видим, уровень достоверности равен 0,946. Это выше, чем при использовании линейного метода, но ниже, чем качество линии тренда при экспоненциальном сглаживании.
В общем виде формула сглаживания выглядит так:
y=a*ln(x)+b
где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.
В нашем случае формула принимает следующий вид:
y=-62,81ln(x)+404,96
Способ 4: полиномиальное сглаживание
Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.
- Переходим в окно формата линии тренда, как уже делали не раз. В блоке «Построение линии тренда» устанавливаем переключатель в позицию «Полиномиальная». Справа от данного пункта расположено поле «Степень». При выборе значения «Полиномиальная» оно становится активным. Здесь можно указать любое степенное значение от 2 (установлено по умолчанию) до 6. Данный показатель определяет число максимумов и минимумов функции. При установке полинома второй степени описывается только один максимум, а при установке полинома шестой степени может быть описано до пяти максимумов. Для начала оставим настройки по умолчанию, то есть, укажем вторую степень. Остальные настройки оставляем такими же, какими мы выставляли их в предыдущих способах. Жмем на кнопку «Закрыть».
- Линия тренда с использованием данного метода построена. Как видим, она ещё более изогнута, чем при использовании экспоненциальной аппроксимации. Уровень достоверности выше, чем при любом из использованных ранее способов, и составляет 0,9724.
Данный метод наиболее успешно можно применять в том случае, если данные носят постоянно изменчивый характер. Функция, описывающая данный вид сглаживания, выглядит таким образом:
y=a1+a1*x+a2*x^2+…+an*x^nВ нашем случае формула приняла такой вид:
y=0,0015*x^2-1,7202*x+507,01 - Теперь давайте изменим степень полиномов, чтобы увидеть, будет ли отличаться результат. Возвращаемся в окно формата. Тип аппроксимации оставляем полиномиальным, но напротив него в окне степени устанавливаем максимально возможное значение – 6.
- Как видим, после этого наша линия тренда приняла форму ярко выраженной кривой, у которой число максимумов равно шести. Уровень достоверности повысился ещё больше, составив 0,9844.
Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:
y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09
Способ 5: степенное сглаживание
В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.
- Перемещаемся в окно «Формат линии тренда». Устанавливаем переключатель вида сглаживания в позицию «Степенная». Показ уравнения и уровня достоверности, как всегда, оставляем включенными. Жмем на кнопку «Закрыть».
- Программа формирует линию тренда. Как видим, в нашем случае она представляет собой линию с небольшим изгибом. Уровень достоверности равен 0,9618, что является довольно высоким показателем. Из всех вышеописанных способов уровень достоверности был выше только при использовании полиномиального метода.
Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.
Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:
y=bx^n
В конкретно нашем случае она выглядит так:
y = 6E+18x^(-6,512)
Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.
Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.
Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Задайте свой вопрос в комментариях, подробно расписав суть проблемы. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Помогла ли вам эта статья?
Да Нет
Опубликовано 05 Янв 2014
Рубрика: Справочник Excel | 18 комментариев
(Обратите внимание на дополнительный раздел от 04.06.2017 в конце статьи.)
Учет и контроль! Те, кому за 40 должны хорошо помнить этот лозунг из эпохи построения социализма и коммунизма в нашей стране.
Но без хорошо налаженного учета невозможно эффективное функционирование ни страны, ни области, ни предприятия, ни домашнего хозяйства при любой общественно-экономической формации общества! Для составления прогнозов и планов деятельности и развития необходимы исходные данные. Где их брать? Только один достоверный источник – это ваши статистические учетные данные предыдущих периодов времени.
Учитывать результаты своей деятельности, собирать и записывать информацию, обрабатывать и анализировать данные, применять результаты анализа для принятия правильных решений в будущем должен, в моем понимании, каждый здравомыслящий человек. Это есть ничто иное, как накопление и рациональное использование своего жизненного опыта. Если не вести учет важных данных, то вы через определенный период времени их забудете и, начав заниматься этими вопросами вновь, вы опять наделаете те же ошибки, что делали, когда впервые этим занимались.
