Аппроксимация функции по точкам в excel

Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.

Выполнение аппроксимации

Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.

Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

• Линейной;
• Экспоненциальной;
• Логарифмической;
• Полиномиальной;
• Степенной.

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Урок: Как построить линию тренда в Excel

Способ 1: линейное сглаживание

Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.

Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.

1. Для построения графика, прежде всего, выделяем столбцы «Себестоимость единицы продукции» и «Прибыль». После этого перемещаемся во вкладку «Вставка». Далее на ленте в блоке инструментов «Диаграммы» щелкаем по кнопке «Точечная». В открывшемся списке выбираем наименование «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Именно данный вид диаграмм наиболее подходит для работы с линией тренда, а значит, и для применения метода аппроксимации в Excel.



2. График построен.



3. Для добавления линии тренда выделяем его кликом правой кнопки мыши. Появляется контекстное меню. Выбираем в нем пункт «Добавить линию тренда…».
   

   Существует ещё один вариант её добавления. В дополнительной группе вкладок на ленте «Работа с диаграммами» перемещаемся во вкладку «Макет». Далее в блоке инструментов «Анализ» щелкаем по кнопке «Линия тренда». Открывается список. Так как нам нужно применить линейную аппроксимацию, то из представленных позиций выбираем «Линейное приближение».



4. Если же вы выбрали все-таки первый вариант действий с добавлением через контекстное меню, то откроется окно формата.

   В блоке параметров «Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)» устанавливаем переключатель в позицию «Линейная».
   При желании можно установить галочку около позиции «Показывать уравнение на диаграмме». После этого на диаграмме будет отображаться уравнение сглаживающей функции.

   Также в нашем случае для сравнения различных вариантов аппроксимации важно установить галочку около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации (R^2)». Данный показатель может варьироваться от 0 до 1. Чем он выше, тем аппроксимация качественнее (достовернее). Считается, что при величине данного показателя 0,85 и выше сглаживание можно считать достоверным, а если показатель ниже, то – нет.

   

   После того, как провели все вышеуказанные настройки. Жмем на кнопку «Закрыть», размещенную в нижней части окна.



5. Как видим, на графике линия тренда построена. При линейной аппроксимации она обозначается черной прямой полосой. Указанный вид сглаживания можно применять в наиболее простых случаях, когда данные изменяются довольно быстро и зависимость значения функции от аргумента очевидна.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

y=ax+b

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

y=-0,1156x+72,255

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418, что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

1. Для того, чтобы изменить тип линии тренда, выделяем её кликом правой кнопки мыши и в раскрывшемся меню выбираем пункт «Формат линии тренда…».



2. После этого запускается уже знакомое нам окно формата. В блоке выбора типа аппроксимации устанавливаем переключатель в положение «Экспоненциальная». Остальные настройки оставим такими же, как и в первом случае. Щелкаем по кнопке «Закрыть».



3. После этого линия тренда будет построена на графике. Как видим, при использовании данного метода она имеет несколько изогнутую форму. При этом уровень достоверности равен 0,9592, что выше, чем при использовании линейной аппроксимации. Экспоненциальный метод лучше всего использовать в том случае, когда сначала значения быстро изменяются, а потом принимают сбалансированную форму.

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

y=be^x

где e – это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

1. Тем же способом, что и в предыдущий раз через контекстное меню запускаем окно формата линии тренда. Устанавливаем переключатель в позицию «Логарифмическая» и жмем на кнопку «Закрыть».



2. Происходит процедура построения линии тренда с логарифмической аппроксимацией. Как и в предыдущем случае, такой вариант лучше использовать тогда, когда изначально данные быстро изменяются, а потом принимают сбалансированный вид. Как видим, уровень достоверности равен 0,946. Это выше, чем при использовании линейного метода, но ниже, чем качество линии тренда при экспоненциальном сглаживании.

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

y=a*ln(x)+b

где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

y=-62,81ln(x)+404,96

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

1. Переходим в окно формата линии тренда, как уже делали не раз. В блоке «Построение линии тренда» устанавливаем переключатель в позицию «Полиномиальная». Справа от данного пункта расположено поле «Степень». При выборе значения «Полиномиальная» оно становится активным. Здесь можно указать любое степенное значение от 2 (установлено по умолчанию) до 6. Данный показатель определяет число максимумов и минимумов функции. При установке полинома второй степени описывается только один максимум, а при установке полинома шестой степени может быть описано до пяти максимумов. Для начала оставим настройки по умолчанию, то есть, укажем вторую степень. Остальные настройки оставляем такими же, какими мы выставляли их в предыдущих способах. Жмем на кнопку «Закрыть».



2. Линия тренда с использованием данного метода построена. Как видим, она ещё более изогнута, чем при использовании экспоненциальной аппроксимации. Уровень достоверности выше, чем при любом из использованных ранее способов, и составляет 0,9724.
   

   Данный метод наиболее успешно можно применять в том случае, если данные носят постоянно изменчивый характер. Функция, описывающая данный вид сглаживания, выглядит таким образом:

   y=a1+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n

   В нашем случае формула приняла такой вид:

   y=0,0015*x^2-1,7202*x+507,01
3. Теперь давайте изменим степень полиномов, чтобы увидеть, будет ли отличаться результат. Возвращаемся в окно формата. Тип аппроксимации оставляем полиномиальным, но напротив него в окне степени устанавливаем максимально возможное значение – 6.



4. Как видим, после этого наша линия тренда приняла форму ярко выраженной кривой, у которой число максимумов равно шести. Уровень достоверности повысился ещё больше, составив 0,9844.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

1. Перемещаемся в окно «Формат линии тренда». Устанавливаем переключатель вида сглаживания в позицию «Степенная». Показ уравнения и уровня достоверности, как всегда, оставляем включенными. Жмем на кнопку «Закрыть».



2. Программа формирует линию тренда. Как видим, в нашем случае она представляет собой линию с небольшим изгибом. Уровень достоверности равен 0,9618, что является довольно высоким показателем. Из всех вышеописанных способов уровень достоверности был выше только при использовании полиномиального метода.

Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

y=bx^n

В конкретно нашем случае она выглядит так:

y = 6E+18x^(-6,512)

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.

Содержание

• 1 Выполнение аппроксимации
  • 1.1 Способ 1: линейное сглаживание
  • 1.2 Способ 2: экспоненциальная аппроксимация
  • 1.3 Способ 3: логарифмическое сглаживание
  • 1.4 Способ 4: полиномиальное сглаживание
  • 1.5 Способ 5: степенное сглаживание
  • 1.6 Помогла ли вам эта статья?
• 2 Аппроксимация в Excel статистических данных аналитической функцией.
• 3 Итоги.
• 4 P.S. (04.06.2017)
• 5 Высокоточная красивая замена табличных данных простым уравнением.

Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.

Выполнение аппроксимации

Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.

Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

• Линейной;
• Экспоненциальной;
• Логарифмической;
• Полиномиальной;
• Степенной.

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Урок: Как построить линию тренда в Excel

Способ 1: линейное сглаживание

Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.

Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.

1. Для построения графика, прежде всего, выделяем столбцы «Себестоимость единицы продукции» и «Прибыль». После этого перемещаемся во вкладку «Вставка». Далее на ленте в блоке инструментов «Диаграммы» щелкаем по кнопке «Точечная». В открывшемся списке выбираем наименование «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Именно данный вид диаграмм наиболее подходит для работы с линией тренда, а значит, и для применения метода аппроксимации в Excel.
2. График построен.
3. Для добавления линии тренда выделяем его кликом правой кнопки мыши. Появляется контекстное меню. Выбираем в нем пункт «Добавить линию тренда…».

   

   Существует ещё один вариант её добавления. В дополнительной группе вкладок на ленте «Работа с диаграммами» перемещаемся во вкладку «Макет». Далее в блоке инструментов «Анализ» щелкаем по кнопке «Линия тренда». Открывается список. Так как нам нужно применить линейную аппроксимацию, то из представленных позиций выбираем «Линейное приближение».

4. Если же вы выбрали все-таки первый вариант действий с добавлением через контекстное меню, то откроется окно формата.

   В блоке параметров «Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)» устанавливаем переключатель в позицию «Линейная».
   При желании можно установить галочку около позиции «Показывать уравнение на диаграмме». После этого на диаграмме будет отображаться уравнение сглаживающей функции.

   Также в нашем случае для сравнения различных вариантов аппроксимации важно установить галочку около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации (R^2)». Данный показатель может варьироваться от 0 до 1. Чем он выше, тем аппроксимация качественнее (достовернее). Считается, что при величине данного показателя 0,85 и выше сглаживание можно считать достоверным, а если показатель ниже, то – нет.

   После того, как провели все вышеуказанные настройки. Жмем на кнопку «Закрыть», размещенную в нижней части окна.

5. Как видим, на графике линия тренда построена. При линейной аппроксимации она обозначается черной прямой полосой. Указанный вид сглаживания можно применять в наиболее простых случаях, когда данные изменяются довольно быстро и зависимость значения функции от аргумента очевидна.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

y=ax+b

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

y=-0,1156x+72,255

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418, что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

1. Для того, чтобы изменить тип линии тренда, выделяем её кликом правой кнопки мыши и в раскрывшемся меню выбираем пункт «Формат линии тренда…».
2. После этого запускается уже знакомое нам окно формата. В блоке выбора типа аппроксимации устанавливаем переключатель в положение «Экспоненциальная». Остальные настройки оставим такими же, как и в первом случае. Щелкаем по кнопке «Закрыть».
3. После этого линия тренда будет построена на графике. Как видим, при использовании данного метода она имеет несколько изогнутую форму. При этом уровень достоверности равен 0,9592, что выше, чем при использовании линейной аппроксимации. Экспоненциальный метод лучше всего использовать в том случае, когда сначала значения быстро изменяются, а потом принимают сбалансированную форму.

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

y=be^x

где e – это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

1. Тем же способом, что и в предыдущий раз через контекстное меню запускаем окно формата линии тренда. Устанавливаем переключатель в позицию «Логарифмическая» и жмем на кнопку «Закрыть».
2. Происходит процедура построения линии тренда с логарифмической аппроксимацией. Как и в предыдущем случае, такой вариант лучше использовать тогда, когда изначально данные быстро изменяются, а потом принимают сбалансированный вид. Как видим, уровень достоверности равен 0,946. Это выше, чем при использовании линейного метода, но ниже, чем качество линии тренда при экспоненциальном сглаживании.

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

y=a*ln(x)+b

где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

y=-62,81ln(x)+404,96

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

1. Переходим в окно формата линии тренда, как уже делали не раз. В блоке «Построение линии тренда» устанавливаем переключатель в позицию «Полиномиальная». Справа от данного пункта расположено поле «Степень». При выборе значения «Полиномиальная» оно становится активным. Здесь можно указать любое степенное значение от 2 (установлено по умолчанию) до 6. Данный показатель определяет число максимумов и минимумов функции. При установке полинома второй степени описывается только один максимум, а при установке полинома шестой степени может быть описано до пяти максимумов. Для начала оставим настройки по умолчанию, то есть, укажем вторую степень. Остальные настройки оставляем такими же, какими мы выставляли их в предыдущих способах. Жмем на кнопку «Закрыть».
2. Линия тренда с использованием данного метода построена. Как видим, она ещё более изогнута, чем при использовании экспоненциальной аппроксимации. Уровень достоверности выше, чем при любом из использованных ранее способов, и составляет 0,9724.

   

   Данный метод наиболее успешно можно применять в том случае, если данные носят постоянно изменчивый характер. Функция, описывающая данный вид сглаживания, выглядит таким образом:

   y=a1+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n

   В нашем случае формула приняла такой вид:

   y=0,0015*x^2-1,7202*x+507,01

3. Теперь давайте изменим степень полиномов, чтобы увидеть, будет ли отличаться результат. Возвращаемся в окно формата. Тип аппроксимации оставляем полиномиальным, но напротив него в окне степени устанавливаем максимально возможное значение – 6.
4. Как видим, после этого наша линия тренда приняла форму ярко выраженной кривой, у которой число максимумов равно шести. Уровень достоверности повысился ещё больше, составив 0,9844.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

1. Перемещаемся в окно «Формат линии тренда». Устанавливаем переключатель вида сглаживания в позицию «Степенная». Показ уравнения и уровня достоверности, как всегда, оставляем включенными. Жмем на кнопку «Закрыть».
2. Программа формирует линию тренда. Как видим, в нашем случае она представляет собой линию с небольшим изгибом. Уровень достоверности равен 0,9618, что является довольно высоким показателем. Из всех вышеописанных способов уровень достоверности был выше только при использовании полиномиального метода.

Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

y=bx^n

В конкретно нашем случае она выглядит так:

y = 6E+18x^(-6,512)

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.

Задайте свой вопрос в комментариях, подробно расписав суть проблемы. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Помогла ли вам эта статья?

Да Нет

Опубликовано 05 Янв 2014
Рубрика: Справочник Excel | 18 комментариев

(Обратите внимание на дополнительный раздел от 04.06.2017 в конце статьи.)

Учет и контроль! Те, кому за 40 должны хорошо помнить этот лозунг из эпохи построения социализма и коммунизма в нашей стране.

Но без хорошо налаженного учета невозможно эффективное функционирование ни страны, ни области, ни предприятия, ни домашнего хозяйства при любой общественно-экономической формации общества! Для составления прогнозов и планов деятельности и развития необходимы исходные данные. Где их брать? Только один достоверный источник – это ваши статистические учетные данные предыдущих периодов времени.

Учитывать результаты своей деятельности, собирать и записывать информацию, обрабатывать и анализировать данные, применять результаты анализа для принятия правильных решений в будущем должен, в моем понимании, каждый здравомыслящий человек. Это есть ничто иное, как накопление и рациональное использование своего жизненного опыта. Если не вести учет важных данных, то вы через определенный период времени их забудете и, начав заниматься этими вопросами вновь, вы опять наделаете те же ошибки, что делали, когда впервые этим занимались.