«Мы, помню, 5 лет назад изготавливали до 1000 штук таких изделий в месяц, а сейчас и 700 еле-еле собираем!». Открываем статистику и видим, что 5 лет назад и 500 штук не изготавливали…
«Во сколько обходится километр пробега твоего автомобиля с учетом всех затрат?» Открываем статистику – 6 руб./км. Поездка на работу – 107 рублей. Дешевле, чем на такси (180 рублей) более чем в полтора раза. А бывали времена, когда на такси было дешевле…
«Сколько времени требуется для изготовления металлоконструкций уголковой башни связи высотой 50 м?» Открываем статистику – и через 5 минут готов ответ…
«Сколько будет стоить ремонт комнаты в квартире?» Поднимаем старые записи, делаем поправку на инфляцию за прошедшие годы, учитываем, что в прошлый раз купили материалы на 10% дешевле рыночной цены и – ориентировочную стоимость мы уже знаем…
Ведя учет своей профессиональной деятельности, вы всегда будете готовы ответить на вопрос начальника: «Когда!!!???». Ведя учет домашнего хозяйства, легче спланировать расходы на крупные покупки, отдых и прочие расходы в будущем, приняв соответствующие меры по дополнительному заработку или по сокращению необязательных расходов сегодня.
В этой статье я на простом примере покажу, как можно обрабатывать собранные статистические данные в Excel для возможности дальнейшего использования при прогнозировании будущих периодов.
Производственный участок изготавливает строительные металлоконструкции из листового и профильного металлопроката. Участок работает стабильно, заказы однотипные, численность рабочих колеблется незначительно. Есть данные о выпуске продукции за предыдущие 12 месяцев и о количестве переработанного в эти периоды времени металлопроката по группам: листы, двутавры, швеллеры, уголки, трубы круглые, профили прямоугольного сечения, круглый прокат. После предварительного анализа исходных данных возникло предположение, что суммарный месячный выпуск металлоконструкций существенно зависит от количества уголков в заказах. Проверим это предположение.
Прежде всего, несколько слов об аппроксимации. Мы будем искать закон – аналитическую функцию, то есть функцию, заданную уравнением, которое лучше других описывает зависимость общего выпуска металлоконструкций от количества уголкового проката в выполненных заказах. Это и есть аппроксимация, а найденное уравнение называется аппроксимирующей функцией для исходной функции, заданной в виде таблицы.
1. Включаем Excel и помещаем на лист таблицу с данными статистики.
2. Далее строим и форматируем точечную диаграмму, в которой по оси X задаем значения аргумента – количество переработанных уголков в тоннах. По оси Y откладываем значения исходной функции – общий выпуск металлоконструкций в месяц, заданные таблицей.
О том, как построить подобную диаграмму, подробно рассказано в статье «Как строить графики в Excel?».
3. «Наводим» мышь на любую из точек на графике и щелчком правой кнопки вызываем контекстное меню (как говорит один мой хороший товарищ — работая в незнакомой программе, когда не знаешь, что делать, чаще щелкай правой кнопкой мыши…). В выпавшем меню выбираем «Добавить линию тренда…».
4. В появившемся окне «Линия тренда» на вкладке «Тип» выбираем «Линейная».
5. Далее на вкладке «Параметры» ставим 2 галочки и нажимаем «ОК».
6. На графике появилась прямая линия, аппроксимирующая нашу табличную зависимость.
Мы видим кроме самой линии уравнение этой линии и, главное, мы видим значение параметра R2 – величины достоверности аппроксимации! Чем ближе его значение к 1, тем наиболее точно выбранная функция аппроксимирует табличные данные!
7. Строим линии тренда, используя степенную, логарифмическую, экспоненциальную и полиномиальную аппроксимации по аналогии с тем, как мы строили линейную линию тренда.
Лучше всех из выбранных функций аппроксимирует наши данные полином второй степени, у него максимальный коэффициент достоверности R2.
Однако хочу вас предостеречь! Если вы возьмете полиномы более высоких степеней, то, возможно, получите еще лучшие результаты, но кривые будут иметь замысловатый вид…. Здесь важно понимать, что мы ищем функцию, которая имеет физический смысл. Что это означает? Это означает, что нам нужна аппроксимирующая функция, которая будет выдавать адекватные результаты не только внутри рассматриваемого диапазона значений X, но и за его пределами, то есть ответит на вопрос: «Какой будет выпуск металлоконструкций при количестве переработанных за месяц уголков меньше 45 и больше 168 тонн!» Поэтому я не рекомендую увлекаться полиномами высоких степеней, да и параболу (полином второй степени) выбирать осторожно!