«Мы, помню, 5 лет назад изготавливали до 1000 штук таких изделий в месяц, а сейчас и 700 еле-еле собираем!». Открываем статистику и видим, что 5 лет назад и 500 штук не изготавливали…

«Во сколько обходится километр пробега твоего автомобиля с учетом всех затрат?» Открываем статистику – 6 руб./км. Поездка на работу – 107 рублей. Дешевле, чем на такси (180 рублей) более чем в полтора раза. А бывали времена, когда на такси было дешевле…

«Сколько времени требуется для изготовления металлоконструкций уголковой башни связи высотой 50 м?» Открываем статистику – и через 5 минут готов ответ…

«Сколько будет стоить ремонт комнаты в квартире?» Поднимаем старые записи, делаем поправку на инфляцию за прошедшие годы, учитываем, что в прошлый раз купили материалы на 10% дешевле рыночной цены и – ориентировочную стоимость мы уже знаем…

Ведя учет своей профессиональной деятельности, вы всегда будете готовы ответить на вопрос начальника: «Когда!!!???». Ведя учет домашнего хозяйства, легче спланировать расходы на крупные покупки, отдых и прочие расходы в будущем, приняв соответствующие меры по дополнительному заработку или по сокращению необязательных расходов сегодня.

В этой статье я на простом примере покажу, как  можно обрабатывать собранные статистические данные в Excel для возможности дальнейшего использования при прогнозировании будущих периодов.

Производственный участок изготавливает строительные металлоконструкции из листового и профильного металлопроката. Участок работает стабильно, заказы однотипные, численность рабочих колеблется незначительно. Есть данные о выпуске продукции за предыдущие 12 месяцев и о количестве переработанного в эти периоды времени металлопроката по группам: листы, двутавры, швеллеры, уголки, трубы круглые, профили прямоугольного сечения, круглый прокат. После предварительного анализа исходных данных возникло предположение, что  суммарный месячный выпуск металлоконструкций существенно зависит от количества уголков в заказах. Проверим это предположение.

Прежде всего, несколько слов об аппроксимации. Мы будем искать закон – аналитическую функцию, то есть функцию, заданную уравнением, которое лучше других описывает зависимость общего выпуска металлоконструкций от количества уголкового проката в выполненных заказах. Это и есть аппроксимация, а найденное уравнение называется аппроксимирующей функцией для исходной функции, заданной в виде таблицы.

1. Включаем Excel и помещаем на лист таблицу с данными статистики.

2. Далее строим и форматируем точечную диаграмму, в которой по оси X задаем значения аргумента – количество переработанных уголков в тоннах. По оси Y откладываем значения исходной функции – общий выпуск металлоконструкций в месяц, заданные таблицей.

О том, как построить подобную диаграмму, подробно рассказано в статье «Как строить графики в Excel?».

3. «Наводим» мышь на любую из точек на графике и щелчком правой кнопки вызываем контекстное меню (как говорит один мой хороший товарищ — работая в незнакомой программе, когда не знаешь, что делать, чаще щелкай правой кнопкой мыши…). В выпавшем меню выбираем «Добавить линию тренда…».

4. В появившемся окне «Линия тренда» на вкладке «Тип» выбираем «Линейная».

5. Далее на вкладке «Параметры» ставим 2 галочки и нажимаем «ОК».

6. На графике появилась прямая линия, аппроксимирующая нашу табличную зависимость.

Мы видим кроме самой линии уравнение этой линии и, главное, мы видим значение параметра R2 – величины достоверности аппроксимации! Чем ближе его значение к 1, тем наиболее точно выбранная функция аппроксимирует табличные данные!

7. Строим линии тренда, используя степенную, логарифмическую, экспоненциальную и полиномиальную аппроксимации по аналогии с тем, как мы строили линейную линию тренда.

Лучше всех из выбранных функций аппроксимирует наши данные полином второй степени, у него максимальный коэффициент достоверности R2.

Однако хочу вас предостеречь! Если вы возьмете полиномы более высоких степеней, то, возможно, получите еще лучшие результаты, но кривые будут иметь замысловатый вид…. Здесь важно понимать, что мы ищем функцию, которая имеет физический смысл. Что это означает? Это означает, что нам нужна аппроксимирующая функция, которая будет выдавать адекватные результаты не только внутри рассматриваемого диапазона значений X, но и за его пределами, то есть ответит на вопрос: «Какой будет выпуск металлоконструкций при количестве переработанных за месяц уголков  меньше 45 и больше 168 тонн!» Поэтому я не рекомендую увлекаться полиномами высоких степеней, да и параболу (полином второй степени) выбирать осторожно!

Итак, нам необходимо выбрать функцию, которая не только хорошо интерполирует табличные данные в пределах диапазона значений X=45…168, но и допускает адекватную экстраполяцию за пределами этого диапазона. Я выбираю в данном случае логарифмическую функцию, хотя можно выбрать и линейную, как наиболее простую. В рассматриваемом примере при выборе линейной аппроксимации в excel ошибки будут больше, чем при выборе логарифмической, но не на много.

8. Удаляем все линии тренда с поля диаграммы, кроме логарифмической функции. Для этого щелкаем правой кнопкой мыши по ненужным линиям и в выпавшем контекстном меню выбираем «Очистить».

9. В завершении добавим к точкам табличных данных планки погрешностей. Для этого правой кнопкой мыши щелкаем на любой из точек на графике и в контекстном меню выбираем «Формат рядов данных…» и настраиваем данные на вкладке «Y-погрешности» так, как на рисунке ниже.

10. Затем щелкаем по любой из линий диапазонов погрешностей правой кнопкой мыши, выбираем в контекстном меню «Формат полос погрешностей…» и в окне «Формат планок погрешностей» на вкладке «Вид» настраиваем цвет и толщину линий.

Аналогичным образом форматируются любые другие объекты диаграммы в Excel!

Окончательный результат диаграммы представлен на следующем снимке экрана.

Итоги.

Результатом всех предыдущих действий стала полученная формула аппроксимирующей функции y=-172,01*ln (x)+1188,2. Зная ее, и количество уголков в месячном наборе работ, можно с высокой степенью вероятности (±4% — смотри планки погрешностей) спрогнозировать общий выпуск металлоконструкций за месяц! Например, если в плане на месяц 140 тонн уголков, то общий выпуск, скорее всего, при прочих равных составит 338±14 тонн.

Для повышения достоверности аппроксимации статистических данных должно быть много. Двенадцать пар значений – это маловато.

Из практики скажу, что хорошим результатом следует считать нахождение аппроксимирующей функции с коэффициентом достоверности R2>0,87. Отличный результат – при  R2>0,94.

На практике бывает трудно выделить один самый главный  определяющий фактор (в нашем примере – масса переработанных за месяц уголков), но если постараться, то в каждой конкретной задаче его всегда можно найти! Конечно, общий выпуск продукции за месяц реально зависит от сотни факторов, для учета которых необходимы существенные трудозатраты нормировщиков и других специалистов. Только результат все равно будет приблизительным! Так стоит ли нести затраты, если есть гораздо более дешевое математическое моделирование!

В этой статье я лишь прикоснулся к верхушке айсберга под названием сбор, обработка и практическое использование статистических данных. О том удалось, или нет, мне расшевелить ваш интерес к этой теме, надеюсь узнать из комментариев и рейтинга статьи в поисковиках.