Итак, нам необходимо выбрать функцию, которая не только хорошо интерполирует табличные данные в пределах диапазона значений X=45…168, но и допускает адекватную экстраполяцию за пределами этого диапазона. Я выбираю в данном случае логарифмическую функцию, хотя можно выбрать и линейную, как наиболее простую. В рассматриваемом примере при выборе линейной аппроксимации в excel ошибки будут больше, чем при выборе логарифмической, но не на много.
8. Удаляем все линии тренда с поля диаграммы, кроме логарифмической функции. Для этого щелкаем правой кнопкой мыши по ненужным линиям и в выпавшем контекстном меню выбираем «Очистить».
9. В завершении добавим к точкам табличных данных планки погрешностей. Для этого правой кнопкой мыши щелкаем на любой из точек на графике и в контекстном меню выбираем «Формат рядов данных…» и настраиваем данные на вкладке «Y-погрешности» так, как на рисунке ниже.
10. Затем щелкаем по любой из линий диапазонов погрешностей правой кнопкой мыши, выбираем в контекстном меню «Формат полос погрешностей…» и в окне «Формат планок погрешностей» на вкладке «Вид» настраиваем цвет и толщину линий.
Аналогичным образом форматируются любые другие объекты диаграммы в Excel!
Окончательный результат диаграммы представлен на следующем снимке экрана.
Итоги.
Результатом всех предыдущих действий стала полученная формула аппроксимирующей функции y=-172,01*ln (x)+1188,2. Зная ее, и количество уголков в месячном наборе работ, можно с высокой степенью вероятности (±4% — смотри планки погрешностей) спрогнозировать общий выпуск металлоконструкций за месяц! Например, если в плане на месяц 140 тонн уголков, то общий выпуск, скорее всего, при прочих равных составит 338±14 тонн.
Для повышения достоверности аппроксимации статистических данных должно быть много. Двенадцать пар значений – это маловато.
Из практики скажу, что хорошим результатом следует считать нахождение аппроксимирующей функции с коэффициентом достоверности R2>0,87. Отличный результат – при R2>0,94.
На практике бывает трудно выделить один самый главный определяющий фактор (в нашем примере – масса переработанных за месяц уголков), но если постараться, то в каждой конкретной задаче его всегда можно найти! Конечно, общий выпуск продукции за месяц реально зависит от сотни факторов, для учета которых необходимы существенные трудозатраты нормировщиков и других специалистов. Только результат все равно будет приблизительным! Так стоит ли нести затраты, если есть гораздо более дешевое математическое моделирование!
В этой статье я лишь прикоснулся к верхушке айсберга под названием сбор, обработка и практическое использование статистических данных. О том удалось, или нет, мне расшевелить ваш интерес к этой теме, надеюсь узнать из комментариев и рейтинга статьи в поисковиках.
Затронутый вопрос аппроксимации функции одной переменной имеет широкое практическое применение в разных сферах жизни. Но гораздо большее применение имеет решение задачи аппроксимации функции нескольких независимых переменных…. Об этом и не только читайте в следующих статьях на блоге.
Подписывайтесь на анонсы статей в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.
Не забывайте подтверждать подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту (может прийти в папку «Спам»)!!!
С интересом прочту Ваши комментарии, уважаемые читатели! Пишите!
P.S. (04.06.2017)
Высокоточная красивая замена табличных данных простым уравнением.
Вас не устраивают полученные точность аппроксимации (R2
Подробности Автор: Administrator Родительская категория: Заметки Категория: Компьютерная повседневность Создано: 28 января 2013 Обновлено: 15 мая 2014 Просмотров: 28651
Чтобы приступить к аппроксимации кривой ваших экспериментальных данных в Excel 2003:
1. Создайте диаграмму (график).