Затронутый вопрос аппроксимации функции одной переменной имеет широкое практическое применение в разных сферах жизни. Но гораздо большее применение имеет решение задачи аппроксимации функции нескольких независимых переменных…. Об этом и не только читайте в следующих статьях на блоге.

Подписывайтесь на анонсы статей в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.

Не забывайте подтверждать подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту (может прийти в папку «Спам»)!!!

С интересом прочту Ваши комментарии, уважаемые читатели! Пишите!

P.S. (04.06.2017)

Высокоточная красивая замена табличных данных простым уравнением.

Вас не устраивают полученные точность аппроксимации (R2
Подробности Автор: Administrator Родительская категория: Заметки Категория: Компьютерная повседневность Создано: 28 января 2013 Обновлено: 15 мая 2014 Просмотров: 28651

Чтобы приступить к аппроксимации кривой ваших экспериментальных данных в Excel 2003:

1. Создайте диаграмму (график).

2. Выделите линию функции на графике и нажмите правую кнопку мыши, выберите «Добавить линию тренда»

3. Выберите тип аппроксимации во вкладке «Тип» в откурывшемся диалоговом окне «Линия тренда»

4. На вкладке «Параметры» — прогностические параметры, показывать уравнение на графике или нет

Аппроксимация (от лат. approximo — приближаюсь) — это замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В этой нашей статье мы постараемся подробно рассмотреть вопрос о том, как апроксимировать график в офисной программе Excel?

В MS Excel аппроксимация экспериментальных данных осуществляется путем построения их графика (x – отвлеченные величины) или точечного графика (x – имеет конкретные значения) с последующим подбором подходящей аппроксимирующей функции (линии тренда).

1. Создайте диаграмму (график).
2. Выделите линию функции на графике и нажмите правую кнопку мыши, выберите «Добавить линию тренда».
3. Выберите тип аппроксимации во вкладке «Тип» в откурывшемся диалоговом окне «Линия тренда».
4. На вкладке «Параметры» — прогностические параметры, показывать уравнение на графике или нет.

Решить задачу аппроксимации экспериментальных данных – значит построить уравнение регрессии. Задача аппроксимации возникает в случае необходимости аналитически, то есть в виде математической зависимости, описать реальные явления, наблюдения за которыми заданы в виде таблицы, содержащей значения показателя в разные моменты времени или при разных значениях независимого аргумента. Например,

— известны показатели прибыли (их можно обозначить Y) в зависимости от размера капиталовложений (X);

— известны объемы реализации фирмы (Y) за шесть недель ее работы. В этом случае, X – это последовательность недель.

Иногда говорят, что требуется построить эмпирическую модель. Эмпирической называется модель, построенная на основе реальных наблюдений. Если модель удается найти, можно сделать прогноз о поведении исследуемого явления и процесса в будущем и, возможно, выбрать оптимальное направление ее развития.

В общем случае задача аппроксимации экспериментальных данных имеет следующую постановку:

Пусть известны данные, полученные практическим путем (в ходе n экспериментов или наблюдений), которые можно представить парами чисел (хi; уi). Зависимость между ними отражает таблица:

X	х1	х2	х3	…	хn
Y	y1	y2	y3	…	yn

Имеется класс разнообразных функций F. Требуется найти аналитическое (т.е. математическое) выражение зависимости между этими показателями, то есть надо подобрать из множества функций F функцию f, такую что . которая наилучшим образом сглаживала бы экспериментальную зависимость между переменными и по возможности точно отражала общую тенденцию зависимости между X и Y, исключая погрешности измерения и случайные отклонения.

Выяснить вид функции можно либо из теоретических соображений, либо анализируя расположение точек (хi; уi) на координатной плоскости.

Графически решить задачу аппроксимации означает, провести такую кривую , точки которой (хi; ŷi) находились бы как можно ближе к исходным точкам (хi; уi), отображающим экспериментальные данные.

Для решения задачи аппроксимации используют метод наименьших квадратов.

При этом функция считается наилучшим приближением к , если для нее сумма квадратов отклонений «теоретических» значений , найденных по эмпирической формуле, от соответствующих опытных значений , имеет наименьшее значение по сравнению с другими функциями, из числа которых выбирается искомое приближение.

Математическая запись метода наименьших квадратов имеет вид:

(1)

где n — количество наблюдений показателей.

Таким образом, задача аппроксимации распадается на две части.

Сначала устанавливают вид зависимости и, соответственно, вид эмпирической формулы, то есть решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. Если нет каких-либо теоретических соображений для подбора вида формулы, обычно выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиком заданной функции.

После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим.

Простейшим видом эмпирической модели с двумя параметрами, используемой для аппроксимации результатов экспериментов, является линейная регрессия, описываемая линейной функцией:

где а, b — искомые параметры.

Для модели линейной регрессии метод наименьших квадратов (1) запишется :

(2)

Для решения (2) относительно а и b приравнивают к нулю частные производные:

В итоге для нахождения a и b надо решить систему линейных алгебраических уравнений вида:

(3)

Реализовать метод наименьших квадратов в случае линейной регрессии в Excel можно различными способами.

1 способ. Построить систему линейных алгебраических уравнений, подставив в (3) все известные значения, и решить ее, например, матричным методом (см. зад. 4).

Рис. 25

В формульном виде элемент расчетной таблицы приведен на рис. 26.

Рис.26

2 способ. Решить в Excel задачу оптимизации (2), применив для этого Поиск решения (см. зад. 5).

Рис.27

Замечание 1. Следует обратить внимание, что для целевой функции S удобно применить встроенную математическую функцию СУММКВРАЗН(массив1;массив2), в результате которой как раз и вычисляется сумма квадратов разностей двух массивов. В нашем случае следует в качестве массива1 указать диапазон исходных значений , а в качестве массива2 – «теоретические» значения , рассчитанные по формуле , где a и b – это адреса ячеек с искомыми значениями.

Замечание 2. В диалоговом окне команды Поиск решения следует задать целевую ячейку, направление цели – на минимум и изменяемые ячейки (рис. 28). Данная задача ограничений не содержит.

Рис.28

Замечание3. В качестве эмпирических моделей с двумя параметрами могут использоваться и нелинейные модели вида:

Описанный способ решения метода наименьших квадратов применим и для нелинейных зависимостей.

3 способ. Для нахождения значений параметров a и b в случае линейной регрессии можно использовать следующие встроенные в Excel статистические функции:

НАКЛОН(известные_значения_У; известные_значения_Х)

ОТРЕЗОК(известные_значения_У; известные_значения_Х)

ЛИНЕЙН (известные_значения_У; известные_значения_Х)

Причем, функция НАКЛОН ( ) возвращает значение параметра а, функция ОТРЕЗОК( ) возвращает значение параметра b. Функция ЛИНЕЙН( ) возвращает одновременно оба параметра линейной зависимости, так как является функцией массива. Поэтому для ввода функции ЛИНЕЙН( ) в таблицу надо соблюдать следующие правила:

· выделить две рядом стоящие ячейки

· ввести формулу

· по окончании нажать одновременно комбинацию клавиш Ctrl+ Shift+Enter.

В результате в левой ячейке получится значение параметра а, а в правой – значение параметра b.

Для решения задачи аппроксимации графическим способом в Excel надо построить по исходным данным график, например, точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаживающими линиями (см.зад.1). На эту диаграмму Excel может нанести Линию тренда. Линию тренда можно добавить к любому ряду данных, использующему следующие типы диаграмм: диаграммы с областями, графики, гистограммы, линейчатые или точечные диаграммы.

При создании линии тренда в Excel на основе данных диаграммы применяется та или иная аппроксимация. Excel позволяет выбрать один из пяти аппроксимирующих линий или вычислить линию, показывающую скользящее среднее.

Кроме того, Excel предоставляет возможность выбирать значения пересечения линии тренда с осью Y, а также добавлять к диаграмме уравнение аппроксимации и величину достоверности аппроксимации (R2). Также, можно определять будущие и прошлые значения данных, исходя из линии тренда и связанного с ней уравнения аппроксимации.

Чтобы добавить линию тренда к ряду данных надо:

1. Активизировать щелчком мыши диаграмму.

2. Выполнить команду Диаграмма, Добавить линию тренда или переместить указатель на ряд данных, щелкнуть правой кнопкой мыши, а затем в контекстном меню выбрать команду Добавить линию тренда. В появившемся окне Линия тренда раскрыть вкладку Тип (рис. 29)

3. В списке Построен на ряде – выделить ряд данных, к которому нужно добавить линию тренда (Рис.29).

4. В группе Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание) выбрать один из шести типов аппроксимации (сглаживания). – линейная, логарифмическая, полиномиальная, степенная, экспоненциальная, скользящее среднее (Рис.29)

Рис.29

5. Чтобы установить параметры линии тренда надо раскрыть вкладку Параметры диалогового окна Линия тренда(рис. 30)

Рис.30

Показывать уравнение на диаграмме – осуществляет вывод уравнения аппроксимации на диаграмму в виде текстового поля.

Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2– осуществляет вывод на диаграмму достоверности аппроксимации в виде текста.

6. По окончании нажимают экранную кнопку ОК.

Пример результирующей диаграммы приведен на рисунке 31.

Рис.31

Метод аппроксимации в Microsoft Excel

Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.

Выполнение аппроксимации

Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.

Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

• Линейной;
• Экспоненциальной;
• Логарифмической;
• Полиномиальной;
• Степенной.

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Способ 1: линейное сглаживание

Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.

Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.

Для построения графика, прежде всего, выделяем столбцы «Себестоимость единицы продукции» и «Прибыль». После этого перемещаемся во вкладку «Вставка». Далее на ленте в блоке инструментов «Диаграммы» щелкаем по кнопке «Точечная». В открывшемся списке выбираем наименование «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Именно данный вид диаграмм наиболее подходит для работы с линией тренда, а значит, и для применения метода аппроксимации в Excel.

Существует ещё один вариант её добавления. В дополнительной группе вкладок на ленте «Работа с диаграммами» перемещаемся во вкладку «Макет». Далее в блоке инструментов «Анализ» щелкаем по кнопке «Линия тренда». Открывается список. Так как нам нужно применить линейную аппроксимацию, то из представленных позиций выбираем «Линейное приближение».

Если же вы выбрали все-таки первый вариант действий с добавлением через контекстное меню, то откроется окно формата.

В блоке параметров «Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)» устанавливаем переключатель в позицию «Линейная».
При желании можно установить галочку около позиции «Показывать уравнение на диаграмме». После этого на диаграмме будет отображаться уравнение сглаживающей функции.

Также в нашем случае для сравнения различных вариантов аппроксимации важно установить галочку около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации (R^2)». Данный показатель может варьироваться от 0 до 1. Чем он выше, тем аппроксимация качественнее (достовернее). Считается, что при величине данного показателя 0,85 и выше сглаживание можно считать достоверным, а если показатель ниже, то – нет.

После того, как провели все вышеуказанные настройки. Жмем на кнопку «Закрыть», размещенную в нижней части окна.

Как видим, на графике линия тренда построена. При линейной аппроксимации она обозначается черной прямой полосой. Указанный вид сглаживания можно применять в наиболее простых случаях, когда данные изменяются довольно быстро и зависимость значения функции от аргумента очевидна.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418, что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

Для того, чтобы изменить тип линии тренда, выделяем её кликом правой кнопки мыши и в раскрывшемся меню выбираем пункт «Формат линии тренда…».

После этого запускается уже знакомое нам окно формата. В блоке выбора типа аппроксимации устанавливаем переключатель в положение «Экспоненциальная». Остальные настройки оставим такими же, как и в первом случае. Щелкаем по кнопке «Закрыть».

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

где e – это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

Тем же способом, что и в предыдущий раз через контекстное меню запускаем окно формата линии тренда. Устанавливаем переключатель в позицию «Логарифмическая» и жмем на кнопку «Закрыть».

Происходит процедура построения линии тренда с логарифмической аппроксимацией. Как и в предыдущем случае, такой вариант лучше использовать тогда, когда изначально данные быстро изменяются, а потом принимают сбалансированный вид. Как видим, уровень достоверности равен 0,946. Это выше, чем при использовании линейного метода, но ниже, чем качество линии тренда при экспоненциальном сглаживании.

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

Переходим в окно формата линии тренда, как уже делали не раз. В блоке «Построение линии тренда» устанавливаем переключатель в позицию «Полиномиальная». Справа от данного пункта расположено поле «Степень». При выборе значения «Полиномиальная» оно становится активным. Здесь можно указать любое степенное значение от 2 (установлено по умолчанию) до 6. Данный показатель определяет число максимумов и минимумов функции. При установке полинома второй степени описывается только один максимум, а при установке полинома шестой степени может быть описано до пяти максимумов. Для начала оставим настройки по умолчанию, то есть, укажем вторую степень. Остальные настройки оставляем такими же, какими мы выставляли их в предыдущих способах. Жмем на кнопку «Закрыть».

Линия тренда с использованием данного метода построена. Как видим, она ещё более изогнута, чем при использовании экспоненциальной аппроксимации. Уровень достоверности выше, чем при любом из использованных ранее способов, и составляет 0,9724.

Данный метод наиболее успешно можно применять в том случае, если данные носят постоянно изменчивый характер. Функция, описывающая данный вид сглаживания, выглядит таким образом:

В нашем случае формула приняла такой вид:

y=0,0015*x^2-1,7202*x+507,01
Теперь давайте изменим степень полиномов, чтобы увидеть, будет ли отличаться результат. Возвращаемся в окно формата. Тип аппроксимации оставляем полиномиальным, но напротив него в окне степени устанавливаем максимально возможное значение – 6.

Как видим, после этого наша линия тренда приняла форму ярко выраженной кривой, у которой число максимумов равно шести. Уровень достоверности повысился ещё больше, составив 0,9844.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

Перемещаемся в окно «Формат линии тренда». Устанавливаем переключатель вида сглаживания в позицию «Степенная». Показ уравнения и уровня достоверности, как всегда, оставляем включенными. Жмем на кнопку «Закрыть».