2. Выделите линию функции на графике и нажмите правую кнопку мыши, выберите «Добавить линию тренда»
3. Выберите тип аппроксимации во вкладке «Тип» в откурывшемся диалоговом окне «Линия тренда»
4. На вкладке «Параметры» — прогностические параметры, показывать уравнение на графике или нет
Аппроксимация (от лат. approximo — приближаюсь) — это замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В этой нашей статье мы постараемся подробно рассмотреть вопрос о том, как апроксимировать график в офисной программе Excel?
В MS Excel аппроксимация экспериментальных данных осуществляется путем построения их графика (x – отвлеченные величины) или точечного графика (x – имеет конкретные значения) с последующим подбором подходящей аппроксимирующей функции (линии тренда).
1. Создайте диаграмму (график).
2. Выделите линию функции на графике и нажмите правую кнопку мыши, выберите «Добавить линию тренда».
3. Выберите тип аппроксимации во вкладке «Тип» в откурывшемся диалоговом окне «Линия тренда».
4. На вкладке «Параметры» — прогностические параметры, показывать уравнение на графике или нет.
Решить задачу аппроксимации экспериментальных данных – значит построить уравнение регрессии. Задача аппроксимации возникает в случае необходимости аналитически, то есть в виде математической зависимости, описать реальные явления, наблюдения за которыми заданы в виде таблицы, содержащей значения показателя в разные моменты времени или при разных значениях независимого аргумента. Например,
— известны показатели прибыли (их можно обозначить Y) в зависимости от размера капиталовложений (X);
— известны объемы реализации фирмы (Y) за шесть недель ее работы. В этом случае, X – это последовательность недель.
Иногда говорят, что требуется построить эмпирическую модель. Эмпирической называется модель, построенная на основе реальных наблюдений. Если модель удается найти, можно сделать прогноз о поведении исследуемого явления и процесса в будущем и, возможно, выбрать оптимальное направление ее развития.
В общем случае задача аппроксимации экспериментальных данных имеет следующую постановку:
Пусть известны данные, полученные практическим путем (в ходе n экспериментов или наблюдений), которые можно представить парами чисел (хi; уi). Зависимость между ними отражает таблица:
| X | х1 | х2 | х3 | … | хn |
| Y | y1 | y2 | y3 | … | yn |
Имеется класс разнообразных функций F. Требуется найти аналитическое (т.е. математическое) выражение зависимости между этими показателями, то есть надо подобрать из множества функций F функцию f, такую что . которая наилучшим образом сглаживала бы экспериментальную зависимость между переменными и по возможности точно отражала общую тенденцию зависимости между X и Y, исключая погрешности измерения и случайные отклонения.
Выяснить вид функции можно либо из теоретических соображений, либо анализируя расположение точек (хi; уi) на координатной плоскости.
Графически решить задачу аппроксимации означает, провести такую кривую , точки которой (хi; ŷi) находились бы как можно ближе к исходным точкам (хi; уi), отображающим экспериментальные данные.
Для решения задачи аппроксимации используют метод наименьших квадратов.
При этом функция считается наилучшим приближением к , если для нее сумма квадратов отклонений «теоретических» значений , найденных по эмпирической формуле, от соответствующих опытных значений , имеет наименьшее значение по сравнению с другими функциями, из числа которых выбирается искомое приближение.
Математическая запись метода наименьших квадратов имеет вид:
(1)
где n — количество наблюдений показателей.
Таким образом, задача аппроксимации распадается на две части.
Сначала устанавливают вид зависимости и, соответственно, вид эмпирической формулы, то есть решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. Если нет каких-либо теоретических соображений для подбора вида формулы, обычно выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиком заданной функции.
После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим.
Простейшим видом эмпирической модели с двумя параметрами, используемой для аппроксимации результатов экспериментов, является линейная регрессия, описываемая линейной функцией:
где а, b — искомые параметры.
Для модели линейной регрессии метод наименьших квадратов (1) запишется :
(2)
Для решения (2) относительно а и b приравнивают к нулю частные производные:
В итоге для нахождения a и b надо решить систему линейных алгебраических уравнений вида:
(3)
Реализовать метод наименьших квадратов в случае линейной регрессии в Excel можно различными способами.