Программа формирует линию тренда. Как видим, в нашем случае она представляет собой линию с небольшим изгибом. Уровень достоверности равен 0,9618, что является довольно высоким показателем. Из всех вышеописанных способов уровень достоверности был выше только при использовании полиномиального метода.

Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

В конкретно нашем случае она выглядит так:

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12683 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Как сделать линейную калибровочную кривую в Excel

В Excel есть встроенные функции, которые вы можете использовать для отображения ваших данных калибровки и расчета линии наилучшего соответствия. Это может быть полезно, когда вы пишете отчет химической лаборатории или программируете поправочный коэффициент на единицу оборудования.

В этой статье мы рассмотрим, как использовать Excel для создания диаграммы, построить линейную калибровочную кривую, отобразить формулу калибровочной кривой, а затем настроить простые формулы с помощью функций НАКЛОН и ПЕРЕКЛЮЧИТЬ, чтобы использовать уравнение калибровки в Excel.

Что такое калибровочная кривая и как Excel полезен при ее создании?

Чтобы выполнить калибровку, вы сравниваете показания устройства (например, температуру, отображаемую термометром) с известными значениями, называемыми стандартами (например, точки замерзания и кипения воды). Это позволяет вам создать серию пар данных, которые вы затем будете использовать для построения калибровочной кривой.

Двухточечная калибровка термометра с использованием точек замерзания и кипения воды будет иметь две пары данных: одну с момента, когда термометр помещают в ледяную воду (32 ° F или 0 ° C), и одну в кипящую воду (212 ° F). или 100 ° С). Когда вы построите эти две пары данных в виде точек и проведете линию между ними (калибровочную кривую), а затем, предполагая, что реакция термометра является линейной, вы можете выбрать любую точку на линии, которая соответствует значению, которое отображает термометр, и вы мог найти соответствующую «истинную» температуру.

Таким образом, линия, по сути, заполняет информацию между двумя известными для вас точками, так что вы можете быть достаточно уверенными при оценке фактической температуры, когда термометр показывает 57,2 градуса, но когда вы никогда не измеряли «стандарт», который соответствует это чтение.

В Excel есть функции, которые позволяют графически отображать пары данных на графике, добавлять линию тренда (калибровочную кривую) и отображать уравнение калибровочной кривой на графике. Это полезно для визуального отображения, но вы также можете рассчитать формулу линии, используя функции Excel SLOPE и INTERCEPT. Когда вы введете эти значения в простые формулы, вы сможете автоматически рассчитать «истинное» значение на основе любого измерения.

Давайте посмотрим на пример

Для этого примера мы разработаем калибровочную кривую из серии из десяти пар данных, каждая из которых состоит из значения X и значения Y. Значения Х будут нашими «стандартами», и они могут представлять что угодно, от концентрации химического раствора, который мы измеряем с помощью научного прибора, до входной переменной программы, которая управляет пусковой машиной для мрамора.

Значения Y будут «откликами», и они будут представлять собой показания прибора, полученные при измерении каждого химического раствора, или измеренное расстояние, на котором расстояние от пусковой установки, на которую упал мрамор, используя каждое входное значение.

После того, как мы графически изобразим калибровочную кривую, мы будем использовать функции SLOPE и INTERCEPT, чтобы вычислить формулу калибровочной линии и определить концентрацию «неизвестного» химического раствора на основании показаний прибора или решить, какой ввод мы должны дать программе, чтобы мрамор приземляется на определенном расстоянии от пусковой установки.

Шаг первый: создайте свою диаграмму

Наш простой пример электронной таблицы состоит из двух столбцов: X-Value и Y-Value.

Начнем с выбора данных для построения графика.

Сначала выберите ячейки столбца «X-значение».

Теперь нажмите клавишу Ctrl и затем щелкните ячейки столбца Y-значения.

Перейдите на вкладку «Вставить».

Перейдите в меню «Графики» и выберите первый вариант в раскрывающемся меню «Разброс».

разброс» width=»314″ height=»250″ svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’http://www.w3.org/2000/svg’%20viewBox=’0%200%20314%20250’%3E%3C/svg%3E» data-lazy-src=»https://gadgetshelp.com/wp-content/uploads/images/htg/content/uploads/2018/12/xExcel-Calibration-Curve-05.png.pagespeed.gp+jp+jw+pj+ws+js+rj+rp+rw+ri+cp+md.ic.zXPKQgYC7-.png»/>

Появится диаграмма, содержащая точки данных из двух столбцов.

Выберите серию, нажав на одну из синих точек. После выбора Excel обрисовывает в общих чертах точки.

Щелкните правой кнопкой мыши одну из точек и выберите опцию «Добавить линию тренда».

На графике появится прямая линия.

В правой части экрана появится меню «Format Trendline». Установите флажки рядом с «Показать уравнение на графике» и «Показать значение R-квадрат на графике». Значение R-квадрат является статистикой, которая говорит вам, насколько точно линия соответствует данным. Наилучшее значение R-квадрата равно 1.000, что означает, что каждая точка данных касается линии. По мере роста различий между точками данных и линией значение r-квадрата уменьшается, причем 0,000 является наименьшим возможным значением.

Уравнение и R-квадрат статистики трендовой линии появятся на графике. Обратите внимание, что в нашем примере корреляция данных очень хорошая, значение R-квадрата равно 0,988.

Уравнение имеет вид «Y = Mx + B», где M — наклон, а B — пересечение оси y прямой.

Теперь, когда калибровка завершена, давайте поработаем над настройкой диаграммы, отредактировав заголовок и добавив заголовки осей.

Чтобы изменить заголовок диаграммы, щелкните по нему, чтобы выделить текст.

Теперь введите новый заголовок, который описывает диаграмму.

Чтобы добавить заголовки к осям X и Y, сначала перейдите к «Инструменты диаграммы»> «Дизайн».

дизайн» width=»650″ height=»225″ svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’http://www.w3.org/2000/svg’%20viewBox=’0%200%20650%20225’%3E%3C/svg%3E» data-lazy-src=»https://gadgetshelp.com/wp-content/uploads/images/htg/content/uploads/2018/12/Excel-Calibration-Curve-14.png»/>

Нажмите «Добавить элемент диаграммы».

Теперь перейдите к Названия осей> Первичная горизонтальная.

первичная горизонтальная» width=»650″ height=»500″ svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’http://www.w3.org/2000/svg’%20viewBox=’0%200%20650%20500’%3E%3C/svg%3E» data-lazy-src=»https://gadgetshelp.com/wp-content/uploads/images/htg/content/uploads/2018/12/Excel-Calibration-Curve-16.png»/>

Появится название оси.

Чтобы переименовать заголовок оси, сначала выделите текст, а затем введите новый заголовок.

Теперь перейдите к Названию осей> Первичная вертикаль.

Появится название оси.

Переименуйте этот заголовок, выделив текст и введя новый заголовок.

Ваша диаграмма теперь завершена.

Шаг второй: Рассчитать линейное уравнение и R-квадрат

Теперь давайте вычислим линейное уравнение и R-квадрат, используя встроенные в Excel функции SLOPE, INTERCEPT и CORREL.

К нашему листу (в строке 14) мы добавили заголовки для этих трех функций. Мы выполним фактические вычисления в ячейках под этими заголовками.

Сначала рассчитаем НАКЛОН. Выберите ячейку A15.

Перейдите к формулам> Дополнительные функции> Статистические> НАКЛОН.

Дополнительные функции> Статистические> НАКЛОН» width=»650″ height=»435″ svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’http://www.w3.org/2000/svg’%20viewBox=’0%200%20650%20435’%3E%3C/svg%3E» data-lazy-src=»https://gadgetshelp.com/wp-content/uploads/images/htg/content/uploads/2018/12/Excel-Calibration-Curve-24.png»/>

Откроется окно «Аргументы функции». В поле «Known_ys» выберите или введите ячейки столбца Y-значения.

В поле «Known_xs» выберите или введите ячейки столбца X-Value. Порядок полей ‘Known_ys’ и ‘Known_xs’ имеет значение в функции SLOPE.

Нажмите «ОК». Окончательная формула в строке формул должна выглядеть следующим образом:

Обратите внимание, что значение, возвращаемое функцией SLOPE в ячейке A15, соответствует значению, отображенному на графике.

Затем выберите ячейку B15 и перейдите к «Формулы»> «Дополнительные функции»> «Статистические данные»> «ПЕРЕКРЫТЬ».

Дополнительные функции> Статистические> INTERCEPT» width=»650″ height=»435″ svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’http://www.w3.org/2000/svg’%20viewBox=’0%200%20650%20435’%3E%3C/svg%3E» data-lazy-src=»https://gadgetshelp.com/wp-content/uploads/images/htg/content/uploads/2018/12/xExcel-Calibration-Curve-28.png.pagespeed.gp+jp+jw+pj+ws+js+rj+rp+rw+ri+cp+md.ic.6UWCgXDsRt.png»/>

Откроется окно «Аргументы функции». Выберите или введите в ячейки столбца Y-значение для поля «Known_ys».

Выберите или введите в ячейки столбца X-Value поле «Known_xs». Порядок полей «Known_ys» и «Known_xs» также имеет значение в функции INTERCEPT.

Нажмите «ОК». Окончательная формула в строке формул должна выглядеть следующим образом:

Обратите внимание, что значение, возвращаемое функцией INTERCEPT, соответствует точке пересечения y, отображаемой на диаграмме.

Затем выберите ячейку C15 и перейдите к «Формулы»> «Дополнительные функции»> «Статистические данные»> «CORREL».

дополнительные функции> статистические> CORREL» width=»650″ height=»435″ svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’http://www.w3.org/2000/svg’%20viewBox=’0%200%20650%20435’%3E%3C/svg%3E» data-lazy-src=»https://gadgetshelp.com/wp-content/uploads/images/htg/content/uploads/2018/12/xExcel-Calibration-Curve-32.png.pagespeed.gp+jp+jw+pj+ws+js+rj+rp+rw+ri+cp+md.ic.n7KBBl00Uj.png»/>

Откроется окно «Аргументы функции». Выберите или введите любой из двух диапазонов ячеек для поля «Массив1». В отличие от SLOPE и INTERCEPT, порядок не влияет на результат функции CORREL.

Выберите или введите другой из двух диапазонов ячеек для поля «Array2».

Нажмите «ОК». Формула должна выглядеть следующим образом на панели формул:

Обратите внимание, что значение, возвращаемое функцией CORREL, не соответствует значению «r-квадрат» на графике. Функция CORREL возвращает «R», поэтому мы должны возвести ее в квадрат, чтобы вычислить «R-квадрат».

Щелкните внутри панели функций и добавьте «^ 2» в конец формулы, чтобы возвести в квадрат значение, возвращаемое функцией CORREL. Заполненная формула теперь должна выглядеть так:

После изменения формулы значение «R-квадрат» теперь соответствует значению, отображенному на графике.

Шаг третий: настройка формул для быстрого расчета значений

Теперь мы можем использовать эти значения в простых формулах, чтобы определить концентрацию этого «неизвестного» раствора или то, что мы должны ввести в код, чтобы шарик пролетел определенное расстояние.

Эти шаги настроят формулы, необходимые для того, чтобы вы могли ввести значение X или значение Y и получить соответствующее значение на основе калибровочной кривой.

Уравнение линии наилучшего соответствия имеет вид «Y-значение = НАКЛОН * X-значение + INTERCEPT», поэтому решение для «Y-значения» выполняется путем умножения значения X и SLOPE, а затем добавив ИНТЕРЦЕПТ.

В качестве примера мы вводим ноль в качестве значения X. Возвращаемое значение Y должно быть равно ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ линии наилучшего соответствия. Это соответствует, поэтому мы знаем, что формула работает правильно.

Решение для значения X на основе значения Y выполняется путем вычитания INTERCEPT из значения Y и деления результата на НАКЛОН:

В качестве примера мы использовали INTERCEPT в качестве значения Y. Возвращаемое значение Х должно быть равно нулю, но возвращаемое значение равно 3.14934E-06. Возвращаемое значение не равно нулю, потому что мы непреднамеренно обрезали результат INTERCEPT при вводе значения. Однако формула работает правильно, потому что результат формулы равен 0,00000314934, что по существу равно нулю.

Вы можете ввести любое значение X в первую ячейку с толстыми границами, и Excel автоматически вычислит соответствующее значение Y.

Ввод любого значения Y во вторую ячейку с толстой рамкой даст соответствующее значение X. Эта формула используется для расчета концентрации этого раствора или того, что необходимо для запуска мрамора на определенном расстоянии.

В этом случае прибор показывает «5», поэтому при калибровке будет предложена концентрация 4,94, или мы хотим, чтобы шарик прошел пять единиц расстояния, поэтому при калибровке предлагается ввести 4,94 в качестве входной переменной для программы, управляющей пусковой установкой мрамора. Мы можем быть достаточно уверены в этих результатах из-за высокого значения R-квадрата в этом примере.

Как построить график в Excel по уравнению

Как предоставить информацию, чтобы она лучше воспринималась. Используйте графики. Это особенно актуально в аналитике. Рассмотрим, как построить график в Excel по уравнению.

Что это такое

График показывает, как одни величины зависят от других. Информация легче воспринимается. Посмотрите визуально, как отображается динамика изменения данных.

А нужно ли это

Графический способ отображения информации востребован в учебных или научных работах, исследованиях, при создании деловых планов, отчетов, презентаций, формул. Разработчики для построения графиков добавили способы визуального представления: диаграммы, пиктограммы.

Как построить график уравнения регрессии в Excel

Регрессионный анализ — статистический метод исследования. Устанавливает, как независимые величины влияют на зависимую переменную. Редактор предлагает инструменты для такого анализа.

Подготовительные работы

Перед использованием функции активируйте Пакет анализа. Перейдите:
Выберите раздел:
Далее:
Прокрутите окно вниз, выберите:
Отметьте пункт:
Открыв раздел «Данные», появится кнопка «Анализ».