1 способ. Построить систему линейных алгебраических уравнений, подставив в (3) все известные значения, и решить ее, например, матричным методом (см. зад. 4).
Рис. 25
В формульном виде элемент расчетной таблицы приведен на рис. 26.
Рис.26
2 способ. Решить в Excel задачу оптимизации (2), применив для этого Поиск решения (см. зад. 5).
Рис.27
Замечание 1. Следует обратить внимание, что для целевой функции S удобно применить встроенную математическую функцию СУММКВРАЗН(массив1;массив2), в результате которой как раз и вычисляется сумма квадратов разностей двух массивов. В нашем случае следует в качестве массива1 указать диапазон исходных значений , а в качестве массива2 – «теоретические» значения , рассчитанные по формуле , где a и b – это адреса ячеек с искомыми значениями.
Замечание 2. В диалоговом окне команды Поиск решения следует задать целевую ячейку, направление цели – на минимум и изменяемые ячейки (рис. 28). Данная задача ограничений не содержит.
Рис.28
Замечание3. В качестве эмпирических моделей с двумя параметрами могут использоваться и нелинейные модели вида:
Описанный способ решения метода наименьших квадратов применим и для нелинейных зависимостей.
3 способ. Для нахождения значений параметров a и b в случае линейной регрессии можно использовать следующие встроенные в Excel статистические функции:
НАКЛОН(известные_значения_У; известные_значения_Х)
ОТРЕЗОК(известные_значения_У; известные_значения_Х)
ЛИНЕЙН (известные_значения_У; известные_значения_Х)
Причем, функция НАКЛОН ( ) возвращает значение параметра а, функция ОТРЕЗОК( ) возвращает значение параметра b. Функция ЛИНЕЙН( ) возвращает одновременно оба параметра линейной зависимости, так как является функцией массива. Поэтому для ввода функции ЛИНЕЙН( ) в таблицу надо соблюдать следующие правила:
· выделить две рядом стоящие ячейки
· ввести формулу
· по окончании нажать одновременно комбинацию клавиш Ctrl+ Shift+Enter.
В результате в левой ячейке получится значение параметра а, а в правой – значение параметра b.
Для решения задачи аппроксимации графическим способом в Excel надо построить по исходным данным график, например, точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаживающими линиями (см.зад.1). На эту диаграмму Excel может нанести Линию тренда. Линию тренда можно добавить к любому ряду данных, использующему следующие типы диаграмм: диаграммы с областями, графики, гистограммы, линейчатые или точечные диаграммы.
При создании линии тренда в Excel на основе данных диаграммы применяется та или иная аппроксимация. Excel позволяет выбрать один из пяти аппроксимирующих линий или вычислить линию, показывающую скользящее среднее.
Кроме того, Excel предоставляет возможность выбирать значения пересечения линии тренда с осью Y, а также добавлять к диаграмме уравнение аппроксимации и величину достоверности аппроксимации (R2). Также, можно определять будущие и прошлые значения данных, исходя из линии тренда и связанного с ней уравнения аппроксимации.
Чтобы добавить линию тренда к ряду данных надо:
1. Активизировать щелчком мыши диаграмму.
2. Выполнить команду Диаграмма, Добавить линию тренда или переместить указатель на ряд данных, щелкнуть правой кнопкой мыши, а затем в контекстном меню выбрать команду Добавить линию тренда. В появившемся окне Линия тренда раскрыть вкладку Тип (рис. 29)
3. В списке Построен на ряде – выделить ряд данных, к которому нужно добавить линию тренда (Рис.29).
4. В группе Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание) выбрать один из шести типов аппроксимации (сглаживания). – линейная, логарифмическая, полиномиальная, степенная, экспоненциальная, скользящее среднее (Рис.29)
Рис.29
5. Чтобы установить параметры линии тренда надо раскрыть вкладку Параметры диалогового окна Линия тренда(рис. 30)
Рис.30
Показывать уравнение на диаграмме – осуществляет вывод уравнения аппроксимации на диаграмму в виде текстового поля.
Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2– осуществляет вывод на диаграмму достоверности аппроксимации в виде текста.
6. По окончании нажимают экранную кнопку ОК.
Пример результирующей диаграммы приведен на рисунке 31.
Рис.31