Как пользоваться

Рассмотрим на примере. В таблице указана температура воздуха и число покупателей. Данные выводятся за рабочий день. Как температура влияет на посещаемость. Перейдите:
Выберите:
Отобразится окно настроек, где входной интервал:

1. Y. Ячейки с данными влияние факторов на которые нужно установить. Это число покупателей. Адрес пропишите вручную или выделите соответствующий столбец;
2. Х. Данные, влияние на которые нужно установить. В примере, нужно узнать, как температура влияет на количество покупателей. Поэтому выделяем ячейки в столбце «Температура».

Анализ

Нажав кнопку «ОК», отобразится результат.
Основной показатель — R-квадрат. Обозначает качество. Он равен 0,825 (82,5%). Что это означает? Зависимости, где показатель меньше 0,5 считается плохим. Поэтому в примере это хороший показатель. Y-пересечение. Число покупателей, если другие показатели равны нулю. 62,02 высокий показатель.

Как построить график квадратного уравнения в Excel

График функции имеет вид: y=ax2+bx+c. Рассмотрим диапазон значений: [-4:4].

1. Составьте таблицу как на скриншоте;
2. В третьей строке указываем коэффициенты и их значения;
3. Пятая — диапазон значений;
4. В ячейку B6 вписываем формулу =$B3*B5*B5+$D3*B5+$F3;

Копируем её на весь диапазон значений аргумента вправо.
При вычислении формулы прописывается знак «$». Используется чтобы ссылка была постоянной. Подробнее смотрите в статье: «Как зафиксировать ячейку».
Выделите диапазон значений по ним будем строить график. Перейдите:
Поместите график в свободное место на листе.

Как построить график линейного уравнения

Функция имеет вид: y=kx+b. Построим в интервале [-4;4].

1. В таблицу прописываем значение постоянных величин. Строка три;
2. Строка 5. Вводим диапазон значений;
3. Ячейка В6. Прописываем формулу.

Выделите диапазон ячеек A5:J6. Далее:
График — прямая линия.

Вывод

Мы рассмотрели, как построить график в Экселе (Excel) по уравнению. Главное — правильно выбрать параметры и диаграмму. Тогда график точно отобразит данные.

Понятие аппроксимации

Среди разных методик прогнозирования следует отдельно выделить метод аппроксимации. С его помощью имеется возможность осуществления приблизительных подсчетов и вычисления планируемых показателей, за счёт подмены исходных объектов на более простые. В Excel также присутствует возможность применения этого метода с целью выполнения прогнозов и анализа.

Название этого метода произошло от латинского слова “proxima”, то есть, «ближайшая». Как раз приближение за счет упрощения и сглаживания некоторых показателей, формирование из них тенденции и считается его основой. Но эту методику можно применять не только для прогнозирования, но и для изучения уже полученных результатов. Поскольку аппроксимация выступает, по существу, как упрощение исходных данных, а упрощенную версию легче изучать.

Аппроксимация табличных функций в Excel

Основным инструментом, при помощи которого реализуется сглаживание в Excel, является формирование линии тренда. Суть заключается в том, что на базе уже существующих показателей выполняется достраивание графика функции на будущие периоды. Основным предназначением линии тренда очевидно является формирование прогнозов или определение общей тенденции.

Эта линия может быть построена с использованием одного из следующих типов аппроксимации:
линейная,
экспоненциальная,
логарифмическая,
полиномиальная,
* степенная.

Рассмотрим некоторые из этих вариантов более подробно, и начнем с линейной аппроксимации, которая фактически является линейным сглаживанием. Прежде всего, следует рассмотреть наиболее простую версию аппроксимации, то есть, при помощи линейной функции.

«Аппроксимация табличных функций в Excel » 👇

Чтобы построить график, необходимо взять таблицу, в которой, например, помесячно указывается себестоимость единицы продукции, выпускаемой организацией, и соответствующая прибыль за данный период. Графическая функция, которую необходимо построить, будет отображать зависимость роста прибыли от уменьшения себестоимости продукции. При построении графика сначала надо выделить столбцы «Себестоимость единицы продукции» и «Прибыль». После этого следует переместиться на вкладку «Вставка». Затем на ленте в блоке инструментов «Диаграммы» выполнить щелчок указателем мыши по кнопке «Точечная». В открывшемся списке нужно выбрать наименование «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Как раз такой вид диаграмм больше всего подходит для работы с линией тренда, а, следовательно, и для использования метода аппроксимации в Excel.

Затем будет построен следующий график:

Чтобы добавить линию тренда, необходимо выделить график кликом правой кнопки мыши, после чего появится контекстное меню. Следует осуществить выбор в нем пункта «Добавить линию тренда…».

Имеется и другой вариант добавления линии тренда. В дополнительной группе вкладок на ленте «Работа с диаграммами» следует переместиться во вкладку «Макет». Затем в блоке инструментов «Анализ» необходимо сделать щелчок по кнопке «Линия тренда», после чего откроется список. Поскольку в нашем случае рассматривается применение линейной аппроксимации, то из предложенных позиций следует выбрать «Линейное приближение».

Если же был выбран первый вариант действий с добавлением через контекстное меню, то далее будет открыто окно формата. В блоке параметров «Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)» необходимо установить переключатель в позицию «Линейная». Если это необходимо, то следует поставить галочку около позиции «Показывать уравнение на диаграмме». После данных действий на диаграмме будет отображено уравнение сглаживающей функции.

Кроме того, для сравнения разных вариантов аппроксимации можно установить галочку около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации (R^2)». Этот показатель варьируется в диапазоне от нуля до единицы. Чем его значение больше, тем точнее выполнена аппроксимация. Считается, что если величина данного показателя равна 0,85 и выше, то сглаживание может считаться достоверным, а если показатель ниже, то его достоверность ниже допустимой. После проведения всех вышеуказанных настроек, следует нажать на кнопку «Закрыть», размещенную в нижней части окна. Появится линия тренда.

При выполнении линейной аппроксимации линия тренда обозначается черной прямой линией. Приведенный тип сглаживания может быть использован в самых простых случаях, когда данные меняются достаточно быстро и зависимость величины функции от аргумента является очевидной. Сглаживание, которое применяется в этом варианте, может быть описано следующей формулой:

y = ax + b.

Для конкретного варианта, приведенного выше, формула будет иметь следующий вид:

y = ‒ 0,1156x + 72,255.

Значение достоверности аппроксимации в рассмотренном случае равняется 0,9418, что считается достаточно приемлемым результатом, который характеризует сглаживание как достоверное.

Далее рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Excel. Для изменения типа линии тренда, следует выделить ее кликом правой кнопки мыши и в открывшемся меню нужно выбрать пункт «Формат линии тренда…». После этого будет запущено уже применявшееся ранее окно формата. В блоке выбора типа аппроксимации необходимо установить переключатель в положение «Экспоненциальная». Остальные настройки следует оставить такими же, как и в первом варианте, и затем выполнить щелчок по кнопке «Закрыть». После этого линия тренда будет построена на графике, как показано на рисунке ниже:

При использовании этого метода линия тренда обладает несколько изогнутой формой. Причем уровень достоверности равняется 0,9592, что выше, чем при использовании линейной аппроксимации.